과학적 법칙

과학적 이론은 왜 어떤 일이 일어나는지 설명하는 반면, 과학적 법칙은 무슨 일이 일어나는지 설명한다.

과학적 법칙 또는 과학의 법칙은 자연현상의 ^[1]범위를 설명하거나 예측하는 반복된 실험이나 관찰에 기초한 진술이다.법칙이라는 용어는 자연과학의 모든 분야(물리학, 화학, 천문학, 지구과학, 생물학)에 걸쳐 많은 경우에 다양하게 사용된다.법칙은 데이터에서 개발되며 수학을 통해 더욱 발전될 수 있다. 모든 경우 법칙은 직접적 또는 간접적으로 경험적 증거에 기초한다.그들이 명시적으로 현실의 근본적 인과관계를 주장하지는 않지만 암묵적으로 반영하고 있다는 것은 일반적으로 이해되고 있으며,^[2] 발명되기보다는 발견된다.

과학적 법칙은 실험이나 관찰의 결과를 요약하며, 일반적으로 특정 범위의 적용 범위 내에서 이루어집니다.일반적으로 관련 현상에 대한 새로운 이론이 도출될 때 법의 정확성이 달라지는 것이 아니라 법을 대표하는 수학이나 진술이 달라지지 않기 때문에 법의 적용 범위가 달라지는 것이다.다른 종류의 과학적 지식과 마찬가지로, 과학적 법칙은 수학적 이론이나 동일성처럼 절대적인 확실성을 표현하지 않는다.과학적 법칙은 미래의 관찰에 의해 모순되거나 제한되거나 확장될 수 있다.

법칙은 종종 실험의 결과를 예측할 수 있도록 하나 또는 여러 개의 진술이나 방정식으로 공식화할 수 있습니다.법칙은 실험과 관찰에 의한 과학적 과정 전 및 검증 중에 제안되는 가설 및 가설과 다르다.가설과 가설은 같은 정도로 검증되지 않았기 때문에 법으로 규정될 수는 있지만 법률이 아닙니다.법칙은 과학 이론보다 범위가 좁아서 하나 또는 여러 개의 ^[3]법칙을 수반할 수 있다.과학은 법칙이나 이론을 ^[4]사실과 구별한다.법을 사실이라고 부르는 것은 애매하거나 과장되거나 얼버무린다.^[5]과학 법칙의 본질은 철학에서 많이 논의되어 왔지만, 본질적으로 과학 법칙은 단순히 과학적 방법에 의해 도달된 경험적 결론이다; 그것들은 존재론적 약속이나 논리적 절대적인 진술로 가득 차 있지 않다.

개요

과학적 법칙은 반복된 조건 하의 물리적 시스템에 항상 적용되며, 이는 시스템의 요소들과 관련된 인과 관계가 있음을 암시한다."수은은 표준 온도와 압력에서 액체이다"와 같은 사실적이고 잘 확인된 진술은 과학적 법칙으로 인정되기에는 너무 구체적인 것으로 여겨진다.데이비드 흄으로 거슬러 올라가는 과학철학의 중심적인 문제는 인과관계(법칙에 의해 암시된 관계 등)와 지속적인 ^[6]결합으로 인해 발생하는 원리를 구별하는 것이다.

법칙은 현상에 대한 메커니즘이나 설명을 실증하지 않는다는 점에서 과학 이론과 다르다. 즉, 법칙은 반복된 관찰의 결과를 증류한 것일 뿐이다.따라서 법률의 적용 가능성은 이미 관찰된 것과 유사한 상황으로 한정되며, 추정할 때 법률은 거짓으로 판명될 수 있다.옴의 법칙은 선형 네트워크에만 적용됩니다; 뉴턴의 만유인력의 법칙은 약한 중력장에만 적용됩니다; 베르누이의 원리와 같은 공기역학의 초기 법칙은 트랜스오닉과 초음속 비행에서 발생하는 압축 흐름의 경우에는 적용되지 않습니다; 훅의 법칙은 탄성 한계 이하의 변형률에만 적용됩니다; 보일의 법칙은 이상적인 가스 등에만 정확하게 적용됩니다.이들 법률은 여전히 유용하지만 적용되는 특정 조건에서만 유효합니다.

많은 법칙이 수학적 형태를 취하기 때문에 방정식으로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 에너지 보존 법칙은 $\Delta E=0$ E $\Delta E=0$ \ $displaystyle$ \ $Delta$ E $=$ 0 으로 $\Delta E=0$ 표기할 수 있습니다. 여기서 $E$ \ $displaystyle$ E는 우주의 $E$ 총 에너지량입니다.마찬가지로 열역학 제1법칙은 d $\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W\,$ $=$ $\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W\,$ Q - $\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W\,$ W { $style \mathrm {d}$ U=\ $delta Q-\delta$ W $\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W\,$ 뉴턴의 제2법칙은 F $=$ { $display$ F=}로 쓸 수 있다. dpddt. 이 과학적 법칙들이 우리의 감각들이 인지하는 것을 설명하지만, 그것들은 여전히 경험적이어서 순수하게 수학에 의해 증명될 수 있는 수학 이론들과는 다르다.

이론과 가설처럼, 법칙은 예측을 한다; 특히, 그들은 새로운 관찰이 주어진 법칙에 부합할 것이라고 예측한다.새로운 데이터와 모순되는 것이 발견되면 법률은 위조될 수 있다.

일부 법률은 다른 일반 법률의 근사치일 뿐이며 적용 범위가 제한된 적절한 근사치입니다.예를 들어, 뉴턴 역학(갈릴레오 변환에 기초함)은 특수 상대성 이론의 저속 한계이다(갈릴레오 변환이 로렌츠 변환에 대한 저속 근사이기 때문이다).마찬가지로, 뉴턴의 중력 법칙은 일반 상대성 이론의 저질량 근사치이고, 쿨롱의 법칙은 (약한 상호작용의 범위에 비해) 먼 거리에서의 양자 전기 역학의 근사치이다.이러한 경우에는 보다 정확한 일반법 대신 보다 단순하고 대략적인 버전의 법률을 사용하는 것이 일반적입니다.

법칙은 과학의 주요 목표 중 하나인 정밀도를 높이기 위해 끊임없이 실험적으로 시험되고 있다.법을 위반하는 것이 관찰된 적이 없다는 사실이 법이 계속 유지되는지, 아니면 위반되는지, 그리고 그 과정에서 발견될 수 있는 것을 확인하기 위해 더 높은 정확도로 또는 새로운 종류의 조건에서 법을 시험하는 것을 막지는 않는다.법이 지켜질 경우 반복 가능한 실험 증거에 의해 무효화되거나 한계가 있다는 것을 증명하는 것은 항상 가능하다.잘 확립된 법률은 일부 특별한 경우 실제로 무효화되었지만, 불일치를 설명하기 위해 만들어진 새로운 공식은 원안을 전복하기 보다는 일반화한다.즉, 무효화된 법칙은 근접한 근사치일 뿐이며, 시간이나 공간의 매우 크거나 매우 작은 규모, 엄청난 속도나 질량 등과 같이 이전에 설명되지 않은 조건을 다루기 위해 다른 용어나 요인을 추가해야 한다.따라서 물리법칙은 변하지 않는 지식이라기보다는 개선되고 보다 정확한 일반화의 연속이라고 볼 수 있다.

특성.

과학적 법칙은 전형적으로 수년간 반복된 과학적 실험과 관찰에 기초한 결론이며 과학계 내에서 보편적으로 받아들여지고 있다.과학적 법칙은 "특정 사실로부터 추론되며, 정의된 그룹이나 현상의 종류에 적용 가능하며, 특정 현상이 특정 조건이 ^[7]존재할 때 항상 발생한다는 진술로 표현될 수 있다."그러한 법칙의 형태로 우리 환경에 대한 요약 기술을 만드는 것이 과학의 기본 목표이다.

과학 법칙의 몇 가지 일반적인 특성, 특히 물리학 법칙을 언급할 때 확인되었습니다.과학적 법칙은 다음과 같습니다.

적어도 그들의 유효기간 내에서는 그렇다.정의상, 반복 가능한 모순된 관찰은 한 번도 없었다.
유니버설그것들은 ^[8]^{: 82}우주의 모든 곳에 적용되는 것처럼 보인다.
간단하죠. 그것들은 일반적으로 하나의 수학 방정식으로 표현됩니다.
물론입니다.우주의 어떤 것도 그들에게 ^[8]^{: 82}영향을 미치지 않는 것 같다.
안정적입니다. 처음 발견된 이후로 변하지 않았습니다(비록 더 정확한 법칙의 근사치인 것으로 나타났을 수도 있지만),
모든 것을 아우르는 것.우주의 모든 것은 명백하게 그것들에 따라야 한다(관측 결과).
대체로 양이 ^[9]^{: 59}적다.
공간과 ^[9]시간의 기존 균질성(대칭성)의 표현인 경우가 많습니다.
시간 자체는 되돌릴 ^[9]수 없지만 일반적으로 이론적으로 시간(양자가 아닌 경우)에 가역적입니다.
넓다. 물리학에서 법칙은 생명계,^[10] 즉 인체의 역학과 같은 우주의 보다 구체적인 시스템보다는 물질, 운동, 에너지, 힘의 넓은 영역을 배타적으로 언급한다.

"과학법"이라는 용어는 전통적으로 자연과학과 관련이 있지만, 사회과학에도 ^[11]법이 포함되어 있다.예를 들어, Zipf의 법칙은 수학 통계에 기초한 사회과학의 법칙이다.이 경우 법은 절대적인 것이 아니라 일반적인 경향이나 예상되는 행동을 기술할 수 있습니다.

자연과학에서, 불가능의 주장은 반박할 수 없을 정도로 입증되었다기보다는 압도적으로 가능성이 높은 것으로 널리 받아들여진다.이러한 강한 수용의 근거는 일어나지 않는 것에 대한 광범위한 증거와 함께, 예측에 매우 성공적이고 논리적으로 어떤 것이 불가능하다는 결론에 이르게 하는 기초적인 이론이 결합되어 있다.자연과학에서 불가능한 주장은 절대 증명될 수 없지만, 하나의 반례를 관찰함으로써 반박될 수 있다.그러한 반례는 불가능을 암시하는 이론의 기초가 되는 가정을 재검토할 것을 요구한다.

물리학에서 널리 받아들여지는 불가능성의 예로는 영구 운동 기계들이 있는데, 이것은 에너지의 보존 법칙을 위반하고, 빛의 속도를 초과합니다, 이것은 양자 역학의 불확실성 원리인 특수 상대성의 의미를 위반합니다, 두 위치 a를 동시에 아는 것의 불가능을 주장합니다.그리고 입자의 운동량과 벨의 정리: 어떤 물리적 이론도 양자 역학의 모든 예측을 재현할 수 없다.

수학적 대칭성의 결과로서의 법칙

일부 법칙은 자연에서 발견된 수학적 대칭을 반영합니다(예: 파울리 배타 원리는 전자의 동일성을 반영하고, 보존 법칙은 공간, 시간의 균질성을 반영하며, 로렌츠 변환은 시공간 회전 대칭을 반영합니다).많은 기본적인 물리 법칙은 공간, 시간 또는 자연의 다른 측면의 다양한 대칭의 수학적 결과입니다.구체적으로, 노에터의 정리는 몇몇 보존 법칙과 특정한 대칭을 연결시킨다.예를 들어, 에너지의 보존은 시간의 이동 대칭의 결과인 반면, 운동량의 보존은 공간의 대칭성의 결과이다(공간 내의 어떤 장소도 특별하지 않거나 다른 어떤 곳과 다를 수 없다).각 기본 유형의 모든 입자(예: 전자 또는 광자)의 구별 불가능성은 디락과 보스 양자 통계로 귀결되며, 이는 페르미온에 대한 파울리 배제 원리와 보손에 대한 보스-아인슈타인 응축으로 귀결된다.시간과 공간 좌표 축 사이의 회전 대칭은 로렌츠 변환을 초래하고, 그 결과 특수 상대성 이론이 탄생합니다.관성 질량과 중력 질량 사이의 대칭은 일반 상대성 이론으로 귀결된다.

질량이 없는 보손에 의해 매개되는 상호작용의 역제곱 법칙은 공간의 3차원성의 수학적 결과이다.

자연의 가장 기본적인 법칙을 찾는 한 가지 전략은 기본 상호작용에 적용될 수 있는 가장 일반적인 수학적 대칭 그룹을 찾는 것입니다.

물리 법칙

보존법

보존과 대칭

보존 법칙은 공간, 시간, 위상, 즉 대칭의 동질성에서 오는 기본 법칙이다.

노에터의 정리:작용에서 연속적으로 미분 가능한 대칭을 갖는 모든 양은 관련된 보존 법칙을 가지고 있다.
질량 보존은 질량을 포함한 대부분의 거시적인 물리적 과정, 예를 들어 거대한 입자나 유체 흐름의 충돌은 질량이 보존된다는 명백한 믿음을 제공하기 때문에 이해된 최초의 법칙이었다.모든 화학 반응에 대해 질량 보존이 참인 것으로 관찰되었다.일반적으로 이것은 단지 근사치일 뿐입니다. 왜냐하면 상대성 이론의 출현과 핵과 입자 물리학에서의 실험: 질량은 에너지로 변환될 수 있고 그 반대도 마찬가지이기 때문입니다. 그래서 질량은 항상 보존되는 것이 아니라 질량 에너지의 보다 일반적인 보존의 일부입니다.
고립된 시스템의 에너지, 운동량 및 각운동량 절약은 시간, 변환 및 회전의 대칭임을 알 수 있습니다.
또한 전하가 생성되거나 파괴되는 것이 관찰되지 않고 이곳저곳으로 이동하는 것만 발견되었기 때문에 전하의 보존이 실현되었다.

연속성과 전송

보존 법칙은 일반 연속성 방정식(보존 수량에 대한)을 사용하여 다음과 같이 미분 형식으로 작성할 수 있습니다.

{\displaystyle\frac\rho}{\displayt}=-\displayla\cdot\mathbf {J}

여기서 θ는 단위 부피당 수량이고, J는 그 양의 플럭스이다(단위 면적당 단위 시간당 수량 변화).직관적으로 벡터장의 발산(θ•로 표시)은 점으로부터 반경방향으로 바깥쪽으로 확산되는 플럭스의 측정치이므로 음수는 한 점에 쌓이는 양이기 때문에 공간 영역의 밀도 변화율은 일부 영역에 남아 있거나 수집되는 플럭스의 양이어야 한다(자세한 내용은 주요 기사 참조).아래 표에서는 플럭스, 수송 중인 다양한 물리량에 대한 흐름 및 관련 연속 방정식을 비교하여 수집합니다.

물리, 보존량	보존수량q	볼륨 밀도 µ (q)	플럭스 J(/q)	방정식
유체역학, 유체	m = 질량(kg)	ρ = 부피질량밀도(kg⁻³ m)	,u, 어디서 u = 유체의 속도장(m⁻¹ s)	$(\displaystyle\frac\rho}{\displayt}=-\displayla\cdot(\rho\mathbf {u})}$
전자기, 전하	q = 전하(C)	ρ = 체적 전하 밀도(C⁻³ m)	J = 전류 밀도(A⁻² m)	${\displaystyle\frac\rho}{\displayt}=-\displayla\cdot\mathbf {J}$
열역학, 에너지	E = 에너지(J)	u = 체적 에너지 밀도(J⁻³ m)	q = 열유속 (W⁻² m)	$(\displaystyle\frac{\display t}=-\displayla \cdot \mathbf {q})$
양자역학, 확률	P = (r, t) = δ³ dr = 확률 분포	ρ = ((r, t) = ψ = 확률밀도함수⁻³(m), δ = 양자계의 파동함수	j = 확률 전류/확률	$(\displaystyle\frac\Psi^{2}}{\display t}=-\displayla\cdot\mathbf {j})$

보다 일반적인 방정식은 대류-확산 방정식과 볼츠만 수송 방정식으로, 연속 방정식에 뿌리를 두고 있습니다.

고전 역학의 법칙

최소 작용의 원리

뉴턴의 법칙, 라그랑주 방정식, 해밀턴의 방정식 등을 포함한 고전 역학은 다음 원리에서 도출할 수 있다.

\displaystyle \mathcal {S}=\delta \int _{t_{1}^{2}L(\mathbf {q}),\mathbf {q},t}dt=0}

${\mathcal {S}}$ 서 S $(\$ 는 ${\mathcal {S}}$ 동작이며, 라그랑지안의 정수입니다.

L(\mathbf {q}),\mathbf {q},t}=T(\mathbf {q},t)-V(\mathbf {q},\mathbf {q},t)

물리적 시스템의 두 배₁ t와₂ t 사이의 값을 구합니다.시스템의 운동 에너지는 T(시스템 구성의 변화율 함수)이고, 위치 에너지는 V(구성 및 그 변화율 함수)입니다.N 자유도를 갖는 시스템의 구성은 일반화 좌표 q = (q₁₂, q_N, ... q)로 정의됩니다.

이러한 좌표 p = (p₁, p₂, ..., p_N)에 공역하는 일반화 모멘타가 존재한다.

(\displaystyle p_{i}=parial frac {\dot {q}_{i}})

액션과 라그랑지안 모두 항상 시스템의 역동성을 담고 있다."경로"라는 용어는 단순히 구성 공간의 일반화 좌표의 관점에서 시스템에 의해 추적된 곡선, 즉 시간에 의해 매개 변수화된 곡선 q(t)를 의미한다(이 개념에 대한 매개변수 방정식 참조).

동작은 라그랑지안에 의존하며, 라그랑지안은 경로 q(t)에 의존하기 때문에 함수가 아닌 함수이기 때문에 동작은 항상 경로의 전체 "모양₂"에 의존합니다(t에서₁ t까지의 시간 간격).2개의 시간 사이에 무한히 많은 경로가 존재하지만, (첫 번째 순서로) 동작이 정지되어 있는 것이 진정한 경로입니다.라그랑지안의 하나의 값만이 아니라 어떤 경로에 대응하는 라그랑지안 값의 전체 연속체에 대한 정지값은 필요하다(즉, 그것은 "함수를 미분하고 그것을 0으로 설정한 다음, 최대값과 최소값의 점 등을 찾기 위해 방정식을 푸는 것"처럼 단순하지 않다), 대신 이 아이디어는 엔티르에 적용된다.함수의 "모양"을 참조하십시오. 이 ^[12]절차에 대한 자세한 내용은 변형 미적분을 참조하십시오.)

주의: L은 총합이 아니라 차이에 따른 시스템의 총 에너지E가 아닙니다.

E=T+V

고전 역학에 대한 다음의 일반적인 접근법은 확립 순서에^[13]^[14] 따라 요약된다.그것들은 동등한 제제이다.뉴턴의 것은 단순함 때문에 흔히 쓰이지만, 해밀턴과 라그랑주의 방정식은 더 일반적이고, 그들의 범위는 적절한 수정으로 물리학의 다른 분야로 확장될 수 있습니다.

운동의 법칙
최소 동작의 원칙: ${{displaystyle {S}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L,\mathrm {d} t,\!}$
오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다. ${\mathrm {d} {\mathrm {d} t} {\left} {\flac L} {\partial {q} _ {i}} = frac {\partial q_{i}}}$ 일반화 운동량의 정의를 사용하면 다음과 같은 대칭성이 있습니다. ${displaystyle p_{i}=partial {dot {q}_{i}}=partial {q}_{i}}}$	해밀턴 방정식 $(\displaystyle\mathbf {p}{\dfrac t}=-{\dfrac H}{\partial \mathbf {q}})$ $(\displaystyle\dfrac{\mathbf {q}{\displayt}}=dfrac{\partial\mathbf {p}})$ 일반화 좌표와 모멘타의 함수로서의 해밀턴의 일반적인 형태는 다음과 같다. $\displaystyle H(\mathbf {q}),\mathbf {p},t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} - L$
	해밀턴-야코비 방정식 $H\left(\mathbf {q}), {\frac {\partial \mathbf {q}}, t\right}=-{\frac {\frac S}{\partial t}}}$
뉴턴의 법칙 뉴턴의 운동 법칙 그것들은 상대성 이론의 하한 해법이다.뉴턴 역학의 대체 공식은 라그랑지안과 해밀턴 역학이다. 법칙은 두 개의 방정식으로 요약할 수 있습니다(첫 번째 방정식은 두 번째 가속의 특수한 경우이므로 결과 가속도가 0입니다). $\mathbf {F} = flac {mathrm {d} \mathbf {p} {\mathbf {F},\displaystyle \mathbf {F} _{ij} =-\mathbf {F$ 여기서 p = 물체의 운동량, F_ij = 물체 j에 의한 물체 i에 대한 힘_ji, F = 물체 i에 의한 물체 j에 대한 힘. 동적 시스템의 경우 두 방정식이 하나로 결합됩니다(효과적으로 하나로 결합됩니다. ${\displaystyle {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{\mathrm {i} \neq \mathbf {F} _{F} \mathbf {F} \mathrm {F} } 、$ 여기서_E F = 결과 외부력(시스템의 일부가 아닌 모든 물질로 인한)본문 I은 스스로 힘을 가하지 않는다.

위에서부터 고전역학의 운동방정식을 도출할 수 있다.

역학의 결과

유체 역학의 결과

다양한 상황에서 유체 흐름을 설명하는 방정식은 위의 고전적인 운동 방정식과 종종 질량, 에너지 및 운동량의 보존을 사용하여 도출할 수 있습니다.몇 가지 기본적인 예를 다음에 제시하겠습니다.

중력과 상대성의 법칙

더 유명한 자연의 법칙들 중 일부는 아이작 뉴턴의 고전 역학의 이론과 그의 자연 원리 수학 이론과 알버트 아인슈타인의 상대성 이론에서 발견됩니다.

근대법

특수상대성이론

특수상대성이론의 두 가설은 그 자체로 "법칙"이 아니라 상대운동의 관점에서 그 성질의 가정이다.

그것들은 "물리 법칙은 모든 관성 프레임에서 동일하다"와 "빛의 속도는 일정하고 모든 관성 프레임에서 같은 값을 가진다"로 언급될 수 있다.

위의 가설은 로렌츠 변환으로 이어집니다. 즉, 서로 상대적으로 움직이는 두 기준 프레임 사이의 변환 법칙입니다.임의의 4-벡터

(\displaystyle A'=\Lambda A)

이것은 고전 역학의 갈릴레오 변환 법칙을 대체한다.로렌츠 변환은 빛의 속도 c보다 훨씬 낮은 속도의 갈릴레오 변환으로 감소합니다.

4-벡터의 크기는 "보존"된 것이 아니라 모든 관성 프레임(즉, 관성 프레임의 모든 관측자가 동일한 값에 동의함)에 대해 불변량이다. 특히 A가 4모멘텀일 경우, 그 크기는 질량 에너지 및 운동량 보존에 대한 유명한 불변량 방정식을 도출할 수 있다(불변량 질량 참조).

E^{2}=(pc)^2}+(mc^{2})^{2}

(더 유명한) 질량 에너지 등가 E = mc가² 특수한 경우이다.

일반상대성이론

일반상대성이론은 중력장과 동등한 질량 에너지로 인한 시공간 곡률을 설명하는 아인슈타인 장 방정식에 의해 지배된다.질량 분포로 인해 뒤틀린 공간의 기하학에 대한 방정식을 풀면 미터법 텐서를 얻을 수 있다.측지방정식을 사용하여 측지방정식을 따라 떨어지는 질량의 운동을 계산할 수 있습니다.

중력자기학

약한 중력장으로 인해 상대적으로 평평한 시공간에서, 맥스웰 방정식의 중력 유사물인 GEM 방정식을 찾을 수 있다.그들은 이론에 의해 잘 확립되었고, 실험 테스트는 진행 중인 ^[15]연구를 형성한다.

아인슈타인 필드 방정식(EFE): $R_{\mu \nu }+\left(\Lambda - {\frac {R}{2}}\right)g_{\mu \nu }=gblac {8\pi G}{c^{4}}}}T_{\mu \nu },\!$ 여기서 δ = 우주 상수, R_μν = 리치 곡률 텐서, T_μν = 스트레스-에너지 텐서, g_μν = 메트릭 텐서	측지선 방정식: ${{displaystyle {\rm {d}^{\rm {d}}x^{\rm {d}}x^{2}}+\Gamma _{\rm \nu }{\rm {d}}x^{\m {d}}}}{\frac {\rm {d}}}}}{\rm {\rm {\rm {\rm}}}}}}}}}}}{{{{{{\nu}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\Gam$ 여기서 δ는 두 번째 종류의 크리스토펠 기호로 메트릭을 포함합니다.
GEM 방정식 중력장 g와 중력장 H의 경우, 이러한 한계의 해는 다음과 같습니다. $\displaystyle \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho \,\!}$

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