Estatística Aula 06

ESTATÍSTICA – PROFESSOR THIAGO VIDAL
AULA 06
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Considere os conjuntos de dados apresentados por um diagrama de pontos (figura abaixo). Nesse gráfico, as “pilhas” de pontos
representam as frequências de cada valor. Podemos ver facilmente que ambos os conjuntos têm a mesma média (o centro de
gravidade ou ponto de equilíbrio é o mesmo), a mesma mediana e a mesma moda. No entanto, esses dois conjuntos têm
características diferentes e ao sintetizá-los apenas por alguma medida de posição, essa característica se perderá. Tal característica
é a dispersão dos dados: no primeiro conjunto os dados estão mais concentrados me torno da média do que no segundo conjunto.
AMPLITUDE
Como podemos “medir” essa dispersão? Uma primeira ideia é considerar a amplitude dos dados, que é a diferença entre o maior
e o menor valor.
Definição: A amplitude de um conjunto de dados é a distância entre o maior valor e o menor valor: ∆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑉𝑚á𝑥 − 𝑉𝑚í𝑛
Ainda assim, a amplitude nem sempre vai ser suficiente para termos uma ideia mais detalhada do nosso grupo de dados. Embora
no caso anterior, do diagrama de pontos, a amplitude diferente dos dados já os diferencia, no caso abaixo, ela não é suficiente,
além de também mantermos as medidas de tendência central iguais.
DESVIO MÉDIO ABSOLUTO
Uma forma de medir a dispersão dos dados é considerar não apenas medidas como média, mediana, moda e amplitude, mas a
distância em que cada dado se encontra dessa medida. Para o desvio médio absoluto, consideramos a distância que cada dado
está da média.
Definição: O desvio médio absoluto de um conjunto de dados 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 é definido por

𝑛
1
𝐷𝑀𝐴 = ∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅ |
𝑛
𝑖=1
Onde as barras verticais representam o valor absoluto ou módulo.

Exemplo:
Considere o conjunto {1,3,5}.

Calcule a média e o desvio médio absoluto.
1+3+5 9
𝑥̅ = = =3
3 3
|1 − 3| + |3 − 3| + |5 − 3| 2 + 0 + 2 4
𝐷𝑀𝐴 = = = = 0,666 …
3 3 3
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Considerar o valor absoluto das diferenças (𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) nos dá uma ideia de como interpretar a discrepância dos dados, mas não é
suficiente. Outra possibilidade, matematicamente mais adequada devido às suas propriedades a nível de cálculo, é considerar o
quadrado das diferenças. Isso nos leva à definição de variância.
Definição: A variância de um conjunto de dados 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 é definida por

𝑛
1
𝜎 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
2
𝑛
𝑖=1
Nessa definição, temos que a variância é a média dos desvios quadrados. O que altera a unidade de medida dos dados. Se
estivemos, por exemplo, buscando o desvio de um grupo de dados de massa corporal, ao trabalharmos com o quilograma, o
cálculo da variância eleva esse dado ao quadrado, nos dando 𝑘𝑔2 , o que, do ponto de vista da física, não possui interpretação
real. Uma forma de se obter uma medida de dispersão com a mesma unidade dos dados consiste em tomar a raiz quadrada da
variância.
Definição: O desvio padrão de um conjunto de dados 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 é definido por
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 = √𝜎 2
Exemplo: Consideremos as idades dos funcionários do Departamento de Recursos humanos abaixo.
24 25 26 26 29 29 31 35 36 37 38 42 45 51 53
Calcule a sua média, a variância e o desvio padrão.
527
𝑥̅ = = 35,131313 …
15
1 1213,73
𝜎2 = [(24 − 35,13)2 + (25 − 35,13)2 + ⋯ + (53 − 35,13)2 ] = = 80,92
15 15
𝜎 = √80,92 = 8,995
EXERCÍCIOS
1. Para o conjunto de dados 2, 4, 7, 8, 9, 6, 5, 8, calcule os 7. O serviço de atendimento ao consumidor de uma

desvios em torno da média e verifique que eles somam zero. concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes
Em seguida, calcule o desvio médio absoluto. via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram
anotados os números de chamadas durante um período de sete
dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes:
2. Para o conjunto de dados do exercício 1, calcule a variância

e o desvio padrão.
3. Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero.

Podemos concluir que:
(A) a média também vale zero.
Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as
(B) a mediana também vale zero.
(C) a moda também vale zero. seguintes afirmativas:
(D) o desvio-padrão também vale zero.
I. O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6.
(E) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.
II. A variância dos dados é 4.
III. O desvio-padrão dos dados é √2.
4. Somando-se 5 a cada um dos números do conjunto 4, 8, 3,
2, 7 e 6, a média aritmética e a variância ficarão aumentadas, Assinale a alternativa correta:
respectivamente, de:
(A) 5 e 0. (A) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
(B) 5 e 5. (B) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
(C) 5 e 25. (C) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
(D) 1 e 0. (D) Somente a afirmativa I é verdadeira.
(E) 1 e 5. (E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
5. Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada 8. Certo professor de estatística aplicou a mesma prova nas
uma amostra de dez indivíduos. Os números que representam turmas I e II. Após corrigir essas provas, o professor calculou
as ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no a média e o desvio-padrão das notas de cada uma das turmas,
último ano, são 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. O valor da variância colocando os resultados na tabela a seguir:
dessa amostra é:
(A) 9
(B) 9,7
(C) 10
(D) 12
(E) 13
Com base nessas informações, pode-se afirmar que:

6. João possui, em sua loja, cinco máquinas copiadoras, as (A) as notas das duas turmas apresentam a mesma dispersão.
quais tiveram registrados os seus números de cópias (B) a turma com notas mais heterogêneas é a II.
produzidas no último mês: 20, 23, 25, 27 e 30 milhares de (C) o desempenho dos alunos nas duas turmas foi o mesmo.
cópias, respectivamente. O valor da variância para essa série (D) as notas da turma II são mais homogêneas que as da turma
de dados é: I.
(A) 11,2 (E) a variância da turma I é maior que a variância da turma II.
(B) 11,3
(C) 11,4
(D) 11,5
(E) 11,6
9. Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para tal 10. Dois atiradores, x e y, obtiveram, em uma série de 20 tiros
classificação, o candidato deveria obter média aritmética na em um alvo da forma indicada na figura, os seguintes
pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, resultados:
o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No
quadro a seguir, são apresentados os pontos obtidos nas provas
de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a
mediana e o desvio-padrão dos dois candidatos:
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem

classificado no concurso, é:
(A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
(B) Marco, pois obteve menor desvio-padrão.
(C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela (19 em Sobre os dados apresentados, assinale a alternativa verdadeira:
Português). (A) A média de pontos do atirador x foi maior que a do atirador
(D) Paulo, pois obteve maior mediana. y.
(E) Paulo, pois obteve maior desvio-padrão. (B) O atirador x é mais regular que o atirador y, pois, apesar
de ter a mesma média do atirador y, apresentou menor desvio-
padrão.
(C) O atirador x é mais regular que o atirador y, pois, apesar
de ter a mesma média do atirador y, apresentou menor desvio-
padrão.
(D) O atirador x apresentou menor variância que o atirador y,
sendo, assim, o que apresentou menor regularidade.
(E) Os atiradores x e y, por apresentarem a mesma média de
pontos, apresentam a mesma regularidade.

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DESVIO MÉDIO ABSOLUTO

Definição: O desvio médio absoluto de um conjunto de dados 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 é definido por

Onde as barras verticais representam o valor absoluto ou módulo.

Considere o conjunto {1,3,5}.

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

Definição: A variância de um conjunto de dados 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 é definida por

Definição: O desvio padrão de um conjunto de dados 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 é definido por

Exemplo: Consideremos as idades dos funcionários do Departamento de Recursos humanos abaixo.

Calcule a sua média, a variância e o desvio padrão.

1. Para o conjunto de dados 2, 4, 7, 8, 9, 6, 5, 8, calcule os 7. O serviço de atendimento ao consumidor de uma

2. Para o conjunto de dados do exercício 1, calcule a variância

3. Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero.

Com base nessas informações, pode-se afirmar que:

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem

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