그룹 표현

표현 이론의 수학적 분야에서, 그룹 표현은 추상 그룹을 벡터 공간의 자기 자신에 대한 생물적 선형 변환의 관점에서 기술한다; 특히, 그들은 행렬 mul에 의해 표현될 수 있도록 가역 행렬로서 그룹 요소를 표현하는데 사용될 수 있다.발차기그룹의 표현은 많은 군이론 문제를 선형대수의 문제로 줄일 수 있게 해주기 때문에 중요하다. 이는 잘 이해되고 있다.예를 들어 물리적 시스템의 대칭 그룹이 그 시스템을 설명하는 방정식의 해답에 어떻게 영향을 미치는지 설명하기 때문에 그것들은 물리학에서도 중요하다.

그룹의 표현이라는 용어는 더 일반적인 의미에서 어떤 수학적 객체의 변환 그룹으로서의 그룹의 "설명"을 의미하기도 한다.좀 더 형식적으로 표현(representation)은 군에서 물체의 자기동형군까지의 동형성을 의미한다.만약 물체가 벡터 공간이라면 우리는 선형 표현을 가지고 있다.어떤 사람들은 일반적인 개념에 대해 깨달음을 사용하고 선형 표현의 특별한 경우를 위해 용어 표현을 유보한다.이 문서의 대부분은 선형 표현 이론에 대해 설명합니다. 일반화에 대해서는 마지막 섹션을 참조하십시오.

군표현 이론의 분파

그룹의 표현 이론은 표현되는 그룹의 종류에 따라 하위 이론으로 나뉩니다.기본적인 정의와 개념은 비슷하지만 다양한 이론들은 세부적으로 상당히 다르다.가장 중요한 부문은 다음과 같습니다.

• 유한 그룹 - 그룹 표현은 유한 그룹 연구에서 매우 중요한 도구입니다.그것들은 또한 결정학과 기하학에 대한 유한군 이론의 적용에서 발생한다.벡터 공간의 스칼라장이 특성 p를 가지고 p가 그룹의 순서를 나눈다면, 이것은 모듈러 표현 이론이라고 불리며, 이 특별한 경우는 매우 다른 성질을 가진다.유한군의 표현 이론을 참조하십시오.
• 콤팩트 그룹 또는 로컬 콤팩트 그룹 - 유한 그룹 표현 이론의 많은 결과는 그룹에 대한 평균화에 의해 증명됩니다.이러한 증명은 적분의 허용 가능한 개념을 정의할 수 있는 경우 평균을 적분으로 대체함으로써 무한 그룹으로 넘어갈 수 있습니다.이것은 Haar 측정을 사용하여 로컬 콤팩트 그룹에 대해 수행할 수 있습니다.결과 이론은 고조파 분석의 중심부분이다.폰트랴긴 이중성은 교환군에 대한 이론을 일반화 푸리에 변환으로 설명한다.다음 항목도 참조하십시오.피터-와일 정리
• 리 그룹 - 많은 중요한 리 그룹은 콤팩트하기 때문에 콤팩트한 표현 이론의 결과가 적용됩니다.Lie 그룹에 특화된 다른 기술도 사용됩니다.물리학과 화학에서 중요한 대부분의 그룹은 라이 그룹이고, 그들의 대표 이론은 그 분야에서 군 이론을 적용하는데 매우 중요하다.거짓말 그룹의 표현과 거짓말 대수의 표현을 참조하십시오.
• 선형 대수 그룹(또는 보다 일반적으로 아핀 그룹 체계) - 이들은 Lie 그룹의 유사체이지만 R 또는 C보다 더 일반적인 필드에 걸쳐 있습니다.선형 대수군은 리 군과 매우 유사한 분류를 가지고 있고, 같은 계열의 리 대수군을 발생시키지만, 그들의 표현은 다소 다르다(그리고 훨씬 더 잘 이해되지 않는다).리 그룹을 연구하기 위해 사용된 분석 기법은 상대적으로 약한 자리스키 토폴로지가 많은 기술적 문제를 야기하는 대수기하학의 기법으로 대체되어야 한다.
• 비콤팩트 토폴로지 그룹 - 비콤팩트 그룹의 클래스는 너무 광범위하여 일반적인 표현 이론을 구축하지 못하지만, 특정 특수 사례가 연구되어 있으며, 때로는 애드혹 기법을 사용하기도 합니다.반단순 거짓말 그룹은 콤팩트한 케이스를 기반으로 한 깊은 이론을 가지고 있습니다.상보적 해결 가능한 Lie 그룹은 동일한 방식으로 분류될 수 없습니다.리 그룹에 대한 일반 이론은 위그너의 분류 방법의 일반화인 맥키 이론이라고 불리는 일반적인 결과를 통해 두 가지 유형의 반직접 산물을 다룬다.

표현 이론은 또한 그룹이 작용하는 벡터 공간의 유형에 크게 의존한다.유한 차원 표현과 무한 차원 표현을 구별한다.무한 차원의 경우 추가 구조가 중요하다(예를 들어 공간이 힐베르트 공간, 바나흐 공간 등).

벡터 공간이 정의되는 필드의 유형도 고려해야 합니다.가장 중요한 경우는 복소수 분야입니다.다른 중요한 경우로는 실수, 유한 필드, p-adic 수 필드가 있습니다.일반적으로 대수적으로 닫힌 필드는 대수적으로 닫힌 필드가 아닌 필드보다 다루기 쉽습니다.유한 그룹에 대한 많은 정리는 그룹의 순서를 나누지 않는 필드의 특성에 의존합니다.

정의들

필드 K상의 벡터 공간 V상의 군 G의 표현은 G에서 V상의 일반 선형군인 GL(V)까지의 군 동형이다.즉, 표현은 지도입니다.

$\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)}$

그렇게 해서

$\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {모든}g_{1},g_{2}\in G.}$

여기서 V를 표현 공간이라고 하고 V의 차원을 표현 차원이라고 합니다.문맥에서 동형사상이 명확할 경우 V 자체를 표현이라고 부르는 것이 일반적이다.

V가 유한 차원 n인 경우, V에 대한 기초를 선택하고 필드 K의 n-by-n 가역 행렬 그룹인 GL(n, K)과 GL(V)을 식별하는 것이 일반적이다.

• G가 위상군이고 V가 위상 벡터 공간일 경우, V 위의 G의 연속 표현은 δ(g, v) = δ(g)(v)로 정의된 적용 δ : G × V → V가 연속적이 되도록 표현 δ이다.
• 그룹 G의 표현 θ의 커널은 G의 정규 서브그룹으로 정의되며, θ 아래의 이미지는 아이덴티티 변환이다.

$\displaystyle \ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.}$

충실한 표현은 동형사상 G → GL(V)가 주입형인 표현이다. 즉, 커널이 그룹의 항등원소로만 구성된 사소한 부분군 {e}인 표현이다.

• 2개의 K 벡터 공간 V와 W가 주어졌을 때, G → GL(V)와 θ : G → GL(W)의 두 표현은 벡터 공간 동형이 존재하면 등가 또는 동형이라고 한다. 따라서 G의 모든 G에 대해 V → W,

$\displaystyle \alpha \rho (g)\display \alpha ^{-1}=\pi (g)}$

예

특성³ u = 1인 복소수 = e를^{2πi / 3} 고려합니다.집합₃ C = {1, u², u}은 곱셈 하에서 순환 그룹을 형성한다.이 그룹은 C $(\$에 다음과 같이 표현됩니다.

$\displaystyle \rho \left ( 1 \ right ) = param { bmatrix }1&0&1\\\end {bmatrix}\qquad \rho \left (u\right)=param {bmatrix}1&0&u\qadrho \(right)}$

는 일대일 맵이기 때문에 이 표현은 충실합니다.

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$2의 C(\$displaystyle \mathbb {C}^{2$에 대한₃ 다른 표현은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(1\right)=param {bmatrix}1&0&1\\end {bmatrix}\qquad \left(u\right)=param {bmatrix}u&0&1\end {bmatrix}\param {u(u^{2\right})=parammatrix\(right)}$

그룹₃ C는 R $(\$2})에서도 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

$\displaystyle \left(1\right)=param {bmatrix}1&0&1\\end {bmatrix}\qquad \left(u\right)=param {bmatrix}a&-b&a\end {bmatrix}\param {u(u^{2\right}\param})$

어디에

$({displaystyle a=captext{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b=captext{Im}}(u)=captfrac {3}}{2}).}$

또 다른 예는 다음과 같습니다.

$V$ ${\displaystyle {}_{}{displaystyle\mathrm{}}_{}}$ $V}$를 변수 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1, x${\displaystyle {}_{}}$2, x${\displaystyle {}_{}}$3의 복소수에서 동종 degree-3 다항식의 공간이라고 $가정$합니다$.$ {$1}, x_{2$}, $x_{3}.$$}$

${\displaystyle {다음}_{}}$으로 S 3$({$은 V$({displaystyle$ V$})$에 대해 3가지 변수의 치환으로 작용합니다.

예를 들어 ($)$ {$displaystyle (12)}$은$({\displaystyle }$는) ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$({$displaystyle x_{1}^3})$을 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}^{}}$ ({$displaystyle x_{2}^3$로 $보냅니다{\displaystyle {}_{}^{}}$.

환원성

그룹 동작에서 불변인 V의 부분 공간 W를 부분 표현이라고 합니다.V가 정확히 두 개의 하위 표현, 즉 0차원 부분 공간과 V 자체를 갖는다면 그 표현은 축소할 수 없다고 하고, 0이 아닌 부분 표현을 갖는다면 그 표현은 축소할 수 있다고 한다.숫자 1이 합성도 아니고 소수도 아닌 것처럼 차원 0의 표현은 축소도 축소도 불가능한 것으로 간주된다.

필드 K의 특성이 그룹의 크기를 분할하지 않는다는 가정 하에 유한 그룹의 표현은 축소할 수 없는 서브 표현의 직합으로 분해될 수 있다(마슈케의 정리 참조).복소수의 특성이 0이므로 그룹의 크기를 분할하지 않기 때문에 복소수에 대한 유한군의 표현은 특히 유효하다.

위의 예에서 주어진 첫 번째 두 표현(θ 및 θ)은 모두 2개의 1차원 서브 표현(span{(1,0)} 및 span{0,1)}에 의해 주어짐)으로 분해할 수 있으며, 세 번째 표현(θ)은 환원할 수 없다.

일반화

집합 이론 표현

집합 X 위의 군 G의 집합-변환 표현(군 작용 또는 치환 표현이라고도 함)은 X에서 X까지의 함수 집합인 θ : G → X에^X 의해 주어지며, 다음과 같이 모든₁ g, G₂ 및 X의 모든 x에 대해 주어진다.

$\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

$\displaystyle \rho(g_{1}g_{2})[x]=\rho(g_{1}[\rho(g_{2}[x]),$

$여기$서 1$(\displaystyle$1)은$$ G의 ID 요소입니다.이 조건과 그룹에 대한 공리는 γ(g)가 G의 모든 g에 대한 바이젝션(또는 치환)임을 의미한다.따라서 우리는 G에서 X의 대칭군_X S까지의 군 동형사상으로 치환 표현을 동등하게 정의할 수 있다.

이 항목에 대한 자세한 내용은 그룹 작업에 대한 문서를 참조하십시오.

기타 카테고리의 표현

모든 그룹 G는 단일 객체를 가진 범주로 볼 수 있습니다. 이 범주의 형태론은 G의 요소일 뿐입니다. 임의의 범주 C가 주어졌을 때, C의 G의 표현은 G에서 C로의 함수입니다.이러한 함수는 C 내의 객체 X와 그룹 동형성을 G에서 X의 자기동형군인 Aut(X)로 선택한다.

C가 필드 K 위의 벡터 공간의 범주인 Vect인_K 경우, 이 정의는 선형 표현과 동일합니다.마찬가지로 집합이론 표현은 집합의 범주에서 G의 표현일 뿐이다.

C가 아벨 그룹의 범주인 Ab일 때, 얻어진 물체는 G-모듈이라고 불린다.

또 다른 예로는 위상 공간의 범주인 상단을 고려합니다.상단의 표현은 위상 공간 X의 G에서 동형군까지의 동형사이다.

선형 표현과 밀접하게 관련된 두 가지 유형의 표현은 다음과 같습니다.

• 투영 표현: 투영 공간의 범주에서.이를 "스칼라 변환까지의 선형 표현"이라고 설명할 수 있습니다.
• 아핀 표현: 아핀 공간의 범주에 있습니다.예를 들어, 유클리드 그룹은 유클리드 공간에 친근하게 작용한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 축소할 수 없는 표현
• 문자표
• 성격론
• 분자대칭
• 조화 분석 항목 목록
• 표현 이론 항목 목록
• 유한군의 표현 이론
• 반단순 표현

메모들

레퍼런스

• ·거짓말 그룹에 중점을 둔 표현 이론 소개Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103..
• 유리이 1세류비치.바나흐 집단 표현 이론 소개1985년 러시아어판(우크라이나 하르코프)에서 번역.Birkhauser Verlag.1988.