Teoria das Estruturas I

Profª Ma. Tayla Castilho Criado

Linhas de Influência
Introdução

▪ Sobre uma estrutura qualquer atuam carregamentos que podem

ser classificados em dois grandes grupos: carregamentos
permanentes e carregamentos de utilização (variáveis).
▪ Os carregamentos permanentes são aqueles que atuam
constantemente na estrutura, não devendo sofrer variações em
função do tempo (peso próprio, etc.);
▪ A determinação de esforços provocados por esses
carregamentos não apresenta maiores dificuldades, pois os
mesmos têm posição e valor conhecidos.
Introdução

▪ Já os carregamentos de utilização são aqueles que podem ou não

atuar sobre a estrutura, ou então atuar parcialmente em
determinados trechos, sofrendo variações em função do tempo
(ação do vento, variação de temperatura, peso de materiais
armazenados, cargas móveis, etc)
▪ Em particular, as cargas móveis são devidas às cargas que
percorrem uma estrutura, como é o caso do veículo tipo
trafegando sobre uma ponte rodoviária.
Introdução

▪ Para se quantificar os esforços provocados pelas cargas móveis

em uma determinada seção de uma estrutura, deve-se sempre
pesquisar o seguinte:
▪ para uma determinada seção, quais são os esforços solicitantes
máximos e mínimos;
▪ quais seções estão sujeitas aos maiores valores, em módulo, dos
esforços solicitantes;
▪ no caso das ligações e das vinculações da estrutura, quais são os
esforços máximos e mínimos que as solicitam.
Definição de Linha de Influência

▪ No sentido de facilitar o cálculo de valores extremos de um

determinado esforço, é interessante fazer o uso de um diagrama
auxiliar, correspondente a esse esforço, chamado de Linha de
Influência, definida por :
▪ Linha de Influência de um determinado esforço EC de uma seção
C de uma estrutura, para uma força percorrendo uma
determinada linha S (x) associada à estrutura, é a representação
gráfica do valor desse esforço naquela seção C, produzido por
uma força unitária vertical concentrada, orientada de cima para
baixo, que percorre a linha S(x) da estrutura analisada.
Definição de Linha de Influência

▪ Como ilustração, supõe-se conhecida a Linha de Influência dos

momentos fletores da seção C de uma estrutura:

x P=1
▪ Força unitária vertical
percorrendo a linha
S(x);
▪ LI do esforço Mc.
δB δA

▪ Com isso, variando-se a posição de P, os valores de Mc são

dados por:
▫ p/ P=1 em A → 𝑀𝑐 = −𝛿𝐴 : Tração fibra superior
▫ p/ P=1 em 𝐵 → 𝑀𝑐 = +𝛿𝐵 : Tração fibra inferior
Determinação das Linhas de Influência de vigas
biapoiadas

▪ Seja uma viga biapoiada sob ação de uma força unitária móvel
dada por:
x

A P=1 B

a b

▪ O objetivo é determinar as LIs das reações RVA e RVB, do

momento fletor MC e da força cortante VC.
Linha de Influência de RVA

A P=1 B

RVA C
a b
l

▪ O equilíbrio de momentos em B é dado por:

𝑀𝐵 = 0 → 𝑅𝑉𝐴 . 𝑙 − 𝑃. 𝑙 − 𝑥 = 0
𝑥
𝑅𝑉𝐴 = 1 − 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
𝑙
Linha de Influência de RVA

▪ As condições de contorno são dadas por:

𝑥
𝑅𝑉𝐴 =1−
𝑙
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑅𝑉𝐴 = 1
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑅𝑉𝐴 = 0
▪ Portanto a LI de RVA é dada por:

1
Linha de Influência de RVB

A P=1 B
C
RVB
a b
l

▪ O equilíbrio de momentos em A é dado por:

𝑀𝐵 = 0 → 𝑅𝑉𝐵 . 𝑙 − 𝑃. 𝑥 = 0
𝑥
𝑅𝑉𝐴 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
𝑙
Linha de Influência de RVA

▪ As condições de contorno são dadas por:

𝑥
𝑅𝑉𝐵 =
𝑙
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑅𝑉𝐵 = 0
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑅𝑉𝐵 = 1

▪ Portanto a LI de RVB é dada por:

1
Linha de Influência de MC

▪ Para força unitária à esquerda da seção C (0 ≤ x ≤ a), com corte

em C e olhando-se para a direita, por facilidade, o equilíbrio de
momentos em C é dado por:

x
P=1 MC
A B
C RVB
a b
l

𝑥
𝑀𝐶 = 0 → +𝑀𝐶 − 𝑅𝑉𝐵 . 𝑏 = 0 → 𝑀𝑐 = 𝑏.
𝑙
Linha de Influência de MC

▪ As condições de contorno são dadas por:

𝑥
𝑀𝑐 = 𝑏.
𝑙
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑀𝐶 = 0
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑀𝐶 = 𝑏

▪ Portanto a LI parcial de MC é dada por:

▪ para 0 ≤ x ≤ a.
Linha de Influência de MC

▪ Para força unitária à direita da seção C (a ≤ x ≤ l), com corte em

C e olhando-se para a esquerda, por facilidade, o equilíbrio de
momentos em C é dado por:
x

A C P=1 B 𝑥
𝑅𝑉𝐴 = 1 −
𝑙
RVA C
a b
l
𝑥
𝑀𝐶 = 0 → −𝑀𝐶 + 𝑅𝑉𝐴 . 𝑎 = 0 → 𝑀𝑐 = 𝑎. 1 −
𝑙
Linha de Influência de MC

▪ As condições de contorno são dadas por:

𝑥
𝑀𝑐 = 𝑎. 1 −
𝑙
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑀𝐶 = 𝑎
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑀𝐶 = 0

▪ Portanto a LI parcial de MC é dada por:

▪ para a ≤ x ≤ l.
Linha de Influência de MC

▪ Superpondo-se as equações tem-se:

𝑏 𝑎
𝜃1 = tan 𝜃1 = 𝑒 𝜃2 = tan 𝜃2 =
𝑙 𝑙

𝑏 𝑎
𝜃 = 𝜃1 + 𝜃2 = + →𝜃=1
𝑙 𝑙
Linha de Influência de MC

▪ Portanto a LI final de MC é dada por:

a 1 1 b

▪ com M + para tração na fibra inferior

Linha de Influência de VC

▪ Para força unitária à esquerda da seção C (0 ≤ x ≤ a), com corte

em C e olhando-se para a direita, por facilidade, o equilíbrio das
forças verticais é dado por:

x
VC
A P=1 B 𝑥
𝑅𝑉𝐵 =
C 𝑙
RVB
a b
l
𝑥
𝐹𝑉 = 0 → 𝑉𝐶 + 𝑅𝑉𝐵 = 0 → 𝑉𝐶 = −
𝑙
Linha de Influência de VC

▪ As condições de contorno são dadas por:

𝑥
𝑉𝐶 = −
𝑙
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑉𝐶 = 0
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑉𝐶 = −1

▪ Portanto a LI parcial de VC é dada por:

▪ para 0 ≤ x ≤ a.
Linha de Influência de VC

▪ Para força unitária à direita da seção C (a ≤ x ≤ l), com corte em C

e olhando-se para a esquerda, por facilidade, o equilíbrio das
forças verticais é dado por:

x
VC
A P=1 B 𝑥
𝑅𝑉𝐴 = 1 −
𝑙
RVA C
a b
l
𝑥
𝐹𝑉 = 0 → −𝑉𝐶 + 𝑅𝑉𝐴 = 0 → 𝑉𝐶 = 1 −
𝑙
Linha de Influência de VC

▪ As condições de contorno são dadas por:

𝑥
𝑉𝐶 = 1 −
𝑙
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝑉𝐶 = 1
▪ 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑙 → 𝑉𝐶 =0

▪ Portanto a LI parcial de VC é dada por:

▪ para a ≤ x ≤ l.
Linha de Influência de VC

▪ Superpondo-se as equações, a LI final de VC, + se horário sobre

a seção transversal, é dada por:
1

▪ Conferindo:

A 1 1 B
C C
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑅𝑉𝐴 =1− 𝑉𝐶 = 𝑉𝐶 = 1 − 𝑅𝑉𝐵 =
𝑙 𝑙 𝑙 𝑙
Determinação das Linhas de Influência de vigas biapoiadas -
Processo das Cadeias Cinemáticas

▪ A determinação das Linhas de Influência pode ser feita através

do Processo das Cadeias Cinemáticas.

▪ Tal Processo consiste na retirada de um único vínculo de uma

estrutura isostática, passando-se a ter uma cadeia cinemática
com somente um grau de liberdade.

▪ Dessa forma , o problema estático é transformado em um

problema geométrico, podendo-se, então, utilizar o Princípio dos
Trabalhos Virtuais.
Processo das Cadeias Cinemáticas

▪ Seja uma viga biapoiada dada por:

A C B

a b
l

▪ Retirando-se o vínculo que transmite o esforço EC procurado,

obtém-se uma cadeia cinemática com um grau de liberdade,
com isso pode-se impor um deslocamento unitário, suposto
positivo, no sentido contrário ao esforço EC procurado.
Linha de Influência de RVA

RVA

1
Linha de Influência de RVB

RVB

1
Linha de Influência de MC

MC C MC

a 1 b
1
Linha de Influência de VC

VC C VC

1
Atenção

▪ Convém notar o seguinte:

▪ A Geometria dos Pequenos Deslocamentos deve ser mantida
quando da imposição do deslocamento unitário;
▪ O diagrama formado pela posição inicial e a posição deslocada
da estrutura é a Linha de Influência procurada;
▪ Uma vez definida a Linha de Influência, pode-se aplicar o PTV, ou
seja, a soma dos trabalhos externos é igual a zero, e determinar
o valor do esforço procurado.
Determinação das Linhas de Influência de vigas
biapoiadas com balanço

▪ Seja uma viga biapoiada com balanço nas extremidades dada

por:

A B

β α
a b d
Linhas de Influência

LI Mα

LI Mβ

LI Vα
Linhas de Influência

LI Vβ

LI RA

LI RB
Determinação das Linhas de Influência de vigas
Gerber

▪ Viga Gerber é uma viga isostática, que contém vários apoios e

articulações internas. Essa viga se origina de uma viga contínua,
na qual são criadas articulações tornando-a isostática:

I II C
α B

▪ com NBS=0; BG=3; BN=9 e BE=9, portanto isostática.

Linhas de INfluência

RVA

RVB

RVC
Linhas de Influência

Mα

MA

MB
Linhas de Influência

Vα

VB
Esq

VB
Dir
Linhas de Influência

VI

VII
Determinação de esforços solicitantes
utilizando Linhas de Influência

▪ A determinação de um esforço qualquer de uma estrutura,

baseado no conceito de Linhas de Influência, pode ser dividido
em duas fases distintas:
▪ Para uma determinada seção C, pode-se determinar a Linha de
Influência correspondente ao esforço EC procurado;
▪ Conhecido o carregamento e a Linha de Influência, obtém-se o
esforço EC devido a esse carregamento.
Procedimento

▪ Determinar a Linha de Influência de um esforço EC(x) na seção C.

𝐸𝑐 𝑥 → + → 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜
𝐸𝑐 𝑥 → − → 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜

▪ Para força unitária em x tem-se:

𝐸𝑐 = 𝐸𝑐 𝑥
▪ Para força F em x tem-se:
𝐸𝑐 = 𝐹. 𝐸𝑐 𝑥
Procedimento

▪ Para forças Fi em xi tem-se:

𝑛

𝐸𝑐 = 𝐹𝑖 . 𝐸𝑐 𝑥 𝑖
𝑖=1

▪ Para força distribuída p(x) tem-se:

𝑑𝐸𝑐 = 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥. 𝐸𝑐 𝑥
𝑥𝐵
𝐸𝑐 = 𝐸𝑐 𝑥 . 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑥𝐴

▪ Convém observar que pode ser utilizada a tabela formulada por

KURT BEYER para a resolução da integral acima.
Exemplo 1
Exemplo 1

▪ Dada a estrutura, determinar VD:

40 kN
20 kN/m
A B
D C
2,5m 5m
10m

▪ Determinação de VD via Isostática:

▪ Calcular as reações de apoio;
▪ Fazer o diagrama da Força Cortante.
Diagrama da Força Cortante

120 kN + 20 kN

20 kN - 120 kN
 Do diagrama extrair VD:

VD=+70 kN
120 kN + 20 kN

20 kN - 120 kN
2,5m 2,5m
Determinação de VD via Linha de Influência

▪ Determinar a Linha de Influência de VD:

- 0,25
0,75 +
1

2,5m

▪ Obter medidas de interesse:

- 0,25 C
0,75 +
0,5
 Aplicar o carregamento:

40 kN

20 kN/m

- 0,25

0,75 +
0,5
2,5m 5m

 Da tabela:
 Efetuar o cálculo de VD:

40 kN

20 kN/m

- 0,25

0,75 +
0,5
2,5m 5m

1 1
𝑉𝐷 = − . 2,5.0,25.20 + . 7,5.0,75.20 + 40.0,5 = 70 𝑘𝑁
2 2
Obrigada!
Alguma dúvida?
Vocês podem me encontrar em:
tayla.criado@unifran.edu.br
Referências

▪ Este material foi desenvolvido a partir de notas de aula

elaboradas pelo Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues (UNESP-
ILHA SOLTEIRA).
▪ MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas: conceitos e
métodos básicos. Rio de Janeiro: Campus, 2010. 524 p. ISBN
9788535234558.
▪ CAMPANARI, Flavio Antonio. Teoria das estruturas : V 1. Rio de
Janeiro Guanabara dois 1985 1274 ISBN 8570300476.

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