Mate M1 2008
Mate M1 2008
Mate M1 2008
- MATEMATICA -
Programa M1
- Proba D
- Tipul subiectului MT1
Variante Finale
( Aprilie )
VARIANTA 1
( )
1. Se consideră şirul ( an )n∈`* dat de a1 ∈ ( 0,1) şi an +1 = an 1 − an , ∀n ∈ `* .
5p a) Să se arate că an ∈ ( 0,1) , ∀n ∈ `* .
5p b) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈`* este strict descrescător.
5p c) Să se arate că şirul (bn )n∈`* , dat de bn = a12 + a2 2 + ... + an 2 , ∀n ∈ `* , este mărginit superior de a1.
1
2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = .
x + x +1
2
2 3 2x + 1
5p a) Să se arate că funcţia F : \ → \, F ( x) = arctg , x ∈ \ , este o primitivă pentru funcţia f.
3 3
5p b) Să se calculeze aria suprafeţei delimitate de dreptele x = 0, x = 1, Ox şi graficul funcţiei g : \ → \ ,
g ( x) = (2 x + 1) f ( x) .
n
5p c) Să se calculeze lim ∫
n →∞ − n
f ( x)dx , unde n ∈ `* .
∫0 f 2 ( x )dx .
3
5p b) Să se calculeze
∫ fa ( x )dx .
3
5p c) Să se calculeze lim
a →∞ 0
xn
2. Se consideră şirul ( I n )n∈`* , I n = ∫
2
dx, n ∈ `* .
0 x +1
n
5p a) Să se calculeze I1 .
1
5p b) Să se arate că I n ≤ 1 + , ∀n ∈ `* .
n +1
5p c) Să se calculeze lim I n .
n →∞
∫ f ( x ) dx, n ∈ ` .
n
5p b) Să se calculeze lim
n →∞ 1
5p c) Să se arate că şirul (an ) n≥1 este convergent.
5p a) Să se calculeze I1 .
5p b) Să se arate că şirul ( I n )n∈` este descrescător.
π
5p c) Să se arate că nI n I n −1 = , ∀n ∈ `∗ .
2
VARIANTA 9
1
1
5p b) Să se arate că ∫
0 ≤ 2 g n ( x)dx ≤ n , ∀ n ∈ `* .
0 2
1 1 1 1
5p c) Să se arate că lim + + + ... + = ln 2 .
n →∞ 1 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2
3⋅ 23
n ⋅ 2n
VARIANTA 10
( )
10
5p 4. Să se determine numărul termenilor iraţionali din dezvoltarea 3 + 3 3 .
G G G G G G
5p 5. Să se determine a ∈ \ pentru care vectorii u = (a − 2)i + 3 j şi v = 8i − (20 − 2a) j sunt coliniari.
G G G G G G
5p 6. Să se arate că vectorii u = 5i − 4 j şi v = 2i + 3 j formează un unghi obtuz.
10 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 010
1 2 3 1 2 3
1. Se consideră permutările e, α ∈ S3 , e = , α= .
1 2 3 3 1 2
5p a) Să se calculeze α 3 .
5p b) Să se rezolve ecuaţia α 2008 ⋅ x = e , x ∈ S3 .
5p c) Să se demonstreze că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din S3 este
permutare impară.
a 2
2. Pentru fiecare a ∈ ] 5 se consideră matricea A(a) ∈ M2 (] 5 ) , A(a) = .
2 a
5p a) Să se verifice că ∀ x ∈ ] 5 , x5 = x .
b) Să se demonstreze că ∀ a ∈ ] 5 , ( A(a) ) = A(a ) .
5
5p
5p c) Să se determine valorile lui a ∈ ] 5 pentru care ( A(a)) 2008 = A(a ) .
(
1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x arctg x − ln 1 + x 2 . )
5p a) Să se arate că funcţia f este convexă pe \ .
5p b) Să se arate că funcţia f ' este mărginită.
5p c) Să se demonstreze că f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ \ .
1
xn
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ dx, ∀n ∈ `* .
0 1+
2n
x
5p a) Să se calculeze I1 .
5p 1
b) Să se arate că I n ≤ , ∀ n ∈ `* .
n +1
5p c) Să se calculeze lim I n .
n →∞
1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x3 + 3 x 2 − 4, ∀x ∈ \ .
3
0
5p a) Să se calculeze F1 ( x ) , x > 0 .
5p b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei Fn .
5p c) Să se calculeze lim F2 ( x) .
x →∞
VARIANTA 14
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008
Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică.
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.
• Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.
14
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 014
1 2 3 99
5p 1. Să se calculeze lg + lg + lg + ... + lg .
2 3 4 100
5p 2. Să se determine a ∈ \∗ pentru care inecuaţia ax 2 + 2(a + 1) x + 2a − 1 ≥ 0 nu are soluţii în mulţimea
numerelor reale.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 8 − x = 3 9 − 4 x .
5p 4. Să se determine numărul elementelor unei mulţimi ştiind că aceasta are exact 45 de submulţimi cu
două elemente.
5p 5. Să se determine ecuaţia dreptei AB ştiind că A(2,3) şi B (−5, 4) .
5p 6. Triunghiul ABC ascuţitunghic are AC = 2 3 şi lungimea razei cercului circumscris egală cu 2. Să se
calculeze m ( )B ) .
14 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 014
a b c
1. Se consideră matricea A = 2a 2b 2c , unde a, b, c ∈ \∗ .
3a 3b 3c
5p a) Să se calculeze rangul matricei A.
5p b) Să se arate că există d ∈ \ astfel încât A2 = dA .
5p c) Să se arate că există matricele K ∈ M 3,1 ( \ ) şi L ∈ M1,3 ( \ ) astfel încât A = K ⋅ L .
2. Se consideră numărul a = 3 − i ∈ ^ şi polinomul f ∈ _ [ X ] , f = X 4 − 4 X 2 + 16 .
5p a) Să se arate că f (a ) = 0.
5p b) Să se determine rădăcinile polinomului f.
5p c) Să se arate că polinomul f este ireductibil în _ [ X ] .
x3 − 3 x + a x 2 + ax + 5
2. Se consideră a ∈ \ şi funcţiile f , F : \ → \ , f ( x ) = , F ( x) =
, ∀x ∈ \ .
( x 2 + 1) x 2 + 1 x2 + 1
5p a) Să se arate că funcţia F este o primitivă pentru funcţia f .
5p b) Pentru a = 2 , să se determine aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul functiei f , axa Ox şi
dreptele x = 1 şi x = 2 .
2 0
5p c) Să se determine a astfel încât ∫0 F ( x)dx − ∫−2 F ( x)dx = 2 .
π
5p a) Să se arate că I 0 = .
4
1
5p b) Să se arate că I 2 n = − I 2n − 2 , ∀n ∈ `, n ≥ 2 .
2n − 1
1 1 1 n −1 1
c) Să se arate că lim 1 − + − + ... + ( −1) = I0 .
2n − 1
5p
n →∞ 3 5 7
1 x
5p c) Să se calculeze lim ∫ fn n dx .
n →∞ 0
5p a) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei f1 , axele de coordonate şi dreapta x = 1.
∫0 x ( f1 ( x) )
1 2
5p b) Să se calculeze dx .
π
5p c) Să se arate că lim n ( f n (1) + f n (2) + f n (3) + ... + f n (n) ) = .
n →∞ 4
∫0 f ( x ) dx .
1
5p a) Să se calculeze
5p 4
∫1 ( x + f ( x) − 2)
2
b) Să se calculeze dx.
f −1 ( x ) dx .
2
5p c) Ştiind că funcţia f este bijectivă, să se calculeze ∫4
5
1 3
5p a) Să se calculeze ∫ 0 (t + 1) f (t )dt .
∫ 1 f ( t ) dt = ∫1 t f ( t ) dt , ∀x > 0.
1 3x
5p b) Să se arate că
x
∫ f ( t ) dt .
x
5p c) Să se calculeze lim
x →∞ 1
x
π
5p b) Să se arate că funcţia f este integrabilă pe intervalul 0, .
2
π
5p c) Să se arate că ∫ 2 f ( x ) dx ≤ cos1 .
1
5p a) Să se arate că det ( A ) = ( a + b + c )( c − b )( c − a )( b − a ) .
5p b) Să se rezolve sistemul în cazul a + b + c ≠ 0 .
5p c) Să se demonstreze că dacă a + b + c = 0 , atunci sistemul este incompatibil.
2. Se consideră şirul de numere reale (an )n∈` , cu a0 = 0 şi an +1 = an2 + 1 , ∀ n ∈ ` şi polinomul
f ∈ \[ X ] , cu f (0) = 0 şi cu proprietatea că f ( x 2 + 1) = ( f ( x))2 + 1 , ∀ x ∈ \ .
5p a) Să se calculeze f ( 5 ) .
5p b) Să se arate că ∀ n ∈ ` , f ( an ) = an .
5p c) Să se arate că f = X .
22 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 022
x
1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = .
x +3
4
5p a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ \ .
5p b) Să se determine mulţimea valorilor funcţiei f.
5p c) Să se arate că f ( x ) − f ( y ) ≤ x − y , ∀x, y ∈ \.
2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = x3 − 3x + 2 .
3 f ( x)
5p a) Să se calculeze ∫ dx .
2 x −1
0x2 + 4
5p b) Să se calculeze ∫−1 f ( x) dx .
x2
5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei g : \ → \, g ( x) = ∫ f (t )et dt .
0
1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = x3 + x + 1 .
1
5p a) Să se arate că, pentru orice n ∈ ` , ecuaţia f ( x ) = 3 + are o unică soluţie xn ∈ \ .
n +1
5p b) Să se arate că lim xn = 1 , unde xn este precizat la a).
n →∞
5p c) Să se determine lim n ( xn − 1) , unde xn este precizat la a).
n →∞
x sin t
2. Se consideră funcţia f : [ 0, ∞ ) → \ , f ( x) = ∫ dt.
0 1+ t
a 1
5p a) Să se arate că ∫0 1 + t dt = ln(1 + a), ∀a > −1 .
5p b) Să se arate că f ( x) < ln(1 + x), ∀x > 0 .
5p c) Să se arate că f ( π) > f (2π) .
2. Se consideră matricea A =
2 2
−1 −1
{
şi mulţimea G = X ( a ) = I 2 + aA a ∈ \ \ { − 1 } . }
5p a) Să se arate că ∀ a, b ∈ \ \ { − 1 } , X ( a ) X ( b ) = X ( ab + a + b ) .
5p b) Să se arate că ( G , ⋅ ) este un grup abelian, unde ,, ⋅ ” reprezintă înmulţirea matricelor.
5p c) Să se determine t ∈ \ astfel încât X (1) X (2)... X (2007) = X (t − 1) .
25 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 025
1
1. Se consideră funcţia f : (0, ∞) → \, f ( x ) = ln 2 x .
2
5p a) Să se arate că funcţia este convexă pe intervalul (0, e] .
5p b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei.
ln 3 ln 4 ln 5 ln n
5p c) Să se arate că şirul (an ) n≥3 , dat de an = + + + ... + − f ( n ) , este convergent.
3 4 5 n
π
2. Se consideră funcţia f : 0, → \, f ( x ) = cos x .
2
5p a) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei f şi axele de coordonate.
5p b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei Ox .
1 1 2 3 n
5p c) Să se calculeze lim 1 − f f + f + f + ... + f .
n →∞ n n n n n
1 π
5p c) Să se arate că ∫ 0 f ( x) dx < 4 .
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1
VARIANTA 27
{
2. Se consideră mulţimea de funcţii G = f a , b : \ → \ f a , b ( x ) = ax + b, a ∈ \* , b ∈ \ . }
5p a) Să se calculeze f −1, 2 D f −1, 2 .
5p b) Să se demonstreze că ( G, D ) este un grup, unde „ D ” este compunerea funcţiilor.
5p c) Să se calculeze f1,1 D f1,1 D ... D f1,1 .
şi F : [ 0, + ∞ ) → R, F ( x ) = ∫ f (t ) dt .
1
2. Se consideră funcţiile f : R → R, f ( x ) =
x
2 − sin x 0
π
2
5p a) Să se calculeze ∫ 0 f ( x ) cos x dx .
5p b) Să se demonstreze că funcţia F este strict crescătoare.
5p c) Să se determine lim F ( x).
x →∞
b) Să se calculeze lim f n′ .
1
5p
n →∞ 2
5p c) Să se demonstreze că f n are exact un punct de extrem local.
5p a) Să se arate că A = ( a − b )( b − c )( c − a )( a + b + c ) .
5p b) Să se arate că A = B .
5p c) Să se arate că, pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, situate pe reprezentarea
grafică a funcţiei f , aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un număr natural divizibil cu 3.
−1 3
2. Se consideră matricea A =
3 −9
{
şi mulţimea G = X ( a ) = I 2 + aA a ∈ \ . }
5p a) Să se arate că ∀ a, b ∈ \ , X ( a ) X ( 0 ) = X ( a ) şi X (a ) X (b) = X (a + b − 10ab).
1
5p b) Să se arate că mulţimea H = X ( a ) a ∈ \ \ este parte stabilă în raport cu înmulţirea
10
matricelor.
5p c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = I 2 , X ∈ G .
30 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 030
x3
1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = x − − sin x .
6
5p a) Să se determine lim f ( x ) .
x →− ∞
5p b) Să se calculeze derivata a doua f ′′ ( x ) , x ∈ R .
5p c) Să se demonstreze că f ( x ) ≤ 0, ∀x ≥ 0.
1 2
2. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = cos x − 1 + x .
2
π
2
5p a) Să se calculeze ∫ 0 f ( x ) dx .
1 x
5p b) Să se determine lim
x →∞ x 2 ∫0 f (t )dt .
∫ 0 cos ( x ) dx ≥ 109 .
1 2
5p c) Să se demonstreze că
VARIANTA 31
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008
Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică.
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.
• Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.
31
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 031
1 + 3a
5p 1. Ştiind că log 3 2 = a , să se demonstreze că log 16 24 = .
4a
5p 2. Să se determine două numere reale care au suma 1 şi produsul −1 .
5p 3. Să se rezolve în \ ecuaţia 22 x +1 + 2 x + 2 = 160.
5p 4. Într-o clasă sunt 22 de elevi, din care 12 sunt fete. Să se determine în câte moduri se poate alege un
comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete şi 2 băieţi.
5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2, − 1) , B ( −1, 1) şi C (1, 3) .
Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul C şi este paralelă cu dreapta AB.
5p 6. Să se demonstreze că sin 6 < 0 .
31 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 031
1. Pentru x ∈ ^ se consideră matricea A( x) = x + 1 x − 1 ∈ M2 ( ^ ) .
2
1 x −1
5p a) Să se verifice că ( A( x) )2 = 2 xA( x).
b) Să se determine toate numerele complexe x pentru care ( A( x) ) + ( A( x) ) = O2 .
4 2
5p
5p c) Să se arate că ecuaţia X 2 = A ( 0 ) , X ∈ M 2 ( ^ ) nu are soluţii.
2. Se consideră polinomul f ∈ ^[ X ] , f = ( X + i ) + ( X − i)
2008 2008
, care are forma algebrică
f = a2008 X 2008 + a2007 X 2007 + ... + a1 X + a0 .
5p a) Să se calculeze a2008 + a2007 .
5p b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X 2 − 1 .
5p c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale.
5p a) Să se calculeze I 2 .
1
5p b) Să se verifice că I n + 2 + I n = , ∀n ∈ N∗.
n +1
5p c) Să se calculeze lim nI n .
n→∞
1 x
5p b) Să se determine lim 3 ∫ f (t )dt.
x →∞ x 0
5p c) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între graficele celor două funcţii şi dreptele x = 0 şi x = 1 .
{
2. Se consideră corpul ( ] 7 , +, ⋅) şi H = x 2 x ∈ ] 7 . }
5p a) Să se arate că H = {0,1,
ˆ ˆ 2,
ˆ 4}
ˆ .
5p a) Să se determine f1 ( x ) , x ∈ [ 0, + ∞ ) .
5p π 1
b) Să arate că f n (1) ≤⋅ , ∀n ≥ 1 .
4 n +1
5p c) Să se calculeze lim nf n (1) .
n →∞
{
f (a + b 2) = a 2 − 2b 2 şi mulţimea A = x ∈ ] 2 }
f ( x ) = −1 .
5p a) Să se verifice dacă 7 + 5 2 ∈ A .
5p b) Să se arate că pentru orice x, y ∈ ] 2 , f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) .
5p c) Să se arate că mulţimea A este infinită.
5p a) Să se calculeze I 2 .
5p b) Să se demonstreze că şirul ( I n )n∈N∗ este strict descrescător .
5p c) Să se calculeze lim I n .
n→∞
( )
5
5p 4. Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea binomului 2 + 1 .
JJJG JJJG JJJG
5p 5. Fie ABCD un pătrat de latură 1. Să se calculeze lungimea vectorului AB + AC + AD .
6+ 2
5p 6. Să se demonstreze că sin 75D = .
4
37 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 037
a a +1 a + 2
1. Se consideră matricea A = b b + 1 b + 2 , cu a, b ∈ \ .
1 1 a
5p a) Să se arate că det ( A ) = ( a − b )( a − 1) .
5p (
b) Să se calculeze det A − At . )
5p c) Să se arate că rang A ≥ 2 , ∀a, b ∈ \ .
2. Se consideră polinomul f ∈ \ [ X ] , f = X 3 + pX 2 + qX + r , cu p, q, r ∈ ( 0, ∞ ) şi cu rădăcinile
x1 , x2 , x3 ∈ ^ .
5p a) Să se demonstreze că f nu are rădăcini în intervalul [ 0, ∞ ) .
5p b) Să se calculeze x13 + x23 + x33 în funcţie de p, q şi r.
5p c) Să se demonstreze că dacă a, b, c sunt trei numere reale astfel încât a + b + c < 0 , ab + bc + ca > 0
şi abc < 0 , atunci a, b, c ∈ ( −∞, 0 ) .
∫0 f ( x ) d x .
1
5p a) Să se calculeze
{
2. Se consideră mulţimea M = a + b 5 a, b ∈ ], a 2 − 5b 2 = 1 . }
5p a) Să se arate că x = 9 + 4 5 ∈ M .
5p b) Să se demonstreze că ( M , ⋅ ) este un subgrup al grupului multiplicativ \* , ⋅ . ( )
5p c) Să se demonstreze că mulţimea M are o infinitate de elemente.
5p a) Să se calculeze F1 ( π ) .
5p b) Să se demonstreze că Fn+1 (1) < Fn (1) , ∀n ∈N∗.
5p c) Să se calculeze lim Fn (1) .
n →∞
0 0 0 1
1 0 0 0
5p a) Să se calculeze A4 .
5p b) Să se arate că ( G, ⋅ ) este un grup comutativ, unde „· ” este înmulţirea matricelor.
5p c) Să se rezolve ecuaţia X 3 = I 4 , X ∈ G .
41 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 041
1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → ( − ∞, 0 ) , f ( x ) = ln (1 + x ) − x .
5p a) Să se demonstreze că funcţia f este strict descrescătoare pe intervalul ( 0, + ∞ ) .
5p b) Să se arate că funcţia f este surjectivă .
5p c) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptote.
2. Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = arctg x.
1
5p a) Să se calculeze ∫ 0 f ( x) dx .
x
1 π
5p b) Să se arate că lim
x →∞ x
∫ f (ln t )dt = 2 .
1
1 1 2 3 n
5p c) Să se calculeze lim f + f + f + ... + f .
n →∞ n n n n n
1 π
5p 3. Să se rezolve ecuaţia arctg x + arcctg = .
3 2
5p 4. Să se determine numărul termenilor raţionali ai dezvoltării ( 2 + 1)100 .
5p 5. Să se arate că punctele A(−1, 5) , B (1,1) şi C (3, −3) sunt coliniare.
5p 6. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul care are lungimile laturilor 4, 5 şi 7.
42 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 042
0 1 1 0 a b
1. Se consideră matricele A0 , B0 , A, B ∈ M 2 ( ^ ) , A0 = , B0 = , A= ,
0 0 0 2 c d
astfel încât AB − BA = A .
5p a) Să se determine rangul matricei A0 .
5p b) Să se arate că A0 B0 − B0 A0 = A0 .
5p c) Să se demonstreze că An B − BAn = nAn , pentru orice n ∈ `, n ≥ 2 .
2. Se consideră polinomul f ∈ \ [ X ] , f = 4 X 3 − 12 X 2 + aX + b .
5p a) Să se determine a, b ∈ \ , astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul X 2 − 1 .
5p b) Să se determine a, b ∈ \ , astfel încât ecuaţia f ( x ) = 0 să aibă soluţia x = i ∈ ^ .
5p c) Să se determine a, b ∈ \ , astfel încât polinomul să aibă rădăcinile x1 , x2 , x3 în progresie
aritmetică şi, în plus, x12 + x22 + x32 = 11 .
xn f ( x ) d x .
1
5p c) Să se calculeze lim
n →∞
∫ 0
π
5p a) Să se calculeze f .
2
5p π
b) Să se arate că g '( x) = − x sin 2 x, ∀x ∈ 0, .
2
π π
5p c) Să se demonstreze că f ( x ) + g ( x ) = , ∀x ∈ 0, .
4 2
5p a) Să se calculeze lim f ( x ) .
x →1
x >1
5p b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre + ∞ .
5p c) Să se demonstreze că funcţia f admite un singur punct de extrem local .
1+ x
2. Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = .
1 + x2
5p
1
( )
a) Să se arate că funcţia F : R → R, F ( x ) = arctg x + ln x 2 + 1 este o primitivă a funcţiei f .
2
1
5p b) Să se calculeze ∫ 0 f ( x)dx .
n
n+k
5p c) Să se arate că şirul ( an )n∈N∗ , definit de an = ∑ , ∀n ∈ N∗ , este convergent .
k =1 n
2
+k 2
5p 3. Să se rezolve în \ ecuaţia x −1 + 2 − x = 1 .
5p x! < 7
4. Să se determine numărul soluţiilor sistemului de inecuaţii , unde x, y ∈ N .
y ! < 25
5p 5. Să se calculeze distanţa de la punctul A (1,1) la dreapta d : 5 x + 12 y − 4 = 0 .
5p 6. Să se calculeze tg ( a + b ) ştiind că ctg a = 2 şi ctg b = 5 .
π
5p c) Să se arate că, pentru funcţia h :[1, π] → \, h( x) = ( F ( x) − 1)sin x , are loc relaţia ∫1 h( x)h′′( x) dx ≤ 0.
( )
9
5p 4. Se consideră dezvoltarea 3 + 1 . Să se determine numărul termenilor iraţionali ai dezvoltării.
G G G G G G
5p 5. Să se determine m ∈ R astfel încât vectorii u = ( m + 1) i + 8 j şi v = ( m − 1) i − 4 j să fie coliniari .
5p 6. Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB = 5 , BC = 7 şi AC = 8 . Să se calculeze m ( )A ) .
5p c) Să se calculeze lim
∫ 0
f (t )dt
.
x →0
x >0
x2
P , Qn ∈ ][ X ] , P = X 2 − X − 1, Qn = X n − Fn X − Fn −1 , ∀n ≥ 2.
5p a) Să se arate că polinomul X 3 − 2 X − 1 este divizibil cu P .
5p b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului Q3 .
5p c) Să se arate că, pentru orice n ≥ 2 , polinomul Qn este divizibil cu P .
5p f ( x)
a) Să se calculeze lim .
x →1
x <1
x −1
5p b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f.
5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f.
1
2. Fie funcţia f : (1; ∞ ) → \ , f ( x ) = .
x ( x + 1)( x + 2 )
5p a) Să se determine o primitivă a funcţiei f.
x −1
, ∀x ∈ [1, ∞ ) .
x
5p b) Să se demonstreze că ∫ f (t )dt ≤
1 6
1 x2
5p c) Să se calculeze ∫ 0 1 + x6 dx .
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1
VARIANTA 56
1
5p a) Să se calculeze ∫ 0 xf ( x)dx .
F ( cos x ) − F (1)
5p b) Să se calculeze lim .
x →0 x2
5p c) Să se arate că funcţia g : \ → \, g ( x) = F ( x) + f ( x) are exact un punct de extrem local.
, ∀n ∈ `∗ .
cn x + d n
de n ori f
1 0 0 1
2. Se consideră matricele A = , B= şi mulţimea G = {I 2 + aA + bB | a, b ∈ \, a ≠ −1}.
0 0 0 0
5p a) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă.
5p b) Să se arate că G este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din M2 (\).
5p c) Să se arate că ecuaţia X 2 = I 2 are o infinitate de soluţii în G.
58 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 058
x
1. Se consideră funcţiile f : \ → \ , f ( x ) = şi g : \ → \ , g ( x ) = arctg x .
1 + x2
5p a) Să se calculeze lim ( f ( x) g ( x) ) .
x →∞
5p b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f .
< arctg x , pentru orice x ∈ ( 0, ∞ ) .
x
5p c) Să se arate că
1 + x2
x − m, x ∈ [ 0,1]
2. Fie m ∈ \ şi funcţia f : [ 0, 2] → \ , f ( x) = .
x ln x, x ∈ (1, 2]
{ }
2. Se consideră mulţimea P = A ∈ M 2 ( \ ) | AAt = I 2 , unde At este transpusa matricei A.
0 1
5p a) Să se verifice dacă matricea aparţine mulţimii P.
1 0
5p b) Să se arate că înmulţirea matricelor determină pe mulţimea P o structură de grup necomutativ.
5p c) Să se arate că, dacă A, B ∈ P, X ∈ M 2 (\) şi AX = B , atunci X ∈ P.
(
1. Se consideră funcţiile f , g : \ → \ , f ( x ) = ln 1 + 1 + x 2 ) şi g ( x ) = ln ( x + )
1 + x2 .
5p a) Să se demonstreze că ln2 este cea mai mică valoare a funcţiei f.
5p ( )
b) Să se arate că, pentru orice x > 0 , este verificată relaţia e f ( x ) − 1 g ′( x) = 1 .
5p c) Să se demonstreze că g ( x) < x , pentru orice x > 0 .
{
2. Fie mulţimea M = f : \ → \ | f este derivabilă şi
1
∫0 f ( x) dx = f (0) = f (1) }.
5p a) Să se arate că funcţia f : \ → \ , f ( x) = 2 x3 − 3x 2 + x face parte din mulţimea M .
b) Să se arate că dacă f este o funcţie polinomială de grad trei, care aparţine lui M , atunci f = f (0).
1
5p
2
5p c) Să se arate că, pentru orice f ∈ M , ecuaţia f ′( x) = 0 are cel puţin două soluţii în intervalul (0,1) .
x3 , x ∈ ( −∞,0]
2. Fie a ∈ \ şi funcţia f : \ → \ , f ( x ) = .
1 + sin x, x ∈ ( 0, ∞ )
5p a) Să se arate că funcţia f este integrabilă pe intervalul [−2π , 2π ] .
π
5p b) Să se calculeze ∫−1 f ( x) dx .
2π
5p c) Să se arate că , pentru orice n ∈ `* , ∫0 f n ( x)dx ≤ 2n π .
π π
5p 3. Să se rezolve în \ ecuaţia sin x − = sin 3 x + .
4 4
( )
n
5p 4. Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării 2 x 2 − 5 y este egală cu 32. Să se determine termenul
de rang patru.
5p 5. Să se determine m, n ∈ R astfel încât dreptele d1: mx + 3 y + 2 = 0 şi d 2 : 2x + ny − 8 = 0 să coincidă.
JJJG JJJG
5p 6. Fie ABCD un patrulater. Să se arate că dacă AC ⋅ BD = 0 , atunci AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 .
axe x − x , x ≤ 0
2. Se consideră a, b ∈ \ şi funcţia f : \ → \ , f ( x) = .
x cos x + b, x > 0
5p a) Să se determine a şi b ştiind că funcţia f este primitivă pe \ a unei funcţii.
π
5p b) Ştiind că a = 0 şi b = 0 , să se calculeze ∫−1 f ( x)dx .
π n
5p c) Să se arate că, dacă b = 0 , atunci lim ∫ x
n →∞ 0
f ( x)dx = −∞ .
f (t ) f ′′(t ) − ( f ′(t )) 2
1 x
5p c) Să se calculeze ∫ g ( x)dx , unde g : \ → \, g ( x) = ∫ ( f (t )) 2
dt .
0 0
1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = l− 1 − x 2 .
1 3
5p b) Să se arate că ∫ 0 f ( x)dx + ∫1 g ( x)dx = 3 .
α
c) Să se demonstreze că, dacă α ∈ [1,3] , atunci are loc inegalitatea
1
5p ∫ 0 f ( x)dx + ∫1 g ( x)dx ≥ α .
b) Să se arate că lim (1 + f ( x) ) = e ( ) .
5p f′ 0
x
x →0
f n ( x) − x n nf ′′(0)
5p c) Să demonstreze că, dacă n ∈ `* , atunci lim n +1
= .
x →0 x 2
1+ x 0
5p a) Să se arate că g ( x) = ln(1 + x) .
1
∫0 f
2
5p b) Să se calculeze ( x) g ( x)dx .
0
5p a) Să se arate că funcţia f este impară.
5p b) Să se arate că lim f ( x) = ∞ .
x →∞
1
5p c) Să se arate că ∫ 0 f ( x)dx ≤ e − 2 .
1 5
5p c) Să se arate că ∫ 0 ln(1 + x)dx ≤ 12 .
2. Se consideră funcţia F : \ → \, F ( x ) = ∫ t x dt .
2
1
5p a) Să se verifice că 1 + ( x + 1) F ( x) = 2 x +1
, ∀x ∈ \ .
5p b) Să se calculeze lim F ( x) .
x →−1
1. Se consideră funcţia f : \ → \ f : \ → \ , f ( x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1.
5p a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă orizontală spre +∞ .
5p b) Să se studieze monotonia funcţiei f .
n
f (1) + f (2) + ... + f ( n)
5p c) Să se calculeze lim .
n →∞ n
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ x n 1 − x 2 dx.
1
0
5p a) Să se calculeze I1 .
5p b) Să se arate că (n + 2) I n = (n − 1) I n −2 pentru orice n ∈ `, n ≥ 3.
5p c) Să se calculeze lim I n .
n →∞
( )
5
5p 4. Să se determine suma termenilor raţionali ai dezvoltării 1 + 2 .
5p 5. Fie punctele A (1, 2 ) , B ( −1,3) şi C ( 0, 4 ) . Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A al
triunghiului ABC.
5p 6. Fie x ∈ \ , astfel încât tg 2 x = 6. Să se calculeze cos 2 x.
79 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 079
x + my + 2z = 1
1. Se consideră sistemul x + ( 2m − 1) y + 3z = 1 , m ∈ \.
x + my + ( m − 3) z = 2m − 1
5p a) Să se determine m ∈ \ pentru care sistemul are soluţie unică.
5p b) Să se determine m ∈ \ pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.
5p c) Pentru m = 1 să se determine soluţiile reale ( x0 , y0 , z0 ) ale sistemului pentru care 2 x02 − y02 + 3z02 = 14.
2. Pe mulţimea G = [ 0,1) se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = { x + y} , unde {a} este partea
fracţionară a numărului real a.
2 3
5p a) Să se calculeze ∗ .
3 4
5p b) Să se arate că ( G , ∗) este grup abelian.
1
5p c) Să se rezolve ecuaţia x ∗ x ∗ x = , x ∈G .
2
79 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 079
1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = e3 x + 2 x + 1 .
5p a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 .
5p b) Să se arate că funcţia f este inversabilă.
5p c) Să se calculeze lim ( f (−1) + f (−2) + f (−3) + ... + f (− n) + n 2 ) .
n →∞
an
2. Se consideră şirul (an ) n≥0 definit prin a0 = 1 şi an +1 = ∫ sin πx dx .
0
5p a) Să se calculeze a1 .
5p b) Să se arate că şirul (an ) n≥0 este convergent.
5p c) Să se calculeze lim an .
n →∞
1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = x 2 + 1 .
5p ( ) x iy
c) Să se arate că funcţia f : ^∗ , ⋅ → ( G , ⋅) cu f ( x + iy ) = , ∀x, y ∈ \ este izomorfism de
iy x
grupuri.
π
1
5p a) Să se calculeze ∫ 2
0 f1 ( x)
dx .
π
b) Să se arate că, dacă F este o primitivă a funcţiei f 4 , atunci F ′′( x) = ( f 4 ( x) ) sin 4 x, ∀x ∈ 0, .
5p 2
2
π
π
5p c) Să se arate că ∫ 2 sin 4 x f ( x ) dx
0
4 =
4
.
5p a) Să se calculeze I1 .
5p b) Să se arate că I n = e − nI n −1 , ∀n ≥ 2 .
5p c) Să se arate că şirul ( I n )n≥1 este convergent.
( ( ))
2
5p 1. Să se calculeze modulul numărului complex z = 2 −1+ i 2 +1 .
5p 2. Să se determine numerele reale x şi y ştiind că x + 2 y = 1 şi x 2 − 6 y 2 = 1.
5p 3. Să se arate că funcţia f : \ → \, f ( x ) = x 2 + x + 1 nu este injectivă.
5p 3
4. Să se calculeze C10 − C93 .
JJJG JJJG JJJG JJJG
5p 5. Fie ABCD un paralelogram. Ştiind că vectorii AB + AD şi AB − AD au acelaşi modul, să se arate că
ABCD este dreptunghi.
5p 6. Să se calculeze tg 15D .
π
5p b) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este strict crescătoare pe intervalul 0; .
2
2π
5p c) Să se calculeze ∫0 xf ( x)dx .
( )
−1
5p b) Să se determine A ⋅ At .
5p c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = A, X ∈ M 2 ( \ ) .
2. Fie a, b ∈ \ şi polinomul f = X 30 − 3 X 20 + aX 10 + 3 X 5 + aX + b ∈ \ [ X ].
5p a) Să se arate că restul împărţirii polinomului f la X + 1 nu depinde de a .
5p b) Să se determine a şi b astfel încât restul împărţirii polinomului f la X 2 − X să fie X .
5p c) Să se determine a şi b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu ( X − 1) 2 .
( )
2. Fie f ∈ \ [ X ] un polinom astfel încât f X 2 + 3 X + 1 = f 2 ( X ) + 3 f ( X ) + 1 şi f ( 0 ) = 0.
5p a) Să se determine f (−1).
5p b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X − 5.
5p c) Să se demonstreze că f = X .
x2n
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫
1
dx .
0 1 + x2
5p a) Să se calculeze I1 .
1
5p b) Să se arate că I n +1 + I n = , ∀n ≥ 1 .
2n + 1
5p c) Să se calculeze lim I n .
n →∞
x3
5p c) Să se rezolve inecuaţia f ( x) < x − , x∈\ .
3
1
2. Fie funcţia f : \ → \, f ( x) = .
(1 + x 2 ) 2
1
∫ 0 x(1 + x
2
5p a) Să se calculeze ) f ( x)dx .
x
5p b) Să se arate că funcţia F : \ → \, F ( x) = ∫ t 4 f (t )dt este strict crescătoare.
0
a 1
5p c) Să se arate că, pentru orice a ∈ \ , are loc relaţia ∫1 f ( x)dx <
4
.
ex x
2. Fie funcţiile f , g : \ → \, f ( x) = , g ( x) = ∫ f (t ) cos tdt .
1+ e x −x
1
5p a) Să se calculeze ∫ 0 f ( x)dx .
5p b) Să se calculeze g ′( x) , x ∈ \ .
π
5p c) Să se calculeze g .
2
5p 3. Să se rezolve în ecuaţia 2 x + 16 + x 2 = 11 .
5p 4. Câte funcţii f : {1, 2,3,… ,10} → {0,1} au proprietatea că f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + … + f (10 ) = 2 ?
5p 5. Se consideră punctele M (1, 2 ) , N ( 2,5 ) şi P ( 3, m ) , m ∈ . Să se determine valorile reale ale lui m
astfel încât MN ⋅ MP = 5.
5p 6. Să se determine cel mai mare element al mulţimii {cos 1,cos 2,cos 3}.