Векторный потенциал электромагнитного поля

Векторный потенциал электромагнитного поля
${\displaystyle {\vec {A}}}$
Размерность	MLT−2I−1
Единицы измерения
СИ	Тл${\displaystyle \,\cdot \,}$м
СГС	Гс${\displaystyle \,\cdot \,}$см
Примечания
Векторная величина

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

Ве́кторный потенциа́л электромагни́тного по́ля, A (вектор-потенциал, магнитный потенциал) — в электродинамике, векторный потенциал, ротор которого равен магнитной индукции:

${\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} }$.

Определяется с точностью до градиента произвольной скалярной функции ${\displaystyle \nabla \psi }$. Измеряется в Тл${\displaystyle \cdot }$м (СИ) или Гс${\displaystyle \cdot }$см (СГС).

Вектор-потенциал (${\displaystyle \mathbf {A} }$) является пространственной компонентой 4-вектора электромагнитного потенциала.

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов.

При этом уравнение ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =0}$ удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для ${\displaystyle \mathbf {A} }$ в

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

приводит к уравнению

${\displaystyle \operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0,}$

согласно которому, так же как и в электростатике, вводится скалярный потенциал. Однако теперь в ${\displaystyle \mathbf {E} }$ вносят вклад и скалярный, и векторный потенциалы:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$

Из уравнения ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$ следует

${\displaystyle \operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right).}$

Используя равенство ${\displaystyle \operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {grad} \;\operatorname {div} \mathbf {A} -\nabla ^{2}\mathbf {A} }$, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} -\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,}$

${\displaystyle \Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$

В соответствии с теоремой Стокса, магнитный поток ${\displaystyle \Phi }$ через контур ${\displaystyle L}$ легко выразить через циркуляцию векторного потенциала ${\displaystyle \mathbf {A} }$ по этому контуру:

${\displaystyle \Phi =\oint \limits _{L}\mathbf {A} \cdot \mathbf {dl} .}$

Легко убедиться, что преобразования

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi ,}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}},}$

где ${\displaystyle \psi }$ — произвольная скалярная функция координат и времени, не изменяют уравнений Максвелла (калибровочная инвариантность, по теореме Нётер ей соответствует закон сохранения электрического заряда). Для удобства решения этих уравнений накладывают дополнительное искусственное условие, называемое калибровкой потенциала. При решении различного класса задач удобнее бывает та или иная калибровка. Широкое распространение получили две — калибровка Кулона и калибровка Лоренца.

Калибровкой Кулона называют выражение:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {A} =0.}$

Эта калибровка удобна для рассмотрения магнитостатических задач (с постоянными во времени токами).

Калибровкой Лоренца называют условие равенства нулю 4-дивергенции потенциала:

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }={\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$

В этом случае уравнения переписываются в виде даламбертианов.

В системе СИ:

${\displaystyle \square \mathbf {A} \equiv \Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,}$

${\displaystyle \square \varphi \equiv \Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$

В Гауссовой СГС:

${\displaystyle \square \mathbf {A} \equiv \Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} ,}$

${\displaystyle \square \varphi \equiv \Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-4\pi \rho .}$

Уравнения, записанные в таком виде, удобнее использовать для решения нестационарных задач.

Обычно считается, что векторный потенциал — величина, не имеющая непосредственного физического смысла, вводимая лишь для удобства выкладок. Однако удалось поставить эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен непосредственному измерению. Подобно тому, как электростатический потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса.

Влияние магнитного поля на движение квантовой частицы приводит к смещению фазы^[1][2]:

${\displaystyle \Delta \varphi _{H}={\frac {e}{\hbar c}}\int _{S}^{}(\mathbf {A} ,\;d\mathbf {l} ),}$

где ${\displaystyle e}$ — заряд электрона, ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме, ${\displaystyle \hbar }$ — приведенная постоянная Планка, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — векторный потенциал магнитного поля и ${\displaystyle d\mathbf {l} }$ — элемент траектории движения частицы.

При этом смещение фазы возникает и тогда, когда частица проходит по областям, в которых ${\displaystyle \mathbf {B} =0}$, не равен нулю только ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Например, это происходит при наблюдении эффекта Ааронова — Бома^[3].

При движении частицы в электромагнитном поле полный импульс ${\displaystyle \mathbf {P} }$ равен не просто ${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$, а ${\displaystyle \mathbf {p} +q\mathbf {A} }$. Следовательно, при движении частицы в чисто магнитном поле сохраняется именно эта величина. Налицо аналогия с полной энергией частицы ${\displaystyle E=T+U={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\varphi }$, которую можно считать суммой кинетической и потенциальной энергии.

Если заряженная частица находится вблизи источника магнитного поля, которое в определённый момент времени быстро отключают, то она приобретает дополнительный импульс ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} =q\mathbf {A} }$ даже в том случае, если ${\displaystyle \mathbf {B} }$ в точке нахождения частицы было равно нулю (например, с внешней стороны соленоида). В частности, если частица до отключения поля покоилась, то она начинает движение с импульсом, равным ${\displaystyle q\mathbf {A} }$. Таким образом мы получаем возможность непосредственно измерить векторный потенциал в макроскопической системе.

В системе СИ единицей векторного потенциала является вебер на метр (Вб/м, размерность — В·с/м = кг·м·с⁻²·А⁻¹).

• Электростатический потенциал
• Соленоид
• Вектор Герца
• Калибровка векторного потенциала
• Тономура, Акира

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — («Теоретическая физика», том II).
• Савельев И. В. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Волна. Оптика.— 1982.— 496 с.
• Мейлихов Е. З. Физическая реальность векторного потенциала. Эффект Ааронова-Бома и монополь Дирака: Учебное пособие / Е. З. Мейлихов — Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2015. — 64с.