결합 지도 격자

커플링 맵 격자(CML)는 비선형 시스템(특히 편미분 방정식)의 동작을 모델링하는 동적 시스템입니다.그것들은 주로 공간적으로 확장된 시스템의 혼돈한 역학을 질적으로 연구하는데 사용된다.여기에는 시스템의 크기가 ^[1]커짐에 따라 유효 자유도가 분산되는 시공간 혼돈의 역학이 포함됩니다.

CML의 기능은 이산 시간 역학, 이산 기본 공간(격자 또는 네트워크) 및 실제(수 또는 벡터) 로컬 연속 상태 ^[2]변수입니다.연구 대상 시스템에는 개체군, 화학 반응, 대류, 유체 흐름 및 생물학적 네트워크가 포함됩니다.최근에는 CML이 계산 네트워크에 적용되어 유해한 공격 방식이나 캐스케이드 장애를 특정하고 있습니다.

CML은 셀룰러 오토마타 모델에 필적하는 별개의 ^[4]특징입니다.단, 셀룰러 오토마타 네트워크에서의 각 사이트의 가치는 이전 시간 단계부터의 네이버에 의해 엄격하게 좌우됩니다.CML의 각 사이트는 반복 방정식의 결합 항에 상대적인 인접 라우터에만 의존합니다.그러나, 다성분 동적 시스템을 고려할 때 유사성은 복합될 수 있다.

서론

CML은 일반적으로 방정식(결합 또는 비결합), 유한한 수의 변수, 전역 또는 국소 결합 체계 및 대응하는 결합 항을 통합한다.기본 격자는 무한 차원으로 존재할 수 있습니다.CML에 대한 관심 매핑은 일반적으로 무질서한 동작을 나타냅니다.이러한 지도는 여기에서 찾을 수 있습니다: 혼돈 지도 목록.

로지스틱 매핑은 파라미터 r > 3.57에 대해 1차원으로 쉽게 식별할 수 있는 혼돈 동작을 나타냅니다.

\displaystyle \qquad x_{n+1}=display_{n}(1-x_{n})}

그림 1에서는 x $(\$ 작은 격자에 걸쳐 랜덤한 값으로 초기화되어 있으며, 이 값은 인접 사이트에 대해 분리되어 있습니다.각 격자점에 동일한 반복 관계가 적용되지만 각 시간 단계에 따라 매개변수 r이 약간 증가합니다.그 결과 지도 격자에서 무질서한 형태의 동작이 발생합니다.그러나 혼돈한 행동에는 유의한 공간적 상관관계나 관련 전선이 없다.명확한 순서는 없습니다.

기본 커플링의 경우 $,$ $주어진$ $s-1$ s $s-1$ $displaystyle$ s $s$ $\$ displaystyle s\displaystyle s-1 $s$ \ $displaystyle s-1$ \displaystyle s-1 $\$ displaystyle s-1\ $displaystyle s-1}$ 의 $\epsilon =0.5$ 재귀 맵에서 값이 계산되는 ' $\epsilon =0.5$ 인접' 커플링을 고려한다 $.$ ghted. 다시, r $\displaystyle$ r의 $r$ $r$ 은 격자에 걸쳐 일정하지만, 시간이 지날 때마다 약간 증가합니다.

\qquad x_{n+1}=(\silon)[filon_{n}(1-x_{n})]_{s}+(1-\silon)[filon_{n}(1-x_{n})]_{s-1

비록 재귀가 혼란스럽지만, 진화 과정에서 더 단단한 형태가 발달합니다.격자 전체에 걸쳐 가늘고 긴 대류 공간이 지속된다(그림 2 참조).


그림 1: 분리되지 않은 로지스틱 맵 격자 무작위로 40번 이상 씨뿌리기를 반복한다.	그림 2: 1개의 네이버가 있는 CML 40회 이상 반복된 결합 방식입니다.

역사

CML은 1980년대 중반에 밀접하게 공개된 일련의 ^[5]^[6]^[7]^[8]출판물을 통해 처음 도입되었습니다.카프랄은 화학적 공간 현상을 모델링하기 위해 CMLs를 사용했다.Kuznetsov는 (공간적으로 확장된 시스템에 대한 Feigenbaum의 보편성과 유사) 재규격화 그룹 접근법을 개발함으로써 전기 회로에 CML을 적용하고자 했다.가네코의 초점은 보다 넓어, 지금도 이 ^[9]분야에서 가장 활발한 연구자로 알려져 있다.가장 많이 조사된 CML 모델은 1983년 가네코에 의해 도입되었다. 여기서 반복 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle u_{s}^{t}=(1-\varepsilon)f(u_{s}^{t})+left(f(u_{s+1}^{t})+f(u_{s-1}^{t}\right)\t\in \mathbbbbbb {\v}\v},

$u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,$ 서 $u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,$ t $u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,$ R $u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,$ , {\ $style u_{s}^{t}\in$ { $mathbb {R}\,}$ $f$ f {\ $displaystyle$ f $}$ 는 $f$ 실제 매핑입니다.

적용된 CML 전략은 다음과 같습니다.

거시적 수준에서 격자에서 필드 변수 집합을 선택합니다.치수(CML 시스템에 의해 제한되지 않음)는 조사 중인 물리적 공간에 대응하도록 선택해야 한다.
(현상의 기초가 되는) 공정을 독립적인 성분으로 분해합니다.
각 성분을 각 격자점에서 필드 변수의 비선형 변환과 적합하고 선택된 인접 라우터에서의 결합 항으로 대체합니다.
각 유닛 다이내믹스("절차")를 순차적으로 수행합니다.

분류

CML 시스템은 벡터 시퀀스에 대한 매핑을 통해 이산 시간을 통해 진화합니다.이러한 매핑은 두 개의 경쟁 용어의 재귀 함수입니다. 즉, 개별 비선형 반응과 가변 강도의 공간적 상호작용(커플링)입니다.CML은 이 결합 파라미터의 강도로 분류할 수 있습니다.

CMLs에서 현재 발표된 연구의 대부분은 동일성에 가까운 상태 공간의 차이 동형이 연구되는 약한 결합 시스템에 기초한다.단조로운(안정적인) 동적 체제와의 약한 결합은 공간 카오스 현상을 나타내며 신경 ^[11]모델에서 인기가 있다.약한 커플링 단모달 맵은 안정적인 주기점에 의해 특징지어지며 유전자 조절 네트워크 모델에 의해 사용된다.시공간 혼돈현상은 약한 결합계수에 따른 혼돈 매핑에서 입증할 수 있으며 위상 전이현상 모델에서 인기가 있다.

중간 결합 상호작용과 강한 결합 상호작용은 연구량이 적은 영역이다.중간 상호작용은 전방과 이동파, 산재 분지, 산재 분지, 클러스터 및 비고유상에 대해 연구된다.강한 결합 상호작용은 쿠라모토 모델과 같은 동적 공간 시스템의 동기화 효과를 모델링하는 것으로 가장 잘 알려져 있다.

이러한 분류는 상호작용의 로컬 또는 글로벌(GML) 커플링 특성을 반영하지 않습니다.또한 시스템의 ^[13]자유도로 존재할 수 있는 커플링의 주파수를 고려하지 않습니다.마지막으로 기본 공간의 크기나 경계 조건을 구분하지 않습니다.

놀랍게도 CML의 역학은 기본 구성요소를 구성하는 로컬 지도와 거의 관련이 없습니다.각 모델에 대해 (시각적 해석을 넘어) 혼돈 상태를 식별하기 위해 엄격한 수학적 조사가 필요하다.이 취지의 엄밀한 증거가 행해졌다.예: 강력한 통계 특성을 가진 1차원 지도의 약한 공간 상호작용에서 시공 혼돈의 존재가 1988년 ^[14]부니모비치와 시나이에 의해 증명되었다.같은 조건에서 약하게 결합된 쌍곡선 지도에 대해서도 유사한 증거가 존재합니다.

고유한 CML 질적 클래스

CML은 (CML) 현상학에서 새로운 질적 보편성 클래스를 공개했습니다.이러한 클래스는 다음과 같습니다.

공간 분리와 얼어붙은 혼돈
패턴 선택
지그재그 패턴의 선정과 결함의 무질서한 확산
시공간 간헐성
솔리톤 난기류
국소 위상 슬립에 의해 생성된 전역 이동파
오픈 플로우 시스템에서 다운플로우로의 공간 분기.

시각 현상

위에 나열된 고유한 질적 클래스를 시각화할 수 있습니다. ${f(x_{n})}=1-ax^{2}$ 1983 모델을 로지스틱 f ${f(x_{n})}=1-ax^{2}$ $=$ ${f(x_{n})}=1-ax^{2}$ - ${f(x_{n})}=1-ax^{2}$ ${f(x_{n})}=1-ax^{2}$ { $displaystyle {f(x_{n$ })}= $1-ax^{2$ }} ${f(x_{n})}=1-ax^{2}$ 맵에 적용하면 여러 CML 정성 클래스를 관찰할 수 있다.다음은 고유 파라미터에 대해 설명하겠습니다.

프로즌 카오스	패턴 선택	카오스 브라운 결함 운동

그림 1: 사이트는 불균일 클러스터로 분할되어 있으며, 분할된 패턴은 유인 요소로 간주됩니다.초기 조건에 대한 민감도는 a < 1.5에 비해 존재합니다.	그림 2: 거의 균일한 크기의 클러스터(a = 1.71, θ = 0.4)	그림 3: 시스템에 결함이 있으며 브라운 운동과 유사한 무질서하게 변동합니다(a = 1.85, δ = 0.1).
결함 난류	시공간 간헐성 I	시공간 간헐성 II

그림 4: 많은 결함이 발생하고 난류가 충돌합니다(a = 1.895, θ = 0.1).	그림 5: 각 부위는 간헐적으로 (a = 1.75, θ = 0.6), 1단계에서 간섭 상태와 혼돈 상태 사이를 이동한다.	그림 6: 일관성 있는 상태 단계 II
완전히 발달된 시공간 혼돈	진행 중인 파도

그림 7: 대부분의 사이트는 독립적으로 무질서하게 진동합니다(a = 2.00, θ = 0.3).	그림 8: 클러스터의 파형은 '저' 속도로 이동합니다(a = 1.47, θ = 0.5).

정량분석 수량화

시뮬레이션이 용이한 공간 확장 시스템의 프로토타입인 결합 지도 격자는 시공간 혼돈의 많은 지표의 정의와 도입에 대한 벤치마크를 나타내며, 가장 관련성이 높은 것은 다음과 같다.

시공간에서의 파워 스펙트럼
랴푸노프 스펙트럼^[15]
치수 밀도
콜모고로프-시나이 엔트로피 밀도
패턴의 분포
패턴 엔트로피
유한 및 극소 교란 전파 속도
시공간의 상호 정보와 상관 관계
Lyapunov 지수, Lyapunov 벡터의 현지화
랴푸노프 지수와의 결합 및 부분 공간 시간
공간 및 시간 랴푸노프 지수

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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추가 정보

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카오스 및 비선형 역학 소개

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