Turma IME/ITA

GEOMETRIA PLANA
CIRCUNFERÊNCIAS I - ÂNGULOS NA
CIRCUNFERÊNCIA

1. Calcule x nas figuras

a)

f)

b)

g)

f
c)

h)

d)

2. Na figura, os triângulos ABC e BCD estão

inscritos na circunferência. A soma das medidas
m + n , em graus, é

e)

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ângulo A Ĉ B e as cordas AB e AC têm o mesmo
comprimento. Se o ângulo BÂD mede 40°, a medida
á do ângulo BÂC é

a) 70
b) 90
c) 110
d) 130 a) 10°
b) 15°
3. Seja o pentágono PQRST da figura, inscrito na c) 20°
circunferência de centro 0. Sabe-se que POQ mede d) 25°
70°. Chamando de x e y os ângulos PTS e QRS, e) 30°
respectivamente, determine
6. (CESGRANRIO-92) No triângulo ABC, são
x + y.
dados os vértices B e C e também a medida do
ângulo A, agudo. O lugar geométrico do vértice A é:
a) uma circunferência.
b) um arco de circunferência.
c) a união de dois arcos de circunferências.
d) uma reta.
e) a união de duas retas paralelas.

7. Dados dois pontos A e B, o lugar geométrico dos

pés das perpendiculares conduzidas de A às retas
que passam por B é
a) uma reta
b) um par de retas paralelas
4. (CN-91) Considere a figura, onde x e y são c) uma semicircunferência
medidas de arcos e z é a medida do ângulo d) uma circunferência
assinalado.
8. Considere um triângulo acutângulo ABC, e um
ponto P pertencente ao circuncírculo de ABC.
Sabendo-se que P é eqüidistante das retas suportes
de AB e de BC e que o ângulo BPC tem medida igual
a 25º, pode-se afirmar que um dos ângulos de ABC
mede:
a) 25º
b) 45º
c) 50º
d) 65º
e) 85º
Pode-se afirmar que x + y + z é igual a:
a) 255o 9. Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao
b) 265o círculo de centro O. A medida do arco AB é 100º e
c) 275o
d) 285o a do arco BCP é 194º. O valor de x, em graus, é
e) 295o

5. (UFES-01) Na figura, A, B, C e D são pontos de

uma circunferência, a corda CD é bissetriz do

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d) 135,50o

12. (ITA-2013) Uma reta r tangencia uma

circunferência num ponto B e intercepta uma reta
s num ponto A exterior à circunferência. A reta s
passa pelo centro desta circunferência e a
ˆ seja
intercepta num ponto C, tal que o ângulo ABC
ˆ é igual a
obtuso. Então o ângulo CAB
1 ˆ
a) ABC
a) 53. 2
b) 57. 3 ˆ
b)  − 2ABC
c) 61. 2
d) 64. 2 ˆ
c) ABC
e) 66. 3
ˆ −
d) 2ABC
10. (FGV-13) Na figura, AB e AE são tangentes à 
ˆ −
e) ABC
circunferência nos pontos B e E, respectivamente, 2
ˆ = 60.
e BAE
13. (MACK-12) Na figura, se a circunferência tem
centro O e BC = OA , então a razão entre as medidas
dos ângulos AÔD e CÔB é

Se os arcos BPC, CQD e DRE têm medidas iguais,

ˆ
a medida do ângulo BEC, indicada na figura por α, 5
a)
é igual a 2
a) 20° b)
3
b) 40° 2
c) 45° c) 2
d) 60° 4
e) 80° d)
3
e) 3
11. Na figura, O é o centro da circunferência de raio
r, AD = DE = EB = r e  é o menor ângulo formado 14. (FGV-08) Dado um pentágono regular ABCDE,
pelos ponteiros de um relógio as 9h25min. O valor constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E
ˆ é
do ângulo  = CBE de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa
circunferência, em B e E, respectivamente.

A medida do menor arco BE na circunferência

a)120o construída é
b) 119,45o a) 72°.
c) 126,25o b) 108°.

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c) 120°. b) 70°
d) 135°. c) 80°
e) 144°. d) 100°
e) 110°
15. (AFA-01) Conforme a figura abaixo, s e t são,
respectivamente, retas secante e tangente à 18. (ITA-90) Na figura abaixo 0 é o centro de uma
circunferência de centro O. Se T é um ponto da circunferência. Sabendo-se que a reta que passa
circunferência comum às retas tangente e secante, por E e F é tangente a esta circunferência e que a
então o ângulo , formado por t e s, é: medida dos ângulos 1, 2 e 3 são dadas,
respectivamente, por 49º, 18º, 34º, determinar a
medida dos ângulos 4, 5, 6 e 7. Nas alternativas
abaixo considere os valores dados iguais às
medidas de 4, 5, 6 e 7, respectivamente.

a) 10°
b) 20°
c) 30° a) 97º, 78º , 61º, 26º
d) 40° b) 102º, 79º, 58º, 23º
c) 92º, 79º, 61º, 30º
16. Considere a figura a seguir d) 97º, 79º, 61º, 27º
e) 97º, 80º, 62º, 29º

19. (ITA-92) Considere o triângulo PQR abaixo,

circunscrito a uma circunferência de centro O,
cujos pontos de tangência são A, B e C. Sabe-se que
os ângulos P̂ , Q̂ e R̂ estão, nesta ordem, em
progressão aritmética de razão 20°. Os ângulos 1,
2, 3, 4 conforme mostrado na figura abaixo medem,
nesta ordem:

A medida do ângulo x é
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 30°

17. (MACK-98) Na figura a seguir, os arcos QMP e

MTQ medem, respectivamente, 170° e 130°. Então,
o arco MSN mede:

a) 40°, 120°, 60°, 50°

b) 40°, 100°, 50°, 40°
c) 60°, 140°, 60°, 40°
d) 60°, 120°, 40°, 50°
e) n.d.a.

20. Na figura, r e s são perpendiculares e

AB = 2BC .

a) 60°

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e) constante e tem notação decimal infinita e não
periódica.

26. (CN-01) Suponha que 1 (um) naval (símbolo n)

seja a medida de um ângulo convexo, menor que
um ângulo reto, inscrito em um círculo de raio r,
cujos lados determinam, nesse círculo, um arco de
comprimento r. Assim sendo, a soma das medidas
ângulos internos de um triângulo é igual a
n
a)
4
n
b)
2
ˆ é
A medida do ângulo COB c) n
a) 15° d) 2n
b) 20°
e) 4n
c) 25°
d) 30°
27. (AFA-11) Na figura abaixo têm-se quatro
21. Duas paralelas tangenciam uma circunferên- círculos, congruentes de centros O1, O2, O3 e O4 e
cia de centro O nos pontos M e N. Uma terceira de raio igual a 10 cm. Os pontos M, N, P e Q são
tangente a circunferência de centro O, no ponto P, pontos de tangência entre os círculos e A, B, C, D,
encontra as duas outras tangentes nos pontos K e E, F, G e H são pontos de tangência entre os
L. Prove que uma circunferência de diâmetro KL círculos e a correia que os contorna.
passa por O

22. Duas circunferências são tangentes

externamente em A. Por A traça-se uma reta que
intercepta as circunferências em dois outros
pontos, B e C. Demonstre que as tangentes em B e
C são paralelas.

23. As cordas AC e DB são perpendiculares entre si

e se intersectam no ponto G. No triângulo AGD , GE
é a altura relativa a AD e GP é o prolongamento de
GE até BC. Prove que BP = PC .
Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu
perímetro, em cm, é igual a
a) 2 (  + 40 )
CIRCUNFERÊNCIAS II – COMPRIMENTO DE ARCO
b) 5 (  + 16 )
24. (EN-15) Rola-se, sem deslizar, uma roda de 1 c) 20 (  + 4 )
metro de diâmetro, por um percurso reto de 30 d) 5 (  + 8 )
centímetros em uma superfície plana. O ângulo
central de giro da roda, em radianos, é 28. (CN-97) As quatro circunferências têm raio
a) 0,1 r = 0,5 . O comprimento da linha que as envolve é
b) 0,2 aproximadamente igual a:
c) 0,3
d) 0,6
e) 0,8

25. (CN-92) A razão entre o comprimento de uma

circunferência e o seu diâmetro é um número:
a) que varia em função do raio da circunferência.
b) constante e inteiro.
c) constante e tem notação decimal finita.
d) constante e tem notação decimal infinita
periódica.

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R
c)
3
d) 2R

31. (CN-14) Analise a figura a seguir.

a) 6,96
b) 7,96
c) 8,96
d) 9,96
e) 10,96
A figura acima exibe o quadrado ABCD e o arco
29. Considere três circunferências de raio unitário de circunferência APC com centro em B e raio AB
e de centros A, B e C, conforme a figura. = 6. Sabendo que o arco AP da figura tem
3
comprimento é correto afirmar que o ângulo
5
PCD mede:
a) 36◦
b) 30◦
c) 28◦
d) 24◦
e) 20◦

Dessa forma, o perímetro da região sombreada, em 32. A figura a seguir representa a planta de um
unidades de comprimento, é parque em forma de quadrilátero. Em volta deste
π parque foi construída uma calçada de 2 m de
a) .
3 largura, ou seja, a distância de qualquer ponto
π dessa calçada ao parque é exatamente 2 m.
b) .
2
c) π.
d) 2π.

30. A figura mostra uma semicircunferência de raio

R e diâmetro AB. Com centros em A e em B, traça-
se duas circunferências de raio R que intersectam
a semicircunferência em C e D.

O comprimento, em metros, da calçada é

a) (190 + 2 ) m
b) (190 + 4) m
c) ( 210 + 4) m
d) ( 95 + 2) m
e) ( 210 + 2) m
O comprimento da curva OCD é
a) R 33. (MACK-96) O perímetro da figura não
R pontilhada a seguir é 8 , onde os arcos foram
b)
2 obtidos com centros nos vértices do quadrado cujo
lado mede:
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a) 2
c) sendo AB = 5cm e AC = 12cm
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8

CIRCUNFERÊNCIAS III – RETAS E

CIRCUNFERÊNCIAS

34. Considere o triângulo ABC da figura e o circulo

inscrito a ele da figura.
d) sendo AB = 8cm

Sendo AQ = 3cm , BR = 2cm e CP = 4cm , a medida e) sendo ABCD isósceles, AB = 8cm e CD = 4cm .
em cm do perímetro de ABC é
a) 15
b) 17
c) 18
d) 20

35. Calcule x nas figuras

a) sendo AB = 7cm , BC = 8cm e AC = 9cm

f) sendo AB = 6cm e CD = 3cm

b) sendo AB = 4cm , BC = 8cm e CD = 10 cm

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36. (EPCAr-17) Na figura, E e F são, circunferência é tangente ao lado a e também aos
respectivamente, pontos de tangência das retas r e prolongamentos dos outros dois lados do triângulo,
s com a circunferência de centro O e raio R. D é ou seja, a circunferência é exinscrita ao triângulo.
ponto de tangência de BC com a mesma Então o raio da circunferência, em cm , é igual a
circunferência e AE = 20 cm. 3 +1
a)
4
3
b)
4
3 +1
c)
3
3
d)
2
3 +2
e)
4

39. Considere uma circunferência que passa nos

vértices A e B de um quadrado e tangencia o lado
O perímetro do triângulo ABC (hachurado), em
CD dele. Sendo ‘a’ o lado do quadrado, o raio da
centímetros, é igual a
circunferência é
a) 20
3a
b) 10 a)
5
c) 40
5a
d) 15 b)
8
37. Seja ABC um triângulo de lados AB = 12cm , 3a
c)
AC = 8cm e BC = 10cm . O círculo exinscrito ao 8
triângulo relativo ao vértice B tangencia os lados a 2
d)
dele nos pontos P, Q e R, como mostra a figura. 2
a
e)
2

40. Em um triângulo retângulo de catetos ‘b’ e ‘c’ e

hipotenusa ‘a’ está inscrito um círculo. O raio desse
círculo é
a) b+c −a
2
b) 2(a + b + c)
3
c) a2 − b2
d) a+b+c
2
PA
O valor da razão é
PC 41. Seja um triângulo ABC isósceles, cuja base BC
6 mede ‘a’. A reta paralela a BC e tangente ao círculo
a)
5 inscrito ao triângulo determina nos lados AB e AC
3 os pontos D e E. Sendo R o raio do círculo inscrito
b)
5 a ABC, o comprimento do segmento DE é
2 2R2
c) a)
5 a
1 4R2
d) b)
3 a
6R2
38. (ITA-12) Um triângulo ABC tem lados com c)
a
3 8R2
medidas a= cm , b = 1cm e c=
1
cm . Uma d)
2 2
a
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CA = 8 cm. A circunferência inscrita no triângulo
42. Os catetos de um triângulo retângulo medem 8
tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no
cm e 15 cm. Sendo r e R os raios dos círculos
inscrito e circunscrito a esse triângulo, o valor da
ponto K. Então, o comprimento do segmento NK,
em cm, é
r
razão é
R a) 2.
1 b) 2 2.
a)
2 c) 3.
6 d) 2 3.
b) 7
17 e) .
9 2
c)
17
47. (ITA-15) Num triângulo PQR, considere os
d) 2
pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR ,
43. Sejam r e R os raios das circunferências inscrita respectivamente, tais que o segmento MN seja
e circunscrita a um triângulo retângulo de catetos tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR.
‘a’ e ‘b’. O valor de R+r é Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é 25
a−b e que a medida de QR é 10, então o perímetro do
a) triângulo PMN é igual a
2
a) 5
a+b
b) b) 6
2 c) 8
c) a + b d) 10
a+b e) 15
d)
2 a2 + b2
48. (CN-12) Observe a figura a seguir

44. (CN-05) Dado um triângulo retângulo, seja P o

ponto do plano do triângulo equidistante dos
vértices. As distâncias de P aos catetos do triângulo
são k e L . O raio do círculo circunscrito ao
triângulo é dado por:
a) K +L
4
b) 2K + L
K 2 + L2
c)
4
A figura acima mostra, num mesmo plano, duas
K 2 + L2
d) ilhas representadas pelos pontos ‘A’ e ‘B’ e os pontos
2 ‘C’, ‘D’, ‘M’ e ‘P’ fixados no continente por um
e) K 2 + L2 observador. Sabe-se que ACB ˆ = ADB
ˆ = APB ˆ = 30 ‘M’ é
o ponto médio de CD = 100 m e que PM = 10 m
45. (ITA-01) Num trapézio retângulo perpendicular a CD. Nessas condições, a distância
circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é entre as linhas é de:
igual a 18 cm e a diferença dos dois outros lados é a)150 m
igual a 2 cm. Se r é o raio da circunferência inscrita b)130 m
e a é o comprimento do menor lado do trapézio, c) 120 m
d) 80 m
então a soma a+r (em cm) é igual a: e) 60 m
a) 12
b) 11 49. (CN-14) Analise a figura a seguir.
c) 10
d) 9
e) 8

46. (ITA-18) Os lados de um triângulo de vértices

A, B e C medem AB = 3 cm, BC = 7 cm e

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Na figura acima, a circunferência de raio 6 tem

centro em C. De P traça-se os segmentos PC, que 51. Os centros de três circunferências tangentes
corta a circunferência em D, e PA, que corta a entre si duas a duas externamente determinam um
circunferência em B. Traça-se ainda os
triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 12 cm. O raio da
segmentos AD e CB, com interseção em E.
Sabendo que o ângulo APC e 15◦ e que a circunferência maior é
distância do ponto C ao segmento de reta AB é a) 5 cm
3 2 , qual é o valor do ângulo ? b) 6 cm
a) 75◦ c) 7 cm
b) 60◦ d) 8 cm
c) 45◦
d) 30◦ 52. Considere as afirmativas a seguir.
e) 15◦ I - Sendo 2 cm e 4 cm os raios de duas
circunferências ortogonais, a distância entre os
CIRCUNFERÊNCIAS IV – CÍRCULOS TANGENTES seus centros mede 5 cm
II – Os centros de duas circunferências tangentes
50. Calcule o valor de x sempre estão alinhados com o ponto de tangência
entre elas.
a)
III – Se é ABC um triângulo retângulo de catetos
AB = 12cm e AC = 5cm e P o seu incentro, então
PC = 4 13 cm
Assinale a alternativa correta.
a) V V V
b) V F V
c) F F V
d) F V F
e) F F F

53. Quatro circunferências de raio R tangenciam-

b) sendo AB = 41
se duas a duas externamente como mostra a
figura.

c)

O raio da circunferência menor, tangente as outras

quatro, é
a) R ( 2 −1)
b)
R ( 2 −1 )
2

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c)
R
b)
(3 + 2 3 ) a
2
3
R
d)
4
c)
(3 + 3 ) a
3
54. (ESPM/SP-12) A figura mostra um quadrado,
dois círculos claros de raios R e dois círculos (
d) 1 + 2 3 a )
escuros de raios r, tangentes entre si e aos lados do e) ( 3 + 2 3 ) a
quadrado.

57. Considere um semicírculo de centro O,

diâmetro AB e raio R. Construa interiormente a esse
semicírculo dois outros de diâmetros AO e OB e
um círculo tangente interiormente ao primeiro e
exteriormente ao segundo e terceiro semicírculos. O
raio deste círculo é:
R
a)
2
R
b)
A razão entre R e r é igual a:
3
a) 2 R
c)
b) 3 4
3 2R
d)
c) 5
2
d) 2
58. (CN-11) ABCD é um quadrado de lado L. Sejam
5
e) K a semicircunferencia, traçada internamente ao
2
quadrado, com diâmetro CD, e T a
55. Considere um quadrado Q de lado a e cinco semicircunferencia tangente ao lado AB em A e
círculos de mesmo raio r, interiores a Q, dos quais tangente à K. Nessas condições, o raio da
um é concêntrico com Q e tangente exteriormente semicircunferencia T será
aos quatro outros, e cada um destes tangencia dois 5L
a)
lados consecutivos de Q. Então, r é igual a: 6

a)
(
a 2− 2 ) b)
4L
5
3
( )
2L
a 3− 2 c)
3
b)
8 3L
d)

c)
a ( 2 −1 ) L
5

2 e)
3
a
d)
5 59. Sejam dois círculos tangentes exteriormente de
mesmo raio R. calcule o raio do círculo tangente aos
56. (EN-13) Uma lata de querosene tem a forma de
dois primeiros e à tangente comum externa.
um cilindro circular reto cuja base tem raio R.
Colocam-se três moedas sobre a base superior da
lata, de modo que estas são tangentes entre si e
tangentes à borda da base, não existindo folga. Se
as moedas têm raio ‘a’ e encontram-se presas, então
o valor de R em função de ‘a’, vale

a)
(1 + 2 3 ) a
3

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R
a)
2
R
b)
3
R
c)
4
R
d)
5

60. Sejam dois círculos de raios 4 e 1, tangentes

exteriormente como mostra a figura.

As circunferências C1 e C2 têm raios a e b,

respectivamente. Qual é o raio da circunferência
C3?

a) 2 a2 + b2
b) a + b
c) 2 ab
4ab
d)
a+b
O raio do círculo tangente a este círculo e a tangente e) 2b −a
comum externa a eles mede
1
a) Gabarito
2
1
b)
3 CIRCUNFERÊNCIAS I – ÂNGULOS NA
3 CIRCUNFERÊNCIA
c)
5
1. a) 100° b) 55° c) 80° d) 90° e) 79° f) 95° g)
4 55° h) 15°
d)
9
2. A
61. (UFRJ-07 adaptada) Uma semiesfera de vidro,
de raio interno R, é posta sobre uma mesa plana,
conforme a figura. Entre as duas, é colocada ainda 3. x + y = 215
uma bola de raio r. No espaço remanescente (entre
a semiesfera, a mesa e a bola), colocam-se bolas de 4. C
raio r, de modo que r seja o maior possível.
5. C

6. C

7. D

8. A
Calcule r.

62. (OBM-02) A figura abaixo mostra duas retas 9. D

paralelas r e s. A reta r é tangente às
circunferências C1 e C3, a reta s é tangente às 10. B
circunferências tocam-se como também mostra a
figura. 11. C
Resolução
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Como o ponteiro das horas está sobre o ponto A e  
49 + 34 + x = 180  x = 97  

o ponteiro dos minutos sobre C. Calcularemos o Seja y a medida do ângulo 5. No triângulo ADE
ângulo  fazendo o suplemento do ângulo, variado temos:
pelos ponteiros dos minutos em 25 minutos que é
( ) ( )
−
ˆ
m ADE ˆ = 79 .
+ 49 + 18 + 34 = 180  m ADE
dado por:
60 min – 360o x̂ = 150  = 30o
Portanto m (EA ) = 158 e y = 79 (ângulos inscritos).
25 min – x
O ângulo  varia pelos ponteiros das horas em 25 Seja z a medida do ângulo 6. Como o ângulo 2 é
minutos é dado por: inscrito, temos m (BD) = 36 e
60 min – 30o = 12,5o m (EA ) − m (BD) 158 − 36
25 min –  z= z= = 61
2 2
Observando na figura que  = 90o +  +  = 90o + Seja t a medida do ângulo 7. Como o ângulo 3 é
30o + 12,5o = 132,5o e que o triângulo OEB é
inscrito, temos m (DE) = 68 e
equilátero, temos que a medida do ângulo ŵ = 60o.
132,5o m (EA ) − m (BE ) 158 − 104
Como o ângulo ẑ + ŵ = + 60o = 66,5o + 60o = m (BE) = m (DE ) + m (BD) = 104 e t= = = 27
2 2 2
126,25o. 158 − 104
= 27
2
12. B
Resolução 19. A
Resolução

Se os ângulos P, ˆ Qˆ e Rˆ estão, nesta ordem, em P.A.

de razão 20°, então:
Da figura temos: ˆ − 20 e R ˆ + 20 (1)
 Pˆ = Q ˆ =Q
(1)  + 2 =
2
ˆ +R
Sendo Pˆ + Q ˆ = 180 resulta
ˆ − 20 + Q ˆ +Qˆ + 20 = 180
( 2) ˆ =+ 
ABC
Q
2 
3Q = 180  Q ˆ = 60
Em (1), R̂ = 80 .
Isolando  em (2) e substituindo esse valor em (1) Sendo o triângulo PQR circunscrito à circunferência
3 ˆ . de centro O, então os pontos A, B e C são os
temos  =  − 2ABC
2 respectivos pontos de tangência dos lados PR, RQ e
PQ, e O é o encentro do triângulo PQR.
13. E Como RO é bissetriz do ângulo PRQ , resulta

14. E
()
m ˆI ^ = 40 .

Do triângulo ROB, retângulo em B̂ , m 4ˆ ^ = 50 . ()

15. A O quadrilátero BOCQ é inscritível numa
circunferência, porque ˆ = 90 .
B̂ = C Assim,
16. C () ()
ˆ = 180, ou seja, m 2ˆ + 60 = 180  m 2ˆ ^ = 120  .
m 2ˆ + Q ()
ˆ
O ângulo BAC está inscrito na circunferência de
17. A ˆ
centro O e seu ângulo central BOC mede 120°, logo

18. D () 1
m 3ˆ =  120 = 60 .
2
Resolução
Seja x a medida do ângulo 4. No triângulo formado () () ()
Portanto, m 1ˆ = 40 , m 2ˆ = 120, m 3ˆ = 60 e m 4ˆ = 50  . ()
pelos ângulos 1, 3 e 4 temos:
Prof. Eric Cariello Página 13
Turma Especial AFA EN EFOMM – 31 de março
20. A
32. B
21. Resolução
33. E

CIRCUNFERÊNCIAS III – RETAS E

CIRCUNFERÊNCIAS
34. C

35. a) 3 cm b) 2 cm c) 2 cm d) 5 cm e)
4 2 cm f) 2 cm
36. C
37. B

Se KL deve ser o diâmetro da circunferência que 38. A

^
passa por O, então, devemos provar que K OL = 90º Resolução
3
^
OK é bissetriz de MK P e OL é bissetriz de PL N Já
^
Como a= , b = 1, c = 1 tem-se que a2 + c2 = b2
2
^ ^ ^ ^
que MK P + PLN = 180º , temos que OK L + OLK = 90º consequentemente o triângulo é retângulo em B. Se
^
P e Q são os pontos de tangência da circunferência
Logo, K OL = 90º com os prolongamentos dos lados AB e BC
^ respectivamente então o quadrilátero IPBQ é um
K OL pertence a circunferência de diâmetro KL quadrado cujo lado é o raio procurado. Temos então
O encontra-se na circunferência de diâmetro KL que
1 3
+ 1+
22. demonstração 2 −1= 3 +1
r = p−c = 2
2 2 4
23. demonstração
39. B

40. A
CIRCUNFERÊNCIAS II – COMPRIMENTO Resolução
DE ARCO

24. D

25. E

26. E

27. C
a = b −n+c −n
Resolução
Perímetro de cada círculo: 2.10 = 20 b+c −a
n=
Como são 4 quartos de círculo, temos nas curvas o 2
comprimento de 20 cm de correia
as distâncias AB, CD, EF e GH são idênticas e 41. D
iguais a 2 raios, ou seja, 20cm cada.
Perímetro da correia: 20 + 80 = 20( + 4) 42. B

28. B
43. B
29. C
44. E
30. A
45. C
31. D Resolução
Considere a figura seguinte
Página 14
 Turma IME/ITA
49. A

CIRCUNFERÊNCIAS III – CÍRCULOS TANGENTES

50. a) 12 b) 40 c) 12

51. C

52. D

Do enunciado temos que a + b = 18 (1) e d – c = 2 53. A

(2).
Como o trapézio é circunscritível, d + c = 18 (3).
54. C
d − c = 2
De (2) e (3) temos o sistema  , onde d = 10
d + c = 18
55. C
e c = 8.
Resolução
Como 2r = c, vem 2r = 8, ou seja, r = 4.
Marcando-se os centros dos círculos e os pontos
No triângulo retângulo BDC, pelo teorema de
Pitágoraas, temos e2 + c 2 = d2 , ou seja, e2 + 82 = 102 .
Logo, e = 6.
Sendo e = 6 e s
ABENDO-SE QUE B – A = E, VEM B – A = 6 (4).
a + b = 18
De (1) e (4) temos o sistema  , onde a = 6 e
b − a = 6
b = 12.
Então, a soma a + r é 6+4, ou seja, 10.

46. A

47. A
Resolução
Observe a figura abaixo: a  a − 2r
 − r  2 = 2r  = 2r
2  2
a
2
2 − r 2 = 2r 
a 2
2
= 2+ 2 r ( )
a
(
 = 2 +1  r 
a
)
=r
2 2 2 +1 ( )
r=
a ( 2 −1 )
2
Onde temos MY = MX , YN = NZ , XQ = QW e 56. B
(segmentos tangentes) PQ + PR + QR = 25, QR =
10, logo PQ + PR = 15, donde PM + MQ + PN + NR 57. B
= 15  PM + PN + MQ + NR = 15 (I). Resolução
Note que MQ + NR = MX + XQ + NZ + ZR 
MQ + NR = MY + YN + XQ + ZR
MQ + NR = MN + QW + WR = MN + QR = MN + 10 ,
substituindo em (II) temos PM + PN + MN = 5 .

48. B

Prof. Eric Cariello Página 15

Turma Especial AFA EN EFOMM – 31 de março

AB 2 + ( 4 − r ) = ( 4 + r )
2 2

 AB 2 = ( 4 + r + 4 − r )( 4 + r − 4 + r )
 AB 2 = 8  ( 2r ) = 16r  AB = 4 r
BC 2 + (1 − r ) = (1 + r )
2 2

 BC 2 = (1 + r + 1 − r )(1 + r − 1 + r )
 BC 2 = 2  ( 2r ) = 4r  BC = 2 r
AC = 6 r
2 2
R  R
 + r  = (R − r) +  
2

2  2 AC = 2 4 1 = 4
R2 R2 4
+ Rr + r 2 = R 2 − 2rR + r 2 + 6 r =4r =
4 4 9
R
R 2 = 3Rr  r = R
3 61.
4
58. C
62. C
59. C
Resolução

(R + r) = R2 + ( R − r )
2 2

R 2 + 2 Rr + r 2 = R 2 + R 2 − 2 Rr + r 2
4 Rr = R 2
R
r=
4
Alternativa C

60. D
Resolução

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