정도(그래프 이론)

정도별로 레이블이 지정된 정점이 있는 루프가 있는 그래프

그래프 이론에서, 그래프의 정점의 정도(또는 원자가)는 정점에 입사하는 가장자리의 수입니다; 멀티그래프에서, 루프는 가장자리의 ^[1]양 끝에 대해 정점의 정도에 2를 기여합니다. $정점$ v { $displaystyle$ v $}$ 의 $v$ 정도는 $\deg(v)$ ( $\deg(v)$ v $\deg(v)$ ) { $displaystyle \deg(v)}$ $\deg v$ $\deg v$ v $\deg v$ { $displaystyle \deg$ v $\deg v$ 로 $\deg(v)$ 됩니다. $\Delta (G)$ G의 최대도 $($ $G)$ { $displaystyle$ \ $Delta(G$ $\delta (G)$ 최소도 $)$ { $displaystyle \delta(G$ 는 꼭지점 도수의 최대도 및 최소도이다.오른쪽에 표시된 멀티그래프는 최대도가 5이고 최소도가 0입니다.

일반 그래프에서는 모든 정점이 같은 정도를 가지므로 그래프의 정도를 말할 수 있습니다.A complete graph (denoted $K_{n}$ , where $n$ is the number of vertices in the graph) is a special kind of regular graph where all vertices have the maximum possible degree, $n-1$ .

부호 있는 그래프에서 $v$ 에 연결된 양의 가장자리 수 v $\displaystyle$ $(v)$ v를 $v$ 양의 도 $)$ 라고 $(v)$ 하며, 연결된 음의 가장자리 수에는 음의 도 $($ ^[2]^[3]라는 제목이 붙습니다.

악수 보조군

도합 공식은 $G=(V,E)$ G $=$ ( $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ ) { $displaystyle$ G=( $V, E$ 이 주어진 경우 다음과 같이 기술합니다.

\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\,

v

\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\,

、

\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\,

、

\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\,

v

\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\,

）

\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\,

=

2

E ( \

displaystyle

\

sum _

{ v \ in

V

} \

deg

(

v

) = 2 E

\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\,

、 ,

\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\,

}

\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\,

。

이 공식은 무방향 그래프에서 홀수 차수의 꼭지점 수가 짝수임을 나타냅니다.이 문장은 (도합 공식과 함께) 악수 보조항으로 알려져 있습니다.후자의 이름은 인기 있는 수학 문제에서 유래했는데, 이것은 어떤 그룹의 사람들에서도 홀수인 다른 사람들과 악수를 한 사람들의 수가 짝수라는 것을 증명하는 것이다.

도순서

동일한 정도 시퀀스를 가진 두 개의 비동형 그래프(3, 2, 2, 2, 1, 1)

무방향 그래프의 차수열은 정점 ^[4]도수의 비증가 순서이며, 위 그래프의 경우 (5, 3, 3, 2, 1, 0)입니다.정도 시퀀스는 그래프 불변성이므로 동형 그래프는 동일한 정도 시퀀스를 가집니다.그러나 일반적으로 정도 시퀀스는 그래프를 고유하게 식별하지 않는다. 일부 경우에는 비동형 그래프가 동일한 정도 시퀀스를 가진다.

도수열 문제는 도수열이 양의 정수로 이루어진 주어진 비증가 수열인 일부 또는 모든 그래프를 찾는 문제입니다(트레일링 0은 그래프에 적절한 수의 고립된 정점을 추가함으로써 3차적으로 실현되기 때문에 무시될 수 있습니다).어떤 그래프의 도열, 즉 도열 문제가 해답을 갖는 수열을 그래픽 또는 그래픽 수열이라고 한다.도합 공식의 결과로서 (3, 3, 1)와 같이 홀수 합을 가지는 계열을 그래프의 도열로서 실현할 수 없다.그 반대의 경우도 마찬가지입니다.순서에 짝수합이 있으면, 그것은 멀티그래프의 차수열입니다.이러한 그래프의 구성은 간단합니다. 홀수 도를 가진 정점을 쌍으로 연결하고(일치를 형성), 나머지 짝수 도 카운트를 셀프 루프로 채웁니다.주어진 정도 시퀀스가 단순한 그래프에 의해 실현될 수 있는지에 대한 질문은 더 어렵다.이 문제는 그래프 실현 문제라고도 불리며 , Erdss-Gallai 정리 또는 Havel-Hakimi 알고리즘으로 해결할 수 있습니다.주어진 정도 시퀀스를 가진 그래프 수를 찾거나 추정하는 문제는 그래프 열거 분야의 문제이다.

보다 일반적으로 하이퍼그래프의 도수열은 정점도의 비증가 수열이다. $k$ \ $displaystyle$ k-균일한 $k$ 하이퍼그래프의 정도 시퀀스일 경우 시퀀스는 $k$ $\$ $displaystyle$ k-그래픽입니다 $k$ . $특히$ 2 $(디스플레이 스타일$ 2) 그래픽 시퀀스는 $2$ 그래픽입니다.주어진 시퀀스가 $(\style$ k $)$ -galai $k$ 정리를 통해 k $k=2$ (\ $style$ k $=2$ )에 $k=2$ 대해 다항식 시간에 실행할 수 있지만 $k\geq 3$ k $k\geq 3$ $(\displaystyle$ k $\geq$ 3)에 $k\geq 3$ 대해 NP-완전이다(Deza 등, 2018).

특별한 값

리프 노드 4, 5, 6, 7, 10, 11 및 12를 포함하는 무방향 그래프

도수가 0인 정점을 고립 정점이라고 합니다.
도수가 1인 정점을 리프 정점 또는 끝 정점 또는 펜던트 정점이라고 하며, 이 정점에 입사하는 가장자리를 펜던트 에지라고 합니다.오른쪽 그래프에서 {3,5}은(는) 펜던트 모서리입니다.이 용어는 그래프 이론의 나무, 특히 데이터 구조로서의 나무를 연구하는 데 일반적입니다.
n개의 정점에 대한 그래프에서 n - 1의 도수를 갖는 정점을 지배 정점이라고 합니다.

글로벌 속성

그래프의 각 정점이 k도가 같으면 그래프를 k-규칙 그래프라고 하며 그래프 자체는 k도라고 한다.마찬가지로, 서로 같은 양쪽에 있는 두 정점이 같은 정도를 갖는 초당 그래프는 쌍곡선 그래프라고 불립니다.
무방향으로 연결된 그래프는 홀수도의 정점이 0개 또는 2개인 경우에만 오일러 경로를 가집니다.홀수도의 정점이 0개일 경우 오일러 경로는 오일러 회로입니다.
유향 그래프는 모든 정점이 최대 1의 차수를 갖는 경우에만 유향 의사 포레스트입니다.함수 그래프는 모든 정점이 정확히 1을 갖는 의사 포레스트의 특별한 경우입니다.
브룩스 정리에 따르면 클리크 또는 홀수 사이클 이외의 그래프 G는 최대 δ(G)의 색수를 가지며, 비징의 정리에 따르면 어떤 그래프도 최대 δ(G)+1의 색지수를 가진다.
k-축퇴 그래프는 각 하위 그래프가 최대 k개의 정점을 갖는 그래프입니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 디에스텔, 5, 28페이지
^ Ciotti V (2015). "Degree correlations in signed social networks". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. 422: 25–39. arXiv:1412.1024. Bibcode:2015PhyA..422...25C. doi:10.1016/j.physa.2014.11.062. S2CID 4995458.
^ Saberi M, Khosrowabadi R, Khatibi A, Misic B, Jafari G (January 2021). "Topological impact of negative links on the stability of resting-state brain network". Scientific Reports. 11 (1): 2176. Bibcode:2021NatSR..11.2176S. doi:10.1038/s41598-021-81767-7. PMC 7838299. PMID 33500525.
^ 디에스텔 페이지 216
^ Deza, Antoine; Levin, Asaf; Meesum, Syed M.; Onn, Shmuel (January 2018). "Optimization over Degree Sequences". SIAM Journal on Discrete Mathematics. 32 (3): 2067–2079. arXiv:1706.03951. doi:10.1137/17M1134482. ISSN 0895-4801. S2CID 52039639.

레퍼런스

를 클릭합니다Diestel, Reinhard (2005), Graph Theory (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-26183-4.
를 클릭합니다Erdős, P.; Gallai, T. (1960), "Gráfok előírt fokszámú pontokkal" (PDF), Matematikai Lapok (in Hungarian), 11: 264–274.
Havel, Václav (1955), "A remark on the existence of finite graphs", Časopis Pro Pěstování Matematiky (in Czech), 80 (4): 477–480, doi:10.21136/CPM.1955.108220
를 클릭합니다Hakimi, S. L. (1962), "On realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a linear graph. I", Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 10 (3): 496–506, doi:10.1137/0110037, MR 0148049.
를 클릭합니다Sierksma, Gerard; Hoogeveen, Han (1991), "Seven criteria for integer sequences being graphic", Journal of Graph Theory, 15 (2): 223–231, doi:10.1002/jgt.3190150209, MR 1106533.

[1] 디에스텔, 5, 28페이지

[10.1016/j.physa.2014.11.062-2] Ciotti V (2015). "Degree correlations in signed social networks". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. 422: 25–39. arXiv:1412.1024. Bibcode:2015PhyA..422...25C. doi:10.1016/j.physa.2014.11.062. S2CID 4995458.

[10.1038/s41598-021-81767-7-3] Saberi M, Khosrowabadi R, Khatibi A, Misic B, Jafari G (January 2021). "Topological impact of negative links on the stability of resting-state brain network". Scientific Reports. 11 (1): 2176. Bibcode:2021NatSR..11.2176S. doi:10.1038/s41598-021-81767-7. PMC 7838299. PMID 33500525.

[4] 디에스텔 페이지 216

[5] Deza, Antoine; Levin, Asaf; Meesum, Syed M.; Onn, Shmuel (January 2018). "Optimization over Degree Sequences". SIAM Journal on Discrete Mathematics. 32 (3): 2067–2079. arXiv:1706.03951. doi:10.1137/17M1134482. ISSN 0895-4801. S2CID 52039639.

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