Instituto Superior

de Engenharia de Coimbra
Co imbra

Tabelas de Matemática
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS

Definições

1 1
1. sec a = 2. cosec a =
cos a sen a
Fórmulas Trigonométricas

1. sen2 a + cos2 a = 1

2. 1 + tg2 a = sec2 a 3. 1 + cotg2 a = cosec2 a

4. cos ( a ± b ) = cos a cos b ∓ sen a sen b 5. cos 2a = cos2 a − sen2 a

6. sen ( a ± b ) = sen a cos b ± sen b cos a 7. sen 2a = 2 sen a cos a

1 − cos 2a 1 + cos 2a
8. sen2 a = 9. cos2 a =
2 2
1 − cos 2a 1 + cos 2a
10. tg2 a = 11. cotg2 a =
1 + cos 2a 1 − cos 2a
tg a ± tg b 2tg a
12. tg ( a ± b ) = 13. tg2a =
1 ∓ tg a tg b 1 − tg2 a
cotg a cotg b ∓ 1 cotg2 a − 1
14. cotg ( a ± b ) = 15. cotg 2a =
cotg b ± cotg a 2 cotg a
a +b a −b a −b a +b
16. sen a + sen b = 2 sen cos 17. sen a − sen b = 2sen cos
2 2 2 2
a +b a −b a +b a −b
18. cos a + cos b = 2 cos cos 19. cos a − cos b = −2 sen sen
2 2 2 2
sen x = sen a ⇔
20. 21. cos x = cos a ⇔ x = ±a + 2k π ; k ∈ ℤ
x = a + 2k π ∨ x = (π - a ) + 2k π ; k ∈ ℤ

22. tg x = tg a ⇔ x = a + k π ; k ∈ ℤ 23. cotg x = cotg a ⇔ x = a + k π ; k ∈ ℤ

Fórmulas Hiperbólicas

1. ch2 a − sh2 a = 1

2. 1 − th2 a = sech2 a 3. coth2 a − 1 = cosech2 a

4. ch ( a ± b ) = ch a ch b ± sh a sh b 5. ch 2a = ch2 a + sh2 a

6. sh ( a ± b ) = sh a ch b ± sh b ch a 7. sh 2a = 2 sh a ch a

ch 2a + 1 ch 2a − 1
8. ch2 a = 9. sh2 a =
2 2

1
DERIVAÇÃO

Resultados fundamentais

Sejam f e g duas funções reais de variável real com f invertível

1
1. [ ( f -1 )( y ) ]′ = ′ 2. ( fog )′ (x ) = [ f ′ ( y ) ]y =g (x ) g ′(x )
f (x ) x = f -1 ( y )

Regras

Sejam f e g duas funções reais de variável real

1. c ′ = 0, c ∈ ℝ 2. x′ = 1

3. ( cf )′ = cf ′, c∈ℝ 4. ( f + g )′ = f ′ + g ′

′ ′
5. ( fg )′ =f ′g + fg ′ 6. ( f g )′ = f g g−2 fg

7. ( f p )′ = pf p -1 f ′ , p ∈ ℚ 8 (a f )′ = a f f ′ ln a , a ∈ ℝ + \ { 1 }

9. (e f )′ = ef f ′ 10. ( f g )′ = gf g -1 f ′ + f g g ′ ln f

f′ f′
11. ( loga f )′ = , a ∈ ℝ + \ {1} 12. ( ln f )′ =
f ln a f

13. ( sen f )′ = f ′ cos f 14. ( cos f )′ = −f ′ sen f

15. ( tg f )′ = f ′ sec2 f 16. ( cotg f )′ = −f ′ cosec2 f

17. ( sec f )′ = f ′ sec f tg f 18. ( cosec f )′ = −f ′ cosec f cotg f

f′ −f ′
19. ( arcsen f )′ = 20. ( arccos f )′ =
1− f 2
1− f2

f′ −f ′
21. ( arc tg f )′ =
1+ f2
22. ( arccotg f )′ =
1+ f2

23. ( sh f )′ = f ′ ch f 24. ( ch f )′ = f ′ sh f

25. ( th f )′ = f ′ sech2 f 26. ( coth f )′ = −f ′ cosech2 f

2
PRIMITIVAÇÃO

Primitivas Imediatas

Sejam f e g funções reais de variável real, tais que f é diferenciável e g é primitivável e seja C uma

constante real. Seja G (x ) = P g (x ) = ∫ g(x )dx

Função: g (x ) Primitiva: G (x ) + C

1. a, a ∈ ℝ ax + C
f p +1
2. f pf ′ + C , p ∈ ℝ \ { -1}
p +1

3. ef f ′ ef + C
af
4. af f ′ +C
ln a
f′
5. ln f + C
f

6. f ′ cos f sen f + C

7. f ′ sen f − cos f + C

8. f ′ sec2 f tg f + C

9. f ′ cosec2 f −cotg f + C

10. f ′ sec f tg f sec f + C

11. f ′ cosec f cotg f − cosec f + C

12. f ′ sec f ln sec f + tg f + C

13. f ′ cosec f ln cosec f − cotg f + C

14. f ′ sh f ch f + C

15. f ′ ch f sh f + C

16. f ′ sech2 f th f + C

17. f ′ cosech2 f − coth f + C

f′
18. arcsen f + C ou − arccos f + C
1− f2
f′
19. arctg f + C ou − arccotg f + C
1 + f2

3
Resultados fundamentais

Sejam f (x ) e g (x ) funções primitiváveis e c1 e c2 constantes reais.

∫ c1 f (x ) + c2g(x ) dx = c1 ∫ f (x ) dx + c2 ∫ g (x ) dx

Técnicas de Primitivação

1. Primitivação por Partes

Seja u(x ) uma função primitivável e v(x ) uma função derivável:

∫ u(x )v(x )dx = ( ∫ u(x )dx ) v(x ) − ∫ ( ∫ u(x )dx ) v ′(x ) dx

2. Primitivação por Substituição

Seja ϕ : [ a, b ] → [ c, d ] uma função derivável e injectiva e seja f (x ) uma função primitivável

em [ c, d ] :

∫ f (x )dx =  ∫ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) dt  −1
 t =ϕ (x )

Sejam a, b, c e d constantes reais. A notação R(...) indica que se trata de uma função que envolve

apenas somas, diferenças, produtos e quocientes das funções que se encontram entre parêntesis.

Tipo de Função SUBSTITUIÇÃO

a a a
1. R ( x , a 2 − b 2x 2 ) x = sen t ou x = cos t ou x = th t
b b b

a a
2. R ( x , a 2 + b 2x 2 ) x = tg t ou x = sh t
b b

a a
3. R ( x , b 2x 2 − a 2 ) x = sec t ou x = ch t
b b

R ( x , x q , x s ,... )
p r
4. x = t m onde m = m.m.c. ( q, s,... )

ax + b
( )
p rs
5. R x, ( cxax ++db ) , ( cxax ++db )
q
,... = t m onde m = m.m.c. ( q, s,... )
cx + d

6. R ( a rx , a sx ,... ) a mx = t onde m = m.d .c ( r, s,... )

4
 se a > 0 faz-se ax 2 + bx + c = x a ± t
se c > 0 faz-se ax 2 + bx + c = c ± tx
7. R ( x , ax 2 + bx + c ) se ax 2 + bx + c = a ( x - r1 )( x - r2 ) faz-se
ax 2 + bx + c = ( x - r1 )t ou
ax + bx + c = ( x - r2 )t, r1, r2 ∈ ℝ
2

m +1
se ∈ ℤ faz-se a + bx n = t q
x m ( a + bx n ) q
p
n
8. m +1 p
se + ∈ ℤ faz-se a + bx n = x n t q
n q

9. R ( sen x , cos x ) Universal:

x
tg = t
2
caso em que é então:
2t 1 − t2
sen x = , cos x =
Se: 1 + t2 1 + t2
a) R ( − sen x , cos x ) = −R ( senx , cos x ) cos x = t
b) R ( sen x , − cos x ) = −R ( sen x, cos x ) sen x = t
c) R ( − sen x, − cos x ) = R ( sen x, cos x ) tg x = t
caso em que é então: x ∈  0, π 2 
t 1
sen x = , cos x =
1+t 2
1 + t2

10. R ( sen mx, cos mx ) mx = t

11. R ( sh x, ch x ) Universal:
x
tgh =t
2
caso em que é então:
2t 1 + t2
Se: sh x = , ch x =
1−t 2
1 − t2
a) R(− sh x , ch x ) = −R(sh x , ch x ) ch x = t
b) R(sh x, −ch x ) = −R(sh x , ch x ) sh x = t

c) R(−sh x , −ch x ) = R(sh x , ch x ) tgh x = t ; caso em que é então

t 1
sh x = , ch x =
2
1-t 1 - t2

12. R ( sh mx , ch mx ) mx = t

5
3. Primitivação de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

I- Potências de funções trigonométricas e hiperbólicas

1. Potências ímpares de sen x , cos x , sh x , ch x

Destaca-se uma unidade à potência e à potência de expoente par aplica-se uma das

fórmulas fundamentais:

sen2 x + cos2 x = 1 ch2 x − sh2 x = 1

2. Potências pares de sen x , cos x , sh x , ch x

Passam-se para o arco duplo através das fórmulas:

1 1
sen2 x = (1 − cos 2x ) sh2 x = (ch 2x − 1)
2 2
1 1
cos2 x = (1 + cos 2x ) ch2 x = (ch 2x + 1)
2 2

3. Potências pares e ímpares de tg x, cotg x , th x, coth x

Destaca-se tg2 x , cotg2 x , th2 x , coth2 x e aplica-se uma das fórmulas:

tg2x = sec2 x − 1 th2 x = 1 − sech2 x

cotg2x = cosec2x − 1 coth2 x = 1 + cosech2 x

4. Potências pares de sec x , cosec x , sech x , cosech x

Destaca-se sec2 x , sech2x, cosec2x , cosech2x e ao factor resultante aplica-se uma das

fórmulas:

sec2 x = 1 + tg2x sech2 x = 1 − th2 x

cosec2 x = 1 + cotg2 x cosech2 x = coth2 x − 1

5. Potências ímpares de sec x , cosec x , sech x , cosech x

Destaca-se sec2 x, sech2 x , cosec2 x , cosech2 x e primitiva-se por partes começando por

esse factor.

6
II - Produtos de potências das funções sen x e cos x ou sh x e ch x

1. Potência ímpar em sen x ou sh x por qualquer potência em cos x ou ch x

Destaca-se sen x ou sh x e o factor resultante passa-se para a

co-função através da fórmula fundamental:

sen2 x = 1 − cos2 x sh2 x = ch2 x − 1

2. Potência ímpar em cos x ou ch x por qualquer potência de sen x ou sh x

Destaca-se cos x ou ch x e o factor resultante passa-se para a

co-função através da fórmula fundamental:

cos2 x = 1 − sen2 x ch2 x = 1 + sh2 x

3. Potência par em sen x ou sh x por potência par em cos x ou ch x

Aplicam-se as fórmulas:

sen 2x = 2 sen x cos x sh 2x = 2 sh x ch x

1 − cos 2x ch 2x - 1
sen2 x = sh2 x =
2 2
1 + cos 2x ch 2x + 1
cos x =
2
ch x =
2
2 2

III – Produtos em que aparecem factores do tipo sen(mx ) e cos(nx ) ou factores do tipo
sh(mx ) e ch(nx )

Aplicam-se as fórmulas:

1 1
sen x sen y = [ cos ( x − y ) − cos ( x + y ) ] sh x sh y = [ ch ( x + y ) − ch ( x − y ) ]
2 2
1 1
sen x cos y = [ sen ( x + y ) + sen ( x − y ) ] sh x ch y = [ sh ( x + y ) + sh ( x - y ) ]
2 2
1 1
cos x cos y = [ cos ( x + y ) + cos ( x − y ) ] ch x ch y = [ ch ( x + y ) + ch ( x − y ) ]
2 2

7
4. Primitivação de Fracções Racionais

N (x )
1. Se a fracção for imprópria (grau do polinómio N (x ) ≥ grau do polinómio D(x ) efectua-
D(x )
N (x ) R(x ) R(x )
se a divisão do N (x ) por D(x ) : = Q(x ) + , sendo Q(x ) um polinómio e uma
D(x ) D(x ) D(x )
fracção própria.

R(x )
2. Seja uma fracção racional própria (grau do polinómio R(x ) < grau do polinómio D(x ) )
D(x )

Decompõe-se o denominador da fracção própria em factores e decompõe-se a fracção própria numa

soma de elementos simples de acordo com os factores obtidos:

a) Cada raiz real simples a contribui para a decomposição com um termo do tipo:

A
x −a

com A uma constante a determinar;

b) Cada raiz real a de multiplicidade k contribui para a decomposição com a soma:

A1 A2 Ak
+ +⋯+
x − a (x - a )2 (x - a )k

com A1, A2 ,..., Ak constantes a determinar;

c) Cada raiz par de raízes complexas p ± qi simples contribui para a decomposição com

um termo do tipo:

A1x + B1
( x − p )2 + q 2

com A, B constantes a determinar.

d) Cada raiz par de raízes complexas p ± qi de multiplicidade k contribui para a

decomposição com uma soma do tipo::

A1x + B1 A2x + B2 Ak x + Bk
+ + ... +
(x − p ) + q
2 2
  2
 ( x - p )2 + q 2  k
(x − p ) + q 
2 2
 

com A1, B1,..., Ak , Bk constantes a determinar.

8
TRANSFORMADAS DE LAPLACE

f (t ) = L−1 { F (s)} F (s ) = L { f (t )}

1
1. 1 , s>0
s
1
2. eat , s >a
s −a
b
3. sen bt , s>0
s 2 + b2
s
4. cos bt , s>0
s 2 + b2

b
5. sh bt , s> b
s − b2
2

s
6. ch bt , s> b
s − b2
2

n!
7. t n ( n = 1, 2,... ) , s>0
s n +1
n!
8. t neat ( n = 1, 2,... ) , s >a
(s − a )n +1
2bs
9. 2
, s >0
t sen bt (s + b2 )
2

s 2 − b2
10. , s>0
t cos bt (s 2 + b2 )
2

b
11. eat sen bt , s >a
(s − a )2 + b 2
s +a
12. , s >a
eat cos bt (s − a )2 + b 2

e -as
13. µa (t ) , s>0
s

14. µa ( t ) g ( t − a ) e -asG(s ) , com G (s ) = L { g(t )}

9
FUNÇÕES ELEMENTARES

Função Função Inversa

1. Função Exponencial 2. Função Logarítmica

f : ℝ → ℝ+ f : ℝ+ → ℝ
x ֏ ax , a > 0 ∧ a ≠ 1 x ֏ loga x , a > 0 ∧ a ≠ 1

0 <a <1

a >1

Funções Trigonométricas

3. Seno 4. Arco Seno

f : [ − π2 , π2 ] → [ −1, 1 ] f -1 : [ −1,1 ] → [ − π2 , π2 ]
x ֏ sen x x ֏ arcsen x

10
 Função Função Inversa

5. Cosseno 6. Arco Cosseno

f -1 : [ −1,1 ] → [ 0, π ]
f : [ 0, π ] →  −1,1 
  x ֏ arccos x
x ֏ cos x

7. Tangente 8. Arco Tangente

f :]− π2 , π2 [→ℝ f -1 : ℝ → ]− π2 , π2 [
sen x x ֏ arctg x
x ֏ tg x =
cos x

9. Cotangente 10. Arco Cotangente

f : ] 0, π [ → ℝ
f -1 : ℝ → ] 0, π [
cos x
x ֏ cotg x = x ֏ arcotg x
sen x

Funções Hiperbólicas
11. Seno Hiperbólico 12. Argumento Seno Hiperbólico

f :ℝ→ ℝ f -1 : ℝ → ℝ
e x − e -x x ֏ argsh x
x ֏ sh x =
2

11
 Função Função Inversa

13. Cosseno Hiperbólico 14. Argumento Cosseno Hiperbólico

f : ℝ +0 → [ 1, +∞ [ f -1 : [ 1, +∞ [ → ℝ +0
e x + e -x x ֏ argch x
x ֏ ch x =
2

15. Tangente Hiperbólica 16. Argumento Tangente Hiperbólica

f : ℝ → ]−1,1[ f -1 : ]−1,1[ → ℝ
sh x e 2x − 1 x ֏ argth x
x ֏ th x = = 2x
ch x e +1

17. Cotangente Hiperbólica 18. Argumento Cotangente Hiperbólica

f : ℝ \ { 0 } → ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞ [ f −1 : ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞ [ → ℝ \ { 0 }

ch x e 2x + 1 x ֏ argcoth x
x ֏ coth x = = 2x
sh x e −1

12
Cónicas

Elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é
constante
x2 y2 ( x − x 0 )2 ( y − y 0 )2
2
+ 2 =1 2
+ =1
a b a b2

2a = comprimento do eixo maior 2a = comprimento do eixo menor

2b = comprimento do eixo menor 2b = comprimento do eixo maior
2c = distância entre os focos 2c = distância entre os focos
c2 = a 2 − b2 c2 = b2 − a 2
Focos: F1 = (c, 0 ) e F2 = ( −c, 0 ) Focos: F1 = ( x 0 , y 0 + c ) e F2 = ( x 0 , y 0 − c )
Vértices: v1 = ( a, 0 ), v2 = ( −a, 0 ) Vértices: v1 = ( x 0 + a, y 0 ) , v2 = ( x 0 − a, y 0 )
v 3 = ( 0, b ), v 4 = ( 0, −b ) v 3 = ( x 0 , y 0 + b ) , v4 = ( x 0 , y 0 − b )
c c
Excentricidade: e = Excentricidade: e =
a b

Obs. A circunferência é um caso particular da elipse, em que a = b = r

( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 = r 2

Parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo F (foco) e de uma
recta fixa L (directriz).
Excentricidade: e = 1 ; p = distância do foco à directriz
x 2 = 2py ( x − x 0 )2 = −2p ( y − y 0 )

Foco: F = ( 0, p 2 ) Foco: F = ( x 0 , y 0 − p 2 )
Directriz: y = − p 2 Directriz: y = y 0 + p 2
Vértice: v = ( 0, 0 ) Vértice: v = ( x 0 , y 0 )

y 2 = 2px ( y − y 0 )2 = −2p ( x − x 0 )

Foco: F = ( p 2 , 0 ) Foco:
Directriz: x = − p 2 F = ( x 0 − p 2 , y0 )

Vértice: v = ( 0, 0 ) Directriz: x = x 0 + p 2
Vértice: v = ( x 0 , y 0 )

13
Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias a
dois pontos fixos (focos) é constante e menor que a distância entre eles.

y2 x2 ( x − x 0 )2 ( y − y 0 )2
− =1 − =1
b2 a2 a2 b2

2a = comprimento do eixo não transverso 2b = comprimento do eixo não transverso

2b = comprimento do eixo transverso 2a = comprimento do eixo transverso
2c = distância entre os focos 2c = distância entre os focos
c2 = a 2 + b 2 c2 = a 2 + b 2

Focos: F1 = ( 0, c ) , F2 = ( 0, −c ) Focos: F1 = ( x 0 + c, y 0 ) , F2 = ( x 0 - c, y 0 )
Vértices: v1 = ( 0, b ) , v2 = ( 0, −b ) Vértices: v1 = ( x 0 + a, y 0 ) , v2 = ( x 0 − a, y 0 )
c c
Excentricidade: e = Excentricidade: e =
b b
b b
Assimptotas: y = ± x Assimptotas: y − y 0 = ± ( x − x 0 )
a a

14
Superfícies Quádricas

x2 y2 z2
Elipsóide 2
+ 2 + 2 =1
a b c
Intersecção com os planos coordenados:
x2 y2
z =0 elipse + =1
a2 b2
y2 z2
x =0 elipse + =1
b2 c2
x2 z2
y =0 elipse + =1
a2 c2
Obs. A superficíe esferica de centro na origem é um caso
particular de elipsóide com a = b = c

x2 y2 z2
Hiperbolóide de uma folha 2
+ 2 − 2 =1
a b c

Intersecção com os planos coordenados:

x2 y2
z =0 elipse + =1
a2 b2
y2 z2
x =0 hipérbole − =1
b2 c2
x2 z2
y =0 hipérbole 2
− 2 =1
a c

z2 x 2 y2
Hiperbolóide de duas folhas − − 2 =1
c2 a2 b
Intersecção com os planos coordenados:
z =0 a intersecção é vazia
z2 y2
x =0 hipérbole 2
− 2 =1
c b
2
z x2
y =0 hipérbole 2
− 2 =1
c a

x2 y2
Parabolóide Elíptico + −z = 0
a2 b2

Intersecção com os planos coordenados:

z =0 origem ( 0, 0, 0 )
y2
x =0 parábola z =
b2
x2
y =0 parábola z = 2
a
Intersecção com um plano pararelo ao plano xoy
x2 y2
z = z0 > 0 elipse z0 = +
a2 b2

15
 y2 x2
Parabolóide Hiperbólico 2
− 2 −z = 0
b a
Intersecção com os planos coordenados:
denados:
y2
x =0 parábola z =
b2
x2
y =0 parábola z =− 2
a
b b
z =0 rectas y = x e y =− x
a a
Intersecção com um plano pararelo
parar ao plano xoy :
y2 x2
z = z0 hipérbole 2
− 2 = z0
b a

x2 y2 z2
Cone Elíptico + − =0
a2 b2 c2

Intersecção com os planos coordenados:

z =0 A intersecção é a origem
c c
x =0 rectas z = y e z =− y
b b
c c
y =0 rectas z = x e z = x
a a
Intersecção com um plano paralelo ao plano xoy :
x2 y2 z2
z = zo elipse 2
+ 2 = 02
a b c

Cilindro Elíptico
x2 y2
2
+ 2 =1
a b

Cilindro Hiperbólico
x 2 y2
− 2 =1
a2 b

Cilindro Parabólico
y 2 = ax

16