Oscilações: o pêndulo fı́sico

IF/UnB - Fı́sica 2 Experimental

Objetivo: Caraterizar o movimento oscilatório de um pêndulo real e as condições em que ele

pode ser considerado um pêndulo simples. Descrever matematicamente as variáveis relevantes de
um sistema oscilante por meio de uma análise dos dados coletados.
Conhecimentos explorados: Leis de Newton, momento de inércia, forças caracterı́sticas em
sistemas oscilantes, ferramentas gráficas e de aquisição de dados.

MATERIAIS

• Pêndulo fisico com duas massas acoplado a sensor

de ângulo,

• Sensor de movimento rotatório PASCO PASPORT,

• Software de aquisição de dados PASCO Capstone,

• Computador,

• Balança de precisão,

• Régua milimetrada.

O PÊNDULO FISICO

Praticamente nenhum pêndulo existente é um pêndulo

simples, pois em vez de ter uma única massa que oscila,
ele normalmente se compõe de uma coleção de partı́culas,
cada uma com sua distância L ao eixo de rotação. Insira
uma segunda massa no pêndulo do laboratório, deixando
uma na metade da haste e a outra na sua extremidade.
Se admitirmos que essas duas massas oscilarão solida-
riamente como um único corpo, pergunta-se: qual é o
perı́odo de oscilação do conjunto? Um primeiro chute Figura 1. Pêndulo fı́sico com duas massas.
seria imaginar que o perı́odo deve ser aquele correspon-
dente ao da posição do centro de massa do sistema. Va-
mos mostrar que isso não é verdade. A análise desse pro- angular α, ou seja,
blema fica mais simples se em vez de nos preocuparmos τ = Iα
com as forças envolvidas fizermos a análise dos torques. d2 θ
Considere assim o pêndulo fı́sico, composto de duas mas- =I 2 (2)
dt
sas M1 e M2 , como o mostrado na figura 1. = (M1 L1 + M2 L2 )g sin θ.
Como o sistema gira em torno de um mesmo ponto,
consideremos o torque total que age sobre o sistema em O momento de inércia de uma partı́cula de massa m
torno da origem “O”. O torque resultante é dado por: situada a uma distância R do ponto de rotação é dado
por mR2 . Assim, a expressão (2) acima pode ser reescrita
como:
τ = τ1 + τ2
d2 θ
 
(1) M1 L1 + M2 L2
= M1 g sin θL1 + M2 g sin θL2 = g sin θ. (3)
dt2 M1 L21 + M2 L22
= (M1 L1 + M2 L2 )g sin θ.
Definindo
Por outro lado, sabe-se que o torque aplicado a um M1 L21 + M2 L22
L0 = (4)
corpo de momento de inércia I produz uma aceleração M1 L1 + M2 L2
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a equação (3) assume a mesma forma que a equação que 2. Coloque a massa M2 na extremidade da haste
descreve o pêndulo simples: de aço e prenda-a firmemente com o parafuso de
fixação. Meça a distância L2 do centro de massa
d2 θ g de M2 ao eixo e anote esse valor. Movimente a
= − 0 sin θ. (5)
dt2 L massa M1 para a posição mais próxima do eixo que
puder e prenda-a nessa posição. Essa será a menor
Em resumo, o pêndulo fı́sico com duas massas distância L1 possı́vel. Meça a distância do centro
comporta-se como um pêndulo simples cujo comprimento de massa de M1 até o eixo e registre na ata.
é dado por uma média ponderada, diferente da média
ponderada que se usa para calcular o centro de massa. 3. Coloque o pêndulo para oscilar conforme o roteiro
Portanto, espera-se que o perı́odo desse pêndulo fı́sico do experimento de Pêndulo simples, até atingir
seja dado por: uma amplitude . 15◦ .

s 4. Faça uma aquisição de dados de 10s de duração.

L0
T = 2π 5. Ajuste os dados (veja o roteiro do Exp. do Pêndulo
g
s  (6) Simples para instruções de como ajustar os dados)
1 M1 L21 + M2 L22
 para determinar o perı́odo e registre na sua ata o
= 2π valor do perı́odo encontrado.
g M1 L1 + M2 L2
6. Movimente a massa M1 para baixo cerca de 5 cm,
Para um sistema de partı́culas com momento de inércia ou seja, aumente L1 em cerca de 5cm. Esse valor
I, pode-se mostrar que o perı́odo de oscilação de um é arbitrário, você pode escolher qualquer variação,
pêndulo fı́sico qualquer [veja, por exemplo, o livro do desde que ao final você tenha cerca de 10 distâncias
Halliday (Vol.2)] pode ser expresso em termos do mo- diferentes, cujos intervalos entre elas sejam razoa-
mento de inércia I do pêndulo em relação ao seu eixo de velmente próximos entre si. Repita os procedimen-
sustentação e da distância h do centro de massa ao eixo tos 2 a 5 até que a massa M1 encoste em M2 .
de sustentação:
7. Faça um gráfico do perı́odo medido (T) versus L1 .
s
I Use os dados de M1 , M2 , L2 e os dados da vareta do
T = 2π . (7) pêndulo (densidade linear = 0,386 g/cm e diâmetro
mt ghcm
= 2mm) e calcule a eq. (6) para 0 < L1 < 1m. No
mesmo gráfico que estão os valores medidos de T
onde mt é a massa total do pêndulo e hcm é a distância
versus L1 , plot a eq. teórica, eq.(6). Discuta os
do eixo ao centro de massa do pêndulo. Calculando-se o
resultados com o grupo e comente no seu relatório.
momento de inércia do pêndulo fı́sico com duas massas,
a expressão (7) leva à eq. (6). Observe que na expressão b) Determinação precisa de g.
(6) desconsideramos o momento de inércia da haste, o Agora que você já sabe como o perı́odo depende do
que nem sempre se justifica. momento de inércia, podemos fazer uma determinação
precisa da aceleração da gravidade local g. Observe que
ao dizer que g = 9, 80 ± 0, 03 m/s2 estamos assumindo
PROCEDIMENTOS DE MEDIDA que conseguimos medir g com uma precisão
da ordem
de 3 partes em 1000 (1000 ± 3) × 10−2 m/s2 . Isso sig-
a) Efeito da separação entre as massas no nifica que todas as nossas medidas devem ser acuradas
pêndulo fisico. em cerca de 1 parte em 300. Qualquer pequeno erro nas
A equação (6) expressa como o perı́odo depende das estimativas pode levar a um erro maior que esse.
posições relativas entre as massas, para o caso em que Para fazer uma medida precisa de g, é necessário:
elas podem ser tratadas como massas pontuais. Para
1. Usar a eq. (7) para, tendo os valores experimen-
verificar que essa expressão descreve razoavelmente bem
tais do momento de inércia do pêndulo, I, massa
o nosso sistema, considere o experimento no qual a massa
total do pêndulo, mt , distância do eixo ao centro
M2 é colocada no extremo do pêndulo (L2 = máximo)
de massa do pêndulo,hcm , e perı́odo do pêndulo, T ,
e que variemos a posição da massa M1 , desde a menor
determinar g;
distância possı́vel ao ponto de sustentação do pêndulo até
a maior distância possı́vel (quando M1 se encontrar com 2. Medir o T com a melhor precisão possı́vel. Para
M2 ). Realize, então, as seguintes medidas: fazer isso, meça o perı́odo, T, para cinco valores de
amplitude (θ0 ), para θ0 . 10◦ . Faça um gráfico de
1. Prepare uma tabela com duas colunas para anotar T versus θ0 , ajuste a melhor reta que passa pelos
os valores medidos de L1 e T(L1 ). dados experimentais e extrapole o valor de T para
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amplitude zero. Meça T em função de θ0 usando medida.

uma massa apenas, colocada na posição mais afas-
tada do eixo do pêndulo; O valor de g depende da localização, mas os principais
fatores são a latitude e a altitude. Procure uma expressão
3. Determinar I detalhadamente, o que exige: para g em função da latitude e da altitude e encontre o
valor de g em Brası́lia. Compare com a medida que você
• Determinar o momento de inércia da haste;
fez.
• Determinar o momento de inércia da massa
(lembrar que ela não é pontual e possui o for-
mato de um cilindro sólido); BIBLIOGRAFIA
• Determinar as distâncias com a maior precisão
possı́vel; Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Fı́sica:
Gravitação, Ondas e Termodinâmica, Livros Técnicos e
Faça uma medida precisa de g e calcule o erro na sua Cientı́ficos Editora S.A.