Curso: Cincias Contbeis Turma: 2 Perodo.

Disciplina: Matemtica Aplicada Contabilidade

Prof. Esp. Kttia Ferreira da Silva.
Acadmico (a):_____________________________










Gurupi TO, 2014

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Introduo

Quando se inicia o estudo dessa disciplina: Matemtica Aplicada Contabilidade
comum surgir pergunta: Por que estudar essa disciplina? muito interessante
fazermos uma anlise deste fato, pois atravs de matrias e artigos sobre a matemtica
aplicada contabilidade, conclumos que a mesma est inserida na contabilidade, assim
como faz parte de nosso cotidiano. Fica claramente definido que a matemtica contribui
bastante para o contador proporcionando a ele novas tcnicas de planejamento, sejam no
controle de produo, na comercializao, ate mesmo na rea de negociaes, e em
processo que envolve a contabilidade em geral, bem como no desenvolvimento de seu
raciocnio lgico. formidvel o apoio e as atividades exercidas que estimulam o raciocnio
lgico e critico, dentro de variados problemas. Tem como base a ideia de selecionar melhor
tomada de deciso para diminuir riscos que podem afetar o futuro.
Problemas existem e sempre vo existir, e em dos objetivos da matemtica tornar o
mtodo de tomada decises mais racional possvel, para a resoluo de problemas. No
entendimento dos fatos, conclumos que a matemtica tem como objetivo capacitar o
contador a formular o problema, estabelecer as regras a serem aplicadas para conduzir ao
melhor resultado. O contador pode contar com a ajuda significante da tecnologia de
informao para o processamento de dados, produzindo informao, que ajudar a visualizar
e analisar grficos, projetos, relatrios, simulao de vendas, planejamentos das despesas,
anlise de receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc. Mas se no tiver um
raciocnio lgico eficiente ter dificuldades em formular os conceitos necessrios na rea da
contabilidade.








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Funo de 1 grau ou funo afim

Definio
Chama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo afim, a qualquer funo f de IR em IR
dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0.
Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente angular e, determina a
declividade da reta e, nmero b chamado de coeficiente linear e, determina o ponto de
interseco da reta com o eixo das ordenadas (eixo Oy).
Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1 grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
GRFICO DE UMA FUNO DO 1 GRAU

Inicialmente, vamos representar graficamente uma funo do primeiro grau atribuindo
valores arbitrrios para x e obtendo suas respectivas imagens. O grfico de uma funo polinomial
do 1 grau, y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos Ox e Oy.
Observe os dois casos:
a) f(x) = 2x + 4 b) f(x) = - x + 3
f(x) = 2.(-2) + 4 = 0 f(x) = - (-2) + 3 = 2 + 3 = 5
f(x) = 2.(-1) + 4 = 2 f(x) = - (-1) + 3 = 1 + 3 = 4
f(x) = 2.(0) + 4 = 4 f(x) = - (0) + 3 = 3
f(x) = 2.(1) + 4 = 6 f(x) = - (1) + 3 = 2
f(x) = 2.(2) + 4 = 8 f(x) = - (2) + 3 = 1

De acordo com os pares ordenados obtidos, veja os grficos abaixo:
a) f(x) = 2x + 4 b) f(x) = x+3

CONCLUSES DA ANLISE GRFICA

a) Perceba que no primeiro exemplo (f(x) = 2x + 4), medida que os valores de x no domnio
aumentam, aumentam tambm os valores de f(x) na imagem. J no segundo exemplo
(f(x) = -x + 3), medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem. Assim,
conclumos que a funo do primeiro exemplo crescente, e a do segundo exemplo,
decrescente. De um modo geral, o que determina se uma funo do primeiro grau
crescente ou decrescente o coeficiente a. Se tivermos a > 0, a funo ser crescente; a <
0, a funo ser decrescente.
3


b) A reta de uma funo do primeiro grau toca o eixo y (eixo das ordenadas) no ponto
correspondente ao coeficiente b, pois quando x for zero, f(x) = b. Assim, sempre haver o
ponto (0, b).

c) A reta de uma funo do primeiro grau toca o eixo x (eixo das abscissas) no ponto
correspondente sua raiz, pois ela o valor de x que torna f(x) igual a zero. Assim, sempre
haver o ponto (- b/a; 0).

Propriedades da funo do 1 grau

1) o grfico de uma funo do 1 grau sempre uma reta .

2) na funo f(x) = ax + b , se b = 0 , f dita funo linear e se b 0 f dita funo afim .
3) o grfico intercepta o eixo dos x na raiz da equao f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abscissa x = - b/a .
4) o grfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b chamado coeficiente
linear.
5) o valor a chamado coeficiente angular e d a inclinao da reta .
6) se a > 0 , ento f crescente .
7) se a < 0 , ento f decrescente .
8) quando a funo linear, ou seja, y = f(x) = ax , o grfico uma reta que sempre passa
na origem.

Problemas Propostos

01) Dada funo do 1 grau F(x) = (1 - 5x). Determinar:
a) F(0)
b) F(-1)
c) F(1/5)
d) F(-1/5)
e) F(4)

02) Considere a Funo do 1 Grau F(x) = -3x + 2. Determine os valores de x para que se
tenha:
a) F(x) = 0
b) F(x) = 11
c) F(x) = -1/2
d) F(x) = -13

03) Dada a funo F(x) = (ax + 2), determine o valor de a para que se tenha F(4) = 22.

04) Dada a funo F(x) = (ax -10), determine o valor de a para que se tenha F(8) = 6.
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05) Representar graficamente as retas dadas por:
a) y = 2x 4,
b) y = 6 + x,
c) y = 10 2x,
d) y = 6 + 2x,


06) Sendo f(1)=4 e f(2)=6, temos, ento, dois pontos e os valores da funo nestes pontos.
Determine a funo.
07) Dados os pontos abaixo, determine a lei de formao da funo:
X 1 2 3 4
f(x)
3 7 11 15

08) Sendo f(1)=4 e f(2)=1, temos, ento, dois pontos e os valores da funo nestes
pontos. Determine a funo.
09) Dados os pontos abaixo, determine a lei de formao da funo:
X 5 10 15 20
f(x)
21 46 71 96

10) Escreva a funo afim f(x) = ax + b, sabendo que:
a) f(-1) = 7 e f(2) = 1
b) f(2) = -2 e f(1) = 1

11) Dada a funo f(x) = ax + b e sabendo que f(3) = 5 e f(-2) = -5, calcule
f
|
.
|

\
|
2
1
.

12) Numa certa cidade operam duas empresas de txis. A empresa E cobra pela
bandeirada inicial R$ 6,00 e mais R$ 3,00 por quilmetro rodado enquanto que a empresa
F cobra apenas por quilmetro rodado R$ 4,00. Sendo x a quantidade de quilmetros
rodados e f(x), o preo pago pela corrida. Se voc precisar fazer uma corrida de 8 km,
qual das empresas deve optar para ter um menor custo?


FUNO DO 1 GRAU Funo Receita

Na atividade operacional de uma empresa diversos fatores contribuem para a formao da
receita proveniente do volume de vendas. Fatores como volume da produo e potencial de
mercado no podem ser esquecidos na formao da receita: porem em pequenos intervalos, onde
j foram consideradas as variveis restritivas, e considerando-se o preo constante nesse
intervalo de produo, o rendimento total da empresa ou receita total, ser funo, somente, da
quantidade vendida. Supondo que sejam vendidas q unidades do produto, o que se recebe pela
venda efetuada chamado funo receita de vendas e pode ser representada genericamente por:

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( ) f v x
P q P R + = .

Onde:
P
f
= Preo fixo.
P
V
= Preo varivel em relao s unidades vendidas.
q = Quantidade vendida de produtos ou servios

Funo Custo Total
( ) f v t
C C C + =

C
t
= Funo custo Total
C
V
= Custo varivel
C
f
= custo fixo
Sendo:

( )
q P C
u v
. =

P
u
= Preo de custo por unidade.

Funo Lucro Lquido ou Lucro total
Chama-se funo lucro lquido ou total (e indica-se por L) a diferena entre a funo
receita e a funo custo total, isto :
L
t
= R
x
C
t




Exemplos

01) Numa certa cidade operam duas empresas de txis. A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00
e mais R$ 3,00 por quilmetro rodado enquanto que a empresa F cobra apenas por quilmetro rodado R$
4,00. Sendo q a quantidade de quilmetros rodados e R
x
, o preo pago pela corrida. Se voc precisar fazer
uma corrida de 8 km, qual das empresas deve optar para ter um menor custo? Se voc optou pela em E, e
pagou R$ 35,00 pela corrida, quantos quilmetros foi percorrido? Calcule quantos quilmetros teria
percorrido se tivesse pago o mesmo valor na empresa F?
02) Uma pequena indstria de rdios opera com um custo fixo mensal de R$ 3500,00, com um custo por
unidade de R$ 60,00 e preo de venda R$ 100,00.
a) Quantas unidades teria que vender para pagar as despesas?
b) Se fosse vendida 200 unidades, qual o lucro total?
c) Para a empresa ter um lucro total de R$ 6 000,00, quantas unidades devem ser vendidas?
03) Suponha que a tabela mostre o custo de produo de um bem para vrios nveis da quantidade
produzida. Determine a funo desse custo de produo.
q = quantidade produzida 5 11 16 20 25
R(x) = Funo Receita 30 54 74 90 110





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Problemas Propostos

01) Um motorista de txi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilmetro rodado (valor
varivel).
a) Determine a funo que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilmetros (funo receita).
b) Utilizando os conceitos de funo, determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de
18 quilmetros.
c) Se o valor cobrado pelo taxista for de R$ 21,00. Quantos quilmetros o taxi percorreu.

02) Um produto vendido por R$ 7,00 unidade. Determine:
a) A funo Receita.
b) O grfico correspondente para uma venda de 20 unidades do produto. Veja que atribuindo dois valores
arbitrrios a q = 0 e q = 20.
c) A receita de q = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Unidades vendidas.
d) Se f(x) = 7,00.q, quantas unidades do produto devem ser vendidas para que a Receita seja de R$
28.000,00?

03) O preo de venda de um livro de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada livro corresponde
a um valor fixo de R$ 2000,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa uma funo capaz de determinar o lucro
lquido (valor descontado das despesas) na venda de q livros, e o lucro obtido na venda de 500 livros.

04) O salrio de um vendedor composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte varivel
de 12% sobre o valor de suas vendas no ms. Caso ele consiga vender R$ 25 000,00, calcule o valor de
seu salrio. Para o vendedor ter um salrio mensal de R$ 5 000,00 no ms, quanto ele deve vender.
05) Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma
festa. Daniel, na mesma funo, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. Calcule o tempo
mximo de durao de uma festa, para que a contratao de Daniel no fique mais cara que a de Carlos.

06) Um grupo de estudantes, dedicado confeco de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de R$
600,00 e, em material, gasta R$ 25,00 por unidade produzida. Cada unidade ser vendida por R$ 175,00.
Determine:
a) Quantas unidades os estudantes tero de vender para obter o nivelamento;
b) Quantas unidades os estudantes tero de vender para obter um lucro de R$ 450,00.

07) Se o preo de venda de um certo produto R$ 70,00 e q representa a quantidade vendida, determina:
a) a funo receita total;
b) o grfico da funo receita total.

08) Em algumas cidades voc pode alugar um carro R$ 154,00 por dia mais um adicional de R$ 16,00 por
km . Determine a funo por um dia e esboce no grfico. Calcule o preo para se alugar por um dia e dirigi-
lo por 200 km.

09) Uma fbrica de bolsas tem um custo mensal de R$ 5000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e
vendida por R$ 45,00. Para que a fbrica tenha um lucro mensal de R$ 4000,00, ela dever fabricar e
vender mensalmente X bolsas. Qual o valor de X?
10) A funo receita da venda de um produto R
x
= 5,20q +10, sabendo que a funo custo total C
t
= 2q
+ 4. Calcule o lucro total se forem vendidas 200 unidades desse produto. Para se ter um lucro total de R$
1600,00, quantas unidades devem ser vendidas?
11) Suponha que a tabela mostre o custo de produo de um bem para vrios nveis da quantidade
produzida. Determine a funo.
q = quantidade produzida 10 12 15 17 20
f(x) = custo correspondente 150 180 225 255 300

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12) Um motorista de txi cobra R$ 8,45 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 1,25 por quilmetro
rodado (valor varivel).
a) Determine a funo que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilmetros (funo
receita).
b) Utilizando os conceitos de funo, determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um
percurso de 18 quilmetros.
c) Se o valor cobrado pelo taxista for de R$ 52,20. Quantos quilmetros o taxi percorreu.

13) O preo de venda de uma geladeira de R$ 1855,00 a unidade. Sabendo que o custo de
cada geladeira corresponde a um valor fixo de R$ 15000,00 mais R$ 1100,00 por unidade,
construa uma funo capaz de determinar o lucro lquido (valor descontado das despesas) na
venda de q geladeiras, e o lucro obtido na venda de 200 geladeiras.

14) O salrio de um vendedor composto de uma parte fixa no valor de R$ 672,00, mais uma
parte varivel de 8% sobre o valor de suas vendas no ms. Caso ele consiga vender R$
12000,00, Determine a funo e calcule o valor de seu salrio. Para o vendedor ter um salrio
mensal de R$ 3000,00 no ms, quanto ele deve vender?

15) Um primeiro mecnico cobra uma taxa fixa de R$ 200,00, mais R$ 40,00 por hora, para
consertar os veculos de uma empresa. Um segundo mecnico, na mesma funo, cobra uma
taxa fixa de R$ 150,00, mais R$ 50,00 por hora.
a) Se o primeiro mecnico for contratado e trabalhar 8 horas, quanto receber pelo servio?
b) Se o segundo mecnico for contratado e trabalhar 8 horas, quanto receber pelo servio?
c) Calcule o tempo mximo de horas trabalhadas, para que a contratao do primeiro mecnico
no fique mais cara que a do segundo mecnico.

16) Uma Associao de Mulheres, dedicadas confeco de produtos de artesanato, tem um
gasto (custo) fixo de R$ 850,00 e, em material, gasta R$ 30,00 por unidade produzida. Cada
unidade ser vendida por R$ 175,00. Determine:
a) Quantas unidades a associao tem de vender para obter o nivelamento;
b) Quantas unidades a associao tem de vender para obter um lucro de R$ 2000,00.


17) Suponha que a tabela mostre o custo de produo de um bem para vrios nveis da
quantidade produzida.
q = quantidade produzida 10 14 18
f(x) = custo correspondente 85 121 157

a) Determine a lei de formao da funo receita.
b) Se forem produzidas 20 unidades, qual ser o custo correspondente?
c) Se forem produzidas 85 unidades, qual ser o custo correspondente?




FUNES DE OFERTA E DEMANDA LINEAR

Oferta a quantidade de um produto ou servio disponvel para compra. Demanda, por sua
vez, a quantidade de produtos ou servios que os consumidores esto dispostos a comprar. Quando
a demanda maior do que a oferta, os preos dos produtos tendem a subir, j que os consumidores se
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dispem a pagar mais para obter um determinado item. Por outro lado, quando a oferta maior do que
a demanda, os preos tendem a cair.
Matematicamente, a relao entre a quantidade demandada e o preo de um bem ou
servio pode ser expressa pela chamada funo demanda ou equao da demanda: Q
d
= (P)
E a funo ou equao da oferta, matematicamente dada pela expresso: Q
0
= (P)
Em que:
Q
d
= quantidade demandada de determinado bem ou servio, num dado perodo de tempo.
Q
0
= quantidade ofertada de determinado bem ou servio, num dado perodo de tempo.
P = preo do bem ou servio.
A expresso Q
d
= (P) significa que a quantidade demandada Q
d
uma funo do preo P, isto
, depende do preo P. J a expresso Q
o
= (P) significa que a quantidade ofertada Q
o
uma
funo do preo P, isto , depende do preo P.

Grficos: O grfico ao lado representa o
comportamento da demanda em relao a um
produto genrico. Quando o preo est em um nvel
elevado, a demanda pelo produto menor, ou seja,
uma boa parte dos consumidores no est disposta
a adquirir o produto a este nvel de preo. No
grfico, ao preo de R$10,00 teremos somente
8.000 quilos vendidos. Se o preo est em um nvel
mais baixo, a demanda pelo produto ser maior,
pois mais consumidores estaro dispostos a adquirir
o produto quele nvel de preo. Nota-se no grfico
que ao preo de R$ 4,00 haver 15.000 quilos
vendidos.
No grfico ao lado podemos observar o
comportamento da oferta em relao a um produto
genrico. Com o nvel de preo elevado, os produtores
tendem a ofertar uma quantidade maior do produto. Se o
preo estiver em R$10,00 (veja grfico), a quantidade
colocada no mercado ser de 15.000 unidades. Mas, se o
nvel de preo cair para R$4,00, muitos produtores
deixaro de ofertar a mercadoria, e a este preo teremos
uma oferta de 8.000 unidades, ocasionando uma queda
na quantidade ofertada. Isto pode ocorrer por vrios
motivos. Se o preo estiver muito baixo, alguns produtores
tero o seu custo de produo acima deste preo e se
torna invivel continuar produzindo; outros preferiro
produzir outra mercadoria que esteja com preo de venda mais atrativo, etc.

Equilbrio de Mercado: O grfico abaixo representa o equilbrio de mercado. Nesta situao h
uma "harmonia" entre oferta e demanda. Teoricamente, neste ponto, o nvel de preo no est
nem muito alto nem muito baixo, satisfazendo tanto a consumidores quanto a produtores. Citando
novamente o exemplo da carne bovina, se o quilo do "costela bovina" estiver em R$10,00 o quilo,
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ser um bom negcio para o produtor, mas muito ruim
para o consumidor, o preo considerado muito alto.
Inversamente, se o preo cair para R$3,00 o quilo,
timo para o consumidor mas ruim para o produtor.
Agora se o preo ficar em R$ 6,00 o quilo,
teoricamente seria melhor para os dois lados.





Problemas Propostos

01) Suponha que as quantidades de um determinado bem que os consumidores esto dispostos
a comprar, para cada nvel de preos, so os seguintes:

a) Esboce o grfico do preo em relao quantidade.
b) Essa relao define uma oferta ou uma demanda? Justifique.





02) As leis da oferta e da demanda de um determinado produto so dadas por: Qo = 0,6p + 12 e
Qd= -0,8p + 40. Encontre o ponto de equilbrio (P.E) entre as leis de oferta e demanda.

03) Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funes de oferta diria e
demanda diria so: p = 20 + 5q e p = 110 4q, respectivamente. Determine:
a)o preo para que a quantidade ofertada seja igual a 50;
b) a quantidade vendida demanda, quando o preo R$ 10,00;
c)o ponto de equilbrio do mercado;
d)os grficos das funes de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos;
e)interpreta o resultado obtido em (c).

04) Considere agora que, em virtude de um aumento do rendimento, as quantidades procuradas
variam do seguinte modo:

a) Esboce o grfico do preo em relao quantidade.
b) Essa relao define uma oferta ou uma demanda? Justifique.





05) Considere os seguintes valores relativos oferta e procura do bem A:

a) Qual o quadro relativo oferta? Justifique esboando os grficos.

Preo -p Quantidade - q
10 650
15 600
25 450
35 350
Preo -p Quantidade q
2 10
4 20
6 30
8 40
10

06) Determine o preo de equilbrio de mercado nas seguintes situaes:
a) oferta: p =10 + q, demanda: p = 20 - q
b) oferta: p = 3q + 20, demanda: p = 50 - q

07) Podemos dizer que o preo de equilbrio de um produto corresponde ao valor em que a
procura por parte dos consumidores se iguala ao que oferecido por parte dos fornecedores, ou
seja, quando a demanda igual oferta.
Considerando as funes demanda e oferta respectivamente: p = -q + 4 e p = 2q+1
a) Calcule algebricamente o ponto de equilbrio entre oferta e demanda.
b) Represente em um mesmo sistema de eixos, os grficos da oferta e da demanda e indique o
P.E.
08) A curva de demanda de um artigo
4
10
y
x = . Assuma que y representa o preo e x a
quantidade.
a) Ache a quantidade demandada se o preo de R$ 25,00
b) Ache o preo se a quantidade demandada de 7 unidades

09) As funes de oferta e demanda de um produto so respectivamente:
q = 2p +80 e q= -4p + 200.
a) Determine a quantidade e o preo de equilbrio.
b) Represente graficamente as funes oferta e demanda e o ponto de equilbrio.

10) Quando o preo de um certo produto for de p reais, um lojista espera oferecer Qo = 4p + 300
produtos, enquanto a demanda local de Qd = 2p + 480.
a) Para que preo de mercado a oferta ser igual a demanda local?
b) Quantos produtos sero vendidos por este preo?
c) Construa os dois grficos no mesmo par de eixos.



Anlise Econmica

O objetivo de traarmos a oferta e a demanda no mesmo grfico visualizar o
comportamento conjunto de ambas e, desse modo, compar-las a partir do P.E. onde oferta e
demanda so iguais. Veja o grfico abaixo, onde temos p = f(q).













*Excesso de demanda: quantidade demandada em excesso
O excesso de demanda ocorre quando os consumidores esto dispostos a comprar mais do que
os produtores esto dispostos a vender a um determinado preo. Situao em que o preo de um
bem est abaixo do preo de equilbrio.



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*Excesso de oferta: quantidade ofertada em excesso
O excesso de oferta ocorre quando os produtores esto dispostos a vender mais do que os
consumidores esto dispostos a comprar a um determinado preo. Ocorre quando o preo est
acima do preo de equilbrio.


Note inicialmente que:
1) q
1
o intercepto da oferta no eixo q, portanto para calcula-lo fazemos p = 0 na oferta.
2) q
2
o intercepto da demanda no eixo q, ento para calcul-lo fazemos p =0 na demanda.
3)

p
1
o intercepto da demanda no eixo p, portanto para calcula-lo fazemos q = 0 na demanda.
4) O grfico tem significado econmico em [q
1
, q
2
] no eixo q e em [0, p
1
] no eixo p, pois neles
temos p0 e q0.
Nossa anlise econmica pode ser feita pelas quantidades, isto , no intervalo [q
1
, q
2
] no
eixo vertical, ou pelos preos no intervalo [0, p
1
] no eixo horizontal, observando que se tivssemos
q = f(p) a anlise seria a mesma.

Exemplo: Dadas as funes oferta e demanda respectivamente q = p + 8 e q = -2p +12,
determine os intervalos nos quais o grfico tem sentido econmico.


Anlise a partir do ponto de equilbrio
- Anlise em [q
1
, q
e
[ (Antes da q
e
): Tomemos uma quantidade genrica qe[q
1
, q
e
[, o preo
demandado ser maior que o ofertado, portanto os consumidores esto dispostos a pagar por
esse produto um preo maior que o desejado pelos produtores, tal situao provocar um excesso
de demanda: q
1
q q
e
p
d
> p
0
Excesso de demanda.
- Anlise em ]q
e
, q
2
] (Depois da q
e
): Repetindo o raciocnio anterior, tomemos q e]q
e
, q
2
], p
preo ofertado ser superior ao demandado. Em termos econmicos os produtores esto exigindo
pelos seus produtos um preo superior quele que os consumidores esto dispostos a pagar,
portanto temos um excesso de oferta: q
e
q q
2
p
o
> p
d
Excesso de oferta.
- Anlise em [0, p
e
[ (Antes do p
e
): preo antes do ponto de equilbrio, a quantidade
demandada maior que a quantidade ofertada. 0 p p
e
q
d
> q
o
Excesso de demanda.
- Anlise em ] p
e,
p
1
] (Depois do p
e
): preo acima do equilbrio, a quantidade ofertada
maior que a quantidade demandada. p
e
p p
1
q
o
> q
d
Excesso de oferta.
Resumindo:
Anlise quantidade
q
1
q q
e
p
d
> p
0
Excesso de demanda.
q = q
e
p
d
= p
0
Equilbrio

q
e
q q
2
p
o
> p
d
Excesso de oferta.

Anlise preo
0 p p
e
q
d
> q
0
Excesso de demanda.
p = p
e
q
d
= q
0
Equilbrio

p
e
p p
1
q
o
> q
d
Excesso de oferta.

Para melhor compreenso:
Exemplo: Quantidade demandada e ofertada em relao variao do preo da pizza.

12

Exemplo: Para as funes q = -2p+20 e q = p+2 pede-se:
a) P.E. grfica.
b) Anlise economicamente pelo preo.



Problemas Propostos


01) A demanda e a oferta de um produto so dadas por: p = 20 + 5q e p = 110 4q, determinar:
a) O ponto de equilbrio de p e q.
b) Os intervalos nos quais o grfico tem sentido econmico.
c) Anlise economicamente o problema pela quantidade.

02) Os preos e as quantidades de certo produto so dados pelas funes p = -1,5q+50 e
p=3q+5. Encontre P.E e analise economicamente o problema pelo preo e quantidade.

03) Um produto tem sua oferta e demanda dada pelas funes: p = 2 + 5q e p=14-3q, faa a
anlise econmica pela quantidade.

04) Para as funes q = 1+2q e q = 7-p pede-se:
a) P.E. grfica.
b) Anlise economicamente as funes pelo preo e quantidade.

05) Analise economicamente as seguintes funes:
a) oferta: p =10 + q, demanda: p = 20 - q
b) oferta: p = 3q + 20, demanda: p = 50 - q

06) Dado: q = 22-3p e q = 10-1p, pede-se:
a) Determinar o preo de equilbrio e a respectiva quantidade.
b) Se o preo for R$ 4,00, existe excesso de oferta ou de demanda (responda sem esboar o
grfico)?

07) Dadas as funes: q = 68 10p e q = 4p - 16, qual o preo de equilbrio e a quantidade de
equilbrio de mercado? Faa a anlise econmica.

08) Quando o preo de um bem R$ 35,00; 25 unidades so oferecidas e, quando o preo R$
45,00; 40 unidades so oferecidas. Achar a equao de oferta, supondo a linear para q unidades
do bem a um preo p.
Obs.: adote x sendo q e y ou f(x) sendo p.

09) Quando o preo de R$ 60,00; 10 canetas so vendidas, porm, quando o preo
de R$ 50,00 , so vendidas 16 canetas. Achar a equao de demanda linear para a
quantidade q de canetas a um preo p.
Obs.: adote x sendo q e y ou f(x) sendo p.

10) Com base nas equaes de oferta e demanda dos exemplos 8 e 9, calcule o preo e
a quantidade de equilbrio, mostrando-o graficamente e fazendo a anlise econmica.






13



FUNES DO 2 GRAU

Uma funo dita do 2 grau quando do tipo f(x) = ax
2
+ bx + c , com a 0.
Exemplos: f(x) = x
2
- 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x
2
( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Obs.: Grfico da funo do 2 grau y = ax
2
+ bx + c : sempre uma parbola de eixo vertical.



Propriedades do grfico de y = ax
2
+ bx + c

1) se a > 0 a parbola tem um ponto de mnimo .
2) se a < 0 a parbola tem um ponto de mximo
3) o vrtice da parbola o ponto V(x
v
, y
v
) onde:
x
v
= - b/2a
y
v
= - /4a , >2
- 4ac
4) a parbola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa x' e x'' , que so
as razes da equao ax
2
+ bx + c = 0 .

O sinal do coeficiente do termo dominante

O sinal do coeficiente do termo dominante desta funo polinomial indica a concavidade da
parbola ("boca aberta"). Se a>0 ento a concavidade estar voltada para cima e se a<0
estar voltada para baixo.
Exemplo: A parbola, que o grfico da funo f(x) = x + 2x - 3, pode ser vista no desenho.

O modo de construir esta parbola atribuir valores para x e obter os respectivos valores
para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a
curva dever passar:


Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa parbola estar voltada para cima.
14


Calcular os zeros da funo

Os zeros da funo quadrtica que correspondem aos valores de xeIR para os quais a
funo se anula, graficamente corresponde aos pontos em que a parbola intercepta o eixo das
abscissas ou eixo Ox, cujas razes podem ser calculadas pela frmula de Bskara dado por:




Problemas Propostos

01) Dada a funo quadrtica f(x) = 3x - 4x + 1, determine:
a) f(1) c) f( 2 ) e) f(-3)
b) f(0) d) f(-2) f) x de modo que f(x) = -1

02) Calcule as razes, caso existam, das seguintes funes quadrticas abaixo.
a) f(x) = 2x
2
- x -3
b) f(x) = x
2
7x + 12,
c) f(x) = x
2
2x + 1
d) f(x) = 2x
2
3x + 5
e) f(x) = 2x
2
5x

03) O esboo da grfico da funo quadrtica f(x) = 2x - 8x + 6 :

04) Numa sapataria, o custo dirio da produo de x sapatos dado por:
, onde P a produo de sapatos e x o valor em reais.

O dono da sapataria quer saber qual o custo mnimo da produo diria?


05) Quais so os valores do x vrtice e y vrtice da equao f(x) = 10x + 20x + 40.


06) Sabe-se que o grfico da funo quadrtica f(x) = x
2
+ ax + 3 passa por (1, 2). Ento "a"
igual a:
a) 2
b) 1
c) - 3
d) -2
e) -2

07) Encontre os valores de x e de y para os quais as funes abaixo atingem mximo e/ou
mnimo.
a)
2
( ) 4 3 f x x x = +
a
ac b
b x
2
4
=
15

b)
2
( ) 3 2 f x x x = +
c)
2
( ) 6 f x x x = +
d)
2
( ) 8 1 f x x x = + +
e)
2
( ) 6 9 f x x x = +

08) Considere a funo f(x) = 3x
2
1. Calcule f(2 5 ).



O PREO PODE SER MODIFICADO COM CONSEQUENTE VARIAO
DE DEMANDA DE MERCADO FUNO RECEITA DO 2 GRAU.

Vimos anteriormente como obter a funo receita do 1 grau considerando o preo fixo.
Daqui por diante veremos tambm alguns exemplos de como obter a funo receita quadrtica
pela venda de x unidades do produto, quando o preo pode ser modificado, com consequente
variao de demanda do mercado, pois quanto menor o preo, maior ser a demanda ou procura
desse produto, o qual foi mais especificamente mostrado no estudo de funo demanda e funo
oferta.


Problemas Propostos

01) Numa empresa o preo de venda do seu produto dado pela funo
p(x) = 20x x. Determine:
a) A funo receita
b) O grfico da funo receita
c) Qual o intervalo de produo que proporciona uma receita positiva
d) Qual o menor nvel de produo para que a receita seja de R$ 75,00

02) Uma indstria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender tudo o que
produzir a um preo de R$ 100,00 a unidade. Se x unidades so produzidas a cada dia, o custo
total, em reais, da produo diria igual a x + 20x + 700. Portanto, para que a indstria tenha
lucro dirio de R$ 900,00, qual deve ser o nmero de unidades produzidas e vendidas por dia?


03) Um fabricante vende mensalmente c unidades de um determinado artigo por V(x) = x x,
sendo o custo da produo dado por C(x) = 2x 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas
mensalmente, de modo que se obtenha o lucro mximo?

04) Uma indstria de refrigerantes tem sua produo diria P, em garrafas, variando com o
nmero de operadores em servio n, de acordo com a funo P(n) = n
2
+ 50n +20 000. Calcule:
a) a produo se o nmero de operadores for 40.
b) o nmero de operadores necessrio para produzir 25400 garrafas de refrigerantes.

05) Considerando-se a funo real f(x) = 2x
2
+ 4x + 12, o valor mximo desta funo :
a) 1 b) 3
c) 4 d) 12
e) 14

06) Supondo que o custo total para fabricar x unidades de um certo produto seja dado por:
C
t
(x) = x
2
+ 8, determina:
a) o custo fixo;
b) o preo varivel;
16

c) o custo de fabricao de quatro unidades;
d) o custo de fabricao da quarta unidade;
e) a funo do custo mdio;
f) o custo mdio de produo das quatro primeiras unidades.

07) Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x x,
sendo o custo da produo dado por C(x) = 2x 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas
mensalmente, de modo que se obtenha o lucro mximo?

08) O vrtice da parbola y = - x
2
+ 4 x + 5 :
a) V = ( 2, 9) b) V = ( 5, -1)
c) V = ( -1, -5) d) V = ( 0, 0)
e) N.D.A

Considere a funo f(x) = x
2
4x + 3 e responda as questes 09, 10 e 11:

09) Os zeros ou razes de um funo do 2 grau so os valores de x que anulam a funo, isto :
f(x) = 0. Sendo assim, calculando os zeros da funo acima encontraremos:
a) 1 e -3 b) 1 e -3
c) 1 e 3 d) 1 e 3
e) N.D.A

10) O vrtice da parbola o ponto de mximo ou mnimo

da funo. O vrtice da parbola descrita pela funo acima est representada no item:
a) V(2, 1) b) V(2, -1)
c) V(-2, 1) d) V(-2, -1)
e) N.D.A

11) O grfico da funo est representado no item:


12) O lucro dirio L a receita gerada R menos o custo de produo C. Suponha que, em certa
fbrica, a receita gerada e o custo de produo sejam dados, em reais, pelas funes R(x) = 60x
x
2
e C(x) = 10(x+40), sendo x o nmero de itens produzidos no dia. Sabendo que a fbrica tem
capacidade de produzir at 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas:
I. O nmero mnimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fbrica no tenha
prejuzo, 10.
II. A funo lucro L(x) crescente no intervalo [0, 25].
III. Para que a fbrica tenha o maior lucro possvel, deve produzir 30 itens por dia.
IV. Se a fbrica produzir 50 itens num nico dia, ter prejuzo.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas II e IV so verdadeiras.
17

b) Somente as afirmativas I, III e IV so verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I, II e IV so verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras.
e) Somente as afirmativas II e III so verdadeiras.

13) Uma empresa que elabora material para panfletagem (santinhos) tem um lucro, em reais, que
dado pela lei L(x) = - x
2
+ 10x - 16, onde x a quantidade vendida em milhares de unidades.
Assim, a quantidade em milhares de unidades que dever vender, para que tenha lucro mximo,
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

14) Uma pesquisa de mercado constatou que a funo quadrtica 56
2
+ = P P D descreve a
demanda de mercado D, de um determinado produto, como funo de seu preo P , em reais.
a) Qual o valor da demanda de mercado para 00 , 6 = P reais?
b) Faa a representao grfica desta demanda em funo do preo do produto.

15) O custo para se produzir x unidades de um produto dado por C = 2x
2
- 100x + 5000. O valor
do custo mnimo :
a) 3250
b) 3750
c) 4000
d) 4500
e) 4950


Funo Exponencial

Toda relao de dependncia, em que uma incgnita depende do valor da outra,
denominada funo. A funo denominada como exponencial possui essa relao de
dependncia e sua principal caracterstica que a parte varivel representada por x se encontra
no expoente. Observe:

y = 2
x

y = 3
x + 4
y = 0,5
x
y = 4
x

A lei de formao de uma funo exponencial indica que a base elevada ao expoente x
precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notao:

f: RR tal que y = a
x
, sendo que a > 0 e a 1.

Uma funo pode ser representada atravs de um grfico, e no caso da exponencial,
temos duas situaes: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os grficos so constitudos respeitando
as condies propostas:

18

Uma funo exponencial utilizada na representao de situaes em que a taxa de
variao considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros
compostos, no decaimento radioativo de substncias qumicas, desenvolvimento de bactrias e
micro-organismos, crescimento populacional entre outras situaes. As funes exponenciais
devem ser resolvidas utilizando, se necessrio, as regras envolvendo potenciao.
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funes exponenciais.

Exemplo 1: (Unit-SE) Uma determinada mquina industrial se deprecia de tal forma que seu
valor, t anos aps a sua compra, dado por v(t) =v
0
. 2
0,2t
, em que v
0
uma constante real. Se,
aps 10 anos, a mquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, ento:

Exemplo 2: (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um pas seja de 500
bilhes de dlares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa: P(x) = P0 * (1 + i)
t
, qual ser
o PIB do pas em 2023, dado em bilhes de dlares? Use 1,03
20
= 1,80.



Problemas Propostos


O texto a seguir, refere-se s questes 1, 2 e 3
Suponha que, com base em dados obtidos em empresas de mesmo porte, o Diretor de
Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM), depois de um estudo
estatstico, tenha chegado concluso de que aps t anos (t 0), a empresa ter seu
nmero de funcionrios dado pela expresso ( ) ( )
t
t N
5 . 0
01 , 0 . 10000 =


01) Segundo esse estudo, o nmero inicial de funcionrios empregados pela CNM foi:
a) 10.000 b) 200 c) 10 d) 500 e) 100

02) O nmero de funcionrios que estaro empregados na CNM aps dois anos, ser de:
a) 5,3 b) 5,2 c) 2 d) 5,1 e) 25,0

03) Depois de quanto tempo a CNM empregar 1.000 funcionrios?
a) 6 meses b) 1 ano c) 3 anos
d) 1 ano e 6 meses e) 2 anos e 6 meses

04) A produo de uma indstria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produzia
mil unidades de seu principal produto. A partir da, a produo anual passou a seguir a
lei y = .1 000 9,0
x
. Quantas unidades foram produzidas no segundo ano desse perodo
recessivo?

05) A sentena P(n) = 40 40. 2
-0,34n
permite calcular o nmero de artigos que um operrio recm-
contratado capaz de produzir diariamente, aps n dias de treinamento. Para que esse operrio
produza pelo menos 30 artigos por dia, o menor valor inteiro de n :
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
e) N.D.A

06) Uma indstria de pequeno porte tem os custos operacionais dados pela funo
C(p) = 9 000 6000 . e-
0,02p
, em que p representa o nmero de peas produzidas. O
custo para uma produo de 200 unidades est prximo a: Dado: e
-4
0,018
a) R$ 8.890, 00 b) R$ 8.090, 00
c) R$ 7.890, 00 d) R$ 7.090, 00
e) N.D.A
19


11) Num depsito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo tempo
dado pela frmula C =D * (1 +i)
t
, onde C representa o capital acumulado, D o valor do depsito, i
a taxa de juros ao ms e t o tempo de meses em que o dinheiro est aplicado. Nesse sistema, ao
final de cada ms os juros capitalizados so incorporados ao depsito.
a) Para um depsito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao ms, qual o capital acumulado ao fim de
6 meses? E de 1 ano?
b) Para um depsito de R$ 5 000,00, a uma taxa de 5% ao ms, qual o capital acumulado durante
4 meses?
c) Para um depsito de R$ 2 500,00, a uma taxa de juros de 10% ao ano, qual ser o capital
acumulado durante 10 anos?

12) O custo mensal C, em reais, de um motor eltrico aumenta medida que aumenta o nmero
mensal de horas t em que utilizado, conforme C = 40.000 - 30.000.e
-0,0002t
. Qual o valor do
custo mensal se esse motor eltrico utilizado cerca de 150 horas por ms? Dado: e
-0, 03
0, 97
a) R$ 10.000,00
b) R$ 11.000,00
c) R$ 12.000,00
d) R$ 13.000,00
e) R$ 14.000,00




Funo Logartmica

Toda funo definida pela lei de formao f(x) = log
a
x, com a 1 e a > 0 denominada
funo logartmica de base a.
Logaritmo de um nmero real N, real e positivo, numa base a, a 1 e positivo, o
expoente x, ao qual se eleva a base a para obter-se o logaritmando N, ou seja:

Note que o logaritmo nada mais que o nmero que serve de expoente. Calcular o logaritmo de um
nmero consiste em descobrir qual este nmero que servir de expoente base para obtermos
o nmero dado.

Dica! A funo logartmica a inversa da exponencial, logo podemos sempre "migrar" de uma
estrutura para outra quando for conveniente; por exemplo:


Grfico de uma funo logartmica

Para a construo do grfico da funo logartmica devemos estar atentos a duas situaes:
quando a > 1 e 0 < a < 1

Para a > 1, temos o grfico da seguinte forma: Para 0 < a < 1, temos o grfico da seguinte forma:
Funo crescente Funo decrescente








20

Exemplo Resolvido 1: Uma pessoa aplicou a importncia de R$ 500,00 numa instituio
bancria que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo aps a
aplicao o montante ser de R$ 3 500,00?
Resoluo: Nos casos envolvendo a determinao do tempo e juros compostos, a utilizao das
tcnicas de logaritmos imprescindvel. Frmula para o clculo dos juros compostos:
M = C . (1 + i)
t
. De acordo com a situao problema, temos:
M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?
M = C . (1 + i)
t

3500 = 500 . (1 + 0,035)
t

3500/500 = 1,035
t

1,035
t
= 7
Aplicando logaritmo
log 1,035
t
= log 7
t . log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora cientfica)
t . 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7
O montante de R$ 3 500,00 ser originado aps 56 meses de aplicao.

Exemplo Resolvido 2: Pedro Ivo aplicou R$ 5.000,00 em um tipo de aplicao que rendeu juros
a uma taxa de 8% ao ms sob regime de capitalizao composta. Se o montante foi de
R$10.794,62, quanto tempo durou essa aplicao?




Problemas Propostos

01) Um capital de R$ 2.500,00 aplicado a uma taxa mensal de 5% ao ms por um determinado
perodo. Se os juros recebidos foram de R$ 538,77 por quanto tempo esse capital permaneceu
empregado? Considere o regime de capitalizao composta.
21


02) Dona Berenice quer aplicar R$ 80.000,00. Conseguiu encontrar um banco onde a taxa de
juros da aplicao de 0,91% a.m.. Use log2 = 0,3010 e log1,0091 = 0,0039 .
a) Por quanto tempo o dinheiro deve ficar aplicado para que ela obtenha o dobro deste capital?
b) Se ela aplicasse outro valor, o perodo de tempo para ela conseguir o dobro do capital, seria
alterado?


03) Marcelo financiou R$10000,00 em uma financeira por 3 anos, ao final do financiamento pagou
um montante de R$13536,00. Qual a taxa aplicada no financiamento?

04) Paulo aplicou R$ 800,00 num investimento que rende 3% a.m., a juros compostos. Quanto
tempo aps a aplicao o saldo ser de R$ 1.200,00?

05) A equao de oferta de um bem dada por p = 120 + log2 (x + 3), onde x a quantidade
ofertada e p o preo. Pede-se:
a) o preo quando so ofertadas 13 unidades;
b) a quantidade ofertada quando o preo unitrio de R$ 125,00.



Funo Racional

Estudaremos a relao entre duas grandezas que se relacionam na forma de produto ou
de quociente. Analisaremos o comportamento de uma grandeza quando a outra aumentar cada
vez mais. Tambm ser estudado o caso onde uma das grandezas diminui. Inicialmente ser
apresentado algumas situaes exemplificadas a seguir:

Exemplo: A produo de uma firma dada pela expresso P=2xy, onde x e y so as quantidades
de dois insumos. Fixando o nvel de produo em P = 24, pede-se:
a) A obteno de y em relao x;
b) O grfico de y = f(x);
c) A citao de alguns valores inteiros do par (x,y);
d) Como se comportam as grandezas x e y nesse nvel de produo;
e) O Domnio da funo y = f(x).


Problema Proposto

01) Uma indstria opera com a produo dada pela expresso P = 4xy, onde x e y so as
quantidades de dois produtos. Fixando o nvel de produo em P = 60, pede-se:
f) A obteno de y em relao x;
g) O grfico de y = f(x);
h) A citao de alguns valores inteiros do par (x,y);
i) Como se comportam as grandezas x e y nesse nvel de produo;
j) O Domnio da funo y = f(x).