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Nivelamento Matematica
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Nivelamento
MATEMTICA
MARING-pr
2012
As imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir dos sites PHOTOS.COM e SHUTTERSTOCK.COM.
Av. Guedner, 1610 - Jd. Aclimao - (44) 3027-6360 - CEP 87050-390 - Maring - Paran - www.cesumar.br
NEAD - Ncleo de Educao a Distncia - bloco 4 - (44) 3027-6363 - ead@cesumar.br - www.ead.cesumar.br
Nivelamento
MATEMTICA
Professor Accio Pedro da Silva Junior
APRESENTAO DO REITOR
Viver e trabalhar em uma sociedade global um grande desafio para todos os cidados. A busca por
tecnologia, informao, conhecimento de qualidade, novas habilidades para liderana e soluo de
problemas com eficincia tornou-se uma questo de sobrevivncia no mundo do trabalho.
Cada um de ns tem uma grande responsabilidade: as escolhas que fizermos por ns e pelos nossos far
grande diferena no futuro.
Com essa viso, o Centro Universitrio Cesumar assume o compromisso de democratizar o conhecimento
por meio de alta tecnologia e contribuir para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua misso promover a educao de qualidade nas diferentes reas do conhecimento, formando profissionais cidados que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa
e solidria , o Centro Universitrio Cesumar busca a integrao do ensino-pesquisa-extenso com as
demandas institucionais e sociais; a realizao de uma prtica acadmica que contribua para o desenvolvimento da conscincia social e poltica e, por fim, a democratizao do conhecimento acadmico com a
articulao e a integrao com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitrio Cesumar almeja reconhecimento como uma instituio universitria
de referncia regional e nacional pela qualidade e compromisso do corpo docente; aquisio de competncias institucionais para o desenvolvimento de linhas de pesquisa; consolidao da extenso universitria; qualidade da oferta dos ensinos presencial e a distncia; bem-estar e satisfao da comunidade
interna; qualidade da gesto acadmica e administrativa; compromisso social de incluso; processos de
cooperao e parceria com o mundo do trabalho, como tambm pelo compromisso e relacionamento
permanente com os egressos, incentivando a educao continuada.
Professor Wilson de Matos Silva
Reitor
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadmico(a)! Voc est iniciando um processo de transformao, pois quando
investimos em nossa formao, seja ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, consequentemente,
transformamos tambm a sociedade na qual estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando
oportunidades e/ou estabelecendo mudanas capazes de alcanar um nvel de desenvolvimento
compatvel com os desafios que surgem no mundo contemporneo.
O Centro Universitrio Cesumar, mediante o Ncleo de Educao a Distncia,
o(a) acompanhar durante todo este processo, pois conforme Freire (1996):
Os homens se educam juntos, na transformao do mundo.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialgica e encontram-se integrados proposta pedaggica,
contribuindo no processo educacional, complementando sua formao profissional, desenvolvendo
competncias e habilidades, e aplicando conceitos tericos em situao de realidade, de maneira a
inseri-lo(a) no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais tm como principal objetivo provocar uma
aproximao entre voc e o contedo, desta forma, possibilita o desenvolvimento da autonomia em
busca dos conhecimentos necessrios para a sua formao pessoal e profissional.
Portanto, nossa distncia nesse processo de crescimento e construo do conhecimento deve ser apenas
geogrfica. Utilize os diversos recursos pedaggicos que o Centro Universitrio Cesumar lhe possibilita.
Ou seja, acesse regularmente o AVA Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fruns e enquetes,
assista s aulas ao vivo e participe das discusses. Alm disso, lembre-se de que existe uma equipe de
professores e tutores que se encontra disponvel para sanar suas dvidas e auxili-lo(a) em seu processo
de aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e segurana sua trajetria acadmica.
Ento, vamos l! Desejo bons e proveitosos estudos!
Professora Ktia Solange Coelho
Coordenadora de Graduao do NEAD - UniCesumar
APRESENTAO
Livro: MATEMTICA
Professor Accio Pedro da Silva Junior
Caro aluno, apresento a voc o livro que ser uma ferramenta importante para o seu desenvolvimento
acadmico. Sou o professor Accio e trabalhei com muito afinco para proporcionar a voc conhecimentos
sobre o temido mundo da Matemtica.
Trabalho com matemtica desde sempre e posso garantir que, com um pouco de dedicao aliado
maturidade adquirida durante esses anos de estudos, voc vai vencer o medo da matemtica.
Depois de algum tempo trabalhando exclusivamente com matemtica, descobri que no so s os
nmeros que interessam matemtica: todo o raciocnio faz parte da construo e amadurecimento
dos conceitos. Nessa oportunidade, a Lmpada da Ideia se acendeu sobre a minha cabea e passei a
trabalhar mais com os conceitos do que com os nmeros.
Meu objetivo ao escrever este livro no foi o de fornecer s frmulas e expresses prontas, pelo contrrio,
procurei proporcionar mtodos mais lgicos, nem sempre adquiridos de forma rpida mas, com certeza,
mtodos e conceitos que no se perdero com facilidade. claro que a mecanizao de alguns conceitos
importante para a maioria dos cursos, por isso, dependendo do tema, voc ter baterias extensas de
exerccios e problemas.
Este material foi elaborado com fins cientficos e, apesar da linguagem pouco formal nas explicaes
e resolues de exerccios, apresenta toda a formalidade exigida na apresentao terico-conceitual.
Trata-se de um material com algumas aplicaes cotidianas e, sobretudo, aplicaes em diversas reas
do conhecimento tcnico.
Voc ver desde os mais bsicos pr-requisitos at os mais aprimorados. Tudo contribuir para o seu
desenvolvimento acadmico global e, quando possvel, trataremos das especificidades em cada uma das
reas do conhecimento. evidente que cada curso ter uma aplicao diferente dos contedos, mas, se
voc quer aproveitar bem o seu curso, aconselhvel que voc aproveite todas as oportunidades que lhe
forem dadas.
O sucesso certo, mas ser necessrio muito empenho de sua parte para a realizao desse intenso e
rduo trabalho.
Smbolos
A matemtica usa alguns smbolos de forma recorrente para simplificar a linguagem e para universalizla, isto , escrever de forma que a leitura independa do idioma em que o texto est escrito.
conveniente que voc se esforce para reconhec-los, isso facilitar a leitura dos problemas.
Smbolo
Significado
tal que
existe ao menos um
existe um nico
implica ou ento
ou
equivalente a
diferente de
>
maior que
<
menor que
menor ou igual a
maior ou igual a
mais ou menos
10
SUMRIO
UNIDADE I
TEORIA DE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMRICOS
1. CONJUNTOS
16
2. CONJUNTOS NUMRICOS
26
UNIDADE II
MLTIPLOS E DIVISORES OPERAES COM NMEROS INTEIROS
3. MLTIPLOS E DIVISORES
41
46
UNIDADE III
NOTAO CIENTFICA, OPERAES COM FRAES E OPERAES COM NMEROS DECIMAIS
5. NOTAO CIENTFICA
67
70
UNIDADE IV
LEITURA DE GRFICOS E TABELAS
7. LEITURA DE GRFICOS E TABELAS
87
100
UNIDADE V
RAZO, PROPORO E REGRA DE TRS
9. RAZO, PROPORO E REGRA DE TRS
125
10. PORCENTAGEM
131
CONCLUSO
139
REFERNCIAS
140
MATEMTICA | Educao a Distncia
11
12
UNIDADE I
14
INTRODUO
Nesta primeira unidade, voc estudar um tema muito importante para o mundo da matemtica: A teoria
de Conjuntos. Trata-se de um contedo cercado de histria, e contribuir maciamente com sua formao
pessoal e acadmica.
No campo da matemtica, voc aprender a manipular algumas ferramentas fortes para o
desenvolvimento de conceitos mais elaborados como funes, limites e derivadas. Neste tpico, busco
mostrar a importncia da mecanizao do processo sem que se perca todo o raciocnio lgico por trs
de um problema. Entender como os conjuntos se relacionam impulsiona a compreenso do conceito
Funo, que dar incio a tantos outros conceitos intimamente relacionados matemtica do ensino
superior.
A histria se beneficia com uma breve abordagem acerca da expanso comercial desenvolvida durante os
sculos XV e XVI, que deu origem aos descobrimentos de novas terras e novas riquezas. Da necessidade
do homem para desenvolver o comrcio, surgiram novas formas de representar os nmeros, surgiram
novos conjuntos numricos e houve um maior estmulo ao estudo das cincias. A expanso martimocomercial foi impulsionada pela necessidade da abertura de novos mercados, pela falta de matriaprima (sobretudo, metais), pelo crescimento das transaes comerciais com o Oriente, pela aparente
crise econmica da Europa e at pela propagao da f crist. Como o Porto de Constantinopla havia
sido tomado pelos Turcos Otomanos, o comrcio com o Oriente agravou, ainda mais, a crise econmica
europeia, obrigando os navegadores a evitar o Mar Mediterrneo, escolhendo rotas alternativas pelo
Oceano Atlntico para chegar s ndias. Portugal, alm de sua localizao privilegiada, ainda detinha
conhecimentos adicionais da arte da navegao (principalmente o uso do astrolbio e da bssola)
e estimulava os estudos na Escola de Sagre, (<http://pt.shvoong.com/social-sciences/1738724expans%C3%A3o-maritima-comercial/#ixzz1nUkwxJT1>. Acesso em 12 fev. 2012).
15
1. CONJUNTOS
Quando tratamos da teoria de conjuntos, no temos interesse exclusivo em conjuntos numricos.
Dependendo da sua rea, voc precisar desses conceitos para alavancar muitos outros. Algumas vezes
ser necessrio entender se dado problema admite soluo, quantas so estas solues, se a soluo
aceitvel, qual a probabilidade de algo acontecer, alm de outras abordagens.
A palavra conjunto aparece no dicionrio como coleo de objetos com uma caracterstica comum.
Assim, todo agrupamento ou coleo de objetos, pessoas, animais ou coisas constitui um conjunto.
Exemplos:
I. O conjunto dos Nmeros Inteiros.
II. O conjunto dos Meses do Ano.
III. O conjunto musical IRA!.
Cada um dos objetos que compem um conjunto denominado elemento.
Exemplos:
I. O conjunto M dos Meses do Ano composto pelos elementos janeiro, fevereiro, maro, abril, maio,
junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro e pode ser escrito como:
M = {janeiro, fevereiro, maro, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}
II. O conjunto I dos componentes atuais do grupo musical IRA! composto pelos elementos Nasi,
Edgard Scandurra, Andr Jung e Ricardo Gaspa e pode ser escrito como:
I = {Nasi, Edgard Scandurra, Andr Jung, Ricardo Gaspa}
III. O conjunto Z dos Nmeros Inteiros composto pelos elementos positivos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... ,
pelos elementos negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8... , e pelo elemento nulo 0 (zero) e pode ser escrito
como:
Z = {... -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}
Note a presena das reticncias (...) neste conjunto. Esse smbolo indica que o conjunto infinito e admite
valores maiores que 8 e tambm valores menores que -8, desde que, inteiros.
Observao: quando no conhecemos os elementos de um conjunto, representamos tais elementos,
na maioria das vezes, com letras minsculas a, b, c, d... e, para representar conjuntos, usamos letras
maisculas, A, B, C, ...
1.1. Relao entre Elemento e Conjunto
16
Para indicar que determinado objeto elemento de um dado conjunto Q, utilizamos o smbolo e os
relacionamos como Q (l-se: pertence ao conjunto Q).
Para indicar que determinado objeto no elemento de um dado conjunto A, utilizamos o smbolo
e os relacionamos como A (l-se: no pertence ao conjunto A).
Exemplos:
I. Considere o conjunto M dos Meses do Ano. Podemos escrever:
Janeiro M Domingo M
II. Considere o conjunto I dos componentes atuais do grupo musical IRA! Podemos escrever:
Nasi I Otto I
III. Considere o conjunto Z dos Nmeros Inteiros. Podemos escrever:
17 348 Z 0,5 Z
1.2. Representaes de um Conjunto
H trs formas clssicas de representar um conjunto: por Extenso, por Compreenso e por Diagrama.
1.2.1 Representao por Extenso
Listamos todos os elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vrgulas (exceto quando
usamos nmeros decimais, nesse caso usamos ponto e vrgula para separ-los).
1.2.2 Representao por Compreenso
O conjunto ser representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos, em
algumas situaes, impossvel escrever tal caracterstica. Nesses casos, optamos por outra forma de
representao.
1.2.3 Representao por Diagrama
Utilizamos uma figura chamada Diagrama de Venn (John Venn, lgico ingls; 1834-1923) para representar
tais elementos. Para conjuntos finitos, fcil usar esta representao. Para conjuntos infinitos, tornase impossvel. Nesse caso, elegemos alguns elementos para representar o conjunto, mas necessrio
deixar claro que o conjunto no possui apenas tais elementos.
Exemplos:
Compreenso: o conjunto U dos dias teis da semana:
Extenso: U = {segunda-feira, tera-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira}
MATEMTICA | Educao a Distncia
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Diagrama:
U
Segunda - feira
Tera - feira
Quarta - feira
Sexta - feira
Quinta - feira
Compreenso: A = {x IN/ x < 11} (l-se: x um nmero natural tal que x menor que 11)
Extenso: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Diagrama:
4
3
0
2
10
7
8
Observe que qualquer uma das formas de representao suficiente para que se estabelea a relao
entre elemento e conjunto.
Domingo U 10 A
1.3. Conjuntos Especiais
1.3.1. Conjunto Vazio
o conjunto que no possui elementos.
Exemplo:
T o conjunto dos valores inteiros x tais que seu dobro igual a 5.
T = {x Z/ 2x = 5} T = {5/2}
Note que 5/2 = 5 2 = 2,5 que no inteiro. Nesse caso, dizemos que no existe valor x que satisfaa
e a soluo , portanto, o conjunto vazio.
Representamos o conjunto vazio por { } ou por .
1.3.2. Conjunto Unitrio
o conjunto que possui exatamente um elemento.
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Exemplo:
H o conjunto dos planetas reconhecidamente habitados do Sistema Solar.
H = {Terra}
1.3.3. Conjunto Universo
o conjunto ao qual pertencem todos os elementos de todos os conjuntos que interessam ao
desenvolvimento dos problemas.
Se o nosso problema englobasse a populao paranaense, o conjunto universo teria, como elementos,
todos os habitantes do Paran.
1.4. Relao entre conjunto e conjunto (Subconjuntos)
Para indicar que um determinado conjunto A subconjunto de um conjunto B, necessrio que todos
os elementos do conjunto A estejam em B. Nesse caso, utilizamos o smbolo e os relacionamos como
A B (l-se: A est contido em B ou, A subconjunto de B).
H uma maneira pouco usual de representar a mesma relao: B A (l-se: B contm A).
Exemplos:
Seja U = {segunda-feira, tera-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira} e seja S = {domingo, segundafeira, tera-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sbado}, podemos dizer que U subconjunto do
conjunto S, pois todos os elementos que esto em U tambm esto em S (U S).
Acompanhe o diagrama:
Seja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e B = {0, 1, 2, 3, 7}, podemos dizer que B subconjunto do conjunto
A, pois todos os elementos que esto em B tambm esto em A (B A).
19
Acompanhe o diagrama:
O conjunto B
est sombreado
20
Qualquer que seja o conjunto, voc sempre pode optar por no escolher elemento algum (conjunto vazio).
1.5 Operaes entre conjuntos
1.5.1. Unio de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, definimos como Unio entre A e B (A B) o conjunto formado exclusivamente
por todos os elementos de A e todos os elementos de B.
Exemplos:
Sejam os conjuntos:
A = {Terra, Vnus, Marte}
B = {Terra, Netuno, Saturno, Mercrio, Vnus}
A B = {Terra, Vnus, Marte, Netuno, Saturno, Mercrio}
21
22
O conjunto S U
est sombreado
Se a interseco entre os conjuntos A e B no tem elementos (A B = ), dizemos que os conjuntos A
e B so disjuntos.
1.5.3. Resultados Importantes
R1: se A B A B = B.
R2: se A B A B = A.
R3: se n(A) o nmero de elementos do conjunto A, n(B) o nmero de elementos do conjunto B, n(A
B) o nmero de elementos da unio dos conjuntos A e B e n(A B) o nmero de elementos da
interseco dos conjuntos A e B, assim:
n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)
Mas, qual o motivo para que esta expresso se verifique?
Acompanhe os diagramas enquanto l a explicao:
Quando voc busca o nmero de elementos da unio de dois conjuntos A e B, voc utiliza todos os
elementos do conjunto A e todos os elementos do conjunto B. Suponha que exista interseco entre os
conjuntos A e B.
Quando contamos o nmero de elementos do conjunto A, contamos sua interseco com B e, quando
contamos os elementos do conjunto B, contamos novamente a sua interseco com o conjunto A. Para se
estabelecer a relao de igualdade, precisamos descontar os elementos que foram contados duas vezes.
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O conjunto A B
est sombreado
O conjunto B A
est sombreado
Note que A B B A
Sejam os conjuntos:
U = {segunda-feira, tera-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira}
S = {domingo, segunda-feira, tera-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sbado}.
US={}
S U= {domingo, sbado}
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O conjunto S U
est sombreado
Note que U S S U
Observao: se U S, a diferena S U denomina-se complementar do conjunto U em relao ao
conjunto S. Em outras palavras, o que falta a U para ser S.
1.6. Resoluo de Problemas
A teoria dos conjuntos tem vrias aplicaes em situaes cotidianas que, geralmente, aparecem em
forma de problema. Exerccios que envolvam apenas conceitos imediatos e teoria servem apenas para
fixar o contedo, para praticar.
Exemplos
I. (INFO) - Em uma universidade so lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos leem o jornal X e
60%, o jornal Y. Sabendo que todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que
corresponde ao percentual de alunos que leem ambos:
a) 80%.
b) 14%.
c) 40%.
d) 60%.
e) 48%.
Resoluo:
Como todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, o total 100%. Mas, se voc somar as parciais
80% e 60% o resultado 140%. Os 40% excedentes representam os valores que foram contados duas
vezes: foram contados como leitores de X e depois como leitores de Y. Assim, 40% leem ambos os
jornais. (Alternativa C)
II. (INFO) - Aps um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes,
5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas no comeram
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Para resolver este tipo de problema voc precisa organizar os conjuntos citados X e Y contando com uma
possvel interseco. Na sequncia, posicionamos o valor correspondente interseco dos conjuntos (3
comeram as duas). A seguir, completamos os conjuntos X e Y: X j tem 3 elementos e precisa de mais
2 para completar 5; Y j tem 3 elementos e precisa de mais 4 para completar 7. Desta forma, o diagrama
teria: 2 que comeram s X; 4 que comeram s Y e 3 que comeram as duas sobremesas (X e Y). Somando
essas quantidades encontramos 9, que representam as 9 pessoas que comeram alguma coisa (seja s
X, s Y ou ambas). Falta 1 pessoa para completar as 10 citadas, esta no comeu sobremesa alguma.
(Alternativa A)
2. CONJUNTOS NUMRICOS
Voc sabe como surgiram os nmeros? Alguma vez parou para pensar nisso? Certamente j imaginou
que um dia algum teve uma ideia genial e de repente inventou o nmero, mas no foi bem assim.
A descoberta do nmero no aconteceu de repente, nem foi uma nica pessoa a responsvel por essa
faanha. Os nmeros surgiram da necessidade de contar objetos.
Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, ns em uma corda,
marcas em um osso... Com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeioando at dar origem aos
nmeros.
26
H mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se
esconder dos animais selvagens e para se proteger da chuva e do frio. Para registrar os animais mortos
em uma caada, eles limitavam-se a fazer marcas e em uma vara. Nessa poca, o homem alimentava-se
daquilo que a natureza oferecia: caa, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, apreendeu a
cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio. A escrita ainda no tinha sido criada.
Mais ou menos h 10.000 anos, o homem comeou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez
de apenas caar e coletar frutos e razes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o incio
da agricultura.
2.1. Conjunto dos Nmeros Naturais
O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. Pela manh, levava suas ovelhas, ou cabras, para
pastar e, pela noite, as recolhia e guardava em um cercado. Mas como controlar o rebanho? Como ter
certeza de que nenhuma ovelha (cabra) havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem?
O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas (cabras) com pedras.
Assim, cada animal que saa para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras
em um saquinho. No fim do dia, medida que os animais entravam no cercado, ele ia retirando as pedras
do saquinho. Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade comeou a construir o conceito
de nmero. (Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde haveria um ramo da
Matemtica chamado Clculo, que em latim quer dizer contas com pedras).
Nosso corpo teve papel importantssimo nesse processo. Pois se passou a relacionar a ideia de contagem
com os dedos da mo: cinco dedos, cinco peixes, cinco animais, e assim por diante. A associao entre
dedos e nmeros at hoje est presente na palavra dgito, que provm do latim digitus e significa dedo.
E os nmeros que surgiram naturalmente, pela necessidade de contar, representam o Conjunto
dos Nmeros Naturais = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.
2.2. Conjunto dos Nmeros Inteiros
Com o incio do Renascimento surgiu a expanso comercial, que aumentou a circulao de dinheiro,
obrigando os comerciantes a expressarem situaes envolvendo lucros e prejuzos. A maneira que eles
MATEMTICA | Educao a Distncia
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encontraram de resolver tais situaes-problema consistia no uso dos smbolos + e . Suponha que
um comerciante tenha 30 kg de determinado produto em seu armazm. Se ele vendesse 5 Kg desse
produto, escreveria o nmero 5 acompanhado do sinal ; se ele comprasse 7 Kg, escreveria o numeral 7
acompanhado do sinal +.
Utilizando essa nova simbologia, os Matemticos da poca desenvolveram tcnicas operatrias capazes
de expressar qualquer situao envolvendo nmeros positivos e negativos. Surgia um novo conjunto
numrico representado pela letra (Zahlen em alemo significa nmero). Z = {...4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
4...}.
E os nmeros naturais acompanhados de seus opostos (negativos), pela necessidade comercial
de representar as dvidas, compem o Conjunto dos Nmeros Inteiros = {...6, 5, 4, 3, 2, 1,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.
28
NZ
O diagrama abaixo pode ser favorvel para a memorizao, caso voc tenha dificuldades em entender:
Na representao acima:
A parte cinza corresponde aos nmeros naturais {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
A parte listrada corresponde aos nmeros inteiros negativos {..., 5, 4, 3, 2, 1}.
A parte branca corresponde s fraes cujo quociente no um nmero inteiro {1/2, 1/3, 13/28...}.
Voc pode encontrar no Youtube uma srie vdeos produzidos pela BBC de Londres: A Histria da Matemtica
(The story of maths). Este foi escolhido como Melhor Documentrio produzido no ano pela estao BBC. Apresentado pelo pesquisador e professor da Universidade de Oxford, Marcus du Sautoy, o fi lme volta histria da
matemtica da Grcia e de Atenas e explica o quo importante ela ainda para ns nos dias de hoje.
O Documentrio dividido em 4 captulos.
Captulo 1 - A Linguagem do Universo
Captulo 2 - O Gnio do Oriente
Captulo 3 - As Fronteiras do Espao
Captulo 4 - Rumo ao Infi nito e Mais Alm
Devido ao limite de 10 minutos por vdeo postado no Youtube, cada captulo est dividido em 5 ou 6 partes.
Voc encontra os links na sequncia em:
<http://www.estudarcomputacao.com/2010/06/historia-da-matematica-serie-da-bbc-em.html>.
Procure-os! Vale a pena!
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No h uma ordem de formao para o conjunto dos nmeros primos, no tente criar um padro pois voc
ir perder tempo. O que voc precisa saber o que um nmero primo e no quais so os nmeros
primos. Se houver dificuldade, memorize os cinco ou seis primeiros. Isso j suficiente.
Acesse o site a seguir e veja que muitos ainda esto construindo a matemtica, h nmeros primos absurdamente grandes, e outros tantos so descobertos de tempos em tempos:
<http://www.matematicahoje.com.br/telas/cultura/curiosidades/curiosidades.asp?aux=E>.
Certamente, voc reconheceu os nmeros triangulares nos 10 pinos de boliche ou nas 15 bolas de sinuca.
30
No futuro, veremos mais conjuntos numricos. No momento, o que voc precisa saber isso.
2.5. Outros Smbolos
H, ainda, outros smbolos que nos ajudaro a restringir os conjuntos. Eles no aparecem com tanta
frequncia, mas voc deve saber identific-los quando aparecerem.
+ no canto inferior direito representa os nmeros no negativos que fazem parte daquele conjunto (no
confunda com positivos!).
no canto inferior esquerdo representa os nmeros no positivos que fazem parte daquele conjunto
(no confunda com negativos!).
* no canto superior direito representa os nmeros no nulos que fazem parte daquele conjunto.
* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} =
= {0}
* ={..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} =
= {... , -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Podemos estender o conceito para todos os outros conjuntos, apesar de no conseguirmos explicit-los.
Comentrio: o nmero ZERO NO TEM SINAL (no positivo nem negativo), mas tem paridade: ZERO
PAR! (afinal, um mltiplo de dois! Note que zero pode ser escrito como duas vezes algum nmero
inteiro: o prprio zero).
MATEMTICA | Educao a Distncia
31
EXERCCIOS:
01. Considere os conjuntos E, F e G, abaixo, para determinar o que se pede:
E = {3, 4, 6, 8}
F = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}
G = {4, 5, 6, 7, 8}
a) E F
b) F E
c) F G
d) G E
e) E G F
f) G F
g) E F G
h) (F G) (G F)
i) E F
j) (E G) (G F)
02. Considere o conjunto A = {0, 1, 2, {3}, } para determinar se so verdadeiras (V) ou falsas (F) as
afirmaes a seguir:
a) (
) 0 A
b) (
)0A
c) (
) 0 A
d) (
) 3 A
e) (
) 3 A
f) (
)3A
g) (
) {3} A
h) (
) {3} A
i) (
) {3} A
j) (
) {3} A
k) (
) A
l) (
)A
m) (
) A
n) (
)A
o) (
) {1} A
p) (
) {1} A
q) (
) {1, 3} A
r) (
) {1, {3}} A
s) (
) {0, 1, 2} A
t) (
) {1, } A
u) (
) {{3}, } A
v) (
) {1, 2, 3} A
w) (
) {0, 1, 2, {3}} = A
x) (
) {1, 2, 3} A
y) (
) A
z) (
){}A
32
03. Dados os conjuntos A = {1}, B = {0, 1} C = {1, 2, 3} e D = {0, 1, 2, 4}, use os smbolos e para
determinar a relao de incluso entre os pares de conjuntos a seguir:
a) A ___ B b) A ___ C
c) A ___ D
d) B ___ C
e) B ___ D f) C ___ D
04. Seja o conjunto H = {n IN/ 2 < n < 40, onde n mltiplo de 2 e no mltiplo de 3}. Escreva todos
os elementos que compem o conjunto H.
05. Uma pesquisa foi feita com 100 leitores de um jornal. Constatou-se que cada um deles leitor de pelo
menos um dos jornais A ou B, 60 deles leem A e 80 leem o jornal B. Quantos leitores leem os dois jornais?
06. Dos 56 alunos de uma classe da escola, 40 j leram pelo menos um dos romances de Machado de
Assis, Memrias Pstumas de Brs Cubas (MPBC) ou Dom Casmurro (DC). 28 alunos j leram MPBC e
31 j leram DC.
a) Quantos alunos leram os dois romances?
b) Quantos alunos no leram MPBC?
07. De um grupo de 200 estudantes, 80 esto matriculados em Francs, 110 em Ingls e 40 no esto
matriculados nem em Ingls nem em Francs. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. Qual a
probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas?
08. Em uma certa cidade, 40% da populao tm p chato, 25% um irmo chato e 15% alm de ter p
chato ainda tm um irmo chato. Qual o percentual de pessoas que no tem nem o p nem o irmo
chato?
09. Dos 500 alunos entrevistados em um colgio, 240 praticavam futebol, 180 frequentavam um curso de
idiomas e 120 realizavam as duas atividades. Quantos realizam pelo menos uma atividade?
10. (F.M. Itajub-MG) Uma populao utiliza 3 marcas diferentes de sabonete: A, B e C. Feita uma
pesquisa de mercado, colheram-se os resultados: 21 consumidores usam A, 17 usam B, 15 usam C,
4 usam A e B, 6 usam B e C, 7 usam A e C e 3 consumidores usam as 3 marcas. Calcule: a) Quantos
consumidores s utilizam A. b) Quantos s utilizam B. c) Quantos s utilizam C. d) Quantos utilizam duas
marcas. e) Quantos utilizam exatamente duas marcas. f) Quantos no utilizam A. g) Quantos no utilizam
B. h) Quantos no utilizam C.
11. Em um grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances, A ou B; 270 leram
B; 80 leram A e B, e 340 no leram o romance A. O nmero de estudantes desse grupo igual a:
12. (UFMA) Em um homicdio praticado na Rua X, a polcia fez as seguintes anotaes, no boletim
de ocorrncia, sobre as pessoas encontradas no local do crime: havia 5 mulheres. 5 pessoas usavam
MATEMTICA | Educao a Distncia
33
culos. 4 homens no usavam culos. 2 mulheres usavam culos. Considerando que todas as pessoas
encontradas no local so suspeitas, ento quantos so os suspeitos?
13. Em um colgio de segundo grau com 2000 alunos, foi realizada uma pesquisa sobre o gosto dos
alunos pelas disciplinas de Fsica e Matemtica. Os resultados da pesquisa so: 1000 alunos gostam de
Matemtica, 800 de Fsica e 500 no gostam de nenhuma das duas. O nmero de alunos que gostam de
Matemtica e Fsica simultaneamente :
14. (FEI-SP) Um programa de proteo e preservao de tartarugas marinhas, observando dois
tipos de contaminao dos animais, constatou em um de seus postos de pesquisa que: 88 tartarugas
apresentavam sinais de contaminao por leo mineral; 35 no apresentavam sinais de contaminao por
radioatividade; 77 apresentavam sinais de contaminao tanto por leo mineral como por radioatividade
e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de contaminao. Quantas tartarugas foram
observadas?
15. (UEL) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre preferncias dos alunos quanto ao
cardpio do Restaurante Universitrio. Nove alunos optaram somente por carne de frango, 3 somente por
peixe, 7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos trs tipos de carne. Considerando
que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos, 36 no optaram por carne bovina e 42 no optaram por
peixe. Quantos alunos foram entrevistados?
16. (CONSULPLAN) Os resultados de uma pesquisa em que vrias pessoas foram entrevistadas sobre
suas preferncias em relao a 3 tipos de revistas, A, B e C, esto indicados abaixo:
- 52 pessoas leem a revista A.
- 65 pessoas leem a revista B.
- 63 pessoas leem a revista C.
- 5 pessoas leem as 3 revistas.
- 39 pessoas no leem nenhuma das 3 revistas.
- 8 pessoas leem as revistas A e B.
- 12 pessoas leem as revistas A e C.
- 14 pessoas leem as revistas B e C.
Quantas pessoas foram entrevistadas?
a) 180
b) 200
c) 170
d) 210
e) 190
17. Uma cidade que tem 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Em uma pesquisa
34
feita com todos os habitantes, constatou-se que 1.200 pessoas no apreciam nenhum dos clubes, 1.300
pessoas apreciam os dois clubes e 4 500 pessoas apreciam o clube A. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A?
b) Quantas pessoas apreciam o clube B?
c) Quantas pessoas apreciam apenas o clube B?
18. Em uma pesquisa sobre a preferncia em relao a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e
o resultado foi o seguinte: 250 delas leem o jornal A, 180 leem o jornal B e 60 leem os jornais A e B.
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas leem apenas o jornal A?
b) Quantas pessoas leem apenas o jornal B?
c) Quantas pessoas leem jornais?
d) Quantas pessoas no leem jornais.
19. Uma editora estuda a possibilidade de lanar novamente as publicaes: Helena, Senhora e
A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas
consultadas:
600 leram A Moreninha.
400 leram Helena.
300 leram Senhora.
200 leram A Moreninha e Helena.
150 leram A Moreninha e Senhora.
100 leram Senhora e Helena.
20 leram as trs obras.
Calcule:
a) O nmero de pessoas que leu apenas uma das trs obras.
b) O nmero de pessoas que no leu nenhuma obra.
c) O nmero de pessoas que leu duas ou mais obras.
20. Em um grupo de 99 esportistas, 40 jogam vlei, 20 jogam vlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tnis, 18
jogam vlei e tnis, 11 jogam as trs modalidades. O nmero de pessoas que jogam xadrez igual ao
nmero de pessoas que jogam tnis. Pergunta-se:
a) Quantos jogam tnis e no jogam vlei?
b) Quantos jogam xadrez ou tnis e no jogam vlei?
35
Produtos
A
B
C
AeB
AeC
BeC
A, B e C
Nenhum
Nmero de Consumidores
150
200
250
70
90
80
60
180
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?
b) Quantas pessoas consomem o produto A e o produto B?
c) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B?
d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C?
e) Quantas pessoas foram consultadas?
22. Em uma pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto
B usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas
usam o produto A?
23. (Faap-SP) Uma prova era constituda de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos
problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos
alunos fizeram a prova?
CONSIDERAES FINAIS
Durante esta unidade, voc deve ter visto a importncia de representar os nmeros em conjuntos. Deve ter
visto tambm, a possibilidade de reescrever os conjuntos de outras formas, de acordo com a necessidade.
Alm disso, deve ter cansado de ver a palavra necessidade explicando o surgimento da matemtica.
No decorrer do material, voc ver que a matemtica composta por diversos conceitos e teorias que
podem fazer muita diferena para o seu desenvolvimento acadmico. Nesse contexto, voc ver que h
muitos problemas para ler, interpretar, agrupar informaes relevantes e determinar o mtodo de resoluo
para que, finalmente, sejam feitos alguns clculos a fim de encontrar uma resposta.
36
Geralmente, digo que no existem dificuldades na matemtica, o que falta a prtica (mesmo que seja
exigida desde a contagem).
ativiDaDe De aUtoeStUDo
1. H vrios problemas envolvendo conjuntos. Se no existisse o conceito, seria mais fcil enumerar os
seus elementos termo a termo, sem generalizaes?
2. Entender a histria pode representar um conhecimento mais amplo acerca de diversos conceitos. Para
a matemtica, de que forma isso surge?
3. As situaes envolvendo teoria de conjunto so bastante racionais. Qual seria o melhor mtodo para
aplicar tal teoria em seu curso?
DANTE, Luis Roberto. matemtica: Contextos e Aplicaes Volume nico. 3. edio. So Paulo: tica, 2008.
Trata-se de um livro completo, atual e perfeitamente sintonizado com as novas tendncias para os conceitos
e contedos do Ensino Mdio, priorizando a compreenso, a contextualizao e a interdisciplinaridade. O livro
inclui 300 questes dos ltimos vestibulares e dos ltimos exames do Enem.
37
38
UNIDADE II
Objetivos de Aprendizagem
Entender os conceitos relacionados aos mltiplos e divisores de um nmero.
Ter habilidades para calcular o Mnimo Mltiplo Comum e o Mximo Divisor Comum entre dois ou mais
nmeros.
Identificar e Resolver problemas que envolvam mltiplos e divisores.
Manipular as operaes entre nmeros inteiros.
Exercitar habilidades bsicas de operar nmeros inteiros.
Estimular o raciocnio Lgico-matemtico.
Saber manipular corretamente os parnteses, colchetes e chaves.
Dominar as seis operaes fundamentais: Adio, Multiplicao, Subtrao, Diviso, Potenciao e
Radiciao no conjunto dos nmeros inteiros.
Entender as propriedades para cada tipo de operao.
Saber resolver expresses numricas, desde as mais simples, at as mais elaboradas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tpicos que voc estudar nesta unidade:
O conjunto dos Mltiplos de um nmero
O Mnimo Mltiplo comum
Propriedades do MMC
O conjunto dos Divisores de um nmero
O Mximo Divisor Comum
Resoluo de Problemas envolvendo MMC e MDC
Operaes com nmeros inteiros
Clculo mental de expresses simples
Adio/Subtrao de inteiros
40
INTRODUO
Nesta segunda unidade, voc estudar temas muito importantes para o mundo da matemtica: a
manipulao numrica. Trata-se de um contedo da educao bsica e, talvez por isso, muitos afirmem
que um tema fcil. A experincia mostra que no bem assim.
Sem o domnio pleno desta unidade, no h forma de obter bons resultados em disciplinas que envolvam
lgebra, clculo, geometria analtica, estatstica, fsica, entre tantas outras. Por isso, voc deve se esforar
ao mximo para resolver as extensas baterias de exerccios de fixao. Ter dvidas um bom sinal (no
mnimo um sinal de que voc est fazendo)!
O incio desta unidade trata de mais alguns conjuntos numricos: o conjunto dos Mltiplos e o conjunto
dos Divisores de um nmero. Ambas sero ferramentas essenciais s aplicaes envolvendo fraes, de
modo geral, e aos conceitos de lgebra.
A segunda parte desta unidade ir desafi-lo ao clculo mental, ao raciocnio lgico e s novas formas
de interpretar algumas das operaes ditas fundamentais. Voc se surpreender com o poder dos
parnteses, colchetes e chaves em uma expresso numrica. E descobrir que o resultado pode mudar
drasticamente a partir da utilizao, ou no, desses separadores, tornando a manipulao das expresses
numricas bastante delicada.
3. MLTIPLOS E DIVISORES
Depois de estudar o que so e como se relacionam os conjuntos, conveniente buscar o entendimento
acerca de dois tipos especiais de conjuntos: o conjunto dos Mltiplos de um nmero e o conjunto dos
Divisores de um dado nmero.
3.1. Conjunto dos Mltiplos de um Nmero
Chamamos de Mltiplo de um dado nmero natural n todo nmero inteiro que pode ser obtido pelo
produto entre n e algum nmero inteiro. Simbolicamente, escrevemos M(n) para representar os mltiplos
de n.
Ainda podemos escrever que um nmero a um mltiplo do nmero n se a diviso de n por a for
exata.
Exemplos
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...} o conjunto dos mltiplos de 2
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} o conjunto dos mltiplos de 3
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} o conjunto dos mltiplos de 4
41
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...} o conjunto dos mltiplos de 5
Note que tais conjuntos so infinitos: no h como definir um maior mltiplo de algum nmero, ainda que
voc pense em um nmero suficientemente grande como mltiplo de um dado n, sempre ser possvel
encontrar algum maior.
Na maioria das vezes, temos interesse em usar apenas os mltiplos positivos dos nmeros dados. Assim
consideraremos:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12...} o conjunto dos mltiplos positivos de 2.
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, ...} o conjunto dos mltiplos positivos de 3.
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, ...} o conjunto dos mltiplos positivos de 4.
M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, ...} o conjunto dos mltiplos positivos de 5.
Lembre-se: zero no tem sinal! No positivo nem negativo e, por isso, no est elencado no conjunto
dos mltiplos positivos.
Note que o menor mltiplo positivo de um dado nmero n o prprio nmero n.
3.2. Mnimo Mltiplo Comum - MMC
Antes de explicitar o conceito Mnimo Mltiplo Comum, necessrio entender o termo, palavra por
palavra:
A palavra Mltiplo foi definida anteriormente e dispensa maiores explicaes.
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48 ...}.
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 72 ...}.
O termo Mltiplo Comum se refere ao conjunto dos mltiplos comuns a dois ou mais nmeros:
MC (3, 4) = {12, 24, 36, 48...} representa os mltiplos comuns a 3 e 4.
MC (3, 4) = M (3) M (4)
A expresso Mnimo Mltiplo Comum se refere ao menor elemento do conjunto dos mltiplos comuns a
dois ou mais nmeros:
MMC (3, 4) = 12
Assim, o Mnimo Mltiplo Comum entre os nmeros a, b, c ... o menor nmero inteiro, positivo, que
mltiplo, simultaneamente, de a, b, c ...
42
43
44
ganhou foi:
a) 4
d) 9
b) 6
e) 10
c) 8
02. Numa certa vizinhana, h quatro gatos: Lal, Lel, Lili e Lulu. Lal mia a cada 15 minutos, Lel mia
a cada 4 minutos, Lili mia a cada 12 minutos e Lulu a cada 2 minutos. Sabendo que miaram juntos s
15h15min, a que horas eles miaro juntos novamente?
03. Uma sala de cinema comporta certo nmero de pessoas. Quantas pessoas, no mnimo, h na sala
se podem ser contadas de 12 em 12, de 6 em 6 e de 8 em 8?
04. Numa demonstrao aerbica, os participantes foram distribudos em vrios quadrados com 36
pessoas em cada um. Depois saram em grupos de 20 pessoas. Qual seria o menor nmero possvel de
atletas que participaram da demonstrao?
05. Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho com tempo determinado
e que este tempo de 4 anos, os assessores dele tambm tm mandato com tempo determinado e, para
estes, o tempo de 6 anos e os auxiliares seguem o mesmo esquema e tm mandato de 3 anos. Se em
2001 houve eleio interna nesta empresa para os 03 cargos, em que ano se realizaro novamente e
simultaneamente as eleies para esses cargos?
06. Joo e Maria moram em Salvador e de tempos em tempos vo Feira de Santana, uma cidade
prxima da capital baiana. Ele vai de 15 em 15 dias e ela vai de 10 em 10 dias. No dia 20 de Julho, os
dois viajaram para Feira de Santana. Combinaram de ir juntos na primeira oportunidade. Quando isso
acontecer?
07. Joo tinha uma prova de admisso em uma tecelagem: deveria dividir dois rolos de tecido, um de 36
metros e outro de 48 metros de comprimento, em pedaos iguais e de maior comprimento possvel. Qual
dever ser o comprimento de cada pedao?
08. Trs cordas, uma de 48 metros de comprimento, outra com 60 metros e a terceira medindo 90 metros
deveriam ser divididas em pedaos iguais e de maior comprimento possvel. Qual ser o comprimento de
cada pedao de corda?
09. Trs relgios despertadores so programados da seguinte maneira: o primeiro dever despertar a
cada 4 horas; o segundo a cada 6 horas e o terceiro a cada 5 horas. Sabe-se que tocaram juntos s 15h
15min do dia 15 de Janeiro, em que ocasio os despertadores tocaro juntos novamente?
10. Virgnia deseja plantar 72 mudas de violeta, 24 de rosas, 36 orqudeas e 48 camlias no menor
nmero possvel de canteiros. Sabendo que cada canteiro dever receber o mesmo nmero de plantas
MATEMTICA | Educao a Distncia
45
de uma s espcie:
a) Quantos canteiros so necessrios?
b) Qual o nmero de plantas que deve conter cada canteiro?
11. (UFMG) Entre algumas famlias de um bairro, foi distribudo um total de 144 cadernos, 192 lpis e 216
borrachas. Essa distribuio foi feita de modo que o maior nmero possvel de famlias fosse contemplado
e todas recebessem o mesmo nmero de cadernos, o mesmo nmero de lpis e o mesmo nmero de
borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o nmero de cadernos que cada famlia
ganhou foi:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 9
a) 4 + 7
h) 2 + 3 + 5 + 7 + 9
b) 4 7
i) 2 4 + 1
c) 7 8 3
j) 4 + 5 + 3
d) 4 + 8 7
k) 6 + 4 2
e) 15 + 22 + 6
l) 1 2 8 5
f) 15 7 3 + 5
m) 4 20 6 + 100 1
g) 8 11 7 + 4
Respostas:
a) 11
h) 26
46
b) 3
i) 5
c) 4
j) 4
d) 5
k) 4
e) 43
l) 16
f) 10
m) 69
g) 6
n) 11
Se voc teve dvidas, ou se errou algum dos itens, aconselho que no trate esta unidade com desdm. Estude
com afinco e mantenha-se atento aos outros tpicos.
Pratique mais um pouco! (Use calculadora para conferir seus resultados!)
a) 17 + 43 + 14 + 23 45
b) 24 7 8 10 4 + 31 19
c) 19 21 + 36 100 35 + 100
d) 23 + 24 25 + 26 27 + 28
Hora de aprender um pouco de lgica! Para completar as pirmides de nmeros a seguir, voc dever escrever em
cada quadro vazio a soma dos dois quadros imediatamente abaixo dele. Observe:
7
2
-2
13
10
4
12
12
6
4
1
0
6
4
3
1
Quando elencamos as operaes entre nmeros inteiros, costumamos escrever: Adio, Subtrao, Multiplicao,
Diviso, Potenciao, Radiciao, entre outras, como se, de fato, fossem muitas operaes. No entanto:
47
A Subtrao a adio do oposto de um dado nmero e podemos usar a expresso soma para represent-la.
A Diviso a multiplicao pelo inverso de um dado nmero e podemos usar a expresso produto para
represent-la.
A Radiciao a potncia apresentada com expoente fracionrio.
4.2. Adio/ Subtrao
Para determinar a soma (ou adio) de dois nmeros inteiros, devemos considerar que os nmeros POSITIVOS
REPRESENTAM O QUE TEMOS e os nmeros NEGATIVOS REPRESENTAM O QUE DEVEMOS. Se voc tem
mais do que deve, ainda te sobra algo. Se voc deve mais do que tem, continua devendo. por isso que sempre
se mantm o sinal do maior nmero.
4.3. Remoo de parnteses quando acompanhado de sinal
Sinal positivo antecedendo os parnteses: quando uma adio contm parnteses precedidos pelo sinal
positivo, podemos eliminar tanto os parnteses, quanto o sinal. (O sinal + manda manter o sinal).
Sinal negativo antecedendo os parnteses: quando uma adio contm parnteses precedidos pelo sinal
negativo, devemos trocar os sinais dos termos que esto entre parnteses para podermos elimin-los. (O sinal
manda trocar o sinal do que est entre os parnteses).
Exemplos:
+ ( 7) = 7
( 7) = + 7
8 + ( 5) = 8 5 = 3
8 ( 5) = 8 + 5 = 13
3 + ( 4 + 2) = 3 + ( 2) = 3 2 = 5
3 ( 4 + 2) = 3 ( 2) = 3 + 2 = 1
2 + ( 3x + 6) = 2 3x + 6 = 8 3x
2 ( 3x + 6) = 2 + 3x 6 = 4 + 3x
possvel estender as mesmas regras para as situaes em que aparecem, alm dos parnteses, os colchetes
e as chaves.
4.4. Ordem de resoluo {[(Separadores)]}
Por hora, para determinar a resoluo de algumas expresses simples importante que voc saiba da existncia
de uma ordem de preferncia para resolv-las quanto aos separadores (Parnteses, Colchetes e Chaves).
Os primeiros smbolos que devem ser observados so os parnteses ( ). Nesse contexto, voc dever resolver o
48
que est entre parnteses antes dos outros smbolos. Seja sensato e resolva-os de forma coerente.
Na sequncia, caso existam, voc dever observar os colchetes [ ]. Resolva o que est entre colchetes de forma
coerente.
Por fim, resolva o que est entre as chaves { } e o que mais restar.
Releia e veja que a ordem no obrigatria, ordem de preferncia. H casos em que iremos resolver colchetes
antes de parnteses e, alm disso, se um separador no interferir no outro, tambm podemos resolv-lo sem
maiores preocupaes quanto ordem. Mas, se houver parnteses entre os colchetes, no h forma de resolver
os colchetes sem que se saiba o valor numrico que est entre os parnteses.
Tome muito cuidado ao colocar os sinais! Os nmeros +5 e 5, por exemplo, podem no ser vistos apenas como
um problema de sinal. Imagine que, em um dado problema, um carro pare 5 metros antes de bater em um caminho
(no h coliso), o sinal trocado pode indicar que o carro parou 5 metros depois de bater (h coliso).
Exemplo:
y = 2 [7 ( 1 3 + 6) 8]
y = 2 [7 (+ 2) 8]
y = 2 [7 2 8]
y = 2 [ 3]
y=2+3
y=5
Exerccios
01. Elimine os parnteses em cada uma das expresses a seguir, apresentando, como resposta, o resultado das
somas envolvidas:
a) ( 7 + 11)
e) 14 + ( 1 2)
b) 7 + (8 3)
f) (1 + 1 + 1 4)
c) 10 ( 2 + 5)
g) 9 + (9 16) 6
d) 3 ( 1 5 + 8)
h) 7 + ( 2 8) + 3 ( 5 1 + 4)
02. Um nmero a tal que a = 9 + [( 4 + 11) ( 13 + 11) 5]. Nessas condies, diga qual o sinal de a.
03. Determine as somas algbricas a seguir:
a) 3 + [6 ( 7 + 1)]
b) 3 + 6 ( 7 + 1)
c) 10 [11 + (2 6)] + 1
d) 10 11 + (2 6) + 1
MATEMTICA | Educao a Distncia
49
50
4.6.3. Comutativa
Dada operao dita comutativa se, ao trocar a ordem dos fatores (termos), o resultado no se alterar. A
Multiplicao e a Adio so operaes dotadas da propriedade comutativa. Subtrao e Diviso NO so
comutativas: (voc j deve ter ouvido: A ordem dos fatores no altera o produto! Isso o mesmo que dizer: A
multiplicao comutativa!)
Exemplos:
Operao
a&b
b&a
Adio
5+1=6
1+5=6
Multiplicao
15 . ( 4) = 60
( 4) . 15 = 60
Subtrao
13 2 = 11
2 13 = 11
Diviso
4 ( 2) = 2
( 2) 4 = 0,5
O smbolo & no tem sentido para a matemtica. S utilizamos para que fosse possvel representar qualquer uma
das quatro operaes.
4.6.4. Associativa
Dada operao dita associativa se a forma de agrupar (associar) os fatores (termos) no alterar o resultado. A
Multiplicao e a Adio so associativas. Subtrao e Diviso NO so associativas:
Exemplos:
Adio
Multiplicao
Subtrao
Diviso
4.6.5. Distributiva
Dado o produto de um nmero n por uma soma algbrica, o fator n pode ser distribudo entre os termos da soma
algbrica, ou seja, para multiplicar um nmero por uma soma algbrica, podemos multiplic-lo por cada uma das
parcelas e, a seguir, adicionar os resultados obtidos, caso possvel.
Exemplos:
51
5 (3x 16) = 15x 80 (a ausncia de operao entre o nmero 5 e os parnteses representa uma multiplicao!)
4.7. Ordem de resoluo - Operaes
Antes de resolver algumas expresses numricas, importante que voc saiba que existe uma ordem predefinida
para resolv-las tanto quanto aos separadores (visto no tpico 4.4) quanto s operaes e, alm de respeitar a
ordem dos smbolos (parnteses), [colchetes] e {chaves}, voc dever estar atento ordem de resoluo quanto
s operaes:
Primeiro voc dever resolver as POTNCIAS e RAZES (veremos na sequncia).
Depois voc dever resolver as MULTIPLICAES e DIVISES (na ordem em que aparecerem).
Depois voc dever resolver as ADIES e SUBTRAES (na ordem em que aparecerem).
Exerccios:
01. Calcule:
f) 81 + (20) . (+4)
g) (4) . (7) 30
h) 23 (6) . (+3)
k) 31 + (40) : (+2)
l) 10 20 : (+4)
n) (91) : 7 + 15
o) 7 : (7) + 2 . (6) + 11
q) 46 : (23) + 7 4 . (+2)
s) 63 84 : (21) 3 . (+23)
4.8. Potenciao
A exemplo de outros conceitos matemticos, a potenciao surgiu pela necessidade de simplificar a forma de
escrever a multiplicao de um dado nmero a por ele mesmo com n repeties:
an = a . a . a . a ... a . a (n repeties) inicialmente com a N e n > 1.
52
Chamamos o nmero a de base, o nmero n de expoente e o termo an de potncia. Nesse caso, dizemos que
o nmero a est elevado ao expoente n.
4.8.1. Nomenclatura em relao ao expoente
H formas de citar determinada potncia em relao ao seu expoente:
Potncia
Como se l
a2
a6
Base Negativa
(+ 2) = +2
( 2) = 2
(+ 2) = (+ 2).(+ 2) = + 4
( 2) = ( 2).( 2) = + 4
Quando o expoente um nmero mpar, a potncia tem sempre o mesmo sinal da base, independente do
sinal da base.
Quando o expoente um nmero par, a potncia tem sempre sinal positivo, independente do sinal da
base.
MUITO CUIDADO!
( 2)6 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = +64 (o sinal tambm foi elevado ao expoente 6)
26 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 64 (apenas o nmero 2 foi elevado ao expoente 6)
53
an
am + n
1.
am
2.
a a =a
Exemplo
27 . 23 = (2. 2. 2. 2. 2. 2. 2) . (2. 2. 2) = 2 10 = 27 + 3
m-n
2. 2. 2. 2. 2. 2. 2
2. 2. 2
27 2 3 =
3.
a0 = 1 (a 0)
2. 2. 2. 2. 2. 2. 2
2. 2. 2. 2. 2. 2. 2
20 = 27 7 = 27 27 =
4.
(an) k = ank
5.
(a.b)n = an . bn
6.
n
n
( a ) = a n (b 0)
b
b
7.
0n = 0 (n 0)
8.
1n = 1
9.
an = 1/ an
= 24 = 27 3
=1
( ) = ( )( )( )( )( ) =
4
07 = 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 = 0
35
45
112 = 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1 = 1
54 = 504 = 50 54 =
50
54
54
a) 103 b) (-3)2
c) 82 d) (- 8)2
e) ( 0,7)2 f) (-5)3
g) (0,5)-2 h) (- 0,1)-3
i) 27 j) (-3)4
k) (35)2 l) 3-2
m) (-3)-5 n) (82)5
o) 74 . 72 p) (0,9)10 : ( 0,9)4
q) 312 . 315 : 310 r) (72 . 133)4 : (78 . 1311)
s) 67 . 62 . 6-1 t) 0,310 . 0,3-5 . 0,37 : 0,310
54
u) 109 : 106
v) 3 . (-5)2 + 5 . (-3)3
x) 2
3
2
-2
-2
w) 2
3
y) 1 1 z) 3
.
2 2
4
02. Faa simplificaes de modo que cada expresso algbrica fique reduzida a uma s potncia:
a) p-7 . p19 . p-5 . p-1 . p-10 b) g150 . g50 : (g20)8
c) (y ) . (y ) : y
6 20
-10 -2
95
d) (m ) . m .(m )
(m ) . m
3 5
2 -10
-10
10 4
.m
75
10
a) ( 8)5 . ( 8) . ( 8)4
b) [(+ 2)6]2
c) ( 10)9 : ( 10)6
d) (+ 9) . (+ 9)11 . (+ 9)8
h) (+ 20)7 : (+ 20)6
a) 3-2 b) 52 . 10
8
9-1
c) -1 d) -4
2
e) 51 + 101 f) 25 23
g) (32 + 61)-2 h) (23 + 23) : (41 + 41)
08. (Desafio!) Qual a metade de 222?
(Dica: Escreva a metade como sendo uma diviso por 2).
4.9. Expresses Numricas Simples
J listamos a ordem de preferncia para a resoluo no caso de uma expresso numrica:
55
Ordem
Separador
Smbolo
Ordem
Operador
Smbolo
1.
Parnteses
( )
1.
Potncias e Razes
2.
Colchetes
[ ]
2.
Multiplicao e Diviso x e
3.
Chaves
{ }
3.
Adio e Subtrao
a e a
n
+e
Exemplos:
01. Calcular o valor da expresso numrica 32 : ( 2)2 ( 3) . ( 3)3.
32 : ( 2)2 ( 3) . ( 3)3 =
= 32 : (+ 4) ( 3) . ( 27) =
efetuamos as potenciaes
= (+8) (+ 81) =
= +8 81 =
eliminamos os parnteses
= 73
02. Calcular o valor da expresso numrica (5 + 2)2 : (9) [2 . (4 2) (1)3 . (5 + 8)]
(5 + 2)2 : (9) [2 . (4 2) (1)3 . (5 + 8)] =
= (3)2 : (9) [2 . (6) (1)3 . (+3)]
efetuando as potenciaes
= 1 [12 + 3]
eliminando os parnteses
= 1 [9]
= 1 + 9
eliminando os colchetes
= +8
Exerccios:
01. Calcule o valor das expresses numricas:
56
e) 4 . (5)3 + (20)2
f) 112 4 . (5)2 + 100
g) 17 3 . (2)2 (6)2 . (1)7
h) 41 3 . (4)2 + 6o 20 : (2)2
i) 7 . (2)2 5 . (2)3 102
j) (3)3 5 . (2) + 2 . (3)2 1
02. Se a = ( 3)3 e b = (1)8, calcule a + b.
03. Se x = ( 2)5 e y = (+2)5, calcule x y.
04. Calcule o valor das expresses numricas:
a) ( 7 4) . ( 9 + 2) ( 72 + 2) : ( 5 5) + ( 9 4 + 6)
b) ( 9 3) : ( 1 + 7) [10 ( 4 3) . ( 5 + 4) + ( 36) : ( 1 3)]
c) 50 7 . (+ 4) [( 44) : ( 11) + ( 3) . (+ 3) 1]
d) ( 6)2 : ( 12) ( 3)3 + ( 2)5 : ( 4)2 50
e) ( 2 3)2 : ( 25) + [30 ( 10 + 6)2 : ( 2)3 52]
f) ( 7)2 + [100 ( 3)3 : (+ 9) ( 1)9] 42
g) 22 + (25 : 22) [( 3)4 : ( 3)2 42 : ( 11 + 7) + 100]
h) 52 7 . ( 2)3 [ 20 : ( 2)2 + 6 . ( 1)4 3] + ( 5)2 : ( 5)
i) ( 3)2 ( 3)3 [( 10)2 : ( 20) + ( 6 + 4)5 : ( 4)2 40]
j) ( 5)2 : 52 ( 4)3 [82 ( 1)8 . ( 2)3 + ( 72) : ( 6)2]
k) ( 2) . ( 10)2 + 152 [ 92 : (+ 3)3 + 62 : ( 12) + 23]
l) 100 + ( 300) : ( 10)2 18 + [( 98) : 72 9 . ( 2)3 82]
4.10. Radiciao
A geometria nem sempre trabalha com nmeros inteiros ou exatos. Em grande parte das vezes, necessrio
indicar ou resolver uma raiz para determinar certa medida. Por exemplo,
57
a raiz cbica de a
a raiz quarta de a
a raiz quinta de a
a raiz (ordinal correspondente ao ndice) de a
4.10.1. Escrevendo Razes como Potncias
Toda raiz pode ser escrita em forma de potncia:
Assim, escrever
o mesmo que escrever 21/2 e, por se tratar de potncia, valem as mesmas regras e
propriedades das potncias, ficando mais fcil de manipular as razes, o melhor, as potncias.
Buscar o valor numrico de uma raiz quadrada nem sempre ser uma tarefa simples:
Para saber o valor de
no est definida nos reais, pois no h nmero real n que multiplicado por ele mesmo, resulte em um
nmero negativo.
Generalizando: no existe raiz de ndice par para nmeros negativos (no Conjunto dos Nmeros Reais).
Exemplos:
No mais, tudo pode ser escrito de forma intuitiva, basta respeitar as propriedades.
58
4.10.2. Racionalizao
A maior parte das pessoas encontra grandes dificuldades ao efetuar a diviso de um nmero inteiro por outro. Essa
dificuldade se mostra ainda maior quando o divisor uma raiz. Para tentar simplificar os clculos, ajudando no trato
da Trigonometria, da Geometria Plana, da Geometria Analtica entre outras, utilizamos um processo prtico para
forar o desaparecimento da raiz no divisor: a Racionalizao!
Tome a diviso
Cuidado! Nem sempre o resultado ser um nmero inteiro. H diversas situaes em que o nmero continuar
com uma raiz (no dividendo, no no divisor). Veja mais dois exemplos:
exemplos:
I. No caso do nmero
temos:
temos:
Apesar de a tentao ser grande, no podemos simplificar o 15 que est dentro da raiz com o 5.
MATEMTICA | Educao a Distncia
59
4.10.3. Conjugado
H ainda um tipo especial de racionalizao: a que busca a soluo de uma diviso em que o divisor composto
por dois termos (sejam duas razes ou uma raiz e um nmero racional qualquer). Tal mtodo utiliza um conceito
que no vimos at o momento (Produtos Notveis), portanto, vamos simplesmente definir o Conjugado de um dado
nmero como sendo o fator pelo qual o multiplicamos obtendo como resposta um nmero racional. A mecanizao
mais fcil que a teoria. Acompanhe a tabela com os conjugados:
Nmero
Fator Racionalizante
Produto
a +
a -
a-b
a -
a +
a-b
a - b
a - b
a - b
a + b
a - b
a -
a -
a +
a - b
a - b
a +
a + b
Exemplo:
No caso do nmero
Exerccios:
01. Calcule o valor das razes abaixo:
a) 121 b) 729
c) 64 d) 576
e)
f)
g) 1225 h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
60
o)
p)
q)
r)
s)
t)
06. Aplicando a propriedade distributiva da multiplicao, simplifique as expresses com radicais: (siga o exemplo)
61
a) (Exemplo)
62
(Caso voc no se lembre: o permetro dado pela soma de todos os lados e a rea dada pelo produto entre
comprimento e largura).
09. Voc vai conhecer uma frmula usada em Fsica quando se estuda o movimento dos corpos em queda livre.
Repare que, se no existisse o conceito e o smbolo para raiz quadrada, seria muito complicado explicar como se
calcula o valor do tempo t, dado em segundos, quando se conhece o valor da altura h, dado em metros. Veja
a frmula:
Essa equao, descoberta por Galileu, diz em quantos segundos, aproximadamente, um objeto chega ao solo
quando abandonado de uma determinada altura dada em metros. Quanto tempo um objeto que cai de uma altura
igual a 19,6 m demora para chegar ao solo?
ativiDaDe De aUtoeStUDo
1. Como o domnio desses conceitos pode melhorar meu desempenho acadmico?
2. Voc dominava as seis operaes? Foi surpreendido por alguma das operaes que julgava dominar?
3. Existe forma de se desenvolver em seu curso sem que voc precise conhecer as operaes listadas?
63
IMENES, Luiz Mrcio e LELLIS, Marcelo Cestari. matemtica paratodos: 4 Volumes. 2. ed. So Paulo: Scipione, 2006.
O resultado um trabalho inovador, que reinterpreta contedos tradicionais, traz novas ideias, aproxima a aula
de Matemtica da realidade e ajuda a aprender a aprender, desenvolvendo competncias teis para toda a
vida.
Aconselho que voc encontre exemplares de 5 srie (6 ano) e 6 srie (7 ano) para ampliar os seus estudos
talvez voc s os encontre em Sebos, pois o professor Imenes mudou de editora, agora est publicando pela
Editora Moderna. Caso prefi ra, busque pelo autor.
CoNSiDeRaeS FiNaiS
Nesta unidade, voc deve ter visto que a manipulao numrica , de fato, muito importante para a
matemtica. No entanto, a compreenso das propriedades, sem ter que decor-las, sugere mais do que
simples continhas. Estamos diante de uma situao em que o saber fala mais alto que o decorar (at
mesmo quando falamos em tabuada).
possvel que voc tenha ficado surpreso com a quantidade de operaes que podem ser realizadas de
forma mais racional que mecnica.
Voc deve ter entendido que a mecanizao muito importante, mas s se voc j sabe resolver de forma
racional, usando todo o raciocnio lgico que voc adquiriu durante a sua formao intelectual.
Estamos chegando metade!
64
UNIDADE III
NOTAO CIENTFICA
OPERAES COM FRAES
OPERAES COM NMEROS DECIMAIS
Professor Esp. Accio Pedro da Silva Junior
Objetivos de Aprendizagem
Entender os conceitos relacionados Notao Cientfica.
Entender o comportamento de Potncias de Base 10.
Identificar nmeros escritos em Notao Cientfica.
Escrever usando Notao Cientfica.
Exercitar habilidades bsicas de operar nmeros fracionrios.
Identificar Fraes Equivalentes.
Dominar as 6 operaes fundamentais: Adio, Multiplicao, Subtrao, Diviso, Potenciao e Radiciao no conjunto dos nmeros racionais (decimais e fracionrios).
Entender as propriedades para cada tipo de operao.
Saber manipular Nmero Misto.
Saber resolver Expresses Numricas, desde as mais simples, at as mais elaboradas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tpicos que voc estudar nesta unidade:
Potncias de Base 10
Condies para escrever em Notao Cientfica
Fraes Equivalentes
Adio/ Subtrao de Fraes
Multiplicao de Fraes
Diviso de Fraes
Nmero Misto
66
INTRODUO
Nesta terceira unidade, voc estudar um dos temas mais temidos (seno, o mais temido) do mundo da
matemtica: a manipulao de Fraes. Trata-se de um contedo da educao bsica que a maioria dos
alunos diz odiar. Quando so perguntados a respeito dos motivos de tantas reservas quanto ao contedo,
a resposta sempre a mesma: Eu nunca entendi Fraes. Voc tem o tempo ao seu lado! As fraes
no so compreendidas, na maioria das vezes, por falta de maturidade intelectual. Se voc chegou at
aqui, essa maturidade j foi conquistada.
Tentei colocar neste material todos os mtodos prticos para a manipulao das fraes sem deixar o
raciocnio lgico de lado. Por isso, voc deve se esforar ao mximo para entender esta unidade. Caso
isso no seja suficiente, tente entender os mtodos de mecanizao e resolva as extensas baterias de
exerccios de fixao.
O incio desta unidade trata de Notao Cientfica, mais uma ferramenta importante para a produo
acadmica, sobretudo, para as cincias exatas.
A segunda parte desta unidade ir desafi-lo manipulao de fraes, ao raciocnio lgico analtico e s
formas de realizar operaes fundamentais com nmeros fracionrios. Voc descobrir que as fraes
no so to difceis de manipular, mas descobrir tambm que a falta de ateno pode prejudicar seus
resultados a partir da primeira linha.
A terceira parte traz a manipulao de nmeros decimais, que, na maioria das vezes, interpretada como
uma manipulao de nmeros inteiros seguida de uma variao, ou no, na posio da vrgula. Divirta-se!
5. NOTAO CIENTFICA
Quando manipulamos nmeros muito grandes ou nmeros muito pequenos, h uma possibilidade de
deixarmos algum zero passar batido. Nesse contexto, importante conhecer uma forma alternativa de
representao muito usada pela Qumica e pela Fsica: a Notao Cientfica.
67
Desenvolvimento
Caracterstica
10
100 000
Expoente 5 e 5 zeros
10
10 000
Expoente 4 e 4 zeros
103
1 000
Expoente 3 e 3 zeros
102
100
Expoente 2 e 2 zeros
10
10
Expoente 1 e 1 zero
100
5
4
1
= 0 ,1
10
101
10
1
= 0 ,01
100
10
1
= 0,001
1000
10
10000
10
= 0 ,0001
= 0, 00001
100000
Para escrever a populao aproximada do planeta Terra, por exemplo, ao representar os 7 bilhes de
habitantes deveramos escrev-lo como 7 000 000 000 a fim de efetuar algum clculo. O grande problema
aqui est em esquecer algum zero, ou acrescent-lo, de forma equivocada.
Uma forma mais simples de escrever seria a notao cientfica. Observe:
7 000 000 000 = 7 . 1 000 000 000 = 7 x 109.
Da mesma forma, podemos escrever o tamanho de um caro (0,2 mm) com unidades no Sistema
Internacional de Medidas (em que a unidade de medida de comprimento o metro):
0,2 mm = 0, 000 2 m = 2 . 0, 000 1 = 2 x 104
Essa forma mais simples de representar nmeros muito grandes ou muito pequenos chamada de
Notao Cientfica.
5.2. Condies para escrever em Notao Cientfica
Dizemos que um dado nmero est escrito em Notao Cientfica se representado como:
n x 108
68
69
02. As bactrias tm um comprimento mdio de 2 x 10-4 milmetros. Imagine uma fila com 10 000 bactrias.
Quanto essa fila mede? Mais ou menos que 1 milmetro?
03. A distncia mnima entre a Terra e o planeta Vnus de 4,1 x 107 km. Algumas naves terrestres (no
tripuladas) j visitaram Vnus. Essas naves viajam a cerca de 104 quilmetros por hora. Quantos dias,
aproximadamente, essa nave demoraria para ir da Terra at Vnus?
04. Escreva, em notao cientfica, o nmero de segundos vividos por uma pessoa de 50 anos.
05. (UFJF MG) Supondo-se que um gro de feijo ocupe o espao equivalente a um paraleleppedo
retngulo de arestas 0,005m X 0,005m X 0,01m, qual o nmero aproximado de gros de feijo que
podem ser postos em uma caixa dgua de 2 000 litros? Escreva o resultado em notao cientfica.
(Dados: a) O volume do paraleleppedo calculado multiplicando comprimento, largura e altura. b) 1m3 =
1 000 litros).
70
_
1
2
x2
x3
x4
x5
_
_
3
_
5
_
2
4
= 4 = 6 = 8 = 10 ...
x2
x3
x4
x5
Observe que:
71
Assim,
H um grande prejuzo na utilizao do mtodo: o tempo. Para dinamizar o mtodo vamos ao processo
prtico:
Os denominadores das fraes originais eram 5, 6 e 4. Note que o denominador usado nas fraes
equivalentes s originais 60 e que MMC (5, 6, 4) = 60.
6.2.2.1. Mtodo Prtico
O mtodo prtico descrito da seguinte maneira:
1 passo: encontramos o MMC entre os denominadores relacionados.
2 passo: buscamos fraes equivalentes s originais com o denominador encontrado no 1 passo.
(Nessa hora, para encontrar o numerador da frao equivalente, costumamos dividir o novo denominador
pelo antigo denominador e multiplicamos o resultado pelo numerador antigo. Em outras palavras: Divide
pelo de baixo e multiplica pelo de cima).
3 passo: agora que todos os denominadores so iguais, opere normalmente.
1
2
60
120
1
6
5
8
4
5
96
20
+
120 120
75
=
120
60 - 96 + 20 - 75
-91
=
120
120
72
6.3. Multiplicao
O mtodo prtico para a multiplicao o mais simples entre todos os mtodos: Multiplicamos Numerador
por Numerador e Denominador por Denominador (em outras palavras, o de cima pelo de cima e o
de baixo pelo de baixo).
6.4. Diviso
O mtodo prtico para a diviso tambm simples: multiplicamos a primeira frao pelo inverso da
segunda (em outras palavras, copiamos a primeira, invertemos a segunda e multiplicamos).
73
Exerccios:
01. Use os conceitos listados anteriormente para encontrar o valor de cada uma das sentenas simples
listadas a seguir:
a)
14 12
9
3
4 1
c) + 3 5
b) -
6 7
+
8 8
d) -
7 4
+
12 6
e)
7 5
15 6
1 7
f) - 3 4
g)
2 5 1
+ 3 6 2
h)
i) - 3 + 7 - 1 + 11
5 8
10
k)
12 15 12 13
- - +
9 8 4 2
j) 4 - 5 - 2 + 3
9 6 3 2
1 4 9 -1 3
- - -
-
2 5 10 4 10
l)
3
7 1 15 9
+ - 2 + - - + 4
5 2 10 5
2 2
m) + . -
5 3
1 3
n) + . +
2 4
9 22
o) - . +
11 27
5 9
p) + . +
9 20
7 2 1
q) - . + . -
9 7 6
7
5
r) + . (- 3) . -
3
14
6 9
s) + : -
7 7
3 11
t) + : +
7 14
5 10
u) - : -
27 9
5 25
v) - : +
8 8
12
w) (- 6): +
5
27
x) (- 9) : +
11
22 11
y) + : +
9 3
30 5
z) + : -
7 14
5
a) 8
5
+
12
-
74
11
b) 9
11
6
-
14
c) 15
21
25
+
3 5
01. +
4 4
02.
2 1 12
+ +
5 5 5
03.
2 5
+
6 8
04.
3 5
+
4 8
05.
4 5
+
6 9
06.
7 11
+
16 8
07.
1 11
+
40 15
08.
2
1
+
15 25
09. 2 + 7 + 3 + 4
5 4 12
10. 12 + 1 + 3 + 1
5 3 2 4
11.
3 5
4 4
12.
2 1 12
- 5 5 5
13.
3 5
4 8
14.
4 5
6 9
15.
7 11
16 8
16.
2 5
6 8
17.
2 1
15 25
18.
5 12
7 5
19.
12 1 3 1
- - 5 3 2 4
12 1 3 1
20. - - -
5 3 2 4
21.
12 1 3 1
- - -
5 3 2 4
22.
23.
2 7 3
- - - 4
5 4 12
2 7 3
24. - - - 4
5 4 12
12 1 3 1
- - 5 3 2 4
75
2
25.
5
7 3
- - - 4
4 12
27. 12 - 1 + 3 + 1
5 3 2 4
26.
2 7 3
- - -4
5 4 12
28. 12 + 1 - 3 - 1
5 3 2 4
29.
12 1 3 1
- + 5 3 2 4
30.
12 1 3 1
- - +
5 3 2 4
31.
12 1 3 1
+ + 5 3 2 4
32.
12 1 3 1
+ - +
5 3 2 4
33.
15 2 4
- +
30 20 60
34.
2 1 3 1
. . .
5 6 5 4
35.
350 9 4 5 1
.
. . .
3 700 3 2 5
36.
12 1 3 1
. . .
5 3 2 4
37.
4
5
. 5 -
5
4
38.
12 1 3 1
. + .
5 3 2 4
39.
12 1 3 1
. . +
5 3 2 4
40.
12 1 3 1
+ . .
5 3 2 4
1 1 1 1
41. - + .
3 5 6 4
1 1 1 1
42. + . -
3 5 3 5
2 1 1
43. 1 . - + 1
3 3 6
2 1 17
44. 3 + 5 6 6
2
1 17 20
45. 3 + 4 -
5
6 6
3
46. 3
47. 3 2 - 4 1
5
6
2 3 1
49. 5 . 2 + 3 - 6
4
3 5
2
1
.4
5
6
2 3 1
48. 5 - 2 + 3 - 6
3 5 4
1
3
+ 3 - 6
50. 2 . 3
2
15
76
2
1
+
1
Note que o nmero 16 no tem vrgula (ela foi omitida), mas ns sabemos que R$16 o mesmo que
R$16,00.
Para calcular 121,8 1, 089 podemos fazer:
1 2
1
8
Agora finja que so nmeros inteiros, opere normalmente e encontre 120,771 como resposta.
Note que para somar, voc pode elencar todos os nmeros disponveis de uma s vez. Para subtrair, voc
s pode operar dois a dois.
6.6.2. Multiplicao
Na hora de multiplicar, devemos atentar para um detalhe simples: os nmeros decimais so fraes e
sero vistas como tal at que tenhamos uma forma de mecanizar o processo. Siga os exemplos a seguir:
3,75 . 11,7 =
375 117
43875
.
=
= 43,875
100 10
1000
77
4,25 .12,16 =
425 1216
516800
.
=
= 51,6800 = 51,68
100 100
10000
(12,155
4,25) =
=
.
=
=(
)= 2,86
1000 100
425000
4250
1000 425
Compare os dois membros que esto destacados pelo smbolo ( ). Eles garantem que a diviso de
12,155 por 4,25 igual diviso de 12155 por 4250. Na prtica, como se tivssemos acrescentado
um zero ao nmero 4,25 (que tinha apenas duas casas decimais, passando agora a trs casas decimais
como o nmero 12,155) e tivssemos removido as vrgulas.
( 8,4 1,05 ) =
84
105
84 100
8400
840
)=
=
.
=(
= 8
10
100
10 105
1050
105
Compare os dois membros que esto destacados pelo smbolo ( ). Eles garantem que a diviso de 8,4
78
por 1,05 igual diviso de 840 por 105. Na prtica, como se tivssemos acrescentado um zero ao
nmero 8,4 (que tinha apenas uma casa decimal, passando agora a duas casas decimais como o nmero
1,05) e tivssemos removido as vrgulas.
Generalizando, a diviso entre dois nmeros decimais deve seguir uma sistematizao simples:
completamos com zeros at que o nmero de casas decimais seja igual para ambos. A seguir, ignoramos
a vrgula e realizamos os clculos como se tratssemos de nmeros inteiros.
Lembre-se: sempre que falamos de multiplicao ou diviso, vale o joguinho de sinais.
Exerccios:
01. Calcule os produtos e quocientes a seguir:
1) (+ 2,3) . ( 0,3)
2) (+ 5) . (+ 0,02)
3) ( 2,1) . (+ 2,8)
4) (+ 7,31) . ( 1,7)
5) (+ 0,18) . (+ 0,36)
6) (+ 0,066) . ( 1,1)
7) ( 30,4) . (+ 0,4)
8) ( 1,44) . ( 0,24)
9) (+ 18) . (+ 0,05)
10) (+ 6) . ( 2,5)
12) (+ 5) . (+ 0,02)
20) (+ 6) . ( 2,5)
27) ( 30,4) (+ 4)
29) (+ 8) (0,05)
30) (+ 6) ( 2,5)
79
Ordem
Separador
Smbolo
Ordem
Operador
Smbolo
Parnteses
()
Potncias e Razes
a e a
Colchetes
[]
Multiplicao e Diviso
xe
Chaves
{}
Adio e Subtrao
+e
Cuidado! Seja coerente no desenvolvimento, veja os exemplos a seguir e, em caso de dvida, use-os de
forma recorrente.
Exemplos:
Caso 1:
Nesse caso, no h como resolver a diviso antes de resolver a adio e subtrao. A tabela acima
elenca a ordem de preferncia e no a ordem obrigatria de resoluo. S para concluir:
5 1
4 1
+
+
=
4 3
6 2
) (
4
4 3
+
( + )=
( 15
)
12 12
6 6
7
( )=
( 11
)
12
6
6
=
( 11
)
(
7)
12
80
11
14
Caso 2:
3 4
5 3 =
7 1
10 + 4
Nesse caso, trate a frao maior como uma diviso (como de fato ):
[(
3 4
5 3 =
7 1
10 + 4
[ (
)(
20
14 5
9
+
20 20
15 15
)]
)] =
[( ) ( )] [( ) ( )]
19
11
20
15
Caso 3:
) (
7 1
3 4
+
5 3
10 4
11
15
220
44
=+
285
57
20
19
81
Caso apaream nmeros decimais, aconselho que voc os transforme em fraes antes de resolver. Isso
diminui a carga excessiva de conhecimentos que voc deve absorver.
Exerccios:
01. Determine o valor de cada uma das seguintes expresses numricas:
7 6
13
a) - + - (+ 2) -
15 5
4
3
1
b) + (- 2)- 3 . -
4
6
4 12 20 3
c) 25 - 5 + - 3 . - 40
4
5
(- 0,4) - (- 0,5)
9
3
2
4 3 1 3
f) 3 (- 2 )+ + 3 . - 8 - + 4 - 2
7 12
g) (- 0,6) 1 - .
8 7
2
7 7 5
j)
9 6 6
k)
8
3
3
2
1
1
. - - (- 12 ) . -
2
4
2
2
2
2 4
l) - . (- 10 )- - +
3
3 9
82
2
3
4 2 7
m) - - - - . (+ 5)2
3 3 25
5
7 3 2
1
n) - + -
8 4 2
o) -
1 5 2
1 2
+ - 2 -
3 3 4
3
1
1 3 3 3 1
p) - + - - 1 - . - 1 +
3
10 5 2 5 4
4
2
3 1 2
3
1
q) - + - 1 - - - 1
4 2 2 2
2 1 2
15
1 2
r) - - - - 1 +
3
3 2 36
2
1 2 4 2
s) + . - - +
2 3 3 3
5
49 1
+ - .
t) - .
14 100 3
4
1
729 : -
4
3 - 11 9
4 8 8
u)
- 3 + 5 3
-
4 2
4 3
15
6
v)
2
1
1
- +
6
3
2
1 1 3 1
1
3
w) - - . - +
7 8 2 4
2
2
2
1 2
4 1
x) - + - (- 2)2 - -
5 2
2
3
3 1 1
. - +
4
2 2
y)
2
2 3 11
. - 4 4
8
2 1
2
z) (- 2 ) . - - 11 : - 3 - 2 . -
5 6
5
83
CoNSiDeRaeS FiNaiS
Nesta unidade voc deve ter visto que as fraes no so to difceis quanto se pensa. Deve ter visto
que h muitos mecanismos para facilitar a manipulao de fraes e, um destes, a compreenso do
conceito. claro que no trabalhei as fraes como se voc fosse um analfabeto em fraes, mas
forneci ferramentas para que qualquer um pudesse entender como se resolve. Enquanto acadmico
isso basta.
Deve ter visto ainda, que h formas bem mais simples de representar nmeros muito grandes ou muito
pequenos, alm dos mtodos para transio entre as diferentes formas de representar os nmeros.
Se voc faz parte do grupo que odeia fraes, deve ter amado o tpico que relaciona os nmeros decimais
e deve ter pensado: Bem mais fcil do que fraes.
J passamos da metade! Falta pouco!
ativiDaDe De aUtoeStUDo
1. Faa uma anlise: compare os conhecimentos que voc trazia como bagagem intelectual aos contedos que voc leva ao fi nal desta unidade. Fraes s fazem parte da matemtica?
2. Voc dominava as seis operaes envolvendo fraes e decimais? Foi surpreendido por alguma das
operaes que julgava ser muito difcil, mas que teve facilidade ao resolver os exerccios?
3 Uma expresso numrica pode ser resolvida aleatoriamente, sem maiores preocupaes quanto
ordem de resoluo?
IMENES, Luiz Mrcio e LELLIS, Marcelo Cestari. matemtica paratodos: 4 Volumes. 2 ed. So Paulo: Scipione, 2006.
Mais uma vez, cito como um trabalho inovador, que trata contedos tradicionais com novas ideias, aproximando
a Matemtica da realidade.
Aconselho que voc utilize o exemplar destinado 7 srie (8 ano) para ampliar seus conhecimentos.
84
UNIDADE IV
LEITURA DE GRFICOS E TABELAS
EQUAES
SISTEMAS DE EQUAES
Professor Esp. Accio Pedro da Silva Junior
Objetivos de Aprendizagem
Entender o comportamento numrico em determinada situao por meio da anlise de grficos e tabelas.
Identificar as diferentes representaes grficas.
Resolver equaes e problemas que se relacionam de forma linear.
Determinar o conjunto soluo de uma equao de primeiro grau.
Exercitar habilidades para a leitura, interpretao, montagem e resoluo de problemas envolvendo
duas incgnitas.
Dominar os mtodos para a resoluo de sistemas de equaes lineares.
Resolver equaes e problemas que se relacionam de forma quadrtica.
Exercitar a habilidade de resolver as equaes de segundo grau pela equao de Bhskara.
Resolver equaes quadrticas incompletas.
Exercitar habilidades para a leitura, interpretao, montagem e resoluo de problemas envolvendo
duas incgnitas relacionadas de forma quadrtica.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tpicos que voc estudar nesta unidade:
Leitura de Grfico de Linhas
Leitura de Grfico de Barras
Leitura de Grfico de Setores
Relao entre Tabela e Grfico
Resoluo de equaes de Primeiro Grau
Conjunto Soluo
MATEMTICA | Educao a Distncia
85
86
INTRODUO
Nesta quarta unidade, voc estudar os temas mais usados na matemtica: Leitura de Grficos, Resoluo
de Equaes e Sistemas de Equaes. Trata-se de contedos recheados de aplicaes cotidianas, anlise
de informaes com problemas dos mais variados nveis de complexidade.
So problemas, mtodos e tcnicas que podem e sero usados para a geometria, lgebra, clculo,
fsica, qumica, biologia e todas as reas que, de alguma forma, tratam de conceitos numricos com a
necessidade de encontrar o valor de uma ou mais incgnitas.
No so conceitos novos, mas certamente so abordagens novas. As baterias de exerccios so extensas
e cabe dispensar um pouco mais de tempo e dedicao.
Desde os primrdios, o homem busca responder quantos ou quantas. Este captulo d ferramentas
para encontrar essas possveis respostas.
Por quase um sculo antes de seu tempo, os filsofos escolsticos vinham discutindo a quantificao
das formas variveis, um conceito de Aristteles aproximadamente equivalente a qualidades [...] Oresme1
conhecia bem esse resultado, e ocorreu-lhe em algum momento antes de 1361 um pensamento brilhante
por que no traar uma figura ou grfico da maneira pela qual variam as coisas [...] por isso ele traou
um grfico velocidade-tempo para um corpo que se move com acelerao constante [...]. (BOYER, Carl
B., Histria da Matemtica, p. 192).
ORESME, Nicole (1323? -1382), sbio parisiense que se tornou Bispo de Lisieux.
87
Receita
01Jan
01Fev
01Mar
01Abr
01Mai
O grfico mostra que, apesar de no sabermos os valores das recitas de cada ms, podemos comparlas por uma simples observao:
Em 01 de Janeiro, o grfico mostra que a receita foi a menor do perodo.
De 01 de Janeiro a 01 de Fevereiro, a receita aumentou (dizemos que o grfico crescente).
De 01 de Fevereiro a 01 de Maro, a receita se manteve (dizemos que o grfico constante).
De 01 de Maro a 01 de Abril, a receita diminuiu (dizemos que o grfico decrescente).
De 01 de Abril a 01 de Maio, a receita aumentou (dizemos que o grfico crescente).
Caso voc tenha problemas ou dvidas para determinar se certo comportamento crescente, decrescente
ou constante, basta imaginar que algum est sobre a linha do grfico, indo da esquerda para a direita:
se a pessoa est subindo, o grfico crescente; se a pessoa est descendo, o grfico decrescente; se
no est subindo nem descendo, constante.
da
ubi
Crescente
Plano
Constante
Des
cida
Decrescente
88
Frequncia
29
27
24
20
Cor
Prata
Branca
Preta
Outra
Podemos ver que 29 pessoas disseram que seu carro tem cor Prata; 27 pessoas disseram ter carro de cor
Preta; 20 pessoas disseram ter carro de cor Branca e 24 pessoas disseram ter carro de outra cor.
O grfico nos d mais informaes: ao todo, foram 100 entrevistados (29 + 27 + 20 + 24). A cor predominante
entre os carros Prata, seguida da cor Preta. No h forma de garantir que a cor Branca a terceira mais
votada (h 24 entrevistados que tm outra cor de carro: poderiam ser todos vermelhos improvvel,
mas pode acontecer).
7.3. Leitura de Grfico de Setores
Em geral, usamos grficos de setores para representar termos percentuais. Nesse caso, fcil comparar
as grandezas (mesmo que no aparea a porcentagem relacionada caracterstica). Acompanhe o grfico
a seguir onde aparece o resultado da pesquisa Qual a rea do conhecimento de sua preferncia?:
Humanas (33%)
Exatas (17%)
Biolgicas (28%)
Outra (22%)
Podemos dizer que a maioria dos pesquisados prefere Cincias Humanas (33%), mas no podemos dizer
que a menor parcela prefere Cincias Exatas, pois a parte correspondente Outra pode ser composta
por outras reas com menor preferncia.
Lembre-se que uma volta corresponde a 100% em relao s informaes listadas e a 360 em relao
ao ngulo central. Caso precise manipular algum desses valores, use proporcionalidade (uma regra de
89
160
150
140
130
120
110
100
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
(Fonte: IBGE, Folha de S. Paulo)
90
3,43
1,87
-0,25
15
16
18
17
(Maio)
-1,40
Nova Iorque
-2,05
So Paulo
-1,02
Tquio
19
Admita que o grfico representativo do desempenho da bolsa de Tquio uma funo real f(t), da bolsa
de Nova Iorque uma funo real g(t) e da bolsa de So Paulo uma funo real h(t), com t [15, 19]. A
partir dessas informaes, julgue os itens.
( ) h(t) g(t), qualquer que seja t pertencente ao intervalo considerado.
( ) A equao f(t) = h(t) admite uma raiz.
( ) A partir do ponto associado ao dia 16, a funo g(t) estritamente decrescente.
03. (UFMT) Os grficos abaixo apresentam dados relativos ao transporte de carga no Brasil, segundo o
Ministrio dos Transportes. Observe-os com ateno e julgue as afirmaes.
O Brasil optou pelas estradas
Hidrovias
12%
21%
4%
Duto
63%
Ferrovias
Rodovias
91
Estrada
600.000 reais
$
1,4 milho de reais
Ferrovia
$
Transportar carga por trem mais barato do que por caminho.
Consome-se 1 litro de leo diesel para levar 1 tonelada de carga por:
25 quilmetros de rodovia
84 quilmetros de ferrovia
Muitos doentes,
poucos tratamento
No Brasil so 9 milhes de diabticos.
Deles, 50% no sabem que esto doentes.
Dos que sabem, 23% se tratam.
Cresce o nmero de bitos por causa
do diabetes
24 000
14 000
1985
92
18 000
1990
1995
162
36
Tipo AB
?
108
Tipo B
Tipo A
a) 96
d) 124
b) 81 e) 162
c) 108
06. (U. F. Lavras - MG) Uma pesquisa eleitoral estudou a inteno de votos nos candidatos A, B e C,
obtendo os resultados apresentados na figura:
Nmero de votos
1620
1500
1400
880
Indecisos
A opo incorreta :
a) O candidato B pode se considerar eleito.
93
N de residcias
100
80
60
40
20
0
TvA
TvB
TvC
TvD
Nenhum
Jan 2002
Jan 2003
Jan 2004
Jan 2005
Durante esse perodo, a poca em que o real esteve mais desvalorizado em relao ao dlar foi no:
a) Final de 2001.
b) Final de 2002.
94
c) Incio de 2003.
d) Final de 2004.
e) Incio de 2005.
09. No grfico Percentage of chart which looks like Pac-man (Porcentagem dos grficos que parecem
com o Pac-man), suponha que a parte correspondente a Does not look like Pac-man (No parecem
o Pac-man) tenha um ngulo aproximado de 60 e que a parte correspondente a Looks like Pac-man
(Parece o Pac-man) tenha um ngulo aproximado de 300.
Com base nestas informaes, encontre os valores para cada uma destas partes em termos percentuais.
10. (UFSE Adaptado) Segundo dados do IBGE (1999), o Brasil vem reduzindo nos ltimos anos, o
ndice de mortalidade infantil. Na tabela abaixo, temos o nmero de bitos de crianas entre zero e um
ano de idade, para cada mil nascidas vivas (na Regio Nordeste nos anos indicados).
Ano
1950
1970
1991
1998
Taxa
184,33
150,07
68,59
54,47
95
200
a)
a)
100
1950
1970
1991 1998
ano
b)
b)
100
1950
1970
1991 1998
ano
c)c)
100
1950
1970
1991 1998
ano
d)
d)
100
1950
1970
1991 1998
ano
e)
e)
100
1950
96
1970
1991 1998
ano
11. (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Mdio h 10 anos se encontraram em
uma reunio comemorativa. Vrias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuio das mulheres, de
acordo com a quantidade de filhos, mostrada no grfico a seguir.
10
8
6
4
2
0
Sem filhos
1 filho
2 filhos
3 filhos
Um prmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criana premiada
tenha sido um(a) filho(a) nico(a) de:
a) 1/3
b) 1/4
c) 7/15
d) 7/23
e) 7/25
12. (ENEM) Imagine uma eleio envolvendo 3 candidatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada eleitor
vota fazendo uma ordenao dos trs candidatos. Os resultados so os seguintes: a primeira linha do
quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 1 lugar, B em 2 lugar, C em 3 lugar e assim por
diante.
Ordenao
N de votantes
ABC
10
ACB
04
BAC
02
BCA
07
CAB
03
CBA
07
Total de Votantes
33
97
Considere o sistema de eleio no qual cada candidato ganha 3 pontos quando escolhido em 1 lugar,
2 pontos quando escolhido em 2 lugar e 1 ponto se escolhido em 3 lugar. O candidato que acumular
mais pontos eleito. Nesse caso:
a) A eleito com 66 pontos.
b) A eleito com 68 pontos.
c) B eleito com 68 pontos.
d) B eleito com 70 pontos.
e) C eleito com 68 pontos.
13. (ENEM) O tempo que um nibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante
o dia, conforme as condies do trnsito, demorando mais nos horrios de maior movimento. A empresa
que opera essa linha forneceu, no grfico abaixo, o tempo mdio de durao da viagem conforme o
horrio de sada do ponto inicial, no perodo da manh.
11:00
10:50
10:40
10:30
10:20
10:10
10:00
9:500
9:40
9:30
9:20
9:10
9:00
8:50
8:40
8:30
8:20
8:10
8:00
7:50
7:40
7:30
7:20
7:10
7:00
6:50
6:40
6:30
6:20
6:10
6:00
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Horrio de sada
De acordo com as informaes do grfico, um passageiro que necessita chegar at s 10h30min ao ponto
final dessa linha deve tomar o nibus no ponto inicial, no mximo, at s:
a. 9h20min.
b. 9h30min.
c. 9h00min.
d. 8h30min.
e. 8h50min.
98
14. (ENEM) A eficincia do fogo de cozinha pode ser analisada em relao ao tipo de energia que ele
utiliza. O grfico abaixo mostra a eficincia de diferentes tipos de fogo.
Foges a
lenha
Foges a
carvo
Foges a Foges a
querosene
gs
Foges
eltricos
Homens
Mulheres
40
20
0
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Da leitura do grfico, pode-se afirmar que a participao percentual do trabalho feminino no Brasil:
a) Teve valor mximo em 1950, o que no ocorreu com a participao masculina.
b) Apresentou, tanto quanto a masculina, menor crescimento nas trs ltimas dcadas.
c) Apresentou o mesmo crescimento que a participao masculina no perodo de 1960 a 1980.
MATEMTICA | Educao a Distncia
99
d) Teve valor mnimo em 1940, enquanto que a participao masculina teve o menor valor em 1950.
e) Apresentou-se crescente desde 1950 e, se mantida a tendncia, alcanar, em curto prazo, a participao masculina.
Note que os mtodos tm o mesmo nmero de passos. Por que seriam Mtodo Longo e Mtodo
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101
Rpido? que no Mtodo Rpido, depois de treinar um pouco, voc poder omitir as linhas dois e
quatro apresentando os resultados de forma imediata.
Pelo Mtodo Rpido, com a omisso de alguns passos:
5x 4 = 21
5x = 25
x=5
Agora abordaremos um exemplo um pouco mais complexo e tambm resolveremos pelos dois mtodos.
Resolvendo a equao:
c
2
=
3
2
=
3
+ 1 3c 7
+
6
2
6. (c 2 ) 6. (c + 1)
6. (3c 7)
=
+
3
2
6
2. c 2 = 1.(c + 1) + 3. (3c 7)
2c 4 =
+ 1 + 9 c 21
2 c 4 = 10 c 20
2 c 4 + 4 = 10c 20 + 4
2c = 10 c 16
2 c 10 c = 10 c 16 10c
(8 c )
8 c = 16
+ 1 3c 7
+
2
6
(8 ) = (16 ) ( 8 )
c
=2
Tirando o MMC.
Aplicando a distributiva e escolhendo no
dividir os dois lados da equao por 6.
Arrumando.
Dividindo por 8.
8.1.1.1. Conjunto-Soluo
O valor encontrado para x a soluo do problema e, em geral, os problemas pedem para que seja
evidenciada a resposta por meio da apresentao do Conjunto Soluo simbolizado por S.
Assim S = {5} o Conjunto-Soluo da equao 5x 4 = 21.
Nem toda equao ter uma soluo explcita. H casos em que o problema no admite soluo (dizemos
que S = ou S = { }) e em outros qualquer nmero satisfaz (dizemos que S = ).
8.1.2. Equao Impossvel
Chamamos de Impossveis as equaes que no admitem soluo, ou seja, aquelas para as quais no
existe valor de x que torne a equao verdadeira:
Exemplo:
2x 20 = 2 (x 1)
2x 20 = 2x 2
2x 2x = 2 + 20
0 = 18
S={}
S=
Note que 0 = 0 uma tautologia ( sempre verdade), possvel, mas no h como determinar valor para
x. A equao admite infinitas solues, uma identidade e sua soluo indeterminada.
103
Exerccios
A prtica leva perfeio. Divirta-se!
01. x + 1 = 7
02. x 1 = 7
03. x + 2 = 20
04. x 2 = 20
05. x + 3 = 1
06. x 3 = 1
07. x + 4 = 2
08. x 4 = 2
09. x 6 = 1
10. x + 6 = 1
11. x 5 = 20
12. x + 5 = 20
13. 2 x = 12
14. 12 x = 12
15. 3 x = 1
16. 5 x = 10
17. 5 x = 10
18. 20 x = 5
19. 20 x = 20
20. 22 x = 1
21. 21 x = 16
22. 3 + x = 1
23. 3 x = 1
24. 12 x = 3
25. 12 x = 3
26. 6 x = 0
27. 6 x = 0
28. 15 x = 22
29. 4 x = 2
30. 2 x = 1
31. 3 + x = 20
32. 3 x = 20
33. 12 x = 3
34. 15 x = 22
35. 2 x + 3 = 9
36. 2 x 3 = 9
37. 5 x 4 = 26
38. 5 x + 4 = 29
39. 4 5 x = 29
40. 8 3 x = 7
41. 8 + 3 x = 7
42. 3 x 8 = 7
43. 15 x + 3 = 15
44. 7 x 1 = 11
45. 8 x + 4 = 64
46. 3 x 12 = 22
47. 2 x 16 = 21
48. 7 x + 11 = 13
49. 11 7 x = 13
50. 1 2 x = 4
51. 4 a + 5 = 25
52. 3 b + 5 b 2 = 3 b + 8
53. 6c 2 c = 24 2 c
54. 2 (d 2). = 10
55. 3 (e + 2) = 2 (3e 2)
56. 3. (x 5) = 2 x + 1
58. 7. (a 6) = 7. (6 + a)
3x
= 21
2
4x
3x
61.
= 18 62.
= 18
6
4
8x
3x
63.
= 4
64.
= 13
4
1
3
2x
2x
65.
= 124 66.
= 8
3
4
x +1
x
67.
+ 1 = 6
68.
=6
2
2
x 1
x
69.
1 = 6
70.
=6
2
2
x+2
x
71.
+ 2 = 12
72.
= 12
3
3
x
x
73.
= 1 74.
= 4
1
2
73. xx =
=1
74. xx = 4
75.
2 22 76. 11= 7
7
3
76. 2x( x=+7
75. fx = 22
3) 7 x
77. 7 + f = 6
78. 3
=
+
5+ 3) 72 x3
2f
2
(
x
77.
+f=6
78.
=
+
5m
5
2
3
2 y
79. 1 +
= 10 + y
80. 2m 7 =
+ 14
5m + 14
80. 2m 7 = 2
79. 1 + 3y = 10 + y
3y 3 1
2
3y
1 23
2y
81. 3y 1 = y 2 82. 3y 1 = 3 2 y
82. 2 3 = 4
81. 5 2 = y
2
3
4
33
5
2
55
59. 2h (1/4) = h + (1/2) 5
83. 2x + 1 x = 1 + 8
5
10
2
5
x
x
2
5
1
85.
+
=
10
8
2
x
x 1
2
1
2
86.
=
+ x
4
3
3
87. 1 x 2 = 2 x 3
4
3
x 2
x + 1
= 4
88.
3
4
60.
84. x 1 + 3 = x 1
3
4
2
2
89. x 1 + x 2 = x 3
2
3
4
90. x 3 2x 1 = 5
4
5
91. 1 2 x 1 = 4 ( x + 2)
3 2
3
1
x
3
92. 5x + 1 = x
105
87. 1 x 2 = 2 x 3
4
3
x 2
x + 1
= 4
88.
3
4
89. x 1 + x 2 = x 3
2
3
4
90. x 3 2x 1 = 5
4
5
91. 1 2 x 1 = 4 ( x + 2)
3 2
3
1
x
3
92. 5x + 1 = x
4
3 2
93.
5
3
2x 1 = 173 x
4x
2
8
10
8
80
10
94. x + 2 1 8 + x = 1
5
4 10
2
95. 3x 9 3x = 1 5x 4
3
2
4
2 x 1
4
( x + 2)
96. 1
=
3
3 2
97.
3x 9
x
3x 4
2x =
4
3
2
98.
5
x
3
1
2x
- =
4 x - - 2
8
5
8
80
10
Expresso Algbrica
O dobro de um nmero
2x
O triplo de um nmero
3x
O qudruplo de um nmero
4x
O quntuplo de um nmero
5x
O sxtuplo de um nmero
6x
A metade de um nmero
x/2
x/3
x/4
x/5
x/6
O inverso de um nmero
1/x
O oposto de um nmero
-x
x-y
x+y
x.y
x/y
x+1
107
II. A soma de dois nmeros 77. O maior supera o menor em 7 unidades. Quais os nmeros?
Chamaremos o menor de x. Como o maior supera o menor em 7 unidades, ser x + 7. Assim:
x + x + 7 = 77
Resolva e encontre os dois nmeros 35 e 42.
Exerccios
01.Escreva uma expresso algbrica para cada frase a seguir. (Se possvel, simplifique).
a) O dobro de um nmero mais uma unidade.
b) A metade de um nmero.
c) O sucessor de um nmero.
d) O antecessor de um nmero.
e) Um nmero par.
f) Um nmero mpar.
g) Um nmero mais um quinto.
h) Um nmero mais um quinto dele.
i) O qudruplo de um nmero.
j) O triplo de um nmero.
k) A tera parte de um nmero.
l) Trs quintos de um nmero mais dois quintos dele.
m) O qudruplo de um nmero mais o triplo deste mesmo nmero.
n) O sucessor de um nmero par.
o) O antecessor do qudruplo de um nmero.
p) A metade do qudruplo de um nmero.
q) Um nmero somado com a metade de seu antecessor.
r) Um nmero somado com ele mesmo.
s) O dobro de um nmero.
t) Um nmero multiplicado por ele mesmo.
u) Um nmero elevado ao quadrado.
v) O permetro de um tringulo equiltero de lado x.
w) O permetro de um quadrado de lado p.
x) O dobro de um nmero somado com seis.
109
o nosso conjunto-soluo, que ser formado por um par ordenado da forma (x, y).
H algumas formas de resolver o mesmo sistema:
8.3.1. Mtodo da Substituio
o processo de resoluo mais utilizado. No o processo mais fcil para resolver, mas, sem sombra de
dvidas, o mais fcil de lembrar:
Basta ISOLAR uma das incgnitas numa das equaes sua escolha e, depois, SUBSTITUIR na outra
equao.
Exemplo:
Somando o primeiro termo ao primeiro termo e somando o segundo termo ao segundo termo, temos:
x + 2y + x - 2y = 16+12
2x = 28 x = 14
Se voc optou pelo mtodo da substituio, encontrou fraes um pouco chatas de resolver; se voc
optou pelo mtodo da adio, no conseguiu fazer nenhuma letra sumir para resolver. Tente assim:
I. Escolha uma letra para desaparecer. (Eu escolhi o y).
II. Multiplique a linha de cima pelo coeficiente do termo de baixo e vice-versa, trocando o sinal de um
deles.
111
RESOLVER e VERIFICAR.
O VERIFICAR importante, pois, se estamos falando em nmero de pessoas, por exemplo, uma resposta
no inteira no satisfaz o problema. Se estivssemos falando em medidas, um nmero negativo no
satisfaria o problema. Pare, analise e julgue a coerncia antes de responder.
Exemplo:
A soma das idades de pai e filho igual a 95 anos e o pai 31 anos mais velho que o filho. Quais so as
idades de pai e filho?
Use P para a idade do Pai e F para a idade do filho.
Use o mtodo da substituio e encontre o pai com 63 anos e o filho com 32 anos.
P + F = 95
F + 31 + F = 95
2F = 64
F = 32
Como P = F + 31 P = 31 + 32 P = 63
Exerccios
01. Em uma lanchonete pagam-se R$5,80 por 5 pastis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3
pastis e 2 copos de refrigerante custam R$3,60. Qual o preo do refrigerante?
02. Uma omelete feita com 2 ovos e 30 gramas de queijo contm 280 calorias. Uma omelete feita com 3
ovos e 10 gramas de queijo contm tambm 280 calorias. Quantas calorias possui um ovo?
03. Num quintal, entre cachorros e galinhas h setenta animais. Cada cachorro cuida de uma galinha e
outros dez cachorros no cuidam de nada. Quantas galinhas h ao todo?
04. Resolva pelo mtodo que preferir:
5 p + 3 r = 58
a)
3 p + 2 r = 36
m + n = 20
b)
m n = 34
2 x + y = 10
c)
3x 2 y = 1
2 x + 3 y = 10
d)
4 x y = 1
2 x 3 y = 10
e)
4 x y = 1
5 p + 3 r = 58
f)
3 p 2 r = 36
05. A soma de dois nmeros 84 e a diferena entre eles igual a 12. Qual o maior deles?
06. Numa fazenda, h 120 animais entre patos e gatos. O fazendeiro contou os ps desses animais e
constatou que totalizavam 320 ps. Quantos patos haviam na fazenda?
07. Trs latas de massa de tomate mais uma lata de atum custam R$ 6,00. Duas latas de massa de tomate
mais duas latas de atum custam R$ 6,80. Quanto custa a lata de massa de tomate?
08. A soma de dois nmeros 188 e a diferena entre o maior deles e o menor 38. Calcule esses dois
nmeros.
09. Marlene confecciona tapetes artesanais de dois modelos, redondo e retangular. Num certo ms, ela
confeccionou 60 tapetes e teve um lucro lquido de R$ 500,00. Sabendo que cada tapete retangular foi
vendido por R$ 12,00, que cada tapete redondo foi vendido por R$ 10,00 e que Marlene gastou R$ 160,00
em materiais, quantos tapetes de cada modelo ela confeccionou nesse ms?
10. A diferena entre dois nmeros 5. O menor deles 3/5 do maior. Quais so esses nmeros?
11. Um professor aplicou uma prova em um sistema bastante curioso: a prova, contendo 40 questes,
atribui ao aluno 5 pontos para cada questo certa e tira do aluno 2 pontos para cada questo errada. Uma
aluna que fez 109 pontos acertou quantas questes?
12. No zoolgico h cisnes e girafas num total de 96 cabeas e 242 ps. Quantas so as girafas?
13. Um comerciante comprou dois tipos de produtos. Cada produto tipo I custa 10 dlares, e cada produto
do tipo II custa 15 dlares. Se uma compra de 35 itens custou 400 dlares, quantos produtos de cada tipo
foram comprados?
14. A soma de dois nmeros 106 e a diferena entre eles 100. Determine o maior deles.
15. Em um terreiro h galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 ps. Quantas so as galinhas e
os coelhos?
16. A soma das idades de duas pessoas 25 anos e a diferena entre essas idades de 13 anos. Qual
a idade de cada uma?
17. A soma de dois nmeros 50 e o maior deles igual ao dobro do menor, menos 1. Quais so os
nmeros?
18. O preo de uma caneta o dobro do preo de uma lapiseira, e duas canetas juntas custam 30. Qual
o preo da caneta e da lapiseira?
19. Um copo cheio de gua pesa 325g. Se jogarmos metade da gua fora, seu peso cai para 180g. Qual
o peso do copo vazio?
113
20. A soma das idades de Andr e Carlos 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo que
Andr 4 anos mais novo do que Carlos.
21. A populao de uma cidade A o triplo da populao da cidade B. Se as duas cidades juntas tm uma
populao de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
22. Em uma companhia area, a lista de preos a seguinte: Primeira Classe: R$ 500,00 e Classe
Turstica: R$ 180,00. Em um voo viajaram 200 pessoas, e a companhia faturou R$ 45.600,00. Quantos
passageiros viajaram de primeira classe? E de turstica?
23. Um menino foi quitanda para comprar chicletes e balas. Ele tinha somente 7 anos de idade e no
sabia ler. Na porta da quitanda existia um anncio: 1 bala e 1 chiclete = 20 centavos; 3 balas e 2 chicletes
= 49 centavos. O menininho pediu para o homem da quitanda 9 balas e 1 chiclete. O homem lhe cobrou
100 centavos pela compra. Ser que o homem est dando o preo certo? O menino deveria dar quanto
de dinheiro?
24. Pipoca, em sua ltima partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele
acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?
25. A idade de um pai o triplo da idade de um filho. Qual a idade de cada um sabendo que a diferena
entre elas de 32 anos?
26. Numa fbrica trabalham 360 pessoas. Sabendo-se que o nmero de mulheres metade do nmero
de homens, qual o nmero de homens e mulheres?
27. Numa garagem, entre carros e motos, h 23 veculos. O nmero total de rodas 74. Supondo que
cada moto possa transportar duas pessoas e cada carro, 5 pessoas, qual o nmero de pessoas que esses
veculos podem transportar?
28. Num ptio, existem automveis e motos. O nmero total de rodas 130, e o nmero de motocicletas
o triplo do nmero de automveis. Sabendo que cada automvel pode transportar 5 pessoas e que cada
motocicleta pode transportar at duas pessoas, quantas pessoas podem ser transportadas por esses
veculos?
29. Paguei uma conta de R$ 6.000,00 com 24 cdulas de R$ 500,00 e R$ 200,00. Quantas cdulas de
cada valor usei?
30. Num terreno, h coelhos e pintos; ao todo 25 cabeas e 70 pernas. Quantos so os coelhos e quantos
so os pintos?
31. Comprei 50 vidros de tinta por certa quantia. Se cada vidro tivesse custado R$ 0,50 menos, poderia
ter levado mais 10 vidros. Quanto me custou cada vidro?
32. A soma das idades de pai e filho 45 anos. H 5 anos, a idade do pai era 4 vezes a do filho. Quais
as idades atuais?
33. DESAFIO! Um rapaz conheceu uma moa h 18 anos quando ela ainda era menina. Naquela poca,
sua idade era o dobro da dela. Casaram-se uns anos depois. Daqui a 9 anos, quando o marido tiver cinco
quartos de idade da mulher, pretendem comemorar uma importante data de aniversrio de casamento.
Quantos anos cada um tem atualmente e quantos tero por ocasio da festa, se tudo correr como
planejam?
8.5. Equao do Segundo Grau
Uma equao Quadrtica, ou de Segundo Grau, uma expresso polinomial de grau 2 e pode ser
representada por ax2 + bx + c = 0 com os coeficientes reais a, b e c, a 0. Na expresso, ax2 + bx
+ c = 0 o coeficiente que acompanha o termo quadrtico, b o coeficiente do termo linear e c o
termo independente.
A resoluo de uma equao de segundo grau se faz por meio da equao de Bhskara:
- 4ac
( a letra grega Delta)
O Discriminante extremamente importante: seu sinal nos diz quantas so as respostas de determinada
equao:
se zero, a equao admite apenas uma soluo no conjunto dos nmeros reais;
Exemplos:
I. Para resolver a equao 5x2 - 30x + 25 = 0, temos que determinar valores para a, b e c.
Comparando a ax2 + bx + c = 0 determinamos que a = 5, b = 30 e c = -30, assim:
115
ou
S = {1, 5}
Note que o conjunto-soluo no um par ordenado. Os dois valores so possveis valores para x.
II. Para resolver a equao 5x2 - 10x + 5 = 0 , determinamos que a = 5, b = -10 e c = 5:
S = {1}
III. Para resolver a equao 5x2 - 10x + 6 = 0, determinamos que a = 5, b = -10 e c = 6:
S = { } ou S =
No definimos raiz quadrada de nmeros negativos no conjunto dos nmeros reais.
8.5.1. Equaes do Segundo Grau Incompletas
Equaes incompletas so aquelas para as quais os valores de b e c so zero, podendo acontecer
simultaneamente ou no.
8.5.1.1. Caso em que a 0, b = 0 e c 0
Esse o caso mais fcil. Basta resolver como uma equao de primeiro grau at que o termo quadrtico
esteja sozinho. Depois disso, basta tirar a raiz quadrada dos dois lados da equao.
Exemplos:
5 45 = 0 :
I. Para resolver a equao 5x2 - 45 = 0 :
2
=
2
=
2
= + ou
S = { 3, +3}
S = { 3, +3}
S={}
8.5.1.2. Caso em que a 0, b 0 e c = 0
Esse caso o nico em que podemos garantir a existncia de uma raiz real: x = 0 sempre ser raiz.
Para esse caso, precisamos evidenciar o fator x e resolver uma equao de primeiro grau.
Exemplo:
Para resolver a equao
:
MATEMTICA | Educao a Distncia
117
S = {0}
Exerccios
01. A seguir, h uma relao de equaes de segundo grau, que ser usada de forma recorrente:
a) x2 5x + 6 = 0
b) x2 + 5x + 6 = 0
c) x2 x - 6 = 0
d) x2 + x - 6 = 0
e) x2 + 7x + 12 = 0
f) x2 + 2x + 1 = 0
g) x2 2x + 1 = 0
h) x2 + 6x + 9 = 0
i) x2 6x + 9 = 0
j) x2 3x = 0
k) x2 + 3x = 0
l) x2 9 = 0
m) x2 + 16 = 0
n) 3x2 33x + 90 = 0
o) 5x2 + 15x + 10 = 0
p) 7x2 + 28x + 28 = 0
q) 4x2 - 5x + 2 = 0
r) 12x2 300 = 0
s) 12x2 300x = 0
t) 12x2 + 300 = 0
u) 12x2 + 300x = 0
v) x2 6x + 3 = 0
w) x2 + 6x + 3 = 0
x) x2 + 6x - 3 = 0
y) x2 6x - 3 = 0
z) 2x2 2x - 1 = 0
-1
1/3
22
-1
Sinal do
3x + 7x + 4 = 0
x 6x + 5 = 0
5x + x = 0
11x - 3 = 0
b) 3x2 8x + 10 = 0
c) x2 2x + 3 = 0
d) x2 2x = 0
e) 8x2 32 = 0
04. Quais so os nmeros que satisfazem a expresso Um nmero elevado ao quadrado igual ao seu
dobro?
8.6. Sistemas de Equaes do Segundo Grau Problemas
O tpico dispensa maiores apresentaes: sabemos o que so Sistemas de Equaes e sabemos o que
so Equaes de Segundo Grau. Sistemas de Equaes de Segundo Grau so sistemas de equaes
que, em algum momento, passaro por uma equao de segundo grau.
8.6.1. Problemas envolvendo Equaes e Sistemas de Equaes do Segundo Grau
Vale lembrar que para a resoluo de quaisquer problemas devemos: LER, ANOTAR, EQUACIONAR,
RESOLVER e VERIFICAR.
Exemplos:
I. A diferena entre o quadrado de um nmero natural e o prprio nmero 30. Qual esse nmero?
MATEMTICA | Educao a Distncia
119
ou
S = {6}
Note que o enunciado dizia que o nmero natural, a resposta x = 5 no satisfaz.
II. A soma de dois nmeros 8, e o produto entre eles 12. Quais so esses nmeros?
Usando x e y como nmeros, podemos escrever:
Resolvendo, encontramos x = 2 ou x = 6.
Para x = 2, teremos y = 6.
Para x = 6, teremos y = 2.
E o conjunto-soluo composto por dois pares ordenados: S = {(2, 6); (6, 2)}.
exerccios
01. A soma do quadrado de um nmero real com o seu triplo igual a 54. Qual o nmero?
02. A diferena entre um nmero e seu inverso igual a 63/8. Encontre esses nmeros.
03. O quntuplo de um nmero menos o seu quadrado igual a 6. Encontre esse nmero.
04. A soma de um nmero e seu quadrado igual ao sxtuplo desse nmero diminudo de 4 unidades.
Encontre esse nmero.
05. Encontre dois nmeros consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja igual a 41.
06. Encontre os dois nmeros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja igual a 3/2.
07. O quadrado da idade de Renato menos o triplo dela igual ao quntuplo de sua idade mais 20. Qual
a idade de Renato?
08. Encontre as dimenses de um retngulo, sabendo que o mesmo tem permetro igual a 38 metros e
rea igual a 84 metros quadrados.
09. A soma dos quadrados de dois nmeros naturais igual a 80, e a diferena entre os quadrados
desses nmeros igual a 48. Encontre esses nmeros.
10. Decomponha o nmero 15 em duas parcelas cujo produto seja 50.
ativiDaDe De aUtoeStUDo
I. Em que situaes do cotidiano podemos encontrar grfi cos como objetos de informao? Voc consegue colher as informaes dos grfi cos?
II. Como anda a sua habilidade em resolver equaes? Percebeu que o termo passa pro outro lado e
troca o sinal no vale para as equaes?
III. Suas difi culdades ao resolver problemas esto na matemtica ou na interpretao?
Acesse <http://www.somatematica.com.br/efund.php> e tente outra forma de entender a teoria. O site trata alguns conceitos de maneira mais tradicional, vale a pena dar uma olhadinha!
121
IMENES, Luiz Mrcio; e LELLIS, Marcelo Cestari. matemtica paratodos: 4 Volumes. 2. ed. So Paulo: Scipione, 2006.
Aconselho que voc utilize os exemplares destinados 7 srie (8 ano) e 8 srie (9 ano) para ampliar seus
conhecimentos.
UNIDADE V
RAZO, PROPORO E REGRA DE TRS
PORCENTAGEM
Professor Esp. Accio Pedro da Silva Junior
Objetivos de Aprendizagem
Entender o significado de ser proporcional.
Identificar Proporo Direta e Proporo Inversa.
Utilizar trs valores proporcionais para encontrar um quarto valor.
Relacionar situaes cotidianas que podem ser tratadas de forma proporcional.
Dominar as operaes entre conjuntos.
Entender, Interpretar e Resolver problemas.
Identificar Porcentagens.
Entender e ser capaz de resolver os trs casos de porcentagem: porcentagem de algo, porcentagem corresponde a algo e qual a porcentagem.
Conhecer taxa acumulada.
Usar os conceitos desconto e acrscimo em termos percentuais.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tpicos que voc estudar nesta unidade:
Razo
Proporo
Regra de Trs Simples
Grandezas Diretamente Proporcionais
Grandezas Inversamente Proporcionais
Mtodos para a resoluo de Regras de Trs Simples
Resoluo de Problemas
Porcentagem
123
Porcentagem de algo
Porcentagem corresponde a algo
Qual a porcentagem
Taxa acumulada
Resoluo de problemas
INTRODUO
Nesta ltima unidade, voc estudar os temas mais aplicveis ao cotidiano: Propores e Porcentagens.
So temas bastante abrangentes e encontrados, sobretudo, em operaes comerciais e financeiras.
Trata-se de contedos que a maioria das pessoas julga dominar e, em algumas situaes, at dominam,
mas no conseguem colocar no papel.
Voc aprender a manipular algumas ferramentas e a formalizar alguns conceitos. Vai entender que
nem tudo que tratado pela matemtica tem caractersticas proporcionais. Vai se espantar ao ver que
existem grandezas que, apesar de no crescerem juntas seguindo um mesmo padro, so proporcionais
(proporo inversa).
Depois de amadurecer alguns conceitos, vai aprender a calcular taxas percentuais acumuladas, que
funcionam de forma parecida com a inflao, com correes de poupana e outras tantas correes
financeiras. Vai ver tambm que dar um desconto de 10% e, depois, um acrscimo de 10%, no voltar
ao preo original.
Se voc estiver disposto, vai ver que as coisas so mais simples do que se pensa. Bom trabalho!
125
2
3
= 12
12
2
2
3
= 36
= 18
Na pior das hipteses, voc diria que o scio que investiu R$ 2 500 deveria receber X; o segundo, que
investiu R$ 5 000, deveria receber 2X (pois investiu o dobro do que investiu o primeiro) e voc levaria 12X
(pois investiu 12 vezes o que o primeiro investiu).
Assim, X + 2X + 12X = R$ 15 000 de onde tiramos X = R$ 1 000 e voc teria direito a R$ 12 000, enquanto
os outros receberiam R$ 1 000 e R$ 2 000, de acordo com os investimentos feitos.
Viu s? Voc sabia o que ser diretamente proporcional. Talvez o conceito tenha sido guardado sem
nome. Sistematize o processo!
9.3.2. Grandezas Inversamente Proporcionais
So grandezas relacionadas de forma oposta quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento
de uma grandeza implica na diminuio da outra, e a diminuio de uma grandeza implica no aumento
imediato da outra.
Exemplos:
I. Quanto maior a velocidade, menor o tempo para percorrer um percurso. Velocidade e Tempo so
grandezas inversamente proporcionais (sob as mesmas condies).
II. Quanto maior o nmero de pessoas, menor o tempo para concluir um trabalho. Nmero de Pessoas
e Tempo so grandezas inversamente proporcionais (sob as mesmas condies).
III. Quanto maior Volume, menor a Presso sobre certo gs. Volume e Presso so grandezas inversamente proporcionais (sob as mesmas condies).
Essa forma, em particular, mais chatinha de lembrar. Geralmente relaciona velocidades de acontecimento
em quaisquer tipos de situao:
Voc vai de Maring a Londrina andando a uma determinada velocidade. Se voc aumentar a velocidade,
aumentar o tempo?
Voc tem, em suas mos, uma esponja de espuma e comea a comprimi-la aumentando a presso entre
seus dedos. A esponja tambm aumenta de tamanho?
Viu s? Voc tinha uma noo acerca do que ser inversamente proporcional.
9.3.3. Resoluo de Regra de Trs Simples
Para auxiliar na resoluo das Regras de Trs, precisamos agilizar o processo criando alguns mecanismos
para fugir das propores:
9.3.3.1. Orientao para determinar Proporo Direta ou Inversa
Quando quisermos comparar grandezas, usaremos setas orientadas (para cima ou para baixo) de acordo
MATEMTICA | Educao a Distncia
127
com o que pensarmos ou dissermos: quando dissermos quanto mais, orientaremos a seta para cima.
Quando dissermos quanto menos, orientaremos a seta para baixo.
9.3.3.2. Forma para Resoluo
Devemos multiplicar um dos valores de uma grandeza com um valor da outra grandeza. Mas esse processo
no aleatrio: deve seguir as setas de forma a estabelecer um caminho. No existe esse negcio de
regra de trs s multiplicar cruzado. H circunstncias em que o caminho multiplicar cruzado e h
circunstncias em que o caminho multiplicar o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo.
Exemplos
I. Um monomotor percorre certa distncia voando com velocidade igual a 300 km/h, durante 6 horas; outro
avio percorrer a mesma distncia, com a velocidade igual 360 km/h. De quanto tempo o segundo avio
precisar?
Note que: se a velocidade aumentar, o tempo de percurso diminui, mostrando que o problema de
grandezas inversamente proporcionais.
Tempo (h)
Velocidade em (km/h)
300
360
II. Um automvel percorre 300 km em 5 horas. Mantendo a mesma velocidade, que distncia percorrer
em 7 horas?
Note que: se o tempo aumentar, a distncia tambm aumenta (esto em velocidade constante), mostrando
que o problema de grandezas diretamente proporcionais.
Distncia (km)
Tempo (h)
300
D
5
7
300.7 = 5.D
2100 = 5 D
D = 420 Km
Exerccios
01. Precisamos repartir R$ 5 000,00 entre Marcelo, 7 anos, Luciano, 8 anos, e Alexandre, 10 anos, de
modo que cada um receba uma quantia proporcional sua idade. Como devemos fazer a diviso?
02. Joo e Maria montaram uma lanchonete. Joo entrou com R$ 20 000 e Maria, com R$ 30 000. Se ao
fim de um ano obtiverem um lucro de R$ 7 500,00, quanto cabe a cada um?
03. Srgio e Luzia formaram uma sociedade. Srgio investiu R$ 2 960,00 enquanto Luzia investiu R$ 2
500,00. Depois de certo tempo, obtiveram um lucro de R$ 163,80. Que parte do lucro coube a cada um
dos scios?
04. Ana tinha R$ 2 000,00, Maria R$ 4 000,00 e Joana R$ 5 000,00. Juntaram esses valores, abriram
uma loja de roupas e se saram to bem que seis meses depois tinham um lucro de R$ 46 200,00. Como
dividir proporcionalmente o investimento de cada uma delas?
05. Trs irmos prontificaram-se a ajudar a me a fazer o almoo de domingo. Clara trabalhou 2 horas,
Pedro 1 hora e Lucia meia hora. A me, ento, deu-lhes R$ 17,50 para dividir proporcionalmente ao tempo
que cada filho trabalhou. Quanto cada filho recebeu?
06. Se 20 operrios fazem certa obra em 18 dias, em quantos dias 30 operrios podero fazer o mesmo
trabalho?
07. Em 5 dias, 8 operrios fazem determinado trabalho. Para faz-lo em 4 dias, quantos operrios so
necessrios?
08. Em 10 dias, 8 operrios fizeram metade do trabalho de que foram incumbidos. Depois disso, 2
operrios abandonaram o servio. Quanto tempo devem os restantes trabalhar para concluir a obra?
129
09. Dez operrios fazem certo servio em 6 dias. Quantos operrios so necessrios para fazer o mesmo
servio em 4 dias?
10. Para fabricar um determinado nmero de peas, uma indstria utiliza 8 mquinas durante 15 dias. A
fim de atender a um pedido urgente, foram empregadas 12 mquinas iguais s primeiras. Em quantos dias
foi fabricado o mesmo nmero de peas?
11. Duas rodas dentadas que esto engrenadas uma na outra tm, respectivamente, 12 e 54 dentes.
Quantas voltas dar a menor enquanto a maior d 8?
12. Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levar para se consumir?
13. Um relgio atrasa 1min 15s a cada hora. Quanto tempo ele estar atrasado ao final de 1 dia?
14. Quatro torneiras idnticas enchem um reservatrio em 15 horas. Com dez dessas torneiras, em
quantas horas o tanque ficaria cheio?
15. Com uma rea de absoro de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido energia solar
consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2, qual ser a
energia produzida?
16. Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400 km/h, faz um determinado percurso em 3
horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h?
17. Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se
o nmero de horas de servio fosse reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe faria o mesmo
trabalho?
18. Uma mquina funcionando 6 horas por dia produz 3000 unidades de certo produto em 5 dias. Quanto
produzir funcionando 4 horas por dia durante 8 dias?
Comentrio: voc pode ser induzido a resolver esse problema por Regra de Trs Composta. dispensvel.
A informao 6 horas por dia durante 5 dias representa 30 horas.
A informao 4 horas por dia durante 8 dias representa 32 horas.
Assim, podemos reescrever o problema:
Uma mquina funcionando 30 horas produz 3000 unidades de certo produto. Quanto produzir
funcionando 32 horas?
19. Um andarilho percorre 120 km em 5 dias, andando 6 horas por dia. Supondo que ande em velocidade
constante, em quantos dias percorrer 320 km, andando 8 horas por dia?
20. A presso de certo gs ideal que ocupa um volume de 3 L, temperatura constante, de 2 atm.
Sabendo que presso e volume, temperatura constante, so inversamente proporcionais, qual ser a
nova presso quando o gs se expandir de 2 L?
21. A sombra de uma palmeira mede 5,4 m no mesmo instante em que uma vara vertical de 2 m colocada
no local tem uma sombra de 0,9 m. Qual a altura da palmeira?
22. Para engarrafar uma produo de vinho so necessrias 204 garrafas de 0,7 L cada uma. Usando
garrafes de 4,2 L, quantos sero necessrios?
23. Em um mapa cartogrfico, 4 cm representam 12 km. Neste mesmo mapa, 10 cm representaro
quantos quilmetros?
24. Uma ponte feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o nmero de trabalhadores for elevado para
24, o nmero de dias necessrios para a construo da mesma ponte ser igual a quanto?
25. Uma mquina varredeira limpa uma rea de 5.100m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condies,
em quanto tempo limpar uma rea de 11.900m2?
10. PORCENTAGEM
Porcentagem o nome dado a toda frao cujo denominador 100. O nmero 20/100 representa 20
porcento, o nmero 8/100 representa 8 porcento e o nmero x/100 representa x porcento.
Simbolicamente, usamos % para indicar a porcentagem. 20 porcento = 20%.
Fonte: SHUTTERSTOCK.COM
Trata-se de um conceito diretamente ligado s operaes financeiras (apesar de no ser a nica aplicao).
131
Ao abordar porcentagens, voc deve estar por dentro de alguns conceitos simples. O endereo <http://www.
matematicahoje.com.br/telas/cultura/midia/midia.asp?aux=M> traz esses conceitos de uma forma bem fcil de
entender.
8 % de R$ 50
8
100
.50 =
400
100
R$ 4
30
1800
. 60 =
= 18 min
100
100
Exemplos:
Multiplicando tudo por 5
Dividindo tudo por 2
Multiplicando tudo por 5
Reescrevendo a unidade
Dividindo tudo por 3
Multiplicando tudo por 10
R $ 0 ,40
R$ 2 ,00
= 0 ,20 =
20
100
= 20 %
133
A situao econmica do pas Albertpolis anda bem crtica: em janeiro passado houve uma inflao
de 20%, em fevereiro a inflao atingiu 35% e em maro atingiu 25%. Qual foi a taxa inflacionria nesse
trimestre em Albertpolis?
Nesse tipo de situao, devemos comparar, para a mesma mercadoria, o preo do incio do perodo ao
preo do final do perodo. Tome, como base, qualquer mercadoria que possa valer R$ 100.
R$ 100
Aumento de 20%
R$ 120
Aumento de 35%
R$ 162
Aumento de 25%
R$ 202,25
No fim do trimestre, a mercadoria que custava R$ 100 passou a custar R$ 202,50, houve um aumento de
R$ 102,50 sobre o valor inicial R$ 100:
R $ 102, 50
R$ 100
= 102, 5 %
Para saber um pouco mais sobre taxas acumuladas, in ao e correes monetrias, sugiro que voc acesse o
trabalho disponvel em:
<http://www.fae.edu/publicacoes/pdf/IIseminario/iniciacaoCient%C3%ADfi ca/iniciacao_10.pdf>.
exerccios
01. Numa prova de seleo, 40% dos candidatos so reprovados. Sabendo que 2.500 candidatos fizeram
a prova, quantos foram aprovados?
02. Calcule o nmero de analfabetos que residem em certa cidade, sabendo que a cidade tem 45.000
habitantes e que, destes, 8% so analfabetos.
03. Uma barraca de cocada vendia o produto por R$ 1,60. Depois de um tempo, o dono da barraca decidiu
aumentar o preo para R$ 2,00 a unidade. De quantos por cento foi o aumento?
04. Quantos por cento 48 minutos representa de 1 hora?
05. Se 18% do meu salrio corresponde a R$ 360,00, qual o meu salrio?
06. Numa loja, um secador de cabelos custa R$ 48,00, mas uma promoo anuncia o desconto de 20%
no pagamento vista. Quanto custa um secador de cabelos comprado na promoo?
07. Um aparelho de DVD custa R$ 279,00 vista. A prazo h um acrscimo de 17%. Quanto ele passa a
custar?
08. Do salrio de um trabalhador descontada uma quantia igual a R$ 250,00 que corresponde a 5% do
total. Qual o salrio desse trabalhador?
09. No ms passado, Juliana tinha R$ 6 000,00 na sua conta corrente. Nesse ms, sua conta teve um
rendimento de 3,5%. Qual o saldo da conta?
10. Ao se casar, Renata comprou um guarda roupas de R$ 980,00. Deu 20% de entrada e dividiu o
restante em 8 parcelas. Qual foi o valor de cada parcela?
11. Determine:
a) 20% de 500 Reais.
b) 30% de 20 Quilos.
c) 10% de 6 Metros.
d) 4% de 15 Dias.
e) 5% de 700 Pessoas.
g) 130% de 3 quilmetros.
h) 165% de 20 minutos.
i) 12% de R$ 725,00.
j) 6,5% de R$ 385,00.
12. A situao econmica do pas Sambaquisto anda bem crtica: em janeiro passado houve uma
inflao de 20%, em fevereiro a inflao atingiu 15% e em maro atingiu 25%. Qual foi a taxa inflacionria
nesse trimestre em Sambaquisto?
13. Certo comerciante ganha 3% das quantias que recebe. Tendo cobrado R$ 17 500,00, quanto recebeu?
14. Em determinada fbrica de meias, cuja produo foi de 14.500 pares, 290 deles foram refugados na
expedio. Qual foi a porcentagem de refugo?
15. Num concurso feito por certo nmero de candidatos, houve 18% de aproveitamento, ou seja, 117
aproveitados; noutro, feito por 350 candidatos houve 22% de aproveitamento. Determinar quantos
candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos foram aprovados no segundo.
16. Fez-se a mistura de 40 litros de lcool com 80 litros de gua. Quanto por cento h de lcool na mistura?
17. Em uma turma de alunos comprometidos a um exame, o nmero de reprovaes, que atingiu a 15%,
foi de 12 concorrentes. Quantos compareceram ao exame?
18. O peso total de uma caixa e o seu contedo 60 kg. Pesando 48 kg a mercadoria contida nessa caixa,
qual a taxa de porcentagem correspondente ao invlucro?
135
19. Um comerciante comprou 200 sacas de caf por R$ 600 000,00; ganhou na venda 15%. Por quanto
vendeu cada saca de caf?
20. Uma geladeira vendida por R$ 10 400,00 d o lucro de 30% sobre o custo. Qual o lucro?
21. Qual o nmero cujos 15% valem 105?
22. Para assistir a deciso do campeonato carioca de futebol de 1982, entre o Flamengo e o Vasco,
compareceram ao Maracan 170.000 pessoas. Ao final do jogo 40% dos torcedores saram tristes do
estdio. Os restantes festejaram a conquista do campeonato pelo Vasco. Quantos assistentes torceram
pelo Flamengo? Quantos torceram pelo Vasco?
23. Dos 125 alunos de um colgio, 36% so maiores. Quantos alunos menores h no colgio?
24. Um apartamento foi vendido por R$ 240 000,00. Por quanto foi comprado esse apartamento se o lucro
obtido foi de 25%?
25. A populao de uma cidade aumentou de 350.000 para 420.000 habitantes. Qual foi a porcentagem
de acrscimo da populao?
26. Vendi uma mercadoria com lucro correspondente a 1/5 do custo. Qual a porcentagem do lucro?
27. Das 80 aves que h em uma granja, 60 so galinhas e o resto galos. Calcular a porcentagem destes.
28. Um comerciante compra 310 quilos de acar a R$ 120,00 o quilo. Vende 1/5 com lucro de 20%; 2/5
com 15% e o resto com 10%. Qual o lucro total?
CONSIDERAES FINAIS
No decorrer deste captulo voc deve ter visto que a matemtica tem diversas aplicaes a outras
disciplinas. A Fsica se beneficia muito dos conceitos de proporo e regras de trs, enquanto a Qumica,
alm desses conceitos, ainda se beneficia das porcentagens.
Voc deve ter visto tambm que as porcentagens cercam o nosso cotidiano de descontos nos preos
de mercadorias, aumentos salariais, taxa de inflao, alta do Dlar, percentual dos brasileiros
analfabetos entre tantas outras. Para entender a informao que se esconde atrs da porcentagem,
necessrio entend-la nas trs esferas citadas.
ativiDaDe
De aUtoeStUDo
1. Ao manipular problemas que envolvam duas ou mais grandezas, como determinar se as grandezas
so proporcionais ou no?
2. Regra de trs e Qumica sempre caminharam juntas. Tente encontrar grandezas relacionadas Qumica que so diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
3. O estudo das porcentagens mostra que no h s um tipo de porcentagem. Voc consegue se lembrar das trs formas? Como resolv-las?
GIOVANNI, Jos Ruy; GIOVANNI JUNIOR, Jos Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. a conquista da matemtica.
So Paulo: FTD, 2007. 336 p.
Dispensa comentrios. O material do 7 ano tudo que voc precisa!
Entre todas as sugestes, trago esta como sendo o fechamento com chave de ouro:
<http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/educacao-fi scal-licao-cidadania-matematica-427088.shtml>.
137
Caso voc ainda no tenha assistido, sugiro que assista ao fi lme Donald no Pas da Matemgica. um curta
da Disney de aproximadamente 27 minutos. O fi lme mostra que existe matemtica em vrias situaes do nosso
cotidiano. Voc pode encontrar os fragmentos no Youtube, mas o som muito ruim... A Disney relanou na coleo Fbulas da Disney com preos bem acessveis, vale a pena comprar o original!
CONCLUSO
No decorrer do material voc deve ter visto que a matemtica no apenas um monte de nmeros.
claro que eles tambm fazem parte da matemtica, mas os conceitos e teorias so bem mais importantes
do que os nmeros.
Voc deve ter visto que a histria contribui, e muito, para a formao dos conceitos matemticos. Nenhuma
cincia sobrevive sozinha, est tudo relacionado!
Deve ter visto que a matemtica est no nosso cotidiano e, por isso, passar pelo curso sem conhec-la
o mesmo que passar por um jardim e no sentir o cheiro das flores.
Daqui para frente, com voc! Espero t-lo ajudado a percorrer este caminho doloroso, mas necessrio,
dando ferramentas mais eficientes para a sua formao acadmica.
Um abrao e Boa Sorte!
Professor Accio
139
REFERNCIAS
BOYER, Carl. Histria da Matemtica, 2. ed. So Paulo: Edgar Blcher/ Edusp, 1996.
IMENES, Luiz Mrcio. Vivendo a Matemtica: Os nmeros na histria da civilizao. So Paulo: Scipione,
1999.
IMENES, Luiz Mrcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemtica Paratodos: 4 Volumes. 2. ed. So Paulo:
Scipione, 2006.
MACEDO, Luiz Roberto Dias de; CASTANHEIRA, Nelson Pereira; ROCHA, Alex. Tpicos de Matemtica
Aplicada. 20. Curitiba: Ibpex, 2006. 211 p.
PACFICO, Jos Carlos. Apostila Slon Matemtica: 2010.
A Criao dos Nmeros Nmeros Naturais. Disponvel em: <http://matematica.no.sapo.pt/natural.htm> e
<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22107>. Acesso em: 20 dez. 2011.
Conjuntos Numricos - O surgimento dos Nmeros Nmeros Inteiros. Disponvel em: <http://www.
mundoeducacao.com.br/matematica/o-surgimento-dos-numeros-inteiros.htm>. Acesso em: 20 dez. 2011.
Teste de avaliao. Disponvel em: <http://www.colegioapogeu.com.br/portal/images/stories/2010/
apogeu_world/provas/ta_02/TA_2_MATEMATICA_PISM1.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2011.
<http://www.youtube.com/watch?v=WyQNXNdrdbk>.