k-edge 연결 그래프

그래프 이론에서, 연결된 그래프는 k edge보다 적은 edge를 제거할 때마다 연결된 상태를 유지하면 k-edge로 연결된다.

그래프의 가장자리 연결성은 그래프가 k-edge로 연결된 가장 큰 k이다.

가장자리 연결과 k-edge 연결 그래프의 열거는 1869년 Camille Jordan에 의해 연구되었다.^[1]

형식 정의

$G{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle G=(V,E)}$을(를) 임의의 그래프로 한다$$.서브그래프 $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle (V}$, ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \setminus }$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ G$'=(V$$,$$E\setminus$ X$)}$이($가$$)$ $X{\displaystyle }$${\displaystyle \subseteq }$ {\$displaystyle X\subseteq$ $E}$에 대해 연결되어$$ 있는 경우 G는 k-edge로 연결된다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 에지 연결은 G가 k-edge로 연결되는 최대값 k이다.제거에서 G의 연결이 끊어지는 가장 작은 집합 X는 G의 최소 절단 값이다.

Menger의 정리의 가장자리 연결 버전은 그래프에서 가장자리 분리 경로 측면에서 대안적이고 동등한 특성화를 제공한다.G의 두 꼭지점마다 k 경로의 끝점을 형성하고, 그 중 두 꼭지점이 서로 가장자리를 공유하지 않는 경우에만 G는 k-edge로 연결된다.한쪽 방향에서 이것은 쉽다: 만약 이와 같은 경로의 시스템이 존재한다면, k edge 이하의 모든 집합 X는 적어도 하나의 경로에서 분리되고, 정점 쌍은 X가 삭제된 후에도 서로 연결된 상태를 유지한다.다른 방향에서, 소수의 가장자리의 제거에 의해 분리될 수 없는 그래프의 각 꼭지점 쌍에 대한 경로 시스템의 존재는 네트워크 흐름 이론으로부터 최대 흐름 최소 절단 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

관련개념

최소 정점 정도는 가장자리 연결성에 대한 사소한 상한을 제공한다.즉, 그래프 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle (V}$, ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle$ G$=(V,E)}$이 k-edge로 연결되어 있다면$$, 여기서 Δ(G)는 정점 v ∈ V의 최소 정도인 k Δ(G)가 필요하다. 분명히, 정점 v에 입사하는 모든 가장자리를 삭제하면 그래프에서 v가 분리된다.

가장자리 연결은 평면 그래프의 둘레가 이중 그래프의 가장자리 연결이라는 점에서 그래프에서 가장 짧은 주기의 길이인 둘레에 대한 이중 개념이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.이러한 개념은 매트로이드에 설정된 가장 작은 종속성의 크기인 매트로이드의 둘레에 의해 매트로이드 이론으로 통일된다.그래픽 매트로이드의 경우 매트로이드 둘레는 기본 그래프의 둘레와 같고, 동그래픽 매트로이드의 경우 에지 연결과 같다.^[2]

또한 2개의 가장자리로 연결된 그래프는 브리지가 없거나, 귀의 부패가 존재하거나, 로빈스의 정리에 의해 특징지어질 수 있는데, 이 그래프들은 정확히 강한 방향을 가진 그래프들이다.^[3]

계산적 측면

그래프 G가 k-edge로 연결되는 가장 큰 k를 결정하는 다항식 시간 알고리즘이 있다.간단한 알고리즘은 모든 쌍(u,v)에 대해 모든 에지의 용량이 양방향에 대해 1로 설정된 상태에서 u에서 v로의 최대 흐름을 결정한다.그래프는 어떤 쌍(u,v)에 대해 u에서 v로의 최대 흐름이 k 이상일 경우에만 k-edge로 연결되므로 k는 u,v 중에서 u-v-flow가 가장 작다.

n이 그래프의 정점수인 경우, 이 간단한 알고리즘은 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle$ O$(n^{2})$를 반복하여${\displaystyle }O{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle O(n^{3})$ 시간$$ 내에 해결할 수 있다.따라서 위에서 설명한 단순 알고리즘의 복잡성은 총$$ $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ 5${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle O(n^{5}})$이다.

향상된 알고리즘은 v가 모든 정점에 걸쳐 변화하는 동안 임의로 고정되는 모든 쌍(u,v)에 대한 최대 흐름 문제를 해결할 것이다.이것은 복잡성을 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle O(n^{4})$로 줄이며$$, k보다 작은 용량의 컷이 존재할 경우, u를 다른 꼭지점에서 분리할 수 있기 때문에 건전하다.최악의 경우 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$) $(\displaystyle O (n^{3})$에서 실행되는 가보의 알고리즘에 의해 더욱 개선될 수 있다.^[4]

Karger 알고리즘의 Karger-Stein 변형은 연결을 결정하기 위한 더 빠른 무작위화된 알고리즘을 제공하며 예상 런타임 O (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}n}$ $){\displaystyle$O ($n^{2}\log ^{3}n)}$을 제공한다$.$^[5]

관련 문제: G의 최소 k-edge 연결 스패닝 서브그래프 찾기(즉, k-edge-connected인 G에서 가능한 한 적은 수의 edge 선택)는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle k\geq 2}$에 대해 NP-hard이다$.$^[6]

참고 항목

• k-35x 연결 그래프
• 연결성(그래프 이론)
• 일치 전폐

참조