부정의 체계

부정성의 체계의 개념은 수학에서, 특히 대수학과 분석에서, 두 가지 모두 집단표현론의 맥락 안에서 사용된다.그것은 조지 맥키에 의해 지역적으로 콤팩트한 집단의 유도 단일 표현 이론의 근거로 사용되었다.

가장 간단한 경우, 그리고 아이디어가 처음 주목받은 문맥은 유한집단의 그것이다(원시 순열집단 참조).그룹 G와 부분군 H와 K를 고려한다. K는 H에 포함되어 있다.그러면 G에서 H의 왼쪽 코세트는 각각 K의 왼쪽 코세트의 조합이다.그뿐만 아니라 G의 어떤 원소 g에 의한 번역(한쪽 측면)은 이 분해를 존중한다.유도 표현과의 연관성은 코세트의 순열 표현은 유도 표현에 대한 특별한 경우로서, 사소한 표현으로부터 표현을 유도한다.이 경우에 조합된 구조는 K가 G의 최대 하위 그룹이거나, 부정의 체계(강력한, 완전한 "믹싱"의 결여)가 있음을 보여준다.이것을 다른 경우에 일반화하기 위해서, 그 개념은 다시 표현된다. 첫째는 K-코셋의 G 상수에 대한 함수의 관점에서, 그 다음으로는 투영 연산자(예: 그룹 대수 원소의 K-코셋에 대한 평균화)에서.

맥키는 또한 이 아이디어를 구성 공간에 작용하는 상대성 그룹의 보존에 기초한 정량화 이론에 대한 그의 탐구에도 이용했다.유진 위그너 등의 이 일반화된 저작은 시적 정량화의 선구적 아이디어 중 하나로 여겨지는 경우가 많다.

예

일반적인 정의에 동기를 부여하기 위해 유한한 그룹과 유한한 차원 벡터 공간에 대한 이들의 표현에 대해 정의가 먼저 공식화된다.

만약 G가 유한집단이고 U가 유한차원 복합 벡터 공간 H에 G를 나타낸다면.H의 요소에 대한 G의 작용은 다음과 같은 방법으로 H의 벡터 서브 스페이스 W에 G의 작용을 유도한다.

${\displaystyle U_{g}W=\{U_{g}w:w\in W\}.}$

X가 H의 하위 스페이스 세트인 경우

• X의 원소들은 서브 스페이스에 G의 작용에 의해 순열된다.
• H는 X 원소의 (내부) 대수적 직접합이다.

${\displaystyle H=\bigoplus _{W\in X}W.}$

그렇다면 (U,X)는 G에 대한 부정의 체계다.

위의 정의에는 두 가지 주장이 있어야 한다.

• W ∈ X에 대한 공간 W는 H에 걸쳐야 한다.
• 공간 W ∈ X는 선형적으로 독립적이어야 한다. 즉,

${\displaystyle \sum _{W\in X}c_{W}v_{W}=0,\quad v_{W}\in W\setminus \{0\}}}$

모든 계수 c가_W 0인 경우에만 고정한다.

X의 요소에 대한 G의 작용이 전이적이라면, 우리는 이것이 부정의 전이적 시스템이라고 말한다.

G가 유한한 그룹인 경우₀ G의 G. A 대표 U의 하위 그룹은 다음과 같은 경우에만 G의₀ 표현 V에서 유도된다.

• 부정(U, X) 및 부정(Transitive) 시스템
• 아공간 W₀ ∈ X

그러한 G가₀ G의 작용에 따른 W의 고정점 부분군인 경우.

${\displaystyle G_{0}=\{g\in G:U_{g}W_{0}\subseteq W_{0}\}.}$

및 V는 U_h W가₀ h ∈ G에₀ 대해 제공한 W에₀ 대한 G의₀ 표현과 동일하다. 이 정의에 의해 유도된 G는 표현 사이의 관계라는 점에 유의한다.우리는 실제로 이러한 관계에 해당하는 표현에 대한 매핑이 있다는 것을 보여주고 싶다.

유한집단의 경우, U에 의해 정의된 표현 U의 특성을 고려함으로써 표현의 등가성에 대해 잘 정의된 유도구조가 존재함을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \chi _{U}(g)=\operatorname {tr}(U_{g})}$

G의 표현 U가 G의₀ 표현 V로부터 유도된 경우,

${\displaystyle \chi _{U}(g)={\frac {1}{ G_{0} }}\sum _{\{x\in G:{x}^{-1}\,g\,x\in G_{0}\}}\chi _{V}({x}^{-1}\ g\ x),\quad \forall g\in G.}$

따라서 문자함수 χ_U(그리고 따라서 U자체)는 χ에_V 의해 완전히 결정된다.

예

G를 유한집단이 되게 하고 G에서 복합값 함수의 공간 H를 고려한다.H에 대한 G의 왼쪽 정규 표현은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle [\operatorname {L} _{g}\psi ](h)=\psi(g^{-1}h).}$

이제 H는 1차원 공간 W의_x 대수적 직접 합으로 간주할 수 있는데, 여기서 x ∈ G는 다음과 같다.

${\displaystyle W_{x}=\\\\psi \in H:\psi(g)=0,\quad \forall g\neq x\}.}$

공간_x W는 L로_g 되어 있다.

부정성의 무한 차원 시스템

앞의 절에서 주어진 유한 치수 정의를 일반화하려면, 대표 U로 서열된 H의 벡터 서브스페이스의 세트 X에 적합한 대체가 필요하다.밝혀진 바와 같이, H의 서브스페이스에 기초한 순진한 접근법은 작동하지 않을 것이다. 예를 들어², L(R)에 대한 R의 번역 표현은 이러한 의미에서 부정의 시스템이 없다.직접 합 분해의 올바른 공식은 투영 값 측정의 관점에서 공식화된다.

Mackey의 원래 공식은 로컬 컴팩트한 두 번째 계산 가능(lcsc) 그룹 G, 표준 Borel 공간 X 및 Borel 그룹 액션으로 표현되었다.

$[\displaystyle G\time X\오른쪽 화살표 X,\quad (g,x)\mapsto g\cdot x.}$

우리는 이것을 표준 보렐 G-공간으로 언급할 것이다.

정의는 훨씬 더 일반적인 맥락에서 제시될 수 있지만, Mackey에 의해 사용된 원래 설정은 여전히 상당히 일반적이어서 더 적은 기술력을 필요로 한다.

정의.G는 표준 보렐 스페이스 X에 따라 행동하는 Lcsc 그룹이 되도록 하자.(G, X)에 근거한 부정성의 시스템은 분리 가능한 힐버트 공간 H와 다음으로 구성된 쌍으로 구성된다.

• 강하게 지속되는 단일하수체 표현 U: g → H에 G의 U_g.
• Borel 집합의 X에 대한 투영 값 측정값 π. H의 투영 값

어느 정도 만족하는

${\displaystyle U_{g}\pi(A)U_{g^{-1}=\pi(g\cdot A).}$

예

X는 표준 G 공간이고 X에 μ-마인산 첨가 불변량 측정치가 되도록 한다.이 말은

$\displaystyle \mu(g^{-1}A)=\mu(A)\quad }$

모든 g ∈ G와 보렐은 g의 A를 하위 집합으로 한다.

A의 지표함수로 π(A)를 곱하고 U를_g 연산자로 한다.

${\displaystyle [U_{g}\psi ](x)=\psi(g^{-1}x).\cHB }$

그 다음에 (U, ))는²_μ L(X)에 (G, X)의 부정의 체계다.

이러한 부정의 제도는 때때로 부정의 구프만 제도라고 불린다.

동질적인 부정 체계

부정성의 시스템은 다중성 n의 동종이며, 여기서 X에 대한 해당 투영 값 측정값 π이 다중성 n의 동종인 경우에만 1 ≤ n Ω이다.실제로 X는 보렐 세트의 카운트 가능한 디스조인트 패밀리_{n 1 ≤ n ≤ ω} {X}(으)로 분해되어 X에서_n π은 다중성 n의 동질성이 된다.또한_n X가 G 불변성이라는 것을 보여주는 것도 쉽다.

보조정리. 모든 부정직의 시스템은 동질의 직교적인 직접적인 합이다.

X에 대한 G의 작용이 전이적이라면, X에 대한 어떤 부정성의 시스템도 동질적이라는 것을 보여줄 수 있다.보다 일반적으로 X에 대한 G의 작용이 에르고딕(X의 불변적인 적절한 보렐 세트로 X를 줄일 수 없다는 의미)이라면 X에 대한 어떠한 부정의 시스템도 동질적이다.

이제 우리는 위의 예에서 제시된 쿠프만의 대표성을 일반화하는 형태로 불신성의 동질적 시스템 구조가 어떻게 표현될 수 있는지에 대해 논의한다.

다음에서는 G의 작용이 μ의 측정 등급을 존중하도록 표준 Borel G-space X에 대한 μ-핀 측정이라고 가정한다.이 조건은 비침습성보다 약하지만, 위의 예에서 쿠프만 운영자와 유사한 단일 번역 운영자를 구축하기에 충분하다.G는 측정 등급인 μ를 존중한다. 즉 라돈-니코딤 유도체를 의미한다.

${\displaystyle s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^{-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\in[0,\inflty )}}$

모든 G ∈ G에 대해 잘 정의되어 있다.

$(\displaystyle g^{-1}\mu (A)=\mu (GA)\cHB }$

보렐이 공동으로 측정할 수 있는 s 버전이 있다는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle s:G\time X\오른쪽 화살표 [0,\fty )}$

보렐은 측정할 수 있고 만족한다.

${\displaystyle s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^{-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\in[0,\inflty )}}$

(g, x) x G × X의 거의 모든 값에 대해.

H가 분리 가능한 힐버트 공간, U(H) H에 있는 유니터리 연산자라고 가정하자. 유니터리 코키클은 보렐 매핑이다.

${\displaystyle \Phi :G\time X\오른쪽 화살표 \operatorname {U}(H)}$

그런

$[\displaystyle \Phi(e,x)=I\quad }$

거의 모든 x x x x에 대해

$Phi(gh,x)=\Phi(g,h\cdot x)\피(h,x)}$

거의 모든(g, h, x)에 대해.위의 관계가 모든 (g, h, x) 모두를 위해 유지되는 경우에만 단일 코코아(cocycle)는 엄격하다.어떤 단일 코코아에 대해서도 거의 모든 곳에 동일한 엄격한 단일 코키아가 있다는 것을 보여줄 수 있다(Varadarajan, 1985)

정리.정의

${\displaystyle [U_{g}\psi ](x)={\sqrt {s(g,g^{-1}x)}}\Phi(g,g^{1}x)\\psi(g^{-1}x).}$

그렇다면 U는 힐베르트 공간에 G를 단일하게 표현한 것이다.

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }Hd\mu(x).}$

또한 보렐 세트 A에 대해 π(A)가 투영 연산자일 경우

${\displaystyle \pi (A)\psi =1_{A}\psi,\quad \int_{X}^{X}oplus }Hd\mu(x)\오른쪽 화살표 \int_{X}^{X}{\oplus }Hd\mu(x),}$

그 다음에 (U, ))는 (G,X)의 부정의 체계다.

반대로, 어떤 측정에서는 μ-마이너이트 측정 μ에 대해, 모든 동종 계통의 부정성은 이 형식이다.이 측정치는 동등성을 측정하기 위해 고유하다. 즉, 그러한 측정치 두 개가 동일한 측정치 0을 가지고 있다.

훨씬 더 많은 것이 동질적인 부정과 무위 사이의 일치성에 대해 말할 수 있다.

그러나 X에 대한 G의 작용이 전이적인 경우, 대응은 조치의 고정점 하위그룹으로 코키클 Ⅱ를 제한하여 얻은 표현에 기초하여 특히 명시적인 형태를 취한다.우리는 이 경우를 다음 절에서 고려한다.

예

분리 가능한 Hilbert 공간 H의 (G,X)의 (U, π) 계통은 G와 A의 G와 A의 보렐 부분집합에 대해 모든 연산자 U와_g π(A)에 따라 유일하게 닫힌 하위공간이 불변하는 경우에만 무효화된다.

만약 (U, ))이 되돌릴 수 없다면, π은 동질적이다.더욱이 앞의 정리대로 X에 대한 상응조치는 에고다이컬이다.

유도 표현

X가 보렐 G 공간이고 x ∈ X인 경우 고정 점 부분군

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g\cdot x=x\}}$

G의 닫힌 부분군이다. 우리는 단지 X에 대한 G의 작용이 Borel이라고 가정하고 있기 때문에, 이 사실은 비교가 안 된다.이를 증명하기 위해 표준 보렐 G스페이스가 작용이 지속되는 컴팩트 G스페이스에 임베딩될 수 있다는 사실을 활용할 수 있다.

정리.G가 X에 전이적으로 작용한다고 가정하자.그 다음 X에는 등가성을 측정하기 위해 고유하게 μs(즉, 그러한 두 가지 척도가 동일한 측정치 0을 가지고 있음)인 μ-핀 준상변량 측정치가 있다.

Ⅱ가 엄격한 단일고정일 경우

${\displaystyle \Phi :G\time X\오른쪽 화살표 \operatorname {U}(H)}$

그 다음 고정점 부분군_x G에 대한 restriction의 제한은 H에 대한 G의_x 측정 가능한 단일하수체 표현 U이다(여기 U(H)는 강한 연산자 위상이다).그러나 보렐의 측정 가능한 단일 대표성은 거의 모든 곳에서(하아르 측도와 관련) 강력하고 지속적인 단일 대표성과 동일하다고 알려져 있다.이 제한 매핑은 다음과 같은 기본적인 대응 방식을 설정한다.

정리.G가 준반변량 측정 μ로 X에 대해 전이적으로 작용한다고 가정하자.(G, X)의 부정성 시스템의 단일등가 등급과 G의_x 대표성의 단일등가 등급에서 편차가 있다.

더욱이 이 투영법은 (G, X)의 부정성 시스템인 (G, X)의 불분명성을 보존하는데, G의_x 해당 표현이 불분명할 경우에만 불분명하다.

G의_x 표현 V를 주어진 경우 G의 해당 표현을 V가 유도한 표현이라고 한다.

의 정리 6.2를 참조하라 (Varadarajan, 1985년).

집단표현 이론에 대한 적용

N의 자동화에 의해 작용하는 그룹 H에 의해 아벨 그룹 N의 반직접 생산물인 그룹 G의 대표성을 결정하는 데 있어서 부정성의 시스템은 자연적으로 발생한다.즉, N은 G = N H 및 N ∩ H = {e}(e는 G의 ID 요소임)과 같은 G의 정규 부분군임을 의미한다.

이것의 중요한 예는 비균형 로렌츠 그룹이다.

위와 같이 G, H, N을 고정하고 X를 N의 문자공간으로 한다.특히 H는 X에 의해 작용한다.

$[h\\cdot \chi ](n)=\chi(h^{-1}nh).}$

정리.(H, X)에 기초한 불임성 시스템의 G 표시에 대한 단일등가 등급과 단일등가 등급 사이에는 편차가 있다.이 서신은 서로 얽혀 있는 운영자를 보존한다.특히 G의 표현은 해당 불성실체계가 불성실할 경우에만 불성실하다.

이 결과는 특히 X에 대한 H의 작용이 X에 대한 모든 에고다이컬 준항변성 측정이 전이적일 때 흥미롭다.그 경우에, 각각의 그러한 척도는 지도에 의해 X에 대한 (전적으로 유한한 버전)의 하어 측도의 이미지인 것이다.

${\displaystyle g\mapsto g\cdot x_{0}.}$

이를 위해 필요한 조건은 H의 궤도를 구분하는 H 불변 보렐 세트의 계수 가능한 세트가 있다는 것이다.예를⁴ 들어, R의 문자 공간에 대한 로렌츠 그룹의 작용이 이에 해당한다.

예: 하이젠베르크 그룹

하이젠베르크 그룹은 다음 형식의 3 × 3 실제 행렬로 이루어진 그룹이다.

${\displaystyle {\bmatrix}1&x&z\0&y\\0&0&1\end{bmatrix}.}$

이 그룹은 의 반직접 제품이다.

${\displaystyle H={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\0&0&0\\end{bmatrix}:w\in \mathb {R}{\bigg \}}}}}$

아벨 정상 부분군

${\displaystyle N={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&t\\0&t\\0&1s\\0&1\end{bmatrix}:s,t\in \mathb {R}{\bigg\}}.}$

일반적인 행렬은 H에서 [w]로, 일반적인 행렬은 N에서 [s,t]로 나타낸다.그러면

${\displaystyle [w]^{-1}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}[w]={\begin{bmatrix}s\\-ws+t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-w&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}}$

w 전치 행렬에 의한 곱셈에 의한 R의² 이중 작용

${\displaystyle {\bmatrix}1&-w\\0&1\end{bmatrix}.}$

이것은 우리가 궤도와 대표이론을 완전히 결정할 수 있게 해준다.

궤도 구조:궤도는 두 가지 등급으로 나뉜다.

• 0이 아닌 값 y에서₀ y축을 교차하는 수평선.이 경우 우리는 이 노선에 대한 준불변적 조치를 르베그 측도로 취할 수 있다.
• X 축의 단일 점(x₀,0)

고정 점 부분군:이것들은 또한 궤도에 따라 두 부류로 분류된다.

• 하위 그룹 {0}
• H그룹 자체

분류:이로써 우리는 하이젠베르크 집단의 모든 불가해한 표현을 완전히 분류할 수 있게 되었다.이것들은 다음과 같은 세트에 의해 파라메트리된다.

• R − {0}.이것들은 무한한 차원이다.
• 페어(x₀, )) r R × R. x는₀ x축에 있는 단일점 궤도의 압시사, λ은 H의 이중 원소. 이것들은 1차원이다.

우리는 N과 H에 대한 제한을 기술함으로써 이러한 표현에 대한 명시적인 공식들을 적을 수 있다.

사례 1. 해당하는 표현 π은 다음과 같은 형식이다.Lebesgue 측정과 관련하여 L²(R)에 작용한다.

${\displaystyle(\pi [s,t]\filename )(x)=e^{ity_{0}e^{isx}\pair (x)\cHB }$

${\displaystyle(\pi [w]\filename )(x)=\display(x+filename_{0}\cHB }$

사례 2. 해당하는 표현은 1차원 문자에 의해 주어진다.

${\displaystyle \pi [s,t]=e^{isx_{0}}.\cHB }$

$\displaystyle \pi [w]=e^{i\lambda w}.\cHB }$

참조

• G. W. Mackey, University of Chicago Press, 1976.
• V. S. 바라다라얀, 양자 이론의 기하학, 스프링거-베를라크, 1985.
• 데이비드 에드워즈, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Synthetse, 제42권, No.11/1979년 9월, 페이지 1-70