ESTATÍSTICA – PROFESSOR THIAGO VIDAL

AULA 04

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Além de tabelas e gráficas, há maneiras de resumirmos ainda mais os dados quantitativos que precisam ser apresentados. Para
tornar os conteúdos palpáveis e práticos, podemos usar alguns números que, de certa forma, resumem os dados que temos
coletado. As medidas de tendência central, como o próprio nome diz, são medidas que informam sobre a posição típica dos
dados.

Média aritmética simples

No nosso dia a dia, o conceito d emédia é bastante comum, quando nos referimos, por exemplo, à altura média dos brasileiros, à
temperatura média dos últimos anos etc.

Definição – Dado um conjunto de 𝑛 observações 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , a média aritmética simples é definida como

𝑛
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 1
𝑥̅ = = ∑ 𝑥𝑖
𝑛 𝑛
𝑖=1

O termo 𝑥̅ (lê-se 𝑥 barra) é usado para indicar a média.

O símbolo Σ, presente na expressão, representa o somatório e será abordado com maiores detalhes em breve.

Consideremos as idades dos funcionários do Departamento de Recursos Humanos, analisadas na aula anterior e apresentadas no
ramo e folhas

A idade média é

24 + 25 + 26 + 26 + 29 + 29 + 31 + 35 + 36 + 37 + 38 + 42 + 45 + 51 + 53
𝑥̅ =
15
527
𝑥̅ = = 35,13
15

Como as idades estão em anos, a idade média também é dada nessa udade, ou seja, a idade média é 35,13 anos.

Podemos entender a média aritmética simples como o centro de gravidade da distribuição. Ou seja, o ponto de equilíbrio, o
valor que está mais próximo de “beirar” os valores de um modo geral.

Note que o valor da média aritmética é um valor tal que, se substituíssemos todos os dados por ela, isto é, se todas as observações
fossem iguais à média aritmética, a soma total seria igual à soma dos dados originais.

Considere os seguintes dados fictícios referentes aos salários de cinco funcionários de uma firma: 136, 210, 350, 360, 2500. O
total da folha de pagamentos é 3236, havendo um salário bastante alto, discrepante dos demais. A média para esses dados é
647,20. Se todos os cinco funcionários ganhassem esse salário, a folha de pagamentos seria a mesma e todos teriam o mesmo
salário;
Moda

Definição – a moda de uma distribuião ou conjunto de dados, que representaremos por 𝑥 ∗, é o valor que ais se repete, ou seja,
o valor mais frequente.

Podemos ter distribuições de vários tipos:

- amodais (todos os valores ocorrem o mesmo número de vezes);
- unimodais (uma moda);
- bimodais (duas modas);
- e assim por diante.

Voltando ao diagrama de ramos e folhas, concluímos que temos as seguintes modas: 𝑥 ∗ = 26 e 𝑥 ∗ = 29 anos e, portanto, essa é
uma distribuição bimodal.

Mediana

Para entendermos a mediana, vamos voltar aos dados referentes aos salários de cinco funcionários de uma firma: 136, 210, 350,
360 e 2500. Como vimos, o salário médio é R$ 647,20. No entanto, esse valor não representa bem nem os salários mais baixos,
nem o salário mais alto. Isso acontece porque o salário mais alto é muito diferente dos demais.

Esse exemplo ilustra um fato geral sobre a média aritmética: ela é muito influenciada por valores discrepantes, isto é, valores
muito grandes (ou muito pequenos) que sejam distintos da maior parte dos dados. Nesses casos, é necessário utilizar uma outra
medida de posição para representar o conjunto; uma medida possível é a mediana.

Definição – seja 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 um conjunto de 𝑛 observações e seja 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 o conjunto das observações ordenadas, de

modo que 𝑥(1) ≤ 𝑥(2) ≤ ⋯ ≤ 𝑥(𝑛). Então, a mediana 𝑄2 é definida como o valor tal que 50% das observações são menores que
ela e 50% são maiores que ela. Para efeito de cálculo, valem as seguintes regras:

𝑛 ímpar: 𝑄2 = 𝑥((𝑛+1))
2
𝑥 𝑛 +𝑥 𝑛
(2 ) ( 2 +1)
𝑛 par: 𝑄2 = 2

Dessa definição, pdoemos concluir que a mediana é o valor central dos dados e para calculá-la é necessário ordenar os dados.

Exemplo:

Voltemos à tabela que apresenta o número de dependentes dos funcionários do Departamento de Recursos Humanos daquele
nosso exemplo que iniciou na nossa primeira aula.
Vamos calcular as medidas de tendência central para esses dados:

Média:

5 × 0 + 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 1 × 4 22
𝑥̅ = = = 1,47
15 15

Moda:0

Mediana:

Priimeiramente devemos ordenador os dados em ordem crescente (ou decrescente):

0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4

Em seguida, como são 15 dados, localizamos o termo central.

𝑄2 = 𝑥8 = 1

EXERCÍCIO

Calcule a nota média, a nota modal e a nota mediana para os dados da tabela.

Somatório

A notação de somatório é bastante útil na apresentação de fórmulas, pois resume a operação de soma de várias parcelas que
seguem um determinado padrão.
Para desenvolver um somatório é necessário substituir o valor do índice em cada parcela, desde a primeira até a última.
Veja:

∑ 𝑖 2 = 1 2 + 22 + 32 + 52
𝑖=1

Calcule as seguintes quantidades para os dados abaixo:

6 6 6 6

∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖2
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1
Média aritmética ponderada

Vimos que a média equivale a dividir o “todo” em partes iguais, ou seja, estamos supondo que os números que queremos
sintetizar têm o mesmo grau de importância. Entretanto, há algumas situações em que não é razoável atribuir a mesma
importância a todos os dados.

Definição – A média aritmética ponderada de números 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 com pesos 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 é definida como

𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 + ⋯ + 𝑝𝑛 𝑥𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 𝑥𝑖
𝑥̅ 𝑝 = = 𝑛
𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 ∑𝑖=1 𝑝𝑖

Exemplo: Segundo o critério de avaliação adotado pelo Departamento de Estatística, cada aluno será submetido a duas provas,
a primeira tendo peso 2 e a segunda tendo peso 3. Para ser aprovado sem precisar fazer prova final, a média nas duas provas tem
que ser, no mínimo, 6.
Se um aluno tirar 5,5 na primeira prova, quanto deverá tirar na segunda prova para não precisar fazer prova final? E se as provas
tivessem o mesmo peso?

EXERCÍCIOS

1. Considerando a tabela abaixo, determine o valor, em reais, 3. Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns alunos de
da soma do salário mediano com o(s) salário(s) modal(is): um curso, coletou as idades dos entrevistados e organizou
esses dados em um gráfico:

(A) 1.000
(B) 2.000
(C) 3.000 Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados?
(D) 4.000
(E) 5.000 (A) 9
(B) 12
2. As notas de oito alunos em uma prova de Matemática foram (C) 13
escritas pelo professor em uma tabela como a que segue: (D) 15
(E) 21

Sabe-se que a média aritmética dessas notas é 8,2.

Considerando as notas dos oito alunos, é correto afirmar que a
nota do aluno G é:
(A) igual à moda
(B) inferior a 9,8
(C) superior à mediana
(D) inferior à média aritmética das outras sete notas
4. Uma pessoa está disputando um processo de seleção para 6. O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos,
uma vaga de emprego em um escritório. Em uma das etapas produzindo mais do que o necessário para alimentar sua
desse processo, ela tem de digitar oito textos. A quantidade de população. Entretanto, grande parte da produção é
erros dessa pessoa, em cada um dos textos digitados, é dada na desperdiçada. O gráfico mostra o percentual do desperdício de
tabela: frutas nas feiras do estado de São Paulo:

Nessa etapa do processo de seleção, os candidatos serão

avaliados
pelo valor da mediana do número de erros.
A mediana dos números de erros cometidos por essa pessoa é
igual a:
(A) 2,0
(B) 2,5 Considerando os dados do gráfico, a média aritmética, a moda
(C) 3,0 e a mediana são, respectivamente:
(D) 3,5 (A) 28,625; 25 e 40; 25,5.
(E) 4,0 (B) 28,625; 25 e 40; 26.
(C) 28,625; 40; 26.
(D) 20,5; 25 e 40; 25,5.
(E) 20,5; 40; 25,5.

7. O uso de biodiesel gera uma série de efeitos ambientais, tais

5. Os salários, em reais, dos funcionários de uma empresa são como a redução da emissão de gases do efeito estufa e a
distribuídos conforme o quadro: diminuição da poluição atmosférica.
O gráfico mostra a produção de biodiesel (em milhões de
litros) em uma usina, durante o período de um ano:

A mediana dos valores dos salários dessa empresa é, em reais:

(A) 622,00
(B) 933,00
(C) 1.244,00
(D) 2.021,50
(E) 2.799,00 De acordo com os dados, a média, a mediana e a moda (em
milhões de litros) são, respectivamente, iguais a:
(A) 8,5; 10 e 9.
(B) 8; 9 e 10.
(C) 8; 9,5 e 8.
(D) 8,5; 9 e 10.
(E) 8,5; 9,5 e 10.
8. Um professor de Matemática elaborou, por computador, um 11. Para as pessoas que não gostam de correr grandes riscos no
histograma das notas obtidas pela turma em uma prova cujo mercado financeiro, a aplicação em caderneta de poupança é
valor era 5 pontos. Entretanto, o histograma ficou incompleto, indicada, pois, conforme a tabela (período de 2005 até 2011),
pois esse professor esqueceu de fornecer o número de alunos a rentabilidade apresentou pequena variação.
que obtiveram notas iguais a 2, 4 ou 5.
Veja a ilustração a seguir:

Com base nos dados da tabela, a mediana dos percentuais de

rentabilidade, no período observado, é igual a:
(A) 6,2
A moda dessas notas é: (B) 6,5
(A) 1 (C) 6,6
(B) 2 (D) 6,8
(C) 3 (E) 7,0
(D) 4
(E) 5 12. Durante um campeonato de basquete, nas oito partidas
disputadas por um jogador, verificou-se que suas pontuações
9. Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas foram 23, 15, 10, 23, 22, 10, 10 e 15. Podemos avaliar que a
por seis alunos de uma turma em certa prova. média, a moda e a mediana dessa amostragem são,
Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que respectivamente:
a mediana: (A) 10, 15 e 16.
(A) 5, 5, 7, 8, 9, 10. (B) 16, 10 e 10.
(B) 4, 5, 6, 7, 8, 8. (C) 15, 10 e 16.
(C) 4, 5, 6, 7, 8, 9. (D) 15, 16 e 16.
(D) 5, 5, 5, 7, 7, 9. (E) 16, 10 e 15.
(E) 5, 5, 10, 10, 10, 10.

10.

De acordo com o gráfico, a diferença entre a altura mediana e

a média das alturas desses seis jogadores, em cm, é
aproximadamente igual a:
(A) 0,93
(B) 1,01
(C) 1,09
(D) 1,17
(E) 1,25