ArcSin ArcCos 2020
ArcSin ArcCos 2020
ArcSin ArcCos 2020
1 3
E cos arcsin .
2 2
15 1 15
E 2 sin x cos x 2 .
4 4 8
1 1 cos x 3
E tg arcctg3 10 1 10 3 .
2 sin x 10
Exercițiul 2.4 Calculați E tg 2 arcsin 2 .
3
Rezolvare. Notăm x arcsin 0, . Cum sin(arcsin x) x pentru orice atunci
2
3 2
2 2 sin 2 x 2 sin x cos x 2tgx
sin x sin(arcsin ) . Avem E tg 2 x , iar
3 3 cos 2 x cos x sin x 1 tg 2 x
2 2
4 5 5 sin x 2 5 2
cos x 1 sin 2 x 1 tgx : .
9 9 3 cos x 3 3 5
2tgx 4 4 4
E tg 2 x : 1 5 4 5 .
1 tg 2 x 5 5 5
1 3 1
E tg arcsin .
2 5 3
2 21
E cos 2 arcctg .
5 29
Exercițiul 2.7 Arătați că arctg 1 arctg 1 .
2 3 4
Rezolvare. Fie arctg 0, , atunci tg 1 . Dacă arctg 1 0, , atunci tg 1 .
1
2 2 2 3 2 3
Calculăm
1 1
tg tg
tg
5 5
2 3 : 1.
1 tg tg 1 1 6 6
1
2 3
Cum tg ( ) 1 și 0, , rezultă că .
4
25 144 12 25 144 12
cos x 1 sin 2 x 1 , sin y 1 cos2 y 1 .
169 169 13 169 169 13
5 5 12 12 25 144 169
Atunci sin( x y ) sin x cos y cos x sin y
1.
13 13 13 13 169 169
Cum ( x y ) (0, ), sin( x y ) 1 x y . Astfel, arcsin 5 arccos 5 .
2 13 13 2
Corolar: Exercițiul 2.9 este un caz particular al unei afirmații generale expusă prin exercițiul 2.10.
Exercițiul 2.10 Arătați că arcsin x arccos x , x [1, 1].
2
Rezolvare. Fie x (0, 1] . Atunci arcsin x, arccos x 0, , adică sunt argumente din cadranul I.
2
Dacă arcsin x 0, , atunci x sin , iar sin 2 cos2 1, de unde
2
cos2 1 x 2 cos 1 x 2 . Dacă arccos x 0, , atunci x cos , iar sin 2 cos2 1, de unde
2
sin 2 1 cos2 1 x 2 sin 1 x 2 . Calculăm
1 1 3 3 1 1
cos x , sin x cos x tgx ,
1 tg x
2
1 10 10 3 10
1
9
1 1 3 3 1 1
sin y , cos y sin y ctgy ,
1 ctg y
2
1 10 10 3 10
1
9
1 11 9 10
3 3
Atunci sin( x y ) sin x cos y cos x sin y 1.
10 10 10 10 10 10
Cum ( x y ) (0, ), sin( x y ) 1 x y . Astfel, arctg 1 arcctg 1 .
2 3 3 2
Corolar: Exercițiul 2.11 este un caz particular al unei afirmații generale expusă prin exercițiul 2.12.
Fie x , 0 . Atunci arctgx , 0 este un argument din cadranul IV, iar arcctgx ,
2 2
este un argument din cadranul II. Dacă arctgx , 0 , atunci x tg , iar
2
1 1 1 x
1 tg 2 , sin tga cos , de unde cos , sin . Dacă
cos
2
1 tg 2 1 x2 1 x2
arcctgx , , atunci x ctg , iar
2
1 1 ctg x
1 ctg 2 , cos ctg sin , de unde sin , iar cos .
sin
2
1 x 2
1 ctg 2 1 x2
Calculăm
x2 1
sin sin cos cos sin
x x 1 1
1 .
1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 x2 1
Cum 0, , rezultă că .
2
Dacă x 0, atunci arctg0 arcctg 0 0 .
2 2
, dacă x 0 ,
Exercițiul 2.13 Arătați că arctgx arctg 2
1
x
, dacă x 0.
2
Rezolvare. Fie x (0, ) . Atunci arctgx, arctg 1 0, , adică sunt argumente din cadranul I.
x 2
Dacă arctgx 0, , atunci x tg , iar 1 tg 2 12 , sin tga cos , de unde cos 1 ,
2 cos 1 x2
x 1 1 1
sin . Dacă arctg 0, , atunci tg , iar 1 tg 2 , sin tg cos , de unde
1 x 2 x 2 x cos 2
x 1
cos , iar sin . Calculăm
1 x 2
1 x2
x2 1
sin sin cos cos sin
x x 1 1
2 1 .
1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 x 1
Cum 0, , rezultă că .
2
Fie x , 0 . Atunci arctgx, arctg 1 , 0 , adică sunt argumente din cadranul IV. Dacă
x 2
1 1
arctgx , 0 , atunci x tg , iar 1 tg 2 , sin tga cos , de unde cos ,
2 cos 2
1 x2
x 1 1 1
sin . Dacă arctg , 0 , atunci tg , iar 1 tg 2 , sin tg cos , de
1 x 2 x 2 x cos2
unde cos x , iar sin 1 . Calculăm
1 x2 1 x2
x2 1
sin sin cos cos sin
x x 1 1
2 1 .
1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 x 1
Cum , 0, rezultă că .
2