미터법 텐서(일반상대성이론)

일반 상대성 이론에서, 미터법 텐서(이 문맥에서 종종 단순히 미터법으로 축약됨)는 연구의 기본 대상이다.그것은 대략 뉴턴 ^{[clarification needed]}중력의 일반화로 생각될 수 있다.측정 기준은 시간, 거리, 부피, 곡률, 각도, 미래와 과거의 분리 등의 개념을 정의하는 데 사용되는 모든 기하학적 및 인과적 구조를 포착합니다.

표기법 및 표기법

이 문서에서는 대부분 플러스 $(++)$ 인 메트릭 서명을 사용합니다. 부호 규칙을 참조하십시오.중력 $상수$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 는 $G$ 명시적으로 유지됩니다.이 기사는 반복된 지수를 자동으로 합산하는 아인슈타인 합산 규칙을 사용한다.

정의.

수학적으로, 시공간은 4차원 미분 $M$ 한 다양체M(\ $displaystyle$ M $)$ 으로 $M$ $나타내며$ , 메트릭 텐서는M $(\displaystyle$ M $g$ 에 $공변량$ 2도 대칭 텐서로 주어진다. 또한 메트릭은 서명과 함께축퇴되지 않아야 한다(\ $displaystyle$ g $)$ $-$ + + $+)$ 이러한 메트릭을 갖춘 $매니폴드$ M(\ $displaystyle$ M $)$ 은 $M$ 로렌츠식 매니폴드의 일종이다.

명시적으로 미터법 텐서는 $M$ 의 각 접선 공간(\ $displaystyle$ M $)$ 에서 $M$ 점마다 매끄러운(또는 미분 가능한) 방식으로 변화하는 대칭 쌍선형 형태이다. $M의$ 점 $x$ {\ $displaystyle$ m $M$ 에 $x$ 접선 $벡터$ u ${\$ $displaystyle$ v $}$ 와 $u$ $v$ v {\ $displaystyle$ v}가 2개 있을 경우 메트릭은u {\ $displaystyle$ u}와 $u$ v {\ $displaystyle$ v $}$ 에서 $v$ $u$ 되어 실수가 됩니다.

\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R}

이것은 일반적인 유클리드 공간의 점곱의 일반화이다.유클리드 공간과는 달리, 도트곱이 양의 확정인 경우, 메트릭은 무한하며 각 탄젠트 공간에 민코프스키 공간의 구조를 부여한다.

로컬 좌표 및 매트릭스 표현

물리학자들은 보통 로컬 좌표(즉 $,$ $M$ 의 일부 로컬 패치에 정의된 좌표 $)$ 에서 작업합니다. $x^{\mu }$ $x^{\mu }$ x $x^{\mu }$ μ {\ $displaystyle$ x $^{\mu}}($ $\mu$ 서 $μ$ {\displaystyle $\mu}$ 는 $\mu$ 0부터 3까지 이어지는 인덱스)에서 메트릭은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

g=g_{\mu \nu }squal^{\mu }\otimes dx^{\nu }

dx^{\mu }

d

dx^{\mu }

μ(\

displaystyle

dx

^{\mu})

는

dx^{\mu }

스칼라 좌표

x^{\mu }

x^{\mu }

μ(\

displaystyle

x

^{\mu

의 1폼그레이드입니다.따라서 측정지표는 좌표의 단일 형태 구배의 텐서 곱의 선형 조합이다.

g_{\mu \nu }

g_{\mu \nu }

g_{\mu \nu }

†

{\

displaystyle

g_{\mu \nu

}}은

g_{\mu \nu }

(는

g

)

시공간 매니폴드의 모든 포인트에서 정의되는 텐서 필드이므로) 16개의 실수값 함수 집합입니다.메트릭이 대칭이 되기 위해서는

\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }

10개의 독립 계수를 제공합니다.

로컬 좌표를 지정하거나 컨텍스트에서 이해하는 경우 메트릭은 g $g_{\mu \nu }$ ${\$ \ $displaystyle g_{\mu \nu$ $g_{\mu \nu }$ 를 가진 4 × $4$ 대칭 매트릭스로 쓸 수 있습니다. $g_{\mu \nu }$ μ $g_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle g_{\mu \nu}}$ 의 $g_{{\mu \nu }}$ 비특이성은 이 행렬이 비단수적(즉, 소멸하지 않는 결정인자)임을 의미하며 $,$ g {\ $displaystyle$ g $}$ 의 $g$ 로렌츠 시그니처는 행렬에 하나의 음의 고유값과 3개의 양의 고유값이 있음을 의미합니다.물리학자들은 종종 이 매트릭스 또는 $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ μ $g_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle g_{\mu \nu$ }} 자체를 $g_{\mu \nu }$ 메트릭이라고 부릅니다(단, 추상 지수 표기 참조).

양 $dx^{\mu }$ $dx^{\mu }$ μ {\ $displaystyle$ dx $^{\mu}}$ 은 $dx^{\mu }$ (위의 같은 표기법의 1가지 형식과 혼동하지 말 것) 무한소 좌표 변위 4벡터의 성분으로 간주되므로 메트릭은 종종 간격이라고 불리는 무한소 선 요소의 불변 제곱을 결정합니다.간격은 종종 표시됩니다.

ds^{2}=g_{\mu \nu }display^{\mu }display^{\nu }

$ds^{2}$ $ds^{2}$ s $({$ ds $^{2})$ 는 $ds^{2}$ 시공간 인과구조에 대한 정보를 제공합니다. $ds^{2}<0$ $ds^{2}<0$ $ds^{2}$ $ds^{2}<0$ < $ds^{2}<0$ \ $displaystyle$ ds $ds^{2}$ $^$ { $ds^{2}$ $0$ 인 $ds^{2}$ 경우 간격은 timelike이며 $ds^{2}$ s $2의$ 절대값의 제곱근은 적절한 증분 시간입니다.거대한 물체에 의해 물리적으로 통과할 수 있는 것은 시간적인 간격뿐입니다. $ds^{2}=0$ s $ds^{2}=0$ $=$ {\ $style ds^{2$ }= $0$ 일 때 간격은 빛과 같으며 빛의 속도로 움직이는 (질량이 없는) 물체만 통과할 수 있습니다. $ds^{2}>0$ s $ds^{2}>0$ > $ds^{2}>0$ {\ $displaystyle$ $ds$ $^{$ 2} $ds^{2}$ > $0$ 의 $ds^{2}$ $ds^{2}>0$ 간격은 공백이며 d $ds^{2}$ 의 $ds^{2}$ 은 $증분$ 적정 길이로서 기능합니다.공간 간격은 서로의 광원뿔 외부에 있는 이벤트를 연결하기 때문에 통과할 수 없습니다.사건들은 서로의 광원뿔 안에 있는 경우에만 인과관계가 있을 수 있다.

측정지표의 구성요소는 지역 좌표계의 선택에 따라 달라집니다. $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ μ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ μ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ （ \ $displaystyle$ x^ { \ $mu$ } \ ） x^ x^ { \ $bar$ { \ $mu }$ $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$ x change change of of of of of compon under compon under compon under under under under under underents under under

g_{\bar {\mu }}=par frac {\mu }}{\frac {\par x^{\mu }}}{\frac {\par x^{\far }}}{\par x^{\rho }}}}{\frac x^{\lambda }}}{\lambda } {\r}

특성.

메트릭 텐서는 지수 조작에 핵심적인 역할을 한다.지수 표기법에서 메트릭 $\mathbf {g}$ 의 $\mathbf {g}$ $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ {\ {\ $displaystyle$ $g_{\mu$ $\nu$ $}}$ 는 $g_{\mu \nu }$ 다른 텐서의 공변 성분과 반변 성분 간의 연결을 제공한다.공변 메트릭 텐서 계수 중 하나로 텐서의 역변 지수를 수축하면 지수를 낮추는 효과가 있다.

g_{\mu\nu}A^{\nu}=A_{\mu}

마찬가지로 반변치 측정계수는 지수를 상승시킨다.

g^{\mu\nu}A_{\nu}=A^{\mu}

지수를 올리고 내리는 이 속성을 메트릭 텐서 구성요소에 적용하는 것 자체가 속성으로 이어진다.

g_{\mu \nu }g^{\nu \nu \nu displayda }=\display_{\mu }^{\nu displayda }

대각선 메트릭(

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

ν

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

≠ {\

{\

\

displaystyle g_{\mu \nu

}

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

0,\forall \mu \neq \nu

g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu

; 즉, 기저 벡터가 서로 직교하는 메트릭 텐서의 공변 계수가 대응하는 00의 역수(

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

)임을

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

한다

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

-

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

,

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

=

(

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

) -

g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}

({

displaystyle g_{00

}=(

g^{00})^{-1}, g_{11

}=(

g^{11})^{-1

등

예

평탄한 시공간

로렌츠 다양체의 가장 단순한 예는 평면 시공간으로 $(t,x,y,z)$ 좌표 ( $(t,x,y,z)$ , $(t,x,y,z)$ , $(t,x,y,z)$ , $(t,x,y,z)$ ) { $style ( t$ , $x$ , $y$ , $z$ ) } 및 $(t,x,y,z)$ 메트릭을 R로 $지정$ 할⁴ 수 있습니다.

\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }display^{\mu }display ^{\nu }}displaystyle ^{\nu }}.}

이 좌표는 실제로 모든

R

을⁴ 포함한다는 점에 유의하십시오.평면공간측정법(또는 민코프스키측정법)은 종종 기호

θ

로 나타나며 특수상대성이론에 사용되는 측정법이다.위의 좌표에서

θ

의 행렬 표현은

\displaystyle \eta = pmatrix {2} - c^{2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ end { pmatrix }

(대체 규칙에서는

좌표

t

\displaystyle

t를

t

\displaystyle

ct로 대체하고 민코프스키 공간 standard 표준 기준과

\eta

{\\displaystyle \eta

를 정의합니다

\eta

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목차

표기법 및 표기법

정의.

로컬 좌표 및 매트릭스 표현

특성.

예

평탄한 시공간