On the estimation of error terms in the integral asymptotic laws for arithmetic functions

LIETUVOS MATEMATIKOS RINKINYS Л И Т О В С К И Й М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й С Б О Р Н И К X II 1 19 7 2 У Д К 511 К О Ц Е Н К Е О С Т А Т О Ч Н О Г О Ч Л Е Н А В И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Х А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Х З А К О Н А Х А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й Э . М ан стави ч ю с П о след овател ьн о сть вещ ествен н ы х или ком п лексн ы х ч и сел h(m) (с о ­ о т в е т с т в е н н о , g(m)) (m = l, 2, ...) н а з ы в а е т с я а р и ф м е т и ч е с к о й а д д и т и в н о й (с о о т в е т с т в е н н о , м у л ь т и п л и к а т и в н о й ) ф у н к ц и е й , е с л и д л я л ю б о й п а р ы в з а ­ и м н о п р о сты х т , п (g (т п ) = g (m) g (∕z)^ . h(mn) = h(m) + h(n) Ч е р е з v n { ...} б у д е м о б о зн ач ать ч асто ту ц е л ы х п о л о ж и т е л ь н ы х m ≤w , у д о в л етво р яю щ и х у сл о ви ям , ко то р ы е к аж д ы й р аз б у д у т у к азы в ать ся в ск о б к ах в м есто м н о го то ч и я . И з в е с т н о (с м ., н а п р и м е р , [1]), ч т о д л я в е с ь м а ш и р о к о г о к л а с с а щ е с т в е н н ы х а д д и т и в н ы х ф у н к ц и й h{m) м о ж н о п о д о б р а т ь т а к и е А п и чтобы ве­ Bnt ф ун кц и я расп ределен и я v„{h(m)<A„ + xB„} п р и n→ ∞ с х о д и л а с ь к (1) н екоторой соб ствен н ой к аж д о й то ч ке н еп р еры вн о сти п о сл ед н ей . А н ал о ги ч н о , м о ж н о у к азать к л асс ф у н к ц и й g (m ), д л я к о т о р ы х телей при ф ункции вещ ествен н ы х подборе н екотором р асп р ед ел ен и я в м ульти п ли кати вн ы х п о к аза­ норм ирую щ их С п и Dn ф у н к ц и я р а с п р е д е л е н и я {g(m)< е С ” I х i“ " sgn х } п р и л ->о о сход и тся к н еп реры вн ости н екоторой п о сл ед н ей и (2) ф ункции р асп р ед ел ен и я каж дой в точке в т о ч к е х = 0. Н ас б у д ет и н тер есо вать б ы стр о та н екоторы м п ред ельн ы м ф у н кц и ям таты д ает м ето д , о сн о ван н ы й н а сход и м ости (1) и n→ ∞ к (2) п р и р асп р ед ел ен и я . Н аи б о л ее то ч н ы е р езу л ь ­ п р о и зв о д я щ и х р я д а х Д и р и х л е . Й . К у б и ­ л ю с о м [3], [4] и в с о в м е с т н о й р а б о т е с 3. Ю ш к и с о м [5] п о л у ч е н ы т а к и е тео р ем ы д л я ш и р о к о го к л асса ад д и ти вн ы х и м у л ьти п л и к ати в н ы х ф у н к ц и й . Ц ель н астоящ ей за м е тк и — у к а за т ь сп о со б м о с т и (1) и (2) к а с и м п т о т и ч е с к и м бы х п р ед п о л о ж ен и ях . М ы ‘ и сп о л ьзу ем и х р езу л ь таты . ф ун кц и ям н е то л ьк о м ето д д л я оц ен ки б ы строты р а б о т [3], [4] и [5], но сходи ­ б ол ее сл а­ р асп р ед ел ен и я п ри и н екоторы е 166 Э . М а н ст а в и ч ю с В д ал ьн ей ш ем чер ез ∙c 1 , ...— п о л о ж и т е л ь н ы е н о в сегд а о гр ан и ч ен н ая Д о к азат ел ь ст в о р будем п р о сты е об озн ачать п о ч и сл а, а в сегд а к о н с т а н т ы . В —в е л и ч и н а , н е с , с 0, чер ез о д н а та и ж е, м о д ул ю . н и ж е п р и вод и м ы х о п и р ает ся теор ем н а сл ед ую щ ую л ем м у. П у с т ь f (т ) — к о м п л е к с н о з н а ч н а я м у л ь т и п л и к а т и в н а я ф у н к ц и я , П р е д п о л о ж и м , ч т о с у щ е с т в у е т д е й с т в и т е л ь н о е ч и с л о ∣a J < c0, к о м п л е к с н о е ч и с л о κ, н е з а в и с я щ и е о т р , т а к и е ч т о Л ем м а. ∣∕( τ w ) ∣ ≤l. ∑ ∣∕⅛ 7 o -x∣ (3 ) Р Т о г д а п р и x ≥3 ∑ ∕<-) -⅞ ⅛ 5 i п ( ι -})" ('+∑ iS⅛ )÷ m≤x р а =1 + 1,]∕!⅛- . m Б е с к о н е ч н о е п р о и з в е д е н и е с х о д и т с я а б с о л ю т н о . З д е с ь Г ( κ ) - г а м м а -ф у н к ц и я Э й л е р а . В о г р а н и ч е н а к о н с т а н т о й , з а в и с я щ е й л и ш ь о т с и с 0. ∣ κ∣ ≤ l, ф о р м у л а З ам ети м , что сч и т ат ь, ч то (4 ) в е р н а и п ри κ = 0 и л и κ= — 1, есл и l∕Γ( κ ) = 0 . Д о к а з а т е л ь с т в о . • П у ст ь ^ ) = Σ^ т =1 р яд — п р ои звод ящ и й схо д и т ся вед л и во аб со л ю т н о Д и р и хл е, s— к о м п л е к сн о е s = σ +it. Р я д ε>0 л ю б о е . Т о г д а сп р а­ р ав ен ст в о τ (x)- ∑ ∕( " i) ln f γ Z(s)ds, = и н тегр и р о в ан и е П у ст ь (5 ) (2) zn≤x гд е п ер ем ен н ое, σ ≥1 + ε , г д е и р авн ом ер н о п р и в ед ет ся п о п р ям ой σ = 2. f1(m)≈ f(m)m~ia, и Z1(s)-ee п р о и з в о д я щ и й р я д Д и р и хл е, то гд а, о ч еви д н о, что Z(s) =Z1(s- ia) = ζ*(s-ia)H1(s- ia), гд е ζ ( s ) - д з е т а -ф у н к ц и я (6 ) , Р и м ан а, а *ω = ∏( > -m ι ÷ ∑^ α= I р М ул ьти п л и кати вн ая ты [4 ], п о э т о м у ф у н к ц и я ∕1 ( w ) у д о в л е т в о р я е т усл о в и я м л ем м ы 1 р аб о­ H1 ( j ) н е т о л ь к о а н а л и т и ч е с к а я п р и σ ≥ 1 + ε и н е п р е р ы в н а я п р и σ ≥1 , н о t f 1 ( s ) = ∕Λ( l) + B μ - l I, (79 К есл и о ц е н к е о ст а т о ч н о го 167 чл ен а s — 1 [ ≤1 , и H1 (s)=B (7 ") т о го , т о гд а п р и σ ≥1 . К р о м е σ ≥1 сущ еств ует п р о и зво д н ая Н { (s), п р и ч е м H{(s) = B. при (7 ”) (6 ), р а в е н с т в о (5 ) п е р е п и ш е м В о сп о л ь зо в а в ш и сь rω = ⅛ - f в виде (5 ') *∙ (2) П ереход к к о н т у р у и н т е г р и р о в а н и я L, с о с т о я щ е м у и з о т р е з к о в 4y=l+⅛ , — о о < г ≤— 1 , — 1 < г ≤— p, р ≤t < 1 , 1 ≤t < ∞ (о б о з н а ч и м о т в е т с т в е н н о ч е р е з L1 , L2 , Li , Ls ) и прям ой и х со ­ п о л уо к р уж н о ст и ’ L3 = {s = p e' θ , - д е л а е т ся т ак ж е к а к п р и д о к а за т е л ь ст в е [3], п о э т о м у м ы е г о о п у с к а е м . со о т в ет ст в ую щ ей В в и д у и з в е с т н ы х с в о й с т в д з е т а -ф у н к ц и и Р и м ан а и работы лем м ы р ав ен ст в (7) сп р а­ ведли ва оц ен ка ∕ ζil(s)Hl(s) \ ' П оэтом у r2 ч аст я м и н тегр и р о в ан и е п о xfo i 1 2πi Г I А н ал о ги ч н о , и н т егр ал Д л я в In 16 (į t i + 2) ∕ ( s+Ma ∖ xsζ×(s)ff1(s) В х (s +ia) z a s ~ In х по ζκ ω t fιW (s÷7α) 2 vυ П о л ьзуя сь о ц ен к ам и t f( 5 ) =Bj5 -l 1 - r ≡× ч и сл ен и я м и тех ж е s н етрудн о и п ол учи ть, что ∕C,( 1y) = B∣ 1y-l | - Re *. и н тегр ал а (5 ') с о в п а д а ю т с с о о т в е т с т в у ю щ и м и в [3J. П о л у ч а е м , ч т о τ ∕γ x w П ер еход я ф ун кци ю H1 (l) (l+7 α ) 2 ( s -ljκ * (7 ), д л я Д ал ь н ей ш и е в ы ч и сл ен и я ’ к о н т у р у L5 : ≤1 , σ ≥ l, s ≠1 в в е д е м | 5— 1 дает χ 1+' g (ln χ)×-* (l+7 o) 2 Γ(κ) о т Т (х ) к сум м е / (m ), п о л у ч а е м , ч т о S(x) = zπ≤j c x1+' α (In x) κ " 1 ( l+7 α ) Γ( κ) ^(1) + ‰]∕J2J≡2L вы ­ Э . М а н ст а в и ч ю с 168 д о к а з а н а . Л е м м а П о л о ж и м щ е ст в е н н а я к р а т к о ст и д л я су щ е ст в у ю т bp = | h (р ) — a l n p — λ h (m) п р и н а д л е ж и о н ст а н т ы а , λ ≠0 и ф у н к ц и я а д д и т и в н а я д е й ст в и т е л ь н ы е к ∑ Σ го в о р и т ь , ч т о I. Б у д е м к л а сс у т с >0 А (с , а , т а к и е , ч т о в е ­ λ), е с л и р я д ы m a x ( ⅛ p , In / ? ) Ъ р <С P Op½ c сх о д я т ся . С п р а в е д л и в а т е о р е м а . сл е д у ю щ а я 1. Е с л и h(m)EA(c, а , Т е о р е м а vn {h (т ) λ), c1 т о п р и n'≥ < α l∏ H + λ l n l∏ H + x ∣λ ∣l ∕l n I n п } = G (х ) + , V In In л гд е cw-⅛', d"К о н ст а н т а , о гр а н и ч и в а ю щ а я от х и п. Д о к а з а т е л ь с т в о . ф у н к ц и и (8 ) h(m), н о от Х а р а к т е р и ст и ч е ск а я н е за в и си т ф у н к ц и я , со о т в е т ст в у ю щ а я р а сп р е д е л е н и я vn (х ) =vn {h (т ) < a I n п ∕λ ∖ + λ In In ) а 1п л + Х 1п 1п л f n +х 1 φ" w=exp{ -"-[ж Т Ж -1» Е сл и лиш ь В , за в и си т h(m)EA(c, af | λ j ] ∕l n I n n} f ∙. V £ expΓ Ä (m ) .χ i ∕∣i ∏ z ∩4 ) nT} • (9) λ), т о Ъ р <С р а в н о м е р н о к а ж д о г о д л я 1 11 ≤ Т , т . е . у сл о в и е л е м м ы в ы п о л н е н о п р и κ = e f' λ , п о э т о м у ×∏(14)' Р К а к л е гк о и в [4 ], п о л у ч и т ь п о л ь з у я сь т е м , ч т о h(m)εA(c, α , λ), п р и 1 1 1 ≤ ci ] ∕l n i n n , о ц е н к у ≈ + j,'1,∕i⅛⅛i- e4'+β]∕⅛⅛" • V In In л (Ю ) К о ц е н к е о с т а т о ч н о го П р и jz∣ ≤ c5 ∕lnw, п о л ь з у я с ь о ц е н к о й в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х и , и з (9) п о л у ч а е м 169 ч л е н а e ,"=l+B∣ w∣ , сп р ав ед л и в о й *-<'>=[ 1 +*l' l( для 1 + √v⅛ „ 1 |А (Ш )1) ■ Н о, ∑ IΛ(m)l≤* ∑ Wi≤∏ P≤n p≤ n +” Σ Σ п оэтом у д л я = о с =2 р !αlnp + λ∣ i +„ ĮrI≤ сп р ав ед л и в а о ц ен к а W1= .1+в ; 1t ∕∣ 1inh -i[/In In n (И ) ‘ О ст а л о сь т о л ь к о в о сп о л ь зо в а т ь ся н е р а в е н ст в о м Э ссеен а f e 2du = ⅜ +e f ∣Ψ∏W-e 2 I 7 -∙ *' π -∞ о ч асти о ц ен и в ает ся И н тегр ал в п р ав о й при пом ощ и (10) и (11) в и н тер ва­ л а х cs∣∖ nn<t <ci]∕ ∖ n ↑nn =T и 0 ≤ z≤ c 5 ∕1 π h , с о о т в е т с т в е н н о . Т е о р е м а д о к а з а н а . З а м е т и м т о л ь к о , ч т о А (с , 0, λ) [с о в п а д а е т с к л а с ­ с о м , р а с с м о т р е н н ы м в [4]. Л ем м а п о зв о л я ет н ам о б о б щ и т ь со о т в ет ст в у ю щ и е теор ем ы д л я м ул ь т и п л и ­ к а т и в н ы х ф у н к ц и й (с м . [5]). П у с т ь g (m) — д е й с т в и т е л ь н а я м у л ь т и п л и к а т и в ­ н а я ф у н к ц и я . П р и g(p)≠ 0 п о л о ж и м dp= ∣ In ∣ g(p) | — α ln p -λ | . Г о в о р и м , ч т о g (m) п р и н а д л е ж и т к л а с с у 9K0 (c, a , λ), е с л и с у щ е с т в у ю т д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а а , λ≠ 0 и с >0 т а к и е , ч т о р я д ы Σ g (p)≤0 In p P ’ Σ Σ p α=2 g(pa)≠θ Σ g (p)>0 dp<c dp∖ np P g(p)>θ Σ f. g(p)½o dp½c I ln g (pa) I I Pa схо д я т ся . С п р ав ед л и в а сл ед у ю щ ая тео р ем а. Т е о р е м а 2. Е с л и g(m)∈5R0 (c, at λ), т о п р и n>cβ v. { g (m) <п ' ln¼ IX1 1 λ 1 v ,"ln ” sgn X } = Φ o (х ) + -7j4= I/ In In n р а в н о м ер н о п о х . З д есь 1 — .ω °+ω ι Q ( _in χ) t есл и х > 0, G į -ln (-x) j, е с л и х >0 . <М х ) = -ω°2 ωι Э . М а н ст а в и ч ю с 170 G(x) о п р е д е л е н а (8), а ^=∏(>4)(1+∑ р α=l <fe=0-1)∙ <12> М о ж н о р а ссм а т р и в а т ь и д р у го й к л а сс д ей ст в и т ел ь н ы х м у л ь т и п л и к а т и в ­ н ы х ф у н к ц и й . Г о в о р и м , ч т о g(τ n)∈5R1 (c, α, λ), е с л и с у щ е с т в у ю т д е й с т в и ­ т е л ь н ы е к о н с т а н т ы α, λ≠ 0 и с>0 таки е, что ряды dp ln р ∖ y Σ -⅛t g(p}≥0 g(p)<0 dp<c Σ fg(p)≠Q p схо д я т ся . Т е о р е м а ^-∙ cc = 2 ∖ ' P ln p g(p)<0 dp½c P Į ⅛ i g {pa) 11 g(pα)≠ θ 3. Е с л и g{m}^ Sii∖ c, а , λ), т о п р и n>c1 vn {g(w )<Λfll∏λ Λ !xl' λ, l lnln "sgn x} = Φ 1 (x) + — У In In n р а в н о м ер н о п о х . З д есь G( — ln x), есл и х >0 , tγ G ( — In ( — х ) j , е с л и х < 0. 1 — у о », (х ) = (8) и (12), с о о т в е т с т в е н н о . Д о к а з а т е л ь с т в а т ео р ем 2 и 3 п р о в о д я т ся т а к ж е , к а к и в р аб о ­ т е [5], с и с п о л ь з о в а н и е м б о л е е о б щ е й л е м м ы н а с т о я щ е й з а м е т к и . П р и в е д ем н е ск о л ь к о п р и м е р о в , н е со д е р ж а щ и х ся в р ан ее р а ссм о т р е н ­ н ы х к л а с с а х . П у с т ь μ(∕n ) — ф у н к ц и я М ё б и у с а ; ω (w ) — ч и с л о р а з л и ч н ы х п р о с т ы х д е л и т е л е й m ∖ Ω( w ) -ч и с л о п р о с т ы х д е л и т е л е й ч и с л а m с у ч е т о м к р а т н о с т и ; τ (т ) -ч и с л о в с е х н а т у р а л ь н ы х д е л и т е л е й т . G(x) и ω 0 о п р е д е л е н ы Ф у н к ц и и h 1 (т ) = π In т + ω (т и ), Λ2 ( w ) = — 2 1 n w + ]∕2 Ω (т и ) п р и н а д л е ж а т к л а сса м Л (1, π , 1) и Л (1 , — 2, ]/ 2), с о о т в е т с т в е н н о . К л а с с у 2R0 ( l, In 2 j п р и н а д л е ж и т ф у н к ц и я g1 (m) = μ (m) ( - 1 ) ω (m) τ (m) ↑∕ m, а к л а с с у 9Dli ( 1 , — 3, ln 2) — ф у н к ц и я g2 (m) = μ(w ) τ (m) m~3. А в т о р в ы р а ж а ет и ск р е н н ю ю б л а го д а р н о ст ь п р о ф . Й . К у б и л ю су за в сест о р о н ю ю п о м о щ ь п р и в ы п о л н ен и и н асто я щ ей р аб о т ы . В и л ь н ю сск и й Г о су д а р ст в ен н ы й у н и в ер си т ет и м . В . К а п су к а са П о сту п и л о в р ед ак ц и ю 27.V. 1971 «Л и т е р а т у р а 1. Й . К у б и л ю с , В е р о я т н о с т н ы е м е т о д ы в т е о р и и ч и с е л , В и л ь н ю с , 1962. 2. А . Б а к ш т и с , О п р е д е л ь н ы х з а к о н а х р а сп р е д ел е н и я м у л ь т и п л и к а т и в н ы х ар и ф м е­ т и ч е с к и х ф у н к ц и й , Liet, m atėm, r ink., У Ш , 1, 2, 4 (1968), 5 — 20, 201 — 219, 643 — 680. К 171 о ц е н к е о ст а т о ч н о го ч л е н а 3. J. Kubilius, On local theorems for additive number-theoretic functions. Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis. Zur Errinerung an Edmund Landau (1877 —1938), VEB Deut ­ scher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1968, 175 —191. 4. Й . К у б и л ю с , М е т о д п р о и з в о д я щ и х р я д о в Д и р и х л е в т е о р и и р а с п р е д е л е н и я а р и ф м е ­ т и ч е с к и х ф у н к ц и й . I, Liet, matėm, rink., XI, 1 (1971), 125 —134. 5. Й . К у б и л ю с , 3. Ю ш к и с . О р а с п р е д е л е н и и з н а ч е н и й м у л ь т и п л и к а т и в н ы х ф у н к ц и й , Liet, matėm, rink., XI, 2 (1971), 261-273. LIEKAMOJO NARIO INTEGRALINIUOSE ASIMPTOTINIUOSE ARITMETINIŲ FUNKCIJŲ PASISKIRSTYMO DĖSNIUOSE ĮVERTINIMO KLAUSIMU E. Manstavičius (Reziumė) Darbe nagrinėjamos adityvinių ir multiplikatyvinių aritmetinių funkcijų, asimptotiškai pa ­ siskirsčiusių pagal normalinj dėsnį, klasės. Nurodomas būdas, kaip gauti liekamųjų narių įverti­ nimą integraliniuose dėsniuose platesnėms aritmetinių funkcijų klasėms. Naudojamas metodas remiasi [4] ir [5] darbų idėjomis. ON THE ESTIMATION OF ERROR TERMS IN THE INTEGRAL ASYMPTOTIC LAWS FOR ARITHMETIC FUNCTIONS E. Manstavičius (Summary) Let h (m) and g (m) be real-valued additive and multiplicative number-theoretic functions respectively. We denote by bp= ∣ h (p)-a In p — λ ∣ and by dp= ∣ In 1 g (p) | — a In p — λ ∣, if g(p)≠ 0, for some real constants a and λ. As usual, u* X I* e c<*>=yt 2 du and vn {...} denotes the number of natural τn≤ π , that satisfies conditions written in the paren ­ thesis, divided to n. Then the following theorems are proved. Theorem 1. Let h (m) be a real-valued additive function. If there exist real constants a, λ≠ 0 and c>0 such that the series Σ max (bp In p) P у Zj l½(P°t)l pα p. α≥ 2 converge, then for n≥ 3 4 h (m)-a∖ n n — λln In n <x}=G(x) +θ ( y==). ∖ "k ∖ 1/ In In n The constant in the symbol О depends only on the function h (m). Theorem 2. Let g (m) be a real-valued multiplicative function. Suppose, that there exist real constants a, λ≠ 0 and c>0 such that the series у ln^ λ g (p)≤ θ p ∞ Σ Σ J> a=2 g (p*)≠ θ ■ ⅛ ,lnp Σ P g (p)>θ dp<c Λn ∖ g(p*) ∖ Pa 1 Σ ⅛l∙ g <P)>0 dp≥ c V 2-ι g(p)≠ θ P 172 Э . М а н ст а ви ч ю с converget then uniformly in x and n^^3 v∏ {g{m}<rt> lnλw ∣ x ( sgnx} = Φ0(x) + □ ^-yj^=-J » where 1 -ωι Φo(x) = ∙ -ω ~2ωι g (j(-lπ x) for . . I-1π (-x )J for x>0, x<0 and —πp (∙4)(>÷∑ ≡⅛i0) α= l The case, when the values g (p) are concentrated in the left half-axis of real numbers, is con­ sidered too. The method used in this paper is similar to that of [4] and [5].