Geometria Euclidiana Plana

Almir Rogrio Silva Santos Humberto Henrique de Barros Viglioni

So Cristvo/SE 2011

Geometria Euclidiana Plana

Elaborao de Contedo Almir Rogrio Silva Santos Humberto Henrique de Barros Viglioni

Projeto Grco e Capa Hermeson Alves de Menezes Diagramao Almir Rogrio Silva Santos Humberto Henrique de Barros Viglioni

Copyright 2011, Universidade Federal de Sergipe / CESAD. Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao por escrito da UFS.

FICHA CATALOGRFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

S237g Santos, Almir Rogrio Silva. Geometria euclidiana plana / Almir Rogrio Silva Santos, Humberto Henrique de Barros Viglioni -- So Cristvo: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2011. 1. Geometria euclidiana. I. Viglioni, Humberto Henrique de Barros. II.Ttulo. CDU 514.12

Presidente da Repblica Dilma Vana Rousseff Ministro da Educao Fernando Haddad Secretrio de Educao a Distncia Carlos Eduardo Bielschowsky Reitor Josu Modesto dos Passos Subrinho Vice-Reitor Angelo Roberto Antoniolli Diretoria Pedaggica Clotildes Farias de Sousa (Diretora) Diretoria Administrativa e Financeira Edlzio Alves Costa Jnior (Diretor) Sylvia Helena de Almeida Soares Valter Siqueira Alves Coordenao de Cursos Djalma Andrade (Coordenadora) Ncleo de Formao Continuada Rosemeire Marcedo Costa (Coordenadora) Ncleo de Avaliao Hrica dos Santos Matos (Coordenadora)

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Coordenadores de Curso Denis Menezes (Letras Portugus) Eduardo Farias (Administrao) Haroldo Dorea (Qumica) Hassan Sherafat (Matemtica) Hlio Mario Arajo (Geograa) Lourival Santana (Histria) Marcelo Macedo (Fsica) Silmara Pantaleo (Cincias Biolgicas)

Coordenadores de Tutoria Edvan dos Santos Sousa (Fsica) Raquel Rosrio Matos (Matemtica) Ayslan Jorge Santos da Araujo (Administrao) Carolina Nunes Goe (Histria) Rafael de Jesus Santana (Qumica) Gleise Campos Pinto (Geograa) Trcia C. P. de Santana (Cincias Biolgicas) Vanessa Santos Ges (Letras Portugus) Lvia Carvalho Santos (Presencial)

NCLEO DE MATERIAL DIDTICO

Fbio Alves dos Santos (Coordenador) Marcio Roberto de Oliveira Mendona Neverton Correia da Silva Nycolas Menezes Melo

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Cidade Universitria Prof. Jos Alosio de Campos Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa Elze CEP 49100-000 - So Cristvo - SE Fone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474

Sumrio
Captulo 1: Geometria Euclidiana 1.1 1.2 1.3
Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Um Pouco de Histria . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14 14 17 19 20 22 23 29 29 29 31 33 34 34 38 43 43 43 46 47 48 48

1.2.1 1.3.1 1.3.2 1.4

O Quinto Postulado de Euclides . . . . . . . Axiomas de Incidncia . . . . . . . . . . . . Modelos para a geometria de incidncia . . .

Geometria de Incidncia . . . . . . . . . . . . . . .

Axiomas de ordem

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . Captulo 2: Axiomas de Medio 2.1 2.2 2.3
Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axiomas de Medio de Segmentos . . . . . . . . . Axiomas de Medio de ngulos . . . . . . . . . . .

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . Captulo 3: Congruncia 3.1 3.2
Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Congruncia de Segmentos

. . . . . . . . . . . . .

3.3

Congruncia de Tringulos . . . . . . . . . . . . . .

49 57 57 57 58

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . Captulo 4: Geometria sem o Postulado das Paralelas 59 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema do ngulo Interior Alternado . . . . . . . . Teorema do ngulo Exterior

60 60 64 67 67 72 75 80 80 80 82 85 86 86 88 95

. . . . . . . . . . . . .

Congruncia de Tringulos Retngulos . . . . . . . . Desigualdades no tringulo . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Saccheri-Legendre

. . . . . . . . . . .

Soma dos ngulos de um Tringulo . . . . . . . . .

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . Captulo 5: O Axioma das Paralelas 5.1 5.2 5.3 5.4
Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axioma das Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . Tringulos e Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . Semelhana de Tringulos . . . . . . . . . . . . . .

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 105 Captulo 6: O Crculo 6.1 6.2 6.3
O Crculo

107

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

ngulos Inscritos em um Crculo . . . . . . . . . . . 112

6.4 6.5

Polgonos Inscritos em um Crculo . . . . . . . . . . 117 Como calcular o comprimento de um crculo? . . . . 124

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 131 Captulo 7: Funes Trigonomtricas 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 133

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . 134 Frmulas de Reduo . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 150 Captulo 8: rea 8.1 8.2 8.3 151

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 rea do Crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 163 Captulo 9: Teorema de Ceva 9.1 9.2 9.3 165

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 O Teorema de Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Pontos Notveis de um Tringulo . . . . . . . . . . . 170

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 175 Captulo 10: Construes Elementares 177

10.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 10.2 Construes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.2.1 Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.2.2 Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 10.2.3 Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 10.2.4 Bissetriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.2.5 O arco capaz . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.2.6 Diviso de um segmento em partes iguais . . 187 10.2.7 Tangentes a um crculo . . . . . . . . . . . . 188 10.3 Problemas Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . 189 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 201 Captulo 11: Expresses Algbricas 203

11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.2 A 4a proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.3 Expresses com razes quadradas . . . . . . . . . . 207 11.4 O segmento ureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.5 Expresses construtveis . . . . . . . . . . . . . . . 216 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 220 Captulo 12: Construes Possveis 221

12.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 12.2 Diviso do crculo em n parte iguais . . . . . . . . . 222 12.3 Construes Possveis Utilizando Rgua e Compasso 225 12.3.1 O Princpio da Soluo . . . . . . . . . . . . 229

12.3.2 Um critrio de no-construtibilidade . . . . . 231 12.3.3 O critrio geral de no-construtibilidade . . . 232 12.3.4 Polgonos regulares construtveis . . . . . . . 234 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 237

AULA

Geometria Euclidiana
META Introduzir o mtodo axiomtico na geometria. OBJETIVOS Identicar e entender os axiomas de Euclides para a Geometria Plana. Entender do porqu modicar os Axiomas de Euclides para o estudo axiomatizado da Geometria Euclidiana Plana. Introduzir os Axiomas de Incidncia e de ordem. PR-REQUISITOS Fundamentos de Matemtica

Geometria Euclidiana

1.1

Introduo

Seja bem vindo caro aluno, daremos incio aqui ao estudo axiomatizado daquela geometria estudada no ensino fundamental e mdio, a Geometria Euclideana Plana, porm com um enfoque diferente. Faremos uso do mtodo utilizado por Euclides em seu livro Os Elementos, o mtodo axiomtico. A palavra geometria vem do grego geometrein (geo, terra, e metrein, medida); originalmente geometria era a cincia de medio da terra. O historiador Herodotus (sculo 5 a.C.), credita ao povo egpcio pelo incio do estudo da geometria, porm outras civilizaes antigas (babilnios, hindu e chineses) tambm possuiam muito conhecimento da geometria. Os Elementos de Euclides um tratado matemtico e geomtrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemtico grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C. Os 4 primeiros livros, que hoje pode ser pensando como captulos, tratam da Geometria Plana conhecida da poca, enquanto os demais tratam da teoria dos nmeros, dos incomensurveis e da geometria espacial. Esta aula est segmentada em duas partes. Na primeira parte vamos apresentar para voc, caro aluno, os postulados de Euclides e veremos porqu se faz necessrio introduzir outros postulados a m de que se obtenha uma geometria slida, sem lacunas nos resultados.

1.2

Um Pouco de Histria

No livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo da geometria plana, hoje conhecida como Geometria Euclidiana Plana em sua homenagem. Inicialmente ele dene os objetos geomtricos cujas propriedades deseja-se estudar. So 23 denies, entre as quais encontramos as denies de ponto, reta, crculo, tringulo, retas paralelas, etc. Em seguida ele enuncia 5 noes comuns, que so armaes admitidas como verdades bvias. So elas:

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Geometria Euclidiana Plana 1 - Coisas iguais a uma mesma coisa so tambm iguais. 2 - Se iguais so adicionados a iguais, os totais obtidos so iguais 3 - Se iguais so subtrados de iguais, os totais obtidos so iguais 4 - Coisas que coincidem uma com a outra so iguais 5 - O todo maior do que qualquer uma de suas partes O que Euclides faz construir axiomaticamente a geometria plana, atravs do mtodo axiomtico. Mas o que o mtodo axiomtico? Se eu desejo convenc-lo que uma armao A1 verdadeira, eu posso mostrar como esta armao segue logicamente de alguma outra armao A2 , a qual voc acredita ser verdadeira. No entanto, se voc no acredita em A2 , eu terei que repetir o processo utilizando uma outra armao A3 . Eu devo repetir este processo vrias vezes at atingir alguma armao que voc acredite ser verdadeira, um que eu no precise justicar. Esta armao tem o papel de um axioma (ou postulado). Caso essa armao no exista, o processo no ter m, resultando numa sequncia sucessiva de demonstraes. Assim, existem dois requisitos que devem ser cumpridos para que uma prova esteja correta: Requisito 1: Aceitar como verdadeiras certas armaes chamadas axiomas ou postulados, sem a necessidade de prova. Requisito 2: Saber como e quando uma armao segue logicamente de outra. O trabalho de Euclides destaca-se pelo fato de que com apenas 5 postulados ele foi capaz de deduzir 465 proposies, muitas complicadas e no intuitivas. A seguir apresentamos os 5 postulados de Euclides. Postulado 1. Pode-se traar uma (nica) reta ligando quaisquer dois pontos.

AULA

15

Geometria Euclidiana Postulado 2. Pode-se continuar (de uma nica maneira) qualquer reta nita continuamente em uma reta. Postulado 3. Pode-se traar um crculo com qualquer centro e com qualquer raio. Postulado 4. Todos os ngulos retos so iguais. Algumas observaes antes do Postulado 5 merecem ateno. Com apenas estes 4 postulados Euclides provou 28 proposies Nos Postulados 1 e 2 os termos entre parnteses no foram empregados por Euclides; porm, pela forma como ele os aplicam, deduz-se que estes termos foram implicitamente assumidos. Euclides dene ngulos sem falar em medida e ngulo reto como um ngulo que igual ao seu suplementar. Da, a necessidade do Postulado 4. A primeira proposio do Livro I segue abaixo: Proposio 1. Existe um tringulo equiltero com um lado igual a um segmento de reta dado. Demonstrao Passo 1: Pelo Postulado 3, podemos traar um crculo com centro em uma extremidade do segmento de reta e raio igual a este segmento. Passo 2: Como no passo 1, podemos traar um outro crculo com centro na outra extremidade e mesmo raio. Passo 3: Tome um dos pontos de interseo dos dois crculos como o terceiro vrtice do tringulo procurado.

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Geometria Euclidiana Plana

AULA

Figura 1.1: Um tringulo equiltero.

Existe uma falha nesta demonstrao. Se queremos construir a geometria a partir dos axiomas, precisamos justicar toda armao a partir deles. Note que justicamos os passos 1 e 2 utilizando o Postulado 3. Porm, no existe nenhum postulado para sustentar a veracidade do passo 3, ou seja, nenhum dos postulados garante que o ponto de interseo entre os dois crculos existe. De fato, em muitas passagens dos Elementos Euclides faz uso de armaes que no esto explcitas. Apesar disso, Euclides foi audacioso em escrever os Elementos, um belssimo trabalho que de to pouco deduziu-se centenas de armaes.

1.2.1

O Quinto Postulado de Euclides

Analisemos a proposio 28 do Livro I. Proposio 28. Sejam duas retas m e n cortadas por uma terceira reta r. Se a soma dos ngulos formados (ver gura 1.2) 180 graus, ento m e n so retas paralelas. Na simbologia atual podemos representar a Proposio 28 da seguinte forma + = 180 m n = .

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Geometria Euclidiana

Figura 1.2: + = 180 .

E a recproca, verdadeira? Ou seja, verdade que m n = + = 180 ? A resposta a essa pergunta complexa e levou mais de dois mil anos para ser entendida completamente. De fato, esta recproca exatamente o contedo do Postulado 5. Postulado 5. Sejam duas retas m e n cortadas por uma terceira reta r. Se a soma dos ngulos formados (ver gura) menor do que 180 graus, ento m e n no so paralelas. Alm disso, elas se intersectam do lado dos ngulos cuja soma menor do que 180 graus.

Figura 1.3: + < 180 .

18

Geometria Euclidiana Plana Esta foi a forma como Euclides enunciou o Postulado 5. Na simbologia atual podemos representar a Proposio 28 da seguinte forma + < 180 m n = Note que a armao 1.1 equivalente a m n = + 180 . Porm, se + > 180 teramos que a soma dos suplementares de e seria < 180 , implicando, pelo Postulado 5, que m n = ; contradio! Logo, o Postulado 5 equivalente a armao m n = + = 180 , que exatamente a recproca da Proposio 28. Muitos acreditavam que quando Euclides chegou no Postulado 5 no soube como demonstr-lo e ento resolveu deix-lo como postulado. Com certeza Euclides deve ter pensado muito at aceitar que teria que acrescentar este postulado, visto que diferentemente dos demais, este parece muito mais com um teorema que com uma simples armao que podemos aceit-la sem demonstrao. (1.1)

AULA

1.3

Geometria de Incidncia

A partir desta seo, caro aluno, iremos iniciar nosso estudo axiomtico da Geometria Euclidiana Plana. Nas sees anteriores, vimos que os postulados de Euclides no so sucientes para demonstrar todos os resultados da geometria plana. De fato, vimos que nos Elementos de Euclides existem lacunas que no so possveis preench-las somente com o contedo dos Elementos. O que iremos fazer neste curso axiomatizar a geometria de tal forma que no deixemos lacunas. Iremos usar um conjunto de axiomas que sero sucientes para demonstrar todos os resultados conhecidos desde o ensino fundamental.

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Geometria Euclidiana No podemos denir todos os termos que iremos usar. De fato, para denir um termo devemos usar um outro termo, e para denir esses termos devemos usar outros termos, e assim por diante. Se no fosse permitido deixar alguns termos indenidos, estaramos envolvidos em um processo innito. Euclides deniu linha como aquilo que tem comprimento sem largura e ponto como aquilo que no tem parte. Duas denies no muito teis. Para entend-las necessrio ter em mente uma linha e um ponto. Consideraremos alguns termos, chamados de primitivos ou elementares, sem precisar deni-los. So eles: 1. ponto; 2. reta; 3. pertencer a (dois pontos pertencem a uma nica reta); 4. est entre (o ponto C est entre A e B); O principal objeto de estudo da Geometria Euclidiana Plana o plano. O plano constitudo de pontos e retas.

1.3.1

Axiomas de Incidncia

Pontos e retas do plano satisfazem a cinco grupos de axiomas. O primeiro grupo constitudo pelos axiomas de incidncia. Axioma de Incidncia 1: Dados dois pontos distintos, existe uma nica reta que os contm. Axioma de Incidncia 2: Em toda reta existem pelo menos dois pontos distintos. Axioma de Incidncia 3: Existem trs pontos distintos com a propriedade que nenhuma reta passa pelos trs pontos.

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Geometria Euclidiana Plana

AULA

Figura 1.4:

Figura 1.5:

Observao Destes trs axiomas deduzimos alguns fatos simples, porm importantes: Toda reta possui pelo menos dois pontos. No existe uma reta contendo todos os pontos. Existem pelo menos trs pontos no plano. Denio 1.1. Duas retas intersectam-se quando elas possuem um ponto em comum. Se elas no possuem nenhum ponto em comum, elas so ditas paralelas.

Figura 1.6: r e s se intersectam no ponto P e m e n so paralelas.

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Geometria Euclidiana Proposio 1.1. Duas retas distintas ou no intersectam-se ou intersectam-se em um nico ponto. Demonstrao Sejam m e n duas retas distintas. Se m e n possuem pelo menos dois pontos distintos em comum ento, pelo Axioma de Incidncia 1, m e n coincidem, que uma contradio com o fato que m e n so retas distintas. Logo, m e n ou possuem um ponto em comum ou nenhum. Portanto a Proposio 1.1 diz que se duas retas no so paralelas, ento elas tm um ponto em comum. Proposio 1.2. Para todo ponto P, existem pelo menos duas retas distintas passando por P. Demonstrao Pelo Axioma de Incidncia 3, existe um ponto Q distinto de P. Pelo Axioma de Incidncia 1 existe uma nica reta l que passa por P e Q. Pelo Axioma de Incidncia 3 existe um ponto R que no pertence a l. Novamente pelo Axioma de Incidncia 1, existe uma reta r distinta de l que contm os pontos P e R. Proposio 1.3. Para todo ponto P existe pelo menos uma reta l que no passa por P. Exerccio 1.1. Prove a Proposio 1.3.

1.3.2

Modelos para a geometria de incidncia

Um plano de incidncia um par (P, R) onde P um conjunto de pontos e R uma coleo de subconjuntos de P, chamados de retas, satisfazendo os trs axiomas de incidncia. Exemplo 1.1. Sejam P = {A, B, C} e R = {{A, B}, {A, C}, {B, C} }. O par (P, R) plano de incidncia, j que satisfaz os trs axiomas de incidncia (Verique!). Observe que dois subconjuntos quaisquer de R tm interseo vazia. Portanto, no existem retas paralelas.

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Geometria Euclidiana Plana Exemplo 1.2. Sejam P = S2 := {(x, y, z) R3 ; x2 + y 2 + z 2 = 1} e R = conjunto de todos os grandes crculos em S2 . No plano de incidncia. J que a interseo de dois grandes crculos em S2 so dois pontos. (ver gura 1.7.)

AULA

Figura 1.7: Esfera unitria no espao euclidiano.

Exemplo 1.3. Sejam P = {A, B, C, D, E} e R = {todos os subconjuntos de P com dois elementos}. plano de incidncia (Verique!). Dada uma reta l e um ponto fora dela, existem pelo menos duas retas paralelas a l. Exemplo 1.4. Sejam P = {A, B, C, D} e R = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}}. plano de incidncia (Verique!). Dada uma reta l e um ponto P fora dela, existe uma nica reta r paralela a l passando por P. Nos exemplos acima, as retas so subconjuntos de P e no uma reta como ns a conhecemos.

1.4

Axiomas de ordem

Dissemos anteriormente que a noo de est entre uma noo primitiva. Nesta seo iremos apresentar o segundo grupo de axiomas que rege as leis para esta noo, os axiomas de ordem.

23

Geometria Euclidiana Escreveremos A B C para dizer que o ponto B est entre os pontos A e C. Axioma de ordem 1: Se A B C, ento A, B e C so pontos distintos de uma mesma reta e C B A. Axioma de ordem 2: Dados trs pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles est entre os outros dois.

Figura 1.8:

Este axioma assegura que uma reta no um crculo, onde no temos a noo bem clara de um ponto est entre outros dois. (Ver gura 1.9.)

Figura 1.9: Axioma de ordem 3: Dados dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E pertencentes reta contendo B e D, tais que A B D, B C D e B D E. Este axioma assegura que uma reta possui innitos pontos. Denio 1.2. Sejam dois pontos distintos A e B, o segmento AB o conjunto de todos os pontos entre A e B mais os pontos

24

Geometria Euclidiana Plana

AULA

Figura 1.10:

extremos A e B. Denio 1.3. A semi-reta com origem em A e contendo B o conjunto dos pontos C tais que A B C mais o segmento AB, sendo representada por SAB .

Figura 1.11: esquerda o segmento AB e direita a semi-reta SAB .

Proposio 1.4. Para quaisquer dois pontos A e B tem-se: a) SAB SBA = reta determinada por A e B. b) SAB SBA = AB. Demonstrao a) Seja m a reta determinada por A e B. Da denio de semireta, segue imediatamente que SAB SBA m. Se C pertence reta m, ento o Axioma de Ordem 2 implica somente uma das trs alternativas: 1) A C B 2) C A B 3) A B C No caso 1, C pertence ao segmento AB; no caso 2 C pertence semi-reta SBA e no caso 3, C pertence a SAB. Em qualquer caso, C pertence a SAB SBA . Da, m SAB SBA .

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Geometria Euclidiana b) Deixamos a prova deste tem como exerccio.

Denio 1.4. Seja uma reta m. Dois pontos distintos fora de m, A e B, esto em um mesmo lado da reta m se o segmento AB no a intersecta, caso contrrio dizemos que A e B esto em lados opostos de m. O conjunto dos pontos de m e dos pontos C tais que A e C esto em um mesmo lado da reta m chamado de semi-plano determinado por m contendo A e ser representado por Pm,A .

Figura 1.12: A e B esto no mesmo lado de m. B e C esto em lado opostos de m. Axioma de ordem 4: Para toda reta l e para qualquer trs pontos A, B e C fora de l, tem-se: i) Se A e B esto no mesmo lado de l e B e C esto no mesmo lado de l, ento A e C esto no mesmo lado de l. ii) Se A e B esto em lados opostos de l e B e C esto em lados opostos de l, ento A e C esto no mesmo lado de l. Corolrio 1.1. Se A e B esto no mesmo lado de l e B e C esto em lados opostos de l, ento A e C esto em lados opostos de l. Ver gura 1.12. Exerccio 1.2. Prove o Corolrio 1.1.

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Geometria Euclidiana Plana

AULA

Figura 1.13:

Figura 1.14:

Proposio 1.5. Toda reta m determina exatamente dois semiplanos distintos cuja interseo a reta m. Demonstrao Passo 1: Existe um ponto A fora de l (Proposio 1.3). Passo 2: Existe um ponto O pertencente a l (Axioma de incidncia 2). Passo 3: Existe um ponto B tal que B O A (Axioma de ordem 3). Passo 4: Ento A e B esto em lados opostos de l, e l possui pelo menos dois lados. Passo 5: Seja C um ponto fora de l diferente de A e B. Se C e B no esto no mesmo lado de l, ento A e C esto no

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Geometria Euclidiana mesmo lado de l (Axioma de ordem 4). Logo, o conjunto dos pontos fora de l a unio dos semi-planos SmA e SmB Passo 6: Se C SmA SmB com C m, ento A e B esto do mesmo lado (Axioma de ordem 4); contradio com o passo 4. Assim, se C SmA SmB , ento C m. Portanto, SmA SmB = m.

Teorema 1.1 (Pasch). Se A, B, C s pontos distintos no colineares e m qualquer reta intersectando AB em um ponto entre A e B, ento l tambm intersecta AC ou BC. Se C no est em m ento m no intersecta ambos AC e BC.

Figura 1.15: Teorema de Pasch

Euclides utilizou este teorema sem prov-lo. Exerccio 1.3. Prove o Teorema de Pasch.

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Geometria Euclidiana Plana

AULA

RESUMO
Nesta aula voc conheceu os 5 postulados de Euclides. Voc viu que na prova da Proposio 1 dos Elementos de Euclides, ele fez uso de armaes que no estavam explcitas em seus 5 postulados. Voc viu tambm que o Postulado 5 dos Elementos nada mais do que a recproca da Proposio 28, o que gerou dvida entre muitos matemticos da poca se o Postulado 5 era mesmo um postulado ou uma proposio que Euclides no sabia prov-la. Alm disso, voc viu os dois primeiros grupos de axiomas, de incidncia e ordem, que permitir tapar os buracos deixados por Euclides nos Elementos. Finalmente, voc tambm viu o Teorema de Pasch que uma consequncia dos axiomas de ordem.

PRXIMA AULA
Na prxima aula daremos continuidade a construo da geometria plana axiomatizada. Introduziremos mais dois grupos de axiomas, os axiomas de medio de segmentos e de ngulos.

ATIVIDADES

1. Quais das armaes abaixo so verdadeiras? ( ) Por denio, uma reta m paralela"a uma reta l se para quaisquer dois pontos P e Q em m, a distncia perpendicular de P a l a mesma distncia perpendicular de Q a l. ( ) Foi desnecessrio para Euclides assumir o postulado das paralelas porque o Francs Legendre o provou.

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Geometria Euclidiana ( ) Axioma ou postulados so armaes que so assumidas, sem justicativas, enquanto que teoremas ou proposies so provadas usando os axiomas. ( ( ) A B C logicamente equivalente a C B A. ) Se A, B e C so pontos colineares distintos, possvel que ambos A B C e A C B ocorram. 2. Sejam dois pontos A e B e um terceiro ponto C entre eles. possvel provar que C pertecente a reta que passa por A e B utilizando somente os 5 postulados de Euclides? 3. possvel provar a partir dos 5 postulados de Euclides que para toda reta l existe um ponto pertencente a l e um ponto

l? 4. possvel provar a partir dos 5 postulados de Euclides que pontos e retas existem? 5. Para cada par de axiomas de incidncia construa um modelo no qual estes dois axiomas so satisfeitos mas o terceiro axioma no. (Isto mostra que os trs axiomas so independentes, no sentido qeu impossvel provar qualquer um deles dos outros dois.) 6. Verique se so planos de incidncia os pares (P, R) seguintes:
que no pertence a (a) P = R2 e R = {(x, y) R2 ; ax + by + c = 0, com ab =

0}. (b) P = R2 e R = conjunto dos crculos em R2 . (c) P = conjunto das retas em R3 e R = conjunto dos planos em R3 . 7. Construa exemplos distintos de plano de incidncia com o mesmo nmero de pontos, ou seja, o conjunto P ser o mesmo porm R ser diferente.

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Geometria Euclidiana Plana 8. Mostre que no existe um exemplo de um plano de incidncia com 6 pontos, em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos. 9. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano? E um conjunto de 4 retas do plano? E um conjunto de n retas do plano? 10. Dizemos quem trs ou mais pontos so colineares quando todos pertencem a uma mesma reta. Do contrrio, dizemos que eles so no colineares. Mostre que trs pontos no colineares determinam trs retas. Quantas retas so determinadas por quatro pontos sendo que quaisquer trs deles so no colineares? E se forem 6 pontos? E se forem n pontos? 11. Prove que a unio de todas as retas que passam por um ponto A o plano. 12. Dados A B C e A C D, prove que A, B, C e D so quatro pontos colineares distintos. 13. Dado A B C. Prove que SAB = SAC .

AULA

LEITURA COMPLEMENTAR
1. BARBOSA, J. L. M., Geometria Euclidiana Plana. SBM. 2. EUCLIDES, Os Elementos. Unesp. Traduo: Irineu Bicudo. 3. GREENBERG, M. J., Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. Third Edition. W. H. Freeman. 4. POGORELOV, A. V., Geometria Elemental. MIR. 5. MOISE, E. E., Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Third edition. Addison-Wesley.

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AULA

Axiomas de Medio
META Introduzir os axiomas de medio de segmentos e ngulos. OBJETIVOS Determinar o comprimento de um segmento e a distncia entre dois pontos. Determinar a medida de um ngulo Determinar propriedades de pontos de uma reta utilizando as coordenadas do ponto. PR-REQUISITOS Para seguir adiante, necessrio que o aluno tenha compreendido os axiomas de incidncia e de ordem apresentados na aula anterior.