민코프스키-불리간드 차원

프랙털 지오메트리에서 민코프스키-불리간드 차원은 민코프스키 차원 또는 박스 카운팅 차원으로도 알려져 있으며 $유클리드{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$Rn$${\$displaystyle$ \$mathbb${R} ^{$n},$또는 보다 일반적으로 메트릭 공간$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle d)}$ ${\displaystyle (X, d)}$에서 집합 $S {\displaystyle$ S$}$의 프랙털 차원을 결정하는 방법입니다$.$ 이름은 폴란드 수학자 헤르만 민코프스키와 프랑스 수학자 조르주 불리간드의 이름을 따서 지어졌습니다.

프랙탈 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 이 차원을 계산하려면 이 프랙탈이 균일한 간격의 격자 위에 놓여 있다고 상상하고 집합을 덮는 데 필요한 상자 수를 세십시오$.$ 박스 카운팅 차원은 박스 카운팅 알고리즘을 적용하여 그리드를 미세화함에 따라 이 수치가 어떻게 변하는지를 확인하여 계산됩니다.

$($ε) {\displaystyle$N(\$varepsilon )}이(가) 집합을 덮는 데 필요한 측면$길이$ ε {\$displaystyle \$varepsilon}의 상자 수라고 가정합니다. 그러면 박스 계수 차원은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S):=\lim_{\varepsilon \ to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}$

대략적으로, 이것은 치수가 ${\displaystyle N^{}}$(${\displaystyle 1}$/ n${\displaystyle )}$≈ $C와 {\displaystyle$N(1/$n)\approx$Cn$^\{$d}가 되도록 지수 $d$ ${\displaystyle d}$임을 의미하며$,$ 이는 S ${\displaystyle$ S}가 정수$치수$ d${\displaystyle$ d$\}$의 매끄러운 공간(다기관)인 사소한 $경우$에 기대할 수 있는 것입니다.

위 한계가 존재하지 않는 경우에도 상한 우월 한계와 하한 열등 한계를 취할 수 있습니다. 이 한계는 각각 상한 상자 차원과 하한 상자 차원을 정의합니다. 상위 상자 차원은 엔트로피 차원, 콜모고로프 차원, 콜모고로프 용량, 한계 용량 또는 상위 민코프스키 차원이라고도 하며, 하위 상자 차원은 하위 민코프스키 차원이라고도 합니다.

상자의 상단 및 하단 치수는 더 인기 있는 하우스도르프 치수와 밀접한 관련이 있습니다. 매우 특수한 경우에만 세 가지를 구별하는 것이 중요합니다(아래 참조). 프랙탈 차원의 또 다른 척도는 상관 차원입니다.

대체 정의

커버링 번호 또는 패킹 번호 중 하나로 볼을 사용하여 박스 치수를 정의할 수 있습니다. 커버링$$ N ${\displaystyle {\text{커버링}}_{}}$(ε$)$ {\$displaystyle$N_{\$text{covering}}(\$varepsilon)}은 프랙탈을 커버하는 데 필요한 반지름 ε의 열린 공의 최소 수이다. 우리는 또한 동일한 ${\displaystyle {\text{방식}}_{}^{}}$으로 정의되지만 열린 공의 중심이 집합 S 내부에 있어야 하는 추가 요구 사항이 있는 고유 피복 번호$$ε${\displaystyle {}_{}^{}}$ε) {\displaystyle $N'$_{\$text{covering$varepsilon)}를 고려할 수 있습니다. 패킹 번호 $N$ ${\displaystyle {\text{패킹}}_{}}$ε) {\$displaystyle$N_{\$text{packing}}(\$varepsilon)}은 중심이 프랙탈 내부에 있도록 배치할 수 있는 반지름 ε의 서로소인 열린 공의 최대 개수입니다. N, N_covering, N'_covering 및 N은_packing 완전히 동일하지는 않지만 밀접하게 관련되어 있으며 상자 크기와 상자 크기의 동일한 정의를 생성합니다. 이는 다음과 같은 부등식이 입증되면 쉽게 증명할 수 있습니다.

${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}(\varepsilon /2)}$

이것들은 차례로 삼각형 부등식에서 약간의 노력을 기울여서 따라갑니다.

사각형이 아닌 공을 사용하는 것의 장점은 이 정의가 모든 미터법 공간에 일반화된다는 것입니다. 즉, 상자 정의는 외재적입니다. 프랙탈 공간 S가 유클리드 공간에 포함되어 있다고 가정하고 포함 공간의 외부 기하학에 따라 상자를 정의합니다. 그러나 S의 차원은 S가 배치되는 환경과 무관하게 고유해야 하며 볼 정의는 고유하게 공식화될 수 있습니다. 하나는 내부 공을 선택한 중심의 특정 거리 내에 있는 S의 모든 점으로 정의하고, 하나는 차원을 얻기 위해 이러한 공을 세는 것입니다. (더 정확하게는 N의_covering 정의는 외부적이지만 나머지 두 개는 내부적입니다.)

상자를 사용하면 많은 경우 N(ε)을 명시적으로 쉽게 계산할 수 있으며 상자의 경우 덮개와 포장 번호(동일한 방법으로 정의됨)가 동일하다는 장점이 있습니다.

패킹과 피복수의 로그는 때때로 엔트로피 수라고 불리며, 열역학적 엔트로피와 정보이론적 엔트로피의 개념과 어느 정도 유사합니다. 미터법 공간 또는 프랙탈의 "disorder"의 양을 척도 ε에서 측정하고 또한 ε를 정확하게 하기 위해 공간의 점을 지정하는 데 필요한 비트 또는 자릿수를 측정합니다.

박스 계수 차원에 대한 또 다른 등가(외재적) 정의는 다음 공식에 의해 제공됩니다.

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\logr}}$

각 r > 0인 경우, 집합 ${\displaystyle {Sr}_{}}$ ${\$은 S의 r-근접, 즉 Rn ${\$ R$^{n}$의 모든 점들의 집합으로 정의됩니다$$($또는{\displaystyle {}_{}}$ 이와 동등하게, ${\displaystyle {Sr}_{}}${\$displaystyle S_{r}$은 S의 한 점을 중심으로 하는 반지름 r의 모든 열린 공들의 합입니다$$).

특성.

두 상자 차원 모두 유한 가산입니다. 즉, {A₁, ..., A}가_n 유한 집합일 경우

${\displaystyle \dim(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim A_{1},\dots,\dim A_{n}\}$

그러나 이들은 셀 수 없이 덧셈적이지는 않습니다. 즉, 이 등식은 집합들의 무한한 시퀀스에 대해 성립하지 않습니다. 예를 들어, 단일 점의 상자 치수는 0이지만 [0, 1] 구간의 유리수 집합의 상자 치수는 치수가 1입니다. 비교에 의한 하우스도르프 측정은 셀 수 없이 추가적입니다.

상위 상자 차원이 하위 상자 차원이나 하우스도르프 차원 중 어느 것과도 공유되지 않는 흥미로운 속성은 덧셈을 설정하기 위한 연결입니다. 유클리드 공간에서 A와 B가 두 집합일 때, A+B는 모든 점 a, b는 A에서 온 것이고 b는 B에서 온 것이며 a+b를 더하면 됩니다. 하나는.

${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}(B)}$

하우스도르프 차원과의 관계

박스 카운팅 차원은 프랙탈에 적용할 수 있는 차원에 대한 여러 정의 중 하나입니다. 많은 잘 작동하는 프랙탈의 경우 이러한 차원은 모두 동일합니다. 특히 프랙탈이 개방 집합 조건(OSC)을 만족할 때마다 이러한 차원이 일치합니다.^[1] 예를 들어, 칸토어 집합의 하우스도르프 치수, 하부 상자 치수 및 상부 상자 치수는 모두 log(2)/log(3)와 같습니다. 그러나 정의는 동일하지 않습니다.

박스 치수와 하우스도르프 치수는 부등식과 관련이 있습니다.

${\displaystyle \dim_{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{아래 상자}}\leq \dim _{\text{윗 상자}}}$

일반적으로 두 불평등 모두 엄격할 수 있습니다. 프랙탈이 다른 척도에서 다른 동작을 갖는 경우 상단 상자 치수가 하단 상자 치수보다 클 수 있습니다. 예를 들어 [0, 1] 구간의 숫자들의 집합을 조사하여 조건을 만족시킵니다.

임의의 n에 대해서는 두²ⁿ 번째 자리부터 (2²ⁿ⁺¹ - 1)번째 자리 사이의 모든 숫자는 0입니다.

"홀수 간격"의 숫자, 즉 2와²ⁿ⁺¹ 2 - 1²ⁿ⁺² 사이의 숫자는 제한되지 않으며 어떤 값도 취할 수 있습니다. 이 프랙탈은 상부 상자 치수 2/3 및 하부 상자 치수 1/3을 가지며, 이 사실은 ε = 10 - 2 n {\displaystyle \varepsilon = 10^{-2^{n}}에 대해 N(ε)을 계산하고 n개의 짝수 및 홀수에 대해 값이 다르게 동작한다는 점에 주목하면 쉽게 확인할 수 있습니다.

또 다른 예: 유리수 집합 $Q$ ${\displaystyle \mathbb {Q$ ${\displaystyle {\dim }_{}}$ ${\displaystyle Haus}$ = 0 ${\displaystyle$ \$dim_{\text{$$Haus$}}$=0},$ 폐쇄 R {\displaystyle \mathbb {R}, 차원 1이 있기 때문에 딤 박스 $=$ 1 {\displaystyle \dim _{\text{box}}$=$ 1}이(가) $있습니다$. 실은.

${\displaystyle \dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3},{\frac {1}{4},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}$

이 예들은 셀 수 있는 집합을 추가하면 상자 치수가 변경될 수 있음을 보여주며, 이 치수의 일종의 불안정성을 보여줍니다.

참고 항목

• 상관차원
• 포장 치수
• 불확정성지수
• 바일-베리 추측
• 라쿠나리티

참고문헌

• Falconer, Kenneth (1990). Fractal geometry: mathematical foundations and applications. Chichester: John Wiley. pp. 38–47. ISBN 0-471-92287-0. Zbl 0689.28003.
• Weisstein, Eric W. "Minkowski-Bouligand Dimension". MathWorld.

외부 링크

• FrakOut!: 박스 카운팅 방법을 사용하여 형상의 프랙탈 치수를 계산하기 위한 OSS 응용 프로그램(자동으로 박스를 배치하지 않음).
• FracLac: 온라인 사용자 가이드 및 소프트웨어 ImageJ 및 FracLac box counting plugin; 생물학의 디지털 이미지 분석을 위한 무료 오픈 소스 소프트웨어