Mat Razao e Proporcao Resolvidos
Mat Razao e Proporcao Resolvidos
Mat Razao e Proporcao Resolvidos
5
Usando a propriedade 3 aps tirar o MMC.
A B C A B C
A B C A B C
5
5
30
0
30
6
30
5 0 6 5 0 6
496
3
- -
- -
6
W
W
Razes e PRoPoRes
introDUo
Quando escrevemos dois nmeros na forma de
a
b
, com
b 0 ; dizemos que temos uma razo entre eles.
Ao escrever
3
2
estamos escrevendo a razo entre 3 e 2,
onde a parte de cima chamada de antecedente e a de baixo
de conseqente.
As razes
2
5
4
0
6
5
8
20
, , e so chamadas de razes equi-
valentes porque representam o mesmo valor e
2
5
chamada de
forma irredutvel porque a forma mais simplifcada possvel
de se escrever essa razo.
igualdade de duas razes equivalentes damos o nome
de proporo.
Quando escrevemos
2
5
4
0
Nesse caso o resultado da soma ou da diferena um
nmero proporcional s razes dadas.
Chamamos de Sequncias Diretamente Proporcionais
quelas sequncias numricas nas quais a razo formada pelos
seus termos correspondentes sempre constante.
W
W
CFO / MateMtiCa - COMpleMentO e errata
2
Igualando a constante com os valores obtidos depois do
mmc, temos:
A
5
A = 5 6 = 240 6
B
0
B = 0 6 = 60 6
C
6
C = 6 6 = 96 6
exerccios resolviDos
0) (FundEp/Aux. Adm./FhEmig/2002) Uma prova de
matemtica, a razo de nmero de questes que Talita
acertou para o nmero total de questes foi de 5 para 7.
Quantas questes Talita acertou sabendo-se que a prova
era composta de 35 questes?
a) 2 questes c) 25 questes
b) 24 questes d) 28 questes
resolUo
Vamos chamar de C as questes que ela acertou e de T
ao total de questes, da podemos fazer:
C
T
5
7
veja que ao construir uma proporo deve-
mos conservar a ordem na qual os dados do problema foram
fornecidos.
Mas o nmero total de questes da prova de 35.
Substituir T por 35:
C
T
C
C
5
7 35
5
7
35 5
7
25
Alternativa C
02) (VunEsp/Escrit./pref. Louveira/2007) No semestre
houve 3 avaliaes de matemtica, cada uma delas com
quantidade diferente de questes. A tabela mostra a quan-
tidade de questes que 3 determinados alunos acertaram
em cada prova. Os valores so tais que os nmeros de
acertos foram proporcionais aos nmeros de questes por
prova.
O nmero de questes que Luana acertou na 3 prova foi
Aluno
N de questes
por prova
N de questes
acertadas
Meire 40 25
Fran 8 5
Luana 6 x
a) 8. b) 9. c) 0. d) . e) 2.
resolUo
Como os valores so proporcionais aos nmeros de ques-
tes da prova, podemos escrever que:
25
40
5
8 6
x
Nesse caso, para encontrar o valor de x, basta igualar duas des-
sas razes:
5
8 6
8 6 5 8 80
80
8
0
x
x x x
Alternativa C
W
5
-
-
x
x
veja que ao se aumentar a quantidade de
suco, a quantidade de refresco tambm aumenta.
Vamos fazer os clculos:
00
600
5
5 00 600
500 5 600 5 600 500
4
-
-
- -
- -
x
x
x x
x x x x
x
( )
00
00
4
25 x x
ml
Alternativa B
O euro, moeda ofcial da Unio Europia, que existe
como moeda e cdula desde //2002, adotado hoje, por
3 dos 27 Estados-membros. O ltimo Estado-membro a
adotar o euro foi a Eslovnia, em //2007, que estabeleceu
a converso de 239,64 tolares - o tolar era a moeda at ento
ofcial da Eslovnia - para cada euro
Tendo o texto por referncia, julgue o item a seguir:
04) ( ) (unB/Escrit./BB/2007 - Alterada) Considere que
o alfa fosse a moeda ofcial de um dos 13 Esta-
dos-membros que adotaram o Euro como moeda
ofcial. Considere, ainda, que 6 tolares equivaliam
a alfas no dia //2007. Nessa situao, nesse
mesmo dia, um euro equivalia a mais de 450
alfas.
resolUo
A proporo entre tolar e euro a seguinte:
t
e
239 64
,
Vamos isolar t:
t
e
239 64
,
A proporo entre tolar e alfa a seguinte:
t
a
6
Vamos isolar t: t
a
Como as expresses
t
e
239 64
,
e t
a
so iguais
a t, podemos igualar as duas entre si para poder achar a relao
entre euro e alfa:
3
resolUo
Vamos chamar a idade atual de Maria de M, sua idade h
0 anos de M 0 e sua idade daqui a 2 anos de M + 2.
Usaremos uma simbologia semelhante para Rita: R,
R 0 e R + 2.
H 0 anos:
M
R
0
0
4
3
Daqui h 2 anos:
M
R
-
-
2
2
0
9
Vamos multiplicar cruzado e construir duas equaes:
M
R
M R
M R M R
-
0
0
4
3
3 30 4 40
3 4 40 30 3 4 0
M
R
M R
M R M R
-
-
- -
2
2
0
9
9 8 0 20
9 0 20 8 9 0 2
Temos ento o seguinte sistema de equaes:
3 4 0
9 0 2
M R
M R
'
'
Multiplicar a equao por ( 3)
-
'
'
9 2 30
9 0 2
M R
M R
Somando as duas equaes, temos:
2 32
32
2
6 R R R
Substituir o resultado encontrado na primeira equao:
3 4 0 3 4 6 0
3 64 0 3 64 0
54
3
8
M R M
M M M
.
A questo pede a soma das duas idades: 6 + 8 = 34 anos.
Alternativa C
07) (FumArC/iprEm/2007) Na compra de um apartamen-
to em sociedade, Letcia investiu R$ 48.000,00 e Gustavo,
R$ 42.000,00. Depois de um certo tempo, venderam o
imvel por R$ 20.000,00. Ento, a quantia que Gustavo
recebeu aps a venda foi de:
a) R$ 64.000,00. c) R$ 56.000,00.
b) R$ 58.000,00. d) R$ 52.000,00.
resolUo
Nesse caso temos uma diviso em partes diretamente
proporcionais porque quem investiu mais vai receber mais na
hora da venda do apartamento.
A soma das partes que os dois vo receber igual ao valor
total, da podemos escrever:
L + G = 20.000
Cada parte proporcional ao valor investido:
L G
48 000 42 000 . .
239 64
6
239 64
6
2 636 04
,
, . ,
e a e
a x
e
a
Dividindo a segunda razo por 6, temos:
e
a
439 34 ,
Ou seja, cada euro corresponde a 439,34 alfas.
resposta: Errado
05) (F. C. Chagas/Tc./ TrT/2003) Considere que a carn-
cia de um seguro-sade inversamente proporcional ao
valor da franquia e diretamente proporcional idade do
segurado. Se o tempo de carncia para um segurado de
20 anos, com uma franquia de R$ .000,00 2 meses, o
tempo de carncia para um segurado de 60 anos com uma
franquia de R$ .500,00
a) 4 meses
b) 4 meses e meio d) 5 meses e meio
c) 5 meses e) 6 meses
resolUo
Vamos chamar a carncia de C, a franquia de F e a idade
do segurado de I. De acordo com o problema teremos:
C
F
I
C inversamente proporcional a F e
diretamente proporcional a I.
Igualar esses valores a uma constante de proporcionali-
dade que chamaremos de K.
C
F
I
K
Pelo enunciado sabemos que quando um segurado tem 20
anos e franquia de R$ .000,00, sua carncia de dois meses.
Substituindo esses valores na proporo acima para encontrar
o valor da constante:
K
C
F
I
000
20
2
20
000
2
000
20
2 000
20
00
. .
. .
Agora vamos igualar a constante com a segunda situao
onde temos um segurado de 60 anos e uma franquia de
R$ .500,00:
C
F
I
K
C C
C
500
60
00
60
500
00
60
500
00
6 000
5
. .
.
.
. 000
4
meses
Alternativa A
06) (CEsgrAnrio/Assistente/pref. manaus/2004) H dez
anos, a razo entre as idades de Maria e Rita era
4
3
. Daqui
a dois anos, ser
0
9
. O nmero de anos correspondente
soma das duas idades :
a) 26 b) 28 c) 34 d) 36 e) 38
4
Sabemos que se somarmos antecedentes e conseqentes ao
mesmo tempo, o resultado ser proporcional aos valores iniciais:
L G L G
48 000 42 000 48 000 42 000
20 000
90 000
2
9
4
3 . . . .
.
.
-
-
Como queremos saber quanto Gustavo recebeu, faremos
a igualdade:
G
G
42 000
4
3
42 000 4
3
68 000
3
56 000
.
. .
.
Alternativa C
08) (FumArC/BhTrAns/2007) A soma de dois nmeros
naturais 62. O maior est para 3 assim como o menor
est para 5. Nessas condies, incorreto afrmar que:
a) o maior nmero um nmero primo.
b) a diferena entre os nmeros 72.
c) os dois nmeros so mltiplos de 3.
d) o menor nmero um mltiplo de 5.
resolUo
Vamos chamar esses nmeros de A e B, e como a soma
62, temos que: A + B = 62.
Supondo que o maior deles seja A, da podemos construir
a proporo:
A B
3 5
Usando a propriedade 3:
A B A B
3 5 3 5
62
8
9
-
-
Igualando as duas razes constante:
A
A
3
9 3 9 7
B
B
5
9 5 9 45
Verifcando as alternativas do exerccio observamos que
a diferena entre eles 7 45 = 72
Alternativa B
09) (nCE/Adm./infraero/2004) Flora tem uma pequena loja
de produtos naturais e duas funcionrias, Joana e Caro-
lina. No ms de julho Flora decidiu dividir um bnus de
R$ 60,00 entre as duas funcionrias, de forma que cada
uma receberia um valor inversamente proporcional ao
nmero de faltas naquele ms. Carolina faltou 3 vezes e
Joana faltou 2. A quantia recebida por Joana, em reais,
igual a:
a) 55
b) 64 d) 96
c) 80 e) 08
resolUo
Fazer uma diviso em partes inversamente, sabendo que
a soma das partes igual a 60:
C + J = 60
Como a diviso inversamente proporcional:
C J
2
2
6
3
6
2 3 2 3
60
5
32
-
-
Para encontrar o valor recebido por Joana, igualar o valor
correspondente a ela com a constante.
J
J
3
32 3 32 96
Alternativa d
0) (CEsgrAnrio/Assistente/EpE/2007) Considere um
segmento AB com 2 metros de comprimento. Deseja-se
colocar um ponto C sobre esse segmento, em uma posio
entre A e B, de tal forma que
AB
AC
AC
BC
Nessas condi-
es, AC mede, em metros:
a) (
5
)/2
b) ( 5+ )/2 d) 5
c) 2 5 2 e) 5 2
resolUo
Temos a seguinte situao:
A C B
2
Como estamos procurando o valor de AC, vamos cham-lo
de x. Com isso poderemos chamar BC de 2 x
A C B
2
x
2 x
Ento a proporo
AB
AC
AC
BC
-
( )
que uma equao do
segundo grau.
- b ac
2 2
4 2 4 4 4 6 20 ( )
x
b
a
2
2 20
2
2 2 5
2
2 2 5
2
2 5
2
5
2
.
( )
Como um segmento nunca negativo, somente a raiz
positiva ser soluo do problema: x - 5 5
Alternativa d
5
RegRa de TRs
introDUo
Regra de trs um mtodo para solucionar problemas que
contm grandezas, sendo uma grandeza algo que pode ser medido,
como, por exemplo, distncia, tempo, nmero de pessoas etc.
Quando o problema possui somente duas grandezas,
dizemos que uma regra de trs simples e quando tiver trs
ou mais grandezas uma regra de trs composta.
A primeira coisa que devemos fazer para resolver um
problema de regra de trs verifcar se as grandezas so dire-
tamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
GranDezas Diretamente ProPorcionais
So aquelas que se comportam de maneiras iguais ( me-
dida que uma grandeza aumenta a outra tambm aumenta).
GranDezas inversamente ProPorcionais
So aquelas que se comportam de maneiras inversas (
medida que uma grandeza aumenta a outra diminui).
Ex: vinte funcionrios de uma indstria produzem 2.000
peas em 10 dias de trabalho. Em quantos dias 15 funcion-
rios com a mesma efcincia devero produzir 3.000 peas do
mesmo produto?
Nesse caso temos uma regra de trs composta, porque h trs
grandezas; nmero de peas, dias e nmero de funcionrios.
Inicialmente vamos colocar as grandezas uma sobre a
outra representando as duas situaes do problema, chamando
a incgnita de x.
Funcionrios Peas dias
20 2.000 10
15 3.000 x
Para verifcar se as grandezas so direta ou inversamente
proporcionais, escolher uma grandeza para servir de referncia.
Para fcar mais fcil, essa grandeza sempre ser aquela que
estamos procurando - nesse exemplo ser o nmero de dias.
Comparar essa grandeza com as outras, mas uma de cada
vez, e quando estivermos comparando duas grandezas no
vamos nos preocupar com a terceira grandeza.
Comparar nmero de dias com quantidade de peas
produzidas.
Essas duas grandezas so diretamente proporcionais
porque para se produzir mais peas so necessrios mais dias
(uma grandeza aumenta a outra tambm aumenta).
Comparar agora o nmero de dias com a quantidade de
funcionrios.
Essas grandezas so inversamente proporcionais porque
quanto mais funcionrios estiverem trabalhando gastaro
menos dias para fazer um trabalho (quando uma grandeza
aumenta a outra diminui).
Construir uma proporo entre as grandezas colocando
sempre a grandeza onde estiver a incgnita X de um lado e o
produto das outras grandezas do outro lado.
obs: Quando as grandezas forem inversamente
proporcionais devemos invert-las.
0 2 000
3 000
5
20 x
.
.
Observando a proporo ao lado vemos
que o nmero de funcionrios est inver-
tida em relao situao original.
W
W
W
0 2 000
3 000
5
20
0 30 000
60 000
0 3
6
3 60
60
3
20
x x
x
x x
.
.
.
.
dias
exerccios resolviDos
01) (UnB/Prof./SEED/PR/2003) Os 33 alunos formandos de
uma escola esto organizando a sua festa de formatura e
9 desses estudantes fcaram encarregados de preparar os
convites. Esse pequeno grupo trabalhou durante 4 horas
e produziu 2.343 convites. Admitindo-se que todos os
estudantes sejam igualmente efcientes, se todos os 33 for-
mandos tivessem trabalhado na produo desses convites,
o nmero de convites que teriam produzido nas mesmas
4 horas seria igual a
a) 7.987.
b) 8.591. d) 9.328.
c) 8.737. e) 8.926.
resolUo
Dados do exerccio:
Alunos Convites
9 2.343
33 x
Veja que a quantidade de horas no est sendo colocada
no problema porque ela no se altera.
Essas grandezas so diretamente proporcionais porque
quanto maior for o nmero de pessoas trabalhando maior ser
a quantidade de convites produzidos (uma grandeza aumenta
ento a outra tambm ir aumentar).
Temos a seguinte proporo:
2 343 9
33
9 33 2 343
33 2 343
9
2 343
3
78 8 59
.
.
. .
.
x
x
x
cconvites
Alternativa B
02) (FUNDEP/Tc./ALMG/2008) Joo e Antonio tm seus
passos aferidos.O passo de Antnio mede 0,90 m e o de
Joo, 1,10 m. Para ir de A at B, um deu 60 passos a mais
que o outro. Nessas condies, correto afrmar que a
distncia de A at B
a) menor que 260 m
b) est entre 260 m e 280 m
c) est entre 280 m e 300 m
d) maior que 300 m
resolUo
Para resolver esse problema vamos indicar por x o nmero
de passos que Joo deu e por x + 60 o nmero de passos que
Antnio deu (como o passo de Antnio menor, ele tem que
dar mais passos).
Temos:
Tamanho passos
0,90 x + 60
1,10 x
W
6
Nesse caso as grandezas so inversamente proporcionais,
porque quanto maior for o tamanho do passo, menos passos
ele tem que dar para chegar a seu destino.
Vamos inverter uma das grandezas:
0 90
0 60
0 0 90 60
0 0 90 54 0 0 90
,
,
, , ( )
, , , ,
-
-
-
x
x
x x
x x x xx
x x
54
0 20 54
54
0 20
270 ,
,
passos
Acabamos de determinar a quantidade de passos que Joo
deu, mas temos que determinar a distncia percorrida por ele.
Para isso, basta multiplicar o nmero de passos pelo tamanho
de cada passo:
270 1,10 = 297 metros
Alternativa C
03) (CFo/2004) Um cadete do CFO gasta 1h15min para
dar 10 voltas na PAM (Pista de Aplicao Militar), com
velocidade de 20 km/h. Reduzindo sua velocidade para
18 km/h para fazer o mesmo percurso, ele gastar a mais,
o tempo de:
a) 8min20s c) 10min
b) 9min30s d) 12min15s
resolUo
Construir a primeira situao do problema:
Tempo (min) voltas velocidade
75 10 20
Veja que passamos o tempo para minutos para facilitar o
clculo. Segunda situao:
Tempo (min) voltas velocidade
75 10 20
x 10 18
Como o n de voltas igual, estas no entraro na reso-
luo do exerccio.
As grandezas tempo e velocidade so inversamente pro-
porcionais porque medida que a velocidade vai diminuindo
o tempo que ele gastar para percorrer o mesmo percurso ir
aumentar - temos que inverter uma das grandezas:
75 8
20
8 500
500
8 x
x x .
.
Mas essa diviso no exata.
1500 18 = 83 e d resto 6.
Como dividimos por 18, podemos dizer que o resto igual
a
6
8
3
60
60
3
20
segundos
Ele ir gastar 83 minutos e 20 segundos.
Mas a pergunta quanto ele gastar a mais de tempo,
deve-se diminuir o valor inicial ao resultado obtido:
83 min 20 seg 75 min = 8 min 20 seg
Alternativa A
7
resolUo
O nmero de voltas que uma engrenagem d e o nmero
de dentes que ela possui so grandezas inversamente propor-
cionas, porque quando estiverem acopladas cada volta que
a engrenagem grande der vai fazer com que a engrenagem
pequena d um nmero maior de voltas.
Relacionar as engrenagens duas a duas:
Engrenagem A com a engrenagem B
Dentes voltas
5 12
30 x
Como as grandezas so inversamente proporcionais,
vamos inverter uma das grandezas:
2 30
5
30 60
60
30
2
x
x x voltas
Ou seja, enquanto a engrenagem A d 5 voltas, a engre-
nagem B ir dar 2 voltas.
Engrenagem B com engrenagem C:
Dentes voltas
30 2
6 x
As grandezas so as mesmas e continuam sendo inversa-
mente proporcionais, da temos:
2 6
30
6 60
60
6
0
x
x x voltas
A engrenagem C ir dar 10 voltas.
Engrenagem C com engrenagem D:
Dentes voltas
6 10
10 x
As grandezas tambm so inversamente proporcionais,
da temos:
0 0
6
0 60
60
6
6
x
x x
voltas
Alternativa C
06) (CTSP/2006) Paula digita uma apostila em 2 horas, en-
quanto Ana o faz em 3 horas. Se Paula iniciar o trabalho,
digitando nos primeiros 50 minutos; o tempo necessrio
para Ana terminar a digitao da apostila :
a) 120 minutos c) 95 minutos
b) 90 minutos d) 105 minutos
resolUo
Como elas trabalharam separadamente, deve-se primeiro
determinar quanto do trabalho foi feito por Paula.
Para fazer o clculo, vamos trabalhar em minutos, usamos
120 minutos para indicar o tempo que Paula demoraria para
fazer uma apostila:
Tempo apostila
120 1
50 x
Essas grandezas so diretamente proporcionais porque
quanto menor for o tempo que ela digitar, menor ser o nmero
de pginas digitadas (quando uma grandeza diminui a outra
tambm diminui).
8
resolUo
Na primeira situao temos:
Digitadores horas/dia livro dias
8 6 3/5 15
Na segunda situao teremos 2 digitadores a menos, ou
seja, 6 digitadores e, para terminar o livro, ainda faltaro 2/5
do mesmo para fazer.
A nossa montagem fca:
Digitadores horas/dia livro dias
8 6 3/5 15
6 5 2/5 x
As grandezas digitadores e dias so inversamente
proporcionais porque quanto menos digitadores estiverem
trabalhando, mais dias eles gastaro.
As grandezas horas por dia e dias tambm so inversa-
mente proporcionais porque quanto menos horas eles traba-
lharem por dia, mais dias iro gastar.
A grandeza livro (quantidade digitada) e dias so dire-
tamente proporcionais porque quanto menos trabalho eles
tiverem, menos dias vo gastar.
As grandezas digitadores e horas por dia devem ser
invertidas:
5 6
8
5
6
3
2 x
Veja que pelo fato dos denominadores serem iguais no
ser necessrio us-los na hora dos clculos.
Simplifcar o 6 do numerador com o 6 do denominador:
5
8
5
3
2
5 5
6
6
x x
x dias (como os nu-
meradores so iguais, podemos simplifc-los)
Alternativa B
09) (F. C. Chagas/TRF/ES/2007) Em uma grfca, foram
impressos 1.200 panfetos referentes direo defensiva
de veculos ofciais. Esse material foi impresso por trs
mquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de fun-
cionamento. Para imprimir 5.000 desses panfetos, duas
dessas mquinas deveriam funcionar durante 15 horas,
a) 10 minutos e 40 segundos
b) 24 minutos e 20 segundos
c) 37 minutos e 30 segundos
d) 42 minutos e 20 segundos
e) 58 minutos e 30 segundos
resolUo
Representando o problema:
Panfetos mquinas tempo ( segundos )
1.200 3 9.000
5.000 2 x
Para passar de horas para segundos, basta multiplicar por
3.600 (2,5 3.600 = 9.000 seg).
As grandezas panfetos e tempo so diretamente pro-
porcionais porque, quanto mais panfetos tiverem que ser
impressos, mais tempo vai demorar a impresso.
As grandezas mquinas e tempo so inversamente propor-
cionais porque, quanto mais mquinas estiverem trabalhando,
menos tempo elas gastaro para fazer a impresso.
x
. .
.
. segundos
Dividindo por 3.600:
56.250 : 3.600 = 15 horas e sobram 2.250 segundos.
Dividindo o resto por 60:
2.250 : 60 = 37 minutos e sobram 30 segundos.
Elas iro demorar 15 horas 37 minutos e 30 segundos
Alternativa C
10) (F. C. Chagas/Tc./TRT/2003) Uma indstria tem 34
mquinas. Sabe-se que 18 dessas mquinas tm todas a
mesma efcincia e executam certo servio em 10 horas
de funcionamento contnuo. Se as mquinas restantes tm
50% a mais de efcincia que as primeiras, funcionando
ininterruptamente, executariam o mesmo servio em
a) 7 horas e 15 minutos
b) 7 horas e 30 minutos d) 8 horas e 20 minutos
c) 7 horas e 45 minutos e) 8 horas e 40 minutos
resolUo
Para indicar a efcincia das 18 primeiras mquinas, va-
mos usar 100%. A partir da, podemos dizer que as outras 16
mquinas tm uma efcincia de 150% (50% a mais). Ento
temos:
Mquinas efcincia horas
18 100 10
16 150 x
Vamos analisar as grandezas:
As grandezas quantidades de mquinas e quantidade de
horas so inversamente proporcionais, porque quanto mais
mquinas estiveram trabalhando, menos tempo elas gastaro
para fazer um servio.
As grandezas efcincia e tempo so inversamente propor-
cionais porque quanto maior a efcincia de uma mquina me-
nos tempo ela ir gastar para fazer um determinado servio.
0 6
8
50
00 x
como as grandezas so inversamente pro-
porcionais invertemos as duas na hora de resolver o problema.
0 6
8
50
00
0 8
9
3
2
0 24
8
24 80
80
24
7 5
x x
x
x
x
, horaas
Para transformar a parte decimal do nmero em minutos
basta multiplic-lo por 60.
0,5 60 = 30 minutos. A resposta 7 horas e 30 mi-
nutos.
Alternativa B
9
PoRcenTagem
O que signifca um por cento?
Um por cento representa uma parte em cem partes, ou
seja quando dizemos um por cento (1%) de duzentos signifca
que devemos pegar o nmero duzentos e dividi-lo por cem.
O resultado representa % de duzentos (200:00=2), ento
2 % de duzentos.
No caso de 2%, deve-se pegar duas partes, ou seja, 2%
de 200 4.
Para o clculo de porcentagem pode-se fazer trs tipos
de conta:
UsanDo frao
Para isso deve-se escrever uma porcentagem na forma
de frao:
% =
00
; 2% =
2
00
; 20% =
20
00
.
Calcular 24% de 420:
24
00
420
24 420
00
0 080
00
00 80
.
,
UsanDo reGra De trs
A maneira mais usada para o clculo de porcentagem
atravs de uma regra de trs. Para isso deve-se sempre com-
parar um valor a uma porcentagem.
Calcular 35% de 580
No se pode esquecer que o total de alguma coisa ser
o nosso 00%. Nesse exemplo, o nosso 00% ser 580:
580 00%
x 35%
Ou seja, colocar valor embaixo de valor e porcentagem
embaixo de porcentagem. Multiplicar cruzado:
00 580 35 00 20300
20300
00
203 x x x
UsanDo a rePresentao Decimal De Uma
PorcentaGem
Por exemplo, ao dizer 10% signifca que estamos divi-
dindo 0 por 00, que d como resultado 0,.
Calcular 0% de .200
0, .200 = 20
exerccios resolviDos
0) (CEsgrAnrio/guarda port./ro/2007) Em 2006,
foram embarcadas, no Porto de Porto Velho, cerca de
9.760 toneladas de madeira a mais do que em 2005,
totalizando 46.0 toneladas. Assim, em relao a 2005,
o embarque de madeira aumentou aproximadamente x %.
Pode-se concluir que x igual a:
a) 45
b) 58 d) 75
c) 65 e) 80
W
W
W
W
resolUo
Se, em 2.006, foram embarcadas 9.760 toneladas a mais
do que em 2.005, iremos determinar a quantidade de madeira
embarcada em 2.005 fazendo a diferena:
46.0 9.760 = 26.350 toneladas
Para o clculo do aumento percentual deve-se considerar
a quantidade embarcada em 2.005 como sendo o nosso 00%,
da calculamos a diferena percentual entre 2.005 e 2.006,
fazendo:
Toneladas %
26.350 00
9.760 x
Multiplicando cruzado, temos:
26350 00 9760
976000
26350
75 x x %
Alternativa d
02) (F. C. Chagas/soldado/mA/2006) Em dezembro de
2.005, a anlise de uma amostra de gua de um reser-
vatrio acusou um aumento de 8% de impurezas, em
relao ao ms anterior. Em janeiro de 2.006, analisada
outra amostra do mesmo reservatrio, observou-se que
houve uma reduo de 5% de impurezas em relao s
detectadas em dezembro. Relativamente ao ms de no-
vembro, correto afrmar que, em janeiro, as impurezas
aumentaram em
a) 3%
b) 2,5% d) 2%
c) 2,% e) ,8%
resolUo
Considerar 00 como sendo a quantidade de impurezas
no ms de novembro.
No ms de dezembro, tivemos um aumento de 8% de
impurezas:
8
00
00 8 , dando um total de 00 + 8 = 8 impurezas.
No ms de janeiro houve uma reduo de 5% em relao
ao preo de dezembro:
5
00
8 5 9 .
Temos 8 5,9 = 2, impurezas
De novembro a janeiro tivemos um aumento de
2, 00 = 2, o que corresponde a 2,% de 00
Alternativa C
03) (nCE/Adm. Finanas/infraero/2004) Joo constatou
que, no ms de dezembro, a venda de garrafas de gua
mineral em sua mercearia teve um aumento percentual
de 4% com relao ao ms anterior. Sabendo que a
mercearia de Joo vendeu 7 garrafas de gua mineral
em dezembro e que x representa o nmero de garrafas de
gua mineral vendidas em novembro, podemos afrmar
que x um nmero entre:
a) 32 e 39
b) 39 e 46 d) 52 e 57
c) 46 e 52 e) 57 e 64
0
resolUo
Em dezembro a venda foi de 7 garrafas, e essa quantida-
de representa 4% a mais do que em novembro. Pode-se dizer
que 7 garrafas corresponde a 4% da quantidade vendida
em novembro (para isso consideramos 00% a quantidade
vendida em novembro).
Deve-se resolver a seguinte regra de trs:
garrafas %
7 4
x 00
Multiplicando cruzado temos:
4 00 7
700
4
50 x x garrafas
Alternativa C
04) (nCE/AnTT/2005) Um comerciante aumentou o preo
de um certo produto em 30%. Como a venda do produto
caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um des-
conto no novo preo de modo a faz-lo voltar ao valor
anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve
anunciar um desconto de, aproximadamente:
a) 5%
b) 9% d) 28%
c) 23% e) 30%
resolUo
Supor um preo inicial de R$ 00,00.
Inicialmente o comerciante deu um aumento de 30%:
30
00
00 30 o preo do produto passar a ser
de R$ 00,00 + R$ 30,00 = R$ 30,00
Para voltar ao preo original, deve-se retirar os R$ 30,00
de R$ 30,00, mas agora o nosso 00% ser R$ 30,00.
R$ %
30 00
30 x
Multiplicando cruzado, temos:
30 00 30
3000
30
23 x x %
Alternativa C
05) (VunEsp/monitor/pref. Louveira/2007) Em uma sala,
75% da rea total est livre, isto , sem mveis ou objetos,
e nesse espao ser colocado um tapete de 2,4 m por 2,0
m, que ocupar 40% desse espao livre. A rea total de
sala corresponde a
a) 6m
2
b) 4m
2
c) 2m
2
d) 0m
2
e) 8m
2
resoluo:
Vamos determinar a rea do tapete multiplicando suas
duas medidas:
A = 2,4 x 2,0 = 4,8m
2
Esse valor corresponde a 40% da rea livre. Calcular a
rea livre fazendo:
rea %
4,8 40
x 00
Multiplicando cruzado, temos:
40 00 4 8
480
40
2
2
x x m ,
2
) (FundEp/Auxiliar/FhEmig/2002) Numa loja, o preo
de um produto sofreu dois descontos consecutivos: o pri-
meiro de 0% e o segundo de 8%. Qual a porcentagem
equivalente se o desconto fosse feito de uma nica vez?
a) ,82%
b) 26,2%
c) 8,8%
d) 28%
resolUo
Como neste exerccio no foi dado o valor do produto,
usar R$ 00,00 como referncia.
O primeiro desconto foi de 0%:
0% de 00 igual a
0
00
00 0
Diminuir esse valor do valor inicial:
R$ 00 R$ 0 = R$ 90
O segundo desconto ir incidir sobre o valor que sobrou,
ou seja, sobre R$ 90,00.
8
00
90
620
00
6 20 ,
Descontar esse valor de R$ 90:
R$ 90 R$ 6,20 = R$ 73,80
Aps os dois descontos temos R$ 73,80, e para saber a
porcentagem de desconto, (se ele fosse feito de uma nica
vez) basta subtrair R$ 73,80 do valor inicial:
R$ 00,00 R$ 73,80 = R$ 26,20
Como o nosso valor de referncia foi de R$ 00, 00 , ento
R$ 26,20 ir corresponder a 26,20% desse valor
Alternativa B
2) (uFg/Bibliotecrio/2007) Paulo trabalha em uma em-
presa e obteve uma promoo que acarretou um aumento
de 20% em seu salrio. No ms seguinte, todos os fun-
cionrios da empresa obtiveram um aumento salarial de
0%. Assim, em relao ao salrio antes da promoo, o
aumento salarial que Paulo obteve foi de
a) 20%.
b) 30%.
c) 32%.
d) 40%.
resolUo
Supor um valor para o salrio de Paulo, no caso de por-
centagem, o melhor valor R$ 00,00.
Inicialmente calcular 20% de R$ 00,00
20
00
00 20
,
( . A segunda
parcela ser dada por ,04 (500 x).
O enunciado diz que as parcelas devem ser iguais:
x x x x
x x x x
-
04 500 520 04
04 520 2 04 520
520
2 04
, ( ) ,
, ,
,
254 90 ,
Alternativa B
3
JuRos
Podemos dizer que juro o rendimento de uma aplicao
fnanceira como no caso de uma caderneta de poupana, ou
o valor que voc paga pelo emprstimo de um dinheiro como
no caso de uma fnanceira.
Temos dois tipos de juro: simples e composto.
JUro simPles
O sistema de juro simples aquele em que o rendimento
calculado sobre o capital inicial. Para o clculo de juro simples
usamos a seguinte frmula:
J
C i t
00
onde :
C = capital ou nominal (o valor aplicado ou emprestado )
i = taxa de juro
t = tempo de aplicao.
Nessa frmula, a taxa de juros e o tempo devero estar
na mesma unidade ( se a taxa de juros for mensal o tempo tem
que estar tambm em meses).
Montante o valor fnal da aplicao, ou seja :
M = C + J
JUro comPosto
O sistema de juro composto calculado sobre o ltimo
montante, ou seja, ele atualizado periodicamente.
Quando trabalhamos com o sistema composto, calculamos
o montante da aplicao atravs da frmula:
M = C(+i)
n
Onde n o tempo da aplicao (nmero de perodos).
Ao trabalhar com esta frmula, a taxa fcar na sua forma
unitria ou centesimal, ou seja, quando tivermos uma taxa de
2% devemos usar i = 0,02 (2 dividido por 00).
Desconto
Imagine que voc tem um ttulo que vence daqui a vrios
meses mas voc est precisando do dinheiro desse ttulo hoje.
Voc procura uma instituio fnanceira para descontar esse
ttulo. Essa instituio ir descontar o ttulo, mas ir cobrar
pelo servio. O valor cobrado pela instituio chamado de
desconto.
Vamos chamar o valor do ttulo na data de seu vencimento
de Valor nominal ou Valor Futuro. O valor que voc ir
receber nessa operao chamado de Valor Atual ou Valor
presente. O desconto ser a diferena entre eles:
D = N V
A
H duas modalidades de desconto: desconto simples e
desconto composto.
dEsConTo simpLEs
O desconto simples aquele calculado usando-se o con-
ceito de juro simples. Existem duas modalidades de desconto
simples: comercial e racional. Vamos agora ver como calcular
o valor atual nesses dois casos:
W
W
W
desconto comercial simples (por fora)
No caso do desconto comercial simples calculamos o
valor presente ( atual ) multiplicando o valor nominal pelo
fator ( i
n).
V
A
= N
( i
n)
Em que o desconto dado por: D = N V
A
Ex:
Um ttulo no valor de R$ 20.500,00 descontado dois
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa
operao foi usada uma taxa de desconto comercial simples
de 2% ao ms. Calcule o valor do desconto.
soluo:
V N i n
A
( . ) . ( , )
. ( , ) . ,
20 500 0 02 2
20 500 0 04 20 500 0 96 9 680 .
D N V
A
20 500 9 680 820 . .
desconto racional simples ( por dentro)
Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor
Nominal pelo fator (+ i n)
E o desconto dado por: D = N V
A
Ex:
Um ttulo no valor de R$ 20.500,00 descontado dois
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa
operao foi usada uma taxa de desconto racional simples de
2% ao ms, calcule o valor do desconto.
resolUo
V
N
i n
A
- ( )
V
A
-
20 500
0 02 2
20 500
04
9 7 54
.
( , . )
.
,
. ,
D N V
A
20 500 9 7 54 788 46 . . , ,
dEsConTo ComposTo
No desconto composto tambm temos as duas modalida-
des, comercial e racional. A diferena que agora devemos
usar o fator de acumulao de capital ( + i )
n
para fazer os
clculos.
desconto comercial composto ( por fora)
No caso do desconto comercial composto, calculamos o va-
lor presente multiplicando o valor nominal pelo fator ( i)
n
:
V N i
A
n
( )
Onde o desconto dado por: D = N V
A
Ex:
Um ttulo no valor de R$ 20.500,00 descontado dois
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa
operao foi usada uma taxa de desconto comercial composto
de 2% ao ms, calcule o valor do desconto.
4
soluo:
V N i
A
n
( )
V
A
20 500 0 02 20 500 0 9604 9 688 20
2
. ( , ) . , . ,
D N V
A
20 500 9 688 20 8 80 . . , ,
desconto racional composto ( por dentro)
Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor
nominal pelo fator de acumulao de capital (ou seja, estamos
descapitalizando o valor futuro).
V
N
i
A
n
- ( )
E o desconto dado por: D = N V
A
Ex:
Um ttulo no valor de R$ 20.500,00 descontado dois
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa
operao foi usada uma taxa de desconto comercial composto
de 2% ao ms, calcule o valor do desconto.
resolUo
V
N
i
A
n
- ( )
V
A
-
20 500
0 02
20 500
0404
9 703 96
2
.
( , )
.
,
. ,
D N V
A
20 500 9 703 96 796 04 . . , ,
Resumindo:
Valor Atual
Comercial
( por fora)
Racional
( por dentro)
Simples V N i n
A
( ) V
N
i n
A
- ( )
Composto V N i
A
n
( )
V
N
i
A
n
- ( )
O desconto bancrio o desconto Comercial (poden-
do ser simples ou composto) s vezes acrescido de taxas
bancrias.
exerccios resolviDos
0) (ConEsuL/Carteiro/sp/2006) Aplicando-se R$ 650,00
durante quinze meses a uma taxa de juros simples de
1,75% ao ms, ao fnal do perodo o montante ser, em
reais, igual a
a) 820,62.
b) 85,75. d) 825,50.
c) 80,87. e) 830,37.
resolUo
Nesse exerccio temos: C = 650,00; t = 5 meses e i = ,75%
ao ms. Aplicar a frmula de juro simples:
J
C i t
00
650 75 5
00
7 062 50
00
70 62
, . ,
,
Como o montante a soma do capital aplicado com os
juros obtidos, temos que:
M = 650,00 + 70,62 = 820,62
Alternativa A
00
2 975
7 000 5
00
2 975 850
2 975
850
3 5
.
.
.
.
, % ao ms
Alternativa C
03) (VunEsp/Ofcial/MPE/SP/2006) Um certo capital foi
aplicado a juro simples durante 8 meses, gerando um
montante de R$ 9.600,00. Esse montante foi novamente
aplicado por mais 4 meses, mesma taxa de juro da
aplicao anterior e gerou R$ 960,00 de juros. O capital
inicialmente aplicado foi
a) R$ 7.000,00.
b) R$ 7.500,00. d) R$ 7.900,00.
c) R$ 7.800,00. e) R$ 8.000,00.
resolUo
Para resolver essa questo, fazer a parte fnal primeiro,
em que temos: J = 960,00;
t = 4 meses e C = 9.600,00 (o montante da aplicao
anterior o capital desta aplicao).
Determinar a taxa usada atravs da frmula de juro
simples:
J
C i t i
i i
00
960
9600 4
00
96000 38400
96000
38400
2 5 ,
A taxa de juros usada foi de 2,5% ao ms
Vamos calcular o montante inicial atravs da primeira
aplicao onde temos: M = 9.600,00; t = 8 meses e i = 2,5%
ao ms
Substituir na frmula do montante:
M C J C
C
C C
C C
- -
-
9600
2 5 8
00
9600 0 2
9600 2
9600
2
8
,
,
,
,
.0000
Alternativa E
5
04) (FumArC/BhTrAns/2007) Uma entidade assistencial
dividiu a aplicao de R$ 00.000,00 em duas aplicaes:
a primeira parte rendeu juros de 8% ao ano e a segunda
parte foi remunerada a uma taxa de 2% ao ano. Se, no
prazo de um ano, os juros recebidos pelas aplicaes foram
iguais, o capital inicial referente primeira e segunda
aplicao so, respectivamente, iguais a:
a) R$ 40.000,00 e R$ 60.000,00.
b) R$ 60.000,00 e R$ 40.000,00.
c) R$ 70.000,00 e R$ 30.000,00.
d) R$ 80.000,00 e R$ 20.000,00.
resolUo
O capital de R$ 00.000,00 foi dividido em duas partes,
mas como no sabemos se elas so iguais vamos chamar uma
delas de x e a outra de 00.000 x que representa o que sobrou
da primeira aplicao.
Quando a aplicao tem durao de perodo no faz
diferena usar juros simples ou composto, ento usaremos
juros simples.
No exerccio foi dito que os juros das duas aplicaes so
iguais, ento vamos fazer:
J
=
J
2
ou seja:
C i t C i t
2 2 2
00 00
Cortando os denominadores e substituindo os valores
do problema:
x x x x
x x
-
8 00000 2 8 200000 2
8 2 200000
( )
20 200000
200000
20
60000 x x
Ou seja, foi aplicado R$ 60.000,00 na primeira aplicao,
e conseqentemente R$ 40.000,00 na segunda aplicao.
Alternativa B
05) (F. C. Chagas/Tc./TrT/2003) Um capital foi aplicado
a juros simples da seguinte maneira: metade taxa de %
ao ms por um bimestre,
5
taxa de 2% ao ms por um
trimestre e o restante taxa de 3% ao ms durante um
quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00.
O capital inicial era
a) R$ 5.800,00
b) R$ 8.300,00 d) R$ 0.200,00
c) R$ 0.000,00 e) R$ 0.800,00
resolUo
O capital C foi dividido em trs aplicaes:
Aplicao : C
C
2
; i = % ao ms; t = 2 meses
( bimestre)
Aplicao 2: C
C
2
5
; i = 2% ao ms; t = 3 meses
( trimestre)
Na terceira aplicao foi usado o restante. Para calcu-
lar o seu valor, primeiro determinar quanto j foi aplicado:
C C C C C
2 5
5 2
0
7
0
-
-
Ento o restante
3
0
C
(o que falta para completar um
inteiro), ento temos:
Aplicao 3: C
C
3
3
0
; i = 3% ao ms; t = 4 meses
( quadrimestre)
O juro total, ou seja, das trs aplicaes juntas, foi de
R$ 580,00.
Vamos aplicar a frmula de juro simples, sabendo que o
juro foi obtido da soma das trs aplicaes:
J
C i t C i t C i t
-
-
2 3
00 00 00
Substituindo os valores temos:
580
2
2 00
2 3
5 00
3 3 4
0 00
580
2
200
6
500
36
-
-
- -
C C C C C C
. . . 000 .
O mmc de 200, 500 e .000 .000
580
2
200
6
500
36
000
580 000
000
0
000
2
000
36
- - - -
C C C C C
.
.
. . .
CC
000 .
Cortando os denominadores e somando os numeradores,
temos:
58 580 000
580 000
58
0 000 C C .
.
.
Alternativa C
06) (nCE/AnTT/2005) Voc est pensando em contrair uma
dvida em um banco que cobra 0% de juros mensal sobre
o saldo devedor. Por exemplo, se voc pegar R$00,00
emprestados, ao fnal de um ms estar devendo R$110,00.
Se, ao final desse primeiro ms, voc pagar apenas
R$ 20,00 dos R$0,00, dever, no ms seguinte, R$99,00
(os R$90,00 que fcou devendo mais os 10% de juros).
Imagine que voc resolva tomar emprestados R$500,00 e
que seu plano seja pagar R$100,00 ao fnal do primeiro ms,
R$100,00 ao fnal do segundo ms, R$100,00 ao fnal do
terceiro ms e quitar a dvida no quarto ms. Nesse caso, voc
ter de pagar, no quarto ms, a seguinte quantia, em reais:
a) 200,00
b) 265,45 d) 398,90
c) 367,95 e) 42,32
resolUo
Valor emprestado: R$ 500,00
Juro do primeiro ms
0
00
500 50
Valor pago no primeiro ms: R$ 00,00
Saldo devedor do primeiro ms:
R$ 500,00 + R$ 50,00 R$ 00,00 = R$ 450,00
Juro do segundo ms
0
00
450 45
Valor pago no segundo ms: R$ 00,00
Saldo devedor do segundo ms:
R$ 450,00 + R$ 45,00 R$ 00,00 = R$ 395,00
Juro do terceiro ms:
0
00
395 39 50 ,
Valor pago no terceiro ms: R$ 00,00
Saldo devedor do terceiro ms:
R$ 395,00 + R$ 39,50 R$ 00,00 = R$ 334,50
Juro do quarto ms:
0
00
334 50 33 45 , ,
Saldo devedor no quarto ms:
R$ 334,50 + R$ 33,45 = R$ 367,95
Alternativa C
6
07) (CEsgrAnrio/Tc./pETroBrAs/2008) Se o capital
for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicao for de 2
anos, qual ser a taxa de juros simples considerada?
a) 25% a.a.
b) 6,67% a.a. d) 6,67% a.m.
c) 25% a.m. e) ,04% a.m.
resolUo
Neste exerccio temos: C =
2
3
M e t = 2 anos
O montante de uma aplicao a soma do capital mais
os juros: M = C + J
Ento temos:
M M J
M M
J J
M
-
2
3
3
3
2
3 3
Mas
J
C i t
00
, ento:
M C i t M
C i
M M
i
M M i i
M
M
3 00
00
3
2
00
3
2
3
2
00 4
00
4
000
4
25 %
ao ano
Alternativa A
08) (FundEp/Tc./Cm. municipal/2004) Antnio comprou
um aparelho de televiso, cujo preo vista R$ 500,00.
Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas
iguais. A primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa
venda, o vendedor cobrou juros de 4% ao ms. Ento
correto afrmar que o valor de cada parcela foi
a) R$ 254,50
b) R$ 254,90
c) R$ 255,00
d) R$ 260,00
resolUo
Neste caso no sabemos o valor de cada parcela, ento
chamaremos a primeira de x.
A segunda parcela ser a diferena entre o valor do
aparelho menos o valor da primeira parcela, ou seja, 500 x,
mas esta parcela tem que ser acrescida de 4% de juros, ento
temos:
500 x +
4
00
. (500 x ) = 500 x + 0,04 ( 500 x) =
500 x + 20 0,04x = 520 ,04x
A primeira parcela vale x e a segunda 520 ,04x,
mas como as duas parcelas tm que ser iguais, devemos
igual-las:
520 04 520 04
520 2 04
520
2 04
254 90
-
, ,
,
,
,
x x x x
x x
Alternativa B
7
TesTes
0) (ACAdEpoL/Esc./mg/2005) Numa delegacia de Belo
Horizonte, dos 72 detentos
6
so mulheres, destas
3
j
foram condenadas. Pode-se afrmar que o percentual de
mulheres detidas que no foram condenadas , aproxi-
madamente:
a) %
b) 6,7% d) 8,7%
c) 8% e) 5,5%
02) (ACAdEpoL/Esc./mg/2005) Do total de policiais que
servem certa regio do estado de Minas Gerais, 30% so
mulheres. Destas, 0% ingressaram na polcia na dcada
de 90. Se o nmero de mulheres policiais que no ingres-
saram na dcada de 90 324, o total de policiais dessa
regio :
a) 680
b) .200 d) .000
c) 840 e) 730
03) (ACAdEpoL/Esc./mg/2007) Trs pessoas A, B, e C
formaram uma empresa, tendo contribudo, respectiva-
mente, com os capitais de R$0.000,00, R$3.000,00 e
R$14.000,00. No fnal de um ano, a empresa lucrou o
montante de R$.000,00. Deste lucro, a tera parte
foi utilizada para investimentos na prpria empresa e o
restante distribudo aos scios A, B e C, em partes pro-
porcionais aos seus capitais de participao na sociedade.
Desta forma, pode-se concluir que o scio B retirou:
a) R$39.000,00 c) R$26.000,00
b) R$40.000,00 d) R$42.000,00
04) (ACAdEpoL/Esc./mg/2007) Considere a tabela abaixo:
Evoluo das receitas do caf industrializado
Agosto/Novembro - 2004
MESES VALOR (US$ milhes)
Agosto 73,4
Setembro 89,7
Outubro 65,2
Novembro 99,8
Total 328,1
Dados fctcios.
Pode-se afrmar que a reduo percentual da receita do
ms de outubro para o ms de setembro foi de, aproxi-
madamente:
a) 27,3% c) 34,67%
b) 37,58% d) 8,7%
05) (ACAdEpoL/Esc./mg/2003) Em determinada ala de
um presdio, h 00 detentos. Sabendo que 98% tem
abaixo de 25 anos, o nmero de presidirios dessa faixa
etria que precisam sair dessa ala para que o percentual
citado caia para 96%
a)
b) 2 d) 48
c) 4 e) 50
06)(ACAdEpoL/perito/mg/2003) Um agiota foi detido e,
em seu depoimento, disse que emprestava dinheiro a uma
taxa de 20% ao ms. Sabendo que ele descontava os juros
no momento do emprstimo, a taxa mensal efetivamente
cobrada pelo agiota de
a) 20,5%
b) 2% d) 25%
c) 22,5% e) 30%
07) (ACAFE/prof./pref. Jaragu do sul/2007) O governo
federal, ao efetuar a restituio de impostos, permite que os
contribuintes consumam mais. O gasto de cada contribuinte
torna-se receita para outros contribuintes que, por sua vez,
fazem novos gastos. Cada contribuinte poupa 0% de suas
receitas, gastando todo o resto. O valor global, em bilhes
de reais, do consumo dos contribuintes a ser gerado por
uma restituio de impostos de 40 bilhes de reais, :
a) 450. c) 360.
b) 36. d) 80.
08) (ACAFE/sEnAi/2006) Duas garotas realizam juntas, em
3 dias, um servio de digitao. Se trabalhar sozinha, a
primeira leva 2 dias e meio menos que a segunda para
fazer o mesmo servio. O tempo, em dias, que cada uma
leva para fazer o servio, :
a) 3 e 5,5
b) 5 e 7,5 d) 2 e 4,5
c) 4 e 6,5 e) 3,5 e 6
09) (ACAFE/sEnAi/2006) Um senhor fez um testamento para
dividir seu patrimnio de R$ 80.000,00 entre seus dois
netos, um de 25 anos e outro de 5 anos. Calculando que o
mais novo gastaria mais dinheiro para se formar, enquanto o
mais velho j estava ganhando com seu trabalho, quis que a
diviso fosse feita inversamente proporcional s suas idades.
Como o av morreu 5 anos aps ter feito o testamento, o
neto mais novo herdou, em reais, a quantia de:
a) 20 mil
b) 80 mil d) 90 mil
c) 50 mil e) 35 mil
0) (ACAFE/Fmp/2007) Com relao dengue, o setor
de vigilncia sanitria de um determinado municpio
registrou o seguinte quadro, quanto ao nmero de casos
positivos:
em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 20%
em maro, relativamente a fevereiro, houve uma reduo de 20%.
Em todo o perodo considerado, a variao foi de
a) No houve variao. c) 0%.
b) - 2%. d) - 4%.
) (ACAFE/Fmp/2007) Com uma lata de tinta possvel
pintar 50m
2
de parede. Para pintar as paredes de uma sala
de 8m de comprimento, 4m de largura e 3m de altura
(desconsidere as janelas e portas) se gasta uma lata e mais
uma parte da segunda lata.
Qual a porcentagem de tinta que restou na segunda lata
aps o trmino do servio?
a) 56%
b) 44%
c) 50 %
d) 25%
8
2) (ACAFE/Fmp/2007) Uma pizzaria vende pizzas com
preos proporcionais s suas reas. Se a pizza mdia tiver
raio igual a 80% do raio da grande e a pizza pequena tiver
como raio a metade do raio da mdia, pode-se afrmar:
(considere = 3,14).
a) O preo da pizza mdia o dobro da pizza pequena.
b) O preo da pizza mdia 64% do preo da pizza grande.
c) Se a pizza grande custar R$ 20,00 a pizza mdia custar
R$ 6,00.
d) Se a pizza grande custar R$ 20,00 a pizza mdia custar
R$ 8,00.
3) (ACAFE/CFo/2006) Em uma cidade existem dois cur-
sos, A e B, que preparam alunos para o vestibular. Se
A aprovou 08 de 720 alunos e B aprovou 99 de 550
alunos, est correto afrmar que a aprovao dos alunos
do curso A :
a) igual ao do B.
b) 3% superior ao do B.
c) 3% inferior ao do B.
d) 9% superior ao do B.
e) 9% inferior ao do B.
4) (uErJ/2007) Joo abriu uma caderneta de poupana e,
em de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma
taxa de juros, nesse ano, de 20%. Em de janeiro de
2007, depositou mais R$ .000,00. Para que Joo tenha,
nessa poupana, em de janeiro de 2008, um montante
de R$ .824,00, a taxa de juros do segundo ano deve
corresponder a:
a) 2%
b) 4%
c) 6%
d) 8%
5) (uFmg/2007) Aps se fazer uma promoo em um clube
de dana, o nmero de frequentadores do sexo masculino
aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual da
participao masculina passou de 30% para 24%.
Considerando-se essas informaes, correto afrmar que
o nmero de mulheres que frequentam esse clube, aps a
promoo, teve um aumento de
a) 76%.
b) 8%.
c) 85%.
d) 90%.
Gabarito
01) A 02) B 03) C 04) A 05) E
06) D 07) C 08) B 09) E 10) D
11) A 12) B 13) C 14) B 15) D
errata - cdigo 0089_02_10 - matemtica
Gabarito
Pgina 0, questo n 0, item b onde se l 4,
leia-se 30.
Pgina 5, questo n 08, item d onde se l
5
3
,
leia-se
4
.
Pgina 7, questo n 03, item e onde se l ,6,
leia-se ,5.
2 6
3
, leia-se
2 2
3
.
Pgina 52, questo n 09 onde se l 2, leia-se 0.
Pgina 6, questo n 04, item c onde se l
y
x
x
-
5
3
,
leia-se
y
x
x
3 2
.
Pgina 64, questo n 0, Aprendizagem e Fixao
onde se l A = 0
4
, leia-se A = 5.
Pgina 68, questo n 2 onde se l S
82
= 4.39,
leia-se S
82
= 4.442.
Pgina 69, questo n 05, item a onde se l 57.22
livros, leia-se 74.258 livros.
Pgina 69, questo n 05, item b onde se l 3 dias,
leia-se 2 dias.
Pgina 74, item 6, completar a teoria quando multiplica-
mos ou dividimos uma linha por um nmero, o determinante
fca multiplicado ou dividido tambm por esse nmero.
Pgina 74, item 7, completar a teoria quando multiplica-
mos ou dividimos uma coluna por um nmero, o determinante
fca multiplicado ou dividido tambm por esse nmero.
Pgina 8, questo n 03 onde se l 720, leia-se 360.
Pgina 85, questo n 02, onde se l x
4
+ 2x
3
+ 54x
2
+
28x + 8, leia-se x
4
+ 2x
3
+ 54x
2
+ 08x + 8.
Pgina 6, questo n 05 onde se l a =
2
, leia-se
a =
4
.
Pgina 25, questo n 09 onde se l D, leia-se A.
Pgina 25, questo n 0 onde se l A, leia-se D.
Estudo Real Edies - 0238_02_0