CÁLCULO I

Tópico 1 – Funções

Notas de Aula

1
 Tópico 1. Funções

1.1 – FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, REPRESENTAÇÕES E DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO

O conceito de função, junto com sua representação gráfica, é certamente um dos

mais importantes em Matemática e tem lugar de destaque em outras áreas do
conhecimento. Frequentemente, se observa que uma grandeza é função de outra e,
então, tenta-se encontrar uma fórmula razoável para representar essa função. A busca
de uma função que representa uma determinada situação é chamada modelagem
matemática (e a função escolhida é o modelo matemático).
Inicialmente, estudaremos as ideias intuitivas ligadas à noção de função, e em
seguida, iremos estudar mais formalmente esse importante conceito.

Exemplo 1. O número de litros de gasolina e o preço a pagar.

Suponha que o preço do litro da gasolina seja R$ 5,00. Complete a tabela e represente
as informações graficamente.
Representação gráfica:
Número de litros Preço a pagar

⋮ ⋮

X P=

Nessa situação, o preço a pagar é calculado em função do número de litros. Assim

temos que:
• O número de litros é a variável ............................................
• O preço a pagar é a variável ............................................

Uma função, de uma variável x , é uma relação que associa a cada valor de x um
único número f (x ) , chamado de valor da função em x . A variável x é chamada de
variável independente. O conjunto dos valores que a variável independente pode
assumir é chamado de domínio da função. A imagem da função é o conjunto de valores
que a função assume.

2
 Os domínios e as imagens de muitas funções são intervalos ou combinações de
intervalos. Esses intervalos podem ser abertos, fechados ou semiabertos e finitos ou
infinitos. Complete a tabela abaixo (com alguns exemplos):

Notação de conjunto Representação na reta Notação de intervalo

A = {x  IR / 1 ≤ x ≤ 5}
B = {x  IR / 1 < x < 5}
C = {x  IR / x > 0}
D = {x  IR / x ≤ 0}

Exemplo 2. Um retângulo tem 450 m² de área. Seja x a medida de um dos lados do

retângulo. Expresse o perímetro em função de x e o determine domínio contextual dessa
função.

Exemplo 3. Deseja-se construir uma caixa sem tampa, de base quadrada, a partir de
uma folha de papel cartaz quadrada de lados medindo 50 cm. Para a construção da
caixa, é necessário retirar de cada canto da folha de papel cartaz um quadrado de lado
“x”. Qual o volume da caixa em função de x? Qual o domínio contextual dessa função?

3
NOTAÇÃO, REPRESENTAÇÕES E ZEROS
Como o valor y é determinado a partir do valor de x, dizemos que y é função de
x e escrevemos y = f (x) , onde

✓ f é o nome da função,
✓ x é a variável independente e
✓ y a variável dependente.
Uma função possui várias representações: gráfico, lei, fórmula, tabela ...
Observe que nem toda curva no plano cartesiano será o gráfico de uma função.
Lembre-se que no conceito de função, temos que para cada valor de x temos um único
valor de y relacionado. Portanto, nenhuma reta vertical poderá cruzar o gráfico de uma
função mais de uma vez.
Chamamos de zeros ou raízes da função os valores de x, para os quais temos
f(x) = 0.

Exemplo 4. Observe os gráficos e verifique quais podem ou não representar funções.

Exemplo 5. Sendo f : R → R a função definida por f (x ) = 3x − 5 , determine:

a) 𝑓(4)

b) x tal que f(x) = 4.

c) o zero (ou raiz da função).

4
DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO

Para determinar o domínio de uma função é fundamental lembrar que, no

conjunto dos reais (IR),
✓ uma divisão só existe quando o denominador é ≠ 0; e
✓ uma raiz de índice par só existe quando o radicando é ≥ 0

Exemplo 6. Determine o domínio (campo de existência) das seguintes funções:

𝑥
𝑎) 𝑓(𝑥) =
𝑥+2

𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1

𝑐) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 5

3𝑥 + 4
𝑑) 𝑓(𝑥) =
√3 − 2𝑥

Exemplo 7. Considere a função cujo gráfico é representado abaixo.

Determine:
a) os zeros da f.
b) f(-2).
c) x, tal que f(x) = -2.
d) x, tal que f(x) < 0.
e) o domínio e a imagem de f.

5
 ATIVIDADES1

1) Em um retângulo a medida da base é o dobro da medida da altura. Nessas condições,

expresse a área do retângulo em função:
a) da medida de sua altura “h”.
b) da medida de sua base “b”.

2) Considere um quadrado de lado ℓ, perímetro 𝑃 e área 𝐴. Nessas condições, expresse:

a) 𝑃 em função de ℓ
b) ℓ em função de 𝑃
c) 𝐴 em função de ℓ
d) 𝐴 em função de 𝑃

3) Um retângulo tem uma área de 16 m2. Expresse o perímetro do retângulo como uma
função do comprimento “x” de um de seus lados.

4) Um retângulo tem perímetro 20 m. Expresse a área do retângulo como uma função

do comprimento “x” de um de seus lados.

5) Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com
dimensões de 12 cm por 20 cm. Para isso, devem-se cortar quadrados de lado x de
cada canto e depois dobrar. Expresse o volume V da caixa em função de x.

6) Um aquário aberto em cima, com 15 cm de altura, tem

um volume de 15.000 cm3. Sendo x e y as medidas do
comprimento e da largura, respectivamente, determine:
(a) y em função de x;
(b) sendo “A” a área total de vidro necessário para
confecção do aquário, expresse A em função de x.

1 Stewart, J. Cálculo Volume 1 (7ª edição) p.20-21.

6
7) Considere um curral retangular com uma partição no meio, como aparece na figura
abaixo.

Sabendo que são necessários 1200 m de cerca para construir o curral (incluindo a
partição), determine:
a) a área total do curral em função da medida x indicada.
b) o domínio contextual dessa função.

8) Uma área retangular com 288 m2 deverá ser cercada. Na frente e no fundo do terreno
deverá ser usada uma cerca que custa R$ 1,00 o metro e, nos lados restantes, uma
cerca que custa R$ 2,00 o metro. Expresse o custo da cerca em função da medida x do
lado da frente do terreno.

9) Uma caixa com tampa, de base quadrada, tem volume igual 90 cm 3.

O custo do material empregado para base é R$ 50,00 por cm2 e para as
laterais é R$ 25,00 por cm2. Expresse o custo de fabricação da caixa em
função da medida “x” do lado da base. Determine também o domínio
contextual da função.

10) Dos gráficos abaixo, quais não podem representar y como função de x?

7
11) Sendo a função real de variável real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3, determine:
a) 𝑓(0).
b) 𝑓(−2)
c) x, tal que 𝑓(𝑥) = 1.

12) Determine o domínio das seguintes funções:

x 2 − 3x
a) f ( x ) = b) f ( x) =
2x −1 7 x + 14

3
x−4
c) f ( x ) = d) f ( x) = 2 x − 6
4

x −1 2x
e) f ( x) = 3 − 12 x f) y = +
x x+4

13) Considere a função y = f(x) cujo gráfico é representado abaixo.

Determine
a) os zeros da f.

b) f(2).

c) x, tal que f(x) = 6.

d) x, tal que f(x) > 0.

e) o domínio e a imagem de f.

EXERCÍCIOS ANTON H., BIVENS I., DAVIS S. CÁLCULO. VOLUME 1 (10ª ED)
Exercícios de compreensão 0.1 (P.11): 2, 3a, 3b, 3c, 4 e 5
Exercícios 0.1 (P.12): 3, 7, 29a, 29b, 31a, 31b, 31c

8
Respostas das atividades:
𝑏2
1) 𝑎) 𝐴 = 2ℎ2 𝑏) 𝐴 =
2
𝑃 𝑃2
2) 𝑎) 𝑃 = 4 ℓ 𝑏) ℓ = 4
𝑐) 𝐴 = ℓ2 𝑑) 𝐴 = 16
32
3) 𝑃 = 2𝑥 + , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ∈ (0, +∞).
𝑥
4) 𝐴 = 10𝑥 – 𝑥 2 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ∈ (0, 10).
5) 𝑉 = 4𝑥 3 – 64𝑥 2 + 240𝑥, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ∈ (0, 6).
1000 30000
6) 𝑎) 𝑦 = 𝑏) 𝐴 = 1000 + + 30𝑥, 𝑜𝑛𝑑𝑒 x ∈ (0, +∞).
𝑥 𝑥
2𝑥 2
7) 𝑎) 𝐴 = 400𝑥 – 𝑏) 𝑥 ∈ (0, 600)
3
1152
8) 𝐶 = 2𝑥 + , 𝑜𝑛𝑑𝑒 x ∈ (0, +∞).
𝑥
9000
9) 𝐶 = 100𝑥 2 + , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ∈ (0, +∞).
𝑥
10) 𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔
11) 𝑎) – 3 𝑏) 1 𝑐) 𝑥 = ±2
1 1
12) 𝑎) 𝐼𝑅 – { } 𝑏) 𝐼𝑅 – {– 2} 𝑐) 𝐼𝑅 𝑑) [3, +∞) 𝑒) (−∞, ] 𝑓) [1, +∞)
2 4
13) a) -5, 0 e 3 b) 3 c) x = -2 ou x = 1 d) (-5, 0) U (0, 3) e) D = [-7, 5] e Im = [-6, 6]

1.2 – FUNÇÕES POLINOMIAIS

FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição: é toda função do tipo y = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , onde
𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , ..., 𝑎0  IR e n  {0, 1, 2, ..., n}.

Exemplo: complete as lacunas corretamente:

(a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 4𝑥 − 1 é uma função polinomial de grau .......
(b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5𝑥 2 + 1 é uma função polinomial de grau ........
(c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 é uma função polinomial de grau .......
(d) 𝑓(𝑥) = 6 é uma função polinomial de grau ...........

Observação: nesse momento do curso não iremos estudar funções polinomiais com
grau maior do que 2.

9
Função afim: é toda função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde a e b são números reais.
Nessa função, “a” é o coeficiente angular (ou declividade) e “b” é o coeficiente linear.
Observações:
• Se a = 0, a função afim é chamada de ........................
• Se a ≠ 0, a função afim é chamada de função polinomial de .....................

Informações importantes...
① Sobre o coeficiente angular (“a”)
∎ 𝒇 constante → ∎ 𝑓 crescente → ∎ 𝑓 decrescente →

② Sobre os interceptos:
∎ Para determinar onde a 𝒇 intercepta o eixo y,
basta substituir ....................

∎ Para determinar onde a 𝒇 intercepta o eixo x,

basta substituir ......................

Exemplo 1. Fazer o esboço do gráfico das seguintes funções:

𝑎) 𝑦 = 2 𝑐) 𝑦 = 2𝑥 – 6

4, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑏) 𝑦 = { 𝑑) 𝑓(𝑥) = – 4𝑥 + 2
−1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

10
Exemplo 2. Considere a função y = 3x + 1 e complete a tabela:

x y ∆x ∆y ∆𝑦
∆𝑥
-1
0
2
5

Observação importante: em qualquer função afim as variações de y e de x são

proporcionais e a constante de proporcionalidade é o coeficiente angular.

Coeficiente angular da reta que passa por (x1, y1) e (x2, y2):

𝑎=

Exemplo 3. Considere a função de 1º grau representada graficamente abaixo e

determine:

a) o coeficiente angular.

b) a lei da função.

11
Função quadrática: é toda função do tipo f (x ) = ax 2 + bx + c , onde a  R , b  R e
*

c  R . O gráfico dessa função é uma curva que recebe o nome de parábola. Nessas
funções destacamos:

(1º) A concavidade da parábola pode ser voltada para cima ou para baixo, dependendo
do sinal do coeficiente “a”.

a  0 (côncava para cima) a  0 (côncava para baixo)

(2º) O coeficiente “c” é a altura onde a parábola intercepta o eixo y.

(3º) Os zeros ou raízes da função da função quadrática são os números reais x tais

que f (x ) = 0 . Ou seja, são as soluções da equação ax + bx + c = 0 , que são dadas

2

pela fórmula:

− b  b 2 − 4ac
x=
2a
Geometricamente, as raízes reais são os pontos onde a curva intercepta o eixo x e a
quantidade de raízes depende do valor obtido para o radicando  = b 2 − 4ac .

0 =0 0

2 raízes reais e distintas 2 raízes reais e iguais não existem raízes reais

a0

a0

12
(4º) Toda parábola é composta de dois ramos simétricos em
relação a uma reta chamada de eixo de simetria. O ponto comum
à parábola e ao eixo de simetria é o ponto V , chamado de
vértice da função quadrática.

As coordenadas do vértice V (xV , yV ) são dadas por:

b y v = f ( xv ) ou 
xv = − e yv = − .
2a 4a

(5º) Imagem da função quadrática

1º caso: a  0 2º caso: a  0

Im = [yv, +∞) Im = (-∞, yv]

yv é o valor mínimo de f(x) yv é o valor máximo de f(x)

Exemplo 4. Faça um esboço do gráfico das funções mostrando interceptos, vértice,

valor máximo ou mínimo, domínio e imagem.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 b) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 − 10

13
 ATIVIDADES
1) Faça um esboço do gráfico das funções, mostrando os interceptos de x e y:
a) y = – x + 2
b) y = x + 4
c) f(x) = 2x – 1
d) y = 5 – 2x

2) Determine a equação das seguintes retas:

a) b)

3) A equivalência entre as escalas de temperatura geralmente é obtida por meio de uma

função polinomial do 1º grau, ou seja, uma função da forma y = a.x + b. Um grupo de
estudantes da escola politécnica da PUCRS desenvolveu uma nova unidade de medida
para temperaturas: o grau Otavius.
A correspondência entre a escala Otavius (O) e a escala Celsius (C) é a seguinte:

O C
6 18
60 36

Sendo f a função que expressa a temperatura em Celsius (C) em função da temperatura

em Otavius) determine a lei dessa função.

4) Uma barra de metal uniforme tenha 50 cm de comprimento e esteja isolada

lateralmente, enquanto as temperaturas nos extremos sejam mantidas a 25ºC e 85ºC,
respectivamente. Suponha que o eixo x seja escolhido conforme a figura abaixo e a
temperatura y em cada ponto desse eixo possa ser determinada em função de x por
meio de uma função polinomial do 1º grau, ou seja, uma função da forma y = ax + b.

14
Nessas condições determine a lei da função, para 0 ≤ x ≤ 50.
5) A locadora A aluga um carro por R$ 30,00 a diária mais R$ 0,20 por km rodado. A
locadora B o faz por R$ 40,00 a diária mais R$ 0,10 por km rodado. Dependendo da
distância percorrida o preço de uma das locadoras é mais vantajoso para o cliente.
Reflita sobre isso e defina um critério de escolha.

6) Construir o gráfico das seguintes funções com mais de uma sentença:

𝑥 + 2, se 𝑥 < 0 𝑥 + 1, se 𝑥 ≤ 0
a) 𝑓(𝑥) = { b) 𝑓(𝑥) = {
2, se 𝑥 ≥ 0 −𝑥, se 𝑥 > 0

7) Faça o esboço dos gráficos de cada uma das seguintes funções mostrando os
interceptos e o vértice.

a) y = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 b) 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 c) y = −x 2 + 4x − 4

8) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que
h(t) = – t2 + 6t, onde h é a altura dada em metros e t é o tempo dado em segundos,
responda:
a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?
b) Qual a altura máxima atingida pela bola?

9) Um fazendeiro pretende usar 80 metros de cerca

para proteger um bosque retangular às margens de
um riacho, como mostra a figura.
a) Determine a área da região cercada em função
de x, indicando seu domínio.
b) Qual o valor máximo possível para essa área?
Represente a graficamente essa função.

10) A temperatura 𝑇 de uma estufa (em graus Celsius) é determinada, em função da

hora 𝑥 do dia, pela expressão 𝑇(𝑥) = −𝑥 2 + 22𝑥 − 85, sendo 0 ≤ 𝑥 ≤ 24.
Responda:
a) em que horário a temperatura é máxima? Qual é a temperatura máxima?
b) em que período(s) do dia a temperatura é positiva? Justifique sua resposta com o
esboço do gráfico.

15
Respostas das atividades:
1)
a) b)

c) d)

1 3 1 6𝑥
2) 𝑎) 𝑦 = 2 𝑥 + 2 𝑏) 𝑦 = − 5 𝑥 + 3 3) 𝑦 = 3 𝑥 + 16 4) 𝑦 = 5
+ 25

5) Se a distância for menor do que 100 km é mais econômico a locadora A. Se for igual
a 100 km, o preço fica igual em ambas. Caso a distância seja maior do que 100 km é
mais econômico a locadora B.
6)
a) b)

16
7)
a) b) c)

8) a) 3 seg b) 9 m
9)
𝑎) 𝐴(𝑥) = 80𝑥 – 2𝑥 2 , 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ∈ (0, 40)
b) A área máxima é 800 m2.

10)
a) 11 horas, 36ºC
b) a temperatura é positiva entre às 5h e às 17h.

EXERCÍCIOS ANTON H., BIVENS I., DAVIS S. CÁLCULO. VOLUME 1 (10ª ED)
Exercícios 0.1 (p.13) : 9c, 9d e 23
Exercícios 0.3 (p.35): 1

17
1.3 – OBTENDO NOVAS FUNÇÕES A PARTIR DE ANTIGAS

➢ Operações aritméticas sobre funções

Sendo f e g funções podemos obter f + g , f − g , f .g e f / g, ditas,

respectivamente, função soma, função diferença, função produto e função quociente,

abaixo definidas:
(1) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
(2)(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
(3) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑓(𝑥)
(4) ( ) (𝑥) =
𝑔 𝑔(𝑥)

Em todos os casos o domínio da função resultante consiste na intersecção dos

domínios das funções f e g. Porém, no caso 4, também devem ser excluídos do domínio
os valores de x que anulam a função g.

2
Exemplo 1. Sendo f(x) = 3𝑥 + 4, g(x) = 𝑥 − 1 e ℎ(𝑥) = (com x ≠ 1), determine as
𝑥−1

funções pedidas em cada caso indicando seus domínios.

𝑎) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) =

𝑓
𝑏) ( ) (𝑥) =
𝑔

𝑐) (𝑔 ∙ ℎ)(𝑥) =

Composição de funções
Outra maneira de se combinar duas funções 𝑓 e 𝑔 consiste em substituir 𝑔(𝑥) em todas
as ocorrências da variável x em 𝑓(𝑥). A função resultante é chamada de composta de
f(x) e g(x) e denotada por (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) ou 𝑓(𝑔(𝑥)). O domínio de f  g é o conjunto de

valores de x tais que x  Domg e g(x)  Domf.

18
Exemplo 2. Sendo f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3x - 5, determine:
a) 𝑓(𝑔(𝑥)) =

b) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) =

c) (𝑓 𝑜 𝑓)(0)=

➢ Translações e reflexões de gráficos

Translação vertical
Sendo 𝑓(𝑥) = √𝑥, determine a lei da função y = 𝑓(𝑥) + 2 e esboce seu gráfico junto com
o gráfico de 𝑓.

Conclusão: o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 2 é igual ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) deslocado ..............

..............................................

Generalizando: sendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função qualquer e k uma constante positiva,

temos que o gráfico de:
❶ 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑘 é igual ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) transladado k unidades para ..............
❷ 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑘 é igual ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) transladado k unidades para ..............

19
Translação horizontal
Sendo 𝑓(𝑥) = √𝑥, determine a lei da função y = 𝑓(𝑥 + 2) e esboce seu gráfico junto com
o gráfico de 𝑓.

Conclusão: o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 2) é igual ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) deslocado ..............

..............................................

Generalizando: sendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função qualquer e k uma constante positiva,

temos que o gráfico de:
❶ 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑘) é igual ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) transladado k unidades para ..............
❷ 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑘) é igual ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) transladado k unidades para ..............

Exemplo 4. A função 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 está representada graficamente abaixo. Em cada caso,

esboce o gráfico de y = g (x) partindo do gráfico de f .

𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 2)2 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)2 + 1

20
Exemplo 5. Esboce o gráfico das funções 𝑓(𝑥) = |𝑥| e 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 2| + 1.

Exemplo 6. Complete a tabela:

Função mãe Função filha Deslocamento na “mãe” que gera a “filha”

a) 𝑓(𝑥) = log 𝑥 𝑔(𝑥) = log(𝑥 + 1)
b) 𝑓(𝑥) = log 𝑥 𝑔(𝑥) = 1 unidade para cima
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 2
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑔(𝑥) = 2 unidades para direita
e) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) = cos (𝑥 − 2) + 1

Reflexões

Considere a função y = √𝑥 e esboce:

a) o gráfico de 𝑦 = −√𝑥. b) o gráfico de 𝑦 = √−𝑥

Conclusão: dada uma função y = f(x), o gráfico de

• y = – f(x) é obtido através da reflexão do gráfico de f no eixo .......
• y = f(–x) é obtido através da reflexão do gráfico de f no eixo .......

21
Exemplo 7. Considere a função y = f(x), cujo gráfico está representado abaixo.

Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:

a) y = f(-x) b) y = – f(x)

➢ Algumas funções importantes e seus gráficos

❖ A família y = xp

𝑦=𝑥 𝑦 = 𝑥3 𝑦 = 𝑥5

𝑦 = 𝑥2 𝑦 = 𝑥4

22
 1 1
𝑦= 𝑦=
𝑥 𝑥2

3
𝑦 = √𝑥 𝑦 = √𝑥

ATIVIDADES
1) Sendo f(x) = 3x + 4 e g(x) = 2x – 6,
encontre:
𝑎) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =
𝑏) (𝑓 – 𝑔)(𝑥) =
𝑐) (𝑓. 𝑔)(𝑥) =
𝑓
𝑑) ( ) (𝑥) =
𝑔

2) Sendo f(x) = 3x + 4 e g(x) = 2x – 6, encontre:

𝑎) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) =
𝑏) (𝑔 𝑜 𝑔)(3) =

3) Considere as funções 𝑓 e 𝑔 abaixo e determine o que é pedido em cada caso:

1 𝑥
𝑓(𝑥) = (𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0) 𝑒 𝑔(𝑥) =
𝑥 𝑥2 +1
𝑎) (𝑓 . 𝑔)(𝑥) =
𝑓
𝑏) ( ) (𝑥) =
𝑔

23
4) A numeração de tênis é diferente em vários países, porém existe uma forma para
x
converter essa numeração de acordo com os tamanhos. Assim, a função g ( x ) =
6
converte a numeração dos tênis fabricados no Brasil para a dos tênis fabricados nos
Estados Unidos, e a função f(x) = 40x + 1 converte a numeração dos tênis fabricados
nos Estados Unidos para a dos tênis fabricados na Coreia. Qual a função que converte
a numeração dos tênis brasileiros para a dos tênis coreanos?

3
5) Partindo do gráfico de 𝑦 = √ 𝑥, quais deslocamentos devemos fazer para obter o
3
gráfico de 𝑦 = √𝑥 − 3 − 1? Faça o esboço das duas funções num mesmo sistema de
coordenadas.

6) Partindo do gráfico de 𝑦 = |𝑥|, obtenha o gráfico de:

a) 𝑦 = |𝑥| + 1
b) 𝑦 = − |𝑥|

7) Seja 𝑓1 a função cujo gráfico é dado ao lado.

Esboce, em sistemas cartesianos diferentes, o
gráfico das funções:
a) 𝑦 = −𝑓1 (𝑥)
b) 𝑦 = 𝑓1 (𝑥) − 2
c) 𝑦 = 𝑓1 (𝑥 + 3)

Respostas das atividades:

1)
𝑎) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 5𝑥 − 2
𝑏) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 10
𝑐) (𝑓 . 𝑔)(𝑥) = 6𝑥2 − 10𝑥 − 24
𝑓 3𝑥 + 4
𝑑) ( ) (𝑥) = , 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 3
𝑔 2𝑥 − 6

2)
𝑎) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 6𝑥 − 14
𝑏) (𝑔 𝑜 𝑔)(3) = −6

24
3)
1 𝑓 𝑥2 + 1
𝑎) (𝑓 . 𝑔)(𝑥) = 2
, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0 𝑏) ( ) (𝑥) = , 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0
𝑥 +1 𝑔 𝑥2

4)
20𝑥
𝑓(𝑔(𝑥)) = +1
3

5)
3 unidades p/ direita e 1 unidade p/ baixo

6)
a) b)

7)

EXERCÍCIOS ANTON H., BIVENS I., DAVIS S. CÁLCULO. VOLUME 1 (10ª ED)
Exercícios de compreensão 0.2 (p.24): 3
Exercícios 0.2 (p.24): 9, 13, 15, 17, 23, 27, 29, 31, 35, 37, 39

25
1.4 – FUNÇÕES INVERSAS, FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

FUNÇÃO INVERSA
Uma função tem inversa somente quando é bijetora, isto é:
✓ cada valor de x está associado a apenas um valor de y; e
✓ cada valor de y está associado a apenas um valor de x.

Exemplo 1. Determine se as funções, definidas de IR em IR, tem inversa.

a) f(x) = x2 b) f(x) = 2x + 1

Se 𝑓 é BIJETORA, então invertendo-se seus pares ordenados temos uma nova

função. Essa nova função é a inversa de 𝑓 e é representada por 𝑓 −1.
Se o ponto (𝒂, 𝒃) ∈ 𝒇, então (𝒃, 𝒂) ∈ 𝒇−𝟏 .

Para encontrarmos a lei da função inversa a partir da lei da função devemos:

✓ trocar x por y e y por x;
✓ isolar o “novo” y.
Notação: representamos a inversa de y = f(x) por y = f-1(x).

Exemplo 2. Encontre a lei da inversa das seguintes funções:

𝑥+5
𝑎) 𝑓(𝑥) =
3

𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 1

26
 FUNÇÃO EXPONENCIAL

É toda função f: lR → (0;+ ) definida por f ( x) = b x , onde b  lR, b > 0 e b ≠ 1. Para

compreender melhor as características desse tipo de função, vamos fazer o esboço do
gráfico de algumas funções exponenciais.

Exemplo 3. Esboce o gráfico de y = bx sendo b = 2, b = 3, b = 1 e b = 1/2.

Conclusões sobre a função f(x) = bx

(1) Sobre o crescimento ou decrescimento
Função Crescente .................. Função Decrescente ..................

(2) A função sempre intercepta o eixo ......., no ponto (.....,....), e não intercepta o eixo .......
(3) O domínio da função é ........... e a imagem é ............

Exemplo 4. Faça o esboço do gráfico das funções:

a) y = (1/3) x + 1 b) y = 2x + 1

27
O NÚMERO e

De todas as bases possíveis para função exponencial, há uma mais conveniente para
os propósitos de cálculo diferencial e integral: a base e. Somente para essa base, a reta
tangente em x = 0, tem inclinação (ou coeficiente angular) igual a 1.
Observando os gráficos de y = 2x e de y = 3x e as inclinações das tangentes em x = 0,
podemos concluir que o valor de e está entre 2 e 3.

𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖𝟒𝟓𝟗𝟎𝟒𝟓𝟐𝟑𝟓𝟑𝟔. ..

Foi o matemático suiço Leonhard Euler que escolheu usar a letra e para representar
essa base, provavelmente por ser a primeira letra da palavra exponencial.
A função 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 é chamada de função exponencial natural.

LOGARITMOS

Definição: sendo N > 0, b > 0 e b ≠ 1, temos que

Observações:

(1º) Em log b N = x, “b” é a .................., “N” é o .................. e x é o ....................

(2º) Logaritmos decimais: são logaritmos de base 10.

Notação:

(3º) Logaritmos naturais: são logaritmos de base e.

Notação:

28
Exemplo 5. Calcule os logaritmos:
1
𝑎) 𝑙𝑜𝑔2 8 𝑏) 𝑙𝑜𝑔5 ( ) 𝑐) 𝑙𝑛 √𝑒
25

Exemplo 6. Resolva as seguintes equações:

a) log x = 1

b) ln (x + 1) = 5

Propriedades operatórias:
(P1) log 𝑏 (𝑥 ∙ 𝑦) =

𝑥
(P2) log 𝑏 (𝑦) =

(P3) log 𝑏 (𝑥 𝑛 ) =

Exemplo 7. Considere log 2 = 0,3, log 3 = 0,48 e calcule:

a) log 12

b) log (0,3)

c) o valor de x na equação 2x = 3.

29
 APLICAÇÕES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
O crescimento (ou decrescimento) exponencial é característico de certos fenômenos
naturais. No entanto, de um modo geral não se apresenta na forma bx, mas sim
modificado por constantes características do fenômeno, como em 𝒇(𝒙) = 𝑪 ∙ 𝒆𝒌𝒙.

Exemplo 8. Suponha que uma substância radioativa se desintegra de modo que a

massa existente após t anos é dada, em gramas, por Q(t ) = 20e −0,05t . Nessas
condições, responda:
a) qual a quantidade inicial?

b) após quantos anos a massa da substância será 5 g? (use: ln 0,25 = -1,38)

FUNÇÃO LOGARÍTMICA
É a função f: (0;+ ) → lR definida por f(x) = log b x , onde b ∈ lR, b > 0 e b ≠ 1.

(1) Sobre o crescimento ou decrescimento

Função Crescente b>1 Função Decrescente 0<b<1

(2) A função sempre intercepta o eixo x, no ponto (1, 0), e não intercepta o eixo y.
(3) O domínio da função é (0, +∞) e a imagem é IR.

30
 ATIVIDADES
1) Determine a inversa das seguintes funções:
𝑎) 𝑦 = 𝑥 + 5
𝑏) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3
3
𝑐) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1

2) Usando translações e/ou reflexões, construir os gráficos das seguintes funções:

a) 𝑦 = 2𝑥 + 1 (partindo do gráfico de 𝑦 = 2𝑥 )
b) 𝑦 = 3𝑥+1 (partindo do gráfico de 𝑦 = 3𝑥 )
c) 𝑦 = − 2𝑥 (partindo do gráfico de 𝑦 = 2𝑥 )

3) Calcule os seguintes logaritmos:

1
𝑎) log7 49 𝑏) log2 ( )
16
1
𝑐) ln ( ) 𝑑) ln(𝑒 5 )
𝑒
1
𝑒) log3 √3 𝑓) log5 ( )
125
3
𝑔) ln( √𝑒) ℎ) ln(𝑒)

4) Resolva as equações:
a) 𝑙𝑜𝑔 (𝑥 – 1) = 2 b) 𝑙𝑛 𝑥 = 0

5) Considerando log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, aplique as propriedades e determine os

seguintes logaritmos:
a) 𝑙𝑜𝑔 6 b) 𝑙𝑜𝑔 0,2
c) 𝑙𝑜𝑔 32 d) 𝑙𝑜𝑔 √3

6) Uma obra de arte de foi comprada por R$ 100.000. Seu valor em reais, t anos após
a compra, é estimado por v(t) = 100.000 e0,2t. Nessas condições responda:
a) qual será o valor da obra 5 anos após a compra? (use e = 2,72)
b) após quantos anos o preço é o dobro do inicial? (use ln 2 = 0,7)

7) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50.e0,02t
milhões de habitantes.
a) Qual é a população atual do país?
b) Qual será a população, daqui a 30 anos?

31
8) Numa população de insetos, o número de indivíduos, em função do tempo (em dias),
pode ser dado pela função 𝑁(𝑡) = 500 ∙ 𝑒 0,08𝑡 .
Considerando-se ln 5 = 1,6, em quanto tempo, em dias, o número de indivíduos será
igual a 2500?

9) A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que a

quantidade inicial se reduza a metade.
A função que expressa a relação entre a quantidade presente Q e o tempo t, para
uma certa substância é 𝑄(𝑡) = 𝑄0 ∙ 𝑒 −0,04𝑡 . Qual a meia vida dessa substância?
(Considere ln 2 = 0,7).

Respostas das atividades:

1)
𝑎) 𝑦 −1 = 𝑥 − 5
𝑥+3
𝑏) 𝑓 −1 (𝑥) =
5
𝑐) 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥 3 + 1

2)

3)
a) 2 b) -4 c) -1
d) 5 e) ½ f) -3
g) 1/3 h) 1

4)
a) x = 101
b) x = 1

32
5)
a) 0,78
b) -0,7
c) 1,5
d) 0,24

6)
a) R$ 272.000,00
b) 3,5 anos

7)
a) 50 milhões
b) 91,11 milhões

8)
20 dias

9)
17,5 anos

EXERCÍCIOS ANTON H., BIVENS I., DAVIS S. CÁLCULO. VOLUME 1 (10ª ED)
Exercícios 0.4 (p.49): 9, 11, 13
Exercícios de compreensão 0.5 (p.61): 1, 3 e 4
Exercícios 0.5 (p.61): 5, 9, 17, 19, 21, 25, 27, 49, 59
Gabarito da questão 50: a) 12 b) ≅9,63 c) ≅12,6 h

33
1.5 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Circunferência trigonométrica
É uma circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas e raio unitário
(r = ......). Todos os arcos trigonométricos têm origem no ponto A(1, 0). Arcos positivos
são marcados no sentido .............................. e arcos negativos são marcados no sentido
.......................... Usualmente os arcos trigonométricos são representados em graus ou
em radianos. No círculo trigonométrico, a medida do arco em radianos é igual ao seu
comprimento. Como o comprimento do círculo é 2. 𝜋. 𝑟, temos que:

Seno e cosseno de um arco

Se um arco trigonométrico 𝐴𝑃 de medida 𝛼 para no ponto P(x, y) do círculo, temos que
cos 𝛼 = ............... e sen 𝛼 = ...............

Relação fundamental:

➢ A função seno e a família 𝒚 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 (𝑩𝒙)

Vamos inicialmente esboçar o gráfico da função f(x) = sen x.

34
Exemplo 1. Considere a função y = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e esboce o gráfico de:
a) y = 2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 b) y = −3. 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Exemplo 2. Considere a função y = sen x e esboce 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (2 𝑥).

Conclusões sobre o gráfico de y = A.sen (Bx), sendo A e B números positivos.

• a amplitude da onda é dada por |𝐴|.
2𝜋
• o período da função é dado por 𝑝 = |𝐵|

➢ A função cosseno e a família 𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝑩𝒙)

Vamos esboçar o gráfico da função real de variável real f(x) = cos x.

35
Importante: assim como na função seno, os parâmetros A e B irão alterar a amplitude e
o período, respectivamente.

Exemplo 3. Determine a amplitude, a imagem, o período e faça um esboço do gráfico:

a) f(x) = 5.sen (3x)

b) f(x) = - sen (x/2)

c) f(x) = 2.cos (x)

Observação: mais tarde trabalharemos com outras funções trigonométricas, abaixo

definidas.
𝒔𝒆𝒏 𝒙
❶ 𝒕𝒈 𝒙 =
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟏
❷ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 =
𝐬𝐞𝐧 𝒙
𝟏
❸ 𝐬𝐞 𝐜 𝒙 =
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟏
❹ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 =
𝐭𝐠 𝒙

36
 ATIVIDADES

1) Determine a amplitude, a imagem, o período e faça um esboço do gráfico:

a) y = 3.sen (x) b) y = 4.cos (2x) c) y = - sen (x/3)

2) Encontre uma lei da forma 𝑦 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 (𝐵𝑥) ou 𝑦 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠 (𝐵𝑥) para cada um dos
seguintes gráficos:
a)

b)

c)

3) A conta de luz de uma certa residência, ao longo do ano passado, variou

𝜋
segundo a função 𝑉(𝑡) = 180 − 65 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ( 2 ∙ 𝑡) em que V(t) é o valor pago na

fatura e t é o mês do ano, com t = 1 correspondendo a janeiro, t = 2

correspondendo a fevereiro, e assim por diante. Sabendo que 𝑡 ∈ {1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, com base nessas informações, responda:
a) qual o valor da fatura registrado em março? E qual o valor registrado em
setembro?
b) em quais meses do ano a fatura foi máxima?

37
Respostas das atividades:
1)
a) amplitude: 3, imagem [-3, 3] e período = 2𝜋

b) amplitude: 4, imagem [-4, 4] e período = 𝜋

c) amplitude: 1, imagem [-1, 1] e período = 6𝜋

2)
a) y = 2.sen(x/2)
b) y = 3.cos (2x)
c) y = - sen (2x)

3)
𝑎) 𝑉(3) = 245 𝑒 𝑉(9) = 115
𝑏) 𝑚𝑎𝑟ç𝑜, 𝑗𝑢𝑙ℎ𝑜 𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
EXERCÍCIOS ANTON H., BIVENS I., DAVIS S. CÁLCULO. VOLUME 1 (10ª ED)
Exercícios de compreensão 0.3 (p.35): 5
Exercícios 0.3 (p.37): 31 e 35

38