03 - Lógica Computacional

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Lógica Computacional
4 unidades / 16 aulas
• Objetivo 1
Conhecer e entender os princípios matemáticos e de lógica, seus fundamentos e

aplicações de álgebra.
• Objetivo 2
Conhecer e entender as teorias de álgebras de conjuntos, suas operações,

diferenças e aplicações com cases.
• Objetivo 3
Conhecer as práticas e técnicas da lógica Proposicional, seus conectivos,

métodos e inferências lógicas.
• Objetivo 4
Conhecer e aplicar os conceitos e fundamentos da tabela verdade, utilizando

cases e aplicações computacionais.
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Conteúdo
• UNIDADE 1
Princípios fundamentais da matemática e da lógica

o Aula 1: Fundamentos de lógica
Vale 2.5 pontos
o Aula 2: Evolução da lógica
Vale 2.5 pontos
o Aula 3: Princípios matemáticos
Vale 2.5 pontos
o Aula 4: Na Prática
Vale 2.5 pontos
• UNIDADE 2
Álgebra de conjuntos
o Aula 1: Teoria dos conjuntos
Vale 2.5 pontos
o Aula 2: Álgebra de conjuntos
Vale 2.5 pontos
o Aula 3: Aplicações de teoria dos conjuntos
Vale 2.5 pontos
Vale 2.5 pontos
• UNIDADE 3
Fundamentos da Lógica
o Aula 1: Introdução à lógica proposicional
Vale 2.5 pontos
o Aula 2: Conectivos e classificação textual
Vale 2.5 pontos
o Aula 3: Métodos dedutivos e inferência lógica
Vale 2.5 pontos
Vale 2.5 pontos
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• UNIDADE 4
Tabela Verdade
o Aula 1: Construção da Tabela Verdade
Vale 2.5 pontos
o Aula 2: Resultados na Tabela Verdade
Vale 2.5 pontos
o Aula 3: Aplicações Tabela Verdade
Vale 2.5 pontos
Vale 2.5 pontos
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Introdução
Olá, estudante! Boas-vindas!
Vamos dar início à disciplina de Lógica Computacional, que trará conteúdos

fundamentais para a construção de algoritmos e a compreensão de linguagens de
programação, premissas importantes para disciplinas ligadas à computação e ao
desenvolvimento de sistemas.
• Na primeira unidade você terá a oportunidade de conhecer e explorar os

princípios da lógica, estudar sua evolução e tomar contato com os princípios
matemáticos que a regem.
• Na segunda unidade, você aprenderá a teoria de conjuntos, suas operações, os
conceitos em diversos casos, além de conhecer aplicações.
• Na terceira unidade do material, você terá contato com práticas e técnicas de
lógica proposicional, incluindo o uso de conectivos, métodos e inferências
lógicas.
• Finalmente, na quarta e última unidade, você conhecerá a tabela verdade e
aplicará seus conceitos em problemas relacionados à lógica computacional; vai
aprender como construir a tabela verdade, analisar seus resultados e suas
aplicações.
A lógica computacional contém assuntos multidisciplinares e contribuirá para formação

do seu senso crítico, pensamento lógico e racional. Espero que você se sinta motivado a
dedicar seu tempo e seus esforços a um estudo que lhe proporcionará chances reais de
assimilar os conceitos e as práticas que você utilizará na sua vida profissional.
Vamos lá!
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UNIDADE 1 - Princípios Fundamentais da Matemática e da

Lógica
Aula 1 - Fundamentos de lógica
Introdução da Unidade
Boas-vindas! Nesta unidade você terá contato com os princípios fundamentais da

matemática e da lógica. A partir desses conhecimentos, você estará pronto para se
aprofundar no estudo da lógica computacional, que vai ajudá-lo a entender como
trabalhar com programação e a construir algoritmos.
Hoje em dia, com sistemas informacionais espalhados por todos os setores da economia
e em nosso dia a dia, as escolhas profissionais mais populares quanto à profissão a
seguir são, com certeza, voltadas à computação, programação ou análise de sistemas. O
surgimento das startups é uma tendência, e a demanda por profissionais qualificados em
programação tende a subir. Frente a isso, para que o profissional tenha condições de
progredir na profissão que demanda construção de sistemas que envolvem software,
será necessário um conhecimento sólido de lógica computacional.
Para resolver esses desafios, nesta unidade você aprenderá o que são argumentos,
inferências, silogismos e falácias, aprenderá a diferenciar o raciocínio indutivo do
raciocínio dedutivo e poderá comunicar-se de maneira eficiente. Aprenderá também a
classificar a lógica empírica e pura, diferenciando-as conforme o estudo de lógica
transcendental. Você também compreenderá como se deu a evolução da lógica até os
dias atuais explorando problemas ligados à área computacional.
Na primeira aula apresentaremos os fundamentos de lógica, conhecimento essencial

para se compreender quais são as origens da lógica e conseguir classificá-la. Na segunda
aula desta unidade, você será apresentado à evolução histórica da lógica, começando
pelos conhecimentos de Aristóteles até à lógica utilizada nos sistemas computacionais
atuais. Na terceira aula desta unidade, você vai explorar alguns princípios da
matemática relacionados à lógica computacional, conhecer seus fundamentos e
conceitos e ter contato direto com sua aplicação, abordando especialmente alguns
tópicos de análise combinatória e teoria das probabilidades.
Aproveite bem a oportunidade de praticar o estudo dos fundamentos da lógica; tais

conceitos são de suma importância para que o profissional que desenvolve sistemas de
software utilizando diferentes linguagens de programação e algoritmos execute, de
forma eficaz, suas funções técnicas e tenha resultados profissionais excepcionais.
Bons estudos!
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Aula 1.0 - Introdução da aula
Qual é o foco da aula?

Nesta aula, será apresentada a definição de lógica e você aprenderá a classificá-la como
indutiva e dedutiva a fim de construir argumentos válidos e tirar conclusões lógicas a
partir de afirmações.
Objetivos gerais de aprendizagem

Ao longo desta aula, você irá:
• Apontar os termos mais frequentes utilizados na lógica;

• Identificar os tipos de lógica;
• Interpretar exemplos de lógica indutiva.
Situação-problema
Olá, estudante!
O estudo desta aula é importante para o trabalho na medida em que, ao conversar com
pessoas, por escrito ou por meio da fala, não haja falha de comunicação ou má
interpretação. É fundamental considerar também que tais conceitos permitem a
construção de algoritmos para a resolução de problemas do cotidiano e, posteriormente,
o desenvolvimento de programas de computador (softwares) de forma a minimizar a
existência de bugs, falhas e demais comportamentos não esperados.
Para motivar sua aprendizagem, imagine que você trabalha em uma empresa de
tecnologia que ajudou a fundar, uma startup que desenvolve aplicativos para o setor
industrial. Para negociar com seu cliente, papel que é de sua responsabilidade na
empresa, você tem que usar o raciocínio lógico para interpretar as intenções das pessoas
que se relacionam comercialmente com você e conseguir demonstrar seu produto e
fechar vendas.
Seu desafio é interpretar se um negócio pode ou não ser fechado a partir de frases
contidas nos e-mails de seus clientes. Você deverá utilizar as classificações de lógica
indutiva e dedutiva para esse exercício e pensar sobre possíveis diálogos de negociação.
O ponto principal a ser entendido é: a partir de uma determinada frase do cliente, como
podemos inferir algumas outras conclusões com grande probabilidade de acerto, ou seja,
visando à venda de um produto?
Por exemplo, a partir de um e-mail do cliente, você extraiu as seguintes frases:
• “Realizamos dezenas de testes com o seu software e em todos ele foi capaz de
chegar à melhor solução para nosso problema.”
• “Nos últimos anos, os softwares que resolveram nossos problemas foram
adquiridos para a melhoria de nossos processos.”
Você deverá concluir, com base na lógica clássica, se o cliente está motivado a adquirir
o produto compondo argumentos e esclarecendo se a lógica utilizada é a indutiva ou a
dedutiva.
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Os conteúdos teóricos necessários para vencer o desafio estão apresentados nesta aula,
na qual serão caracterizadas as definições de lógica, a lógica transcendental e formal,
classificação da lógica: indutiva, dedutiva, clássica, não clássica.
Sua aprendizagem será importante para um futuro profissional de sistemas

computacionais, em especial os relacionados à análise de sistemas e linguagem de
programação. Então, bom trabalho!
Aula 1.1 - Conceitos de lógica
Começaremos nossa exploração sobre lógica com algumas discussões filosóficas e

históricas acerca do tema. Apresentaremos brevemente os conceitos de lógica formal de
Aristóteles, lógica transcendental e como classificá-las em indutiva, dedutiva, clássica e
não clássica para que consigamos diferenciar facilmente esses conceitos e aprender
todas as nuances do estudo da lógica.
É necessário conhecer as definições de alguns termos importantes e muito utilizados na

lógica. Mundim (2002) destaca alguns termos importantes, que são:
• Proposição: consiste em um enunciado, uma frase declarativa.

• Premissas: consistem em proposições que são utilizadas como base para um
raciocínio. Pode-se dizer que são as proposições do silogismo.
• Argumento: conjunto de enunciados que se relacionam uns com os outros.
• Silogismo: consiste em um raciocínio dedutivo (premissas) e possibilita a
dedução de uma conclusão a partir das premissas.
• Falácia: consiste em argumentos que logicamente estão incorretos.
A partir dos vocabulários, podemos definir os tipos de lógica existentes, entre os quais
estão a lógica formal e a lógica transcendental.
Aula 1.2 - Lógica formal
A lógica formal começa nos estudos de Aristóteles, na Grécia Antiga. A lógica é dita
formal quando analisa e representa a forma de qualquer argumento para que possa ser
considerado válido para alguma conclusão.
A lógica formal lida com as relações entre premissas e as conclusões que se chegam a
partir das premissas, independentemente se a premissa é verdadeira ou falsa
(MUNDIM, 2002).
A lógica busca uma harmonia de raciocínio utilizando-se de argumentos para se

desenvolver um raciocínio, bem como traz regras a fim de que um raciocínio encadeado
corretamente possibilite conclusões verdadeiras, conforme expôs Fajardo (2017).
Para se entender a lógica formal e como formamos nosso raciocínio é importante ter em
mente alguns conceitos. Uma proposição é um pensamento em forma de frase
declarativa. Essa proposição pode ser verdadeira ou falsa. A lógica não permite concluir
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se uma proposição ou afirmação é verdadeira ou falsa, ela apenas garante que, com base
em premissas verdadeiras, seja possível chegar a conclusões verdadeiras.
Portanto, temos que as premissas podem ser verdadeiras ou falsas. Se afirmo que o céu
está claro e sem nuvens, você pode olhar pela janela e concluir se a afirmação é
verdadeira ou falsa. Se estiver chovendo, você dirá que minha afirmação é falsa. Por
outro lado, um argumento pode ser válido ou inválido.
Exemplificando
Se eu afirmar (premissas):
• Em dias sem nuvens, chove.

• Se há chuva, João sai com seu guarda-chuva.
Então (conclusão):
Em um dia sem nuvens, João sairá com seu guarda-chuva.
A primeira premissa parece absurda ou falsa, mas caso você considere ambas
verdadeiras, terá um argumento válido: a conclusão é inevitável.
Por isso, a análise da veracidade das premissas e a análise da validade dos argumentos
são distintas. A lógica se ocupa da validade do raciocínio, a verdade das premissas deve
ser decidida por outros meios.
Aula 1.3 - Inferência
Inferência é o processo que permite chegar a conclusões a partir de premissas,

constituindo a argumentação lógica perfeita. A inferência, como veremos a seguir, pode
ser de dois tipos: indutiva e dedutiva. Uma inferência inválida é chamada falácia. A
seguir, mostraremos alguns exemplos de inferências da lógica formal com argumento
válido e conclusão lógica. Veja que, a partir de duas frases, que são as premissas,
chegamos a uma conclusão.
1.Todos os homens são mortais.
Elias é homem.
Logo, Elias é mortal.
2. Toda novela conta histórias sobre o dia a dia das pessoas.
Roque Santeiro é uma novela.
Logo, Roque Santeiro conta histórias sobre a vida das pessoas.

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Em especial no século XIX, como apresenta Fajardo (2017), alguns matemáticos e

filósofos concluíram que a lógica formal não era suficiente para que se pudesse alcançar
o rigor necessário na análise dos argumentos. Em determinados idiomas, como na
língua portuguesa, por exemplo, a linguagem falada e escrita apresenta um conjunto de
sinais (sonoros, no caso da fala, e visuais, no caso da escrita). Para a linguagem escrita,
existe uma série de símbolos, incluindo letras, acentos gráficos e sinais de pontuação,
que, quando reunidos, formam palavras, sentenças e frases.
Para a correta comunicação, é necessário o domínio da língua e de suas regras

gramaticais, caso contrário, podemos recair em frases ambíguas que permitem múltiplos
entendimentos, conforme discussão em Fajardo (2017). Um usuário proficiente da
língua também pode manipulá-la para construir os chamados paradoxos, como, por
exemplo, os paradoxos de Zenão de Eléia (490-430 a.C.), que desenvolveram uma
discussão sobre a existência ou não do movimento (um fato empírico) a partir de
conclusões lógicas de premissas difíceis de serem contestadas. A seguir, serão expostos
alguns exemplos de situações exploradas por Zenão que trazem conclusões lógicas,
embora cientificamente inverídicas.
• A flecha que voa jamais sai do lugar, porque, em cada instante de tempo, ocupa
uma só posição no espaço, logo, ela está imóvel todo o tempo.
• Entre dois pontos existem infinitos pontos. Ninguém pode atravessar infinitos
pontos. Então, não há movimento.
Quando a partir de argumentos válidos e verdadeiros obtemos conclusões falsas, temos

erros de raciocínio. Os paradoxos apresentados mostram que conceituar o infinito com a
linguagem tradicional escrita é muito complicado quando lidamos com conceitos
abstratos.
Um famoso silogismo presente nessa interpretação de Zenão de Eléia apresenta que o

herói Aquiles nunca seria capaz de alcançar uma tartaruga, pois quando Aquiles
alcançasse a posição da tartaruga, ela já teria avançado mais um pouco.
É por isso que foi desenvolvida a lógica simbólica, relacionada à matemática, a partir do
século XIX. Ela permite a expressão das premissas e de suas relações por meio de
símbolos matemáticos, construindo equações para expressar argumentos. Tal linguagem
é absolutamente precisa e não dá margem a duplas interpretações.
Vamos estudar mais à frente que a lógica matemática originou a lógica utilizada em
computadores, que são sistemas digitais construídos para executar tarefas programáveis
e que fornecem respostas e saídas exatas, conforme determinado conjunto de instruções
e dados fornecidos a esses sistemas.
Aula 1.4 - Lógica transcendental
A lógica transcendental é desenvolvida por toda a obra do filósofo Immanuel Kant, em

especial em seu célebre livro Crítica da Razão Pura (2015). Nesse livro, Kant discute
que nosso conhecimento, o conhecimento humano, parte de duas fontes principais. A
primeira trata da receptividade das impressões por meio de nossos sentidos; a segunda
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fonte é relativa à faculdade de conhecer um objeto por representações mentais, a partir

do pensamento.
Desse modo, a lógica transcendental opera a partir das representações, dos conceitos e
não das coisas em si. Trata-se de uma investigação sobre as representações a priori, as
categorias, os conceitos puros em relação aos objetos, enquanto a Lógica geral se volta
para a forma lógica do pensamento.
Kant distingue Conhecimento Empírico e Conhecimento Puro.
O Conhecimento Empírico ou conhecimento a posteriori está relacionado ao que é

obtido por meio de nossos sentidos, à observação, à experimentação, com base na
presença real de determinado objeto.
Já o Conhecimento Puro, também chamado de conhecimento a priori, é relativo à

representação que não se mescla com a sensação, é puramente racional, não depende de
nenhuma informação vinda de nossos sentidos.
Aula 1.5 - Lógica indutiva e dedutiva
Como vimos anteriormente ao discutirmos as inferências, a lógica pode ser classificada

em indutiva ou dedutiva. A lógica dedutiva é aquela que parte de premissas afirmativas
ou leis mais gerais permitindo a obtenção de verdades menos gerais ou particulares.
Vamos a um exemplo de inferência dedutiva ou dedução?
• Todo o analista de sistemas sabe programar.

• Mariana é analista de sistemas.
• Portanto, Mariana sabe programar.
Aqui, partimos de uma informação geral sobre as habilidades dos analistas de sistemas
para concluir sobre as habilidades de Mariana. Com base na afirmativa geral, tomada
como verdadeira, a conclusão é inevitável. Chamamos Silogismo esse tipo de
argumentação lógica.
Exemplos de Lógica Dedutiva:
1. Todos os brasileiros gostam de praia. Antônio é brasileiro. Portanto, Antônio

gosta de praia.
2. Todo os jogadores de futebol treinam em academias. Paulo é um jogador de
futebol. Então, Paulo treina em uma academia.
Já a lógica indutiva se preocupa com argumentos que permitem conclusões gerais a

partir de casos particulares.
Vamos a um exemplo de inferência indutiva ou indução?
• Mariana é analista de sistemas e sabe programar.

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• Enzo é analista de sistemas e sabe programar.

• Sabrina é analista de sistemas e sabe programar.
• (...)
• Portanto, todos os analistas de sistemas sabem programar.
Observe que, ao consultar dezenas ou centenas de analistas de sistemas, chegamos a

uma conclusão geral com relação a eles. Um cuidado a ser tomado com a lógica
indutiva é que um único contraexemplo é capaz de invalidar todo um raciocínio.
Um exemplo famoso é que por séculos a afirmação “todo cisne é branco” foi
considerada verdadeira pelos europeus, pois a cada encontro com um cisne, eles
verificavam que sua cor era branca. Pela lógica indutiva, chegou-se à conclusão que
todos eram brancos. Com as navegações, entretanto, verificou-se que na Austrália há
cisnes negros. O contraexemplo, portanto, invalidou imediatamente a conclusão
anterior.
Observando alguns exemplos, fica mais fácil perceber as diferenças entre as lógicas
indutiva e dedutiva.
Veja a seguir exemplos de lógica indutiva.
Exemplos de Lógica Indutiva:
1. Uma maçã solta no ar cai em direção ao solo. Uma caneta solta no ar cai em
direção ao solo. Um livro solto no ar cai em direção ao solo. Todos os objetos
soltos no ar caem em direção ao solo.
2. Um imã atrai um prego de ferro. Um imã atrai limalha de ferro. Um imã atrai
argolas de ferro. Um imã atrai o elemento ferro.
Note a importância do raciocínio indutivo para o desenvolvimento da ciência por meio

da experimentação e da observação da natureza, dos fatos naturais isolados, permitindo
a construção das leis naturais em um processo de generalização.
______
Assimile
Para a lógica dedutiva, partiremos de premissas gerais para concluirmos verdades

específicas e particulares. Por outro lado, para a lógica indutiva, partiremos da
experiência com as verdades e fatos particulares na busca de uma conclusão geral.
______
A lógica também pode ser dividida em lógica clássica e lógica não clássica. Estudamos
até esse ponto a lógica clássica cujo expoente foi Aristóteles e que está centrada na
verdade das conclusões e na validade dos argumentos. A conclusão pode ter dois
valores lógicos: verdadeiro (1) ou falso (0).
A lógica não clássica permite variações, como nos casos em que mais de dois valores de
verdade podem ser aplicados, por exemplo. Um exemplo é a conhecida lógica fuzzy,
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para a qual o valor verdade pode ser qualquer número real entre 0 e 1. Outras variações
são possíveis com o abandono de alguns princípios da lógica clássica e análise de suas
consequências.
Para exemplificar, podemos citar a lógica modal, desenvolvida por Lewis no início do
século passado, na qual a proposição pode ser, além de verdadeira ou falsa, necessária
ou impossível (necessariamente verdadeira ou necessariamente falsa).
Conforme explica Oliveira (2010), as lógicas não clássicas seguem geralmente uma ou
mais das três características a seguir:
• São baseadas em linguagens mais ricas em poder de expressão.
Por exemplo: as lógicas modais, que apresentam operadores de necessidade e

possibilidade.
• São baseadas em princípios distintos.
Por exemplo: as lógicas não reflexivas, que negam axiomas da lógica clássica, que não
admitem o princípio da identidade.
• Admitem semânticas distintas.
Por exemplo: as lógicas do tempo, que apresentam operadores temporais específicos

para esse tipo de lógica.
Chegamos ao fim desta aula e esperamos que tudo que lhe apresentado nas páginas
anteriores o tenha inspirado a refletir sobre como a lógica faz parte de nossa vida e pode
nos ajudar nas decisões cotidianas, em um mundo a cada dia mais informatizado e
conectado.
Aula 1.6 - Conclusão
Você se lembra que na situação problema você trabalha em uma startup que produz
softwares para uso industrial e está analisando a troca de e-mails com o cliente para
concluir se a venda deverá ser fechada ou não? Para isso, você decidiu recorrer à lógica
clássica e aos raciocínios dedutivo e indutivo. Vamos retomar as frases extraídas do e-
mail do cliente.
“Realizamos dezenas de testes com seu software e em todos ele foi capaz de chegar à
melhor solução para nosso problema.”
“Nos últimos anos, os softwares que resolveram nossos problemas foram adquiridos
para a melhoria de nossos processos.”
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Por meio de um raciocínio indutivo, partindo de diversos casos particulares para

chegarmos a uma conclusão geral, poderíamos realizar a seguinte inferência com a
primeira frase:
Realizamos dezenas de testes com seu software e em todos ele foi capaz de chegar à
melhor solução para nosso problema.
Portanto, o software da sua empresa resolve o problema do cliente.
As dezenas de testes individuais em diferentes contextos nos permitem concluir que o

software atendeu às expectativas do cliente e resolve o problema da indústria.
Com relação à segunda frase, podemos realizar a seguinte inferência:
“Nos últimos anos, os softwares que resolveram nossos problemas foram adquiridos
para a melhoria de nossos processos.”
Portanto, o cliente sempre adquire os softwares que resolvem seus problemas.
Em todas as situações anteriores, a empresa acatou à solução trazida pelo fornecedor

para a solução dos seus problemas.
As duas conclusões apresentadas poderiam, por sua vez, ser combinadas por meio de
um raciocínio dedutivo para se chegar a uma conclusão:
• O cliente sempre adquire os softwares que resolvem seus problemas.

• O software da sua empresa resolve o problema do cliente.
• A conclusão natural da dedução, seria:
• Portanto, o software de sua empresa será adquirido.
Isso mostra que as perspectivas são positivas para o fechamento do negócio, mas não se
esqueça de que as conclusões do raciocínio indutivo são válidas até que ocorra um
contra exemplo. Então, antes de comemorar, é melhor esperar que o cliente confirme
formalmente a aquisição do software após as negociações finais.
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Aula 2 - Evolução da lógica
Introdução da aula
Nesta aula, você vai estudar como se deu a evolução da lógica, desde Aristóteles até os
dias atuais.
• Compreender como se deu a evolução da lógica desde Aristóteles, até os dias

atuais, destacando as contribuições de cada período no decurso dessa ciência;
• Diferenciar lógica clássica de lógica não-clássica a partir do tipo de valoração
que se pode atribuir às proposições lógicas;
• Reconhecer a importância dos símbolos (lógica simbólica) na constituição do
que chamamos de lógica formal, e na sua operacionalização no cálculo
sentencial e na lógica de predicados.
Situação-problema
Olá, estudante!
Parafraseando Isaac Newton, que disse: “se eu vi mais longe, foi porque me apoiei em
ombros de gigantes”, é importante compreendermos os aspectos históricos que
motivaram o estudo da lógica. Os gigantes, nesse caso, são matemáticos, filósofos e
pensadores como Aristóteles, George Boole e Gottlob Frege, por exemplo. Suas ideias
serviram de base para todas as lógicas de programação com as quais lidamos
atualmente.
Lembre-se de que você está trabalhando como um colaborador de uma startup de

tecnologia. Seu segundo desafio será o de mostrar aos colaboradores do setor de
desenvolvimento de softwares como alguns conceitos de lógica podem ser relacionados
à área da computação. Mais especificamente, você deverá elaborar uma apresentação
destacando como conceitos como aberto e fechado, ou ligado e desligado podem ser
representados e trabalhados com uma álgebra booleana. Para tanto, foi proposto a você
o seguinte problema:
O comitê diretor de uma multinacional é formado por três membros:o diretor executivo,
o vice-diretor financeiro e o vice-diretor de relações institucionais. Um projeto de
criação de uma filial dessa empresa em um país emergente será votado pelo comitê, e o
projeto só passará se o diretor executivo votar a favor e obtiver maioria. Você deverá
projetar um circuito de modo que cada membro vote a favor apertando um botão e, ao
final do processo, uma luz se acenderá caso o projeto seja aprovado. Esse circuito
poderá ser utilizado em outras votações pelo mesmo comitê. Como você projetará esse
circuito? Que relação esse projeto guarda com aspectos da evolução da lógica?
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O estudo dos grandes períodos de evolução da lógica, em especial o Período Booleano,

dará a você pistas para resolver esse problema. Bons estudos e mãos à obra!
Aula 2.1 - Premissas da lógica
Em um sentido amplo, a lógica é o estudo da estrutura e dos princípios relativos ao

raciocínio, à estruturação do pensamento, com ênfase na argumentação, que pode ser
considerada como válida ou inválida. Com base em premissas, ela permite a construção
do raciocínio indutivo ou dedutivo, e também a realização de operações lógicas
simbólicas e demonstrações matemáticas. Podemos classificar a estudo da lógica em
três grandes períodos: o Período Aristotélico, o Período Booleano e o Período Atual.
Segundo Abar (2004), a história da lógica tem início com o filósofo grego Aristóteles
(384 – 322 a.C.) de Estagira (hoje Estavo), na Macedônia, que desenvolveu a teoria do
silogismo, um tipo de inferência dedutiva. Pode-se dizer que o Período Aristotélico se
inicia aproximadamente em 390 a.C., perdurando até meados do século XIX (1840
d.C.). Aristóteles é tido como o homem mais erudito de todos os tempos, sendo sua
morte considerada como o marco do fim do primeiro grande período, a Idade Helênica,
na história da civilização grega (BOYER, 1996).
______
Assimile
Silogismo nada mais é do que um argumento constituído de proposições das quais se

infere (extrai) uma conclusão. Assim, não se trata de conferir valor de verdade ou
falsidade às proposições (frases ou premissas dadas) nem à conclusão, mas apenas de
observar a forma como foi constituído. É um raciocínio mediado que fornece o
conhecimento de uma coisa a partir de outras coisas (buscando, pois, sua causa)
(CABRAL, 2020).
______
Em um silogismo, as premissas e conclusões se encaixam de tal forma que, uma vez que
você aceita as premissas como verdadeiras, fica obrigado a aceitar que a conclusão
também o é, independentemente do teor do real argumento que está sendo construído
(ZEGARELLI, 2013).
Considere, por exemplo, o seguinte argumento lógico dedutivo: Premissas:
• Todos os brasileiros torcem pelo Brasil.

• José é brasileiro. Conclusão:
• José torce pelo Brasil.
Assumindo as premissas como verdadeiras, concluímos que José torce pelo Brasil.
Observe que ao analisarmos as premissas, não podemos fazer juízo de valor sobre elas.
O argumento lógico é deduzido a partir daquilo que é colocado como verdade, e a nossa
opinião sobre a validade das premissas não pode interferir na elaboração da conclusão.
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Antes de Aristóteles, filósofos e pensadores já aplicavam argumentos lógicos, porém de

maneira intuitiva, sem que houvesse necessariamente uma reflexão sobre tais
argumentos. Aristóteles, porém, foi o primeiro a reconhecer que a lógica poderia ser
examinada e desenvolvida, constituindo-se assim como uma ferramenta do pensamento
que nos ajudaria a compreender melhor o mundo.
Quando discorremos sobre o Período Aristotélico, estamos nos referindo à chamada

Lógica Clássica, que é regida, basicamente, por três princípios: o da identidade, o da
não contradição e o do terceiro excluído. Todos esses três princípios são facilmente
compreendidos. O mais importante é que esses princípios funcionam como leis que
permitirão a formulação de conclusões lógicas sobre proposições, mesmo que não
estejamos familiarizados com a natureza daquilo que está sendo discutido
(ZEGARELLI, 2013).
O princípio da identidade estabelece que todo objeto é idêntico a si mesmo. O princípio

da identidade mostra que qualquer proposição no formato “A é A” tem que ser
verdadeira.
O princípio da não contradição busca a especificidade de cada coisa, ou seja, é

impossível que ela seja e não seja ao mesmo tempo. Isso significa que uma proposição
não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
O princípio do terceiro excluído afirma que toda proposição é verdadeira ou falsa, não
havendo uma terceira possibilidade para valoração da proposição.
______
Exemplificando
Compreender os três princípios que regem a Lógica Clássica é importante para

chegarmos a conclusões lógicas sobre proposições. Considere as seguintes proposições:
I. A Estátua da Liberdade é a Estátua da Liberdade.
Na proposição (I) verificamos o princípio da identidade, ou seja, cada coisa individual é

idêntica a si mesma. Mesmo que não conheçamos a Estátua da Liberdade, podemos
estabelecer com certeza e por pura lógica que essa proposição é verdadeira.
II. O número dois é par.
III. O número dois é ímpar.
As proposições (II) e (III) exemplificam aquilo que chamamos de princípio da não

contradição, ou seja, o número dois não pode ser, ao mesmo tempo, par e ímpar. Logo,
se a proposição (II) é verdadeira, a proposição (III) necessariamente é falsa.
IV. Meu nome é Carlos.

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Na proposição (IV) podemos observar o princípio do terceiro excluído. Você pode se

chamar Carlos (verdade) ou não (falsidade). Não há uma terceira possibilidade para essa
proposição.
______
Zegarelli (2013) aponta que após o declínio da civilização grega, o estudo da lógica
passou por um longo período de ostracismo, com alguns renascimentos esporádicos
durante o Império Romano e a Europa Medieval. Segundo Santos (2014), nos séculos
XII e XIII, por exemplo, há um ressurgimento do interesse motivado, ao que parece,
pelo desenvolvimento de um gênero específico da lógica medieval que se ocupava com
o estudo de paradoxos semânticos.
Paradoxo é um tipo de pensamento ou argumento que, apesar de aparentemente correto,

apresenta uma conclusão ou consequência contraditória, ou em oposição a determinadas
verdades aceitas (JAPIASSÚ; MARCONDES, 2006), como os paradoxos de Zenão de
Eléia.
______
Exemplificando
Um exemplo interessante sobre paradoxos é o paradoxo do mentiroso, atribuído a

Eubúlides de Mileto, filósofo do século IV a.C., em que um homem diz: “Estou
mentindo”. O que este homem diz será verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, então ele
está realmente a mentir e, por isso, o que diz é falso. Se for falso, isso concorda com o
que ele afirma, parecendo então que o que diz é verdadeiro (SANTOS, 2014).
______
Solucionar esses tipos de paradoxo não é tarefa fácil! Filósofos, matemáticos e

estudiosos da lógica tem se debruçado sobre eles ao longo de muitos anos.
______
Reflita
Uma variação mais elaborada do paradoxo do mentiroso pode ser observada na

construção apresentada na figura a seguir:
Paradoxo do mentiroso. Fonte: elaborada pelo autor.
O que você pode concluir com relação às afirmações da figura?

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É apenas por volta do século XVIII, com o advento do Iluminismo na Europa, quando a
era da fé vai gradualmente dando lugar à era da razão, que a lógica volta a figurar como
objeto de maior interesse de cientistas e filósofos. De acordo com Zegarelli (2013),
cientistas como Isaac Newton e filósofos como René Descartes passaram a procurar
respostas sobre o funcionamento do universo, indo além dos ensinamentos da igreja.
Com isso, a lógica ressurgiu no pensamento científico para se estabelecer como uma
ferramenta essencial da razão.
Aula 2.2 - Álgebra Booleana
A partir do contexto da lógica como ferramenta essencial da razão, temos o

desenvolvimento do chamado Período Booleano (1840-1910) de desenvolvimento da
lógica. No final do século XIX matemáticos desenvolveram a Lógica Formal, também
chamada de Lógica Simbólica, na qual símbolos computáveis substituem palavras e
proposições. (ZEGARELLI, 2013). Os três maiores expoentes desse período foram
George Boole (1815-1864), Georg Cantor (1845-1918) e Gottlob Frege (1848-1925).
George Boole foi o inventor da chamada Álgebra Booleana, que foi o primeiro sistema
totalmente detalhado que lida com a lógica como cálculo. Colocando de uma maneira
bem simples, podemos dizer que a Álgebra Booleana se caracteriza por utilizar apenas
dois números (dígitos), 0 e 1, que significam, respectivamente, falso e verdadeiro, e que
por meio de propriedades essenciais dos operadores lógicos e de conjuntos oferece uma
estrutura para se lidar com proposições. Considere, por exemplo, as seguintes
afirmações:
(A) O Brasil é um país da América do Sul.
(B) Pablo Picasso é um grande jogador de futebol.
Assumindo a primeira proposição como verdadeira e a segunda como falsa, podemos

dizer que:
(A) = 1
(B) = 0
Na Álgebra Booleana a adição é associada ao conectivo ou. Assim, a proposição “O

Brasil é um país da América do Sul ou Pablo Picasso é um grande jogador de futebol”
pode ser representada como:
(A) + (B) = 1 + 0 = 1. (Verdadeira).
E na Álgebra Booleana a multiplicação é associada ao conectivo e. Assim, a proposição

“O Brasil é um país da América do Sul e Pablo Picasso é um grande jogador de futebol”
pode ser representada como:
(A) x (B) = 1 x 0 = 0 (Falsa).

19
Embora o cálculo dos valores seja parecido ao da aritmética convencional, o

significado dessas operações é puramente lógico.
Aula 2.3 - Álgebra dos Conjuntos
Georg Cantor foi o idealizador da Teoria de Conjuntos. A Álgebra dos Conjuntos,

advinda da Teoria de Conjuntos, com operações particulares como União (∪) e
Intersecção (∩) serviu não apenas como uma estrutura de linguagem para a lógica
formal, mas também como alicerce de toda a Matemática Moderna.
Gottlob Frege foi o criador da chamada Lógica Matemática. Inspirado nas ideias e
notações de Leibniz, Frege reformulou toda a lógica tradicional, construindo um sistema
para apresentá-la em linguagem matemática. É com base em suas obras que se
desenvolveram o cálculo proposicional e o cálculo de predicados. Uma de suas maiores
contribuições foi a invenção do quantificador e a utilização de variáveis para formalizar
a generalidade da linguagem natural (JAPIASSÚ; MARCONDES, 2006).
Segundo Alcoforado (2009), o ponto de partida dos trabalhos de Frege consistiu em

construir um sistema formal cujas noções básicas fossem fixadas com exatidão e
clareza, e a seguir fossem estabelecidos os enunciados primitivos e regras de inferências
que tornassem possível desenvolver sem qualquer lacuna uma demonstração nesse
sistema. Ele foi assim levado a desenvolver, pela primeira vez, um sistema formal a
partir do qual é possível entender com exatidão não só o que vem a ser uma prova como
também obter provas pela exclusiva utilização de regras formais aplicadas aos axiomas.
Podemos afirmar, portanto, que toda a notação (símbolos) utilizada pela lógica formal
(lógica simbólica) nos dias de hoje teve origem com as notações introduzidas por Frege.
Aula 2.4 - Lógica formal
Segundo Alencar Filho (2002), quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas
operações sobre proposições, chamadas operações lógicas. Estas operações obedecem a
regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética
sobre números. Os conectivos sentenciais correspondem a várias palavras nas
linguagens naturais que servem para conectar proposições declarativas. Os principais
conectivos (operações lógicas fundamentais) são representados atualmente pelos
seguintes símbolos:
20
Operadores lógicos. Fonte: adaptado de Alencar Filho (2002).
Exemplificando
Como escreveríamos em linguagem simbólica a seguinte proposição: “João não é

gaúcho e Jaime não é paulista?
Considerando as proposições:
p: João é gaúcho e
q: Jaime é paulista.
Podemos utilizar os operadores lógicos para escrever: ∼ p∧∼ q
Negamos p e q, utilizando o conectivo “e” de acordo com os símbolos apresentados no

quadro acima.
É no início do século XX – por volta de 1910 – que chegamos ao Período Atual da

lógica. Seus maiores expoentes são Bertrand Russel (1872-1970) e Alfred North
Whitehead (1861-1947). O Período Atual caracteriza-se pelo desenvolvimento de
sistemas formais polivalentes, que trabalham não apenas com os valores lógicos
verdadeiro e falso (lógica clássica), mas também com imprecisões e contradições,
assumindo como valores lógicos o necessariamente verdadeiro, o necessariamente falso,
o indeterminado, o indecidível, dentre outros.
Segundo Buchsbaum (2006), tais sistemas são chamados de lógicas não clássicas,
dentre as quais podemos destacar as lógicas para completas (que não respeitam o
princípio do terceiro excluído), as lógicas paraconsistentes (que não respeitam o
princípio da não contradição) e as lógicas modais (que estudam possíveis variações da
veracidade ou falsidade).
Também destacamos, no conjunto de lógicas não clássicas, a lógica fuzzy, que tem
apresentado contribuições para a Informática, no campo da Inteligência Artificial, com
os Sistemas Especialistas. De acordo com Martins e Martins (2015), a lógica fuzzy é
uma modalidade da lógica capaz de tratar conceitos vagos, imprecisos ou ambíguos –
21
em geral descritos na linguagem natural humana – e convertê-los para um formato

numérico, de fácil processamento computacional. No nosso dia a dia utilizamos
conceitos subjetivos para classificar determinadas situações.
Considere as seguintes afirmações:
• Para chegar ao posto de gasolina, prossiga na rodovia por mais alguns metros.
• Para atingir meu peso ideal preciso perder alguns quilos.

• Podemos dizer que, devido à atual conjuntura econômica, estamos com uma
moeda estável.
• A previsão do tempo para amanhã indica que teremos um
dia parcialmente chuvoso.
Os termos destacados nessas afirmações são conceitos vagos, que envolvem imprecisão.
Nesse sentido, esses termos são chamados de fuzzy. O conceito “fuzzy” pode ser
entendido como uma situação em que não podemos responder simplesmente “sim” ou
“não”. Mesmo conhecendo as informações necessárias sobre a situação, dizer algo entre
“sim” e “não” como “talvez”, “quase”, torna-se mais apropriado. (ABAR, 2004).
Aprendemos nesta aula como se deu a evolução da lógica desde seus primórdios,
partindo das ideias de Aristóteles, até os dias atuais. Compreender essa evolução nos
ajudará a melhor compreender as operações lógicas fundamentais e relacioná-las com
diversas e atuais linguagens de programação.
Agora que já estudamos a evolução da lógica em seus aspectos históricos, vamos

retomar a situação-problema apresentada no início desta aula?
Trabalhando como um colaborador de uma startup de tecnologia, seu segundo desafio

consiste em projetar um circuito de votação de projetos para o comitê diretor de uma
empresa multinacional. O comitê diretor dessa empresa multinacional é formado por
três membros: o diretor executivo, o vice-diretor financeiro e o vice-diretor de relações
institucionais que votarão um projeto de criação de uma filial dessa empresa em um país
emergente.
O projeto só passará se o diretor executivo votar a favor e obtiver maioria. Você deverá
projetar um circuito de modo que cada membro vote a favor apertando um botão e, ao
final do processo, uma luz se acenderá caso o projeto seja aprovado. Lembre-se de que
você deverá elaborar uma apresentação destacando como conceitos como aberto e
fechado, ou ligado e desligado, podem ser representados e trabalhados com uma álgebra
booleana.
Inicialmente vamos determinar como se dará o funcionamento do interruptor desse

circuito. Um interruptor é um dispositivo ligado a um ponto de um circuito, que pode
assumir um dos dois estados, “fechado” ou “aberto”. No estado “fechado” (que
indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe através do ponto,
22
enquanto no estado “aberto” (que indicaremos por 0) nenhuma corrente pode passar
pelo ponto (ABAR, 2004). Quando tivermos a passagem de corrente (estado 1), uma luz
ligada ao circuito se acenderá. De modo análogo, quando não tivermos a passagem de
corrente (estado 0) a luz não se acenderá.
Em nossa apresentação, representaremos o diretor executivo pela letra A, o vice-diretor

financeiro pela letra B e o vice-diretor de relações institucionais pela letra C. Podemos
então, elaborar uma tabela com a combinação de todos os valores lógicos (1 ou 0) para
os votos dos membros do comitê:
Combinação de valores lógicos. Fonte: elaborado pelo autor.
A tabela nos mostra que das oito combinações possíveis, em apenas três situações a luz
se acenderá e o projeto será aprovado. O valor lógico para o circuito A (diretor
executivo) obrigatoriamente deverá ser igual a 1. Além disso, para que o projeto seja
aprovado, o circuito de um dos dois vice-presidentes (ou ambos) também deverá ser
igual a 1. Logo, a luz ligada aos circuitos só se acenderá e o projeto só será aprovado,
quando o valor lógico na última coluna da tabela for igual a 1.
Assim, projetando o circuito para acendimento da lâmpada conforme a configuração

apresentada na tabela, teremos um protótipo que poderá ser utilizado não apenas nessa
votação, mas também em outras votações desse comitê. Perceba que para elaboração
desse projeto utilizamos uma linguagem simbólica (lógica simbólica) baseada na
álgebra booleana, que ganhou notoriedade no Período Booleano estudado nesta aula.
23
Aula 3 - Princípios matemáticos
Nesta aula, estudaremos alguns princípios matemáticos, especialmente àqueles

relacionados à matemática discreta, a saber: listas, agrupamentos, fatorial, permutações,
combinações, etc.
• Aplicar o princípio multiplicativo (princípio fundamental da contagem) e a

organização de listas para resolver problemas de contagem;
• Utilizar diagramas de decisão para resolver problemas de contagem;
• Diferenciar agrupamentos (arranjos, permutações e combinações), reconhecer
suas características e resolver problemas correlatos fazendo uso de diferentes
estratégias.
Situação-problema
Olá, estudante!
Após aprendermos o que é a lógica e estudarmos como se deu sua evolução, nesta
terceira aula nos debruçaremos sobre alguns princípios matemáticos relacionados à
lógica. Você pode já ter se deparado com problemas do tipo:
• De quantas maneiras podemos escolher um password válido para um

computador?
• Qual é a probabilidade de eu ganhar um prêmio de loteria?
• Qual é a rota mais curta entre duas cidades, considerando um determinado meio
de transporte?
• Como podemos ordenar uma lista de inteiros de modo que os inteiros fiquem em
ordem crescente? Em quantos passos podemos fazer essa ordenação?
Esses problemas, além do raciocínio lógico, envolvem noções de listagem, contagem e

agrupamentos, noções essas que teremos oportunidade de conhecer um pouco melhor
nesta aula e ajudarão você a resolver seu terceiro desafio.
Lembre-se, você está trabalhando como um colaborador de uma startup de tecnologia e

mais um desafio lhe é apresentado, agora relacionado ao número de dispositivos que
têm acesso a uma determinada rede de computadores privada (do tipo intranet). Essa
rede de computadores foi configurada de tal modo que, cada um dos 3 escritórios da
empresa (A, B, C) tem cinco pontos de acesso à rede. Em um determinado momento
havia 13 computadores conectados à rede e uma sobrecarga foi detectada por um
software de gerenciamento de fluxo de dados.
24
Essa sobrecarga foi causada em um escritório em que cinco computadores estavam

conectados à rede. Deseja-se saber qual é a probabilidade (chance) de que essa
sobrecarga tenha partido do escritório C. Você deverá apresentar a solução desse
problema de forma detalhada a seu superior imediato. Será que você consegue?
Os conhecimentos discutidos nesta aula ajudarão você a resolver esse desafio. Bons
estudos!
Aula 3.1 - Matemática discreta
Na aula 1, vimos que a lógica é a “arte de bem pensar” (FORBELLONE;

EBERSPACHER 2005, p. 1). Na aula 2 ampliamos nossa compreensão, admitindo que
a lógica é o estudo da estrutura e dos princípios relativos à argumentação válida,
sobretudo da inferência dedutiva e dos métodos de prova e demonstração (JAPIASSÚ;
MARCONDES, 2006). Apesar de boa parte do desenvolvimento da lógica ter se dado a
partir do estudo das relações entre premissas e conclusões, não podemos negligenciar a
íntima relação existente entre a lógica e a matemática, especialmente um ramo da
matemática denominado matemática discreta.
Segundo Picado (2008), a matemática discreta (também conhecida como matemática

finita ou matemática combinatória) é um ramo da matemática voltado ao estudo de
objetos e estruturas discretas ou finitas (estruturas discretas são estruturas formadas por
elementos distintos desconexos entre si).
Genericamente, a matemática discreta é usada quando contamos objetos, quando

estudamos relações entre conjuntos finitos e quando processos (algoritmos) envolvendo
um número finito de passos são analisados.
Nos últimos anos tornou-se uma disciplina importantíssima porque nos computadores a
informação é armazenada e manipulada de forma discreta. A matemática discreta
aborda fundamentalmente três tipos de problemas que surgem no estudo de conjuntos e
estruturas discretas:
• problemas de existência (existe algum arranjo de objetos de um dado conjunto

satisfazendo determinada propriedade?);
• problemas de contagem (quantos arranjos ou configurações desse tipo existem?);
• problemas de otimização (de todas as configurações possíveis, qual é a melhor,
de acordo com determinado critério?) (PICADO, 2008).
Nesta aula, vamos abordar alguns princípios relacionados à matemática discreta, que
nos ajudarão a resolver problemas desse tipo e a compreender melhor algumas situações
lógico-matemáticas que estão por trás dos mais diversos sistemas computacionais.
Um princípio imprescindível na matemática discreta é o princípio da contagem. O ramo

da Matemática que trata da contagem é a Combinatória. Tratar a contagem é importante;
sempre que temos recursos finitos, por exemplo, os recursos computacionais, tais como
a capacidade de processamento, espaço em disco, memória, tamanho das bases de
dados. Além disso, é possível verificar a eficiência de um algoritmo, uma vez que um
25
algoritmo pode ser elaborado de diferentes maneiras e, dependendo da forma de

implementação e quantidade de entradas (número de variáveis), pode demandar um
maior ou menor tempo para ser executado. Logo, o conhecimento sobre contagem
também auxilia na análise do tempo de execução e quantidade de memória consumida,
ou seja, a análise da complexidade de um algoritmo.
Problemas de contagem normalmente se resumem em determinar quantos elementos

existem em um conjunto finito. Determinar essas quantidades de recursos finitos podem
gerar questões difíceis de serem respondidas (GERSTING, 2017). Por isso, vamos
inicialmente nos familiarizar com o conceito de lista.
Uma lista é uma sequência ordenada de objetos (SCHEINERMAN, 2015). Costumamos

representar uma lista abrindo parênteses e apresentando cada elemento da lista,
separando-os por vírgula. Por exemplo, a lista (2, 4, 8, 16) é uma lista cujo primeiro
elemento é o número 2, o segundo elemento é o número 4, o terceiro elemento é o
número 8 e o quarto elemento é o número 16. A ordem com a qual os elementos
figuram na lista é significativa.
Assim, a lista (2, 4, 8, 16) não é a mesma que a lista (4, 2, 16, 8). Embora os elementos
que compõem a lista sejam os mesmos, a forma pela qual foram arranjados (ordem) é
diferente. Também é importante destacar que uma lista pode conter elementos repetidos,
como (3, 4, 5, 5, 6), em que o número 5 aparece duas vezes.
Em uma lista, chamamos de comprimento ao número de elementos que a compõe.

Quando a lista tem apenas dois elementos ela recebe o nome de par ordenado. E uma
lista vazia é uma lista cujo comprimento é igual a zero.
______
Exemplificando
A lista (2, 4, 8, 16) tem comprimento quatro.
A lista (3, 4, 5, 5, 6) tem comprimento cinco.
A lista (10, 11) tem comprimento dois e também é chamada de par ordenado.
A lista ( ) tem comprimento zero e é chamada de lista vazia.
Outra expressão utilizada para representar listas é upla. Uma lista de n elementos é
conhecida como uma n-upla (lê-se: ênupla) (SCHEINERMAN, 2015).
______
Você pode ter associado a lista de dois elementos (par ordenado) à forma de
representação de um ponto no plano cartesiano (coordenadas (x, y)). E é isso mesmo!
As listas estão presentes em uma série de aplicações na matemática e muito além. Um
número é uma lista de algarismos; uma palavra é uma lista de letras; um identificador
em um programa de computador pode ser uma lista de letras e algarismos; a placa de
um automóvel é uma lista de letras e algarismos, o número de um telefone é uma lista
26
de algarismos, o código de barras é uma lista de algarismos; só para citar algumas

aplicações das listas. E uma questão com a qual frequentemente nos deparamos é:
quantas listas podemos formar?
Vamos considerar a necessidade de se fazer uma lista de comprimento dois em que seus
elementos sejam uma das letras A, B, C ou D. Quantas listas podemos formar?
A forma mais direta de resolver esse problema é descrever todas as possibilidades,

conforme indicado a seguir:
Procuramos organizar as listas de modo a não se esquecer de registrar nenhuma

possibilidade. Perceba que na primeira linha registramos todas as listas que começam
com a letra A; na segunda, todas as listas que começam com a letra B e assim por
diante, chegando ao total de 4×4 =16 listas de comprimento 2.
Consideremos agora um problema mais geral, em que desejamos descobrir quantas

listas de comprimento 2 podemos formar com os algarismos de 1 a n (listas de 2
elementos em que há n escolhas possíveis). Vamos então descrever todas as
possibilidades:
Na primeira linha registramos todas as listas que começam com o algarismo 1; na

segunda, todas as listas que começam com o algarismo 2; e assim por diante. Como há n
linhas e cada linha tem exatamente n listas, chegamos ao total de n×n = n2 listas
possíveis.
Assimile
Considere uma situação em que se deseja descobrir quantas listas de comprimento 2

podemos formar, sendo que para o primeiro elemento da lista temos n opções de escolha
e para o segundo elemento da lista temos m opções de escolha. E agora?
27
Vamos supor que os elementos possíveis na primeira posição da lista sejam números
inteiros de 1 a n e que os elementos possíveis para a segunda posição sejam números
inteiros de 1 a m. Podemos construir o seguinte quadro para organizar todas as
possibilidades:
Na primeira linha registramos todas as listas que começam com o algarismo 1; na

segunda, todas as listas que começam com o algarismo 2; e assim por diante. Como
há n linhas (para cada primeira escolha possível) e cada linha tem exatamente m listas,
concluímos que o total de listas possíveis é
Consideremos, por exemplo, o problema de descobrir quantas listas de comprimento

dois podem ser formadas, sabendo que o primeiro elemento da lista (n) será uma vogal
e o segundo elemento da lista (m) será um algarismo de 1 a 9.
Como temos cinco opções para vogal (A, E, I, O, U) e nove opções de algarismos (1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), o total de listas de comprimento dois que podem ser formadas é m×n
= 9×5 = 45 .
Ao resumir e generalizar essas situações, Scheinerman (2015) nos apresenta o princípio

da multiplicação para listas com dois elementos:
Consideremos listas de dois elementos em que há n escolhas para o primeiro elemento

e, para cada uma dessas escolhas, há m escolhas do segundo elemento. Então o número
de tais listas é n´m .
Um caso especial envolvendo a contagem de listas consiste no problema de se

determinar quantas listas de comprimento n extraídas de um universo de n objetos, em
que não se permitem repetições, podem ser formadas. Em outras palavras, de quantas
maneiras diferentes podemos dispor n objetos em uma lista, usando cada objeto
exatamente uma única vez?
Podemos estender o princípio da multiplicação para listas com dois elementos para esta
situação, determinando o total de listas como:
n⋅(n−1)⋅(n−2)(n−n +1) = n⋅(n−1)⋅(n−2)…(2)⋅(1)

28
Essa expressão ocorre com frequência em matemática e recebe um nome e símbolo

especiais: chama-se fatorial de n e representamos por n!. Por exemplo, 6654321720!==.
Por definição, considera-se que 11!= e 01!= (SCHEINERMAN, 2015).
______
Exemplificando
De quantas maneiras distintas é possível ordenar três objetos a, b e c?
Observe que neste exemplo não podemos computar o mesmo objeto mais de uma vez,
ou seja, em nossa lista, cada um desses objetos aparecerá exatamente uma única vez. De
quantos modos diferentes é possível ordená-los?
Repare também que não foi mencionado o comprimento da lista, portanto ordenaremos
os três objetos a, b e c, ou seja, o comprimento das listas será igual a três.
Para resolver esse problema podemos utilizar o conceito de fatorial. Como temos três
elementos a serem ordenados e estamos interessados em uma ordenação sem repetição,
o número total de listas fica determinado como:
3! = 3⋅2⋅1= 6.
De fato, se representarmos todas as listas possíveis temos:
(a,b,c) (a,c,b)
(b,a,c) (b,c,a)
(c,a,b) (c,b,a)
______
Aula 3.2 - Árvore de decisão
Outra forma de representarmos os possíveis resultados de uma ordenação (listas) é a

utilização de um diagrama chamado Árvore de Decisão. Uma árvore de decisão é uma
estrutura hierárquica que representa um mapeamento de possíveis resultados de uma
série de escolhas relacionadas. A árvore de decisão é uma importante ferramenta para
auxiliar na tomada de decisões, bem como visualizar as ramificações e as
consequências. Elas podem ser usadas tanto para conduzir diálogos informais quanto
para mapear um algoritmo que prevê a melhor decisão (escolha), matematicamente,
além de auxiliar na criação de planos de ação.
Em geral, uma árvore de decisão inicia a partir de um único nó de origem (chamado de

nó raiz), que se divide em possíveis resultados. O nó raiz é representado por um
elemento no topo da árvore; na Figura 1.2 é representado pelo círculo. O nó raiz
representa o todo ou uma amostra de alguma categoria e expressa nós de decisão, em
que a partir do nó raiz temos ramificações que levam a escolhas de um resultado
(decisão).
29
Na figura a seguir podem ser observadas três ramificações partindo do nó raiz. As

ramificações que partem de um nó representam as alternativas possíveis para se chegar
a resultados ou ações e, nesse sentido, cada ramo indica um possível resultado. Cada um
desses resultados leva a nós adicionais, que se ramificam em outras possibilidades.
Assim, cria-se uma forma de árvore (LUCIDCHART, 2020).
Adaptando seu uso para a Combinatória, as árvores de decisão (chamadas neste caso de
Diagramas de Árvore) servem para ilustrar o número de possibilidades de um evento
baseado em uma série de opções possíveis.
Considere, por exemplo, o caso particular de se determinar quantas listas de

comprimento dois, de elementos distintos, é possível formar a partir da ordenação de
três objetos arbitrários a, b e c. Para essa situação podemos construir a árvore de decisão
indicada na figura abaixo:
Árvore de decisão para três elementos tomados três a três. Fonte: elaborada pelo autor.
Neste problema foi mencionado que o comprimento da lista deveria ser igual a dois. Por
isso, todas as listas encontradas têm apenas dois elementos. A vantagem de utilização de
uma árvore de decisão (Diagrama de Árvore) é que além de determinar a quantidade de
listas que podem ser formadas, ela também discrimina quais são essas listas. Conhecer
não apenas quantas listas podem ser formadas, mas também quais são essas listas, pode
ser importante durante um processo de tomada de decisão. Por outro lado, se tivermos
um número grande de elementos a combinar, o desenho da árvore de decisão
apresentará muitos nós e ramificações. A representação poderá se tornar complexa e,
dependendo da sua utilização, poderá até mesmo ser descartada em virtude de não
colaborar para com uma melhor compreensão do problema em questão.
Vimos, até aqui, que a determinação da quantidade de listas que podem ser formadas a
partir de um número qualquer de elementos é basicamente um problema de contagem.
Vimos também que as listas podem conter ou não conter elementos repetidos e que,
para determinar o número de listas que podem ser formadas, além de utilizarmos o
princípio multiplicativo, podemos também utilizar as árvores de decisão.
30
Aula 3.3 - Análise combinatória
Em Combinatória, existem diferentes tipos de agrupamentos (ordenados ou não) que

recebem os nomes específicos de Arranjos, Permutações e Combinações. Apesar de ser
possível determinar esses agrupamentos de maneira intuitiva, existem fórmulas
matemáticas que nos auxiliam a realizar essa tarefa. Vamos, então, aprender a utilizá-
las, considerando os agrupamentos (Arranjos, Permutações e Combinações) simples,
isso é, formados por elementos distintos.
De acordo com Iezzi et al. (2004), dado um conjunto com n elementos distintos, chama-
se arranjo dos n elementos, tomados p a p, a qualquer sequência ordenada de p
elementos distintos escolhidos entre os n existentes. Para determinar o número de
arranjos podemos utilizar a fórmula
Vamos determinar o número de arranjos desses quatro elementos (n=4) tomados dois a
dois (p =2). Utilizando a fórmula para determinação do número de arranjos, temos que:
De fato, discriminando todos os arranjos chegamos a 12 possibilidades:
Note que (2,3) ≠ (3,2), isto é, ao trocarmos a ordem dos elementos, obtemos um novo
agrupamento. Como a ordem dos elementos é relevante, podemos afirmar que os
arranjos são um tipo de lista.
Um caso especial de arranjo, denominado permutação, é obtido quando dado um

conjunto com n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para formar
a sequência ordenada. Considere, por exemplo, o problema de se determinar de quantas
maneiras seis pessoas A, B, C, D, E e F podem ser dispostas em uma fila indiana. Cada
maneira de compor a fila é uma permutação das seis pessoas, pois qualquer fila obtida é
uma sequência ordenada na qual comparecem sempre as seis pessoas. Ao utilizarmos a
fórmula do número de arranjos, percebemos que neste caso n=p:
Ou seja, existem 720 maneiras distintas para organização dessa fila. Como nas
permutações sempre temos n=p, podemos simplificar a fórmula matemática a ser
utilizada. Observe:
31
Portanto, nesse exemplo de determinação do número de filas poderíamos simplesmente

ter efetuado P6=6!=720.
Há ainda outra forma de agrupamento, denominada combinação, que considera cada

sequência obtida como um conjunto não ordenado. Dado um conjunto com n elementos
distintos, chama-se combinação dos n elementos, tomados p a p, a qualquer subconjunto
formado por p elementos distintos escolhidos entre os n existentes. Para determinar o
número de combinações, podemos utilizar a fórmula
Considere, por exemplo, que dos cinco funcionários A, B, C, D e E de uma empresa do

setor de Tecnologia da Informação, três serão promovidos. Queremos determinar todas
as combinações desses cinco funcionários, tomados dois a dois. Podemos calcular o
número de combinações utilizando a fórmula
Temos, portanto, 10 possibilidades de escolha de três funcionários para serem

promovidos. Discriminamos a seguir todas essas possibilidades.
Observe que, para esse problema, a ordem dos elementos não faz diferença, ou seja,
tanto faz considerarmos o conjunto (A, B,C) ou (B,C, A) , pois os funcionários que
estariam recebendo a promoção seriam os mesmos. Os agrupamentos do tipo
combinação, por não serem ordenados, não são considerados listas.
______
Atenção
Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de p elementos distintos escolhidos

a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a
ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na
combinação, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo
agrupamento (IEZZI et al., 2004).
______
Mais importante do que nos preocuparmos com as fórmulas é sabermos interpretar o

problema e dispormos de ferramentas variadas para sua resolução. Vamos, por fim,
32
abordar uma situação em que o conhecimento do número de agrupamentos possíveis de

serem realizados é relevante, mas que não depende necessariamente do uso de fórmulas,
e sim de uma boa dose de interpretação e raciocínio lógico.
Considere, por suposição, que um diretório possui 4 pastas, denominadas pastas a, b, c e

d. Em cada pasta podem ser criadas, no máximo, 5 subpastas. Um usuário do diretório
criou, ao acaso, 18 subpastas. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 subpastas
na pasta a?
Sabemos que a probabilidade é a perspectiva favorável (chance) de que algo venha a

acontecer, e pode ser calculada dividindo-se o número de possibilidades favoráveis (de
interesse) pelo número total de possibilidades.
Pelo princípio multiplicativo sabemos que poderiam ser criadas um total de 4⋅5 = 20
subpastas, oriundas das quatro pastas distintas a, b, c e d. Como o usuário criou 18
subpastas, teremos duas configurações possíveis:
(I) 3 pastas com 5 subpastas e 1 pasta com 3 subpastas ou;
(II) 2 pastas com 5 subpastas e as outras duas com 4 subpastas.
Vamos, de maneira intuitiva, descrever todas as possibilidades:
Na configuração (I) temos as seguintes possibilidades:
Na configuração (II) temos as seguintes possibilidades:

33
Considerando as duas configurações temos um total de 10 maneiras de alocação dessas

subpastas, sendo que dessas 10 possibilidades, apenas 3 apresentam exatamente 4
subpastas na pasta a.
Logo, a probabilidade de haver exatamente 4 subpastas na pasta a é
______
Reflita
A árvore de decisão é uma importante ferramenta para auxiliar na tomada de decisões e

pode ser muito utilizada em diversos algoritmos, o qual se trata de uma sequência
ordenada de instruções a serem seguidas para se chegar a um objetivo, resultado e ou
uma ação. Assim, como seria uma árvore de decisão para o mapeamento de um
algoritmo de recomendação, em que encontre o tipo de filme mais adequado para
diferentes perfis de usuários com base no que já foi visto e recomende novos filmes?
______
Nesta aula, tomamos contato com alguns conteúdos da chamada matemática discreta,
compreendendo as diferentes formas com que objetos podem ser agrupados. Vimos o
que são listas, o que é uma árvore de decisão (Diagrama de Árvore) e o que são
Arranjos, Permutações e Combinações. Muitos problemas de lógica acabam recaindo
em princípios matemáticos, e os princípios aqui estudados serão de grande utilidade no
decurso de sua formação.
Você está lembrado do desafio apresentado no início da aula? Como colaborador de

uma startup de tecnologia, você se deparou com o seguinte problema: uma rede de
computadores privada da empresa foi configurada de tal modo que cada um dos 3
escritórios da empresa (A, B, C) tem cinco pontos de acesso à rede. Em um determinado
momento, havia 13 computadores conectados à rede e uma sobrecarga foi detectada por
um software de gerenciamento de fluxo de dados. Essa sobrecarga foi causada em um
escritório em que cinco computadores estavam conectados à rede. Deseja-se saber qual
é a probabilidade (chance) de que essa sobrecarga tenha partido do escritório C.
Pelo princípio multiplicativo sabemos que há um total de 3⋅5 =15 pontos de acesso a
essa rede. Como no momento da detecção da sobrecarga havia 13 computadores
conectados à rede, temos dois cenários possíveis: (I) havia dois escritórios com todos os
pontos de acesso utilizados e um terceiro escri- tório utilizando apenas três pontos de
acesso ou; (II) havia um escritório utilizando todos os pontos de acesso e dois
escritórios utilizando 4 pontos de acesso.
34
No cenário (I) temos as seguintes possibilidades:
No cenário (II) temos as seguintes possibilidades:
Considerando os dois cenários, temos um total de 6 possibilidades de utilização dessa

rede no momento da sobrecarga. Dessas 6 possibilidades, em três cenários temos o
escritório C utilizando todos os seus pontos de acesso.
Poderíamos, portanto, presumir que há
de a sobrecarga ter sido causada pelo escritório C. Uma análise mais detalhada, no
entanto, revela que em dois dos três cenários em que o escritório C utiliza todos os seus
pontos de acesso, há outros escritórios que também estão utilizando todos os pontos de
acesso. Ao apresentar sua conclusão ao seu superior imediato, esse detalhe não poderá
ser omitido.
35
Aula 4 - Na Prática
Nesta aula, você poderá praticar os conhecimentos adquiridos nesta unidade, por meio
de exercícios comentados.
• Analisar as situações-problema apresentadas;

• Desenvolver possíveis soluções levando em conta as aulas previamente
estudadas;
• Comparar suas respostas com as soluções e feedbacks apresentados.
• Exercício 1
• Segundo Forbellone (2005, p. 1), “lógica é a “arte de bem pensar”, que é a
“ciência das formas do pensamento”. Visto que a forma mais complexa do
pensamento é o raciocínio, a lógica estuda a “correção do raciocínio”.
Tomando por base duas premissas, podemos chegar a uma conclusão, em
um processo que é chamado inferência.
• Analise a seguinte inferência:
• I. Todos os softwares são desenvolvidos por programadores.
• II. Microsoft Excel é um software.
• III. Microsoft Excel foi desenvolvido por programadores.
• O raciocínio lógico utilizado na inferência apresentada é chamado:
• a) Indução.
• b) Falácia.
• c) Silogismo.
• d) Dedução.
• e) Método científico.
36
• Exercício 2
• Todos os alunos dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas fazem
uma disciplina de lógica computacional.
• ___________________________________________________________.
• Logo, José faz uma disciplina de lógica computacional.
•
• A premissa que preenche corretamente a lacuna acima é:
• a) José é aluno de um curso de Análise e Desenvolvimento de Sistemas.
• b) José deseja trabalhar com Análise e Desenvolvimento de Sistemas.
• c) No curso de José, não há disciplina de lógica computacional.
• d) José gosta de lógica computacional.
• e) José faz uma disciplina de lógica computacional, portanto, ele cursa Análise e
Desenvolvimento de Sistemas.
37
• Exercício 3
• Em um sentido amplo, a lógica é o estudo da estrutura e dos princípios
relativos à argumentação válida, sobretudo da inferência dedutiva e dos
métodos de prova e demonstração. Podemos classificar a estudo da lógica
em três grandes períodos: o Período Aristotélico, o Período Booleano e o
Período Atual (JAPIASSÚ; MARCONDES, 2006).
• Considerando a evolução histórica da lógica, faça a associação dos grandes
períodos discriminados nos itens I, II e III, com as características de cada
período, apresentadas nos itens 1, 2 e 3.
•
• I. Período Aristotélico.
• II. Período Booleano.
• III. Período Atual.
• 1. Caracteriza-se pelo desenvolvimento de sistemas formais polivalentes,
que trabalham não apenas com os valores lógicos verdadeiro e falso, mas
também com imprecisões e contradições, assumindo outros possíveis valores
lógicos para as proposições.
• 2. Caracteriza-se como uma ciência cuja essência era a teoria do silogismo
(certa forma de argumento válido). Corresponde à chamada Lógica
Clássica, regida, basicamente, por três princípios: o da identidade, o da não
contradição e o do terceiro excluído.
• 3. Caracteriza-se pelo desenvolvimento da Lógica Formal, também
chamada de Lógica Simbólica, na qual símbolos computáveis substituem
palavras e proposições.
•
• Assinale a alternativa que apresenta a associação correta.
• a) I - 1; II - 2; III – 3.
• b) I - 1; II - 3; III – 2.
• c) I - 2; II - 1; III – 3.
• d) I - 2; II - 3; III – 1.
• e) I - 3; II - 1; III – 2.
38
Exercício 4
Segundo Alencar Filho (2002), quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas
operações sobre proposições, chamadas operações lógicas. Estas operações
obedecem a regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante
ao da aritmética sobre números. Os conectivos sentenciais correspondem a várias
palavras nas linguagens naturais que servem para conectar proposições
declarativas. Os principais conectivos (operações lógicas fundamentais) são
representados atualmente pelos seguintes símbolos
Sejam as proposições p: João vai dirigir e q: Jaime vai beber.
Traduzindo para a linguagem corrente a proposição: ~p → ~q , temos:
a) João vai dirigir se e somente se Jaime vai beber.
b) João não vai dirigir ou Jaime não vai beber.
c) João vai dirigir e Jaime vai beber.
d) Se João vai dirigir, então Jaime não vai beber.
e) Se João não vai dirigir, então Jaime não vai beber.

39
Exercício 5
Um sistema operacional (SO) é uma coleção de programas que inicializam o

hardware do computador. Fornece rotinas básicas para controle de dispositivos.
Fornece gerência, escalonamento e interação de tarefas. Mantém a integridade de
sistema (LOPES, 2017).
Um sistema operacional de computador permite atribuir nomes aos arquivos

utilizando qualquer combinação de letras maiúsculas (A-Z) e de algarismos (0-9),
mas o número de caracteres do nome do arquivo deve ser no máximo 8 (e deve
haver ao menos um caractere no nome do arquivo). São exemplos de nomes
válidos: Y56, G, 8JJ e FGHI7890. São exemplos de nomes inválidos B*32 (por ter
um caractere não permitido) e CLARINETE (por possuir mais do que 8 caracteres
(SCHEINERMAN, 2015, adaptado).
Considerando a regra de atribuição de nomes explicitada, a quantidade possível de

nomes de arquivos diferentes nesse sistema operacional é determinada por:
40
41
UNIDADE 2 - Álgebra de Conjuntos

Teoria dos Conjuntos
Olá, estudante, boas-vindas! Nesta unidade você terá a oportunidade de conhecer a

Teoria de Conjuntos (Álgebra de Conjuntos). A Álgebra de Conjuntos é um importante
ramo da Matemática e com aplicações em diferentes áreas de conhecimento, entre elas a
Computação. A linguagem de conjuntos se caracteriza por ser uma linguagem clara,
concisa, rigorosa e que não dá margens a interpretações equivocadas. Por apresentar
essas características, ela é utilizada na organização de informações e resolução de
problemas ligados a várias áreas, como a computação.
Considere, por exemplo, situações em que seja necessário contabilizar o número de

subconjuntos (possibilidades) derivados de outro conjunto; identificar a quantidade de
elementos que gozam de determinada característica e/ou propriedade; e estudar relações
entre conjuntos. Compreender a linguagem de conjuntos possibilitará a abordagem
desses problemas. Tais situações serão apresentadas, exemplificadas e discutidas nesta
unidade.
Na primeira aula, você aprenderá a definição de conjunto, as diferentes formas de

apresentação de conjuntos e a simbologia (sintaxe) utilizada para representar as relações
entre conjuntos, entre elas as relações de pertinência e continência.
Já na segunda aula, iniciaremos o estudo das operações de conjuntos. Algumas dessas

operações, como as operações união e intersecção, por exemplo, você já deve ter
estudado no Ensino Médio. Será uma excelente oportunidade para retomar e aprofundar
os estudos a respeito dessas operações, relacionando-as aos conectivos lógicos e (⋀) e
ou (V), utilizados para a compreensão da lógica de programação e importantes para
entendimento e elaboração de algoritmos computacionais para resolução de problemas
do cotidiano.
Já na terceira aula desta unidade, estudaremos algumas aplicações da Teoria de

Conjuntos em Computação, destacando as relações lógicas implícitas nas diferentes
operações de conjuntos. A partir dos conteúdos estudados nesta unidade, além de
conhecer e entender as teorias e álgebras de conjuntos, suas operações e diferenças,
você irá desenvolver a habilidade de conhecer os conceitos de conjuntos e suas
aplicações em diferentes casos. Bons estudos!
42
Nesta aula, serão introduzidos os principais conceitos da Teoria de Conjuntos.
• Compreender a linguagem da Teoria de Conjuntos (notação, formas de

representação e simbologia);
• Identificar e representar conjuntos, utilizando linguagem apropriada ao contexto;
• Compreender relações de pertinência e continência, enumerando e identificando
subconjuntos específicos.
Situação-problema
Olá, estudante!
Partindo da noção intuitiva de conjunto como uma coleção não ordenada de objetos,
iremos estudar uma série de conceitos, como subconjuntos, igualdade de conjuntos,
formas de representação de conjuntos (sentenças e diagramas), quantificadores
(universal e existencial) e relações de pertinência (elemento – conjuntos) e continência
(conjunto – conjunto). Além disso, também teremos um primeiro contato com a notação
de conjuntos, que compreende uma série de símbolos e signos específicos.
Considere as seguintes questões: você sabe o que é a cardinalidade de um conjunto?

Você sabe demonstrar a igualdade entre dois conjuntos? Você sabe determinar e
identificar todos os subconjuntos derivados de um determinado conjunto? Nesta aula,
você aprenderá a responder questões como essas. Profissionais da área da computação
constantemente se deparam com situações desse tipo.Você foi contratado por uma
grande empresa do setor de Tecnologia da Informação (TI) e está trabalhando em uma
equipe no desenvolvimento de um aplicativo para telefones móveis. Você ficou
responsável por elaborar diferentes chaves de acesso para esse aplicativo, e durante esse
trabalho, você se deparou com o problema de identificar quantos e quais são os
subconjuntos derivados de um conjunto constituído por quatro elementos arbitrários {1,
2, 3, 4}. As possíveis combinações (subconjuntos) encontradas deverão ser apresentadas
para o restante da equipe que utilizará essas informações para finalizar o layout da tela
inicial do aplicativo. Você conseguiria determinar quantos subconjuntos podem ser
formados, independentemente do seu “tamanho” (número de elementos) a partir da
conjugação dos quatro elementos arbitrários? Você saberia identificar todos esses
subconjuntos? Determinar quantos subconjuntos podem ser formados,
independentemente do seu “tamanho” (número de elementos) e identificá-los (um a um)
é uma tarefa que exige raciocínio combinatório, metodologia e organização. Para
resolver tal problema, será necessário compreender o significado de subconjunto e as
relações entre conjuntos.
Prossiga estudando e aprenda os conceitos necessários para a resolução dessa situação-

problema!
43
Aula 1.1 - Definição de conjuntos
Conjuntos podem ser definidos como coleções não ordenadas de objetos que podem ser,
de alguma forma, relacionados (FERREIRA, 2001). Considere, por exemplo, o conjunto
A das cores da bandeira do Brasil. Temos que A = {verde, amarelo, azul, branco}. Em
geral, objetos de um mesmo conjunto gozam de uma propriedade em comum. Assim,
qualquer objeto que verifique a propriedade “ser cor da bandeira do Brasil” será
considerado um elemento do conjunto A. Costuma-se utilizar letras maiúsculas do
nosso alfabeto para representar os conjuntos.
Para descrever determinado conjunto, é necessário identificar seus elementos. Para

tanto, pode-se proceder de três maneiras distintas:
• Listando todos os elementos do conjunto, como foi feito com o conjunto A, que
representa as cores da bandeira do Brasil. Dependendo do conjunto que se deseja
descrever, essa maneira de representação pode se revelar trabalhosa, sendo mais
indicada para conjuntos finitos, com um pequeno número de elementos.
• Indicando os primeiros elementos do conjunto (presumindo que os elementos do
conjunto possam ser ordenados) que denotem um padrão para uma listagem
indefinida. Por exemplo, considere o conjunto B ={2, 4,6,} . É possível deduzir,
a partir do padrão indicado, que o conjunto B é um conjunto infinito, constituído
pelos números inteiros positivos pares.
• Escrevendo uma propriedade que caracterize os elementos que constituem o
conjunto. Por exemplo, considere o conjunto C = {x | x é um número inteiro e
4< 9 ≤ x}. Lê-se: C é o conjunto de todos os x, tal que x é inteiro, maior do que
4 e menor ou igual a 9. Listando todos os elementos de C, tem-se que:
C={5,6,7,8,9}. Escrever a propriedade característica dos elementos de um
conjunto por meio de palavras é a maneira mais usual de descrever um conjunto.
Isso porque, muitas vezes, ao se trabalhar com conjuntos que possuem um
número muito grande de elementos (ou até mesmo conjuntos infinitos), a
listagem de todos os elementos do conjunto não se torna viável.
______
Assimile
Considere o conjunto D={3,5,7} representado a partir de seus primeiros elementos. Tal

forma de representação pode suscitar dúvidas: trata-se do conjunto dos números inteiros
ímpares maiores do que 1 ou dos conjuntos dos números inteiros primos maiores ou
iguais a 3? Tal descrição não possibilita inferirmos de que grupo se trata. Por isso,
escrever por extenso a propriedade característica dos elementos do conjunto, mostra-se
como uma descrição mais clara e precisa do que as outras maneiras de descrição
apresentadas.
______
Há ainda uma maneira alternativa de representação de conjuntos com forte apelo visual.
Trata-se dos Diagramas de Venn. John Venn (1834-1923) foi um matemático inglês,
tendo-se licenciado na Universidade de Cambridge onde, depois, ensinou Lógica e
Teoria das Probabilidades. Venn introduziu os diagramas em seus trabalhos baseado nos
44
círculos eulerianos, por isso, alguns autores referem-se aos diagramas de Venn como
diagramas de Euler-Venn (NOVAES, 2014).
Os diagramas de Venn consistem em círculos (que podem estar intersectados), os quais

representam os conjuntos. No interior dos círculos são listados os elementos do
conjunto. Por exemplo, o conjunto C = {x | x é um número inteiro e 4< x ≤ 9} pode ser
representado pelo diagrama apresentado na figura a seguir.
Conjunto C. Fonte: elaborada pelo autor.
Um objeto pertencente a um conjunto é chamado de elemento do conjunto. A relação de

pertinência é indicada pelo símbolo ∈, e a relação de não pertinência, pelo símbolo ∉ .
Assim, a indicação x∈A significa que o objeto x é um elemento do conjunto A.
Retomando o conjunto das cores da bandeira do Brasil A = {verde, amarelo, azul,
branco}, podemos afirmar que verde ∈ e que vermelho ∉. A relação Î pode ser lida
como “é membro de” ou “está em” ou “é elemento de” ou “pertence a”.
Além de saber descrever um conjunto a partir das propriedades comuns de seus

elementos, também é importante saber determinar quantos elementos constituem o
conjunto. De acordo com Scheinerman (2015), ao número de objetos (elementos) de um
determinado conjunto dá-se o nome de cardinalidade. As barras de valor absoluto em
torno de um conjunto representam a cardinalidade ou o tamanho do conjunto (isto é, o
número de elementos do conjunto). Assim, considerando o conjunto A = {verde,
amarelo, azul, branco}, pode-se afirmar que a cardinalidade de A é igual a 4, ou seja,
|A|=4. De maneira análoga, considerando o conjunto C = {x | x é um número inteiro e
4<x≤9}, pode-se afirmar que a cardinalidade de C é igual a 5, ou seja, C=5.
Um conjunto é chamado de finito quando sua cardinalidade é um número inteiro, caso

contrário, é chamado de infinito. Um conjunto é chamado de conjunto vazio quando sua
cardinalidade é igual a zero, ou seja, é um conjunto desprovido de elementos.
______
Exemplificando
Considere os seguintes conjuntos: A = {x|x é um mês com exatamente 30 dias}, B = {1,

4, 9, 16, 25,…} e C= {x|x é um número inteiro e x>3 e x<4}.
45
Tem-se que A = {abril, junho, setembro, novembro} e, portanto, |A|=4. O conjunto B é

o conjunto dos números quadrados perfeitos. Como existem infinitos números
quadrados perfeitos, não é possível determinar a cardinalidade de B. Assim, dizemos
que o conjunto B é infinito. Já o conjunto C é o conjunto dos números inteiros que são,
ao mesmo tempo, maiores do que 3 e menores do que 4. Como não existe nenhum
número inteiro que atenda simultaneamente a essas duas propriedades, dizemos que o
conjunto C é um conjunto vazio. Essa afirmação pode ser representada como C = { } ou
C =Ø. Dizemos que a cardinalidade de C é igual a zero, ou seja, C=0. Como a
cardinalidade de um conjunto vazio é igual a zero, e zero é um número inteiro, podemos
afirmar que o conjunto vazio também é um conjunto finito.
É muito comum nos deparamos com alguns conjuntos padrão, largamente utilizados na
matemática:
N= conjunto de todos os números inteiros não negativos. Perceba que 0∈N.
Z= conjunto de todos os números inteiros.
Q= conjunto de todos os números racionais.
R= conjunto de todos os números reais.
C= conjunto de todos os números complexos.
Quando dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos, dizemos que esses
conjuntos são iguais. Para provar que dois conjuntos A e B são iguais, devemos mostrar
que todo elemento de A é também elemento de B, e vice-versa.
______
Reflita
Vimos que dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles contêm os mesmos
elementos. Considere os seguintes conjuntos:
E = {x ∈ Z | x é par} e
F = {y∈Z | y=a+b, em que a e b são ímpares}.
Podemos afirmar que E=F, ou seja, que todo elemento de E é também elemento de F e
vice-versa? Reflita sobre as propriedades desses conjuntos e tente elaborar um esquema
que valide ou refute a igualdade E=F.
46
Aula 1.2 - Elemento quantificador
Na Teoria de Conjuntos, há certas afirmações que não podem ser escritas

adequadamente por meio de símbolos proposicionais, parênteses e conectivos lógicos.
Elas contêm um elemento quantificador. Os quantificadores são frases como “para
todo”, “para cada” ou “para algum”, que indicam, de alguma forma, quantos objetos
têm uma determinada propriedade (GERSTING, 1995).
Por exemplo, considere as seguintes afirmações:
• Todo inteiro é par ou ímpar.

• Existe um número natural que é primo e par.
A primeira afirmação traduz uma relação de universalidade, já a segunda afirmação

traduz uma relação de existência. Utilizaremos uma notação específica para representar
cada uma dessas situações.
O quantificador universal é simbolizado por um ∀ de cabeça para baixo, ", e é lido “para
todo” ou “qualquer que seja”. A forma geral para essa notação é ∀x∈A, afirmações
sobre x. A primeira afirmação “todo inteiro é par ou ímpar” ficaria representada como
∀x∈Z, x é par ou x é ímpar.
O quantificador existencial é simbolizado por um E espelhado,∃, e é lido como “há” ou

“existe”. A forma geral para essa notação é ∃x∈A, afirmações sobre x. A segunda
afirmação “existe um número natural que é primo e par” ficaria representada como
∃x∈N, x é primo e par.
______
Exemplificando
Um exemplo de utilização do quantificador universal pode ser verificado no enunciado

a seguir, em que se deseja provar que todo número inteiro divisível por 10 é par.
Seja A = {x ∈ Z | 10 divide x}. Queremos provar que ∀x∈A, x é par.
Prova: Seja x∈A, ou seja, x é um número inteiro divisível por 10. Isso significa que
existe um inteiro y, de modo que x=10y. Podemos escrever essa igualdade como
x=(2.5) y=2.(5y). Portanto, x é divisível por 2 e, consequentemente, x é par.
______
Considere, agora, os conjuntos A={2,5,7,9} e B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Perceba que todos

os elementos pertencentes ao conjunto A também pertencem ao conjunto B. Nesse caso,
dizemos que A é um subconjunto de B.
Sejam os conjuntos A e B. Dizemos que A é um subconjunto de B se, e somente se,

todo elemento de A também for elemento de B. A notação A⊆ B significa que A é
subconjunto de B (SCHEINERMAN, 2015).
47
Se A é um subconjunto de B, mas A ≠ B, ou seja, existe pelo menos um elemento de B

que não é elemento de A, então, A é chamado de subconjunto próprio de B.
Subconjuntos próprios podem alternativamente ser representados pelo sinal ⊂.
______
Atenção
Observe que ⊆ e ∈ têm significados relacionados, porém, diferentes!
O símbolo ∈ é utilizado para representar uma relação de pertinência entre um objeto e

um conjunto. Por exemplo, seja o conjunto A={5,7,9,11,13}, podemos afirmar que
7∈A. Já o símbolo ⊆ é utilizado para representar uma relação de continência
(subconjunto) entre conjuntos. Por exemplo, seja A={5,7,9,11,13} e B={5,11,13},
podemos afirmar que B⊆A.
Tome cuidado! Os sinais ⊆ e ∈ não podem ser permutados.
______
Para provar que um conjunto N é subconjunto de um conjunto M, devemos mostrar que

todo elemento de N é também elemento de M (perceba que, nesse caso, a recíproca não
precisa ser verdadeira). Por exemplo, considere os conjuntos M = {x | x é múltiplo de 5}
e N = {x | x é múltiplo de 10}. Vamos provar que N⊆ M.
Temos que x satisfaz a propriedade característica de N, ou seja, x é múltiplo de 10.

Logo, podemos escrever x=10.y para algum inteiro y. Essa igualdade pode ser reescrita
como x= (5.2).y= 5.(2.y) ou x=5.k, em que k=2.y, de tal forma que k também é um
inteiro. Isso mostra que x também é múltiplo de 5, ou seja, x também satisfaz a
propriedade característica de M, portanto, N⊆ M.
Um problema recorrente envolvendo subconjuntos diz respeito à determinação do

número de subconjuntos de um determinado conjunto. Por exemplo, quantos
subconjuntos tem o conjunto A={a,b,c}?
Uma maneira para resolver esse problema é listar todas as possibilidades. Como a
cardinalidade de A é igual a 3 (|A|=3), qualquer subconjunto de A pode ter de zero a três
elementos. Consideremos o Quadro a seguir com a descrição de todas as possibilidades:
Subconjuntos de A (cardinalidade 3). Fonte: elaborado pelo autor.

48
Portanto, A={a,b,c} tem oito subconjuntos. É importante, nesse momento, retomar a

definição de conjunto como uma coleção não ordenada de objetos. Isso significa dizer
que o subconjunto {a, b} e o subconjunto {b, a} são iguais e, portanto, contabilizados
uma única vez. Também é importante destacar que o conjunto vazio e o próprio
conjunto A também são subconjuntos de A.
Nesse exemplo, conseguimos listar e contabilizar todos os subconjuntos de A. Como

|A|=3, essa tarefa não se mostrou muito trabalhosa. No entanto, imagine no caso de um
conjunto com cardinalidade igual a 10: quantos subconjuntos poderiam ser
contabilizados?
O teorema a seguir permite contabilizar o número de subconjuntos de um conjunto

qualquer conhecendo-se a sua cardinalidade.
______
Exemplificando
Seja A um conjunto com cardinalidade igual a 10, quantos subconjuntos de A poderiam

ser contabilizados?
______
Nesta aula, você aprendeu o que são conjuntos, como podemos representar os
conjuntos, o que é cardinalidade de um conjunto, o que são quantificadores (universal e
existencial) e como podemos listar e contabilizar os subconjuntos de um determinado
conjunto. Todos esses conceitos serão de suma importância na resolução de situações-
problema que envolvam conjuntos e relações entre conjuntos.
Você se lembra da situação-problema apresentada no início da aula? Vamos retomá-la?
Você foi contratado por uma grande empresa do setor de Tecnologia da Informação (TI)
e está trabalhando em uma equipe no desenvolvimento de um aplicativo para telefones
móveis. Durante o desenvolvimento do aplicativo, você se deparou com o problema de
identificar quantos e quais são os subconjuntos derivados de um conjunto constituído
por quatro elementos arbitrários {1,2,3,4}. Você conseguiria determinar quantos
subconjuntos podem ser formados, independentemente do seu “tamanho” (número de
elementos) e a partir da conjugação desses quatro elementos arbitrários? Você saberia
identificar todos esses subconjuntos?
49
Lembre-se de que as possíveis combinações (subconjuntos) encontradas deverão ser

apresentadas para o restante da equipe, que utilizará essas informações para finalizar o
layout da tela inicial do aplicativo.
Em primeiro lugar, vamos elucidar o significado da palavra arbitrário. Quando dizemos

que x é um elemento arbitrário de um conjunto A, queremos dizer que x pode ser
qualquer elemento de A e não podemos fazer qualquer outra suposição sobre x.
Denotando o conjunto {1,2,3,4} por A, podemos determinar a sua cardinalidade. Temos

que |A|=4, logo, o número de subconjuntos de A é igual a 2|A|=24=16. Resta, agora,
identificar todos esses 16 subconjuntos. Como a cardinalidade de A é igual a 4,
podemos ter subconjuntos com 0, 1, 2, 3 ou 4 elementos. Por exemplo, {1, 3, 4} é
subconjunto de A, pois {1,3,4}⊆A. {2, 3} também é subconjunto de A, pois {2.3}⊆A.
Para identificar todos os subconjuntos de A, vamos elaborar uma lista (quadro abaixo):
Subconjuntos de A (cardinalidade 4). Fonte: elaborado pelo autor.
Vale ressaltar que, como a cardinalidade do conjunto A era igual a 4, não tivemos
maiores dificuldades em listar todos os 16 subconjuntos. Problemas envolvendo
conjuntos de maior cardinalidade costumam exigir a contabilização do número de
subconjuntos, sem necessariamente precisar identificá-los. Inúmeros problemas
envolvendo o raciocínio computacional exigem essa habilidade.
Você conseguiria determinar quantos subconjuntos poderiam ser obtidos a partir de um

conjunto com cardinalidade igual a 20? Que estratégia você utilizaria para identificá-los
(um a um)? Pense nisso!
50
Aula 2 - Álgebra de conjuntos
Nesta aula, estudaremos as operações de conjuntos.
• Encontrar a união, interaula e a diferença entre conjuntos;

• Utilizar diferentes procedimentos para resolução de problemas envolvendo
conjuntos enumeráveis;
• Aplicar as relações de conjuntos e representações de elementos com o Diagrama
de Venn.
Situação-problema
Olá estudante, nesta aula estudaremos as operações de conjuntos. Conjuntos são

coleções não ordenadas de objetos que podem ser, de alguma forma, relacionados
(FERREIRA, 2001). Estudaremos, portanto, que relações são essas, direcionando nosso
olhar especialmente para as operações de união (∪) , intersecção (∩) e diferença (−)
entre conjuntos.
Lembre-se de que você foi contratado por uma grande empresa do setor de Tecnologia
da Informação (TI) e está trabalhando em uma equipe de desenvolvimento de um
aplicativo para telefones móveis. No desenvolvimento desse aplicativo, por sua vez,
surgiu um novo problema: a equipe de desenvolvimento de software percebeu que
alguns comandos de busca desse aplicativo (ações solicitadas pelo usuário para sua
execução) direcionam a busca do usuário para o Banco de Dados A, enquanto outros
comandos direcionam a busca do usuário para o Banco de Dados B e, ainda, há
comandos que realizam essa busca em ambos os Bancos de Dados (A e B).
Considere que há 20 comandos que direcionam a busca do usuário para o Banco de
Dados A, que no total há 60 comandos distintos, e que 12 comandos direcionam a busca
para os Bancos de Dados A e B. Você saberia informar quantos desses 60 comandos
realizam a busca no Banco de Dados B?
Você deverá apresentar a representação e resolução desse problema à equipe de
desenvolvimento de software para que ela decida sobre a viabilidade de unificação
desses Bancos de Dados.Perceba que, apesar de parecer ser um problema de simples
solução, é necessário tomar cuidado para não contabilizar comandos em duplicidade. E
agora, como resolver essa situação?
Nesta aula, você aprenderá a encontrar a união, a interaula e a diferença entre conjuntos
e a utilizar essas relações na resolução de situações-problema como essa.
Bons estudos!
51
Aula 2.1 - Operações entre conjuntos
Conjuntos são coleções não ordenadas de objetos que podem ser, de alguma forma,
relacionados (FERREIRA, 2001). Estudaremos, portanto, que relações são essas,
direcionando nosso olhar especialmente para as operações de união (∪) , intersecção (∩)
e diferença (−) entre conjuntos.
Consideremos, por exemplo, o conjunto M constituído por todos os alunos de uma

determinada universidade. Podemos afirmar que o conjunto A, formado pelos alunos do
curso de Análise e Desenvolvimento de Sistemas dessa mesma universidade, é um
subconjunto de M (A⊆M), ou seja, cada aluno que pertence ao conjunto A (alunos do
curso de Análise e Desenvolvimento de Sistemas) também pertence ao conjunto M
(também são alunos da universidade). Analogamente, consideremos também o conjunto
B, formado pelos alunos do curso de Matemática dessa mesma universidade, logo,
podemos afirmar que B também é subconjunto de M (B⊆M).
Um novo conjunto de alunos pode ser definido como consistindo em todos os alunos
que sejam estudantes do curso de Análise e Desenvolvimento de Sistemas ou
Matemática (ou ambos). Esse conjunto é chamado de união de A e B. Segundo Gersting
(1995), a operação de união de A e B pode ser denotada como A∪B= {x | x ∈ A ou
x ∈ B}. Nesse exemplo, a união A∪B compreende todos os alunos que cursam Análise
e Desenvolvimento de Sistemas (A) ou Matemática (B) ou ambos os cursos.
Outro conjunto pode ser definido como sendo composto por todos os alunos do curso de
Análise e Desenvolvimento de Sistemas e do curso de Matemática, ou seja, alunos que
cursam simultaneamente ambos os cursos. Esse novo conjunto (que pode ser vazio) é
chamado de intersecção de A e B. Segundo Gersting (1995), a operação de intersecção
de A e B pode ser denotada como A∩B= {x|x∈A e x∈B}. Nesse exemplo, a união A∩B
compreende todos os alunos que cursam simultaneamente Análise e Desenvolvimento
de Sistemas (A) e Matemática (B).
Exemplificando
Exemplo 1: Sejam os conjuntos A ={10,11,12,13,14,15} e B ={13,14,15,16,17,18,19} ,

o conjunto A∪B
formado por todos os elementos de A e de B.
A ∪ B ={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19} .
Repare que há elementos pertencentes a ambos os conjuntos, porém, ao efetuarmos a

operação união (∪) , esses elementos são contabilizados uma única vez. Em relação à
cardinalidade desses conjuntos, temos que: A = 6 , B = 7 e A ∪ B =10 .
Já o conjunto A∩B consiste no conjunto formado pelos elementos comuns aos

conjuntos A e B.
A ∩ B ={13,14,15} .
Temos ainda que A ∩ B = 3 .

52
Os diagramas de Venn podem ser utilizados para ilustrar as operações binárias de união
e intersecção de conjuntos. Na Figura abaixo visualizamos a imagem mental dessas
operações:
União e intersecção de conjuntos. Fonte: elaborada pelo autor.
A região sombreada no primeiro diagrama representa A∪B; já a região sombreada no

segundo diagrama representa A ∩ B.
A representação do Exemplo 1 por meio de diagramas de Venn pode ser observada na

figura a seguir:
Exemplo 1. Fonte: elaborada pelo autor.
As operações ∪ e ∩ verificam diversas propriedades algébricas. Apresentaremos a

seguir as leis básicas da álgebra de conjuntos usando a notação padrão da Teoria de
Conjuntos (YAGLOM, 1998).
• Propriedades comutativas: A∪B = B∪A e A ∩ B = B∩A .

• Propriedades associativas: A∪(B ∪C)=(A∪B)∪C e A∩(B∩C)=(A∩B)∩C .
• Propriedades do conjunto vazio: A∪∅= A e A ∩∅=∅ .
• Propriedades distributivas: A∪(B ∩C)=(A ∪ B)∩(A ∪C) e A ∩(B ∪C)=(A ∩
B)∪(A ∩C) .
• Leis de idempotência: A∪A = A e A∩A = A .
Vamos demonstrar a propriedade associativa para a união. Considere os conjuntos A, B

e C. Queremos provar que A ∪(B ∪C)=(A∪B)∪C . Temos que:
53
A ∪(B∪C) = { x| x ∈ A ou x∈(B ∪C) }
Pela definição de união, segue que:
A ∪(B∪C) = { x| x ∈A ou x ∈ B ou x∈C }
A ∪(B∪C) = { x| x ∈(A ∪ B) ou x∈C }
Logo: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C .
Constatamos, portanto, que as condições A∪(B∪C) e (A∪B)∪C logicamente

equivalentes.
______
Reflita
Utilizando as definições das operações união (∪) e intersecção (∩) de conjuntos, como
você demonstraria a propriedade distributiva da união em relação à intersecção?
Utilize a demonstração da propriedade associativa para a união como referência e tente

redigir a sua própria demonstração.
______
Além das operações união (∪) e intersecção (∩), outra operação que costuma aparecer
com frequência ao estudarmos álgebra de conjuntos é a operação diferença de
conjuntos. Sejam A e B dois conjuntos, de acordo com Scheinerman (2015), a diferença
A - B é o conjunto de todos os elementos de A que não estão em B, ou seja: A− B = {x|
x ∈ A e x∉B} . Considere, por exemplo, os conjuntos A ={1,2,3, 4, 5} e B ={4,5,6,7} .
Para determinarmos a diferença A - B temos de verificar quais elementos pertencem ao
conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B, ou seja, A − B = {1,2,3} .
Analogamente, podemos definir o conjunto B - A , que consiste em todos os elementos
pertencentes a B, mas que não pertencem ao conjunto A, ou seja, B − A = {6,7} .
______
Assimile
Outra operação utilizada na álgebra de conjuntos é a chamada diferença simétrica.

Segundo Scheinerman (2015), a diferença simétrica de A e B pode ser denotada por
ADB . A diferença simétrica de A e B é o conjunto de todos os elementos que
pertencem a A, mas não pertencem a B ou que pertencem a B, mas não pertencem a A.
Essa diferença simétrica pode ser representada como A∆B =(A − B)∪(B − A) .
Considere, por exemplo, os conjuntos A ={1,2,3, 4, 5} e B ={4,5,6,7} . A diferença

simétrica A∆B ficaria definida como:
A∆B =(A − B)∪(B − A)=(1,2,3)∪(6,7)=(1,2,3,6,7) .

54
Utilizando diagramas de Venn, a diferença simétrica ADB ficaria representada como

observado na Figura a seguir.
Diferença simétrica A∆B. Fonte: elaborada pelo autor.
Aula 2.2 - Cardinalidade dos conjuntos
Até agora nos ocupamos em abordar as principais operações entre conjuntos. No

entanto, em muitos problemas (especialmente quando se trabalha com conjuntos finitos,
porém numerosos) realizamos essas operações levando em consideração o número de
elementos (cardinalidade) de cada conjunto. Suponha que desejamos contar o número
de objetos que goza de uma ou outra propriedade específica. Podemos abordar esse tipo
de problema utilizando um caso especial de um método de contagem chamado inclusão-
exclusão (SCHEINERMAN, 2015), que consiste na seguinte
fórmula: A ∪ B = A + B − A ∩.
Observe que para determinarmos o número de elementos de A∪B, devemos somar o

número de elementos de A com o número de elementos de B e subtrair o número de
elementos de A∩B. A subtração se faz necessária para não incorrermos no risco de
contabilizar o mesmo elemento duas (ou mais) vezes. Essa fórmula é recomendada
quando o cálculo de |A| , |B| e |A∩B| é mais fácil do que o cálculo de |A∪B| .
Considere, por exemplo, que em uma pesquisa com profissionais do setor de Tecnologia
da Informação de uma grande empresa responsável pela elaboração e manutenção de
páginas (homepages) na Internet foi perguntado qual era o navegador de Internet
utilizado durante o trabalho. Essa pesquisa apresentou os seguintes resultados: 280
profissionais alegaram utilizar o navegador A, 300 disseram utilizar o navegador B e
120 profissionais afirmaram utilizar ambos os navegadores. Sabendo que todos os
funcionários do setor de Tecnologia da Informação dessa empresa responderam a essa
pesquisa, como você determinaria o número desses profissionais?
Para responder a esse problema, podemos recorrer ao método de contagem chamado

inclusão-exclusão. Vamos considerar como conjunto A o conjunto dos profissionais que
utilizam o navegador A, e como conjunto B o conjunto dos profissionais que utilizam o
navegador B. Temos que:
55
|A∪B|= |A| = |B| - | A∩B| = 280+300-120=460.
Ou seja, essa empresa tem 460 profissionais trabalhando no setor de Tecnologia da

Informação.
_____
Dica
Poderíamos resolver essa situação problema por meio de um diagrama de Venn. Ao

esboçarmos um diagrama, devemos sempre que possível iniciar pela intersecção dos
conjuntos, como pode ser observado na figura abaixo.
Problema dos navegadores de internet (parte 1). Fonte: elaborada pelo autor.
Em seguida, procuramos determinar o número de elementos pertencente a cada

conjunto, lembrando de subtrair aqueles elementos que já estão representados na
intersecção do diagrama, conforme representação da Figura abaixo.
Problema dos navegadores de internet (parte 2). Fonte: elaborada pelo autor.
Por fim, contabilizamos o número de elementos do conjunto de interesse.

56
É importante destacar que, ao se utilizar diagramas de Venn para resolver esse tipo de
problema, os números registrados no diagrama corresponderão ao número de elementos
(cardinalidade) de cada conjunto.
Nesse caso, temos que |A∪B|= 160+120+180=460.
______
Há situações em que a intersecção entre os conjuntos é vazia. Nesse caso, dizemos que
os conjuntos são disjuntos. Sejam A ={1, 2, 3} e B ={7,8,9} .
Como A ∩ B = ∅ , podemos afirmar que A e B são conjuntos disjuntos.
Há uma relação íntima entre as operações união (∪) e intersecção (∩) da álgebra de
conjuntos e os conectivos lógicos largamente utilizados em diversas linguagens de
programação OU (or) e E (and), respectivamente. Os conectivos lógicos OU e E são
simbolizados por V e Λ.
Assim, podemos estabelecer as seguintes analogias:
I. x ∈(A∪B)⇔(x ∈ A)∨(x ∈ B) .
II. x ∈(A∩B)⇔(x ∈ A)∧(x ∈ B) .
Em I, temos que o elemento x pertence à união de A e B se, e somente se, x pertence à

A ou x pertence à B (podendo, inclusive, pertencer a ambos o conjuntos).
Em II, temos que o elemento x pertence à intersecção de A e B se, e somente se, x

pertence à A e x pertence à B.
Nesta aula, nós conhecemos as principais operações de conjuntos (união, intersecção e

diferença) e aprendemos a utilizá-las na resolução de problemas. Também pudemos
perceber a importância da utilização dos diagramas de Venn para representação dessas
situações. Esses conhecimentos, além de serem componentes importantes no
desenvolvimento do raciocínio lógico, podem ser utilizados em inúmeras situações do
nosso dia a dia, como aquelas que exigem a contagem do número de objetos que goza
de uma ou outra propriedade específica.
Você se lembra da situação-problema apresentada no início da aula?
Vamos retomá-la?
Você está trabalhando em uma grande empresa do setor de Tecnologia da Informação

(TI) e a sua equipe está responsável pelo desenvolvimento de um aplicativo para
telefones móveis. Foi então que você se deparou com um novo problema: a equipe de
desenvolvimento de software percebeu que alguns comandos de busca desse aplicativo
57
direcionam a pesquisa do usuário para o Banco de Dados A, outros comandos

direcionam a pesquisa do usuário para o Banco de Dados B, e ainda outros que realizam
essa busca em ambos os Bancos de Dados (A e B).
Sabendo que há 20 comandos que direcionam a busca do usuário para o Banco de

Dados A, que no total há 60 comandos distintos e que há 12 comandos que direcionam a
busca para os Bancos de Dados A e B, como você determinaria quantos desses 60
comandos realizam a busca no Banco de Dados B? Lembre-se de que você deverá
apresentar a representação e resolução desse problema à equipe de desenvolvimento de
software para que juntos decidam sobre a viabilidade de unificação desses Bancos de
Dados.
Trata-se de um problema envolvendo operações de conjuntos. Uma vez que |A|=20,

|A∩B|=12 e |A∪B|=60, é preciso saber quanto é |B|.
Podemos recorrer ao método de contagem chamado inclusão-exclusão, que consiste em:
|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B| .
Assim, temos que:
60 = 20 + |B| −12
|B| = 60 −20 +12
|B| = 52
Portanto, dos 60 comandos existentes, há 52 comandos que realizam a busca no Banco

de Dados B (incluindo 12 comandos que também realizam a busca no Banco de Dados
A).
Para apresentar esse resultado à equipe de desenvolvimento de software, você pode

recorrer a um diagrama de Venn, conforme ilustrado na Figura a seguir.
Problema dos comandos de busca. Fonte: elaborada pelo autor.

58
O diagrama permite ainda aferir que 8 comandos efetuam a busca APENAS no Banco
de Dados A enquanto que 40 comandos efetuam a busca APENAS no Banco de Dados
B. É devido ao poder de síntese que a utilização de diagramas é recomendada ao se
trabalhar com problemas envolvendo conjuntos.
59
Aula 3 - Aplicações de teoria dos conjuntos
Nesta aula, você aprenderá a articular representações de conjuntos utilizando Diagramas

de Venn, números binários e tabelas-verdade.estudará diferença simétrica; produto
cartesiano; par ordenado; Diagrama de Venn e números binários.
• Encontrar o complemento, a diferença simétrica e o produto cartesiano de

conjuntos;
• Identificar operações binárias sobre conjuntos;
• Representar relações arbitrárias entre conjuntos, utilizando Diagramas de Venn,
números binários e tabelas-verdade.
Situação-problema
Olá, estudante, nesta aula estudaremos mais algumas operações e relações entre
conjuntos, dentre as quais citamos o complemento de um conjunto, a diferença
simétrica e o produto cartesiano.
Imagine, por exemplo, que em vez de determinar o conjunto de usuários que avaliou
positivamente um determinado aplicativo, você esteja interessado no conjunto de
usuários que não forneceu uma avaliação positiva. Ou então que você precise
determinar todas as maneiras pelas quais um elemento de um conjunto possa se
relacionar com um elemento de outro conjunto. Essas duas situações servem para
ilustrar os conceitos de complemento de conjunto e produto cartesiano que serão
estudados nesta aula.
Como funcionário de uma grande empresa do setor de Tecnologia da Informação (TI),

você se depara agora com uma situação inusitada: após trabalhar com o
desenvolvimento de um aplicativo para telefones móveis, você e sua equipe foram
contemplados com um curso de aprimoramento profissional na área de lógica
computacional. E um dos desafios do curso consiste em representar uma relação
arbitrária de três conjuntos, utilizando diferentes esquemas de representação, como as
representações diagramáticas (com diagramas) e tabular (com tabelas). Você já
compreende algumas relações entre conjuntos, mas sua missão agora é apresentar de
maneira original uma relação arbitrária entre três conjuntos A, B e C, ou seja, você
deverá elaborar um esquema que indique se um determinado elemento pertence ao
conjunto A, B ou C, considerando todas as intersecções possíveis. Após elaborar sua
solução, você deverá realizar uma apresentação para a sua equipe para demonstrar o
esquema de representação escolhido e explicar sua interpretação.
Conseguir pensar nas relações entre conjuntos de maneira genérica é um componente

importante daquilo que chamamos de raciocínio computacional. Além disso, saber
60
representar tais relações de uma forma inteligível, que se faça compreender por outras
pessoas de sua equipe de trabalho, é um exercício importante, pois muitas vezes não
conseguimos expressar nossas ideias no papel.
Você está preparado? Mãos à obra e bons estudos!
Aula 3.1 - Complementos de um conjunto
Em Teoria dos Conjuntos, as operações com as quais trabalhamos mais frequentemente

são as operações união (∪) , intersecção (∩) e diferença (−) de conjuntos. Uma nova
relação que aprenderemos nesta aula é a operação denominada complemento ou
complementar de um conjunto. O complemento de um conjunto é um conceito
estreitamente relacionado com a operação de diferença de conjuntos. O Dicionário
Houaiss da Língua Portuguesa (HOUAISS, 2009) define complemento como um
elemento que se integra a um todo para completá-lo ou aperfeiçoá-lo. Relacionando essa
definição com a Teoria de Conjuntos, podemos, de forma simplista, assumir que o
complemento de um conjunto significa preencher o que falta.
Quando falamos em complementos de conjuntos, é necessário ter em mente um

conjunto mais abrangente (U ) sobre o qual estabeleceremos a relação de
complementaridade.
Seja o conjunto A um subconjunto de U, ou seja, A⊆U. O complemento do conjunto A

contido no conjunto U, denotado por CUA , é a diferença entre os conjunto U e A ou
seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto U e não pertencem
ao conjunto A (PEREIRA; SODRÉ, 2006). Podemos representar simbolicamente essa
relação como CUA=U - A = {x | x ∈U e x∉A}, que significa que o complemento do
conjunto A em relação ao conjunto U equivale à diferença entre os conjuntos U e A que
compreende todos os elementos que pertencem a U, mas não pertencem a A.
______
Exemplificando
Seja A ={1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10} e B ={1,2,3,5,8,9} . O complemento de B em relação a

A consiste no conjunto constituído por todos os elementos pertencentes a A que não
pertencem a B. Temos, portanto: CAB ={4,6,7,10} .
Em outras palavras, podemos dizer que o complemento de B em relação a A consiste no

conjunto formado por elementos que pertencem exclusivamente a A, quando
comparados com os elementos de B.
______
Segundo Ferreto (2019), há dois fatos que merecem atenção no estudo do complemento
de um conjunto. O primeiro fato ao qual devemos ficar atentos é que para que um
conjunto complementar a outro exista, há uma condição que deve ser respeitada: para
que haja o cálculo do conjunto complementar de B em relação a A, B deve ser
61
subconjunto de A. Então, ao nos depararmos com conjuntos disjuntos, ou com

conjuntos que possuem apenas alguns elementos em comum, não é possível obter o
conjunto complementar de um deles em relação ao outro. Considere, a título de
ilustração, os conjuntos A={2,7,9,13} e B ={3,5,10,12} (Figura abaixo).
Conjuntos disjuntos. Fonte: elaborada pelo autor.
Esses dois conjuntos são conjuntos disjuntos, pois a intersecção entre eles é um
conjunto vazio. Como B não é subconjunto de A, então não é possível determinar o
complemento de B em relação a A. De modo análogo, também concluímos que não é
possível determinar o complemento de A em relação a B.
Outro fato que também merece atenção diz respeito à maneira como o conjunto
complementar é representado simbolicamente. É importante notar que CAB ≠ CBA .
Para determinarmos CAB fazemos A-B , enquanto que para determinarmos CBA
fazemos B - A (lembrando que nem sempre é possível determinar o complemento de
um determinado conjunto).
______
Reflita
Em uma atividade sobre Álgebra dos Conjuntos foram apresentados dois conjuntos
definidos como M={10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80} e N ={30, 50, 70}. Em seguida, foi
solicitada a determinação dos complementos CMN e CNM .
O complemento de N em relação a M ficou determinado como CMN ={10,20,

40,60,80}, porém não foi possível determinar o complemento de M em relação a N.
Reflita: por que não foi possível determinar CNM ?
62
Desse modo, quando não tivermos dúvida em relação ao conjunto universo U com o
qual estamos trabalhando, representaremos o complementar de A em relação a U
simplesmente utilizando a notação AC. Por exemplo, considere U
={12,13,14,15,16,17,18} e A {12,13,14,15}. Neste caso, podemos representar o
complementar de A em relação a U simplesmente como AC ={16,17,18} .
Vimos, portanto, que o complemento do conjunto A em relação ao conjunto U equivale

à diferença entre os conjuntos U e A, dado que A⊆U .
Cabe, nesse momento, chamar a atenção para outro tipo de diferença de conjuntos,
denominado diferença simétrica. Segundo Scheinerman (2015), diferença simétrica de
A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B,
ou que pertencem a B, mas não pertencem a A. Essa diferença simétrica pode ser
representada como A∆B = (A − B) ∪ (B − A). Seja A ={1,2,3, 4,5, 6, 7}e B={5,6,7,8,9}
. A diferença simétrica A∆B ficaria definida como:
A∆B =(A − B) ∪ (B − A) = (1,2,3, 4) ∪ (8,9) = (1,2,3, 4,8,9) .
______
Assimile
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B também pode ser definida como o

conjunto de todos os elementos que pertencem à união dos conjuntos A e B e não
pertencem à intersecção dos conjuntos A e B (CABRAL, 2017). Vamos mostrar que as
duas definições de diferença simétrica são equivalentes, considerando o exemplo
anterior, com A ={1,2,3, 4,5, 6, 7} e B ={5,6,7,8,9} .
Queremos mostrar que A∆B =(A − B)∪(B − A)=(A ∪ B)−(A ∩ B)
Tem-se que
(A − B) ∪ (B − A) = (1,2,3, 4) ∪ (8,9)=(1,2,3,4,8,9) e que
(A ∪ B)−(A ∩ B)=(1,2,3, 4,5,6,7,8,9)−(5,6,7)=(1,2,3, 4,8,9) .
Logo,
A∆B =(A − B)∪(B − A)=(A ∪ B)−(A ∩ B) .

63
Essa propriedade pode ser mais bem visualizada por meio do Diagrama de Venn
apresentado na Figura a seguir:
Diferença simétrica de conjuntos. Fonte: elaborada pelo autor.
Outra aplicação que estudaremos no âmbito da Teoria de Conjuntos é a operação

denominada produto cartesiano. Mas, para entender o que é o produto cartesiano, vamos
primeiro definir o que é uma operação binária.
Um conjunto, por si só, não é objeto de muito interesse até que se faça algo com seus
elementos (GERSTING, 1995). Podemos, por exemplo, realizar diversas operações
aritméticas sobre os elementos de um determinado conjunto numérico. Tomemos, a
título de ilustração, a operação aritmética subtração no conjunto dos números inteiros ℤ.
Dizemos que a subtração é uma operação binária em ℤ. Ela é chamada de operação

binária pois atua sobre dois números. Considerando a operação aritmética de subtração
em ℤ temos que para quaisquer dois inteiros x e y, a operação x-y resultará em uma
resposta única, e essa resposta também será um número inteiro. Dizemos, portanto, que
a operação de subtração foi realizada sobre um par ordenado de números. Denotamos
um par ordenado por (xy), em que x representa o primeiro componente do par ordenado
e y, o segundo. A ordem é importante, pois muitas operações não são comutativas. Por
exemplo, 8-3 não gera o mesmo resultado que 3-8. Atente para o fato de que os
conjuntos {3,8} e {8,3} são iguais, mas os pares ordenados (3,8) e (8,3), não. Essa
diferença fica muito bem ilustrada quando representamos os pares ordenados em um
plano cartesiano, conforme podemos observar na Figura a seguir:
Representação gráfica de pares ordenados. Fonte: elaborada pelo autor.

64
A representação de pares ordenados por meio de pontos no plano cartesiano facilita a

compreensão a respeito da importância de se estabelecer uma ordem entre os elementos
do par ordenado. O ponto (3,8) é diferente do ponto (8,3).
______
Assimile
Tomando como referência o conjunto ℤ, considere que (2x − y, x + y) = (7,−1). Vamos

determinar os valores de x e y . Como estamos trabalhando com igualdade entre pares
ordenados, temos que o primeiro elemento do primeiro par ordenado é igual ao primeiro
elemento do segundo par ordenado, ou seja, 2x−y=7. Analogamente, temos que o
segundo elemento do primeiro par ordenado é igual ao segundo elemento do segundo
par ordenado, ou seja, x + y = −1 . Assim, temos um sistema de equações lineares:
Resolvendo esse sistema, temos que x = 2 e y =−3 .
Aula 3.2 - Produto cartesiano
Agora que já aprendemos o que é uma operação binária entre conjuntos, voltemos à
definição de produto de cartesiano. Sejam os conjuntos A e B. O produto cartesiano de
A e B, denotado por A ｘ B , é o conjunto de todos os pares ordenados (listas de dois
elementos) formados, tomando-se um elemento de A juntamente com um elemento de B
de todas as maneiras possíveis.
Ou seja, A×B ={(a,b) | a ∈ A, b ∈ B} (SCHEINERMAN, 2015).
______
Exemplificando
Considere os conjuntos A ={4,5,6} e B ={6,7,8}.
Vamos definir os produtos cartesianos AｘB e B ｘA.
A×B ={(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,6),(6,7),(6,8)}
B×A ={(6, 4),(6,5),(6,6),(7, 4),(7,5),(7,6),(8, 4),(8,5),(8,6)}
Note que A×B ≠ B×A . Isso acontece porque a operação produto cartesiano não é uma
operação comutativa.
65
Cabe aqui fazer uma observação em relação à cardinalidade do conjunto obtido através
da operação produto cartesiano. No exemplo apresentado temos que |A| = 3 , |B| = 3 e
conjunto obtido pela operação produto cartesiano AｘB tem cardinalidade igual a 9, ou
seja, A×B = 9. Como o produto cartesiano é obtido tomando-se um elemento de A
juntamente com um elemento de B de todas as maneiras possíveis, podemos aferir que,
sendo A e B conjuntos finitos, |A×B| = |A| × |B|.
Os Diagramas de Venn podem ser adaptados para representar o produto cartesiano entre
dois conjuntos. Considere, por exemplo, os conjuntos A ={2, 3} e B ={4,5} . O produto
cartesiano AｘB pode ser representado pelos diagramas da figura abaixo:
Produto cartesiano em Diagrama de Venn. Fonte: elaborada pelo autor.
Temos, portanto, o produto cartesiano A×B ={(2, 4),(2,5),(3, 4),(3, 5)} como o conjunto
formado por todos os pares possíveis formados com os elementos de A e de B.
Já vimos, na aula 2 desta Unidade, que os Diagramas de Venn também podem ser
usados para resolver problemas sobre cardinalidade de conjuntos, isto é, problemas que
envolvem a contagem do número de elementos de conjuntos finitos. Mas, segundo
Novaes (2014), o Diagrama de Venn não é apenas um esquema para ajudar o raciocínio.
O Diagrama de Venn foi concebido como uma representação diagramática capaz de
atender a todas as possíveis relações lógicas entre as classes em estudo, sendo úteis,
inclusive, para demonstrar relações arbitrárias entre conjuntos.
Vamos aqui utilizar um Diagrama de Venn para demonstrar uma relação arbitrária entre
dois conjuntos A e B (Figura a seguir). No caso de dois conjuntos A e B, os
compartimentos do diagrama representam as partes disjuntas do universo: utilizaremos
uma numeração binária, composta apenas pelos algarismos 0 e 1, em que o primeiro
algarismo é 0 ou 1, conforme um objeto desse compartimento pertença ou não ao
conjunto A, enquanto o segundo algarismo é 0 ou 1, conforme um objeto desse
compartimento pertença ou não ao conjunto B.
66
Representação diagramática de uma relação arbitrária entre dois conjuntos. Fonte: adaptada de
Novaes (2014).
A numeração binária mostra que 22 = 4 compartimentos esgotam todas as

possibilidades lógicas para um objeto do universo. O número 10 (lê-se: um, zero)
representa objetos que pertençam exclusivamente ao conjunto A. O número 01 (zero,
um) representa objetos que pertençam exclusivamente ao conjunto B. Já o número 11
(um, um) representa objetos que pertençam simultaneamente aos conjuntos A e B
(intersecção de A e B). Por fim, o número 00 (zero, zero) representa objetos que não
pertencem a nenhum dos conjuntos A e B.
Uma maneira equivalente de representar essa relação arbitrária é a utilização de tabelas-

verdade, que serão apresentadas posteriormente. Apresentamos na Figura 2.14 a tabela-
verdade para a relação arbitrária entre dois conjuntos:
Tabela-verdade de uma relação arbitrária entre dois conjuntos. Fonte: elaborada pelo autor.
Na primeira coluna da tabela indicamos os 22 = 4 compartimentos que compõem o

Diagrama de Venn para dois conjuntos, representados por números binários. Na
segunda coluna anotamos V (verdadeiro) ou F (falso) conforme o objeto representado
pelo seu respectivo número binário pertença, ou não, ao conjunto A. Na terceira coluna
anotamos V (verdadeiro) ou F (falso) conforme o objeto representado pelo seu
respectivo número binário pertença, ou não, ao conjunto B. Finalmente, na última
coluna, anotamos V (verdadeiro) ou F (falso) conforme o objeto representado pelo seu
respectivo número binário pertença, ou não, ao conjunto A ∩ B .
Nesta aula, pudemos aprender um pouco mais sobre as operações entre conjuntos e suas
aplicações. Além de nos debruçarmos sobre as operações de complementar de um
conjunto, diferença simétrica e produto cartesiano, também pudemos aplicar a utilização
de Diagramas de Venn, tanto na representação de tais operações, quanto na
representação de relações arbitrárias entre conjuntos. Compreender a natureza dessas
operações é componente importante no desenvolvimento do raciocínio computacional.
67
Você se lembra do desafio apresentado no início desta aula?
Você está fazendo um curso de aprimoramento profissional sobre lógica computacional

e um dos desafios do curso consiste em representar uma relação arbitrária de três
conjuntos, A, B e C, utilizando diferentes esquemas de representação, ou seja, você
deverá elaborar um esquema que indique se um determinado elemento pertence ao
conjunto A, B ou C, considerando todas as intersecções possíveis e, após elaborar sua
solução, você deverá realizar uma apresentação para a sua equipe para demonstrar o
esquema de representação escolhido e explicar sua interpretação.
Vimos que o Diagrama de Venn, além ser um esquema para ajudar o raciocínio,
também consiste em uma representação diagramática capaz de atender a todas as
possíveis relações lógicas entre as classes em estudo, sendo úteis, inclusive, para
demonstrar relações arbitrárias entre conjuntos (NOVAES, 2014).
Portanto, vamos utilizar um Diagrama de Venn para demonstrar uma relação arbitrária
entre três conjuntos A, B e C. Utilizaremos uma numeração binária, composta apenas
pelos algarismos 0 e 1, em que o primeiro algarismo é 0 ou 1, conforme um objeto desse
compartimento pertença ou não ao conjunto A, o segundo algarismo é 0 ou 1, conforme
um objeto desse compartimento pertença ou não ao conjunto B e o terceiro algarismo é
0 ou 1, conforme um objeto desse compartimento pertença ou não ao conjunto C
(Figura abaixo).
Representação diagramática de uma relação arbitrária entre três conjuntos. Fonte: elaborada
pelo autor.
A numeração binária mostra que 23 = 8 compartimentos esgotam todas as

possibilidades lógicas para um objeto do universo. O número 100 (lê-se: um, zero, zero)
representa objetos que pertençam exclusivamente ao conjunto A, o número 010 (zero,
um, zero) representa objetos que pertençam exclusivamente ao conjunto B e o número
001 (zero, zero, um) representa objetos que pertençam exclusivamente ao conjunto C. Já
o número 000 (zero, zero, zero) representa objetos que não pertencem a nenhum dos
conjuntos A, B e C.
Temos ainda as intersecções:
110 = A ∩ B ∩CC
68
101= A ∩ BC ∩C
001= AC ∩ B ∩C
111= A ∩ B ∩C
Vejamos na figura a seguir como ficaria a tabela-verdade para representação dessa

relação:
Tabela-verdade de uma relação arbitrária entre dois conjuntos. Fonte: elaborada pelo autor.
• Na primeira coluna da tabela indicamos os 23 = 8 compartimentos que

compõem o Diagrama de Venn para três conjuntos, representados por números
binários.
• Na segunda coluna anotamos V (verdadeiro) ou F (falso) conforme o objeto
representado pelo seu respectivo número binário pertença, ou não, ao conjunto
A.
• Na terceira coluna anotamos V (verdadeiro) ou F (falso) conforme o objeto
B.
• Na quarta coluna anotamos V (verdadeiro) ou F (falso) conforme o objeto
C.
• Na quinta coluna anotamos V (verdadeiro) ou F (falso) conforme o objeto
representado pelo seu respectivo número binário pertença, ou não, à intersecção
dos conjuntos B e C.
• Por fim, na última coluna, anotamos V (verdadeiro) ou F (falso) conforme o
objeto representado pelo seu respectivo número binário pertença, ou não, ao
conjunto A∪(B ∩C) . As proposições apresentadas na primeira linha da tabela
foram escolhidas a título de ilustração.
Assim, conseguimos representar uma relação arbitrária entre três conjuntos A, B e C

utilizando representações com diagramas e tabelas.
69

estudadas;
Exercício 1
Sejam agora A e B dois conjuntos quaisquer. Chama-se produto cartesiano

de A e B, e designa-se pelo símbolo AｘB , o conjunto de todos os pares
ordenados (a,b) tais que a ∈ A e b ∈ B . Simbolicamente:
A×B ={(x, y): x ∈ A ∧ y ∈ B} .
Se, em particular, é A = B , o produto cartesiano AｘB (ou AｘA ) chama-se

quadrado cartesiano de A e designa-se usualmente por A2 (FERREIRA,
2001).
Sendo A ={1,2,3} , o quadrado cartesiano de A, representado por A2 ,

corresponde ao conjunto:
a) {2, 4,6} .
b) {1, 4,9} .
c) {(1,1),(2,2),(3,3)} .
d) {(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)} .
d) {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} .
70
Exercício 2
Uma pesquisa realizada com jovens da faixa etária de 18 a 25 anos questionou a

preferência desses jovens em relação à utilização de redes sociais. A pergunta
realizada a esses jovens foi: Quanto às redes sociais A (rede social de
compartilhamento de fotos), B (rede social de compartilhamento de vídeos) e C
(rede social profissional), qual(is) delas você utiliza? Os resultados dessa pesquisa
podem ser observados no Quadro a seguir:
Resultado de pesquisa. Fonte: elaborado pelo autor.

Considerando os resultados apresentados no quadro, pode-se afirmar que o
número de jovens que responderam a essa pesquisa é igual a:
a) 300.
b) 510.
c) 610.
d) 670.
e) 970.
Exercício 3
O setor de Tecnologia de Informação (TI) de uma empresa do ramo de seguros

dispõe de computadores de mesa (desktops) e computadores portáteis (laptops) de
dois fabricantes (A e B). Há 35 desktops, sendo 7 do fabricante A e 15 laptops do
fabricante B. Sabe-se, ainda, que 18 computadores (entre desktops e laptops) são do
fabricante A.
Considerando os dados apresentados, o número de computadores fabricados por A

é igual a:
a) 18.
b) 35.
c) 43.
d) 46.
e) 53.
71
Exercício 4
A representação simbólica do complementar do conjunto A em relação ao

conjunto U é CU A =U− A = {x | x ∈ U e x ∉ A} , que significa o complemento do
conjunto A em relação ao conjunto U. Em relação ao conceito de complemento de
um conjunto, complete as lacunas da sentença a seguir:
Quando os matemáticos falam de complementos de conjuntos, eles em geral têm

em mente um conjunto mais _______. Por exemplo: no decorrer de uma prova ou
discussão, se A é um conjunto que contém apenas números inteiros,
AC corresponde ao conjunto de todos os inteiros que ___________ em A. Se U é o

conjunto de todos os objetos em consideração e A⊆U, então o_______ de A é o
conjunto de todos os objetos de U que não estão em A (SCHEINERMAN, 2015).
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas:
a) restrito; estão; complemento.
b) abrangente; estão; simétrico.
c) restrito; não estão; complemento.
d) abrangente; não estão; complemento.
e) abrangente; não estão; simétrico.

72
Exercício 5
Assim como os números poder ser somados ou multiplicados e os valores verdade

podem ser combinados com ⋀ e ⋁, há várias operações que podemos fazer sobre
conjuntos.
Considerando as operações sobre conjuntos estudadas nesta aula, julgue as

afirmativas a seguir em (V) Verdadeiras ou (F) Falsas.
( ) A diferença simétrica A∆B é o conjunto de todos os elementos que estão em A,

ou em B, mas não em ambos.
( ) O produto cartesiano AｘB é o conjunto de todos os pares ordenados da

forma (a,b) em que a∈A e b∈B .
( ) O produto cartesiano AｘB é uma operação comutativa. Assinale a alternativa

que apresenta a sequência correta:
a) V – V – V.
b) V – V – F.
c) V – F – V.
d) F – V – V.
e) V – F – F.
73
UNIDADE 3 - Fundamentos da Lógica

4 unidades / 16 aulas
Objetivos
• Objetivo 1
Conhecer e entender os princípios matemáticos e de lógica, seus

fundamentos e aplicações de álgebra.
• Objetivo 2
Conhecer e entender as teorias de álgebras de conjuntos, suas

operações, diferenças e aplicações com cases.
• Objetivo 3
Conhecer as práticas e técnicas da lógica Proposicional, seus conectivos,

métodos e inferências lógicas.
• Objetivo 4
Conhecer e aplicar os conceitos e fundamentos da tabela verdade,

utilizando cases e aplicações computacionais.
74
Conteúdo
• UNIDADE 1
Princípios fundamentais da matemática e da lógica

o Aula 1: Fundamentos de lógica
Vale 2.5 pontos
o Aula 2: Evolução da lógica
Vale 2.5 pontos
o Aula 3: Princípios matemáticos
Vale 2.5 pontos
Vale 2.5 pontos
• UNIDADE 2
Álgebra de conjuntos
o Aula 1: Teoria dos conjuntos
Vale 2.5 pontos
o Aula 2: Álgebra de conjuntos
Vale 2.5 pontos
o Aula 3: Aplicações de teoria dos conjuntos
Vale 2.5 pontos
Vale 2.5 pontos
• UNIDADE 3
Fundamentos da Lógica
o Aula 1: Introdução à lógica proposicional
Vale 2.5 pontos
o Aula 2: Conectivos e classificação textual
Vale 2.5 pontos
o Aula 3: Métodos dedutivos e inferência lógica
Vale 2.5 pontos
Vale 2.5 pontos
• UNIDADE 4
Tabela Verdade
o Aula 1: Construção da Tabela Verdade
Vale 2.5 pontos
75
o Aula 2: Resultados na Tabela Verdade

Vale 2.5 pontos
o Aula 3: Aplicações Tabela Verdade
Vale 2.5 pontos
Vale 2.5 pontos
Olá, estudante! Boas-vindas!
Vamos dar início à disciplina de Lógica Computacional, que trará conteúdos

fundamentais para a construção de algoritmos e a compreensão de linguagens
de programação, premissas importantes para disciplinas ligadas à computação
e ao desenvolvimento de sistemas.
• Na primeira unidade você terá a oportunidade de conhecer e explorar os

princípios da lógica, estudar sua evolução e tomar contato com os
princípios matemáticos que a regem.
• Na segunda unidade, você aprenderá a teoria de conjuntos, suas
operações, os conceitos em diversos casos, além de conhecer aplicações.
• Na terceira unidade do material, você terá contato com práticas e
técnicas de lógica proposicional, incluindo o uso de conectivos, métodos
e inferências lógicas.
• Finalmente, na quarta e última unidade, você conhecerá a tabela verdade
e aplicará seus conceitos em problemas relacionados à lógica
computacional; vai aprender como construir a tabela verdade, analisar
seus resultados e suas aplicações.
A lógica computacional contém assuntos multidisciplinares e contribuirá para

formação do seu senso crítico, pensamento lógico e racional. Espero que você
se sinta motivado a dedicar seu tempo e seus esforços a um estudo que lhe
proporcionará chances reais de assimilar os conceitos e as práticas que você
utilizará na sua vida profissional.
Vamos lá!
76
Aula 1 - Introdução à lógica proposicional
Olá, estudante!
Boas-vindas a mais uma unidade do seu livro de lógica computacional. Nesta unidade
daremos um passo importante para a compreensão da lógica no mundo computacional,
principalmente no que se refere à lógica usada na construção de algoritmos. Esse
conhecimento será construído através do estudo e entendimento da lógica proposicional
e seus conectivos, que permitem criar regras e valorar seus resultados como verdadeiro
ou falso.
Logo nos primeiros anos de vida, aprendemos a falar, mesmo que criando pequenas
frases, que muitas vezes somente os pais entendem. Com o desenvolvimento da
linguagem, nossa comunicação vai ficando mais fluida e complexa, pois vamos
aprendendo “regras” que permitem fazer essa construção. Essas regras vão além do
vocabulário e sintaxe de uma língua como, por exemplo, a língua portuguesa, pois elas
envolvem a construção do raciocínio lógico. Utilizando esse raciocínio tomamos
decisões ao longo de nossa vida e, quanto mais tivermos ciência dessas regras lógicas,
melhor serão nossas análises e, consequentemente, nossas decisões.
Você está participando de um processo seletivo para desenvolvedor trainee em uma

grande empresa de tecnologia. Você já passou a primeira fase, composta por entrevistas
com o gestor e o setor de recursos humanos, agora chegou a hora de mostrar que você
manda bem na lógica e que tem capacidade para se tornar um grande desenvolvedor.
Essa etapa do processo consiste em três testes, no primeiro você deverá criar
proposições simples e compostas para resolver um problema com as formas
geométricas. No segundo desafio, você deverá criar estruturas condicionais usando os
operadores lógicos para resolver um problema com fórmulas. No último desafio, você
deverá usar os recursos da lógica para demonstrar a veracidade de um argumento.
Para concluir com êxito essa fase do processo seletivo e garantir sua vaga na empresa,
você aprenderá na primeira aula da unidade sobre a lógica proposicional e os conectores
de conjunção, disjunção e negação. Na segunda aula iremos explorar novas proposições
compostas aprendendo outros conectores. Na terceira aula, veremos como as regras
lógicas nos permitem criar novas conclusões por meio de métodos dedutivos e
inferenciais.
Vamos juntos dar esse importante passo rumo à formação de programadores!
Bons estudos!
77

Nesta aula, iremos aprender sobre a lógica proposicional, o que são as proposições
simples e como criar as proposições compostas, utilizando os conectivos lógicos de
conjunção e disjunção.

• Recordar a classificação de uma sentença como proposição ou não;

• Identificar proposições usadas para validar argumentos;
• Interpretar o aspecto sintático e também como valorar a proposição.
Situação-problema
Olá, estudante, iniciamos agora nossa introdução à lógica proposicional. Esse
conhecimento o capacitará a construir condições lógicas embasadas em regras e a
valorar o resultado dessa condição. Sem dúvida, esse conhecimento é imprescindível na
construção de algoritmos computacionais.
Como candidato a uma vaga de desenvolvedor trainee em uma grande empresa de

tecnologia, após passar pelas entrevistas com seu futuro gestor e com o setor de recursos
humanos, chegou a hora de vencer mais uma etapa: o teste de lógica. A empresa faz
questão desse teste, pois sabe que um bom desenvolvedor deve mandar bem na lógica.
Nesse primeiro teste, a empresa lhe forneceu uma folha com três figuras geométricas,
conforme ilustra a Figura a seguir.
Figuras geométricas. Fonte: elaborado pela autora.
Usando as letras que representam os lados das figuras geométricas na Figura acima, sua
missão é construir proposições, simples e compostas, que representem as regras
necessárias para a construção das três figuras. Nessa mesma folha, além das figuras
também vieram algumas dicas sobre a construção dos elementos geométricos
apresentados:
• Para que um triângulo possa ser construído é necessário que a soma de dois lados seja
sempre maior que o outro lado.
• Um quadrado é composto por quatro lados com medidas iguais e quatro ângulos de
noventa graus.
• Um retângulo é composto por quatro lados com medidas paralelas iguais e quatro
ângulos de noventa graus.
78
Agora é com você! Como você poderá usar as dicas e transformá-las em proposições
simples e/ou compostas? Quantas proposições serão necessárias para cada figura
geométrica? Quais operadores lógicos você terá que usar para construir as regras?
Nesta aula, você aprenderá conceitos importantes que vão auxiliar na solução deste
problema.
Vamos em frente garantir essa vaga de emprego!
Aula 1.1 - Proposição
Segundo Machado e Cunha (2008) o objetivo fundamental de um curso de lógica é

desenvolver a competência na argumentação, compreender as razões próprias e dos
outros nas tomadas de posição diante dos acontecimentos e nas decisões. Mas afinal, o
que esse desenvolvimento, que parece ser linguístico, tem a ver com nosso universo
computacional? A verdade é que tem tudo a ver. Construiremos algoritmos capazes de
tomar decisões, e para isso precisaremos implementar regras baseadas na Lógica
Formal.
Isso mesmo, aquela Lógica Formal desenvolvida por Aristóteles entre 300 e 400 anos
antes de Cristo (MACHADO; CUNHA, 2008). Para relembrarmos rapidamente,
Aristóteles desenvolveu um método no qual ele separa a forma (podemos entender
como regras) do conteúdo nas argumentações. Ou seja, no método Formal, “não são
considerados os conteúdos das sentenças componentes de um argumento, mas apenas a
forma de articulá-las ou o modo como umas são deduzidas das outras”. (MACHADO;
CUNHA, 2008, p. 15).
Na lógica computacional, vamos utilizar as mesmas regras da Lógica Formal, porém

iremos valorar os conteúdos, como verdadeiro ou falso, a fim de extrair nossas
conclusões.
Em nosso cotidiano, usamos a linguagem natural para nos expressar por meio de frases,
que em alguns casos podem ser argumentativas sendo assim compostas por premissas e
conclusões. Vejamos um exemplo extraído de Machado e Cunha (2008, p. 16). Observe
o argumento de uma professora sobre o desempenho de um certo aluno: “É lógico que
Pedro será aprovado nos exames, pois ele é inteligente e estuda muito e todos os alunos
inteligentes e estudiosos são aprovados”. Esse argumento foi construído embasado por
premissas (razões) e que levam a uma única conclusão, conforme ilustra o quadro a
seguir.
Premissas e conclusões. Fonte: adaptado de Machado e Cunha (2008, p. 16).

79
Veja no quadro acima que separamos a frase em premissas e conclusão. Nesse caso, três
premissas permitiram chegar a uma conclusão coerente. Extrair essa conclusão do
argumento só foi possível devido às regras da lógica proposicional, que por meio de
premissas e conectores extraem-se resultados lógicos. Fazer essa separação (premissa /
conclusão) é muito importante, pois nem toda frase é um argumento. Além disso,
imagina que queiramos criar um algoritmo para classificar se um aluno foi aprovado ou
reprovado, essas premissas precisam ser programadas em forma de regras, as quais
aprenderemos em breve.
Para ser um argumento é preciso existir uma conclusão, logo, nem toda frase é um
argumento. Por exemplo, a frase: “Segure firme!”, não possui premissas e conclusões,
pois trata-se de uma sentença imperativa (ordem) ou então a frase: “Você pode abrir a
porta?” também não é um argumento, pois estamos diante de uma sentença
interrogativa. As sentenças exclamativas, como por exemplo, “Que lindo!”, “Parabéns!”
também não são consideradas argumentos. No estudo da lógica, além de distinguir se
uma frase é ou não um argumento, também é importante distinguirmos se uma sentença
pode ou não ser classificada como verdadeira ou falsa (não ambas ao mesmo tempo).
Por exemplo, considere as frases:
1. O Brasil é um país da América Latina.

2. Minas Gerais é um estado do Nordeste.
3. São Paulo é a capital do Paraná.
4. Três mais um é igual a quatro.
5. Que horas são?
As quatro primeiras frases podem ser classificadas (valoradas) em verdadeira (V) ou

falso (F). Veja:
1. Verdadeira.
2. Falso.
3. Falso.
4. Verdadeira.
Mas a quinta frase não pode ser valorada em V ou F, pois a resposta é um certo horário.
5. ?
Essa distinção entre os tipos de sentenças é crucial para o estudo da lógica, pois uma
frase que pode ser classificada como verdadeira ou falsa (não ambas ao mesmo tempo) é
chamada proposição (MACHADO; CUNHA, 2008; SOUZA, 2016; GERSTING,
2017).
Assimile
Proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou
falsa, jamais ambas ao mesmo tempo. Ou seja, não pode haver dúvida quanto à
classificação da sentença. Também podemos dizer que trata-se de uma classificação
binária, pois só existem dois resultados possíveis: V ou F, ou ainda 1 ou 0.
80
Nem sempre classificar se uma sentença é ou não uma proposição é uma tarefa trivial.
Para que seja uma proposição, a sentença declarativa não pode deixar dúvidas quanto ao
resultado. Por exemplo, a sentença “Está chovendo agora” não pode ser classificada
como V ou F, pois deixa dúvida (por exemplo, pode estar chovendo em um ponto da
cidade e em outro não). Para que essa frase se torne uma proposição ela precisa de um
contexto, por exemplo, “Está chovendo agora na minha rua”, ou seja, o locutor da frase
especificou o local, então agora é possível valorar se o que ele disse é verdadeiro ou
falso.
______
Reflita
As proposições (premissas) são usadas para sustentar uma conclusão em um argumento.

Sabendo que essa conclusão também é uma proposição, podemos afirmar que uma
conclusão verdadeira é sempre composta por premissas que são suficientes para validá-
la?
______
Sabendo que uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada como
V ou F, podemos encontrá-la nas mais diversas formas. Observe o Quadro a seguir.
Nele temos diagramas de Euler representando conjuntos e sentenças que podem ser
classificadas como V ou F, baseado no diagrama, portanto, são proposições.
Proposições e conjuntos. Fonte: adaptado de Souza (2016, p. 35).
Segundo Gersting (2017), podemos utilizar letras maiúsculas do alfabeto para

representar as proposições, portanto a partir de agora adotaremos essa notação para
representar as proposições. Por exemplo:
A: Quinze é menor que vinte.
B: Todos os italianos são europeus.
Segundo Bispo e Castanheira (2011, p. 4), toda proposição deve seguir três princípios
básicos:
81
• Princípio da Identidade: “Toda proposição é idêntica a si mesma”. Ou seja,

sendo P uma proposição: P é P.
• Princípio da Não Contradição: “Uma proposição não pode ser verdadeira e
falsa ao mesmo tempo”. Sendo P uma proposição tem-se: não (P e não P).
• Princípio do Terceiro excluído: “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa,
não existindo um terceiro valor que ela possa assumir”. Sendo P uma proposição
tem-se: P ou não P.
Aula 1.2 - Classificação das proposições
As proposições podem ser classificadas como simples ou compostas. A proposição será

simples quando existir uma única afirmação na frase. Por outro lado, uma proposição é
composta quando for constituída de, pelo menos, duas proposições simples “ligadas”
por um conectivo lógico, também chamado de conector lógico, conectivo proposicional
ou operação lógica. (BISPO; CASTANHEIRA, 2011).
Exemplificando
Observe as proposições A, B, C a seguir:
A: 11 é um número ímpar. B: 11 é um número primo.
C: 11 é um número ímpar e primo.
As proposições A e B são compostas por uma única verdade. A: verdadeira
B: verdadeira
Já a proposição C é composta por duas proposições simples (nesse caso, pelas

proposições A e B) que são ligadas pela palavra “e”. A valoração da proposição C
depende da valoração independente de A e de B, aplicada ao operador lógico que está
unindo as duas proposições simples. Veremos em breve como fazer essa valoração.
Antes de avançarmos com a valoração das proposições compostas, vejamos mais dois
exemplos, extraídos de Bispo e Castanheira (2011, p. 4).
Exemplo a:
Considere a frase: “Os suíços fabricam os melhores relógios e os franceses, o melhor

vinho”. Se extrairmos as proposições simples das frases teremos:
P: Os suíços fabricam os melhores relógios. S: Os franceses fabricam o melhor vinho.
Podemos reescrever a frase, utilizando uma notação simbólica, então o resultado será: P
e S.
Veja que temos a palavra “e” ligando as duas proposições simples.

82
Exemplo b:
Considere a frase: “Se eu prestar atenção na aula, então tirarei boa nota na prova”.
Novamente, se extrairmos as proposições simples das frases teremos:
A: Eu presto atenção na aula.
R: Eu tiro boa nota na prova.
Veja que ao extrair as proposições simples, podemos fazer adequações nos verbos, o
mesmo acontece quando usamos proposições simples para fazer as compostas.
Reescrevendo a frase utilizando a notação simbólica teremos: Se A então R. Nesse
caso, temos duas palavras fazendo a ligação entre as proposições: Se... então.
Essas “palavras” usadas para unir as proposições simples são os conectivos (ou
conectores) lógicos e influenciam a valoração de uma proposição composta. Os
conectivos disponíveis para fazer a conexão são: (i) e, (ii) ou, (iii) não, (iv) se... então,
(v) se, e somente se. (BISPO; CASTANHEIRA, 2011).
Conectivo lógico de conjunção - e
Vamos começar estudando o conectivo lógico “e”, que também pode ser visto na
literatura escrito em inglês AND ou ainda por meio do seu símbolo ⋀ . Essa operação
lógica é chamada conjunção e sua valoração será verdadeira somente quando ambas as
proposições simples forem verdadeiras. Resumindo, se A e B forem proposições
simples verdadeiras, a proposição composta A ⋀ B (lê-se “A e B”) será verdadeira. Para
compreendermos melhor, considere as proposições a seguir: A: Quatro é um número
par.
B: Três é um número ímpar. C: Cinco é maior que dez.
P: Quatro é um número par e três é um número ímpar. R: Quatro é um número par e

cinco é maior que dez.
Vamos começar valorando as proposições simples (A, B, C): A: verdadeira.
B: verdadeira.
C: falsa.
Para facilitar nossa compreensão, vamos reescrever as proposições P, R utilizando

notação simbólica, portanto temos:
P: A ⋀B
R: A ⋀C
83
Na proposição P temos que as proposições simples A, B são verdadeiras, portanto P = V

e V, o que resulta em verdadeiro, ou seja, a proposição P pode ser valorada como
verdadeira. Já na proposição R, temos que A é verdadeiro, mas C é falso, portanto R =
V e F, o que resulta em falso, ou seja, a proposição R deve ser valorada como falsa, já
que para essa operação lógica ambas proposições precisam ser verdadeiras para o
resultado também ser verdadeiro.
Além da palavra “e” outras podem ser usadas para representar a conjunção entre duas
proposições: mas, todavia, contudo, no entanto, visto que, enquanto, além disso,
embora. (BISPO; CASTANHEIRA, 2011).
Veja alguns exemplos:
A: João foi ao cinema.
B: Maria foi ao shopping.
C: João foi ao cinema, mas Maria foi ao shopping.
D: João foi ao cinema, enquanto Maria foi ao shopping.
Conectivo lógico de disjunção – ou (inclusivo)
Outro conector muito utilizado tanto na Lógica Formal, quanto na computacional é

“ou” que também pode ser visto na literatura escrito em inglês OR ou ainda por meio do
seu símbolo Ú . Essa operação lógica é chamada de disjunção e seu operador lógico
pode ser utilizado de duas formas distintas: inclusivo ou exclusivo. Veremos nesta aula
a forma inclusiva do operador.
O operador lógico de disjunção usado na forma inclusiva terá sua valoração falsa
somente quando ambas as proposições simples forem falsas. Resumindo, se A e B
forem proposições simples falsas, a proposição composta A ⋁ B (lê-se “A ou B”) será
falsa, nos demais casos a valoração é verdadeira. Para compreendermos melhor,
considere as proposições a seguir:
A: Quatro é um número par. B: Três é um número ímpar. C: Cinco é maior que dez.
D: Sete é um número par.
P: Quatro é um número par ou três é um número ímpar. R: Quatro é um número par ou

cinco é maior que dez. S: Cinco é maior que dez ou sete é um número par.
Vamos começar valorando as proposições simples (A, B, C, D): A: verdadeira.
B: verdadeira.
C: falsa.
D: falsa.
84
Para facilitar nossa compreensão, vamos reescrever as proposições P, R, S utilizando

notação simbólica, portanto temos:
P: A ⋁ B
R: A ⋁C
S: C ⋁ D
Na proposição P temos que as proposições simples A, B são verdadeiros, portanto P =

V ou V, o que resulta em verdadeiro, ou seja, a proposição P pode ser valorada como
verdadeira. Na proposição R, temos que A é verdadeiro, mas C é falso, portanto R = V
ou F, como se trata da disjunção inclusiva, o resultado será verdadeiro, pois para ser
falso ambas proposições simples têm que ser falsas. Já na proposição S, temos que C, D
são proposições simples falsas, portanto S = F ou F, o que resultado em falso.
Operador lógico de negação – não
Os operadores lógicos de conjunção e disjunção são binários, ou seja, juntam duas

expressões para formar uma nova proposição. O operador lógico de negação é unário,
ou seja, ele não junta duas proposições, ele age sobre uma única proposição (que pode
ser resultado de uma operação binária). A palavra usada para fazer a negação é o não
que também pode ser visto na literatura em inglês NOT, ou ainda de forma simbólica
como ~ , ←, ‘ . Os dois primeiros símbolos são usados antes da letra que representa a
proposição, já o terceiro é usado depois da letra.
Por exemplo, as expressões:
~ A , ←B , C’ representam as negações das proposições A, B, C.
A operação lógica de negação troca o valor-verdade da proposição. Ou seja, se a

proposição é verdadeira, quando acompanhada do operador de negação passará a ser
falsa; por outro lado, se ela for falsa passará a ser verdadeira.
Vejamos um exemplo, considere a proposição:
A: Luís gosta de viajar.
A negação de A ( ~ A ) pode ser lida como:
~ A: Luís não gosta de viajar.
Ou ainda como:
~ A: É falso que Luís gosta de viajar.
Ou ainda
~ A: Não é verdade que Luís gosta de viajar.

85
A negação pode ser aplicada ao resultado de uma outra operação, como por exemplo, ∼
(A ∧ B) . Nesse caso o resultado da conjunção será invertido. No universo dos
algoritmos computacionais, esses três conectores são amplamente utilizados para
construir estruturas de decisões. Por exemplo, imagine que você esteja trabalhando em
um sistema web para uma universidade. Em uma das páginas do sistema, deverá ser
implementada a opção para o usuário escolher o curso, o semestre e a idade dos alunos.
Nesse cenário vamos considerar as seguintes proposições:
A: Todos os alunos são do curso de engenharia.
B: Todos os alunos são do segundo semestre.
C: Todos os alunos possuem idade superior a 30 anos.
Agora, suponhamos que o usuário do sistema queira listar alunos que não são dos
cursos de engenharia, alunos que estão no segundo semestre, alunos que possuem idade
superior a 30 anos. Como essa regra (proposição) deve ser construída? Qual
combinação de conectores deve ser usada para produzir o resultado desejado?
Considerando as proposições dadas, a lógica a ser criada deve ser: ∼ A ∧ B ∧C .
Como você pode notar, sem a Lógica Formal, jamais seríamos capazes de construir
nossos algoritmos computacionais. Portanto, continue estudando esse importante tema!
Chegou a hora de pensarmos como resolver seu desafio de lógica para a vaga de
desenvolvedor trainee de uma grande empresa de tecnologia. Você recebeu uma folha
contendo três figuras geométricas e algumas dicas, se lembra? As figuras geométricas
estão representadas na figura a seguir.
Figuras geométricas para o teste. Fonte: elaborada pela autora.
As figuras geométricas são: um triângulo de lados a, b, c, um quadrado de lados d, e, f,

g e ângulo r e um retângulo de lados h, i, j, l e ângulo r. Além da figura, você recebeu as
seguintes dicas:
1. Para que um triângulo possa ser construído é necessário que a soma de dois
lados seja sempre maior que o outro lado.
2. Um quadrado é composto por quatro lados com medidas iguais e quatro ângulos
de noventa graus.
3. Um retângulo é composto por quatro lados com medidas paralelas iguais e
quatro ângulos de noventa graus.
86
Com essas informações você deve construir proposições simples e compostas que
representem as regras necessárias para a construção das três figuras. Pois bem, o
primeiro passo é construir as proposições simples. Vamos começar pelo triângulo.
A: A soma das medidas do lado a com o lado b do triângulo abc é maior que a medida
do lado c.
B: A soma das medidas do lado b com o lado c do triângulo abc é maior que a medida
do lado a.
C: A soma das medidas do lado a com o lado c do triângulo abc é maior que a medida
do lado b.
Agora que temos as proposições simples, vamos usar a dica 1 para construir uma
expressão lógica que traduza essa regra. Como as três proposições precisam ser
verdadeiras para que seja possível construir um triângulo, teremos como resultado a
expressão: A ∧ B ∧ C . Ou seja, foi necessário usar a conjunção para construir a
proposição composta que representa a regra.
Agora vamos construir as proposições simples para criar a regra para a construção do
quadrado.
P: A medida do lado d é igual à do lado e.
Q: A medida do lado f é igual à do lado e.
S: A medida do lado g é igual à do lado f.
T: A medida do ângulo r é diferente de noventa graus.
Com a criação das proposições simples, agora podemos criar a proposição composta
que representa a regra: P ∧Q ∧ S∧∼T. Veja, que na maneira como construímos a
proposição simples T, foi necessário usar a negação para construir a regra correta. É
importante você ficar atento ao aspecto sintático da expressão.
Por fim, vamos construir as proposições simples para o retângulo.
X: A medida do lado h é igual à do lado j.
Z: A medida do lado i é igual à do lado l.
W: A medida do ângulo r é igual a noventa graus.
Agora basta usar o(s) conector(es) corretos para criar a proposição composta que
representa a regra:
X ⋀ Z ⋀W .
Veja que, a partir da utilização de proposições simples e conectivos lógicos, foi

possível construir formas e regras que podem ser implementadas computacionalmente.
87
Aula 2 - Conectivos e classificação textual
Nesta aula, você aprenderá novos conectivos lógicos, o que lhe possibilitará valorar
proposições compostas mais complexas, desenvolvendo suas habilidades de aplicar a
lógica proposicional com suas regras e formas.
• Apontar os conectivos: disjunção exclusiva, condicional e bicondicional;

• Explicar a conexão entre as estruturas de decisão e o conectivo condicional;
• Analisar a importância da equivalência lógica.
Situação-problema
Olá, estudante! Iniciamos agora mais uma aula do nosso estudo de introdução à lógica
proposicional.
Você já deve ter ouvido e falado muito frases do tipo “Se chover, eu não vou sair de
casa”, ou então “Se eu ganhar na loteria, não vou mais trabalhar!”. Esse tipo de frase
possui uma estrutura lógica embasada em uma condição: se algo acontecer, então outro
evento também irá acontecer. Nesta aula, vamos entender esse tipo de estrutura lógica,
bem como outros importantes conceitos.
Dando sequência ao seu teste de lógica para uma vaga de desenvolvedor trainee em uma
grande empresa de tecnologia, chegou a hora de vencer mais um desafio, no qual você
deverá criar estruturas condicionais usando os operadores lógicos para resolver um
problema com fórmulas. Foram-lhe passadas duas fórmulas:
A primeira é a famosa fórmula de Bhaskara, usada para calcular as raízes de uma

equação do segundo grau (y = ax2 +bx + c ). Já a segunda fórmula pertence ao cálculo
proposicional e é uma das leis de De Morgan.
Utilizando as constantes (a, b, c) da equação do segundo grau e da fórmula de Bhaskara,

você deverá escrever proposições simples e, a partir delas, criar implicações lógicas,
utilizando a notação simbólica, para as seguintes regras:
88
• Se o coeficiente a for positivo, então a parábola tem a concavidade virada para

cima.
• Se o coeficiente a for negativo, então a parábola tem a concavidade virada para
baixo.
• Se o valor do delta (∆) for positivo, então a equação possui duas raízes reais
distintas.
• Se o valor do delta (∆) for negativo, então a equação não possui raízes reais.
• Se o coeficiente a for positivo e o valor do delta (D) for positivo, então a
parábola tem a concavidade virada para cima e a equação possui duas raízes
reais distintas.
Para a segunda fórmula, você deverá utilizar as regras do cálculo proposicional e fazer a
demonstração, passo a passo, da veracidade da lei anunciada por Augusto De Morgan.
Com base no seu conhecimento, quantas proposições simples devem ser usadas para
traduzir as regras apresentadas para a fórmula da equação do segundo grau e de
Bhaskara? Quais conectores devem ser utilizados para escrever a fórmula de maneira
correta? Qual mecanismo pode ser usado para fazer a demonstração da lei de De
Morgan? Existe alguma sequência específica para a resolução? Como a fórmula deverá
ser valorada?
Para vencer esse desafio proposto, você aprenderá novos conectivos lógicos, bem como
construir e valorar fórmulas do cálculo proposicional. Leia com atenção o conteúdo da
aula. Bons estudos!
Aula 2.0 - Cálculo proposicional
O cálculo proposicional fornece mecanismos para validar argumentos, tais mecanismos

envolvem a utilização de proposições, que podem ser simples (apenas uma afirmação)
ou compostas. Nesse segundo caso, temos um encadeamento de proposições simples
usando conectivos lógicos. Uma proposição composta pode ser criada fazendo a
conjunção de duas proposições simples, neste caso são utilizadas as palavras “e”,
“mas”, “no entanto”, dentre outras para fazer a conexão. Também podemos criar uma
proposição composta fazendo a disjunção de duas proposições simples, nesse caso
usamos a palavra “ou” para a conexão. A disjunção possui uma particularidade, ela
pode ser inclusiva ou exclusiva.
Conectivo lógico de disjunção – ou (exclusivo)
Considere as seguintes proposições simples:
A: João é estudante.
B: João é trabalhador.
C: João é Paulista.
D: João é Carioca.
89
Agora vamos usar as proposições simples A, B, C, D, criar as compostas usando a

disjunção.
Observe:
R: João é estudante ou é trabalhador.
S: João é Paulista ou é Carioca.
A proposição R representa uma disjunção inclusiva, pois João pode ser estudante e
também trabalhador. Já a proposição S é uma disjunção exclusiva, pois João não pode
ser Paulista e Carioca, ele só pode ser um dos dois.
Segundo Souza (2016), a disjunção inclusiva é representada pelo símbolo ⋁, ou seja, a

proposição R, pode ser escrita como A⋁B . Já a disjunção exclusiva é representada pelo
símbolo V, ou seja, a proposição S pode ser escrita como CVD.
Na valoração de uma disjunção exclusiva, o resultado será verdadeiro se, e somente se,
apenas umas das proposições simples forem verdadeiras.
Conectivo condicional (Implicação lógica) – se... então
Dadas as proposições simples A, B, elas formam uma condicional (ou implicação

lógica) se for possível construir a estrutura: se A, então B (BISPO; CASTANHEIRA,
2011). A primeira proposição é chamada antecedente, e a segunda consequente. A
condicional significa que a verdade da primeira proposição implica a verdade da
segunda proposição (GERSTING, 2017). O símbolo usado para representar a
implicação lógica é o → , logo a regra se A, então B, pode ser escrita como A → B .
______
Exemplificando
Considere as proposições a seguir:
P: João estuda para a prova. R: João passa de ano.
A proposição P →R (lê-se Se P, então R), deve ser traduzida como: Se
João estudar para a prova, então passará de ano.
Veja que para fazer sentido a composição da sentença condicionada, ajustamos os

verbos estudar e passar. Mas o que realmente importa é entender a condição que foi
criada.
Veja que a proposição B está condicionada à proposição A, ou seja, B depende de A

para acontecer.
______
90
Na valoração do condicional, se o antecedente e o consequente forem verdadeiros então

o resultado será verdadeiro. Ou seja, V → V =V . Porém, se o antecedente for
verdadeiro e o consequente for falso, o resultado será falso ( V → F = F ).
Vejamos um exemplo:
A: O interruptor da sala foi desligado.
B: A luz da sala apagou.
C: A → B .
A proposição C deve ser traduzida como “Se o interruptor da sala for desligado, então a
luz se apagará”.
Se as duas proposições realmente acontecerem, então temos o caso V → V =V , ou seja,

C é verdade. Porém, se o interruptor for desligado, mas por algum motivo a luz não se
apagar, então temos o caso V → F = F , ou seja, C é falso.
Reflita
Em um condicional existe o antecedente e o consequente, ou seja, uma proposição

depende da outra. Se trocarmos a ordem do antecedente pelo consequente alteramos o
resultado da condição? Quais implicações essa troca poderia trazer ao algoritmo?
Na construção de algoritmos, os condicionais são amplamente utilizados, veja o que nos

diz um grande autor da área da computação: “Do ponto de vista computacional, uma
condição é uma expressão booleana cujo resultado é um valor lógico falso ou
verdadeiro. Assim, uma expressão booleana como condição é conseguida com uma
relação lógica entre dois elementos e um operador relacional” (MANZANO;
OLIVEIRA, 2019, p. 68). Veja que na computação usamos o mesmo recurso da Lógica
Formal. A expressão booleana mencionada refere-se à álgebra Booleana que está
embasada na Lógica Clássica. Uma expressão booleana é uma proposição que resultará
em verdadeiro ou falso.
Na construção de algoritmos, o condicional aparece nas estruturas de decisão, também

chamada Desvio Condicional. O nome “desvio” representa exatamente o que acontece
em um algoritmo, quando aparece um condicional, pois dependendo do resultado (V ou
F) o programa fará uma ação diferente. Por exemplo, imagine que estamos
implementando um software para uma loja que oferece opções de pagamento à vista ou
a prazo. Caso o comprador pague à vista ele terá um desconto de 10% na compra, que
deve ser aplicado pelo próprio sistema.
Pois bem, dadas as proposições:
A: Pagamento feito à vista.
B: Conceder desconto de 10%.

91
No algoritmo deverá ser implementada a regra: A → B . “Se o pagamento for à vista,

então será concedido um desconto de 10%”.
A expressão “Se... então” é a mais comum de se utilizar para o condicional, até mesmo
porque na construção de algoritmos usamos exatamente essas palavras. Mas a
implicação lógica pode ser escrita de outras formas, conforme ilustra o Quadro a seguir,
que nos apresenta 8 formas diferentes de “traduzir” essa expressão lógica.
Expressões para o condicional. Fonte: adaptado de Gersting (2017, p. 4).
Conectivo Bicondicional – se, e somente se
Dadas as proposições simples A, B, elas formam uma bicondicional se for possível

construir a estrutura: A se, e somente se, B (BISPO; CASTANHEIRA, 2011). O
símbolo usado para representar esse conectivo é o ↔ , então a expressão A se, e
somente se, B, pode ser expressa simbolicamente por A ↔ B . Vejamos um exemplo.
Considere as proposições a seguir:
P: Lucas receberá o dinheiro.
Q: Lucas completará o trabalho.
S: A ↔ B .
A proposição S, deve ser traduzida como “Lucas receberá o dinheiro se, e somente se,
completar o trabalho”.
Segundo Gersting (2017), o bicondicional é um atalho para a expressão lógica:

(A → B)∧(B → A) .
Nessa expressão temos a conjunção entre o resultado de duas condicionais que alteram
seus antecedentes e consequentes. Para ficar mais claro, usando as proposições P, Q
criadas anteriormente, dizer que “Lucas receberá o dinheiro se, e somente se, completar
o trabalho” é o mesmo que dizer “Se Lucas receber o dinheiro então completará o
trabalho e se Lucas completar o trabalho então receberá o dinheiro”. Como
podemos observar, o bicondicional resume a sentença, facilitando até mesmo a
compreensão.
92
A valoração do conectivo bicondicional será verdadeira quando o valor--lógico das duas

proposições forem iguais, tanto para verdadeiro como para falso.
Ou seja, V ↔V = V e F ↔ F =V .
Aula 2.1 - Fórmula bem-formulada ou fbf
Assim como fez Aristóteles, a partir de agora, vamos focar na forma e nos valores
lógicos que as expressões podem assumir. Já sabemos que é possível criar proposições
compostas, fazendo conexões entre proposições simples. Na verdade, podemos encadear
proposições, conectivos e parênteses (ou colchetes) e formar novas expressões lógicas,
às quais chamamos fórmula. Por exemplo, como a que vimos no conectivo
bicondicional (A → B)∧(B → A).
Embora “Uma sequência qualquer de elementos do vocabulário do cálculo

proposicional constitui uma fórmula” (BISPO; CASTANHEIRA, 2011, p. 12), nem
toda fórmula é válida. Segundo Gersting (2017), certas regras de sintaxe precisam ser
seguidas, assim como acontece em qualquer linguagem de programação. Podemos fazer
uma analogia entre as fórmulas do cálculo proposicional com as fórmulas matemáticas.
Os conectivos lógicos são como os operadores matemáticos (soma, subtração, etc.),
portanto sempre teremos um conectivo entre duas proposições.
O operador de negação é como o sinal negativo na matemática e, por isso, ele pode
aparecer perto de outro conector. Uma fórmula que segue as regras de sintaxe é
chamada de fórmula bem-formulada ou ainda, em inglês, well-formed formula - wff
(BISPO; CASTANHEIRA, 2011; GERSTING, 2017). Observe o Quadro a seguir. Nele
temos três exemplos de fórmulas matemáticas, três de fórmulas válidas (fbf) e três de
fórmulas inválidas.
Fórmulas matemáticas e proposicional. Fonte: elaborado pela autora.
Vamos começar a analisar as fórmulas do Quadro acima falando sobre os parênteses. Na

fórmula matemática da linha 1, o resultado é 25, certo? E se não tivesse parênteses
delimitando a adição o resultado seria o mesmo? A resposta é não, o resultado seria 17,
afinal a multiplicação tem precedência de resolução sobre a adição. Na fbf da linha 1
também temos parênteses e o motivo é o mesmo da expressão matemática: queremos
que a condicional seja resolvida antes da disjunção.
Portanto, os parênteses no cálculo proposicional também têm o papel de delimitar e

indicar quais operações devem ser efetuadas primeiro. Assim como os operadores
matemáticos, os conectivos lógicos também possuem ordem de precedência, sendo ela:
93
1. Para conectivos dentro de vários parênteses, efetuam-se primeiro as expressões

dentro dos parênteses mais internos.
2. Negação (← ).
3. Conjunção e disjunção ( ⋀ , ⋁ ).
4. Condicional (→ ).
5. Bicondicional (↔).
Quando dois operadores tiverem a mesma ordem de precedência, será valorado

primeiro o que estiver mais à esquerda, da mesma forma que acontece em uma fórmula
matemática.
Agora que sabemos a ordem de precedência dos conectivos lógicos, podemos interpretar
a fbf da linha 2 no Quadro visto acima.
Veja que primeiro será valorada a fórmula (A → B) , em seguida (B → A) e, por fim, a

conjunção entre os dois resultados.
Já na fbf da linha 3, não temos parênteses, então devemos seguir a ordem de

precedência e valorar da esquerda para direita. Então seria primeiro efetuada a negação
←C , em seguida seria calculado a conjunção de B com o resultado da negação: B ∧¬C
e, por fim, seria feita a condicional entre A o resultado da conjunção.
Esse entendimento é muito importante, então vamos valorar a fbf da linha 3, dadas as
seguintes entradas para as proposições A, B, C.
A é verdadeira.
B é falsa.
C é falsa.
Observe a Figura 3.3, ao submeter os valores-lógicos de entrada das proposições,

seguindo a ordem de execução, tem-se a seguinte sequência:
1. ←F que resulta em V.
2. F ⋀V que resulta em F. que resulta em F.
3. V → F que resulta em F. que resulta em F.
Portanto, o resultado da fbf A → B ∧¬ C é falso.
Ao observar o resultado das etapas na Figura a seguir, fica claro que o resultado de uma
etapa é usado em outra etapa, pois a fórmula precisa ser resolvida em partes seguindo a
ordem de precedência.
94
Esquema de valoração de fórmulas. Fonte: elaborada pela autora.
Como você pode notar a valoração de uma fbf deve ser feita em etapas, seguindo a
ordem de precedência, assim como acontece em uma fórmula matemática.
Equivalência lógica
No conectivo bicondicional apresentamos uma definição trazida por Gersting (2017)

que diz que a fórmula (I) A « B é um atalho para (II) (A → B)∧(B → A) . A autora usa
o termo “atalho” porque o resultado da fórmula (I) é igual ao da (II) para todas as
combinações possíveis de entradas, isso acontece porque estamos diante de uma
equivalência lógica.
______
Assimile
Quando duas fórmulas apresentam o mesmo resultado lógico para as todas as possíveis
combinações de entradas, então diz-se que elas são equivalentes. O símbolo usado para
representar a equivalência lógica é o ⇔.
Além do conectivo bicondicional, existem outras importantes equivalências lógicas que

serão estudadas em outra aula. Nesse momento, vamos apresentar outras duas
equivalências lógicas, chamadas Leis de De Morgan que foram obtidas e demonstradas
pelo matemático inglês Augustus De Morgan. As duas equivalências são:
1. ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧¬B .
2. ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨¬B .
Observe na fórmula I que, do lado esquerdo da equivalência, a negação está sendo

aplicada ao resultado de uma disjunção, enquanto do lado direito a negação afeta cada
uma das proposições. Para treinarmos, vamos verificar a veracidade da fórmula I.
Para ser uma equivalência, o resultado precisa ser igual para todas as combinações
possíveis de entrada. Então temos as seguintes combinações possíveis para as
proposições A, B:
(1) A = V e B = V;
(2) A = V e B = F; (3) A = F e B = V; (4) A = F e B = F;

95
Vamos testar essas quatro combinações de entrada, primeiro para a fórmula ¬(A ∨ B) .
A figura a seguir ilustra cada passo para a valoração da fórmula, para cada combinação
possível de entrada. Como resultado lógico temos que para as entradas (1), (2), e (3) o
resultado é F, já para a entrada (4) o resultado é V.
Valoração da fórmula ¬(A ∨ B). Fonte: elaborada pela autora

Agora vamos fazer a valoração da fórmula, do lado direito da equivalência, ou seja, ¬A
∧¬B , para cada uma das combinações possíveis de entrada. A próxima figura ilustra
cada passo para a valoração da fórmula. Como resultado lógico temos que para as
entradas (1), (2), e (3) o resultado é F, já para a entrada (4) o resultado é V.
Valoração da fórmula ¬A ∧¬B. Fonte: elaborada pela autora.

96
Como podemos ver, os resultados lógicos das fórmulas ¬(A ∨ B) e ¬A ∧¬B , para todas
as combinações possíveis de entradas, são os mesmos, portanto demonstramos que essas
fórmulas são equivalentes.
Com essa demonstração, finalizamos nossa aula. Agora que já conhecemos todos os
conectivos lógicos e como criar fórmulas válidas (fbf) para fazer a valoração de uma
fbf, devemos seguir a ordem de precedência e ir resolvendo parte a parte da fórmula.
Olá, estudante, chegou o momento de vencer mais uma etapa do teste para o cargo de
trainee em uma grande empresa de tecnologia. Você foi desafiado a construir
implicações lógicas que traduzam regras referentes à equação do segundo grau e à
fórmula de Bhaskara, e também a fazer a demonstração de uma das leis de De Morgan.
Vamos relembrar as regras que devem ser traduzidas para forma simbólica:
• Se o coeficiente a for positivo, então a parábola tem a concavidade virada para

cima.
• Se o coeficiente a for negativo, então a parábola tem a concavidade virada para
baixo.
• Se o valor do delta (∆) for positivo, então a equação possui duas raízes reais
distintas.
• Se o valor do delta (∆) for negativo, então a equação não possui raízes reais.
• Se o coeficiente a for positivo e o valor do delta (∆) for positivo, então a
parábola tem a concavidade virada para cima e a equação possui duas raízes
reais distintas.
Como primeiro passo você deve escrever as proposições simples, as quais nos
possibilitarão construir as implicações lógicas para a equação do segundo grau e a
fórmula de Bhaskara.
A seguir, uma das possibilidades de se escrever essas proposições.
A: O coeficiente a da equação é positivo e diferente de zero.
B: A parábola tem a concavidade virada para cima.
C: A parábola tem a concavidade virada para baixo.
D: O valor do delta é positivo e diferente de zero.
E: A equação possui duas raízes reais distintas.
F: A equação não possui raízes reais.
Com as proposições simples definidas, agora podemos escrever os condicionais que

representam, simbolicamente, as regras elencadas.
97
• Para a regra 1, podemos escrever: A → B .

• Para a regra 2, podemos escrever: ¬A → C .
• Para a regra 3, podemos escrever: D ® E .
• Para a regra 4, podemos escrever: ¬D → F .
• Para a regra 5, podemos escrever: (A ∧ D) → (B ∧ E) .
Veja que na regra 5 temos uma condição que envolve a conjunção entre duas
proposições. Para construir, basta ficar atento aos conectivos que estão sendo usados na
frase e na forma como se anunciou as proposições simples.
Agora é hora de fazer a demonstração da lei de De Morgan ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨¬B . Essa

fórmula apresenta uma equivalência, ou seja, De Morgan afima que a fórmula ¬(A ∧ B)
apresenta os mesmos resultados que a fórmula ¬A ∨¬B para todas as combinações
possíveis de entradas lógicas para A, B. Portanto, para resolver essa parte do desafio é
necessário testar todas as entradas possíveis para as proposições em cada uma das
fórmulas e verificar se os resultados são iguais.
Primeiro vamos estabelecer a sequência de combinações de entrada que vamos usar: (1)
A = V e B = V; (2) A = V e B = F; (3) A = F e B = V; (4) A = F e B = F;
Agora é necessário submeter essa sequência a cada uma das fórmulas. A Figura a seguir
apresenta os resultados para a fórmula ¬(A ∧ B) . Como resultado lógico temos para a
entrada (1) o resultado é F, já para as entradas (2), (3) e (4) o resultado é V.
Valoração da fórmula ¬(A⋀B). Fonte: elaborada pela autora.
A figura abaixo apresenta os resultados para a fórmula ¬A ∨¬B . Como resultado lógico
temos para a entrada (1) o resultado é F, já para as entradas (2), (3), e (4) o resultado é
V.
98
Valoração da fórmula ¬A ∨¬B. Fonte: elaborada pela autora.
Como podemos ver, os resultados lógicos das fórmulas ¬(A ∧ B) e ¬A ∨¬B , para todas
as combinações possíveis de entradas, são os mesmos, portanto, demonstramos que
essas fórmulas são equivalentes.
Com utilização da lógica proposicional conseguimos construir estruturas condicionais e

fazer a demonstração de um importante resultado. As estruturas condicionais são
amplamente utilizadas na construção de algoritmos, portanto quanto mais praticar mais
preparado estará para os desafios profissionais.
99
Aula 3 - Métodos dedutivos e inferência lógica
Nesta aula, você verá as regras para avaliar um argumento e verificar se ele é válido ou
não.
• Esclarecer as possibilidades de análise de argumentos;

• Empregar as regras de equivalência e inferência de dedução para a Lógica
Proposicional;
• Provar a veracidade dos argumentos apresentados na situação-problema.
Situação-problema
Olá, estudante! Dando continuidade ao nosso estudo de lógica computacional, chegou

um momento muito importante no qual aprenderemos a fazer demonstrações lógicas. O
raciocínio usado para fazer uma dedução lógica é similar ao usado para construir
sequências lógicas em um algoritmo, pois, em ambos os casos, é necessário escrever
uma sequência correta de passos, tanto em termos de sintaxe, quanto em relação ao
raciocínio e as regras necessárias para alcançar o resultado desejado.
Dando continuidade ao processo seletivo para a vaga de trainee, nessa última fase do
processo, os contratantes querem testar seu raciocínio lógico, bem como seu
conhecimento sobre as regras de dedução da Lógica Formal.
Você recebeu dois argumentos:
1. Se o papel de tornassol ficar vermelho, então a solução e ácida. O papel de

tornassol ficou vermelho. Portanto, a solução é ácida.
2. Se treino, eu venço o campeonato de xadrez. Se não jogo vôlei, então eu treino
xadrez. Não venci o campeonato de xadrez. Portanto, joguei vôlei.
Seu desafio é traduzir para forma simbólica os dois argumentos e provar a veracidade,
usando as regras de dedução da Lógica Formal. Cada passo na sequência de
demonstração deve ser comentado, para que os avaliadores tenham certeza que você
conhece o processo. Quantos passos serão necessários para demonstrar cada argumento?
Será possível fazer uma demonstração usando somente regras de inferência? Sabendo
que é mais importante conhecer o processo do que decorar regras, os avaliadores
permitiram que você usasse a Internet para consultar as regras de equivalência e
inferência lógica. Para vencer esse desafio, você aprenderá como estruturar a sequência
de demonstração, desenvolvendo, assim, o raciocínio e dando um passo a mais na
direção de se tornar um grande desenvolvedor.
Vamos em frente!
100
Aula 3.1 - Análise de argumentos
A lógica proposicional é composta por proposições e conectivos lógicos que permitem

criar uma série de fórmulas que quando escritas corretamente são chamadas fbfs
(fórmula bem-formulada). Uma fbf é valorada em verdadeira (V) ou falsa (F), a partir
da valoração das proposições com o conectivo lógico em questão, respeitando a ordem
de precedência dos operadores lógicos. A valoração de uma fórmula também depende
dos valores lógicos de entrada para cada uma das proposições. Por exemplo, dada a
fórmula A ∧ B ∨C ela será verdadeira ou falsa? A valoração depende dos
valores lógicos de entrada para as proposições A, B, C.
Observe a figura “a” abaixo na qual fazemos a valoração para as entradas A = V, B = V,

C = F, veja que o resultado final é V. Considerando os valores lógicos: A = V, B = F, C
= F, a mesma fórmula teve valoração final F (Figura b). Portanto, a valoração de uma
fbf depende das entradas lógicas e dos conectivos lógicos que são usados.
Valoração para a fórmula ABC. Fonte: elaborada pela autora.
Quando uma fórmula apresenta um conjunto de proposições, das quais uma delas é uma
conclusão, dizemos que tal fórmula é um argumento. “Um argumento é um conjunto de
proposições, ou de fórmulas, nas quais uma delas (conclusão) deriva, ou é
consequência, das outras (premissas)” (BISPO; CASTANHEIRA, 2011, p. 31). Um
argumento pode ser representado de forma simbólica por:
onde P1 , P2 , P3 ,..., Pn , são as hipóteses. Essas hipóteses podem ser tanto proposições
simples, como uma fbf. A letra representa C a conclusão do argumento, a qual também
pode ser tanto uma proposição simples como uma fbf (BISPO; CASTANHEIRA, 2011;
GERSTING, 2017).
Assimile
Um argumento é composto por hipóteses e conclusão, e ambas podem ser compostas

por proposições simples ou fbf. No argumento, as proposições são ligadas logicamente
pelo conectivo de conjunção (e), as quais implicam logicamente a conclusão. Por isso, a
ligação entre as hipóteses e a conclusão é feita por meio do conectivo condicional.
101
Dado um argumento é importante validar se ele é válido ou inválido, o grande desafio é

como fazer essa validação. A lógica possui mecanismos que permitem validá-lo, os
quais são compostos pelas regras de equivalência e inferência lógica. Essas regras vão
nos permitir avaliar a relação entre as hipóteses e a conclusão, que também pode ser
chamada de consequência lógica, dedução lógica, conclusão lógica ou implicação
lógica. “Uma proposição pode ser verdadeira ou falsa e não pode ser válida ou inválida;
do mesmo modo, um argumento pode ser válido ou inválido e não pode ser verdadeiro
ou falso” (BISPO; CASTANHEIRA, 2011, p. 36).
______
Exemplificando
Vamos analisar o seguinte argumento adaptado de Gersting (2017, p. 24).
D. Pedro I proclamou a independência do Brasil e Thomas Jefferson escreveu a

Declaração de Independência dos Estados Unidos. Portanto, todo dia tem 24 horas.
Vamos separar as proposições do argumento em hipóteses e conclusão.
A: D. Pedro I proclamou a independência do Brasil.
B: Thomas Jefferson escreveu a Declaração de Independência dos Estados Unidos.
C: Todo dia tem 24 horas.
Nosso conhecimento nos permite valorar as três proposições, logo, A, B, C são todas
verdadeiras. Embora, tanto as hipóteses, quanto a conclusão sejam proposições
verdadeiras, o argumento é inválido, pois a conclusão nada tem a ver com as hipóteses.
Esse exemplo deixa claro que, basear-se apenas no conteúdo de um argumento não é
suficiente para dizer se ele é válido ou não.
______
Segundo a Lógica Formal, devemos nos basear apenas nas regras para validar um
argumento e não no conteúdo. O exemplo mencionado anteriormente deixa claro o
motivo dessa restrição. Mas, afinal, quais são essas regras?
Para começarmos a entender as regras, vamos traduzir o argumento: D. Pedro I

proclamou a independência do Brasil e Thomas Jefferson escreveu a Declaração de
Independência dos Estados Unidos. Portanto, todo dia tem 24 horas, para notação
simbólica, logo temos a seguinte fórmula: A ∧ B → C . Nessa fórmula quando o valor
lógico de entrada da proposição A for verdadeiro e de B for falso, o resultado da
implicação será falso, ou seja, existe pelo menos uma combinação de entradas, para a
qual a fórmula resultará em falsa, logo essa fórmula não é uma tautologia e,
consequentemente, não é um argumento válido. Segundo Gersting (2017), tautologia é
um resultado no qual todas as entradas possíveis de uma fórmula obtêm verdadeiro
como resultado. Ainda, segundo a mesma autora, um argumento só é válido quando a
fórmula é uma tautologia.
102
Reflita
Um argumento composto por preposições verdadeiras não necessariamente é um

argumento válido. Um argumento que contenha proposições falsas, pode ser um
argumento válido?
______
Para saber se um argumento é válido ou não, precisamos saber se ele é uma tautologia.
Para fazer essa checagem, poderíamos testar todas as combinações de entrada possíveis
para o argumento. Porém, se tratando da Lógica Formal, podemos usar um sistema de
regras de dedução e, seguindo uma sequência de demonstração provar se o argumento é
válido ou não. “Uma sequência de demonstração é uma sequência de fbfs nas quais cada
fbf é uma hipótese ou o resultado de se aplicar uma das regras de dedução do sistema
formal a fbfs anteriores na sequência” (GERSTING, 2017 p. 25).
Para construir a sequência de demonstração, cada hipótese, que é uma proposição e que
pode ser uma fbf, deve ser disposta da seguinte forma:
Na sequência de demonstração, cada proposição deve ficar em uma linha, enumeramos

para facilitar na hora de aplicar as regras de dedução. Na frente de cada linha devemos
indicar o que ela representa, se é uma hipótese ou então a regra que foi aplicada. Após
elencar todas as proposições é hora de começar a aplicar as regras e, consequentemente,
obter novas fbfs. A quantidade varia de caso para caso, mas as regras de dedução devem
ser aplicadas até que se consiga provar que o argumento é verdadeiro, ou então, que não
existam mais regras a serem aplicadas, mostrando, assim, que o argumento é falso.
Aula 3.2 - Regras de equivalência de dedução para a Lógica Proposicional
As regras de dedução são divididas em dois tipos: regras de equivalência e regras de

inferência. Lembrando que duas fbfs são equivalentes, quando todas as combinações
103
possíveis de entradas geram o mesmo resultado de saída para ambas as fbfs, as regras de
equivalência serão usadas quando uma fbf (que pode ser uma hipótese ou resultado de
uma regra) pode ser substituída por outra fbf, mantendo o resultado lógico.
Por exemplo, se considerarmos a fbf que traduz uma das leis de De Morgan: ¬(A ∨ B)
⇔ ¬A ∧¬B, em uma situação adequada podemos substituir a fbf ¬(A ∨ B) por ¬A ∧¬B
, pois ambas são equivalentes. No quadro a seguir estão elencadas as regras de
equivalência que iremos utilizar. Existem outras além dessas.
(Para mais detalhes, consultar da página 38 a 41 da obra: BISPO, F.; CASTANHEIRA,

L. B. Introdução à lógica matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2011, disponível
em sua biblioteca virtual.)
Regras de equivalência. Fonte: adaptada de Gersting (2017, p. 26).
O quadro acima nos traz seis conjuntos de regras de dedução, sua utilização será da
seguinte forma: Se tivermos uma expressão como da linha 1, P⋁Q , quando necessário,
podemos substituí-la por Q⋁ P, pois essas fbfs são equivalentes e trata-se da
propriedade da comutatividade. O contrário também é válido, quando aparecer Q ⋁ P ,
podemos substituir por P⋁Q . Esse processo de substituir uma fbf por outra, é o mesmo
para todas as demais regras apresentadas.
Aula 3.3 - Regras de inferência de dedução para a Lógica Proposicional
Além das regras de equivalência, o processo de dedução lógica também possui as regras
de inferência. Na inferência, dada uma determinada fbf, ela poderá ser substituída por
outra que atenda a regra de inferência. Veja que aqui não é necessário ser uma
tautologia (e realmente não será), mas é preciso seguir as regras da inferência.
A primeira regra de inferência que vamos estudar é chamada Modus Ponens (MP).
Essa regra envolve uma implicação e uma conjunção e possui a seguinte estrutura: (P →
Q)∧ P → Q . Vejamos um exemplo para ficar mais clara a regra.
104
Considerando o seguinte argumento: Se João receber seu salário, ele irá ao cinema,
vamos separar as proposições P, Q, portanto:
P: João recebe o salário.
Q: João vai ao cinema.
Agora vamos representar cada parte da fórmula de Modus Ponens:
1. (P → Q) : Se João receber seu salário, ele irá ao cinema.

2. P: João recebe o salário.
Ao fazer a conjunção entre a primeira parte com a segunda, conseguimos inferir a

conclusão, pois, se João receber seu salário, ele irá ao cinema E João recebeu o salário,
logo podemos inferir (concluir) que João vai ao cinema.
A regra de Modus Ponens também pode ser representada pelo esquema:
Aqui fica claro que quando se tem uma implicação e o antecedente é verdade, então a
conclusão é o consequente.
Outra importante regra de inferência é o Modus Tollens (MT). Essa regra, além de
envolver uma implicação e uma conjunção, também envolve a negação de uma das
proposições. Sua estrutura é dada pela fbf: (P → Q)∧¬Q → ¬P .
Vejamos um exemplo. Considere o seguinte argumento:
Se João desligar o interruptor, então a lâmpada se apaga. Vamos separar as proposições

P, Q, portanto:
P: João desliga o interruptor.
Q: A lâmpada apaga.
Agora vamos representar cada parte da fórmula de Modus Tollens:
1. (P→ Q) : Se João desligar o interruptor, então a lâmpada se apaga.

2. ←Q : A lâmpada não apagou.

conclusão. Pois, se João desligar o interruptor, a lâmpada se apaga E a lâmpada não se
apagou, logo podemos inferir (concluir) que João não desligou o interruptor.
105
A regra de Modus Tollens também pode ser representada pelo esquema:
Aqui fica claro que quando se tem uma implicação e o consequente não é verdade, então
a conclusão é que o antecedente também não aconteceu.
Resumindo esses dois métodos, no Modus Ponens, usamos a implicação para provar
que a consequência é verdadeira ao demonstrar que a premissa é verdadeira. Já no
Modus Tollens, usamos a implicação para provar que a premissa é falsa ao demonstrar
que a consequência é falsa.
Outra importante regra é o Silogismo Hipotético (SH). Nessa regra, além de existirem
implicações e conjunções nas hipóteses, a conclusão também é uma implicação. Sua
estrutura é dada pela fbf:
(P → Q)∧(Q → R) → (P → R) .
Vejamos um exemplo. Considere o seguinte argumento: Se as árvores começam a florir,

então começa a primavera. Se começa a primavera, então as árvores dão frutos. Vamos
separar as proposições P, Q, R portanto:
P: As árvores começam a florir.
Q: A primavera começa.
R: As árvores dão frutos.
Agora vamos representar cada parte da fórmula de Silogismo Hipotético:
1. (P → Q) : Se as árvores começam a florir, então começa a primavera.

2. (Q → R) : Se começa a primavera então as árvores dão frutos.

conclusão. Pois, se as árvores começam a florir, então começa a primavera E se começa
a primavera então as árvores dão frutos, logo podemos inferir (concluir) que se as
árvores começam a florir, então darão frutos.
A regra de Silogismo Hipotético também pode ser representada pelo esquema:

106
Veja que a consequente de uma proposição é a antecedente na outra e, por isso, o

resultado pode ser inferido do antecedente da primeira para a consequente da segunda
proposição.
O quadro abaixo apresenta um resumo de algumas das principais regras de inferências.

Além das regras já apresentadas, estão elencadas mais três regras à conjunção, na qual
dadas duas proposições elas podem ser unidas por essa operação. A simplificação, que
faz o contrário da conjunção, separa duas proposições. A adição, que adiciona uma nova
proposição a uma já existente por meio de uma conjunção.
Regras de inferência. Fonte: adaptada de Gersting (2017, p. 27).
Assimile
Nas regras de equivalência, as colunas podem ser usadas nos dois sentidos. Já nas regras
de inferência, só existe um sentido: a fbf da coluna “De” pode ser substituída pela
coluna de “Podemos deduzir”, mas o contrário não é verdade. Em outras palavras, “Ao
contrário das regras de equivalência, as regras de inferência não funcionam em ambas as
direções” (GERSTING, 2017, p. 27).
Agora que já conhecemos as principais regras de dedução lógica, vamos utilizar esse
método para mostrar que o argumento (¬A∨B)∧(B→C)→(A → C) é válido. O primeiro
passo é identificar as hipóteses e a conclusão. A fórmula do argumento (P1 ∧ P2 ∧
P3∧...∧Pn→C) nos diz que as hipóteses são ligadas pela conjunção e a conclusão é
ligada pela última implicação lógica. Outro detalhe importante é que as hipóteses
podem ser fbf e não somente proposições simples.
Portanto, para nosso caso temos:
Hipótese 1: (¬A ∨ B)
Hipótese 2: (B → C)
Conclusão: (A → C)
Veja que na conclusão temos uma implicação, isso já nos dá indícios de que
conseguiremos usar o silogismo hipotético. Vamos à sequência de demonstração.
107
1. ¬A ∨ B (hip).
2. B → C (hip).
3. A → B (1, cond).
4. 4. A → C (3, 4, SH).
Em quatro passos conseguimos demonstrar que o argumento é válido. Nos passos 1 e 2

elencamos as hipóteses. No passo 3, consultamos as regras de equivalência no quadro
apresentado, e usamos a regra de equivalência do condicional, ou seja, trocamos a
hipótese ¬A ∨ B por A → B já que são equivalentes.
Na linha 4, consultamos as regras de inferência no quadro apresentado logo acima e

aplicamos o silogismo hipotético entre as linhas 3 e 2, ou seja, substituímos (A →
B)∧(B → C) por A → C . Como chegamos exatamente a fbf da conclusão, provamos a
validade do argumento. As regras de dedução lógica devem ser consultadas a todo
momento no processo de demonstração. Não existe uma receita, somente a prática nos
auxilia a desenvolvermos o raciocínio. Podemos fazer uma analogia do processo de
demonstração com a atividade do programador.
Na programação sequencial, temos uma entrada e uma saída desejável, portanto

implementamos uma sequência lógica de passos para chegar a esse resultado. É trabalho
do desenvolvedor descobrir qual a sequência de proposições (comandos) que farão a
transformação dos dados de entrada, para a saída. Cada linha do programa tem que
seguir as regras de sintaxe da linguagem de programação, bem como a lógica necessária
para alcançar o resultado. Portanto, praticar esse raciocínio de sequência lógica é um
passo importante na formação do profissional de tecnologia.
Chegou a hora de resolver seu último desafio do processo seletivo para a vaga de trainee
em uma grande empresa de tecnologia. Você recebeu como desafio, avaliar dois
argumentos, mostrando se eles são válidos ou não. Para isso, você deve usar as regras
de dedução lógica. Relembrando os dois argumentos que lhe foram passados:
a) Se o papel de tornassol ficar vermelho, então a solução é ácida. O papel de tornassol

ficou vermelho. Portanto, a solução é ácida.
b) Se treino, eu venço o campeonato de xadrez. Se não jogo vôlei, então eu treino

Nessa etapa do desafio, você foi autorizado a usar a internet para consultar as regras de
equivalência e inferência lógica.
O primeiro passo para resolver esse problema é localizar uma fonte confiável para
consultar as regras. Uma ótima opção é usar seu acesso à biblioteca virtual e acessar a
obra: GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação:
matemática discreta e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017. Nas páginas 26
e 27 você encontrará as Tabelas 1.11 e 1.12 contendo as regras de equivalência e
inferência. Outra opção para consulta é você utilizar o ambiente virtual e acessar seu
108
livro didático, pois nele você poderá consultar os quadros vistos nesta aula, que também
contêm as regras necessárias para resolver o desafio.
Localizada uma fonte segura de informações, agora é preciso traduzir os argumentos

para a forma simbólica e fazer a demonstração lógica. Vamos começar pelo argumento
(a):
a) Se o papel de tornassol ficar vermelho, então a solução é ácida. O papel de tornassol

ficou vermelho. Portanto, a solução é ácida.
Vamos traduzir o argumento para proposições:
P: O papel de tornassol fica vermelho.
Q: A solução é ácida.
Agora é possível traduzir o argumento para forma simbólica: (P → Q)∧ P → Q . Agora

podemos começar a sequência de demonstração, iniciando pela enumeração das
hipóteses, seguida da aplicação de regras de dedução:
1. P → Q (hip).
2. P (hip).
3. Q (1, 2 MP).
No item 1 tem-se a primeira hipótese P → Q . No segundo item, a segunda hipótese,

lembrando que cada hipótese é conectada pela conjunção e, que cada uma delas pode
ser fbf. Após elencar as hipóteses, consultamos o Quadro com as Regras de inferência e
vimos que era possível aplicar a regra de Modus Ponens, ao aplicá-la na linha 3,
chegamos exatamente na conclusão do argumento, logo esse argumento é válido.
Agora vamos demonstrar o segundo argumento:
1. Se treino, eu venço o campeonato de xadrez. Se não jogo vôlei, então eu treino

Proposições:
P: Eu treino.
Q: Eu venci o campeonato de xadrez.
R: Eu jogo vôlei.
Forma simbólica do argumento: (P → Q)∧(¬R → P)∧¬Q → R .
Sequência de demonstração:
109
Para demonstrar esse argumento, foram necessários seis passos, sendo três deles as
hipóteses. Após elencar as hipóteses, consultamos o quadro com as Regras de inferência
e vimos que era possível aplicar a regra de Modus Tollens entre os itens 1 e 3, com isso
obtivemos o resultado ¬P no item 4.
Também vimos que podíamos aplicar a mesma regra entre os itens 2 e 4, com isso
obtivemos o resultado
no item 5. Por fim, consultado o Quadro Regras de Equivalência, vimos que podíamos
aplicar a dupla negação no item 5 e obtivemos R no item 6. Como R é a conclusão,
demonstramos que o argumento é válido.
Com essas demonstrações, finalizamos o desafio aplicando a lógica proposicional com

suas formas e regras para resolver os mais diversos problemas. Agora é só esperar o
resultado positivo da empresa!
110

estudadas;
111
Exercício 1
Um circuito digital combinacional pode ser desenvolvido com portas lógicas.

Portas lógicas são circuitos eletrônicos que representam as funções lógicas por
meio de entradas e saídas. As portas lógicas têm sua representação simbólica para
facilitar o desenvolvimento de projetos digitais e seguem a mesma definição da
lógica formal. (DACHI; HAUPT, 2018, p. 35)
A figura seguinte apresenta duas portas lógicas, sendo, respectivamente, as portas

AND e OR. Ambas as portas ilustradas possuem duas entradas A e B e uma única
saída para cada R e S. As entradas A e B podem receber os valores 1 ou 0
(verdadeiro ou falso) e as saídas R e S também serão 1 ou 0.
Escolha a seguir a opção que representa a sequência correta dos possíveis

resultados a serem obtidos pelas portas, por meio da Tabela Verdade, para as
saídas R e S considerando, respectivamente, as seguintes entradas:
1. A = V; B = V.
2. A = V; B = F.
3. A = F; B = V.
4. A = F; B = F.
a) R = V F F F; S = V V V F.
b) R = V V F F; S = F V V F.
c) R = F F F V; S = F V V F.
d) R = F V V F; S = V F F F.
e) R = V F V V; S = V V F F.
112
Exercício 2
Segundo Gersting (2017), os conectivos lógicos podem ser classificados em binários

e unários. Os conectivos binários juntam duas expressões por meio de um
conectivo lógico, produzindo uma terceira expressão. Já os conectivos unários
agem em uma única expressão para produzir uma segunda expressão. A conjunção
e a disjunção são binárias, já o conectivo de negação é do tipo unário.
Considerando a Tabela Verdade a seguir, complete a coluna com a fórmula

¬(A⋀B)¬:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
a) F – F – V – F.
b) V – F – F – F.
c) V – V – F – V.
d) F – F – F – V.
e) V – F – V – F.
113
Exercício 3
A tabela verdade é utilizada como um método exaustivo de extração de resultados

(SILVA; FINGER; MELO, 2017). Em outras palavras, uma tabela verdade deve
ser construída para testar todos os resultados possíveis dada uma combinação de
entradas e uma fórmula.
Dada a fórmula A→B e as proposições:
A: o cliente fez uma compra acima de R$ 100,00.
B: o cliente ganhará um cupom de desconto.
Escolha a sentença que traduz corretamente, em linguagem natural, o resultado

falso da fórmula.
1. Se o cliente fizer uma compra acima de R$ 50,00, ele ganhará um cupom de

desconto.
2. Se o cliente fizer uma compra acima de R$ 50,00, ele não ganhará um cupom de
desconto.
3. Se o cliente não fizer uma compra acima de R$ 50,00, ele ganhará um cupom de
desconto.
4. Se o cliente não fizer uma compra acima de R$ 50,00, ele não ganhará um
cupom de desconto.
5. Se o cliente fizer uma compra acima de R$ 50,00 e ganhar um cupom, ele terá
um desconto.
114
Exercício 4
“Uma tautologia é “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria estrutura; ela é

verdadeira independentemente dos valores lógicos atribuídos às suas letras de
proposição” (GERSTING, 2017, p.17). A tautologia é um resultado usado para
verificar a equivalência de duas fórmulas.
Considerando a equivalência lógica, analise as afirmativas a seguir.
I. As fórmulas A⋁B e B⋁A são equivalentes, pois se trata da propriedade da

comutatividade.
II. As fórmulas A⋁(B⋀C) e (A⋀B)⋁ (A⋀C) são equivalentes, pois se trata da

propriedade da distributividade.
III. As fórmulas ¬(A⋀B) e ¬A⋁¬B são equivalentes, pois se trata de uma das leis de
De Morgan.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) II e III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II, apenas.
e) I, II e III.
115
Exercício 5
Segundo Gersting (2017), é possível construir expressões lógicas mais complexas a

partir da combinação das proposições, dos conectivos e dos parênteses. Da mesma
forma que as operações matemáticas possuem ordem de precedência, os conectivos
lógicos também as possuem e, para se chegar à correta valoração de uma fórmula,
é preciso seguir com rigor tais regras.
Dada a fórmula A⋁C →(B⋀C), escolha a alternativa que representa a correta

sequência de valoração da fórmula.
a) A⋁C; B⋀C; A⋁C →(B⋀C).
b) A⋁C →(B⋀C); B⋀C; A⋁C.
c) A⋁C; A⋁C →(B⋀C); B⋀C.
d) B⋀C; A⋁C; A⋁C →(B⋀C).
e) A⋁C →(B⋀C); A⋁C; B⋀C.

116
117
UNIDADE 4 - Tabela Verdade
Aula 1 - Construção da Tabela Verdade
Caro(a) estudante, seja bem-vindo e/ou bem-vinda!
Reparou no modo como escrevi as boas-vindas (e/ou)? O que essa notação quer dizer?
O que eu quis dizer ao escrever “e”? Será que a resposta seria a mesma se eu optasse
pelo “ou”? Por exemplo: “vamos convidar somente a família e os amigos próximos para
a festa”. Qual seria o impacto se trocássemos E por OU nessa frase?
Como você pode ver, a lógica faz parte do nosso cotidiano, da nossa forma de
comunicação.
Embora tenhamos esse conhecimento comum, precisamos ir além e compreender, com

clareza, como esses conectores se comportam no mundo binário, pois da mesma forma
que nos comunicamos uns com os outros por meio da linguagem natural, os
componentes do computador se comunicam entre si usando a linguagem binária, e
acredite, tudo é uma combinação de 0s, 1s e os conectores lógicos. Para auxiliar na
compreensão e clareza dos resultados dos conectores, existe uma “ferramenta” chamada
tabela verdade, que é o assunto desta unidade de ensino. A todo momento, nesta
unidade, vamos desenvolver e praticar o raciocínio lógico utilizando a tabela verdade
para que, ao final da unidade, você conheça e saiba aplicar os seus conceitos e
fundamentos a partir de cases e aplicações computacionais.
Como funcionário trainee na área de analytics de uma empresa de varejo, você deve ser
capaz de resolver os problemas propostos pela equipe a fim de ajudá-la e, em breve, ser
promovido a júnior. Seu primeiro desafio consiste em construir uma tabela verdade com
os resultados dos conectores de conjunção, disjunção e negação para insights de vendas.
Seu segundo desafio é completar a tabela verdade com novos insights, baseados no
conector de implicação, a fim de direcionar uma campanha promocional. Após
completar as duas primeiras etapas, você deverá utilizar os novos dados recebidos para
extrair insights para uma campanha promocional personalizada. Animado?!
Para solucionar os desafios propostos, você aprenderá a construir tabelas verdades com
os conectores lógicos, analisar os resultados obtidos e solucionar fórmulas mais
complexas.
Portanto, chegou a hora de se tornar um profissional mais completo e se apropriar dessa

nova ferramenta! Vamos lá!!!
118

Nesta aula, você aprenderá o mecanismo de construção de uma tabela verdade, e como
utilizar os conectores lógicos de conjunção, disjunção e negação.

• Recordar o conceito da Tabela Verdade;

• Identificar os conectores lógicos de acordo com a situação apresentada;
• Construir uma Tabela Verdade para as operações de conjunção e disjunção.
Situação-problema
Boas-vindas! Iniciaremos agora uma jornada que lhe capacitará compreender e aplicar a
lógica por meio da construção de tabelas verdade. Quem tem irmão já deve ter ouvido a
mãe gritar: “Você E seu irmão estão de castigo!”, mas esse “E” tem a ver com o
conectivo lógico AND? A resposta é sim, o resultado desse E é o mesmo, seja na
linguagem natural ou na binária, por isso aprendemos lógica proposicional e a
aplicamos no universo computacional.
Você foi recentemente contratado como um funcionário trainee na área de analytics e

almeja se tornar júnior em breve, mas para isso deve cumprir seus desafios e ajudar a
equipe. Você recebeu uma planilha com os dados de compras de clientes, conforme
ilustrado na Tabela a seguir. Dadas as seguintes proposições: p: o cliente é do sexo
feminino, q: o cliente tem idade entre 20 e 30 anos, o seu desafio é construir uma Tabela
Verdade que generalize a solução fazendo a conjunção e a disjunção para as
proposições p e q, além de criar os resultados para a negação de ambas as fórmulas.
Após criar a tabela verdade, você poderá analisar cada registro informando se o
resultado é verdadeiro ou falso para cada um dos conectores lógicos propostos na
Tabela abaixo. Tal resultado ajudará a equipe de vendas a criar rotinas para tomada
decisões.
Dados de compra dos clientes. Fonte: elaborada pela autora.
Para cumprir seu desafio, nesta aula você estudará conceitos importantes sobre tabela
verdade. Então, mãos à obra!
119
Aula 1.1 - Uso de conectivos para a construção da Tabela Verdade
Olá, estudante, já deve ser do seu conhecimento que um computador é dividido em duas
partes: o hardware (componentes físicos) e o software (os programas). Muitos
pesquisadores contribuíram para que chegássemos ao nível de evolução computacional
que vivenciamos. O avanço do hardware se deu por meio das pesquisas na área da
eletrônica digital, que visa construir circuitos que representam grandezas por meio de
valores discretos (DACHI; HAUPT, 2018).
Os componentes eletrônicos que compõem um computador são formados por pequenos

elementos, chamados de transistores, que são capazes de lidar com dois estados, aberto
ou fechado. Um conjunto de transistores pode ser usado para construir uma porta lógica,
que ao receber sinais digitais de entrada produz uma determinada saída, que depende do
tipo de operação lógica para o qual foi construído. Por exemplo, uma porta lógica pode
receber um sinal de ligado (1) em uma entrada e um sinal de desligado (0) em outra,
qual seria o resultado? Depende da operação lógica dessa porta; se for uma
operação AND, o resultado seria “desligado”, mas se fosse um OR, o resultado seria
“ligado”.
Assim como no hardware, o software também possui operações lógicas. Por exemplo,
podemos escrever um programa que irá somar dois valores se, e somente se, ambos
forem positivos. Nesse caso, teremos que construir o algoritmo utilizando o
operador AND.
Como você pode ver, tanto o hardware como o software computacional dependem da
Lógica Formal. Sabemos que os fundamentos da lógica computacional estão baseados
nas proposições e nos conectivos (ou operadores) lógicos, mas como podemos organizar
os resultados das operações lógicas para facilitar nosso trabalho? Podemos seguir a
sugestão de Silva, Finger e Melo (2017) e construir matrizes de conectivos, conforme
mostra o quadro visto no início desta aula.
No canto superior esquerdo, temos a operação lógica a ser feita, no caso AND (E). Nas
linhas abaixo da operação, temos a proposição “P” e os possíveis valores que ela pode
assumir, ou seja, verdadeira / falsa. Nas colunas ao lado da operação, temos os valores
da proposição “Q”, ou seja, também verdadeira / falsa. No centro da matriz estão os
possíveis resultados lógicos para a operação AND. Veja que, quando P E Q são
verdadeiras, o resultado é V. Para todos os demais casos, o resultado é falso (F).
Matriz do conectivo AND. Fonte: adaptado de Silva, Finger e Melo (2017).
A representação dos resultados lógicos por meio de matrizes de conectores ajuda na

organização, porém, limita uma operação por matriz. Como meio de organizar os
resultados e facilitar a operação entre vários conectores em uma mesma estrutura,
podemos utilizar a Tabela Verdade.
120
Aula 1.2 - Construção da tabela verdade
Dada a necessidade de se obter resultados lógicos da combinação de proposições e

conectores, um dos métodos mais utilizados é o método da Tabela Verdade. Por
definição, a Tabela da Verdade é um método exaustivo de geração de valorações para
uma dada fórmula (SILVA; FINGER; MELO, 2017). Entendemos por fórmula a
composição de proposições e conectores lógicos, por exemplo, P⋁Q . Observe o
esquema geral da Tabela Verdade na Figura a seguir. Nas colunas, colocaremos
primeiro as proposições (quantas forem necessárias testar) e, em seguida, as operações
lógicas das quais queremos obter os resultados. Já nas linhas, colocaremos os valores
lógicos (V – F) tanto para as proposições quanto para os resultados das fórmulas que
obteremos, lembrando que nosso objetivo com a tabela verdade é analisar TODOS os
resultados possíveis, e podemos compará-la com um mapa de resultados.
Obtida a tabela uma vez, basta consultá-la.
Esquema geral de uma tabela verdade. Fonte: elaborado pela autora.
Alguns pontos sobre a lógica têm que estar bem claros para que possamos construir
nossas Tabelas Verdade.
Toda proposição é binária, ou seja, só pode assumir um dos seguintes valores:

Verdadeiro (V) ou Falso (F). Você pode optar por utilizar 1 para V e 0 para F.
Ao realizar uma operação lógica com duas proposições, temos que testar todas as
combinações de respostas, o que influenciará diretamente a quantidade de linhas
necessárias na Tabela Verdade.
O segundo ponto é muito importante e precisa ficar bem claro. Observe a Figura abaixo
(lado a). Criamos um esquema que mostra uma fórmula simples (operação binária);
nele, temos um espaço reservado para uma proposição, um conector e outra proposição.
Pois bem, sabemos que cada proposição pode assumir somente os valores V ou F (1 ou
0 se preferir). Com esses valores de entrada, essa fórmula genérica pode gerar quatro
resultados distintos.
Mas como isso é possível? Na verdade, estamos diante de um problema de análise

combinatória, mas para facilitar nossa vida, em vez de ficarmos decorando fórmulas,
121
vamos entender por meio da árvore de possibilidades (Figura a seguir, lado b). Observe
a Figura a seguir (b), cada proposição gera um nível na árvore, e como temos duas
proposições, temos dois níveis. Os ramos da árvore representam as possíveis respostas
para cada proposição (somente V ou F) e suas combinações. Para encontrar todas as
combinações possíveis é preciso percorrer os ramos passando pelos níveis, ou seja, para
esse caso, existem 4 caminhos diferentes VV, VF, FV, FF. Em outras palavras,
podemos dizer que a entrada V da primeira proposição pode se combinar com as
entradas V e F da segunda proposição, gerando, assim, dois resultados (o resultado
depende do conector utilizado). A entrada F da primeira proposição também pode se
combinar com as entradas da segunda proposição, gerando dois novos resultados.
Portanto, ao final, temos quatro resultados.
_____
Assimile
É importante que você entenda a lógica da combinação dos resultados, pois a

quantidade de combinações será a quantidade de linhas da Tabela Verdade. A
quantidade de linhas (combinações) aumenta exponencialmente com a quantidade de
proposições, seguindo a regra 2n , em que n é o número de proposições. Portanto, para
duas proposições, tem-se 22 = 4 ; para três proposições, tem-se 23 = 8 linhas; para
quatro proposições, tem-se 24 =16 linhas; e assim por diante.
Aula 1.3 - Tabela Verdade da conjunção (AND - E)
O conector lógico de conjunção (AND - E) é utilizado para realizar uma operação

binária entre duas proposições, quando se deseja obter um resultado verdadeiro se, e
somente se, as duas proposições forem verdadeiras. Utilizaremos o símbolo ⋀ para
representar esse conector lógico. Para construir a tabela verdade da conjunção, vamos
considerar como entradas as proposições A e B. Queremos avaliar os resultados para a
fórmula A ⋀ B .
Veja na Figura que segue que na primeira coluna (C1) colocamos a proposição A, na
segunda coluna (C2) a proposição B e na terceira coluna (C3) a fórmula que queremos
avaliar. Sobre os resultados, vamos analisar linha a linha.
• Na linha 1 (L1), colocamos as proposições A e B com entrada V. Veja na coluna

3 (C3) que a saída para essas entradas também é V.
• Na linha 2 (L2), colocamos a proposição A com entrada V e a B com entrada F.
Veja na coluna 3 (C3) que a saída para essas entradas é F.
122
• Na linha 3 (L3), colocamos a proposição A com entrada F e a B com entrada V.

Veja na coluna 3 (C3) que a saída para essas entradas é F.
• Na linha 4 (L4), colocamos as proposições A e B com entrada F. Veja na coluna
3 (C3) que a saída para essas entradas é F.
Reflita
Como usamos duas proposições, foram necessárias 4 linhas para gerar a valoração da
fórmula A⋀ B . Repare na distribuição das entradas. Para a proposição A, primeiro
foram dispostas as entradas V combinando com as entradas V e F da proposição B; em
seguida, foram dispostas as entradas F combinando com as entradas V e F de B.
Portanto, a primeira coluna ficou com entradas VVFF e a segunda coluna VFVF. Será
que foi só uma coincidência ou existe uma lógica que ajuda na organização? Como
ficariam dispostas as entradas da Tabela Verdade da conjunção para três proposições?
Quando utilizamos a lógica formal na construção de algoritmos, o conector lógico AND

é um recurso muito valioso na tomada de decisões. O resultado dessa operação em uma
linguagem de programação pode ser descrito por meio de uma Tabela Verdade. Por
isso, entender esse mecanismo é fundamental para sua vida profissional.
Exemplificando
Vejamos um exemplo prático para a conjunção. Imagine que estamos criando uma
aplicação que precisa informar se uma determinada pessoa irá pagar imposto ou não, a
depender da sua renda, de acordo com a seguinte regra: Se o salário for superior a 5 mil
e a idade menor que 40 anos, a pessoa pagará de imposto 10% do seu salário. Considere
as seguintes proposições:
A: o salário é maior que R$ 5 mil.
B: a idade é menor que 40 anos.
Com base na tabela verdade da conjunção, vamos analisar qual seria o resultado da
fórmula A ⋀ B para uma pessoa que recebe um salário de R$ 4 mil e possui 32 anos.
123
Avaliando a proposição A para o caso, temos um resultado F (pois não ganha salário de
5 mil). Já a proposição B possui resultado V (a idade é menor que 40 anos). Ao
consultarmos a terceira linha da Figura vista acima, vemos que o resultado de A ⋀ B
para tais entradas é falso. Portanto, para o caso analisado, o resultado da fórmula é F.
Aula 1.4 - Tabela Verdade da disjunção (OR - OU)
O conector lógico de disjunção (OR - OU) é utilizado para realizar uma operação
binária entre duas proposições quando se deseja obter um resultado falso se, e somente
se, as duas proposições forem falsas. Utilizaremos o símbolo ⋁ para representar esse
conector lógico. Para construir a Tabela Verdade da disjunção, vamos considerar como
entradas as proposições A e B. Queremos avaliar os resultados para a fórmula A ⋁ B.
Veja no Figura abaixo que na primeira coluna colocamos a proposição A, na segunda

coluna a proposição B e na terceira coluna a fórmula que queremos avaliar. Sobre os
resultados, vamos analisar linha a linha.
• Na linha 1 (L1), colocamos as proposições A e B com entrada V. Veja na coluna

3 (C3) que a saída para essas entradas também é V.
• Na linha 2 (L2), colocamos a proposição A com entrada V e a B com entrada F.
Veja na coluna 3 (C3) que a saída para essas entradas é V.
• Na linha 3 (L3), colocamos a proposição A com entrada F e a B com entrada V.
Veja na coluna 3 (C3) que a saída para essas entradas é V.
• Na linha 4 (L4), colocamos as proposições A e B com entrada F. Veja na coluna
3 (C3) que a saída para essas entradas é F.
Como mostra a Tabela Verdade da disjunção, basta que uma entrada seja verdadeira
para obtermos um resultado verdadeiro.
124
Aula 1.5 - Tabela Verdade para Negação
O operador lógico de negação tem a função de inverter, seja uma entrada ou o resultado
de uma operação. Utilizaremos o símbolo ← para representar esse conector lógico. Na
Figura abaixo (a), temos uma Tabela Verdade com negação para as proposições A, B.
Veja que ←A inverte o valor de A, ou seja, onde é V fica F e vice-versa. O mesmo
acontece para ←B , que inverte o valor de B. Na Figura abaixo (b), temos nas colunas 3
(C3) e 5 (C5) os resultados já conhecidos da conjunção e disjunção, e nas colunas 4
(C4) e 6 (C6) os novos resultados, sendo na coluna 4 (C4) os resultados para a negação
da conjunção e na coluna 6 (C¨) a negação da disjunção. Repare nos parênteses, que são
obrigatórios, indicando que a negação é para toda a operação e não somente para uma
proposição.
Tabela Verdade com operador de negação. Fonte: elaborada pela autora.
Para ficar claro como os parênteses podem afetar o resultado da operação lógica
envolvendo a negação, observe a Figura que segue. Na coluna 4 (C4), temos os
resultados para a fórmula ¬(A ∧ B) , já na coluna 5 (C5) temos o resultado para a
fórmula (A ∧¬B) . Veja como é diferente. No primeiro caso estamos invertendo o
resultado da operação toda, já no segundo caso, estamos invertendo apenas o valor de B
e fazendo a conjunção com A.
Tabela Verdade com operador de negação. Fonte: elaborada pela autora.
Como você já deve ter percebido, não adianta tentar decorar os resultados, você precisa
entender os operadores básicos e, a partir daí, ir resolvendo as fórmulas, parte por parte,
com auxílio da Tabela Verdade.
125
Olá, estudante, chegou o momento de solucionarmos o desafio.
Como membro da equipe de analytics de uma empresa de varejo, dadas as seguintes

proposições: p: o cliente é do sexo feminino e q: o cliente tem idade entre 20 e 30 anos,
você foi encarregado de construir uma Tabela Verdade para as operações de conjunção
e disjunção, além de criar a negação para as fórmulas. Com a Tabela Verdade criada,
você deve avaliar os registros de clientes que foi lhe passado na Tabela “Dados de
compra dos clientes”, completando as colunas E/OU com V ou F.
A Tabela Verdade é um mecanismo que permite valorar fórmulas de forma genérica a

partir de entradas binárias e conectores lógicos. Pois bem, como o problema proposto
apresenta duas proposições, serão necessárias 4 linhas para contemplar todas as
combinações possíveis das entradas. Além disso, serão necessárias 6 colunas, sendo 2
para as proposições (p, q), uma para a fórmula da conjunção, outra para a disjunção,
outra para a negação da conjunção e uma última com a negação da disjunção. O
resultado da Tabela Verdade deve estar conforme o quadro que segue.
Tabela Verdade para time de analytics. Fonte: elaborado pela autora.
A Tabela Verdade pode ser usada como um gabarito para as operações lógicas, pois
contempla todas as entradas possíveis e suas combinações para as fórmulas em estudo.
Com esse gabarito em mãos, podemos passar para a segunda etapa do desafio, que é
fazer a valoração das fórmulas p⋀q e p⋁q para cada registro da base de clientes. Pois
bem, vejamos na Tabela 4.2, como ficaram os resultados.
Na linha 1, o cliente Karly é do sexo feminino, portanto, p é verdadeiro, e tem 40 anos,

logo, a proposição q é falsa para esse cliente. Nesse caso, ao consultar a Tabela
Verdade, a conjunção com entradas V ⋀ F tem como resultado F, mas a disjunção tem
resultado V, pois basta que uma proposição seja V.
Na linha 2, o cliente é do sexo masculino e possui 49 anos; nesse caso, tanto p quanto q
são falsas, logo, ambas fórmulas são valoradas como F.
Termine de analisar suas respostas comparando os resultados com a Tabela Verdade.

126
Valoração das fórmulas p⋀q e p⋁q. Fonte: elaborada pela autora.
Nossa maior lição com esse desafio é entender como uma questão de lógica formal pode
ser utilizada em um algoritmo, e isso, no mercado de trabalho, fornece resultados para
as mais diversas áreas de uma empresa. Se fornecêssemos para a equipe de vendas o
resultado da coluna da conjunção, a fim de comunicá-los sobre o lançamento de uma
nova promoção, nenhum desses 10 receberia tal comunicado, por outro lado, se nosso
resultado fosse baseado na disjunção, vários deles receberiam o comunicado.
É isso aí, você como um profissional deve ter consciência das suas responsabilidades e
tomar as melhores decisões para a empresa!
Aula 2 - Resultados na Tabela Verdade
Nesta aula, veremos a Tabela Verdade do conector de implicação, bem como outros
importantes resultados da Tabela Verdade.
• Esclarecer os tipos de conectores de implicação;

• Identificar a importância dos operadores de implicação;
• Analisar a conexão entre o operador de implicação (→) e os comandos
se...então.
127
Situação-problema
Olá, estudante. Profissionais das mais diversas áreas tomam decisões o tempo todo em
seu ambiente de trabalho. Todas as decisões precisam ser bem avaliadas, pois toda ação
gera uma consequência. Por exemplo, em uma campanha promocional, se optar por
desconto a um determinado grupo, poderá não vender tanto para um outro grupo
potencial. No mundo da lógica computacional, as decisões são tomadas por meio de
estruturas de decisão, que têm sua origem em um conector lógico chamado de
implicação, o qual veremos sua tabela verdade nesta aula.
Como funcionário trainee na área de analytics de uma empresa de varejo, você deve
ajudar a equipe de marketing em uma campanha para o dia internacional da mulher.
Dadas as proposições:
A: o cliente é do sexo feminino.
B: o cliente fez um compra com valor superior a R$ 50,00. C: ganhar cupom com 10%
de desconto.
Seu desafio consiste primeiro em avaliar a fórmula A ⋀ B para cada um dos registros da
Tabela a seguir. Essa avaliação lhe permitirá classificar a proposição C para cada um
dos clientes, ou seja, se o cliente ganhará ou não o cupom de 10% de desconto.
Após a classificação, você deverá generalizar, por meio de uma Tabela Verdade, as
possíveis respostas para a fórmula P → Q , sendo P e Q duas proposições genéricas.
Dados de compra dos clientes. Fonte: elaborada pela autora.
Pronto para o desafio?! Então vamos lá!

128
Aula 2.1 - Conceito de Tabela Verdade
A Tabela Verdade é utilizada como um método exaustivo de extração de resultados

(SILVA; FINGER; MELO, 2017). Em outras palavras, construímos uma Tabela
Verdade para testarmos todos os resultados possíveis para todas as combinações
possíveis de entradas em uma determinada fórmula. Uma fórmula é composta por
proposições e operadores lógicos, como, por exemplo, a negação (NOT), a conjunção
(AND) e a disjunção (OR).
Além desses conectores, as proposições podem ser combinadas na forma “se proposição
1, então proposição 2”. O conectivo lógico dessa combinação é o condicional,
representado por → , e significa que se a proposição 1 é verdadeira, implicará na
verdade da proposição 2 (GERSTING, 2017). Em outras palavras, podemos dizer que
dada uma sequência de proposições, a partir da operação condicional é possível chegar a
uma conclusão (um resultado), que é uma nova proposição. A primeira parte, antes do
conector, é chamada de antecedente, e a segunda de consequente conforme ilustra a
figura abaixo.
Implicação lógica. Fonte: elaborada pela autora.
Para entendermos como funciona a implicação, vejamos alguns exemplos.
Considere as proposições A e B:
A: há uma falha na rede elétrica. B: a chave central irá desligar.
A fórmula A → B , que significa que B está condicionado a A, deve ser lida como: “se
houver uma falha na rede elétrica, então, a chave central irá desligar.”
Considere as proposições P, Q, R.
P: a nota mínima necessária para ser aprovado é 6,0.
Q: João tirou 8,0 na prova.
R: João será aprovado.
Nesse exemplo, temos o resultado de uma conjunção implicando uma terceira

proposição. Simbolicamente, escrevemos (P ∧Q) → R , e deve ser lida como: “Se a
nota mínima necessária para ser aprovado é 6,0 e João tirou 8,0 na prova, então, ele será
aprovado.”
129
Os possíveis resultados do operador condicional estão representados na Tabela Verdade

apresentada na figura a seguir.
Tabela Verdade para o condicional. Fonte: elaborada pela autora.
Para entendermos os resultados da implicação, vamos utilizar o exemplo presente em

uma nota de aula do professor Chibeni, da Unicamp (CHIBENI, 2019).
Considere as seguintes proposições:
A: soltar a pedra.
B: a queda da pedra.
A fórmula A → B deve ser lida como “Se a pedra for solta, então, a pedra cairá”.
Agora, vamos avaliar todas as respostas possíveis com base na Tabela Verdade da
Figura vista acima.
• Na primeira linha (L1), temos como entrada a verdade das proposições A e B,

em nosso exemplo, quer dizer que a pedra foi solta (proposição A é verdadeira)
e caiu (proposição B é verdadeira), portanto, a condição era verdadeira e o
resultado é V (linha 1 e coluna 3).
• Na linha dois (L2), temos como entrada que a proposição A é verdadeira e a
proposição B é falsa, isso quer dizer que a pedra foi solta, mas não caiu.
• Nesse caso, a condicional não é verdadeira e o resultado é F (linha 2 e coluna
3).
• Nas demais linhas, terceira e quarta (L3 e L4), temos como entrada que a
proposição A é falsa (que é o antecedente), nesse caso, não há como avaliar a
condicional e o resultado é tomado como verdadeiro.
Assimile
Os resultados lógicos das linhas 3 e 4 (L3 e L4) da Tabela Verdade da condicional não
são tão fáceis de identificar. Como se trata de uma dependência, caso o antecedente seja
falso, o resultado lógico será sempre verdadeiro.
“Por convenção, A → B será considerada verdadeira se A for falsa, independentemente

do valor lógico de B” (GERSTING, 2017, p. 2).
130
Tautologia, contradição e contingência
Considerando a proposição A como:
A: hoje está chovendo.
Vamos construir a Tabela Verdade para a fórmula A ∨¬A , que, traduzindo, quer dizer,
“hoje está chovendo ou hoje não está chovendo”. Veja o resultado no quadro a seguir.
Tabela Verdade da fórmula A ∨¬A. Fonte: elaborada pela autora.
A coluna dos resultados (última coluna) para a fórmula obteve como resposta somente
verdadeiro. Quando o resultado de uma fórmula obtém somente V como resposta, a
fórmula é denominada tautologia (GERSTING, 2017).
Agora, vamos considerar a seguinte proposição B:
B: hoje é segunda-feira.
Vamos construir a Tabela Verdade para a fórmula B ∧¬B , que quer dizer, “Hoje é
segunda-feira e hoje não é segunda-feira”.
Veja o resultado na quadro a seguir.
Tabela Verdade da fórmula B ∧¬B. Fonte: elaborada pela autora.
Como podemos observar, a coluna dos resultados (última coluna da tabela verdade) para
a fórmula obteve como resposta somente falso. Quando o resultado de uma fórmula
obtém somente F como resposta, a fórmula é denominada contradição (GERSTING,
2017).
Quando uma tabela verdade não é uma tautologia e não é uma contradição, então, ela é
uma contingência.
131
Reflita
A tautologia é uma proposição em que, independentemente das entradas, todas as

respostas são verdadeiras. Já a contradição é o resultado quando todas as possíveis
respostas são falsas.
Podemos afirmar que a tautologia acontecerá somente para as fórmulas com conectores
lógicos de disjunção (OR) e a contradição para os conectores de conjunção (AND)?
Tabela verdade para propriedade da distributividade A ∧(B ∨C) ⇔ (A ∧ B)∨(A ∧C). Fonte: a autora.
Não poderíamos encerrar esta aula sem mencionar, além das propriedades, outros dois
importantes resultados da equivalência, usados para fazer a negação de uma proposição
composta. Refiro-me às leis de De Morgan, “[...] assim nomeadas em honra ao
matemático inglês do século XIX Augustus De Morgan, o primeiro a enunciá-las”
(GERSTING, 2017, p. 9).
As duas equivalências são:
I - ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧¬B
II - ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨¬B
Observe que a primeira equivalência (I) trata da equivalência envolvendo a negação em

uma disjunção e a segunda equivalência (II) corresponde a uma negação em uma
conjunção. O quadro abaixo apresenta os resultados para a fórmula I e o seguinte, para a
fórmula II.
Tabela verdade para a lei de De Morgan ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧¬B. Fonte: a autora.

132
Tabela verdade para a lei de De Morgan ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨¬B. Fonte: a autora.
O que podemos concluir das leis de De Morgan é que a negação de uma disjunção é
equivalente à negação de cada uma das proposições em uma conjunção (fórmula I) e
que a negação de uma conjunção é equivalente à negação de cada uma das proposições
em uma disjunção (fórmula II).
E com esses importantes resultados, finalizamos nossa aula! Até a próxima!
Aula 2.2 - Equivalência aplicada na tabela verdade
Considere as seguintes proposições:
A: o cliente tem 35 anos.
B: o cliente gastou mais do que R$ 100,00 na última compra.
Dadas as proposições A e B, vamos construir a Tabela Verdade (Quadro abaixo) para

as seguintes fórmulas: A⋁B e B⋁A .
Tabela Verdade das fórmulas A ⋁ B e B ⋁ A. Fonte: a autora.
As colunas 3 e 4 do Quadro acima apresentam os possíveis resultados para as fórmulas

A ⋁ B e B ⋁ A . Na quinta coluna, temos mais um teste lógico chamado de
equivalência, no qual testamos se os resultados obtidos para a fórmula A ⋁ B são iguais
(equivalentes) aos obtidos por B ⋁ A . Veja que usamos o símbolo ⇔ para denotar essa
operação e que o resultado foi uma tautologia, o que nos permite concluir que as
fórmulas A ⋁ B e B ⋁ A são equivalentes.
133
Exemplificando
Para saber se duas fórmulas são equivalentes, é necessário construir a tabela verdade e
verificar se a equivalência é uma tautologia. Por exemplo, vamos construir uma tabela
verdade (Quadro abaixo) para testar se as fórmulas A ⋀B e B ⋀ A são equivalentes.
Tabela verdade das fórmulas A⋀B e B⋀A. Fonte: a autora.
Como podemos observar no quadro acima, as fórmulas A ⋀ B e B⋀ A também são

equivalentes.
Os resultados obtidos nos quadros apresentados não são uma coincidência, pois estamos
diante de uma forte propriedade, a comutativa. Lembra das aulas de matemática quando
aprendeu que o resultado de 2 + 3 é igual a 3 + 2? Pois bem, aqui na lógica também
temos essa mesma propriedade: a ordem dos fatores não altera o resultado. Veja no
quadro a seguir mais algumas propriedades.
Equivalências tautológicas. Fonte: adaptado de Gersting (2017).
Já vimos as tabelas verdade para a propriedade da comutatividade, vejamos agora para

as demais, começando pela associativa (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C). O resultado está no
quadro a seguir. O primeiro detalhe é que, como temos três proposições envolvidas,
vamos precisar de 8 linhas para representar todas as combinações possíveis (lembra,
linhas = 2n ). Outro detalhe é que para facilitar, resolvemos a fórmula em partes.
Veja: na coluna C4, extraímos os resultados para A ⋁ B , e na coluna C5 utilizamos o

resultado de C4 para fazer a disjunção com a proposição C, obtendo o resultado do lado
esquerdo da fórmula. O mesmo fizemos para o lado direito, na coluna C6, fizemos B
⋁C (como estava entre parênteses, fizemos primeiro) e depois, na coluna C7, utilizamos
o resultado de C6 para fazer a disjunção com a proposição A. Por fim, na coluna C8,
fizemos a equivalência verificando se os resultados obtidos em C5 e C7 eram iguais,
como temos uma tautologia, então, podemos afirmar que elas de fato são equivalentes.
134
Tabela Verdade para propriedade associativa (A ∨ B)∨C ⇔ A ∨(B ∨C). Fonte: elaborada pela autora.
Vamos agora verificar uma equivalência da propriedade da distributividade para a

fórmula A ∧(B ∨C) ⇔ (A ∧ B)∨(A ∧C) C) . O quadro abaixo apresenta o resultado.
Resolvemos primeiro o lado esquerdo da equivalência, ou seja, a fórmula A ∧(B ∨C) .
Na coluna C4 fizemos a disjunção entre parênteses e na coluna C5 utilizamos o

resultado obtido em C4 para fazer a conjunção com a proposição A. Nas colunas C6 e
C7, resolvemos os parênteses da fórmula à direita da equivalência, e na C8, usamos os
resultados de C6 e C7 para a disjunção. Por fim, na C9 comparamos os resultados
obtidos em C5 e C8, provando que
q se trata de uma equivalência.
Tabela verdade para propriedade da distributividade A ∧(B ∨C) ⇔ (A ∧ B)∨(A ∧C).

C). Fonte: a autora.
Não poderíamos encerrar esta aula sem mencionar, além das proprie-
proprie dades, outros dois
importantes resultados da equivalência,
equivalência, usados para fazer a negação de uma proposição
composta. Refiro-me
me às leis de De Morgan, “[...] assim nomeadas em honra ao
matemático inglês do século XIX Augustus De Morgan, o primeiro a enunciá-las”
enunciá
(GERSTING, 2017, p. 9).
As duas equivalências são:
I - ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧¬B
II - ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨¬B
135
Observe que a primeira equivalência (I) trata da equivalência envolvendo a negação em

uma disjunção e a segunda equivalência (II) corresponde a uma negação em uma
conjunção. O quadro abaixo apresenta os resultados para a fórmula I e o seguinte, para a
fórmula II.
Tabela verdade para a lei de De Morgan ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧¬B. Fonte: a autora.
Tabela verdade para a lei de De Morgan ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨¬B. Fonte: a autora.
O que podemos concluir das leis de De Morgan é que a negação de uma disjunção é
equivalente à negação de cada uma das proposições em uma conjunção (fórmula I) e
que a negação de uma conjunção é equivalente à negação de cada uma das proposições
em uma disjunção (fórmula II).
E com esses importantes resultados, finalizamos nossa aula! Até a próxima!
Você foi encarregado da missão de direcionar a equipe de marketing em uma campanha

para o dia internacional da mulher.
Dada as proposições:
A: o cliente é do sexo feminino.
B: o cliente fez um compra com valor superior a R$ 50,00.
C: ganhar cupom com 10% de desconto.
Você deve primeiro avaliar a fórmula A ⋀ B para cada um dos registros
da Tabela 4.3 classificando a proposição C, como V ou F, para cada um dos clientes, ou

seja, se o cliente ganhará ou não o cupom de 10% de desconto.
136
Pois bem, vamos analisar o primeiro registro:
A: O cliente é do sexo feminino. (SIM – V)
B: O cliente fez um compra com valor superior a R$ 50,00. (SIM – V)
Portanto, para o primeiro registro a fórmula A ⋀ B resulta em V, pois V ∧V =V , então

a proposição C é V.
Já para o segundo registro, temos F ∧V = F , pois o cliente é do sexo masculino. Então

a proposição C é falsa para esse caso. Ao analisar todos os registros, você deve chegar
ao resultado da Tabela que segue.
Resultado para equipe de marketing. Fonte: elaborada pela autora.
Agora, vamos generalizar as respostas construindo a Tabela verdade para a fórmula P

→ Q , como mostra o quadro a seguir.
Tabela verdade para a fórmula P → Q. Fonte: a autora.

137
Para finalizar, vamos fazer a conexão entre o resultado obtido na análise dos registros
com o Quadro acima.
A primeira observação importante é que a proposição genérica P no desafio é o

resultado da conjunção A⋀B . Vamos fazer a análise com os dois primeiros registros.
No primeiro registro, a fórmula A⋀B resultado em V e a proposição C também foi

classificada como V.
Temos aqui o caso V→V , que, consultado a tabela verdade da implicação tem como
resultado também V, isso quer dizer que a proposição “O cliente é do sexo feminino e
fez uma compra acima de R$ 50,00, então, ele ganhará desconto” é uma verdade.
Já para o segundo registro, temos A ∧ B = F , consequentemente a proposição C

também é falsa. Temos aqui o caso F→ F , que consultado a tabela verdade da
implicação, tem como resultado V, mas o que esse resultado quer dizer? Quer dizer que
a proposição “O cliente não é do sexo feminino e nem fez uma compra acima de R$
50,00, então, ele não ganhará desconto” é uma verdade.
Termine de fazer as avaliações, caso a caso, pois quanto mais praticar, mais apto estará
para avaliar as implicações lógicas e contribuir ainda mais com seu time!
138
Aula 3 - Aplicações Tabela Verdade
Nesta aula, você aprenderá a importância dos parênteses nas fórmulas, e de seguir a
regra de precedência dos operadores.
• Examinar as regras lógicas para classificar um cliente em potencial;

• Praticar as combinações de proposições;
• Usar o raciocínio lógico utilizando a tabela verdade.
Situação-problema
Olá, estudante! Até você chegar ao ensino superior foram anos de estudos, não é
mesmo?
Tudo começou com o processo de alfabetização, tanto de leitura quanto das operações
básicas de matemática (soma, subtração, divisão e multiplicação). Primeiro você
aprendeu a fazer operações matemáticas simples, por exemplo, 2 + 3, depois
apareceram os parênteses, por exemplo, (2 + 3)×4 . Mas será que esses parênteses são
só de enfeite? Certamente que não! Eles influenciam a ordem que as operações devem
ser resolvidas e, como você já deve saber, não seguir as regras certamente implica em
chegar em resultados errôneos.
Pois bem, da mesma forma que a matemática tem suas fórmulas e suas regras de
resolução, a lógica formal também as possui, e nesta aula vamos aprender mais sobre
elas.
Como funcionário trainee na área de analytics de uma empresa de varejo, você deve dar
continuidade em seu trabalho, fornecendo novos insights para a equipe de marketing
realizar sua campanha promocional. Para esse novo desafio foi enviada a você uma base
com novas informações, conforme ilustra a Tabela a seguir.
Nessa base é possível encontrar o valor gasto na última compra do cliente, o total de
compras já feito por ele e o ticket médio (valor médio gasto em cada compra). A partir
desses dados você deve usar as regras da lógica para classificar se o cliente tem
potencial para comprar na nova campanha e, se tiver, então ele ganhará um cupom com
desconto de 10%. Caso não seja um cliente com potencial então ele ganhará somente
um cupom com 5%. Vamos às regras: para ser classificado como um cliente com
potencial de compra, não importa o gênero (pode ser feminino ou masculino), o cliente
deve ter idade entre 30 e 45 anos, ter feito acima de 10 compras e ter um ticket médio
acima de R$ 50,00.
139
Seu desafio é montar uma fórmula que traduza essa regra e, então preencher a coluna
“cliente_poten- cial” com o resultado da fórmula para cada registro. Dada a
classificação, você deve escrever uma nova fórmula que traduza “Se o cliente tem
potencial de compra, então ele deve ganhar um cupom com 10% de desconto”, e outra
fórmula que traduza “Se é falso que o cliente tem potencial de compra, então ele deve
ganhar um cupom com 5% de desconto”.
Por fim, use a lógica de programação para preencher as colunas “cupom_10” e

“cupom_5” valorando as condicionais.
Para cumprir esse desafio, nesta aula você verá um caso de como fazer a ligação entre a
lógica formal e a lógica na computação, assim já vai se preparando para em breve
começar a programar.
Então vamos lá!

140
Aula 3.1 - Combinação de proposições
Ao longo de nossos estudos aprendemos diversas fórmulas; quem não se lembra da

famosa fórmula de Bhaskara usada para encontrar as raízes de uma equação do segundo
grau? Ou então da segunda lei Newton, que diz que a força é sempre diretamente
proporcional ao produto da aceleração de um corpo pela sua massa? Para conseguimos
resolver esses tipos de equação, primeiro foi necessário aprender as operações
matemáticas básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão); depois essas operações
passaram a se combinar em fórmulas mais elaboradas, e nesse momento foi necessário
aprender a ordem de precedência dos operadores.
Por exemplo: as fórmulas:
(I) 2 + 3×4
(II) (2 + 3)×4
apresentam o mesmo resultado?
A resposta é não, pois a primeira tem como resultado 14 e a segunda, 20. Isso acontece
porque, em uma fórmula, a multiplicação tem precedência sobre adição, então ao não
usar parênteses na fórmula (I) a multiplicação foi feita antes da soma. Outro detalhe
importante é que as fórmulas apresentam uma sintaxe correta, por exemplo: não
podemos escrever 2 ++ 3, pois essa fórmula é inválida.
Assim como as fórmulas matemáticas, podemos construir expressões lógicas mais

complexas a partir da combinação das proposições, dos conectivos e dos parênteses
(GERSTING, 2017). Da mesma forma que as operações matemáticas têm ordem de
precedência, os conectivos lógicos também a possui.
______
Assimile
Para resolver uma expressão lógica que combina várias proposições com conectivos
lógicos é preciso obedecer a seguinte regra de precedência:
1. Para expressões que tenham parênteses, primeiro efetuam-se as operações

lógicas dentro dos parênteses mais internos.
2. ← (Negação) (maior precedência).
3. ∧,∨ (Conjunção e disjunção).
4. → (Implicação).
5. ↔ (Bicondicional).
Ao seguir rigorosamente a ordem de precedência dos operadores, o uso de parênteses

pode ser omitido nos casos adequados. Por exemplo: a fórmula A ∨(¬B) pode
simplesmente ser escrita como A ∨¬B , uma vez que, de acordo com a ordem de
precedência, a negação será realizada primeiro, mesmo sem parênteses.
141
Exemplificando
Para exemplificar como a ordem de precedência dos operadores lógicos pode

influenciar o resultado, vamos construir uma Tabela Verdade para as fórmulas A ∧ B →
A e A ∨(B → A) . Veja no quadro a seguir que os resultados das colunas C4 e C6 são
diferentes. Em C4, como o operador de conjunção tem precedência sobre a implicação,
chegamos em uma tautologia, o que não ocorreu em C6 quando forçamos, por meio de
parênteses, a implicação ser efetuada primeiro.
Tabela Verdade das fórmulas A ∧ B → A e A ∨(B → A). Fonte: a autora.
Ainda no quadro acima, observe que usamos a coluna C3 para efetuar a primeira
operação da fórmula A ∧ B → A , e na coluna C4 usamos o resultado obtido em C3
para fazer a implicação. O mesmo acontece na coluna C5, em que fazemos a primeira
operação da fórmula A ∨(B→A), (considerando as regras da ordem de precedência) e
depois usamos o resultado de C5 para fazer a conjunção final em C6. Esse processo de
criar uma coluna para cada operação facilita o trabalho e nos auxilia a não cometer erros
na construção da Tabela Verdade.
Esses resultados intermediários podem ser representados por novas letras, por exemplo:
poderíamos chamar o resultado da coluna C3 de P, então na coluna C4 teríamos P → A
. Da mesma forma, poderíamos chamar o resultado da coluna C5 de R, então na coluna
C6 teríamos a fórmula A ⋀ R . O Quadro abaixo mostra essa alternativa.
Tabela Verdade das fórmulas A ∧ B → A e A ∨(B → A). Fonte: a autora.
Dada uma fórmula com várias proposições, conectores e parênteses dentro de

parênteses, a resolução deve começar pelos parênteses mais internos. Por exemplo, a
fórmula ((A ∨ B) → C)∧A deve ter a seguinte ordem de resolução:
142
1 - A ⋁ B (parênteses mais internos)
2 - ((A ∨ B) → C) (parênteses mais externo)
3 - ((A ∨ B) → C)∧ A (operação fora dos parênteses).
O quadro abaixo mostra o resultado para essa fórmula. Veja que usamos proposições
intermediárias para nomear os resultados. Primeiro obtemos P (A⋁B) que é o resultado
1, depois usamos para obter Q(P⋁C), que é o resultado 2, e por fim, o usamos para obter
o resultado final da fórmula, o qual também nomear, por exemplo R (Q⋀A).
Tabela Verdade para a fórmula ((A ∨ B) → C)∧ A. Fonte: a autora.

______
Reflita
Por praxe – mas não obrigatoriamente – construímos a Tabela Verdade colocando nas
colunas mais à esquerda as proposições, em seguida, as colunas com as fórmulas. Em
uma fórmula do tipo (A ∨ B) → A, precisamos primeiro obter o resultado de A ⋁ B ,
para depois fazer a implicação. Quando o resultado de uma operação é usado para
entrada em outra operação faz diferença a ordem das operações lógicas que serão
consideradas? Em outras palavras, nessa operação (A ∨ B) → A , obteremos o mesmo
resultado se fizermos A → (A ∨ B) ?
______
Uma dúvida que pode surgir é sobre como vamos aplicar todas essas operações e regras
no universo da programação. A resposta é simples: vamos utilizar para construir uma
sequência de instruções, chamada de algoritmo.
Um algoritmo é uma sequência de passos que solucionam algum problema de diversas

áreas do mundo real. Mais precisamente, as operações lógicas são usadas em estruturas
condicionais (ou estruturas de decisão) e têm o objetivo de realizar testes alterando o
fluxo de execução de um programa, de acordo com a resposta obtida (SOFFNER,
2013). Por exemplo, imagine que acabou de se mudar e esteja realizando a busca de um
143
apartamento em um site de aluguel de imóveis. O site oferece uma interface na qual

você clica nas opções que deseja, conforme ilustra a figura abaixo.
Interface de site de busca de imóvel. Fonte: elaborada pela autora.
Vamos fazer algumas simulações para avaliarmos a lógica por trás da nossa seleção.
Simulação 1: Selecionar Apartamento; 1 dormitório; 1 banheiro; sem vaga de garagem.
A expressão lógica que será construída com base nessa simulação é:
Apartamento E 1 quarto E 1 banheiro E sem garagem.
Serão exibidos na tela somente os imóveis que satisfazem todas essas alternativas; os
demais serão ignorados, pois no algoritmo a instrução é composta pelo conector de
conjunção.
Simulação 2: Selecionar Apartamento; 1, 2 dormitórios; 1, 2 banheiros; 0, 1 vaga de

garagem.
Nesse caso a expressão lógica será:
Apartamento E (1 quarto OU 2 quartos) E (1 banheiro OU 2 banheiros) E (0 OU 1 vaga

de garagem).
Veja que nesse caso a expressão é mais complexa e envolve a resolução de parênteses
internos. Como resultado da busca apareceriam tanto opções com 1 quarto com 2
quartos e banheiros e também sem garagem ou com 1 vaga.
Todas essas opções devem estar implementadas no algoritmo por meio das estruturas
condicionais.
Esse tipo de estrutura é amplamente usado em algoritmos computacionais. Quem nunca

fez uma compra em um site? Ao finalizar a compra, o algoritmo faz uma conjunção dos
itens que colocamos no carrinho de compras, para calcular o preço final.
144
Aula 3.2 - Classificação dos registros na Tabela Verdade
Para finalizar nossa aula, vamos utilizar uma base com dados reais e, a partir de uma
Tabela Verdade, veremos como classificar os registros. Os dados usados são de domínio
público e estão disponíveis no Portal Brasileiro de Dados Abertos (BRASIL, 2019).
Trata-se de uma base com os preços de combustíveis em algumas cidades do Brasil no
ano de 2019, segregados por estado, cidade, estabelecimento de revenda, produto, data
da pesquisa, valor de venda, valor de compra e bandeira do posto, conforme amostra
dos dados na Tabela abaixo.
Amostra dos dados de combustíveis automotivos. Fonte: Brasil (2019).

145
Dadas as seguintes proposições:
A: O município é Brasília.
B: O combustível é gasolina.
C: A bandeira é Petrobras.
Vamos construir a Tabela Verdade para a regra “Se a cidade não for Brasília e o
combustível for gasolina então a bandeira é Petrobras.”. Em seguida, vamos fazer a
conexão entre a lógica formal com a lógica computacional, mais especificamente com a
lógica de programação, para avaliar a regra para cada um dos registros. O primeiro
passo é traduzir a regra para uma fórmula lógica, o que nos resulta em (¬A ∧ B) → C .
O resultado da Tabela Verdade para a fórmula está no Quadro 4.16. Veja que a primeira
operação que fizemos foi a negação, que está dentro dos parênteses (seguindo a ordem
de precedência dos operadores), depois fizemos a conjunção e chamamos o resultado de
R. Usamos esse resultado para fazer a implicação.
Tabela Verdade para a fórmula (¬A ∧ B) → C. Fonte: a autora.
Lembrando que a Tabela Verdade nos permite avaliar a veracidade da expressão

testando todas as combinações possíveis. Vamos interpretar alguns resultados do
Quadro acima.
• Na linha 1, temos a seguinte expressão “Se é falso que a cidade não é Brasília e
o combustível é gasolina, então a bandeira é Petrobras.”. Tal expressão tem
como resultado V, que se deve à falsidade no antecedente, impossibilitando
avaliar o resultado que, portanto, é tomado como verdadeiro.
• Na linha 2, a expressão é “Se é falso que a cidade não é Brasília e o combustível
é gasolina, então é falso que a bandeira é Petrobras”. Dada a falsidade no
antecedente e consequente, a expressão tem como resultado V. O único caso em
que a implicação tem como resultado F, é quando o antecedente é verdadeiro e o
consequente é falso.
146
Os operadores lógicos são usados na lógica de programação para dizer se uma condição
é verdadeira ou falsa. Nesse exemplo, queremos criar uma lógica de programação para
avaliar regra “Se a cidade não for Brasília e o combustível for gasolina então a bandeira
é Petrobras.” Pois bem, o Quadro a seguir apresenta o resultado da análise das
proposições A e B para os registros do Quadro abaixo, bem como da conjunção ¬A ∧ B
.
Valoração de A e B. Fonte: a autora.
Dentro de um algoritmo computacional, o resultado da conjunção, dentro de uma

estrutura condicional, pode ser usado para classificar a proposição C, pois onde a
condição for satisfeita (V) a proposição C também será. Na programação, o operador de
implicação é feito por meio do comando se… então… No nosso exemplo podemos
dizer se ¬A ∧ B então C, ou seja, onde ¬A ∧ B for V, C também será. Para matar um
pouco da nossa vontade de começar a programar, veja no Quadro 4.18 como ficaria esse
comando dentro de três importantes linguagens de programação.
Estrutura condicional em linguagens de programação. Fonte: elaborado pela autora.

147
Como você pode observar no quadro acima, o comando se é escrito em inglês (if) e o
então, nas linguagens C e Java é a chave ( { ) e em python é o dois pontos ( : ). Outro
detalhe é a escrita da conjunção; em C e Java é feito pelo && e em python pelo
comando and. Além desses conectivos lógicos, também foram usados operadores
relacionais. A sintaxe != significa “diferente” e a sintaxe == significa “igual”. Como
você pode ver, a solução geral de um problema está na lógica, que não muda de uma
linguagem para outra, o que muda é a sintaxe. Por isso, compreender os operadores
lógicos é essencial para sua carreira. Não deixe de aprofundar seus estudos e lembre-se:
quanto mais treinar, mais desenvolverá sua lógica e sua capacidade analítica.
Caro estudante, chegou o momento de resolvermos mais um desafio. Como funcionário

na área de analytics de uma empresa de varejo, você recebeu uma nova base de dados e
precisa identificar os clientes que têm potencial de comprar na nova campanha. A regra
para dizer se o cliente tem ou não potencial para comprar é dada pelas seguintes
condições:
• Não importa o gênero (pode ser feminino ou masculino).

• Ele ou ela deve ter idade entre 30 e 45 anos.
• Ele ou ela deve ter feito acima de 10 compras.
• Ele ou ela deve ter um ticket médio acima de R$ 50,00.
A primeira parte do desafio consiste em escrever uma fórmula que traduza essas regras
e, então classificar o resultado da fórmula para cada registro da base da dados.
Primeiro ponto importante para montar a fórmula é entender que todas as condições
precisam ser satisfeitas, ou seja, estamos diante de conjunções. Como não importa o
gênero – pode ser F ou M –, usaremos a disjunção. Agora é montar essa disjunção com
as várias conjunções, utilizando os parênteses para indicar a ordem da valoração.
Vamos começar escrevendo os itens já em fórmulas:
• (feminino OU masculino).
• (idade >=30 E idade <=45).
• (compra >= 10).
• (ticket médio >= 50).
Agora é só juntar os itens com a conjunção:
(feminino OU masculino) E (idade >=30 E idade <=45) E (compra >= 10) E (ticket
médio >= 50). Veja que temos conectores que não são tão evidentes, como no caso da
idade, em que precisamos usar a conjunção para delimitar a idade procurada. Agora
vamos avaliar a fórmula para os dados. Observe os resultados na coluna
“cliente_potencial” na tabela a seguir.
Vamos analisar juntos alguns registros. Na linha 1, o gênero, a idade e o valor da última
compra são satisfeitos, porém, o total de compras e o ticket médio não são, o que resulta
148
em falso para a coluna que indica se o cliente é ou não potencial. Já na linha 4, todos os
itens são atendidos, logo o cliente é classificado como V, ou seja, é um cliente com
potencial de compra na campanha.
Resultado da valoração da fórmula. Fonte: elaborada pela autora.
Agora que já sabemos quais clientes têm potencial para comprar, vamos ao próximo
passo: marcar o cupom de desconto. Devemos escrever uma nova fórmula que traduza
“Se o cliente tem potencial de compra, então ele deve ganhar um cupom com 10% de
desconto”. Vamos chamar de P a proposição “o cliente tem potencial de compra” e R a
proposição “Ganhar um cupom com 10% de desconto”. Então a fórmula pode ser escrita
como P → R . Na lógica de programação, a implicação é utilizada em estruturas
condicionais do tipo se… então… E como resultado temos que se P for verdadeira então
R acontecerá.
Também foi dado a você o desafio de escrever a fórmula que traduza “Se é falso que o
cliente tem potencial de compra, então ele deve ganhar um cupom com 5% de
desconto”. Considerando a proposição P anterior e a proposição S como “Ganhar um
cupom com 5% de desconto”, obtemos a fórmula ¬P → S . Agora já podemos finalizar
149
o relatório completando as colunas que indicam a qual cupom o cliente tem direito. Veja
na Tabela a seguir o resultado completo.
Vamos analisar a linha 1. Temos que o cliente não é potencial, ou seja, ¬P é uma
verdade nesse caso, logo S acontecerá.
Relatório final. Fonte: a autora.

Com esses resultados finalizamos nosso desafio, contribuindo com êxito com a área de
marketing da empresa. Esperamos que venham novos desafios!
150

estudadas;
151
Exercício 1
Um circuito digital combinacional pode ser desenvolvido com portas lógicas.

Portas lógicas são circuitos eletrônicos que representam as funções lógicas por
meio de entradas e saídas. As portas lógicas têm sua representação simbólica para
facilitar o desenvolvimento de projetos digitais e seguem a mesma definição da
lógica formal. (DACHI; HAUPT, 2018, p. 35)
A figura seguinte apresenta duas portas lógicas, sendo, respectivamente, as portas

AND e OR. Ambas as portas ilustradas possuem duas entradas A e B e uma única
saída para cada R e S. As entradas A e B podem receber os valores 1 ou 0
(verdadeiro ou falso) e as saídas R e S também serão 1 ou 0.
Escolha a seguir a opção que representa a sequência correta dos possíveis

resultados a serem obtidos pelas portas, por meio da Tabela Verdade, para as
saídas R e S considerando, respectivamente, as seguintes entradas:
1. A = V; B = V.
2. A = V; B = F.
3. A = F; B = V.
4. A = F; B = F.
a) R = V F F F; S = V V V F.
b) R = V V F F; S = F V V F.
c) R = F F F V; S = F V V F.
d) R = F V V F; S = V F F F.
e) R = V F V V; S = V V F F.
152
Exercício 2
Segundo Gersting (2017), os conectivos lógicos podem ser classificados em binários

e unários. Os conectivos binários juntam duas expressões por meio de um
conectivo lógico, produzindo uma terceira expressão. Já os conectivos unários
agem em uma única expressão para produzir uma segunda expressão. A conjunção
e a disjunção são binárias, já o conectivo de negação é do tipo unário.
Considerando a Tabela Verdade a seguir, complete a coluna com a fórmula

¬(A⋀B)¬:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
a) F – F – V – F.
b) V – F – F – F.
c) V – V – F – V.
d) F – F – F – V.
e) V – F – V – F.
153
Exercício 3
A tabela verdade é utilizada como um método exaustivo de extração de resultados

(SILVA; FINGER; MELO, 2017). Em outras palavras, uma tabela verdade deve
ser construída para testar todos os resultados possíveis dada uma combinação de
entradas e uma fórmula.
Dada a fórmula A→B e as proposições:
A: o cliente fez uma compra acima de R$ 100,00.
B: o cliente ganhará um cupom de desconto.
Escolha a sentença que traduz corretamente, em linguagem natural, o resultado

falso da fórmula.
1. Se o cliente fizer uma compra acima de R$ 50,00, ele ganhará um cupom de

desconto.
2. Se o cliente fizer uma compra acima de R$ 50,00, ele não ganhará um cupom de
desconto.
3. Se o cliente não fizer uma compra acima de R$ 50,00, ele ganhará um cupom de
desconto.
4. Se o cliente não fizer uma compra acima de R$ 50,00, ele não ganhará um
cupom de desconto.
5. Se o cliente fizer uma compra acima de R$ 50,00 e ganhar um cupom, ele terá
um desconto.
154
Exercício 4
“Uma tautologia é “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria estrutura; ela é

verdadeira independentemente dos valores lógicos atribuídos às suas letras de
proposição” (GERSTING, 2017, p.17). A tautologia é um resultado usado para
verificar a equivalência de duas fórmulas.
Considerando a equivalência lógica, analise as afirmativas a seguir.
I. As fórmulas A⋁B e B⋁A são equivalentes, pois se trata da propriedade da

comutatividade.
II. As fórmulas A⋁(B⋀C) e (A⋀B)⋁ (A⋀C) são equivalentes, pois se trata da

propriedade da distributividade.
III. As fórmulas ¬(A⋀B) e ¬A⋁¬B são equivalentes, pois se trata de uma das leis de
De Morgan.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) II e III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II, apenas.
e) I, II e III.
155
Exercício 5
Segundo Gersting (2017), é possível construir expressões lógicas mais complexas a

partir da combinação das proposições, dos conectivos e dos parênteses. Da mesma
forma que as operações matemáticas possuem ordem de precedência, os conectivos
lógicos também as possuem e, para se chegar à correta valoração de uma fórmula,
é preciso seguir com rigor tais regras.
Dada a fórmula A⋁C →(B⋀C), escolha a alternativa que representa a correta

sequência de valoração da fórmula.
a) A⋁C; B⋀C; A⋁C →(B⋀C).
b) A⋁C →(B⋀C); B⋀C; A⋁C.
c) A⋁C; A⋁C →(B⋀C); B⋀C.
d) B⋀C; A⋁C; A⋁C →(B⋀C).
e) A⋁C →(B⋀C); A⋁C; B⋀C.

156

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1

Conhecer e entender os princípios matemáticos e de lógica, seus fundamentos e

Conhecer e entender as teorias de álgebras de conjuntos, suas operações,

Conhecer as práticas e técnicas da lógica Proposicional, seus conectivos,

Conhecer e aplicar os conceitos e fundamentos da tabela verdade, utilizando

Princípios fundamentais da matemática e da lógica

Olá, estudante! Boas-vindas!

Vamos dar início à disciplina de Lógica Computacional, que trará conteúdos

• Na primeira unidade você terá a oportunidade de conhecer e explorar os

A lógica computacional contém assuntos multidisciplinares e contribuirá para formação

UNIDADE 1 - Princípios Fundamentais da Matemática e da

Aula 1 - Fundamentos de lógica

Boas-vindas! Nesta unidade você terá contato com os princípios fundamentais da

Na primeira aula apresentaremos os fundamentos de lógica, conhecimento essencial

Aproveite bem a oportunidade de praticar o estudo dos fundamentos da lógica; tais

Aula 1.0 - Introdução da aula

Qual é o foco da aula?

Objetivos gerais de aprendizagem

• Apontar os termos mais frequentes utilizados na lógica;

Por exemplo, a partir de um e-mail do cliente, você extraiu as seguintes frases:

Sua aprendizagem será importante para um futuro profissional de sistemas

Aula 1.1 - Conceitos de lógica

Começaremos nossa exploração sobre lógica com algumas discussões filosóficas e

É necessário conhecer as definições de alguns termos importantes e muito utilizados na

• Proposição: consiste em um enunciado, uma frase declarativa.

Aula 1.2 - Lógica formal

A lógica busca uma harmonia de raciocínio utilizando-se de argumentos para se

• Em dias sem nuvens, chove.

Em um dia sem nuvens, João sairá com seu guarda-chuva.

Aula 1.3 - Inferência

Inferência é o processo que permite chegar a conclusões a partir de premissas,

1.Todos os homens são mortais.

Logo, Elias é mortal.

2. Toda novela conta histórias sobre o dia a dia das pessoas.

Roque Santeiro é uma novela.

Logo, Roque Santeiro conta histórias sobre a vida das pessoas.

Em especial no século XIX, como apresenta Fajardo (2017), alguns matemáticos e

Para a correta comunicação, é necessário o domínio da língua e de suas regras

Quando a partir de argumentos válidos e verdadeiros obtemos conclusões falsas, temos

Um famoso silogismo presente nessa interpretação de Zenão de Eléia apresenta que o

Aula 1.4 - Lógica transcendental

A lógica transcendental é desenvolvida por toda a obra do filósofo Immanuel Kant, em

fonte é relativa à faculdade de conhecer um objeto por representações mentais, a partir

Kant distingue Conhecimento Empírico e Conhecimento Puro.

O Conhecimento Empírico ou conhecimento a posteriori está relacionado ao que é

Já o Conhecimento Puro, também chamado de conhecimento a priori, é relativo à

Aula 1.5 - Lógica indutiva e dedutiva

Como vimos anteriormente ao discutirmos as inferências, a lógica pode ser classificada

Vamos a um exemplo de inferência dedutiva ou dedução?

• Todo o analista de sistemas sabe programar.

Exemplos de Lógica Dedutiva:

1. Todos os brasileiros gostam de praia. Antônio é brasileiro. Portanto, Antônio

Já a lógica indutiva se preocupa com argumentos que permitem conclusões gerais a

Vamos a um exemplo de inferência indutiva ou indução?

• Mariana é analista de sistemas e sabe programar.

• Enzo é analista de sistemas e sabe programar.

Observe que, ao consultar dezenas ou centenas de analistas de sistemas, chegamos a

Veja a seguir exemplos de lógica indutiva.

Exemplos de Lógica Indutiva:

Note a importância do raciocínio indutivo para o desenvolvimento da ciência por meio