민코프스키 공간

헤르만 민코프스키 (1864–1909)는 그의 이전 제자 알버트 아인슈타인에 의해 소개된 특수 상대성 이론이 민코프스키 시공간으로 알려진 이후 4차원 공간으로 가장 잘 이해될 수 있다는 것을 발견했다.

수학 물리학에서, 민코프스키 공간(Minkowski space)^[1]은 3차원 유클리드 공간과 시간의 조합으로, 두 사건 사이의 시공간 간격이 그것들이 기록되는 기준의 관성 프레임으로부터 독립적이다.맥스웰의 전자기 방정식을 위해 수학자 헤르만 민코프스키에 의해 처음 개발되었지만, 민코프스키 시공간 수학 구조는 특수 상대성 ^[2]이론의 가설에 의해 암시되는 것으로 나타났다.

민코프스키 공간은 아인슈타인의 특수상대성이론과 일반상대성이론과 밀접하게 연관되어 있으며 특수상대성이론이 공식화된 가장 일반적인 수학적 구조이다.유클리드 시공간에서 개별 구성요소는 길이 수축과 시간 확장에 따라 다를 수 있지만, 민코프스키 시공간에서 모든 기준 프레임은 ^{[nb 1]}사건 사이의 시공간에서 총 거리에 일치할 것이다.3차원 공간 차원과는 다르게 시간을 다루기 때문에 민코프스키 공간은 4차원 유클리드 공간과 다르다.

3차원 유클리드 공간(예를 들어, 단순히 갈릴레오 상대성 이론의 공간)에서, 등각군(정규 유클리드 거리를 보존하는 지도)은 유클리드 군이다.회전, 반사, 번역에 의해 생성됩니다.시간이 4차원으로 추가될 때, 시간에서의 변환과 갈릴레이의 부스트의 추가 변환이 추가되고, 이 모든 변환의 그룹을 갈릴레이 그룹이라고 합니다.모든 갈릴레이 변환은 3차원 유클리드 거리를 보존합니다.이 거리는 순수하게 공간적이다.시차도 별도로 보존됩니다.시공간이 뒤섞여있는 특수상대성이론의 시공간이 변화한다.

시공간은 ^{[nb 2]}문맥에 따라 ^[3]민코프스키 메트릭, 민코프스키 노름 제곱 또는 민코프스키 내부 곱으로 다양하게 불리는 무한 비퇴화 이중선형 형태를 갖추고 있다.민코프스키 내부곱은 두 사건의 좌표 차이 벡터가 ^[4]인수로 주어졌을 때 두 사건 사이의 시공간 간격을 산출하도록 정의된다.이 내적물을 갖춘 시공간 수학적 모델을 민코프스키 공간이라고 한다.민코프스키 공간에 대한 갈릴레오 군의 유사체는 (공간 유클리드 거리에 대한) 시공간 간격을 보존하는 푸앵카레 군이다.

다양체로서 갈릴레오 시공간과 민코프스키 시공간은 동일하다.그들은 어떤 추가 구조가 그들에게 정의되어 있는지에 따라 다르다.전자는 갈릴레오 변환에 의해 좌표가 관련되는 관성 프레임과 함께 유클리드 거리 함수와 시간 간격(별도)을 가지며, 후자는 푸앵카레 변환에 의해 좌표가 관련되는 관성 프레임과 함께 민코프스키 메트릭을 가진다.

역사

복소 민코프스키 시공간

앙리 푸앵카레는^[5] 1905-06년 그의 두 번째 상대성 이론 논문에서 어떻게 시간을 들여 가상의 네 번째 시공간 $좌표$ ICT가 되는지 보여주었습니다. $여기$ 서 c는 빛의 $속도$ 이고 i는 가상의 단위입니다. 로렌츠 변환은 4차원 유클리드 구의 일반적인 회전으로 시각화 될 수 있습니다.

({displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}=text{const}}).}

Poincaré는 편의상 c = $1$ 로 $설정$ 했다.두 개의 공간 단위 벡터에 의해 확장된 평면에서의 회전은 유클리드 회전으로 물리적 공간뿐만 아니라 좌표 공간에서도 나타나고 일반적인 의미로 해석됩니다.공간 단위 벡터와 시간 단위 벡터에 의해 확장된 평면에서의 "회전"은 공식적으로는 좌표 공간에서 여전히 회전하는 동안 실제 관성 좌표를 가진 물리적 시공간에서의 로렌츠 부스트입니다.유클리드 회전과의 유추는 구의 반경이 실제로는 쌍곡선 공간에서 회전을 회전으로 바꾸는 상상의 것이기 때문에 부분적인 것에 불과하다(쌍곡선 회전 참조).

Poincaré에 의해 아주 잠깐 언급되었던 이 아이디어는 민코프스키에 의해 1908년 "이동하는 ^[6]물체의 전자기 과정을 위한 기초 방정식"이라고 불리는 광범위하고 영향력 있는 독일어로 된 논문에서 매우 상세하게 설명되었습니다.민코프스키는 이 공식을 사용하여 당시 아인슈타인의 상대성 이론을 재작성했다.특히, 맥스웰 방정식을 전자기량에 대한 재정의된 벡터 변수와 결합된 4개의 $변수 (x,$ $y,$ $z$ , ict $)$ 의 대칭 방정식으로 재작성함으로써, 그는 로렌츠 변환 하에서 직접적이고 매우 단순하게 그들의 불변성을 보여줄 수 있었다.그는 또한 다른 중요한 공헌을 했고 이 맥락에서 처음으로 행렬 표기법을 사용했다.그의 개혁으로부터 그는 시간과 공간이 동등하게 다루어져야 한다고 결론지었고, 그래서 통합된 4차원 시공간 연속체에서 일어나는 사건에 대한 그의 개념이 생겨났다.

실수 민코프스키 시공간

1908년 그의 "시공간" ^[7]강의에서, 민코프스키는 4차원 실벡터 공간에서 공간과 시간의 네 변수 ( $x,$ $y,$ $z,$ $t)$ 를 좌표 형태로 나타내는 가상의 좌표 대신 실시간 좌표를 사용한 이 아이디어의 대안적 공식을 제시했다.이 공간의 점은 시공간에서의 사건에 해당합니다.이 공간에서는 각 점과 관련된 정의된 광원뿔이 존재하며 광원뿔이 아닌 이벤트는 정점과의 관계에 따라 공간적 또는 시간적 관계로 분류된다.비록 상상의 시간을 포함하는 오래된 관점이 특수 상대성 이론에도 영향을 미쳤지만, 오늘날 시공간을 바라보는 관점은 주로 이 관점이다.

민코프스키의 논문의 영어 번역에서는 아래에 정의된 민코프스키 메트릭을 선 요소라고 한다.아래의 민코프스키 내부곱은 특정 벡터의 직교성(정규성이라고 함)을 참조할 때 이름이 없는 것으로 보이며, 민코프스키 노름 제곱은 (어느 정도 수수께끼로, 아마도 이것은 번역에 의존함) "sum"으로 참조된다.

민코프스키의 주요 도구는 민코프스키 다이어그램이며, 그는 개념을 정의하고 로렌츠 변환의 특성(예: 적절한 시간과 길이 수축)을 입증하고 상대론적 역학에 대한 뉴턴 역학의 일반화에 기하학적 해석을 제공하기 위해 사용합니다.이러한 특별한 주제에 대해서는, 아래의 프레젠테이션은 주로 시공간 다양체의 시공간 간격의 불변성에 따른 수학적 구조(Minkowski 메트릭 및 시공간 대칭 그룹으로서 도출된 양 및 Poincaré 그룹)로 제한될 것이기 때문에 참조된 기사를 참조하십시오.시공간 간격의 불변성 유도가 아닌 특수 상대성 이론의 공식.이 구조는 곡선 시공간이 국소적으로 로렌츠인 것처럼 평평한 민코프스키 시공간이 여전히 도약대를 제공하는 일반 상대성 이론을 제외하고, 현재의 모든 상대성 이론의 배경 설정을 제공한다.

민코프스키는 그가 만든 이론의 근본적인 재진술을 알고 말했다.

실험물리학의 토양에서 우러나온 시공간관들, 그리고 그 안에 그들의 힘이 있다.그들은 급진적이다.앞으로 공간은 그 자체로, 시간은 그 자체로 그림자로 사라지게 되어 있으며, 둘의 일종의 결합만이 독립적인 현실을 보존할 것이다.
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민코프스키는 물리학의 중요한 발걸음을 내디뎠지만, 알버트 아인슈타인은 그 한계를 알게 되었다.

민코프스키가 유클리드 3공간을 시간을 포함한 준유클리드 4공간으로 확장함으로써 특수 상대성 이론의 기하학적 해석을 제공하던 시기에 아인슈타인은 이미 이것이 유효하지 않다는 것을 알고 있었다. 왜냐하면 그것은 중력의 현상을 배제하기 때문이다.그는 여전히 곡선 좌표와 리만 기하학의 연구와는 거리가 멀었고, 무거운 수학 기구가 수반되었다.^[8]

자세한 역사 정보는 참조 자료인 Galison(1979), Corry(1997) 및 Walter(1999)를 참조한다.

원인 구조

4개의 분리된 집합의 사건에 대한 민코프스키 시공간 세분화.광원추, 절대적인 미래, 절대적인 과거 등등.이 용어는 Sard(1970)에서 유래했다.

3차원 공간 어디에 v는 속도, y, z은 데카르트 좌표, c는 보편적인 제한 속도를 나타내는 상수입니다, t은 시간, 4차원 벡터 v=(ct, x, y, z))(ct, r)c2t2− r2의 부호에 따라 분류된다.만약c2t2한 벡터, r2, 만약c2t2<>spacelike, r2, null또는c2t2=lightliketimelike 있다. $r 2$ . 이는 $서명$ 에 따라 $v ($ v, v) 기호로도 표현할 수 있다.벡터의 분류는 구간의 불변성 때문에 로렌츠 변환(원점이 변위될 수 있기 때문에 일반적인 푸앵카레 변환은 아니다)에 의해 관련되는 모든 기준 프레임에서 동일할 것이다.

민코프스키 공간의 사건에서^{[nb 3]} 모든 늘 벡터의 집합은 그 사건의 광원뿔을 구성한다.시간 같은 $벡터$ v가 주어졌을 때, 민코프스키 다이어그램에서 직선으로 표현되는 그것과 관련된 등속도의 세계선이 있다.

시간 방향이 ^{[nb 4]}선택되면 시간 벡터와 늘 벡터를 다양한 클래스로 더 분해할 수 있습니다.타임라이크 벡터의 경우,

첫 번째 구성요소가 양의 미래 지향 시간적 벡터(그림에서 절대 미래에 위치한 벡터의 팁) 및
첫 번째 성분이 음(절대 과거)인 과거 지향 시간 벡터.

Null 벡터는 다음 세 가지 클래스로 나뉩니다.

0 벡터는 모든 기준에서 성분이 ( $0, 0,$ 0, $0)$ (표준)이다 $.$
첫 번째 성분이 양의(상부 광원뿔)인 미래 지향형 영 벡터
첫 번째 성분이 음수(하위 광원뿔)인 과거 지향 Null 벡터.

공간 벡터와 함께 총 6개의 클래스가 있습니다.

민코프스키 공간의 직교 정규 기저는 필연적으로 하나의 시간 모양 단위 벡터와 세 개의 공간 모양 단위 벡터로 구성된다.정규적이지 않은 베이스로 작업하기를 원한다면 벡터의 다른 조합을 가질 수 있다.예를 들어, Null 베이스라고 불리는 완전히 Null 벡터로 구성된 (비정규) 베이시스를 쉽게 구성할 수 있습니다.

연관된 벡터가 타임라이크, 스페이스라이크, 늘 또는 필드가 정의되어 있는 각 포인트에서 늘이라고 하는 벡터필드는 타임라이크, 스페이스라이크 또는 늘이라고 불립니다.

시간 유사 벡터의 특성

시간 유사 벡터는 빛의 속도보다 낮은 속도로 관찰자가 접근할 수 있는 사건에 대응하므로 상대성 이론에서 특별한 중요성을 갖는다.가장 관심 있는 것은 모두 정방향 또는 역방향 원추형인 시간과 같은 벡터이다.이러한 벡터는 공간형 벡터에 의해 공유되지 않는 몇 가지 특성을 가지고 있습니다.이러한 현상은 전방 및 후방 원추형 모두 볼록한 반면 공간형 영역은 볼록하지 않기 때문에 발생합니다.

스칼라 곱

두 시간 유사 $벡터 1$ u = ( $t 1, x 1$ , $y 1, z 1$ ) $및 2$ u = ( $t 2,$ $x 2,$ $y 2,$ $z 2)$ 의 스칼라 곱은 다음과 같다.

\displaystyle \eta (u_{1},u_{2}=u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{1}-z_{2}z_{2}.}

스칼라 제품의 장점:중요한 특성은 비슷하게 지시된 두 시간 벡터의 스칼라 곱이 항상 양의 값이라는 것입니다.이것은 아래의 거꾸로 된 코시-슈바르츠 부등식에서 알 수 있다.따라서 두 벡터의 스칼라 곱이 0이면 적어도 이들 중 하나는 공간적이어야 합니다.두 개의 공간 유사 벡터의 스칼라 곱은 직교 공간 구성요소를 가진 두 개의 공간 유사 벡터의 곱과 다른 부호 또는 동일한 부호의 시간을 고려함으로써 볼 수 있는 양수 또는 음수일 수 있다.

시간 유사 벡터의 양의 속성을 사용하면 비슷하게 지시된 시간 유사 벡터의 양의 계수를 가진 선형 합이 시간 유사하다는 것을 쉽게 확인할 수 있다(볼록함 때문에 합이 광원추 내에 남는다).

노름과 역코시 부등식

시간 유사 $벡터$ u = ( $ct,$ $x,$ $y,$ $z)$ 의 노름은 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \left \ u \ right \ = scrt { eta ( u , u ) } = scrt { c ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }

역전된 코시 부등식은 두 ^[9]광원추의 볼록함의 또 다른 결과이다.두 개의 뚜렷하게 유사한 방향의 $시간 1$ 벡터 $u$ 와₂ u에 대해 이 부등식은 다음과 같다.

\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})>\left\u_{1}\right\left\u_{2}\right\}

대수적으로 말하면, '대수적으로'는

c^{2}t_{1}t_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-{2}-z_{2}>{\sigrt {\left(c^{2}t_{1}-x_{1}^{2}-{1}^{2}-{1}_{2}_{1}_{2}-^{2}_{2}-{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}_{2}}}}_{2}}}}_{2}}}_{2}}}}

이를 통해 스칼라 제품의 양성 특성을 알 수 있다.

역삼각 부등식

두 개의 유사한 방향의 시간 $벡터$ $u$ 와 w에 대하여, 부등식은^[10] 다음과 같다.

\displaystyle \left\u+w\right\geq \left\u\right\+\left\w\right\,}

여기서 벡터가 선형에 의존할 때 등식이 유지됩니다.

증명은 역코시 ^[11]부등식을 갖는 대수적 정의를 사용한다.

\displaystyle \left\u+w\right\^{2}=\left(u,w\right)+\left\w\right\^{2}\geq \left\u\right\^{2}+2\left\u\right\u\left\left\w\right\{2}=\left\left\left\left\left\left\left\u\left\u\w\w\w\right\right\right\left\left\left\w\right\right

결과는 이제 양쪽의 제곱근을 취함으로써 나타납니다.

아래에서는 시공간이 관성 프레임에 대응하는 좌표계를 부여한다고 가정한다.이는 벡터 공간으로 모델링된 시공간을 참조하기 위해 필요한 원점을 제공합니다.이것은 시공간에서 중심적인 사건(central original)이 존재해야 한다는 점에서 실제로 신체적으로 동기 부여가 되지 않는다.아핀 공간이라는 더 적은 구조로도 벗어날 수 있지만, 이것은 불필요하게 논의를 복잡하게 만들 것이며 현대 입문 문헌에서 평탄한 시공간이 수학적으로 어떻게 다뤄지는지를 반영하지 못할 것이다.

개괄적으로 민코프스키 공간은 시공간에서 접선공간에 비퇴화 대칭 쌍선형 형태를 갖춘 4차원 실벡터 공간이다. 여기서는 단순히 민코프스키 내적물이라고 하며, 메트릭 시그니처 $(+$ -) 또는 $(+$ + $+)$ 를가진다.각 사건의 접선 공간은 시공간과 동일한 차원의 벡터 $공간$ 이다.

구면상의 점

x

의 접선 공간을 그림으로 표현한 것입니다.이 벡터 공간은 R 자체의

부분 3

공간이라고 생각할 수 있다.그 안에 있는 벡터를 기하학적 접선 벡터라고 합니다.같은 원리에 의해 평탄한 시공간 중 한 점에서의 접선공간은 우연히 모든 시공간이 되는 시공간 서브공간으로 생각할 수 있다.

실제로는 접선 공간에 신경 쓸 필요가 없습니다.민코프스키 공간의 벡터 공간 특성은 민코프스키 공간 자체의 벡터(점, 사건)와 함께 점(사건)에서 접선 공간의 벡터의 표준 식별을 가능하게 한다.예를 들어,Lee(2003년, 발의안 3.8항) 또는 Lee(2012년, 발의안 3.13)입니다.이러한 식별은 수학에서 일상적으로 행해진다.그것들은 데카르트 좌표로^[12] 다음과 같이 공식적으로 표현될 수 있다.

{narged}\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)\ &\left arrow \ left.x^{0}\mathbf {e}_{0}\오른쪽_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e}_{1}\오른쪽_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e}_{2}\오른쪽_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e}_{3}\right_{p}\&\left오른쪽 화살표\left.x^{0}\mathbf {e}_{0}\오른쪽_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e}_{1}\오른쪽_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e}_{2}\오른쪽_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e}_{3}\right_{q}\end{aligned}

합니다.

(\displaystyle\왼쪽).\mathbf {e} _{\mu }\오른쪽 _{p}=\left.{{frac}{\frac x^{\mu}}\오른쪽 {p}{\text{}}_{p}=\leftmathbf {e}_{p}_{p}=\frac\f{fright}1\\\\0\end{f}\text}\text{e}}}.}

$여기$ 서 $p$ 와 q는 두 가지 이벤트 중 하나이며, 두 번째 기본 벡터 식별은 병렬 전송이라고 합니다.첫 번째 식별은 공간 자체의 벡터가 있는 임의의 점에서 접선 공간의 벡터의 표준 식별입니다.접선 공간에서 기준 벡터가 1차 미분 연산자로 나타나는 것은 이러한 식별 때문입니다.이것은 기하학적 접선 벡터가 매끄러운 함수 집합에서 방향 미분 연산자와 일대일 방식으로 연관될 수 있다는 관찰에 의해 동기 부여된다.이것은 R에 $반드시 n$ 포함되어 있지 않은 다지관의 탄젠트 벡터의 정의로 승격된다.일반 n-튜플도 사용할 수 있으므로 접선 벡터의 정의만 가능한 것은 아닙니다.

탄젠트 벡터를 일반 벡터로 정의

$p점$ 에서의 접선 벡터는 여기서 로렌츠 프레임의 데카르트 좌표에 특화된 4 $\times1$ 열 $벡터$ $v$ 로 정의될 수 있으며, $로렌츠$ 변환 δ에 의해 관련된 각 로렌츠 프레임에 관련된 4×1 열 벡터 v가 v → $δ$ 에 $따라$ 어떤 프레임에 관련된 $벡터$ v로 정의될 수 있다. $이것$ 은^μ 좌표 x가 변환되는 것과 같은 방법입니다.명시적으로

\displaystyle {\mu}x'^{\mu}&=lambda ^{\nu }x^{\nu},\v'^{\mu }&=lambda ^{\mu }_{\nu }v ^{\nu }.\end { aligned}}

이 정의는 표준 동형사상에 따라 위에서 주어진 정의와 동등하다.

어떤 목적을 위해 $p$ 에서 변위 벡터를 갖는 p $지점$ 에서 탄젠트 벡터를 식별하는 것이 바람직하며, 이는 물론 기본적으로 동일한 표준 ^[13]식별에 의해 허용된다.수학적 설정에서 위에 언급된 벡터의 식별은 이에 대응하여 Misner, Thorne & Wheeler(1973년)의 보다 물리적이고 명확한 기하학적 설정에서 찾을 수 있다.소재의 어느 부분을 읽느냐에 따라 다양한 수준의 정교함(및 엄격함)을 제공합니다.

" " " "

메트릭 시그니처는 Minkowski 내부 곱이 공간(space like to specific, defined down)과 시간 기반 벡터(timeellike)를 인수로 지정했을 때 어떤 부호가 생성되는지를 나타냅니다.이론적으로는 중요하지 않지만 실제로 필요한 내부 일관성과 편리성을 위한 선택에 대한 추가 논의는 아래 히드박스로 미루고 있습니다.

시그니처

일반적으로 몇 가지 예외를 제외하고 수학자들과 일반 상대론자들은 양의 부호 $(-$ + $+)$ 를 내는 우주와 같은 벡터를 선호하는 반면, 입자 물리학자들은 양의 부호 $(+$ - - $)$ 를 내는 시간 같은 벡터를 선호하는 경향이 있다.스티븐 와인버그, 란다우, 리프시츠 $($ 각각 $(-$ + + $+)$ 및 $(+$ - - - $)$ 등 물리학의 여러 분야를 다루는 저자는 주제에 관계없이 하나의 선택을 고수합니다.전자의 법칙에 대한 논쟁은 비유클리드적 $한계$ c $\to$ responding에 해당하는 유클리드 사례의 "일관성"을 포함한다. 후자의 논쟁은 입자 물리학에서 흔히 볼 수 있는 마이너스 부호가 사라진다는 것을 포함한다.그러나 다른 작가들, 특히 도입문서의 작가들, 예를 들어 Kleppner & Kolenkow(1978)은 서명을 전혀 선택하지 않고 대신 시간 좌표(시간 자체가 아님)가 상상이 되도록 시공간을 조정하는 것을 선택한다.이것은 메트릭 텐서의 명시적인 도입의 필요성을 제거하며(입문 과정에서는 추가 부담으로 보일 수 있음), 아래에 설명해야 할 공변 벡터 및 반변 벡터(또는 상승 및 하강 지수)에 대해 걱정할 필요가 없다.대신 내부 곱은 $R$ 의³ $도트$ 곱을 R × C로 $직접 3$ 확장함으로써 영향을 받는다.이는 특수상대성이론의 평평한 시공간에서 작동하지만 일반상대성이론의 곡선 시공간에서는 작동하지 않는다. Misner, Thorne & Wheeler(1973, Box 2.1, Farewell to ICT)를 참조한다 $(-$ + + $+).$ MTW는 또한 이 측정법의 진정한 무한성과 로런츠 부스트의 진정한 본질을 숨기고 있다고 주장하는데, 이것은 회전이 아니다.또한 특수 상대성의 평탄한 공간(예: 전자기장)에서도 즉시 사용할 수 있고 기하학적 설명과 계산에 유용한 미분 기하학의 도구 사용을 불필요하게 복잡하게 만든다.

용어.

이중선형 형태와 수학적으로 연관된 것은 민코프스키 ^{[nb 5]}메트릭이라고 불리는 시공간에서 각각의 점에서 타입( $0,2)$ 의 텐서이다.민코프스키 메트릭, 쌍선형 형태 및 민코프스키 내적은 모두 동일한 객체이며, 두 개의 (반변) 벡터를 받아들여 실수를 반환하는 쌍선형 함수이다.좌표에서 이것은 쌍선형 형태를 나타내는 4 $\times4 행렬$ 이다.

비교를 위해 일반상대성이론에서 로렌츠 $다양체$ L은 마찬가지로 $L$ 의 각 점 $p$ 에서의 접선공간 $TL상의 p$ 비퇴행성 대칭 쌍선형 형태인 메트릭 $텐서$ g를 갖춘다.좌표에서는 시공간 위치에 따라 4 $\times4$ 행렬로 나타낼 수 있다.따라서 민코프스키 공간은 로렌츠 다양체의 비교적 단순한 특수한 경우이다.그것의 미터법 텐서는 $M$ 의 모든 점에서 동일한 대칭 행렬의 좌표에 있고, 그것의 인수는, 위에서, 시공간 그 자체에서 벡터로 받아들여질 수 있다.

더 많은 용어를 도입하면 (더 많은 구조가 아닌) 민코프스키 공간은 따라서 총 $차원$ n = $4$ 와 $부호 ($ 3, 1 $)$ 또는 ( $1,$ 3)를 갖는 유사 유클리드 공간이다.민코프스키 공간의 요소를 사건이라고 한다.민코프스키 공간은 선택한 시그니처를 강조하기 위해 종종 R $또는 1,3$ R로 $표시$ 되거나^3,1 $M$ 으로 표시됩니다.이것은 아마도 의사-리만 다양체의 가장 간단한 예시일 것이다.

다음으로, 수학적으로 메트릭은 추상적인 4차원 실벡터 $공간$ V({ $displaystyle$ V $V$ 상의 쌍선형 형태이다. 즉,

\displaystyle \eta:V\times V\오른쪽 화살표\mathbb {R}

$\eta$ 서 ${\$ { $displaystyle \eta }$ 에는 $\eta$ 시그니처 $(-,+,+,+)$ - $(-,+,+,+)$ , $(-,+,+,+)$ + $(-,+,+,+)$

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