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    O documento introduz os conceitos fundamentais de derivadas, tangentes e limites. Explica que as derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz no século XVIII e estão relacionadas à noção de retas tangentes em curvas. Apresenta exemplos de como definir a reta tangente em um ponto de uma curva e como calcular a derivada de funções como f(x)=x3 em pontos específicos.

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    Prof.

    : Rivelino Duarte
    FCRS
    Sistema de Informação
     Os principais conceitos sobre derivadas
    foram introduzidas por Newton e Leibniz, no
    século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes
    por Fermat, estão fortemente relacionadas
    com a noção de reta tangente a uma curva
    no plano. Uma idéia simples do que
    significa a reta tangente em um ponto P de
    uma circunferência, é uma reta que toca a
    circunferência em exatamente em um
    ponto P e é perpendicular ao segmento OP,
    como vemos na figura ao lado.
    O segmento OP é o raio da circunferência

    Ao tentar estender esta idéia acerca da reta


    tangente a uma curva qualquer e tomarmos um
    ponto P sobre a curva, esta definição perde o
    sentido, como mostram as figuras abaixo.
     Nessas figuras, consideramos a reta
    tangente à curva no ponto P. Na primeira
    figura, a reta corta a curva em outro ponto
    Q. Na segunda figura, a curva está muito
    "achatada" perto do ponto P e a suposta
    reta tangente toca a curva em mais de um
    ponto. Na terceira figura, a reta também é
    tangente à curva no ponto Q.
    Para chegar a uma boa definição de reta
    tangente ao gráfico de uma função em um
    ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta
    tangente é a reta que contém o ponto e que
    "melhor aproxima" o gráfico de f nas
    vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente
    pode ser determinada por seu coeficiente
    angular e pelo ponto de tangência.
     Consideremos a curva que é o gráfico de uma
    função contínua f xo e f(xo) serão as
    coordenadas do ponto P onde se deseja traçar
    uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q
    do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)),
    onde h é o deslocamento no eixo das abscissas,
    ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que
    passa por P e Q é secante à curva y=f(x).
     A inclinação (coeficiente angular) desta
    reta é dada pelo quociente de Newton,
    definido como a razão incremental de f
    com respeito à variável x, no ponto
    xo:(Tangente em P)
     Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se
    aproxima de P, ocupando as posições
    sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão
    as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... e as
    declividades (inclinações) dessas retas
    secantes ficarão cada vez mais próximas da
    declividade da reta tangente.
     O recurso analítico para fazer Q se
    aproximar de P, consiste em fazer o número
    h tender a zero, isto é, tomar os valores de
    h arbitrariamente próximos de 0.
     Se o resultado assume valores positivos

    (negativos), cada vez mais próximos de


    zero, isto significa que a seqüência de
    pontos Qj está se aproximando do ponto P
    pela direita (pela esquerda).
     Quando h tende a 0 e a razão incremental
    se aproxima do valor finito k, dizemos que k
    é o limite da razão incremental com h
    tendendo a zero e denotamos isto por:
     Reta tangente a uma curva: Seja a parábola
    dada pela função f(x)=x². O coeficiente
    angular da reta tangente a esta curva no
    ponto P=(1,1), é dado por:

    A reta tangente à curva y = x² em P = (1,1) é


    y = 2x - 1.
     Quando h tende a 0 (h diferente de 0) e o
    quociente de Newton no ponto xo se
    aproxima de um valor finito k, dizemos que
    este número k é a derivada de f no ponto
    xo, denotando este fato por:

    Obs.: desde que tenha sentido este limite.


    1-Exemplo: A derivada da função f(x)=x³ no
    ponto x=1, é dada por:

    2-A derivada de f(x)=x³ no ponto


    genérico x=c, é dada por:
    3-A derivada de f(x)=x³ é denotada
    por f '(x) = 3x², pois

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