Asymptotic Expansion for Distribution Laws of the Arithmetic Multiplicative Functions

MATEMATIKOS RINKINYS М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й С Б О Р Н И К LIETUVOS Л И Т О В С К И Й XII 2 19 7 2 511 У Д К А СИ М П Т О Т И Ч ЕСК О Е РА ЗЛ О Ж ЕН И Е ЗА К О Н О В РА СП РЕД ЕЛ ЕН И Я М УЛ Ь ТИ П Л И К А Т И В Н Ы Х А РИ Ф М ЕТ И Ч ЕСК И Х Ф УН К Ц И Й Э . М а н ст а в и ч ю с I. Р а с с м о т р и м ц и и g (т ). у сл о в и я м , у к а за н н ы м т в о р я ю щ и х и н т е р е со в а т ь vn м ы с н е к о т о р ы м и — λ |. Б у д е м ч т о g в м е ст о у д о в л е ­ м н о го т о ч и я . Н а с б у д е т р а сп р е д е л е н и я ф у н к ц и и р п р и g А п п о к а за т е л я м и д е й ст в и т е л ь н ы х к л а сса м и ( р ) ≠0 п о л о ж и м В п. и В н а ст о я щ е й м у л ь т и п л и к а т и в н ы х d p = ∣ I n | g ( p ) | —a ln а , λ), е с л и с у щ (w ) п р и н а д л е ж и т к л а с с у Э Д о (с , ч и сл а д е й ст в и т е л ь н ы е ск о б к а х н о р м и р у ю щ и м и п р о ст ы х ч и се л сч и т а т ь , ч т о m ≤п , g (m) < x } о гр а н и ч и м ся д в у м я ф у н к ц и й . Д л я в у ю т ( w )В п sgn в ф у н к ­ а р и ф м е т и ч е ск и е н а т у р а л ь н ы х ч и се л ч а ст о т у п о в е д е н и е а си м п т о т и ч е ск о е {е ~А п i g n→ ∞ п р и р а б о т е м у л ь т и п л и к а т и в н ы е в е щ е ст в е н н ы е v n {...} о б о з н а ч и м Ч е р е з α, c>0 , н а т у р а л ь н о е и λ ≠0 р — е с т ­ 1 y ≥l т а к о е , ч и сл о р я д ы у ln^ А Р ’ ff(P)≤θ 2 dplnp g(p)>θ Р Σ dp<c Σ ⅜∙ V (1 ) g (p)>0 dpžc i In 1 g (p*) 1; s v (2 ) р α=2 g(pa)≠0 g(P)≠0 сх о д я т ся . Е с л и м у л ь т и п л и к а т и в н о й д л я g (т ) ф у н к ц и и (1 ) С Х О Д Я Т С Я в м е ст о р я д ы g(p)½0 с со в м е ст н о Э Д ] (с , К а к а , λ) а, ⅛jnp ∑ 'у - ∑ Σ ⅞f g (p)<0 dp<c (2 ), т о г д а (3 ) g(p)<0 dp>c сч и т а т ь , б у д е м ч т о о н а я в л я е т ся ф у н к ц и е й к л а сса λ). п о к а за н о ( fc = 0 , в ст а т ь е [1 ], у д о в л е т в о р я ю т 1) а р и ф м е т и ч е ск и е Э Д £ (с , 1 α In л + л In In л vnW = vn{e к л а ссо в ф у н к ц и и о ц е н к е ∣ λl∕lnlnπ jg(w)Mλ1 >1п 1п л sgng(w)<χ^φ(χ)+ , ] / 1 п ln гд е в е л и ч и н а В о гр а н и ч е н а 1 - fajo÷ ω ι к о н ст а н т о й , н е з а в и ся щ е й Qį _ ιn χ ξ е сл и I n ( - x ) j, е с л и х и п, а χ > θ , Φ (x) = —0 ~- G ( - о т п х < 0. (4) 88 Э . М а н ст а в и ч ю с З д есь ".-Π('-i)('+Σje⅛ia) *-«■') а =1 р W И βw=⅛P*∙ З а м е т и м , ч т о ω 1 =0 , е с л и П р и н екотор ы х <6> g( w ) ∈2 R[ ( с , at λ) . д оп ол н и тел ьн ы х о гр ан и ч ен и я х, н ал агаем ы х к л а с с о в 5 R⅛ ( с , af λ) ( fc=0 , 1 ) , п о л у ч и м р азл ож ен и я ф ун кц и и н о ар и ф м ет и ч еск и х Й . К уб и л ю со м тат бы л п ол учен в есьм а vn ( х ) . Д л я р асп р ед ел ен и я ад д и ти вн ы х в ещ ест в ен н ы х д ал ьн ей ш и е чл ен ы ф ун кц и й н а ф ун кц и и аси м п т о т и ч еск о го ш и р о к о го ан ал о ги ч н ы й к л асса р езул ь­ в р а б о т е [2 ], и д е я м и к о т о р о й м ы н е о д н о к р а т ­ в о сп о л ь зуем ся . о 2. У с л о в и м с я н екотор ы х обозн ачен и ях. П уст ь F(х ) — л ю б а я ф у н к ц и я р асп р ед ел ен и я , а ω k f(r ) = ∫ ∣ x∣ ,' ,s gn *x6 7 F( x) ( £ = 0 , 1 ), —∞ гд е ш т р и х ук азы вает, что со о т в е т ст в у ю щ и е ей и н т егр и р о в ан и и т о ч к а х =0 п р и хар ак тер и ст и ч еск и е и ск л ю ч ает ся , — п р еоб р азован и я. П о л о ж и м ß 0 F = 1 - F( + 0 ) = 1 [ω 0 f ( 0 ) + ω lf ( 0 ) ] , βlF = ^"(θ) = '2 [ω0F (θ) - ωlF (θ)] • Н аш а р абота о п и р ает ся 1. П у с т ь Л е м м а н а сл ед ую щ и й F (х ) и Н (х ) ан ал ог —ф у н к ц и и н ер ав ен ст в а Z1 = ( -∞, 0 ) , L0 = s u p I F(x)-H(x) I, L1 = s u p j F(x)-H(x) !. xelι xelo Т о г д а д л я л ю б ы х T>0 , b>~ и k=0, 1 2π ≤i ßfcF ~ ßkH I + KkFH’ г д е RkFH=0, е с л и $kF$kH =0 , и J⅛ r a = ¾ ^ + }β *F* ∕ ∣ Δ t r H ( 0 ly r . —т Ak = s u p f I Н (xeu) -H(x) ∖ du, Ж 1к i <«» ∣ "∣ ≤ -f Λ ∕≠∖ ω0F(∕) + (-l)fc ωlf(∕) Э ссеен а. р а с п р е д е л е н и я , Io=(O, о о ) , ω0H(r) + (-l)fc ω1H(r) А с и м п т ß *fß *H ≠0 . с л у ч а е в о т и ч е с к о е К о н с т р а з л о ж а н т с а (Ь ) c с в я з а н а 89 р а с п р е д е л е н и я з а к о н о в е н и е р а в е н с т b в о м ∣c⅛ ) о Д о к а зат е л ь ст в о с м . в [3 ]. д ает в о зм о ж н о ст ь п о б л и зо ст и хар ак т ер и ст и ч еск и х п р ео б р азо в ан и й су д и т ь о б л и зо сти ф ун к ц и й р асп р ед ел ен и я . П о эт о м у сн ач ал а р а с с м о т р и м ф у н к ц и и ω fcvn (г ). З д е с ь и в д а л ь н е й ш е м , г д е э т о г о н е у к а з ы в а е т с я , k п р и н и м а е т о б а з н а ч е н и я 0 и 1. П о л о ж и м д л я к р а т к о с т и α n = α lπ n + λln ln п и σ =∣λ ∣ ]∕ln ln п . О б о з н а ч и м П ри веден н ая лем м а m ~ a ∙ Ч е р е з c 0 , c 1 , с 2 , ... о б о з н а ч и м п о л о ж и т ел ь н ы е к о н стан ты , в ел и ч и н а, н е в сегд а о д н а и та ж е , н о в сегд а о гр ан и ч ен н ая . Т о гд а S i (m ) =g ( m ) — В it (7 ) П олож и м ⅛ ,W = 4 В Σ g( m ) i,'sgn t g(m ). д ал ьн ей ш ем и сп о л ь зуем [1 ]. сл ед ую щ ую л ем м у, д о к азан ­ ан ал и т и ч еск ую в работе н ую Л е м м а 2. I∕( t m ) ∣ ≤ 1. c 1 >0 , к о м Т о г д а п р и П П у с т ь f( m ) р е д п о л о ж п л е к с н о е и м ч т κ, ч и с л о к о м — , о п л е к с н а я м с у щ т е с т з а в и с я щ н е в у ю и е у л ь т и п л и к а т д е й с т р , о т т в и т и в н а я е л ь н ы а к и е , ч т ф у н к ц и я , ч и с л а е а и о Р n ^ ≥3 f(p*> \ j p α ( i + ∣Q) Б е с к о н е ч н о е т о й , з а в и с я щ Е сл и с х о д и т п р о и з в е д е н и е е й л и ш ь g(w )∈5 ∏δ (c, л е м м ы 2с а = я / и этом у о т а , c1. λ), с я З д е с ь то а б с о л ю Г (κ) — ф ун кци и κ = e ,λ ' р а в н о м е р н о д л я т н о . г а м h k n (t) каж дой м В а -ф yin In л In « о г р а н и ч е н а у н к ц и я к о н с т а н ­ Э й л е р а . удовлетворяю т о к р ест н о сти усл о в и ю ∣ f∣ ≤ T. П о ­ (8 ) гд е п р и ч е м В в (8) о г р а н и ч е н а р а в н о м е р н о д л я к а ж д о г о ∣ г ∣ ≤ T. И з (7) и (8) п о л у ­ чаем , что (1÷^)ι√ v> (9) Э . М а н ст а в и ч ю с 90 Л е м м а 3 . П у с т ь g (m )∈9J⅛ (c, at λ), т о г д а д л я k=0, 1, п р и д о с т а т о ч н о м а л о й к о н с т а н т е с 2 и 11 ∣ ≤ c2 σ tt s— i (10) γ e~*+-g=, V ln n r=0 Wkv" (θ ) = ω fc ÷ √7 => y lnzj (H) г д е ω k о п р е д е л е н ы в (5), P k0 ( z) ≡l, а Pkr(z) (г =1 , 2 , ..., 5 -1 ) — п о л и н о м ы с т е п е н и З г с к о э ф ф и ц и е н т а м и , з а в и с я щ и м и о т ф у н к ц и и g (т ). Д о к а з а т е л ь с т в о . С н а ч а л а в ф о р м у л е (9) р а з л о ж и м Ψ *(⅛ )=∏ Ψ kp(⅛ )exp∣ ∑ ln ψ tp (iz)∣, р ≤С о р >С о г д е к о н с т а н т а c0 д о с т а т о ч н о О п и р а я сь н а р ав ен ст в о б о л ь ш а я . Т о г д а , о ч е в и д н о , ψ kp (∕7 )≠0 (p>c0). e -"=∑ ⅛ F + Θ⅛ . г =0 гд е u — д ей ст в и т ел ь н ая ж ен и е к о н еч н о го п ерем ен н ая п р ои звед ен и я и ∣ θ∣ ≤ l, н е т р у д н о получи ть р азл о­ ф ункци й s— 1 ∏ ψ fcp ( ' ' ) =∏ Ψ k p ( o ) +X μ⅛ ('') ,+μk√1 р ≤c0 P ≤fo (12) r= 1 I t ∣ ≤ c3 . У с л о в и я (1) и (2) г а р а н т и р у ю т ∣ μ kr ∣ <c4 (г =1 , 5). В д а л ь н е й ш е м и с п о л ь з у е м м е т о д р а б о т ы [2]. П р и p>c0 р а с с м о т р и м сл у ч ая . при О g(p)<Q- П о с л е о ч е в и д н ы х п р е о б р а з о в а н и й три п олучаем 5— 1 = ln Ψ kp ( 0 )+2 δkpr (∕7) r + δ kp √∖ (13) r=l К о эф ф и ц и ен ты δ kpr ( r =l, 2 , ..., s) о ц е н и м в д ал ьн ей ш ем . А си м п т о т и ч еск о е р а зл о ж ен и е за к о н о в р а сп р ед ел ен и я 91 П ол ож и м Л l + ∣ln ∣M∕> α ) II* _____V Cp= £ --------- ------------ Λp = m a x( a p , α j) , α=2 Λ= ∑f. c = ∑ c ι>∙ Р В ведем η = 2 0 m a x( ∣λ∣, А , С ). Р ф ун кци и 1\ ∕ Г ( l-∣ ) ( e ∙--lM,^ 1 n ψ t p ( z ) = -( ^ -l) in ( l-A) - 1 n ∣ l- ^ -- - -------- (ι4)<e2-,> (ι4)Ψ ⅛c(θ'<)e*-ι>lJ p4⅛ П р и (0 ) с0 д о ст а т о ч н о б о л ь ш о м , в о сп о л ь зо в а в ш и сь н е р а в е н ст в а м и ∣z ∣ ≤ -^ , I e 2 — 1 ∣≤2 ∖ z I, е с л и — In (1 — x) ≤2 x, гд е д ей ст в и т ел ь н о е 1 x≤ -g, п о л у ч и м ч и сл о ∣ta<j⅛ ,( z ) l≤^ - + -⅛ +C,, есл и Į z Į ≤η ^ 1 . 2 ) g( p ) =0 . К а к и в первом сл уч ае, In Ψ λ p (it) = (eitλ - 1 ) In ( 1 - j ) + In ψ kp (0 ) + (eit In I gl (pa) I _ J) sgn* g (p’) ∑ a=2 g(pa)≠ 0 Pa (1 4 ) = l∏ψ s ,( °) + ∑ δ t p r ( 1 7 )' + 8 tp s r . r=l А н ал о ги ч н о д л я тех ж е р , есл и ln ψ t ,U) = -(e-l) ln ( l - i) ln [ l - то при ∣ z∣ ≤ η^ 1 о ц е н и в а е т с я ∣l∏ψ *p ( z) !≤ j+Cr.. C,( e - 1) 3. М а н с т а в и ч ю с 92 3) g(p )>O. П о с л е сл о ж н ы х б о л е е п р е о б р а зо в а н и й п о л у ч а е м ÷ ⅛ι⅛[⅜√ o)÷ ∙ ^ ('4)÷ ∙" l ∙ ,,T ^ , - ( ' ^ 1 ) ÷ Р +('~i) 1⅛ι ⅛b.∣> ∙ rf.⅛.ι μ 1,,,1- ,)[,n (ι - L)+ į]+ ∑ <х =2 g <px)≠ o / г e∕zz.n e∕A-11 (ψΛp(0)-l)(e,7λ-l) Г ÷ H- ÷ )- ÷ ι ÷ ψ∙ - < °> - ,( ,A i j - __ ____ + 1 1 _ 1\ ________ e⅛λ(e⅛(lngl(p)-λ)-l) i + ⅛ΞK Σ ^ tol- ,y^ ,l ^ 1> ^ ^ x )1= in⅜tp (0)+ g(px)≠ 0 -* + Σ ⅛pr ('О ' + ¾p s t s. (1 5) г -1 Т а к к а к эт о м в сл у ч а е Ψ *p ( ° ) ~ 1 = ^ ∑ ≡ ≡ ⅛∑⅛^ < ≤ 2)≤ i,, а —2 т о в сп о м о га т е л ь н у ю ф у н к ц и ю в в е д е м сл е д у ю щ и м о б р а зо м : l n ⅛ p ( z ) = - ( e - - - l ) [ l n ( l - l ) + - l ] - [ l n ( l - ≤≡± ) + ^ - ] - _ ln Γ 1 [ 4 ( Г _.) p >(i- ≤ ξ ≤ ) ψ a ,( O ) < ⅛ p ( 0 ) p ( ι - j ,≡lfc p ( 0 ) ( ι - ≤- A ) (1 - l)^ - Dcp ^∣ < ⅛> (°)(> - ⅛1 )j П р и ∣z ∣ ≤η ^ 1 п о л у ч а е м о ц е н к у !ln ψ t p ( z ) ≤l + ^ + C ,, П у ст ь s— 1 ln ψ t ( z ) = 2 p>cβ In ψ 4 p ( z ) = ∑ —’ 8trz' +Slaz ,. А си м п т о т и ч еск о е р а зл о ж ен и е за к о н о в р а сп р ед ел ен и я ¾ ,= ∑ V 93 (г =1, 2, p>c9 И з о п р е д е л е н и я ф у н к ц и й ψ fc (z) в и д н о , ч т о [ ⅝ r I ≤Σ I 8kpr I ≤δ kr (г = 1 , 2, ..., j). p>cβ Т ак как ∣b>i⅛ (z)∣≤ ∑ j+∑⅛+ р g(p)≤0 ∑ γ-+∑ cp<c> g(p)^ р при Iz∣ ≤ η-1 , т о , в о с п о л ь з о в а в ш и с ь и н т е г р а л ь н о й получи ть δ jkr ≤ C7η' (г =1, 2, δ ks ≤ 2c7ηs , теор ем ой К о ш и , л егк о 5-1), к о г д а I z∣≤<^^∙ У ч и т ы в а я э т и о ц е н к и , и з (13), (14) и (15) п о л у ч и м р а з л о ж е н и е ∑ 1п ф 4р (й ) = 1п ∏ Ψ⅛ (θ)÷,∑ ⅛ ∙(>') r + ¾ √s . p>c9 гд е p>cβ I δ ftr ∣ ≤ c7 ηr (r =l, 2 ...............$-1) и Г =1 ∣ δ to ∣ ≤ 2c,η∖ есл и l<l≤ ^∙ И з в е с т и ы е с в о й с т в а г а м м а -ф у н к ц и и Э й л е р а д а ю т р а з л о ж е н и е ln (1 +wr)Γ(e"λ)= Σ γr (,f)r + Т А г =1 г д е I γr I ≤ c8 ηr (r= 1,2,..., 5 —1) и ∣ γ,∣ ≤ 2c8ηs п р и Ul≤ ^. Р а ссм о т р и м теп ерь ф ун кци ю ∏ψ *,(∕o * φtoW=-^÷⅜(e--D÷⅛÷⅛-,,λ - (1+^)r(eo) -Σ*∏ ΨU0)=Σ≡÷∑ 1^B÷A(4y. p>c0 j= 1 r= 1 г д е ⅛ tr =δ tr +γ r и ∣⅛ 4 ,∣ ≤ c,η'(r =l, 2, ..., J-1) и ∣ R ∣ ≤ 2c0ηs п р и ∣ 11 И с п о л ь з у я э т и о ц е н к и и п о в т о р я я р а с с у ж д е н и я р а б о т [2] и [4], м о ж н о п о л у ­ ч и т ь н е т о л ь к о р а з л о ж е н и е д л я ф у н к ц и й exp {φ fcl, (⅛ )}, н о и о ц е н к у exp{‰ (ft)}=∑ ⅛ +Λ(l+r *)(41) ,J (16) г =0 при I t ∣ ≤ c10 σ. З д е с ь Pw (z)≡l, а Ptr (z) (r =l, ...» s —1) — м н о г о ч л е н ы с т е ­ п е н и З г , к о э ф ф и ц и е н т ы к о т о р ы х з а в и с я т о т з н а ч е н и й ф у н к ц и й g (m), к о г д а п р о с т ы е д е л и т е л и m б о л ь ш е с 0. 94 Э . М а н с т а в и ч ю с И з (9), (12) и (16) с л е д у е т , ч т о »• ,«>-П +.,«»<Ч Σ ⅜ s ÷w ÷.∙>(⅛ P4÷f ⅝ . v r=0 р с м н о г о ч л е н а м и Pkr (z), у к а з а н н ы м и в ф о р м у л и р о в к е л е м м ы . Т а к к а к π σ о п ­ ределен и ю ω k=]~ I Ψλ p (0), то, в ч аст н о ст и , р ω wn (0) = ω t + p ⅛ -. Л е м м а д о к азан а, п о д сч и т аем только Aι(z) = z(-^ + ⅛ t ], гд е λln(l-l) + lΞΣ \ Р *kpW ! У ⅛ ⅛ .⅛ >*)∣⅞ °*g(p∙) z-, Р л а =1 g(pα)≠0 Е сл и ψ ιp (0)=0, с ч и т а е м , ч т о 4 ⅛ -∏ *->°'∙ q≠p З д есь γ — п о ст о я н н ая Э й л ер а. В ы ч и сл е н и е сл е д у ю щ и х м н о го ч л ен о в т а к ж е н е со ст а в л я е т т р у д н о ст и . Л е м м а 4. Е с л и g (w)∈2Rf (с , α, λ), т о г д а х а р а к т е р и с т и ч е с к и е п р е о б ­ р а зо в а н и я ф у н к ц и и р а сп р е д ел ен и я an Д v∏W = √e σ g(w)Γ sg∏g(w)<x} равны ω<hn ω = ω 0v,(0 )e^ ∑ ⅛ ">+B( 1 + r=0 + ⅛ =, (17) V г д е P0r (z) — м н о г о ч л е н ы , о п р е д е л е н н ы е в л е м м е 3, и ""-l',-'i7⅛, при "=> Į ∕∣ ≤ c1 ισ, c11 — д о с т а т о ч н о м а л а я п о с т о я н н а я . К р о м е т о г о , ω∣ o>π (θ) = ω Λ + -1 ⅛ =, (19) V 1п л г д е ω 0 о п р е д е л е н о в (5), а ω 1 =0. Д о к а з а т е л ь с т в о ф о р м у л ы (17) п р о д е л а н о в л е м м е 3. О ц е н к у (18) л е г к о п о л у ч и т ь , и с п о л ь з у я л е м м у 2. Е с л и a=at, ×=-eiλl и g (m)∈2Rf (с , а λ), т а ∑ i-ig(p)l' r P"' βr + e' λr ∣ -^ <c12 р А си м п т от и ч еск ое р авн ом ер н о в к аж д о м ч и сл о . П о эт о м у р а зл о ж ен и е 95 р а сп р ед ел ен и я за к о н о в и н т е р в а л е ∣ ∕∣ ≤ T, п р и ч е м Т — л ю бое п ол ож и тел ьн ое В о V In я равн ом ерн о по ∣t ∣ ≤ T. З д е с ь ⅛ <^>-∏ (14Γ"'(∣+ Σ ⅛ ≡⅛ ≡)-∙∙ а =1 p Ф о р м у л а (18) с л е д у е т и з о ц е н к и ( exp∣ → r + yr (-e е с л и (∕)≤ c11σ. И Л е м м а 5. П у n∣ τ «₽ {-2 Ч +0 Я _ в -1)| ------------- — у _ н а к о н е ц (19) п о л у ч а е т с я и з (17) и (18). g ( m ) ½ 9 R j ( с , а , λ ) ( j=0 , 1) и k =0 , 1, ст ь т о гд а д л я 11 ∣ ≤ πσ (20) ω*⅛ (Ö = ^e U ωfcvn (0 = ω⅛vn (θ) + д л я в сех Д ! ∕ I In я (21) σ t. Ф о р м у л ы (20) и (21) д о к а з ы в а ю т с я к а к и а н а л о г и ч н ы е о ц е н к и в р а б о т а х [4] и [1] с о о т в е т с т в е н н о . 3. В д а л ь н е й ш е м о г р а н и ч и м с я в е щ е с т в е н н ы м и м у л ь т и п л и к а т и в н ы м и ф у н к ­ ц и я м и к л а с с о в 9DfZk ( c t α, λ) ( k =0 , 1), п р и н и м а ю щ и м и з н а ч е н и я и з н е к о т о р о й г е о м е т р и ч е с к о й п р о г р е с с и и b q f <∙ n ii (з д е с ь <z≠0, а с л у ч а й q = ∖ и с к л ю ч а е т с я у с л о в и е м λ≠ 0). Н е т р у д н о у б е д и т ь с я , ч т о 6=1, а f ( m ) — в е щ е с т в е н н а я ц е ­ л о з н а ч н а я а д д и т и в н а я ф у н к ц и я . Т а к к а к т о г д а g(m)≠ 0, т о ω 0 =l, х о т я м ы и с п о л ь з у е м и с а м о о б о з н а ч е н и е ω 0. П о л о ж и м д л я fc=0, 1 и r =0, 1, ..., 5 —1 ‰ ( f t ) =∑ ⅛ p - . / =0 ⅛ r M = ⅛ IQo r ( H ) + ( - i ) k ω l6 1 ,(ft)l. г д е , к а к у ж е о т м е ч а л о с ь , ω 1 =0, е с л и g ( т ) ∈9ERf (с , at λ). П у с т ь JzvW=⅛il + (-l)fc⅛(-Gw), г д е Ωkr (-G(y)) п о л у ч а е т с я и з Ωfcr (-z) п у т е м з а м е н ы z > (√=0, 1, ...) н а 6 (У ) (у ). В т о ч к а х y = ln | х | , е с л и x≠ 0, в в е д е м ф у н к ц и и и и х п р о и з в о д н ы е V r> ( fKj∕>(lnx) п р и х >0, (In∣ x∣ )=∣ u >( 1 π ( -λ .)) п р и ∙c<0. 96 Э . М а н ст а в и ч ю с О чеви дн о, что для м ульти пли кати вн ы х р а ссм а т р и в а е м ы х ф ункци й Ko (In I х ∣) = Φ (х ), г д е Ф (х ) о п р е д е л е н а в (4). И с п о л ь з у я и з в е с т н о е с в о й с т в о н о р м а л ь н о г о з а к о н а (с м ., н а п р ., [5] с т р . 178) t* о о ∫e t o d [Ωlir ( -G(x) ) ] ω = (-ιt )-'Ω4r (⅛ )e 2 (j =0, 1, ...) , (22) — 00 п о д сч и т а ем J* I х ∣,'sgn fcΛ√Py j(ln I х | ) = ( — l) fc+1 J* ei'ydl^ p(y) + —∞ — 00 ∞ t* + f eity dV$ (y) =ωk (-it ) i Qkr(it)e 2 -∞ (23) (y = 0, 1, ...; r = 0, 1, ...» s -l) . П у с т ь Eo (и ) ≡ — 1 и £,(«) = ( -!) r(r-l) ----- ö 2 ∞ с —< , o2ττιlu ∑ -(⅛ -r ( Γ=I. 2, ...) , l=-∞ г д е ш т р и х у к а з ы в а е т , ч т о ч л е н с 1=0 в с у м м а х о п у с к а е т с я , п е р и о д и ч е с к и е ф у н к ц и и , в ы с т у п а ю щ и е в ф о р м у л а х с у м м и р о в а н и я Э й л е р а -М а к л о р е н а . П о ­ л о ж и м h =ln I q∖ , г д е q — о с н о в а н и е в ы ш е у к а з а н н о й г е о м е т р и ч е с к о й п р о г р е с с и и , и an =-^ , σ =j. Д л я r =0 , 1, ..., 5 -1 в в е д е м ф ункци и (г -1) (г -2) w ς ,( x)=( -l) есл и x≠ 0. О ч е в и д н о , и з 2 f,( ζ, + 5 1 n ∣ x∣ ) Fω i-,( ln lx∣ ), (23) и м е е м с о _ χ ω (f)= f' ∖ x∖ i,sgak xdW a(x) =ωk Qk 's-1(it)e 2. — 00 И сп о л ь зу я при (22) и в о зм о ж н о ст ь п о ч л ен н о го и н тегр и р о в ан и я рядов Ф урье, r≥ l получим « /с Н 1(г ~1)(г ~2) 2 χkr(t)= f ∣x∣"sgn *xr ffKr (x) = ( -l) X —∞ (г -1) (г -2) 00 х f ei'ydEr(a, +Sy)n ∖ -ι-rM +(-1) 2 × — 00 × f e''ydEr(d, + σy)V^ -ι-r(y) =(-l) k+r(it)× — 00 × ∑ lSy f e'<'÷2,''' i^ [Ωι,s -ι-r (-G(3 >))] σ ,⅛ > + ( -l) r ι7 × А си м п т от и ч еское ×Σ f р а зл о ж ен и е за к о н о в e ' a *2π l' ,' ,[ωo .s -i-γ 97 р а сп р ед ел ен и я (-GW)]c° d y = -ω k t × —00 ∕=-00 °0 f (r÷2π∕o)1 2πila ( ∕ + 2 π ∕σ r → ρ l,s .1 .r (,7 + 2 π ,7 σ) e ×∑ . 2 (2 4) /= — 00 м ож но Т еп ерь при n → ∞. Т еор ем а. П уст ь п р и н и м а ет сл ед ую щ ая д ей ст ви т ел ьн а я м ул ьт и п л и ка т и вн а я сущ ест вую т п р и ф ун кц и я g (т ) п р о г р е с с и и q f(n ,) , г д е q ≠ 0 и f( m ) — зн а ч ен и я и з гео м ет р и ч еск о й ц ел ы е ч и сл а . Е сл и v n (х ) теор ем а. д ей ст ви т ел ьн ы е кон ст а н т ы и н а т у р а л ь н о е ч и с л о s≥1 т а к о е , ч т о р я д ы т о гд а р асп р ед ел ен и я п р и ст у п и т ь к аси м п т о т и к е ф ун к ц и и С п раведли ва а , с > О , λ≠ 0 (1 ) и (2 ) и л и (2 ) и (3 ) с х о д я т с я , x≠ 0 a In ∏+λ lnln л v n (х ) = v π {e 1 1 λ 1 yz ln,n n I g ( т ) | 1 λ 1 jz,nln л sgn g ( т ) <х } = c, ( о In л +lnln n (г -1) (г -2) 5-1 = ∑( -1 ) Er \ ~ \ n \ q \ 2 × г =0 (Inln л )2 ×Fω ,- r ( t a ∣ χ∣ ) +^ ≡!≡f (25) (lnln n ) 2 и (2 6) гд е В о гр а н и ч ен а р а в н о м ер н о 5 — 1) и ω1 о п р е д е л е н ы п о х теорем у п олучаем п . Ф у н к ц и и E r ( и ) , V r ( у ) ( r =0 , 1 , ..., ( с , а , λ) т е о р е м а р а н е е б ы л а с ф о р м у л и р о в а ­ З ам ети м , что в сл уч ае g н а в р а б о т е [6 ]. П р и и вы ш е. q >0 , п е р е х о д я к в е щ е с т в е н н ы м а д д и т и в н ы м ф у н к ц и я м , Й . К у б и л ю са [2 ] с н езн ачи тел ьн ы м обобщ ен и ем . Д о к азател ьст в о . П ол ож и м г =0 то гд а при k =0 , 1 г =0 П у ст ь д л я g( w ) ∈3 Rδ ( c, а , λ). Д о с т а т о ч н о х >0 , к о г д а g( w ) >0 , и ω 1 =l и Ωlr (z7 )≡0 , п о э т о м у д л я оц ен и ть р азн о ст и п ервом сл уч ае х <0 . В о втором сл уч ае v n ( x) =Ψ ( x) ≡0 , е с л и ωτ≠ l, п о э т о м у β⅛ τ = τ > ( ω oτ (θ ) + ( — 1 ) fcω ιψ (θ ) ] = у + ( 2 ^ ' c°1 > θ ∙ 7. Liet. mat. rink. XII. 2 v,,( x) -Ψ ( x) в с е х х , к о г д а g( w ) ^ 0 . В 98 Т ак Э . М а н ст а в и ч ю с к а к и з (11) и м е е м β⅛ vn = βfcψ + η λ- '» π yin л то β fcvzι>0 п р и π >c12 . К р о м е т о г о , э т о р а в е н ст в о З а м е т и м , ч т о в о п р е д е л е н и и Ψ (х ) к о э ф ф и ц и е н т ы ж и т ел ей п р и ф у н к ц и и р а сп р е д ел е н и я д о к азы вает оц ен к и (26). ωk с т о я т в к а ч е с т в е м н о ­ G (у ) и е е п р о и з в о д н ы х , п о э т о м у з а м е ­ н а ω k н а ω kvn (0) д а е т н а м н о в у ю ф у н к ц и ю Т (х ), к о т о р а я п о о ц е н к е (11) б у д е т о т Ψ (х ) н а — д л я l∕ln п о т л и ч а т ь ся в сех х. О с т а е т с я о ц е н и т ь р а з н о с т ь v n ( x) -ψ (х ). В с е ф у н к ц и и п о с л е в ы ш е у к а з а н ­ н о й зам ен ы о б о зн ач и м со о т в етст в ую щ и м и б ук в ам и с в о л н о й . В си л у л ем м ы 1 и в ы ш е ск аза н н о го п р и хо д и тся оц ен и вать Rk ^ nγ лиш ь в сл у ч а я х, к о гд а βjtv,, βfcT > θ ∙ σ s "1 ], г д е т еп ер ь μ= П олож и м T=π σ( l+-yy О ц е н к а п ер в о го член а [и ] о з н а ч а е т ц е л у ю в ‰ π≠ в ч т о Ak =BIT2, к о г д а Я ( х ) =Т (х ). Р а с с м о т р и м лем м е ч аст ь ч и сл а 1 сл ед у ет и з т о го , и н т егр ал ы μ πσ (¾ ÷1) 4 √^ ( ' ) ^ =Σ Г ∣ wω ∣ 4= Т ' - μ -(⅜ ->) f !M⅜ + 2 ≠ )i ∣ t + ⅛ j⅛ ! = Σ 4 >∙ = Σ 7=-μ. -πσ Т ак √=-u как ∆fcvn ψ (0 ≤^i⅛ ξ^ ( I ω o v,1 (t) - ω oτ (^ ) : +! ω ivπ (0 - ω lΨ (f) )> то д о ст ат о ч н о оц ен и вать и н тегр ал ы Л , = f I ω *v,, (г + 2πjσ) - ωt φ (t + 2π ji) i ,+^πy⅞-, -π,3 г д е k =0t 1 и √ = 0, ±1 , ..., ±μ. Д л я р ассм атр и в аем ы х м у л ь ти п л и к ати в н ы х ф ун к ц и й 2πυ 'g(m)'l Л п о это м у из =1 , (7) с л е д у е т ⅛ ,, (t +'2π yσ) = e~2^ n ωk ^ n (t). Т еп ерь jkj= f ’ e-2^ π ωk ^ (t)-ωk ψ(t + 2πjσ) ' 17 7 ^ -∙ — πo и, и сп р ав ед л и в о А си м п т о т и ч еск о е р а зл о ж ен и е за к о н о в р а сп р ед ел ен и я л ем м ах 3 и В ш и х 5 бы ли п ол учен ы в се н еобход и м ы е в ы ч и сл ен и й , к о т о р ы е п о су щ е ст в у у ж е п р о д ел а н ы м ы зд есь д ад и м 99 оц ен ки д л я д ал ьн ей ­ в р а б о т е [2 ]. П о э т о м у н аб р о со к . л и ш ь О ц е н к а и н т е г р а л о в Ik0 (k=0, 1 ) п р о в о д и т с я отд ел ьн о п о о б л аст я м ≤ — !— , l∕σ 5 ln и <| t ∣ ≤c 2 σ и c 2 σ <∣1 1 ≤π σ с и с п о л ь з о в а н и е м е т 1 in п ю щ и х л е м м и л е г к о п о л у ч а е м ы х и з (2 4 ) о ц е н о к ∣ f∣ ≤ со о т в етств у ­ 5—1 ∑χ⅛ r (в °r = B∖ t ∖ l∕ ι7Γn I 1 1 ≤π σ , при ω fcγ ( z) = ω fcv ( 0 ) + ^ y -, c п I 11 ≤ - J— , и σ∙s ln л к о гд а Bσ 3s~i . t Bιt ∖ (In п ) c 2 r <r ≤π σ . есл и П ол учаем Т y*o~ σ5' П р и 7 ≠0 и н т е г р а л ы Z‘>= ≡e ^ 2 π ' w "‰ W -ω ,∙r ( r +2 π 7 σ ) y 7 i ^ i= ∕⅛ + ∕⅛ . +f f I 11 ≤ c2σ csσ < t ≤ πσ К ак и [2 ], и з в (24) п о л у ч а е м ω t ⅞ (Z + 2 π yσ ) = ω 4 .,n ( 0 )e " 2 Qt s.2 (it) +Be 2 (IH*-1+l>["-,) 17 I σj~1 В I t + 2 π yσ i 1 / ln n ч то со в м ест н о c л ем м о й Г - 3 д ает оц ен ку В В о сп о л ь зо в ав ш и сь ещ е р аз Т аки м (2 7 ) и л ем м ой 5, п о л у ч и м об р азом , Λ=⅛+β Σ 1 7 _ Bln σ σ* — * 7“~М С л у ч ай , к о гд а 7* g( w ) ∈Dlf( c, а , λ) , р а с с м а т р и в а е т с я ан ал о ги ч н о - 100 Э . М а н с т а в и ч ю с Т ео р ем а д о к азан а. В ч а с т н о с т и , п р и s=2 и з н е е с л е д у е т ln*x ∕ \ 1 - ωι 1 + ω1 _ zι \ , е 2 f 1 + ω1 ∕ λ ln2 х 1 λ \ v.(χ) — 2 -+— σ( in χ ) +jy=I-r t ( --θ -+θ ) + + ΛE√a n + <Hn x) -A±→ L] + *l^ , х > 0, и к о гд а ..W- ⅛ -⅛ 0 ( | .<-«| ) - ⅛ r [⅛ ( -^ p ' ÷⅛ ) ÷ + ΛE1 ( ξΛSln ( -x) ) --⅛ 5 ^ -]+⅛ σ- х <0 . И н т е р е сн о ср а в н и т ь а си м п т о т и ч е ск и е р а зл о ж е н и я за к о н о в р а сп р ед е л е н и я д е й ст в и т е л ь н ы х ад д и т и в н ы х и м у л ь т и п л и к ат и в н ы х а р и ф м ет и ч еск и х ф у н к ц и й . Д л я этой ц ел и п р и вед ем п р о ст о й п р и м е р . П р и м е р . П у с т ь ω (m) — ч и с л о п р о с т ы х д е л и т е л е й ч и с л а m, т о г д а при ± +L(x) п р и х > 0 , vπ {( — e) ω (m) < I x ∣f ,n ,n " In п sgn x} = -L(x) п р и х < 0, гд е при x≠ 0 п ол ож ен о in* I х I * -L- E(x) = ∣G( ln ∣ x∣ )+ f-' 2 ψ -+ l + 2 \ / 2]∕ 2πlnlnnl 6 6 + 2E1 (In In n + ]∕ln In n In 1 x ∣ ) — b0 j + B ”• Т еп ер ь ; ⅛-∑M4)÷ih P В ел и ч и н а В о гр ан и ч ен а р ав н о м ер н о п о х и п . А в т о р в ы р а ж а ет и ск р е н н ю ю б л а го д а р н о ст ь п р о ф . Й . К у б и л ю су за в се ст о р о н н ю ю п о м о щ ь п р и в ы п о л н ен и и н асто я щ ей р аб о ты . В и л ь н ю сск и й го су д ар ств ен н ы й у н и вер си тет и м . В . К ап су к аса Л П о сту п и л о в р ед ак ц и ю 13.IX.1971 и т е р а т у р а 1. Э . М а н с т а в и ч ю с , К о ц е н к е о с т а т о ч н о г о ч л е н а в и н т е г р а л ь н ы х а с и м п т о т и ч е с к и х з а ­ к о н а х а р и ф м е т и ч е с к и х ф у н к ц и й , Liet, matėm, rink. XII, № 1 (1972), 165—172. ^2. Й . К у б и л ю с , М е т о д п р о и з в о д н ы х р я д о в Д и р и х л е в т е о р и и р а с п р е д е л е н и я а р и ф м е т и ч е с ­ к и х ф у н к ц и й , 11, Liet, matėm, rink. XII, № 2 (1972). 3. Й . К у б и л ю с , 3. Ю ш к и с , О р а с п р е д е л е н и и з н а ч е н и й м у л ь т и п л и к а т и в ы х ф у н к ц и й , Liet, matėm, rink. XI, № 2, (1971), 261—273. А си м п т о т и ч еск о е 4. Й . П . К у б и л ю с , р а зл о ж ен и е за к о н о в р азл ож ен и е А си м п т о т и ч еск о е а р и ф м е т и ч е с к и х ф у н к ц и й . Lie t , m a tė m , r in k. II, № р а сп р е д ел е н и я м атем ати ков н екоторы х 1 (1 9 6 2 ), 6 1 — 7 3 . а р и ф м е т и ч е с к и х ф у н к ц и й , Lie t , m at ė m , r in k. XII, № XII к о н ф е р е н ц и и (Т е з и с ы зак он ов в т е о р и и ч и с е л , В и л ь н ю с , 1962. р азл о ж ен и и зак о н о в р асп р ед ел ен и я 5. Й . П . К у б и л ю с , В е р о я т н о с т н ы е м е т о д ы 6. Э . М а н с т а в и ч ю с , О б а с и м п т о т и ч е с к о м п ли кати вн ы х 1 01 р а сп р ед ел ен и я м ул ьти ­ 2 , (1 9 7 2 ), 1 4 2 — 1 4 3 . Л и т в ы ). ARITMETINIŲ MULTIPLIKATYVINIŲ FUNKCIJŲ PASISKIRSTYMO DĖSNIŲ ASIMPTOTINIS IŠDĖSTYMAS E. Ma n s t a vičiu s {Rez ium ė) Ta r kim e , k a d g (m ) — r e a li m u lt ip lik a t yvin ė fu n kcija , įgyja n t i r e ikš m e s iš ge o m e t r in ė s p r o gr e ­ s ijo s , k u r io s va r d iklis q ≠ 0 . Pa žym ė k im e d p =∖ In ∣^ ( p ) ∣ -α ln p -λ | , k a i g (p ) ≠ 0 . Je i e gzist u oja t o kio s r e a lio s k on s t a n t o s a , λ≠0 , c>0 ir n a t ū r in is s ka ičiu s ∙s ≥l, k a d e ilu t ė s (1 ) ir (2 ) a r b a (2 ) ir (3 ) k o n ve r gu o ja , t a i s ka ičiu s n a t ū r in ių s ka ičių ∕n ≤w , t e n kin a n čių n e lygyb ę g (m )< . x ∖ ' λ ' (ln ln ")1/ 2 n 3 ln λ Λ s gn x, yr a lygu s ∕α ln и + Х ln 1л л n ∕ In I q ,∖ V ∖ ' X| ) ∑ ( -1 ) r ∖ l λ ∣ ] ∕ In ln л ∣n χ ∖ In I g ,______________ In I g I____________' ( ln ln n ) r ' 2 r=0 ×y csrl 1 .r ( ln ∖ x ∖ ) + Д л In ln ln л ( ln ln n ) s ∕2 ’ k a i x≠ 0 , ir yr a lygu s k a i x=0 . Fu n k cijo s E r (y) ir V r ( y) ( r =0 , 1 , ...» s) d e fin u o t o s 3 d a r b o d a lyje , o ω 1 a p ib r ė žt a s ( 5 ) . Dyd is B a p r ė žt a s ko n st a n t a , n e p r ikla u sa n čia n u o n ir x. ASYMPTOTIC EXPANSION FOR DISTRIBUTION LAWS'θF THE ARITHMETIC MULTIPLICATIVE FUNCTIONS E. Ma n s ta vičiu s (Su m m ary) Le t g (m ) b e r e a l-valu e d m u lt ip lica t ive n u m b e r — t h e o r e t ic fu n ct ion a ss u m in g va lu e s fr o m s o m e ge o m e tr ic p r o gr e s sio n . W e d e n o te b y d p =∖ ln ∣ g (p ) | — a In p — X ∣ a n d b y N n (x) t h e n u m b e r o f n a t u r a l m ≤π , t h a t s a tis fy t h e in e q u a lit y g ( m ) <x λ l " n t a ' " l' 2 n '>ln λ n s gn x. Su p p os e t h at t h e r e e xis t r e a l con s t a n t s a , λ≠0 , c>0 a n d n a t u r a l <s> 1 s u ch t h at t h e s er ies ⅜ >ln p Σ 1"Λ Σ g(p)>0 & g (p)≤0 g(p)>θ dp<c ln p P ⅛>s≈c Σ g (p)≠0 P ' Σ Σ p α=2 r(P°t)≠0 I In ∣g( p oc) ∣∣j pa con ve r ge , t h e n t h e a s ym p t o t ic e xp r e s sio n fo r (D N n (x) is give n . Th e in e q u a lit ie s g ( p ) ≤0 a n d g (p ) > 0 i n t h e con d it ion s (1 ) ca n b e r e p la ce d b y g ( p ) >0 a n d g (p) <0 r e sp e ct ive ly.