Tautologia Contradição e Contingência

Raciocínio Lógico-Matemático
Prof. Gustavo Rodrigues
1
Raciocínio Lógico Matemático

1. Tautologia ...................................................................................................... 3
QUESTÕES ....................................................................................................... 9
Questões nível médio ......................................................................................... 9
Questões nível superior.................................................................................... 12
2. Contradição.................................................................................................. 15
Questões............................................................................................................20
Questões nível médio ....................................................................................... 20
3. Contingência ................................................................................................ 26
Questões............................................................................................................32
Questões nível médio ....................................................................................... 32
2
1. Tautologia
Prof.Gustavo Rodrigues
@gusnoar
Antes de falar de “Tautologia”, deixa eu dar uma contextualizada. O que é “Tautologia”?

Tautologia é uma das classificações de uma proposição composta. Uma proposição composta
pode ser classificada de três maneiras: tautologia, contradição ou contingência. Vamos estudar
uma a uma. Para classificar uma proposição, a gente constrói a tabela da proposição (por isso
precisa ser uma proposição composta). Depois de construir a tabela, a gente olha para a última
coluna. Dependendo dos valores lógicos da última coluna, a gente tem uma classificação. Esse
é o processo.
Mas o que é tautologia? É uma proposição que permanece sempre verdadeira.
Então, como a gente classifica uma proposição em tautologia?
i. faz a tabela
ii. analisa a última coluna
Se a última coluna for toda V, então a gente diz que a proposição é tautologia.
A palavra “tautologia” não costuma fazer parte do nosso vocabulário. Por isso, acho bem
importante que você fale a palavra, repita em voz alta, repita baixinho, pense, escreva, soletre,
enfim, tente tornar a palavra tautologia mais comum pra você. É mais difícil esquecer algo que é
usual.
3
Agora vamos classificar a proposição (p → q) ↔ (~q → ~p).
Primeiro, construiremos a tabela da proposição. Como são duas proposições simples

envolvidas, teremos 22 = 4 linhas (2n, com n sendo o número de proposições simples envolvidas).
Além disso, teremos as seguintes sete colunas: p, q, ~p, ~q, (p → q), (~q → ~p) e (p → q) ↔ (~q
→ ~p).
A tabela que será preenchida ficará assim:
p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

~p
Agora, começamos preenchendo as colunas das proposições simples. Como temos 4

linhas, dividimos este 4 por 2 e o resultado será a quantidade de Verdadeiros e Falsos da primeira
coluna.
p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

~p
4
A segunda coluna será preenchida com a metade de Verdadeiros e Falsos da primeira

coluna.
p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

~p
V V
V F
F V
F F
A partir de agora, tem que analisar cada coluna pra fazer o preenchimento correto. Vamos
preencher a terceira coluna, a negação do p. Olha para a coluna do p e troca o valor (negação).
p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

~p
V V F
V F F
F V V
F F V
5
Preenchendo a quarta coluna, a negação do q. Olha para a coluna do q e troca o valor

(negação).
p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

~p
V V F F
V F F V
F V V F
F F V V
A quinta coluna é o primeiro condicional. E é por isso que a gente precisa decorar as
tabelas dos conectivos, pois a gente vai usar toda hora a tabela de um conectivo. Lembra a Vera
Fisher? Conecte as colunas 1 e 2 com a Vera Fischer.
p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

~p
V V F F V
V F F V F
F V V F V
F F V V V
6
A sexta coluna também é do condicional. Vamos de novo com a Vera Fischer, sempre
atento às proposições que estão sendo conectadas (terceira e quarta colunas agora).
p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

~p
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
A sétima coluna é do conectivo bicondicional. Mais uma tabela que você precisa saber.
Conecte as colunas 5 e 6 e complete a sétima coluna.
p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

~p
V V F F V V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
7
Pronto! Tabela completa. Olhe agora para a última coluna. Percebe que tem apenas o
valor V? Por isso, a proposição (p → q) ↔ (~q → ~p) é classificada como tautologia.
8
QUESTÕES
Questões nível médio
01. ANVISA CEBRASPE-2016
A expressão (¬P) ∧ ((¬Q) ∨ R) ⇔ ¬(P ∨ Q) ∨ ((¬P) ∧ R) é uma tautologia.
( ) Certo
( ) Errado
02. Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a condicional p ⇒ (q ⇒ p)

será, sempre, uma tautologia.
( ) Certo
( ) Errado
03. PC-ES AOCP-2019
Considerando p e q duas proposições quaisquer, assinale a alternativa que representa,

logicamente, uma tautologia.
a) ~p ∧ p
b) ~p ∧ ~q
c) (p ∧ q) ⇒ (p ∨ q)
d) (p ∨ q) ⇒ (p ∧ q)
e) p ∨ q
04. A proposição ¬P ⇒ [P ⇒ Q], em que ¬P denota a negação da proposição P, é uma tautologia,

isto é, todos os elementos de sua tabela-verdade são V (verdadeiro).
( ) Certo
( ) Errado
9
05. DEPEN CEBRASPE-2013
Considerando que, P, Q e R são proposições conhecidas, julgue os próximos itens.
A proposição [(P ∧ Q) → R] ∨ R é uma tautologia, ou seja, essa proposição é sempre verdadeira

independentemente dos valores lógicos de P, Q e R.
( ) Certo
( ) Errado
10
Gabarito questões nível médio
01. Certo
02. Certo
03. C
04. Certo
05. Errado
11
Questões nível superior
01. A proposição [(A → B) v (B ^ C)] é uma tautologia.
( ) Certo
( ) Errado
02. A proposição [(A v ~B) → (B ^ ~C)] é uma tautologia.

( ) Certo
( ) Errado
03. PC-SP VUNESP-2014
Uma proposição composta é tautológica quando ela é verdadeira em todas as suas possíveis
interpretações.
Considerando essa definição, assinale a alternativa que apresenta uma tautologia.
a) p ∨ ¬ q
b) p ∧ ¬ p
c) ¬ p ∧ q
d) p ∨ ¬ p
e) p ∧ ¬ q
04. Se A, B e C são proposições simples, então o valor lógico de (~A ∧ B) ∨ (C ∧ ~B) será sempre
verdadeiro:
( ) Certo
( ) Errado
12
05. Prefeitura de Chiador-MG MS CONCURSOS-2020 - Adaptada
Seja a proposição P: “Maria trabalha na Prefeitura de Chiador”, então a proposição P v (~P) é

uma tautologia.
( ) Certo
( ) Errado
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Gabarito questões nível superior
01. Errado
02. Errado
03. D
04. Errado
05. Certo
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2. Contradição
Depois de entendermos o que é tautologia (aula anterior), estudar contradição e

contingência é mais tranquilo, pois o processo é o mesmo.
I. faz a tabela
II. analisa a última coluna
Se a última coluna for toda F, então a gente diz que a proposição é contradição. A própria
palavra “contradição” já é mais falada e ouvida pela maioria de nós. Diferente de tautologia.
Vamos classificar a proposição (p v ~p) → (q ^ ~q).
Primeiro, a gente calcula o número de linhas da tabela: teremos 2 2 = 4 linhas (2n, com n
sendo o número de proposições simples envolvidas). Além disso, teremos as seguintes sete
colunas p, q, p, ~q, (p v ~p), (q ^ ~q) e (p v ~p) → (q ^ ~q).
p q ~p ~q (p v (q ^ (p v ~p) → (q ^ ~p)
~p) ~q)
15

coluna.
p q ~p ~q (p v (q ^ (p v ~p) → (q ^ ~p)
~p) ~q)

coluna.
p q ~p ~q (p v (q ^ (p v ~p) → (q ^ ~p)
~p) ~q)
V V
V F
F V
F F
16
preencher a terceira coluna, a negação do p. Olha para a coluna do p e troca o valor (negação).
p q ~p ~q (p v (q ^ (p v ~p) → (q ^ ~p)
~p) ~q)
V V F
V F F
F V V
F F V
Preenchendo a quarta coluna, a negação do q. Olha para a coluna do q e troca o valor

(negação).
p q ~p ~q (p v (q ^ (p v ~p) → (q ^ ~p)
~p) ~q)
V V F F
V F F V
F V V F
F F V V
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A quinta coluna é o conectivo “ou”. Você precisa decorar as tabelas dos conectivos, pois
toda hora a tabela de um conectivo será utilizada. A tabela do “ou” só é F quando ambas forem
F.
p q ~p ~q (p v (q ^ (p v ~p) → (q ^ ~p)
~p) ~q)
V V F F V
V F F V V
F V V F V
F F V V V
A sexta coluna é o conectivo “e”. Nosso mantra: “a tabela do “e” só é V quando ambas
forem V”.
p q ~p ~q (p v (q ^ (p v ~p) → (q ^ ~p)
~p) ~q)
V V F F V F
V F F V V F
F V V F V F
F F V V V F
18
A sétima coluna é do conectivo condicional. Conecte as colunas 5 e 6 e complete a sétima

coluna.
p q ~p ~q (p v (q ^ (p v ~p) → (q ^ ~p)
~p) ~q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V V F F
Pronto! Tabela completa. Olhe agora para a última coluna. Percebe que tem apenas o
valor F? Por isso, a proposição (p v ~p) → (q ^ ~q) é classificada como contradição.
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QUESTÕES
01. Se A e B forem proposições simples, então a proposição (A ^ B) → (A v B) é uma contradição.
( ) Certo
( ) Errado
02. Se P e Q forem proposições simples, então a proposição (P ↔ ~Q) ∧ (P ∧ Q) é uma

contradição.
( ) Certo
( ) Errado
03. (Coren/2020) Considere a seguinte sentença, em que p e q são proposições que podem ser
verdadeiras ou falsas.
{[~q ∧ (p → q)] → [~p]}
É correto afirmar que:
a) É uma tautologia.
b) Trata-se de uma contradição.
c) Se p e q forem verdadeiras, a sentença será falsa.
d) Se p e q forem falsas, a sentença será falsa.
e) A sentença é verdadeira somente se p for verdadeiro e q for falsa.
20
04. Prefeitura de Gramado-RS FUNDATEC-2019
Trata-se de um exemplo de contradição a proposição:
a) Dois é um número par e ímpar.
b) Gramado é uma cidade bonita se e somente se faz frio.
c) Maria é alta e Pedro é baixo.
d) Se dois é um número par então Maria é alta.
e) Se Pedro é baixo então Maria é alta.
05. Se p e q forem proposições simples, então a proposição [(p ^ q) v (~r)] é uma contradição.
( ) Certo
( ) Errado
21
01. Errado
02. Certo
03. A
04. A
05. Errado
22
01. Se p e q forem proposições simples, então a proposição ~p v (p → q) é uma contradição.
( ) Certo
( ) Errado
02. Se p e q forem proposições simples, então a proposição [(p ↔ ~q) ^ q] é uma contradição.
( ) Certo
( ) Errado
03. Se A, B e C forem proposições simples, então a proposição (A → (∼B ∨ C)) ∧ ∼ (B ∨ (A ↔

∼C )) é uma contradição.
( ) Certo
( ) Errado
04. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição.
a) (p ^ q) → (p ↔ q)
b) ~(p v q) ^ (p ^ q)
c) ~(p ^ q) v ~(p ↔ q)
d) (p v ~r) → (q ^ ~r)
e) [(p → q) ^ (q → p)] → [(p → r)]
23
05. Se p, q e r forem proposições simples, então a proposição (p → (~q v r)) ^ ~(q v (p ↔ ~r))
não é uma contradição.
( ) Certo
( ) Errado
24
01. Errado
02. Errado
03. Errado
04. B
05. Certo
25
3. Contingência
Nas duas últimas aulas, você deve ter percebido a importância de construir uma tabela
verdade. O processo de classificação de uma proposição completa é aquele que a gente já sabe:
I.faz a tabela
II.analisa a última coluna
Como só existem dois valores lógicos (V ou F), a última coluna pode ser toda V
(tautologia), toda F (contradição) ou pode aparecer V e F misturado, que é o que vamos ver na
aula de hoje.
Agora é a hora de você me ajudar a te ajudar. Pensemos juntos: tudo V? Tautologia! Tudo
F? Contradição! E se for outra coisa? Contingência!
Então, contingência é isso: quando a última coluna não for tautologia e não for contradição.
Mas o principal é a gente ter firmeza na construção das tabelas. Por isso, faça as tabelas!
Com as tabelas dos conectivos decoradas, construir as tabelas maiores é um grande estudo.
Vamos, então, classificar a proposição {[q ↔ (p v q)] → [(p ^ q) → q]}.
26
Primeiro, a gente calcula o número de linhas da tabela: teremos 2 2 = 4 linhas (2n, com n
sendo o número de proposições simples envolvidas). Além disso, teremos as seguintes sete
colunas p, q, (p v q), [q ↔ (p v q)], (p ^ q), [(p ^ q) → q]}, {[q ↔ (p v q)] → [(p ^ q) → q]}.
p q (p v q) q ↔ (p v q) (p ^ q) (p ^ q) → q [q↔(pvq)]→[(p^q)→q]

coluna.
27

coluna.
V V
V F
F V
F F
preencher a terceira coluna, a coluna do (p v q).
V V V
V F V
F V V
F F F
28
Preenchendo a quarta coluna, usando o se, e somente se.
V V V V
V F V F
F V V V
F F F V
A quinta coluna é o conectivo “e”.
p q (p v q) q ↔ (p v q) (p ^ q) (p ^ q) → q [q↔(pvq)]↔[(p^q)→q]
V V V V V
V F V F F
F V V V F
F F F V F
29
A sexta coluna é o condicional.
V V V V V V
V F V F F V
F V V V F V
F F F V F V
E a última coluna é a proposição composta completa.
V V V V V V V
V F V F F V F
F V V V F V V
F F F V F V V
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E a tabela está pronta! Olhe agora para a última coluna. É tautologia? Não! É contradição?
Não! Logo, vai ser contingência.
31
QUESTÕES
01. Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras.
• P: “Se o processo foi relatado e foi assinado, então ele foi discutido em reunião”.
• Q: “Se o processo não foi relatado, então ele não foi assinado”.
Com base nessas informações, julgue o item a seguir.
O valor lógico da proposição Q → (P ∨ Q) é sempre contingência.
( ) Certo
( ) Errado
02. A expressão (~A) ^ ((~B) ∨ C) ↔ ~(A ∨ B) ∨ ((~A) ∧ C) é uma contingência.
( ) Certo
( ) Errado
03. A proposição (P ↔ ~Q) ∧ (P ∧ Q) é uma contradição.
( ) Certo
( ) Errado
32
04. A proposição P ↔ (P ∧ Q) pode ser classificada como:
a) Tautologia
b) Contradição
c) Contingência
d) Não é possível determinar
05. Se P, Q e R forem proposições simples, então a proposição ~[P ∨ Q] ↔ [~P ∧ R] é uma

contingência.
( ) Certo
( ) Errado
33
01. Errado
02. Errado
03. Errado
04. C
05. Certo
34
01. Papiloscopista Policial Federal CEBRASPE-2021
P1: Se a fiscalização foi deficiente, as falhas construtivas não foram corrigidas.
P2: Se as falhas construtivas foram corrigidas, os mutuários não tiveram prejuízos.
P3: A fiscalização foi deficiente.
C: Os mutuários tiveram prejuízos.
Considerando um argumento formado pelas proposições precedentes, em que C é a conclusão,

e P1 a P3 são as premissas, julgue o item a seguir.
A tabela verdade da proposição condicional associada ao argumento tem menos de dez linhas.
( ) Certo
( ) Errado
02. Câmara de Bayeux-PB CPCON-2020
Considere A, B e C três proposições falsas. Qual o valor lógico da proposição D: [(A ˅ ~C) ↔ B]
↔ [(B ˄ ~A) → ~B]?
a) D não tem valor lógico.
b) Falso.
c) Não é possível determinar o valor lógico de D.
d) Verdadeiro.
e) D é verdadeiro e falso.
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03. Prefeitura de Alpestre-RS FUNDATEC-2020
Assinale a alternativa que representa uma tautologia.
a) Se Márcio é gerente e João é subordinado, então Márcio é subordinado e João também.
b) Se Márcio é gerente e João é subordinado, então Márcio é gerente e João não é subordinado.
c) Se Márcio é gerente ou João é subordinado, então Márcio não é gerente e João não é
subordinado.
d) Se Márcio é gerente ou João é subordinado, então Márcio é gerente e João é subordinado.
e) Se Márcio é gerente e João é subordinado, então Márcio é gerente ou João é subordinado.
04. Câmara de Três Rios-RJ MS CONCURSOS-2020
Marque a alternativa que apresenta uma tautologia.
a) Ou Matilde é carioca, ou João é brasiliense.
b) Carina e Aline são servidoras da Câmara Municipal de Três Rios
c) Marina vai à feira, se e somente se, tiver promoção na feira
d) Se Janaína é professora e Suzan é estudante, então, Janaína é professora, se e somente se,

Suzan for estudante.
e) Se Lorena é veterinária, então Gabriel é engenheiro.
36
05. Prefeitura de Cordilheira Alta-SC FUNDATEC-2019
Assinale a alternativa que apresenta um exemplo de tautologia.
a) P ⇔ Q.
b) P ∧ Q.
c) (P ∨ Q) ⇔ Q.
d) (P ∧ ¬P) ⇔ P.
e) (P ∨ ¬P) ⇔ (P ∨ ¬P).
37
01. Certo
02. B
03. E
04. D
05. E
38
39

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Prof. Gustavo Rodrigues

Raciocínio Lógico Matemático

Antes de falar de “Tautologia”, deixa eu dar uma contextualizada. O que é “Tautologia”?

Mas o que é tautologia? É uma proposição que permanece sempre verdadeira.

Então, como a gente classifica uma proposição em tautologia?

ii. analisa a última coluna

Agora vamos classificar a proposição (p → q) ↔ (~q → ~p).

Primeiro, construiremos a tabela da proposição. Como são duas proposições simples

A tabela que será preenchida ficará assim:

p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

Agora, começamos preenchendo as colunas das proposições simples. Como temos 4

p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

A segunda coluna será preenchida com a metade de Verdadeiros e Falsos da primeira

p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

Preenchendo a quarta coluna, a negação do q. Olha para a coluna do q e troca o valor

p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

p q ~p ~q p→q ~q → (p → q) ↔ (~q → ~p)

Questões nível médio

01. ANVISA CEBRASPE-2016

A expressão (¬P) ∧ ((¬Q) ∨ R) ⇔ ¬(P ∨ Q) ∨ ((¬P) ∧ R) é uma tautologia.

02. Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a condicional p ⇒ (q ⇒ p)

03. PC-ES AOCP-2019

Considerando p e q duas proposições quaisquer, assinale a alternativa que representa,

04. A proposição ¬P ⇒ [P ⇒ Q], em que ¬P denota a negação da proposição P, é uma tautologia,

05. DEPEN CEBRASPE-2013

Considerando que, P, Q e R são proposições conhecidas, julgue os próximos itens.

A proposição [(P ∧ Q) → R] ∨ R é uma tautologia, ou seja, essa proposição é sempre verdadeira

Gabarito questões nível médio

Questões nível superior

01. A proposição [(A → B) v (B ^ C)] é uma tautologia.

02. A proposição [(A v ~B) → (B ^ ~C)] é uma tautologia.

03. PC-SP VUNESP-2014

Considerando essa definição, assinale a alternativa que apresenta uma tautologia.

05. Prefeitura de Chiador-MG MS CONCURSOS-2020 - Adaptada

Seja a proposição P: “Maria trabalha na Prefeitura de Chiador”, então a proposição P v (~P) é

Gabarito questões nível superior

Depois de entendermos o que é tautologia (aula anterior), estudar contradição e

Vamos classificar a proposição (p v ~p) → (q ^ ~q).

Agora, começamos preenchendo as colunas das proposições simples. Como temos 4

A segunda coluna será preenchida com a metade de Verdadeiros e Falsos da primeira

Preenchendo a quarta coluna, a negação do q. Olha para a coluna do q e troca o valor

A sétima coluna é do conectivo condicional. Conecte as colunas 5 e 6 e complete a sétima

Questões nível médio

01. Se A e B forem proposições simples, então a proposição (A ^ B) → (A v B) é uma contradição.

02. Se P e Q forem proposições simples, então a proposição (P ↔ ~Q) ∧ (P ∧ Q) é uma

{[~q ∧ (p → q)] → [~p]}

É correto afirmar que:

b) Trata-se de uma contradição.

c) Se p e q forem verdadeiras, a sentença será falsa.

d) Se p e q forem falsas, a sentença será falsa.

e) A sentença é verdadeira somente se p for verdadeiro e q for falsa.

04. Prefeitura de Gramado-RS FUNDATEC-2019

Trata-se de um exemplo de contradição a proposição:

a) Dois é um número par e ímpar.

b) Gramado é uma cidade bonita se e somente se faz frio.