A Comparative Study of Frequency Response Models For Pressure Transmission System
A Comparative Study of Frequency Response Models For Pressure Transmission System
A Comparative Study of Frequency Response Models For Pressure Transmission System
83
Vol. 24, No. 2, pp. 83-93, 2020
압력전달시스템을 위한 주파수응답모델들의 비교 연구
김현준 a, * ․ 최환석 a
ABSTRACT
초 록
This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org
/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
84 김현준 ․ 최환석 한국추진공학회지
cavity 는다.
p1 : Amplitude of pressure oscillation at 이러한 공진주파수를 빠르게 얻기 위해 본 연
the inlet of the cavity 구에서는 기존에 많이 이용하는 집중계 모델인
Rt : Radius of tube 이차계(2nd order system)와 가장 엄밀한 해석적
Vv : Pressure transducer volume 설계식인 섭동(perturbation) 모델을 비교 분석하
Vt : Tube volume 여 이들 모델들의 적절한 적용 방법에 대한 가
μ : Dynamic viscosity of the fluid 이드라인을 제공하고자 한다.
ρ : Density of the fluid
σ : Dimensionless increase in transducer 1.2 동적응답모델의 문헌 조사
volume due to diaphragm deflection 압력전달시스템의 동적응답특성을 예측하기
φ : Complex wave propagation factor 위한 해석적 모델은 크게 두 가지 방식으로 구
ω : Angular frequency 분된다. 첫 번째는 시스템을 집중계(lumped
ωn : Natural angular frequency system)로 모델링하여 이차축소모델(2nd order
δi : Interior end-correction factor reduced model)을 이용하여 해석하는 방법[2-6]
δe : Exterior end-correction factor 이다. 두 번째는 연속체 역학을 바탕으로 섭동
이론(small perturbation theory)을 이용하여 지
배 방정식으로부터 전달함수를 얻는 방법이다
1. 서 론 [7]. 이와 같은 해석적 모델의 해는 기본 설계
단계에서 빠르게 공진주파수를 확인할 수 있는
1.1 연구 배경 및 목적 유용한 방법이다.
동압 측정을 위한 센서는 반드시 flush 마운트 집중계에 의한 해석 방법은 압력전달시스템에
로 체결해야 한다. 하지만 공간적인 이유와 고온 채워져 있는 매질을 하나의 가스 덩어리로 간주
노출에 따른 센서 보호 등의 이유로 동압 센서 하겠다는 의미이다[8]. 이차 모델은 이미
는 압력전달시스템(유도관)을 설계하여 측정하고 Whitmore & Leondes[5]가 단순화된 파동 방정
자 하는 위치로부터 떨어져서 계측을 하기도 한 식에서 역 라플라스 변환을 통해 유도됨을 보였
다. 특히, 가스터빈의 경우 연소실의 온도가 다. 즉, 이차 계는 1차 공진주파수에 대한 2차
1200 K 수준인데 반해 로켓 엔진의 연소기는 이 축소 방정식(reduced equation)으로 이해될 수
보다 훨씬 높은 3000 K을 상회하는 고온에서 동 있다. 이 방정식의 주파수응답특성은 다음과 같
작하는 시스템이기 때문에 연소실의 동압 측정 다.
을 더욱 어렵게 한다.
이를 극복하기 위해 센서와 접촉하는 면을 포
(1)
함하는 부피(volume of cavity)와 이를 연결하는
튜브(tube)로 이루어진 기하학적 형상(이하 압력
전달시스템으로 지칭함)을 이용하여 연소실의 고
이 모델은 간단하며 문헌[4]에도 소개되어 있
온에 센서가 손상되지 않고 연소실 내부의 동압
어 초기 연구자들이 가장 먼저 접근하게 되는
변동을 안정적으로 측정할 수 있도록 설계를 한
모델이다. 여기서 공진주파수는 다음과 같다.
다. 그러므로 압력전달시스템의 주파수응답특성
을 알아야 바람직한 측정 범위를 알 수 있다.
(2)
즉, 보편적인 동압 센서 고유의 공진주파수(>25
kHz[1])와는 관계없이 측정 가능한 주파수는 주
로 압력전달시스템의 공진주파수에 지배를 받 상기 식은 Helmholtz 공진기의 공진주파수를
제24권 제2호 2020. 4. 압력전달시스템을 위한 주파수응답모델들의 비교 연구 85
압력과 온도는 공간적으로 집중계로 간주한다. 용 범위가 제한된다. 따라서 무분별하게 적용하
센서 자체의 공진주파수가 압력전달시스템의 주 면 잘못된 결과를 얻을 수 있다. 이 때문에 접근
파수보다 커야 한다[7,26]. 방법에 있어서 가이드라인이 필요하다.
이 수학적 모델은 많은 문헌[8,26-31]에서 검증 본 연구에서는 압력전달시스템의 공진주파수
이 되었고 일정한 벽면 온도와 층류 유동일 때 보다 작은 주파수인 사용가능주파수를 얻는 것
기체와 액체 압력 측정 시스템의 주파수응답특 이 목적이다. 각각의 모델들은 진폭과 위상에 대
성을 계산하는 도구로 사용되고 있다. 한편, 해 검증이 이미 잘 이루어져 있어서 사용가능주
cavity와 유도관 1 set만을 고려할 경우 식은 다 파수를 얻는데 이용되는 진폭에 주로 초점을 맞
음과 같이 단순화된다. 추어 각각의 모델들을 비교 분석하였다.
Fig. 6 Comparison of experiment and analytic models Fig. 9 Comparison of experiment and analytic models
for single pressure measuring system, L/d = for single connecting tube, L/d = 1.8, d = 52.5
476, d = 1.05 mm (Bergh & Tijdeman[7]). mm (Singh[36]).
제24권 제2호 2020. 4. 압력전달시스템을 위한 주파수응답모델들의 비교 연구 89
진주파수를 예측하였다.
L/d가 큰 영역에서는 약간의 편차는 존재하
지만 Bergh & Tijdeman과 Whitmore & Leondes
모델이 실험치를 잘 따르고 있다(Fig. 11). 반
면, Rayleigh 모델은 실험치와 차이가 다소 존
재한다.
정리하면, L/d가 클수록 모델에 따른 공진주
파수의 차이가 작게 나타나고 있고 L/d가 작을
수록 Bergh & Tijdeman과 Whitmore & Leondes
모델은 예측이 명백히 실패한다는 점을 알 수
있다. 이는 이들 모델이 기본적으로 L/d >> 1의
Fig. 12 Natural frequencies and usable frequency
가정에서 유도되었기 때문이다. range with 10 % error at overall L/d
이와 같은 Kobayashi등의 문헌에 제시된 시험 (Kobayashi[8]).
데이터와의 비교 분석으로부터 L/d가 클수록
Bergh & Tijdeman과 Whitmore & Leondes 모 도관의 공진주파수를 기준으로 오차 범위를 어
델을 사용하는 것이 적절해 보이고 L/d가 작은 디까지 정할 것인지는 연구자가 직접 결정해야
영역에서는 Rayleigh 모델을 사용하는 것이 더 한다.
좋은 예측 결과를 보여준다. Fig. 12는 Kobayashi등의 문헌의 데이터로부
터 공진주파수와 함께 10% 오차를 허용할 경우
사용가능주파수 영역을 표시하였다. L/d < 1 경
3. L/d와 사용가능주파수 영역과의 관계 우 Rayleigh 모델의 10% 오차 허용시 그래프를
경계로 저주파수 영역이 사용가능주파수 영역이
압력 유도관으로부터 올바른 계측 범위를 판 고 L/d >> 1의 경우 Whitmore & Leondes 모
단하기 위해 공진주파수만을 기준으로 평가할 델의 10% 오차 허용시 그래프를 경계로 저주파
수는 없다. 공진주파수 근처에서는 측정된 동압 수 영역이 사용가능주파수를 의미한다. L/d가 1
이 증폭되어 나타나기 때문에 공진주파수로부터 근처에서 두 모델의 예측이 서로 비슷한 경향을
떨어진 영역을 기준으로 삼아야 한다. 이상적으 보인다. 이 부분은 향후 연구가 더 필요하다.
로는 진폭 비(amplitude ratio)가 1인 영역을 기 L/d >> 1 영역에서는 Bergh & Tijdeman과
준으로 해야 하지만 물리적으로 완벽한 1인 영 Whitmore & Leondes 모델이 거의 비슷한 공진
역은 제한적이므로 허용할 수 있는 가이드라인 주파수를 예측하였고 사용가능주파수 범위는 줄
을 정해야 한다. 어들지만 두 가지 모델이 거의 비슷하다. 따라서
센서 제조사들은 센서 자체의 공진주파수가 두 가지 모델의 어느 것을 사용해도 결과에 큰
존재하므로 사용 가능한 주파수 범위를 공진주 영향을 주지 않을 것이다. 그러나 기본 설계 단
파수의 약 20% 수준으로 엄밀하게 정하고 있다. 계에서 비교적 간단한 모델이 실제 적용하기가
이는 허용 가능 오차가 5%(p1/p0 = 1.05) 정도가 용이하기 때문에 Bergh & Tijdeman 모델과 같
된다. 이렇게 하면 측정 가능 범위가 줄어들기 이 코딩이 요구되는 복잡한 모델보다는
때문에 오차 범위를 10%(p 1 /p 0 = 1.1) 혹은 3 Whitmore & Leondes의 이차계 모델이 사용 측
dB(p1/p0 = 1.4)까지로 정하기도 한다[37]. 그러 면에서 더 유리하다.
나 통상적으로 공진주파수의 25% 까지를 사용 한편, L/d < 1 영역에서는 앞의 두 모델의 정
가능한 주파수 범위[8]로 정하고 있고 이는 허용 확도가 떨어지므로 Rayleigh 모델을 사용하는
오차 범위 5 ~ 10%의 수준이다. 따라서 압력 유 것이 적절해 보인다. Rayleigh 모델의 예측 결과
제24권 제2호 2020. 4. 압력전달시스템을 위한 주파수응답모델들의 비교 연구 91
Frequency Shifts of Helmholtz Resonator Journal of Sound and Vibration, Vol. 283,
Array Panel Brought by Change in No. 3-5, 2005, pp. 1180-1186 doi:10.1016/j.
Resonator Arrangements,” Korean Society for jsv.2004.06.044.
Noise and Vibration Engineering(KSNVE), 19. Schuder, C. B., and Binder, R. C. “The
2005, pp. 97-100. Response of Pneumatic Transmission Lines
11. Ver, I. L., and Beranek, L. L., Eds. Noise to Step Inputs,” Journal of Basic Engineering,
and Vibration Control Engineering: Vol. 81, 1959, pp. 578-584.
Principles and Applications. Wiley, 20. Hougen, J. O., Martin, O. R., and Walsh,
Hoboken, N.J, 2006. R. A. “Dynamics of Pneumatic
12. Dickey, N. S., and Selamet, A. “Helmholtz Transmission Lines,” Control Engineering,
Resonators: One-Dimensional Limit for Vol. 10, No. 9, 1963, pp. 114-117.
Small Cavity Length-to-Diameter Ratios,” 21. Elson, J. P., and Soedel, W. “Criteria for
Journal of Sound and Vibration, Vol. 195, the Design of Pressure Transducer Adapter
No. 3, 1996, pp. 512-517 doi:10.1006/jsvi. Systems,” International Compressor
1996.0440. Engineering Conference, 1972, p. 6.
13. Mekid, S., and Farooqui, M. “Design of 22. Whitmore, S. A., and Fox, B. “Improved
Helmholtz Resonators in One and Two Accuracy, Second-Order Response Model
Degrees of Freedom for Noise Attenuation for Pressure Sensing Systems,” Journal of
in Pipelines,” Acoustics Australia, Vol. 40, Aircraft, Vol. 46, No. 2, 2009, pp. 491-500
No. 3, 2012, pp. 194-202. doi:10.2514/1.36262.
14. Monteiro, M., Marti, A. C., Vogt, P., 23. Casiano, M. J. Extracting Damping Ratio
Kasper, L., and Quarthal, D. “Measuring From Dynamic Data and Numerical
the Acoustic Response of Helmholtz Solutions. Publication NASA/TM 2016-218
Resonators,” The Physics Teacher, Vol. 53, 227. 2016, p. 42.
No. 4, 2015, pp. 247-249 doi:10.1119/1.4914 24. Stecki, J. S., and Davis, D. C. “Fluid
572. Transmission Lines-Distributed Parameter
15. Webster, E. S., and Davies, C. E. “The Use Models Part 1: A Review of the State of
of Helmholtz Resonance for Measuring the the Art,” Proceedings of the Institution of
Volume of Liquids and Solids,” Sensors, Mechanical Engineers, Part A: Power and
Vol. 10, No. 12, 2010, pp. 10663-10672 Process Engineering, Vol. 200, No. 4, 1986,
doi:10.3390/s101210663. pp. 215-228.
16. Kirby, R., and Duan, W. “Sound Radiation 25. Iberall, A. S. “Attenuation of Oscillatory
from the Open End of Pipes and Ducts in Pressures in Instrument Lines,” Journal of
the Presence of Mean Flow,” Acoustics, Research of the National Bureau of Standards,
2017, p. 9. Vol. 45, No. 1, 1950, p. 85 doi:10.6028/
17. Lawrence E. Kinsler, Austin R. Frey, Alan jres.045.008.
B. Coppens, and James V. Sanders. 26. Svete, A., and Kutin, J. “Optimal
Fundamentals of Acoustics, John Wiley & Dimensions of Connecting Tubes for
Sons Inc., 2000. Dynamic Measurements of Pressure,”
18. Ji, Z. L. “Acoustic Length Correction of Journal of Physics: Conference Series, Vol.
Closed Cylindrical Side-Branched Tube,” 1065, 2018, p. 162006 doi:10.1088/1742-
제24권 제2호 2020. 4. 압력전달시스템을 위한 주파수응답모델들의 비교 연구 93
6596/1065/16/162006. 1016/S0032-5910(99)00078-9.
27. Fisher, A., Watkins, S., and Watmuff, J. 32. Yunas A. Cengel, and Michael A. Boles.
“Dynamic Calibration of Pressure Thermodynamics: An Engineering Approach.
Measurement Systems: An Improved McGraw-Hill, 2003.
Method,” 18th Australasian Fluid Mechanics 33. Jakevicius, L., Demcenko, A., and
Conference, 2012, p. 4. Mardosaite, R. “Ultrasound Attenuation
28. Johnson, R. B. A Technique for Measuring Dependence on Air Compression or
Unsteady Pressures. NAVAL Postgraduate Expansion Processes,” Ultragarsas, Vol. 65,
School, 1968. No. 1, 2010, pp. 42-46.
29. Holmes, J. D., and Lewis, R. E. “The 34. Walter, T., Gossweiler, C., and Willson, B.
Dynamic Response of Pressure - “Application of an Improved Model for
Measurement Systems,” 9th Australasian the Determination of Acoustic Resonances
Fluid Mechanics Conference, 1986, p. 4. in Indicator Passages for Combustion
30. Boerrigter, H. L., and Charbonnier, J. M. Pressure Measurements in Large Bore Gas
Design and Calibration of an Unsteady Engines,” Kistler, p. 14.
Pressure Measurement System,. Presented 35. Rayleigh, J. W. S. The Theory of Sound.
at the ICIASF'97 Record. International London: The Macmillan Company, 2nd
Congress on Instrumentation in Aerospace edn. Reprinted 1945, New York: Dover
Simulation Facilities, 1997. Publications, 1876.
31. van Ommen, J. R., Schouten, J. C., vander 36. Singh, S. Tonal Noise Attenuation in Ducts
Stappen, M. L. M., and van den Bleek, C. by Optimising Adaptive Helmholtz
M. “Response Characteristics of Resonators. MS thesis. The Univ. of
Probe-Transducer Systems for Pressure Adelaide, Australia, 2006.
Measurements in Gas-Solid Fluidized Beds: 37. Piezoelectric Accelerometers: Theory and
How to Prevent Pitfalls in Dynamic Application. Metra Mess- und
Pressure Measurements,” Powder Technology, Frequenztechnik, 2001.
Vol. 106, No. 3, 1999, pp. 199-218 doi:10.