계산적으로 열거할 수 있음

계산가능성 이론에서 자연수의 집합 S는 다음과 같은 경우 계산적으로 열거할 수 있는(예: 계산적으로 열거할 수 있는), 반복적으로 열거할 수 있는(예:), 반간격, 부분적으로 해독할 수 있는(decificable), 나열할 수 있는(listable), 입증 가능한(voable) 또는 튜링-인식 가능한(Turing-reasible)이라고 한다.

알고리즘이 정지하는 입력 번호의 집합이 정확히 S인 알고리즘이 있다.

아니면, 동등하게

S의 멤버를 열거하는 알고리즘이 있다. 즉, 그것의 출력은 S: s₁, s₂, s₃, s, ...의 모든 구성원의 목록일 뿐이라는 것을 의미한다. S가 무한하면 이 알고리즘은 영원히 실행될 것이다.

첫 번째 조건은 왜 세미디렉터블이라는 용어가 때때로 사용되는지를 암시한다. 보다 정확히 말하면, 집합에 번호가 있을 경우 알고리즘을 실행하여 이것을 결정할 수 있지만, 집합에 숫자가 없을 경우 알고리즘은 영원히 실행되며, 정보는 반환되지 않는다. "완전히 해독 가능한" 세트는 계산 가능한 세트다. 두 번째 조건은 계산적으로 열거할 수 있는 것이 사용되는 이유를 제시한다. 줄임말(c.e.), r.는 전체 구문 대신 인쇄물에서도 자주 사용된다.

계산 복잡성 이론에서 계산적으로 열거할 수 있는 모든 집합을 포함하는 복잡성 클래스는 RE이다. 재귀이론에서 포함 중인 예: 집합의 ${\mathcal {E}}$ 는 E ${\$ 로 표시된다 ${\mathcal {E}}$

형식 정의

자연수의 집합 S는 정확히 S인 부분 계산 가능한 함수가 있는 경우 계산적으로 열거할 수 있는 것으로, 즉 그 함수가 S의 멤버일 경우에만 정의된다는 것을 의미한다.

등가제식

다음은 자연수 S 집합의 모든 등가 특성이다.

반신호도:

세트 S는 계산적으로 열거할 수 있다. 즉, S는 부분 계산 가능한 함수의 영역(공동 범위)이다.
S 세트는 $\Sigma _{1}^{0}$ $\Sigma _{1}^{0}$ $\Sigma _{1}^{0}$ ${\$ 산술적 계층 구조 참조).^[1]
다음과 같은 부분 계산 가능한 함수가 있다. $f(x)={\begin{case}1&{\mbox{if}\x\in S\mbox{undefined/stop하지 않음}}\&{\mbox{if}\x\notin S\end{case}}}}}}}$

열거 가능성:

설정된 S는 부분 계산 가능한 함수의 범위다.
설정된 S는 총 계산 가능한 함수의 범위 또는 비어 있다. S가 무한하면, 그 기능을 주사하는 것으로 선택할 수 있다.
설정된 S는 원시 재귀함수의 범위 또는 비어 있다. S가 무한하더라도 이 경우 값의 반복이 필요할 수 있다.

디오판틴:

다항식 p와 정수계수와 변수 x, a, b, c, d, e, f, g, h, i가 자연수에 걸쳐 다음과 같은 범위를 가진다. $\displaystyle x\in S\Leftrightarrow \exists a,b,c,c,d,e,f,g,h,i\ (p,x,a,b,c,d,e,f,g,h,i)=0).}$ (이 정의에서 경계 변수의 수는 지금까지 가장 잘 알려져 있다. 모든 디오판틴 집합을 정의하는 데 더 낮은 숫자를 사용할 수 있다.)
정수에서 정수까지의 다항식이 있어서 집합 S는 그 범위에서 음수가 아닌 숫자를 정확히 포함하고 있다.

반정확성과 열거성의 등가성은 도브테일링 기법으로 얻을 수 있다.

첫 번째 정의처럼 간단하거나 직관적이지는 않지만 계산적으로 열거할 수 있는 집합의 디오판틴 특성화는 힐베르트의 열 번째 문제에 대한 부정적인 해결책의 일부로 유리 마티야세비치에 의해 발견되었다. 디오판틴은 선행 재귀 이론을 설정하며 따라서 역사적으로 이 집합을 설명하는 첫 번째 방법이다(이 동등성은 계산적으로 열거된 집합의 도입 후 30년 이상 후에만 언급되었음에도 불구하고).

고정 입력에서 정지하는 모든 튜링 기계 세트의 계산 가능한 열거: 표시된 대각화 스케줄링을 사용하여 모든 튜링 기계(수평 축에 포함)를 단계별로 시뮬레이션하십시오. 기계가 종료되면 번호를 인쇄하십시오. 이렇게 해서 각 종단기기의 번호는 결국 인쇄된다. 이 예에서 알고리즘은 "9, 13, 4, 15, 12, 18, 6, 2, 8, 0, ...을 출력한다."

예

계산 가능한 모든 집합은 계산적으로 열거되지만 계산적으로 열거된 집합이 모두 계산 가능한 것은 아니다. 계산 가능한 세트의 경우, 알고리즘은 입력이 세트에 없는 경우에도 말해야 하며, 이는 계산적으로 열거할 수 있는 세트에는 필요하지 않다.
반복적으로 열거되는 언어는 형식 언어의 계산적으로 열거할 수 있는 부분집합이다.
효과적으로 제시된 자명 시스템에서 모든 증명 가능한 문장 집합은 계산적으로 열거할 수 있는 집합이다.
마티야세비치의 정리에는 계산적으로 열거할 수 있는 모든 집합이 디오판틴 집합(그 반대는 사소한 사실)이라고 되어 있다.
단순 집합은 계산적으로 열거되지만 계산은 불가능하다.
그 창조적인 집합은 계산적으로 열거되지만 계산은 불가능하다.
어떤 생산적인 집합도 계산적으로 열거할 수 없다.
Given a Gödel numbering $\phi$ of the computable functions, the set $\{\langle i,x\rangle \mid \phi _{i}(x)\downarrow \}$ (where $\langle i,x\rangle$ is the Cantor pairing function and ${\displaystyle \phi _{i}(x)\dow$ $좁은 }$ 은 $\phi _{i}(x)$ $\phi _{i}(x)$ ( $\phi _{i}(x)$ ) $\phi _{i}(x)$ 이 $\phi _{i}(x)$ (가) 계산적으로 열거됨(고정 x의 cf. 그림)을 나타낸다 $\phi _{i}(x)\downarrow$ . 이 세트는 각 튜링 기계가 정지하는 입력 파라미터를 설명하듯이 정지 문제를 인코딩한다.
Gödel 번호 매기기 $\phi$ 연산 $\phi$ 가능한 함수를 지정하면 $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ 세트 $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ , $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ , $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ ( $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ ) $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ = $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ } ${\displaystyle \{\langle$ x $,y,$ z\right $\rangele \mid \pi _{x}=y=z\}}}$ 은 계산적으로 열거된다 $\{\left\langle x,y,z\right\rangle \mid \phi _{x}(y)=z\}$ . 이 집합은 함수 값 결정 문제를 암호화한다.
자연수에서 자연수까지 부분함수 f가 주어진다면, f(x)는 f(x)가 정의된 것과 같은 $\langle x,f(x)\rangle$ 모든 쌍의 그래프인 f $\langle x,f(x)\rangle$ x , f( $⟩,$ $\langle x,f(x)\rangle$ (x)\ $displaystyle x,f(x)\rangele }$ 가 계산적으로 열거될 경우에만 부분 연산 가능한 함수다.

특성.

A와 B가 계산적으로 열거할 수 있는 집합인 경우, A ∩ B, A b B 및 A × B (캔터 페어링 함수로 단일 자연 번호로 매핑된 순서 쌍의 자연 번호)는 계산적으로 열거할 수 있는 집합이다. 부분 계산 가능한 함수에 따라 계산적으로 열거할 수 있는 집합의 사전 이미지는 계산적으로 열거할 수 있는 집합이다.

세트 $T$ $T$ 은 $T$ (는) 보완 $\mathbb {N} \setminus T$ $\mathbb {N} \setminus T$ $\mathbb {N} \setminus T$ $\mathb {N} \setminus T$ 이(가) 계산적으로 열거될 $\mathbb {N} \setminus T$ 경우 co-cuituous 또는 co-c라고 한다. 동등하게, 세트가 산술적 계층 구조에서 $\Pi _{1}^{0}$ $\Pi _{1}^{0}$ 0 $\Pi _{1}^{0}$ [\ $displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ 수준일 경우에만 동일하다. 계산적으로 셀 수 있는 집합의 복잡도 등급은 co-RE로 표시된다.

A 집합은 A와 A의 보수가 모두 계산적으로 열거된 경우에만 계산할 수 있다.

계산적으로 열거할 수 있는 집합의 일부 쌍은 효과적으로 분리할 수 있고 일부는 분리할 수 없다.

언급

Church-Turing 논문에 따르면, 효과적으로 계산할 수 있는 기능은 Turing 기계에 의해 계산 가능하며, 따라서 S를 열거하는 알고리즘이 있는 경우에만 S 집합이 계산적으로 열거된다. 그러나 Church-Turing 논문은 형식적인 공리보다는 비공식적인 추측이기 때문에 이것은 형식적인 정의로 받아들일 수 없다.

계산 가능한 총 함수의 범위가 아닌 부분 함수의 영역으로 계산적으로 열거할 수 있는 세트의 정의는 현대 문헌에서 흔히 볼 수 있다. 이러한 선택은 α-재귀 이론과 같이 일반화된 재귀 이론에서 도메인에 해당하는 정의가 보다 자연적인 것으로 밝혀졌기 때문에 동기를 부여한다. 다른 텍스트는 계산적으로 열거된 집합에 해당하는 열거형 측면에서 정의를 사용한다.

참고 항목

참조

^ Downey, Rodney G.; Hirschfeldt, Denis R. (29 October 2010). Algorithmic Randomness and Complexity. Springer Science & Business Media. p. 23. ISBN 978-0-387-68441-3.

로저스, H. MIT 출판사의 재귀적 기능과 유효 계산가능성 이론. ISBN 0-262-68052-1; ISBN 0-07-053522-1.
Soare, R. 반복적으로 셀 수 있는 세트와 도. 수학 논리의 관점. 1987년 베를린 스프링거-베를라크 ISBN 3-540-15299-7.
소어, 로버트 1세 반복적으로 셀 수 있는 세트와 도. 황소. 아머. 수학. Soc. 84 (1978), 6, 1149–1181.

[1] Downey, Rodney G.; Hirschfeldt, Denis R. (29 October 2010). Algorithmic Randomness and Complexity. Springer Science & Business Media. p. 23. ISBN 978-0-387-68441-3.

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