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Ponto e Reta - Notas de Aula
Ponto e Reta - Notas de Aula
Ponto e Reta - Notas de Aula
Consideremos dois eixos orientados, x e y, perpendiculares em O. O plano determinado por esses eixos
é chamado plano cartesiano.
Cada uma das partes em que o plano fica dividido pelos eixos x e y recebe o nome de quadrante. Os
quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, como mostra a figura ao lado:
• O eixo x (ou eixo Ox) recebe o nome de eixo das abscissas.
• O eixo y (ou eixo Oy) recebe o nome de eixo das ordenadas.
• O ponto O é a origem do sistema de eixos cartesianos ortogonal ou retangular. Esse sistema
frequentemente indicado por xOy.
Dado um ponto P qualquer do plano cartesiano, traçamos por P as retas paralelas aos eixos x e y. Sejam
P1 e P2 os pontos de interseção dessas retas com os eixos x e y, respectivamente.
Dizemos que:
• a abscissa de P (indica-se por xP ) é a medida algébrica do segmento ̅̅̅̅̅
OP1 ;
• a ordenada de P (indica-se por yP ) é a medida algébrica do segmento ̅̅̅̅̅
OP2 ;
• as coordenadas de P são os números reais xP e yP , indicados, em geral, na forma do par ordenado
(xP , yP ).
Exemplo 01: Um ponto P possui coordenadas dadas por P(−2,4). Isso significa que a abscissa de P vale
−2 e sua ordenada vale 4.
P encontra-se no 2º quadrante, como mostra a figura.
Observações:
• Um ponto pertence ao eixo das abscissas se sua ordenada é nula. Desse
modo, para todo a ∈ ℝ, o ponto (a, 0) pertence ao eixo x.
• Um ponto pertence ao eixo das ordenadas se sua abscissa é nula. Assim,
para todo b ∈ ℝ, o ponto (0, b) pertence ao eixo y.
• Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares se suas
coordenadas são iguais.
1.2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos distintos A e B do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do
segmento de reta que tem esses dois pontos por extremidades.
dAB = |xA − xB |
dAB = |yA − yB |
dPQ = |−2 − 3| = 5 u. c.
Exemplo 03: Calcule a distância entre os pontos R(3, −2) e S(3, 2).
dRS = |−2 − 2| = 4 u. c.
2
Exemplo 05: Calcule a distância entre os pontos C(3, −2) e D(−1, 4).
Exemplo 06: Calcule a distância entre os pontos C(3, −2) e D(−1, 4).
Mostre que o triângulo de vértices A(2, 2), B(−4, −6) e C(4, −12) é retângulo e isósceles. Em seguida,
determine seu perímetro.
2
(10√2) = 102 + 102
10 + 10 + 10√2 = 20 + 10√2
̅̅̅̅, temos:
Sendo M o ponto médio do segmento AB
xA + xB yA + yB
M( , )
2 2
3
1
Exemplo 07: Dados os pontos A(3, −2) e B (− 2 , −4), calcule as coordenadas do ponto médio do
segmento ̅̅̅̅
AB.
1 5
−2 +3 5 −2 + (−4) −6
xM = = 2 = e yM = = = −3
2 2 4 2 2
−2 + xB
0= ⇒ xB = 2
2
5 + yB
2= ⇒ yB = −1
2
Para que três pontos distintos A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) e C(x3 , y3 ) estejam alinhados, suas coordenadas
devem obedecer a seguinte condição:
Exemplo 09: Verifique se os pontos A(−2, −1), B(0, 3) e C(2, 7) estão alinhados.
−2 −1 1
|0 3 1| = −6 + 0 − 2 − 6 + 14 + 0 = 0
2 7 1
A, B e C estão alinhados.
Exemplo 10: Determine o valor de m de modo que (−2, 7), (m, −11) e (1, −2) estejam alinhados.
−2 7 1
| m −11 1| = 0
1 −2 1
22 + 7 − 2m + 11 − 4 − 7m = 0
9m = 36
m=4
4
2. RETA
A toda reta r do plano cartesiano está associada pelo menos uma equação do tipo ax + by + c = 0, em
que a, b e c são números reais, com a e b não nulos simultaneamente, e x e y são as coordenadas de um
ponto P(x, y) genérico de r. Costuma-se escrever
r: ax + by + c = 0
Exemplo 01: Obtenha a equação geral da reta r que passa pelos pontos A(3, 2) e B(−2, −1).
3 2 1
|−2 −1 1| = 0
x y 1
−3 + 2x − 2y + x − 3y + 4 = 0
3x − 5y + 1 = 0
Exemplo 03: Seja r a reta que passa pelos pontos (1, 2) e (−2, 5).
Determine:
5
1 2 1
| −2 5 1| = 0
x y 1
5 + 2x − 2y − 5x − y + 4 = 0
−3x − 3y + 9 = 0
Ponto M: devemos determinar o ponto de r cuja ordenada é nula. A partir da equação da reta r, obtemos:
−x − 0 + 3 = 0 ⇒ x = 3
M(3, 0)
Ponto N: devemos determinar o ponto de r cuja abscissa é nula. A partir da equação da reta r, obtemos:
−0 − y + 3 = 0 ⇒ y = 3
M(0, 3)
Basta isolar o y em r: −x − y + 3 = 0
−x − y + 3 = 0 ⇒ y = −x + 3
2x − y = 1
{ ⇒ x = 2ey =3 ⇒ I(2, 3)
4x + 3y = 17
6
2.2. EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA RETA
Seja r a reta determinada pelos pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ). Vamos considerar dois casos:
Assim,
m ∙ xA + n = yA −m ∙ xA − n = −yA
{ ⇒ { m∙x +n = y
m ∙ xB + n = yB B B
m(xB − xA ) = yB − yA
yB − yA
m=
xB − xA
∆y
m=
∆x
m = tg(α)
Exemplo 05: Na figura abaixo, a medida do ângulo de inclinação de r é 60°, e r intersecta o eixo das
ordenadas em (0, 2). Obtenha a equação reduzida de r.
m = tg(60o ) = √3
n=2
Assim, r: y = √3x + 2.
7
Exemplo 06: A reta s passa pelos pontos A(1, 2) e B(−2, 5). Determine a equação reduzida de s.
∆y 5−2 3
m= = = = −1
∆x −2 − 1 −3
s: y = −1 ∙ x + n
Como não sabemos qual é o ponto em que s intersecta o eixo y, podemos substituir x e y pelas
coordenadas de um ponto que pertença a r (por exemplo, o ponto A), a fim de determinar o valor de n:
2 = −1 ∙ 1 + n ⇒ n=3
2.3. PARALELISMO
Duas retas paralelas distintas formam com o eixo das abscissas ângulos congruentes; assim, se ambas
não são verticais, seus coeficientes angulares são iguais.
Observe a figura ao lado, que mostra duas retas paralelas não verticais.
Temos:
𝑟1 // 𝑟2 ⟹ 𝑡𝑔(𝛼) = 𝑚1 = 𝑚2
r: y = 3x − 2 ⇒ mr = 3
5
s: 6x − 2y + 5 = 0 ⇒ 2y = 6x + 5 ⇒ y = 3x + ⇒ ms = 3
2
Portanto, mr = ms = 3 ⇒ r e s paralelas.
5
Como nr = −2 ≠ = ns , as retas r e s são paralelas distintas.
2
8
Exemplo 08: Seja a reta r: y = 2x − 1. Obtenha a equação de uma reta s paralela à reta r que passa pelo
ponto P(1,4).
2.4. PERPENDICULARIDADE
Sejam as equações r: y = mr + nr e s: y = ms + ns .
Se r e s são perpendiculares entre si, e denotamos r ⊥ s, então
mr ∙ ms = −1
x 5 1
r: 2x − 4y + 5 = 0 ⇒ 4y = 2x + 5 ⇒ y= + ⇒ mr =
2 4 2
s: y = −2x + 3 ⇒ ms = −2
1
mr ∙ ms = ∙ (−2) = −1 ⇒ r e s são perpendiculares entre si.
2
Exemplo 10: Determine uma equação geral da reta s, perpendicular a r: y = 3x + 1, traçada pelo ponto
P(4,0).
1
Assim, temos s: y = − 3 x + n.
1 4
Como s passa por P(4,0), temos 0 = − 3 ∙ 4 + n ⇒ n = 3.
Assim, a equação de s é:
x 4
y=− + ⇒ 3y = −x + 4 ⇒ x + 3y − 4 = 0
3 3
9
2.5. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
A distância entre um ponto e uma reta é a distância do ponto ao “pé da perpendicular” à reta dada,
traçada pelo ponto.
|a ∙ x0 + b ∙ y0 + c|
d=
√a2 + b 2
|1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 − 2| 6 6√5
d= = =
√12 + (−2)2 √5 5
Exemplo 11: Os vértices de um triângulo ABC são A(−2, −4), B(1, −2) e C(2, 5). Determine a medida da
altura relativa ao lado ̅̅̅̅
AB.
−2 −4 1
⃡AB : | 1 −2 1| = 0 ⇒ 2x − 3y − 8 = 0
x y 1
⃡ .
Agora, basta encontrar a distância entre C(2, 5) e AB
|2 ∙ 2 − 3 ∙ 5 − 8| 19 19√13 19√13
dC,AB
⃡ = = = ⇒ hc =
√22 + (−3)2 √13 13 13
A área da superfície limitada pelo triângulo MNP, em que M(xM , yM ), N(xN , yN ) e P(xP , yP ), é dada por:
xM yM 1
1
A = ∙ |D|, em que D = | xN yN 1|
2
xP yP 1
10
Exemplo 12: calcule a área do triângulo de vértices A(2, 3), B(1, 8) e C(−5, 2).
2 3 1
D=| 1 8 1| = 16 − 15 + 2 + 40 − 3 − 4 = 36
−5 2 1
1 1
A= ∙ |D| = ∙ |36| = 18
2 2
AABC = 18 u. a.
11