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Objetivos do Ensino da Matemática

Geraldo Ávila,
Instituto de Matemática e Física, UFG
74001-970 Goiânia, GO

Introdução
Acho que quase todo professor de M atemática já teve a experiência de ser questionado
por seus alunos sobre a importância da M atemática e sua utilidade. Eles costumam fazer
perguntas deste tipo:

— Professor, para que serve toda essa M atemática que estamos estudando?

— Por que a gente tem de estudar todas essas coisas sobre triângulos, polinômios,
equações, trigonometria? Afinal, de que vai me adiantar tudo isso na vida?

E o professor frequentemente se vê em dificuldades para dar respostas satisfatórias. Na

verdade, essas perguntas não têm mesmo respostas fáceis nem breves. Então, como
responder a elas?

Nosso objetivo, neste artigo, é o de abordar esse tema, procurando ajudar o professor,
primeiro, a bem entender toda a riqueza da M atemática e seu verdadeiro papel na
formação do aluno; e, depois, como lidar com essas perguntas sobre o porquê da
M atemática.

Justificativas Parciais
As razões mais frequentemente mencionadas para justificar o ensino da M atemática são
as seguintes:

1.ª) A Matemática é necessária em atividades práticas que envolvem aspectos

quantitativos da realidade.

2.ª) A Matemática é importante porque desenvolve o raciocínio lógico.

Essas razões, embora legítimas, não são a justificativa mais importante para o ensino da
M atemática. A primeira delas, por exemplo, é praticamente irrelevante para uma pessoa
interessada em estudos na área de humanidades. De fato, basta um conhecimento
elementar de operações com números para atender razoavelmente bem às diversas
necessidades do dia-a-dia. Aliás, ironicamente até, o avanço tecnológico criou uma
situação curiosa: hoje em dia o cidadão comum necessita de menos M atemática — pelo
menos no que diz respeito a "cálculos com números" — do que décadas atrás, quando não
dispúnhamos, como hoje, desses instrumentos tão eficazes, que são as calculadoras de
bolso.

Como se vê, as técnicas matemáticas de que necessitamos em nosso dia-a-dia são tão

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modestas que podem ser plenamente atendidas no ensino das primeiras 5 ou 6 séries do
1.° grau. Por que, então, ensinar M atemática até a última série do 2.° grau? Será que a
segunda das razões acima citada justifica esse ensino? A nosso ver, ela também é
insuficiente, e vamos explicar por quê.

As Várias Faces do Pensamento Matemático

A idéia de que o pensamento matemático se reduz a seus aspectos lógico-dedutivos —
uma idéia muito difundida, mesmo entre professores de M atemática — é incompleta e
exclui o que há de mais rico nos processos de invenção e descoberta nesse domínio do
conhecimento. A verdade é que o pensamento matemático vai muito além do raciocínio
lógico.

Em seus aspectos mais criativos, a Matemática está ligada muito

mais à intuição e à imaginação do que ao raciocínio lógico-dedutivo,
como procuramos explicar a seguir.

A intuição é a faculdade mental que nos permite obter o conhecimento de maneira direta,
sem a interveniência do raciocínio. Os matemáticos frequentemente referem-se a algum
fato como "intuitivo", querendo com isso dizer que se trata de algo cuja veracidade é
facimente reconhecível. M as é bom lembrar que "intuitivo" não é sinônimo de "fácil". Há
muitas verdades profundas e difíceis que são apreendidas pela intuição.

A intuição é, na verdade, uma faculdade mental mais poderosa que o próprio raciocínio. É
através dela que ocorrem as grandes criações do homem, nas artes, na filosofia e nas
ciências. HENRI POINCARÉ (1854-1912), um dos mais eminentes matemáticos dos
últimos 150 anos, testemunhou bem isso, num artigo que escreveu sobre Criação
Matemática, onde ele conta várias de suas experiências como pesquisador. Uma dessas
experiências ocorreu em suas tentativas de demonstrar um certo teorema. Depois de
vários dias de trabalho sem sucesso, interrompeu suas pesquisas para fazer uma excursão
geológica com várias outras pessoas. Foi como se estivesse tirando umas férias da
M atemática, passando dias distraído com outras coisas. Num dos momentos da viagem,
segundo ele conta, veio-lhe à mente, assim de súbito, a idéia de utilizar, na demonstração
de seu teorema, certos recursos matemáticos que ele já havia empregado tempos antes
numa outra situação. E ao voltar para casa, examinando detidamente essa idéia, pôde
verificar que ela era realmente a chave da solução que procurava. A "idéia", de fato, tinha
seu "mérito".

Idéias são coisas que nos vêm por intuição. Uma idéia não se deduz, "se intui". ALBERT
EINSTEIN (1879-1955) concebeu sua Teoria da Relatividade com base na idéia da
relatividade do espaço e do tempo, idéia essa que lhe veio por intuição, não por dedução.
Exemplos como esse e o de Poincaré existem em abundância na História da Ciência, não
apenas em M atemática ou em ciências exatas.

Em M atemática, particularmente, é muito comum um pesquisador, em conversa com

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colegas, tecer comentários sobre algum resultado novo que ele acredita ser verdadeiro,
embora não disponha ainda de uma demonstração. O pesquisador, com sua experiência e
familiaridade em determinada área de investigação, valendo-se das várias modalidades do
raciocínio (indução, analogia de uma situação com outra, argumentos de plausibilidade) e
da intuição, é levado a suspeitar da validade de um novo resultado ou teorema. A
demonstração, em geral, é a etapa final, que completa o trabalho de investigação. E muitas
vezes, por não conseguir encontrar uma demonstração, o teorema, tendo já adquirido
credibilidade na comunidade matemática, impõe-se com o nome de "conjectura",
"hipótese" ou mesmo "teorema". Há assim várias conjecturas na literatura matemática, ou
seja, resultados ainda não demonstrados, mas que os matemáticos acreditam serem
verdadeiros. De vez em quando uma dessas conjecturas é demonstrada, geralmente por
algum matemático jovem, que se torna, então, bastante conhecido entre seus pares. Uma
das mais famosas conjecturas pendentes é a chamada "Hipótese de Riemann" formulada
pelo matemático alemão BERNARD RIEM ANN (1826-1856) em meados do século
passado; outra é o chamado último teorema de Fermat (veja RPM 15, p. 14), de
formulação muito simples, mas que vem desafiando os matemáticos por mais de três
séculos, e que, nos últimos anos, vem sendo resolvida no contexto de uma ampla teoria
pertencente a duas importantes e difíceis disciplinas matemáticas, a Teoria dos Números e
a Geometria Algébrica. Dizemos "vem sendo resolvida" porque, de fato, várias vezes a
solução foi anunciada para, logo em seguida, revelar falhas. O "teorema" parece finalmente
demonstrado, mas, no momento em que escrevemos, está ainda sob verificação dos
especialistas.

Essas considerações mostram o quanto de riqueza existe no pensamento matemático para

além de seus aspectos lógico-dedutivos. Imaginação e intuição são instrumentos tão
importantes na invenção matemática como o são para o pintor que concebe um quadro,
para o escritor que planeja uma obra literária ou para o músico em suas criações artísticas.

O Principal Motivo para o Ensino da Matemática

Certamente que o ensino da M atemática é justificado, em larga medida, pela riqueza dos
diferentes processos de criatividade que ele exibe, proporcionando ao educando excelentes
oportunidades de exercitar e desenvolver suas faculdades intelectuais. M as

a razão mais importante para justificar o ensino da Matemática é o

relevante papel que essa disciplina desempenha na construção de
todo o edifício do conhecimento humano.

Desde os primórdios da civilização, o homem, como "ser pensante" , sempre quis

entender o mundo em que vive. Será que a Terra é plana? Como se suporta? Como são
seus limites últimos? A abóbada celeste é uma fronteira última, com as estrelas nela
incrustadas? Por que e como alguns corpos celestes — os planetas — se deslocam
erraticamente? O que existe para além dessa abóbada? Como explicar os movimentos do
Sol e da Lua?

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Perguntas como essas certamente atormentaram o espírito humano por muitos milênios,
até que, a partir do século VI a.C, começaram a ser respondidas, e com muito sucesso.
Foram idéias matemáticas simples de semelhança de figuras geométricas e
proporcionalidade que permitiram aos astrónomos, já no século III a.C, calcular o
tamanho da Terra (veja nosso artigo na RPM l), do Sol e da Lua e as distâncias a que se
encontram esses astros da Terra. E a solução desses problemas mudou radicalmente a
ideia do homem a respeito do mundo em que vivia.

As idéias de COPÉRNICO, GALILEU e KEPLER sobre o sistema solar, bem como os

dados de observação de TYCHO BRAHE, culminaram, no século XVII, com a teoria da
gravitação de Newton, que dava ao homem um novo e poderoso instrumento de
interpretação do universo. Os desenvolvimentos que se seguiram, sobretudo com os
trabalhos de LAPLACE (1749-1827), iriam resgatar a antiga idéia de PITÁGORAS de
que "o número é a chave para a compreensão dos fenômenos", pois ficava agora evidente
que os movimentos dos planetas obedeciam a leis matemáticas precisas. Isso teve
influência decisiva no pensamento racionalista do século XVIII, portanto, nas próprias
concepções filosóficas dessa época.

Idéias sobre a constituição da matéria ocorreram na antiguidade, sendo bem conhecidas as

de LEUCIPO e DEM ÓCRITO, cuja eficácia só pode ser comprovada com o
desenvolvimento da Química no século XIX. E novamente aqui o instrumental
matemático está na base da solução dos problemas.

Já no século XX, e graças a eficazes idéias matemáticas, novamente o homem alargou as

fronteiras do mundo em que vive, calculando distâncias astronômicas fantásticas e
formulando teorias cosmológicas que indicam que o universo em que vivemos teve origem
há uns 15 ou 20 bilhões de anos.

M ais recentemente, os avanços da Biologia M olecular, alicerçados em idéias matemáticas,

abrem perspectivas de progressos até há algumas décadas nem sequer sonhados sobre os
mistérios da vida, a diversidade das espécies e a engenharia genética.

Até mesmo em vários domínios da Arte, a M atemática tem tido uma influência
substancial e direta, como na Arquitetura, na Escultura, na Pintura e na M úsica.

Na Pintura, particularmente, foi graças a idéias matemáticas de paralelismo e projeção que

os pintores da Renascença criaram a ciência da Perspectiva, que lhes tornou possível
retratar em suas telas uma realidade marcada por intenso humanismo.

A descoberta de que M atemática e M úsica estão intimamente relacionadas remonta a

Pitágoras. M as foi só no século XVIII que a teoria musical encontrou bases seguras para
se estruturar cientificamente; e aqui, novamente, foram ideias matemáticas que permitiram
uma interpretação científica dos fenómenos sonoros.

Há um importante campo de estudos, que é domínio próprio da M atemática, conhecido

como Lógica e Fundamentos, onde foram realizadas, há pouco mais de seis décadas,
notáveis descobertas, que estabelecem ser inalcançável o objetivo de organizar logicamente

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a M atemática de forma a garantir que todas as suas proposições possam ser testadas
como verdadeiras ou falsas. Em outras palavras, o edifício matemático, como resultado do
trabalho humano, não tem, nem pode ter, garantida sua consistência. Isso se reflete em
todo o conhecimento humano, já que a M atemática é, direta ou indiretamente, instrumento
do qual dependem, para sua organização, as demais ciências, como a Física, a Química, a
Biologia, a Cosmologia, etc. Em consequência, todo o conhecimento construído pelo
homem está necessariamente marcado pelas limitações da própria intelectualidade. E é o
próprio conhecimento humano que revela essas limitações. Em outras palavras, o homem
descobre as limitações de seu intelecto, através do exercício desse mesmo intelecto!

Esse rápido apanhado de vários exemplos serve para mostrar o quanto as "idéias
matemáticas" têm estado presentes na construção de todo o edifício do conhecimento,
influindo também, de maneira profunda e marcante, nas próprias concepções filosóficas
do homem diante de sua existência e do mundo em que vive.

Justificativas e Objetivos do Ensino da Matemática

Tendo em conta essas várias considerações, vemos que o ensino da. M atemática tem
justificativas mais amplas e abrangentes que apenas aquelas duas citadas no início deste
artigo. Cremos poder assim sintetizar essas justificativas e objetivos que o ensino deve
atingir:

A Matemática deve ser ensinada nas escolas porque é parte substancial de todo o
património cognitivo da Humanidade. Se o currículo escolar deve levar a uma boa
formação humanística, então o ensino da Matemática é indispensável para que essa
formação seja completa.

O ensino da Matemática se justifica ainda pelos elementos enriquecedores do

pensamento matemático na formação intelectual do aluno, seja pela exatidão do
pensamento lógico-demonstrativo que ela exibe, seja pelo exercício criativo da
intuição, da imaginação e dos raciocínios por indução e analogia.

O ensino da Matemática é também importante para dotar o aluno do instrumental

necessário no estudo das outras ciências e capacitá-lo no trato das atividades
práticas que envolvem aspectos quantitativos da realidade.

E claro que uma pessoa pode prescindir de conhecimento matemático e mesmo assim ser
um grande ator, escritor, estadista, enfim, um profissional realizado em muitos domínios
do conhecimento. M as certamente seus horizontes culturais serão mais restritos. A
situação é análoga à de uma pessoa que, mesmo possuindo competência matemática, tenha
poucos conhecimentos humanísticos; seus horizontes culturais também serão mais
limitados.

Ensino Orgânico e Integrado

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Para atingir plenamente seus objetivos, o ensino da M atemática deve ser feito de maneira
a atender a certos requisitos básicos, que enumeramos a seguir:

1) O ensino deve sempre enfatizar as ideias da M atemática e seu papel no

desenvolvimento da disciplina.

2) Os diferentes tópicos da M atemática devem ser tratados de maneira a exibir sua

interdependência e organicidade.

3) O ensino da M atemática deve ser feito de maneira bem articulada com o ensino de
outras ciências, sobretudo a Física.

Em Classe

Neste ponto voltamos à questão inicial, que motivou todo este artigo: como deve o
professor lidar com as perguntas dos alunos sobre a relevância da M atemática?

Dissemos, no início, que essas perguntas não têm respostas fáceis nem breves. O ideal é
que o ensino proceda de maneira a justificar, a cada passo, a relevância daquilo que se
ensina. Cada novo tópico a ser tratado deve ser devidamente motivado, o que pode ser
feito com a formulação de problemas práticos interessantes; ou pequenas histórias que
ajudem a despertar a curiosidade dos alunos (veja, por exemplo, RPM 25, pp. 10 a 14);
ou, ainda, estimulando a participação ativa dos alunos (veja, por exemplo, a RPM 26, pp.
8 a 11). M as isso nem sempre é possível, pois há questões puramente teóricas, que
exibem belas idéias, como aquela de provar que existem infinitos números primos (RPM
19, pp. 26 a 28); então é preciso ter o cuidado de fazer uma boa exposição, de preferência
que não dure muito tempo, para cativar e manter os alunos atentos. Nos casos que
envolvem demonstrações, é de suma importância ressaltar as idéias envolvidas, pois são
elas que despertarão o interesse do aluno. E esse último exemplo que citamos, da RPM
19, ilustra muito bem esse ponto.

Trazendo freqüentemente a suas aulas histórias, problemas e questões interessantes, o

professor desperta no aluno uma crescente admiração pelo largo alcance da M atemática,
estimulando seu interesse pela disciplina.

Assim procedendo, o professor se antecipa às perguntas do aluno sobre a relevância da

M atemática; o aluno nem terá necessidade de fazê-las. Aliás, se faz tais perguntas com
certa freqüência, isso já é, em si, um sintoma de que algo deve ser feito para motivar o
aluno. Talvez o ensino esteja se desenvolvendo muito abstratamente, sem exibir a
relevância dos conceitos introduzidos. É o que pode acontecer, por exemplo, com o ensino
de funções a partir do produto cartesiano de conjuntos, seguido de relações, a função
sendo definida como um tipo particular de relação; depois funções injetoras, sobrejetoras,
bijetoras, etc. É natural que o aluno pergunte: — M as para que tudo isso? E ele tem razão.
Aqui o professor deve questionar o seu próprio ensino, procurando ver o que está
deficiente e pode ser melhorado. M as nunca deve deixar essas perguntas sem respostas ou
descartá-las como impertinentes ou extemporâneas.

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E, se não estiver preparado para uma resposta satisfatória — o que acontece até
mesmo com as pessoas mais experientes —, o certo é dar alguma resposta parcial ou
provisória, sem rodeios ou evasivas, por exemplo, dizendo ao aluno: "vou pensar
mais nesse assunto" ou "vou procurar mais elementos para melhor esclarecer sua
curiosidade".

Não queira também o professor apresentar todas as justificativas e motivações do ensino

da M atemática de uma só vez, nem despejar sobre os alunos todas as histórias sobre a
relação da M atemática com outras ciências. Tudo deve ser feito aos poucos, em pequenas
doses. O ideal é que o professor esteja sempre preparado com algumas historinhas e
exemplos de aplicações para serem apresentados nos momentos mais oportunos.

E é importante que as aplicações sejam interessantes e sem artificialismos. Assim, calcular

o tamanho da Terra, como fez Eratóstenes na antiguidade, certamente é uma aplicação de
grande relevância que, devidamente apresentada, há de motivar os alunos e estimular seu
interesse e admiração pela M atemática. Indo a outro extremo, seria contraprodutivo
propor o problema de calcular a quantidade de tecido necessária para fazer uma toalha na
forma de um trapézio de bases 180 e 240 centímetros e altura 120, pois não se costumam
fazer toalhas assim... M elhor seria calcular a área de um terreno com a mesma forma
trapezoidal (trocando centímetros por metros, evidentemente); ou, simplesmente, calcular
a área do trapézio.

Embora motivação e aplicações sejam importantes, não se pode ir a extremos, querendo

que toda a M atemática seja sempre ensinada com aplicações. A apresentação freqüente de
aplicações leva o aluno a adquirir entusiasmo e admiração pela M atemática, a ponto de se
interessar por questões puramente matemáticas, que exibam idéias ou fatos interessantes,
como as que são tratadas na RPM 21, pp. 19 a 25; ou a da distância Rio-São Paulo (RPM
22, pp. 1 a 3), só para mencionar algumas dentre as muitas discutidas nos vários
fascículos da RPM.

Para concluir, deve-se ter sempre em mente que nenhuma receita sobre ensino pode ter
sucesso se faltar ao professor amor e devotamento à profissão, e um esforço continuado
de sempre aprender mais e aprimorar seus conhecimentos de M atemática para melhor
motivar e despertar o interesse de seus alunos.

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