Analise - de - Sistemas - de - Potencia - Aula 003

Universidade Federal do Piauí
Departamento de Engenharia Elétrica
Análise de Sistemas de
Potência
Prof.Bartolomeu Ferreira dos Santos Junior.
Fevereiro de 2022
Teresina,Piaui - Brasil
Representação dos Sistemas de Potência
• O Sistema Por Unidade
• Mudança de Base
Em geral os equipamentos dos sistemas de potência apresentam na sua

placa o valor percentual da impedância, calculada com base nos valores
nominais do próprio equipamento;
Os componentes do sistema de energia elétrica, possuem valores

nominais diferentes;
Para se fazer os cálculos no sistema por unidade é necessário referir

todas as grandezas a uma base comum.
2
Fonte: SALGADO, R. S, “Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica”. UFSC, 2010 .
• Mudança de Base de Tensão
Valor em p.u – base antiga Relação entre as bases
v antiga
=
V
V = v antiga
V antiga v nova
pu  V nova
base = v antiga
pu  V antiga
base
pu antiga pu base
V base
Mudança de base
Valor em p.u – base nova
antiga
V
V v nova = v antiga  base
=  V = v nova 
pu pu
v nova
pu nova pu V nova
base
nova
Vbase
Vbase
A mudança de base de potência é feita de forma análoga

3
Fonte: Prof. Flávio Vanderson Gomes, “Representação em PU”. Notas de aula – Análise de Sistemas de Potência 1. UFJF, 2012.
• Mudança de Base de Corrente
i antiga
=
I
 I =i antiga
I antiga
nova
i pu  I base
nova
= i pu
antiga
 Ibase
antiga
pu antiga pu base
I base
Valor em p.u – base nova nova

Sbase antiga
Sbase
I
nova
I base = nova antiga
I base = antiga
i nova
pu = nova
 I = i pu
nova
 I base
nova Vbase Vbase
I base
Mudança de base
antiga nova nova antiga
S V S S
nova
i pu = i pu
antiga
 base
nova
 base
antiga
nova
i pu  base
nova
= i antiga
pu  base
antiga
Sbase Vbase Vbase Vbase
4
• Mudança de Base de Impedância
z antiga
=
Z
Z =z antiga
Z antiga z nova
pu  Z nova
base = z antiga
pu  Z antiga
base
pu antiga pu base
Z base
Valor em p.u – base nova

Z nova
=
(V ) nova 2
base
Z antiga
=
(V base )
antiga 2
Z
z nova
pu = nova
Z =z nova
pu Z nova
base
base
S nova
base
base antiga
Sbase
Z base
Mudança de base
z nova
=z antiga ( V ) antiga 2
base

S nova
base
z nova ( V )
nova 2
base
=z antiga ( Vbase )
antiga 2
(V )
pu pu pu pu
nova 2 S antiga
S nova antiga
Sbase
base base base
5
• Sistemas Trifásicos
Considerando o sistema Y e adotando como base a Tensão de Linha e a

Potência Trifásica, tem-se:
3
linha
Vbase = 3 Vbase
fase
Sbase = 3  Sbase
fase
Logo,
3
Sbase 3  Sbase
fase fase
Sbase
linha
I base = = = fase = I base
fase
3 V linha
base 3  3 Vbase
fase
Vbase
( ) ( ) = (V )
2
linha 2 fase fase 2
V linha
3 V linha
3 V 3V base
= = = = = Zbase
linha base base base base fase
Z base linha 3 linha 3 fase fase
I
base Sbase 3Vbase Sbase 3Sbase Sbase
6
• Sistemas Trifásicos - valores em pu

V linha 3V fase V fase
V pulinha = linha = fase
= fase
= V fase
pu
Vbase 3Vbase Vbase
S 3 3S fase S fase
S 3pu = 3 = fase
= fase
= S fase
pu
Sbase 3Sbase Sbase
I linha I fase
I linha
pu = linha = fase = I pufase
I base I base
Z linha Z fase
Z linha
pu = linha = fase = Z pufase
Z base Z base 7
• Sistemas trifásicos – escolha da base
- Tensão de fase e potência monofásica (fase)
- Tensão de linha de potência trifásica
8
Elementos do Sistema de Potência
• Os principais elementos são
• Geradores
• Linhas de Transmissão
• Transformadores
• Cargas
9
• Sistemas trifásicos – escolha da base
- Tensão de fase e potência monofásica (fase)
- Tensão de linha de potência trifásica
10
• Os principais elementos são
• Geradores
• Linhas de Transmissão
• Transformadores
• Cargas
11
Gerador Síncrono
Introdução
Pode-se definir o gerador síncrono como uma máquina elétrica rotativa,
na qual a frequência da tensão gerada em seus terminais é proporcional
a sua velocidade de rotação.
Os geradores síncronos são as mais importantes fontes de geração de

energia elétrica.
Aproximadamente mais de 90% de toda a potência elétrica disponível é

gerada por máquinas síncronas.
Figura 1 – Máquina síncrona como conversor de potência (geração termelétrica)
13
Fonte: Prof. Carlos Alberto Castro, “Gerador Síncrono”. Notas de aula – Sistemas de Energia Elétrica 1. UNICAMP, 2012.
Introdução
• Descrição básica da máquina síncrona
1. Estator (armadura): é a parte fixa do gerador síncrono. As bobinas

ficam acomodadas em ranhuras;
2. Rotor (campo): é a parte móvel do gerador síncrono. A bobina é

enrolada no rotor por onde circula corrente contínua, criando um
campo magnético;
3. Entreferro (gap): é o espaço entre o estator e o rotor. Implica em uma

relutância magnética.
14
Introdução
• A maior parte dos conversores de energia de alta potência são
baseados em movimentos rotacionais.
• São compostos por duas partes principais:

– Parte fixa, ou ESTATOR
– Parte móvel, ou ROTOR
Figura 2 – Conversão eletromecânica de energia
15
Introdução
• Descrição básica da máquina síncrona
Figura 3 – Descrição da máquina síncrona

16
Introdução
Pólos lisos x pólos salientes
17
Introdução
Pólos lisos x pólos salientes
- Máquinas grandes (aproximadamente 20 metros de diâmetro) - eixo na vertical (em

geral hidrogeradores) – polos salientes;
- Máquinas menores e alta velocidade – eixo na horizontal (em geral

turbogeradores) – polos lisos.
18
Velocidade síncrona
• Velocidade síncrona: velocidade do campo girante em uma máquina
multi-polos.
120  f e
ns = ( rpm )
P
• Campo girante é uma onda de f.m.m que se desloca ao longo do

entreferro com velocidade síncrona 120f/P formando “P” polos
girantes ao longo do entreferro
19
Velocidade síncrona
• Velocidade síncrona: velocidade do campo girante em uma máquina
multi-polos.
120  f e
ns = ( rpm )
P
• Campo girante é uma onda de f.m.m que se desloca ao longo do

entreferro com velocidade síncrona 120f/P formando “P” polos
girantes ao longo do entreferro
ANGRA 1
Itaipu
72
92,5
20
Modelo da máquina síncrona de polos
lisos – operando em vazio
• Considere uma máquina trifásica em que somente o enrolamento da
fase a é representado para facilitar a análise
A posição instantânea do rotor, medida a

partir do eixo do estator (referência
angular), é:
 = t
Aplica-se uma corrente no enrolamento de
campo, e gera-se um campo magnético H
if → H
A indução magnética depende no meio
H →B
21
• Considere uma máquina trifásica em que somente o enrolamento da
fase é representado para facilitar a análise
O fluxo magnético é proporcional à

indução magnética:
B →
Sendo ϕ máximo (ϕMAX) sobre o eixo do

rotor.
22
• A máquina é construída de maneira que o fluxo magnético tenha
forma senoidal no espaço.
23
O fluxo sobre o eixo da fase a do estator é:
a ( ) = M cos
Ou em função do tempo
a ( ) = M cos  t
24
A tensão induzida no enrolamento da fase

a do estator é:
d
e f ( t ) = − N a ( t )
dt
25
Considerando que ϕf seja o fluxo enlaçado

pela bobina do estator:
d
e f (t ) = − N  f (t )
dt
= NM'  sin t
= V p sin t
26
 f ( t ) = M' cos t
e f ( t ) = V p sin t
27
lisos – operando sob carga
• Carga conectada ao estator da máquina com correntes de armadura
(fases a, b e c).
• Considerando a carga equilibrada, as correntes são dadas por:
ia ( t ) = I p cos (t )
ib ( t ) = I p cos (t + 120 )
ic ( t ) = I p cos (t − 120 )
28
• São criadas três forças magnetomotrizes senoidais com mesmo valor
máximo e defasadas de 120°:
Fa ( t ) = Fp cos (t )
Fb ( t ) = Fp cos (t + 120 )
Fc ( t ) = Fp cos (t − 120 )
29
• Considerando o instante ωt = 0:
Fa ( t ) = Fp
Fp
Fb ( t ) = −
2
Fp
Fc ( t ) = −
2
Fp 3 Fp
Fra = Fp + cos ( 60º ) + cos ( −60º ) = Fp 30
2 2 2
• A força magnetomotriz total é dada por:
3
Fra = Fp cos (t )
2
- Fra é a força magnetomotriz de reação de

armadura;
- Fra corresponde a um campo girante no

entreferro
- A velocidade de giro de Fra é igual à

velocidade do campo do rotor
31
Diagrama de fluxos,tensões e correntes
Considere que o gerador alimenta diretamente uma carga indutiva -
corrente atrasada em relação à tensão aplicada (tensão terminal do
gerador).
- Pode-se seguir a seguinte sequência de raciocínio
32
• A corrente de campo produz um fluxo ϕf.
33
• O fluxo ϕf induz uma tensão Ef (atrasada de 90º).
34
• A corrente de carga Ia produz um fluxo de reação de armadura ϕra
(em fase).
35
• O fluxo ϕra induz uma tensão Era (atrasada de 90º).
36
• A soma de ϕf e ϕra resulta no campo total de entreferro ϕt.
37
• A soma de Ef e Era resulta na tensão terminal do gerador, Et.
38
Consideração das perdas
As principais causas de perdas são:
• Perdas ôhmicas nos enrolamentos – modeladas como uma

resistência ra – resistência de armadura.
• Dispersão de fluxo de armadura – modelada como uma reatância

indutiva xl – reatância de dispersão da armadura
39
Circuito equivalente
• Semelhança com a expressão obtida para uma fonte de tensão real
composta por uma fonte de tensão ideal e uma impedância interna.
• Incluindo os efeitos das perdas tem-se o circuito equivalente da

máquina síncrona de polos lisos:
40
Circuito equivalente
• O diagrama fasorial e a equação básica são:
Et = E f − ( ra + jX s ) I a
Vt  = V f  − ( ra + jX s ) I a  − 
41
Característica potência - ângulo
• Considerando o diagrama fasorial da máquina síncrona, observa-se
que a tensão terminal Et foi tomada como referência angular.
• O ângulo de defasagem entre Et e Ef é chamado de ângulo de

potência.
• Da equação da máquina, tem-se:
Et = E f − ( ra + jxs )  I a
= E f − ra I a − jxs I a
42
• Escrevendo os fasores de tensão e corrente em termos de seus
módulos e ângulos, tendo a tensão terminal como referência angular.
Vt 0 = V f  − ra I a  ( − ) − xs I a  ( 90º − )
= V f cos  + jV f sin  − ra I a cos  + jra I a sin 

− xs I a cos ( 90º − ) − jxs I a sin ( 90º − )
43
• Considerando-se ra << xs (desprezando-se a resistência) e tomando
apenas as partes imaginárias da equação da máquina síncrona, tem-
se
0 = V f sin  − xs I a sin ( 90º − )

Vf
I a cos  = sin 
xs
• Multiplicando os dois lados da equação por Vt
VtV f
Vt I a cos  = P = sin 
xs
44
• Verifica-se que existe um limite para a potência ativa fornecida pela
máquina, denominado de limite estático de estabilidade.
VtV f
P= sin 
xs
VtV f
Pmax =
xs
 lim = 90º
45
• Considerando-se ra << xs (desprezando-se a resistência) e tomando
apenas as partes reais da equação da máquina síncrona, tem-se
Vt = V f cos  − xs I a cos ( 90º − )

Vt Vf
I a sin  = cos  −
xs xs
• Multiplicando os dois lados da equação por Vt
Vt 2 VtV f
Vt I a sin  = Q = cos  −
xs xs
46
• Considerando valores de Vf=1,2, Vt=1,0, xs=1,0 e desprezando a
resistência da armadura.
47
salientes
• Diagrama fasorial.
• - O modelo da máquina é obtido através da decomposição nos eixos

direto d e quadratura q
48
salientes
• O efeito da saliência pode ser representado pela decomposição da
corrente de armadura Ia em duas componentes nos eixos direto (Id) e
de quadratura (Iq).
• Como as relutâncias nos eixos d e q são diferentes, define-se

reatâncias diferentes Xd e Xq para cada eixo.
• A relutância do eixo de quadratura é maior que a relutância no eixo

direto.
49
salientes
• Equação básica:
E f = Et + ra I a + jxd I d + jxq I q
50
Característica potência-ângulo - polos
salientes
• A expressão de potência ativa gerada é dada por:
Vt 2  xd − xq
VV 
P= sin  +   sin 2
t f
xd 2  xd xq 
51
Característica potência-ângulo - polos
salientes
• A expressão de potência reativa gerada é dada por:
VV  cos 2
 sin 2
 
Q= cos  − Vt  + 
t f 2
xd  x xd
 q 
52
Curva de capacidade
• É o contorno de uma superfície no plano [PXQ] dentro do qual o
carregamento da máquina síncrona pode ser feito de acordo com as
suas limitações de operação em regime contínuo:
53
• Representação dos geradores em p.u
54
Fonte: Prof. Roberto de Souza Salgado. Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica - Notas de Aula. UFSC, 2010.
Exemplo
• Considerem um gerador síncrono trifásico, 30 kV, 50 MVA (f.p=0,8
atrasado), 60Hz, com uma reatância de j9 Ω por fase e resistência
desprezível.
(a) Determine a tensão de excitação por fase e o ângulo de potência.
(b) Qual o ângulo de potência e a corrente de armadura quando o

gerador fornece 25 MW em seus terminais, com a excitação mantida
constante?
(c) Considerando a mesma tensão de excitação do item (a), qual o maior

valor de potência ativa que pode ser fornecida pela máquina, sem
que esta perca o sincronismo? Qual a corrente de armadura e o fator
de potência para esta condição?
55
Fonte: SAADAT, Hadi. Power System Analysis. Editora MacGraw-Hill Company, 2011, Third Edition.

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Em geral os equipamentos dos sistemas de potência apresentam na sua

Os componentes do sistema de energia elétrica, possuem valores

Para se fazer os cálculos no sistema por unidade é necessário referir

• Mudança de Base de Tensão

Valor em p.u – base antiga Relação entre as bases

A mudança de base de potência é feita de forma análoga

• Mudança de Base de Corrente

Valor em p.u – base antiga Relação entre as bases

Valor em p.u – base nova nova

• Mudança de Base de Impedância

Valor em p.u – base antiga Relação entre as bases

Valor em p.u – base nova

Considerando o sistema Y e adotando como base a Tensão de Linha e a

• Sistemas Trifásicos - valores em pu

• Sistemas trifásicos – escolha da base

- Tensão de fase e potência monofásica (fase)

- Tensão de linha de potência trifásica

• Sistemas trifásicos – escolha da base

- Tensão de fase e potência monofásica (fase)

- Tensão de linha de potência trifásica

Os geradores síncronos são as mais importantes fontes de geração de

Aproximadamente mais de 90% de toda a potência elétrica disponível é

Figura 1 – Máquina síncrona como conversor de potência (geração termelétrica)

1. Estator (armadura): é a parte fixa do gerador síncrono. As bobinas

2. Rotor (campo): é a parte móvel do gerador síncrono. A bobina é

3. Entreferro (gap): é o espaço entre o estator e o rotor. Implica em uma

• São compostos por duas partes principais:

Figura 2 – Conversão eletromecânica de energia

Figura 3 – Descrição da máquina síncrona

- Máquinas grandes (aproximadamente 20 metros de diâmetro) - eixo na vertical (em

- Máquinas menores e alta velocidade – eixo na horizontal (em geral

• Campo girante é uma onda de f.m.m que se desloca ao longo do

• Campo girante é uma onda de f.m.m que se desloca ao longo do

A posição instantânea do rotor, medida a

A indução magnética depende no meio

O fluxo magnético é proporcional à

Sendo ϕ máximo (ϕMAX) sobre o eixo do

O fluxo sobre o eixo da fase a do estator é:

A tensão induzida no enrolamento da fase

Considerando que ϕf seja o fluxo enlaçado

• Considerando a carga equilibrada, as correntes são dadas por:

- Fra é a força magnetomotriz de reação de

- Fra corresponde a um campo girante no

- A velocidade de giro de Fra é igual à

- Pode-se seguir a seguinte sequência de raciocínio

• Perdas ôhmicas nos enrolamentos – modeladas como uma

• Dispersão de fluxo de armadura – modelada como uma reatância

• Incluindo os efeitos das perdas tem-se o circuito equivalente da

• O ângulo de defasagem entre Et e Ef é chamado de ângulo de

• Da equação da máquina, tem-se:

= V f cos  + jV f sin  − ra I a cos  + jra I a sin 

0 = V f sin  − xs I a sin ( 90º − )

Vt = V f cos  − xs I a cos ( 90º − )

• - O modelo da máquina é obtido através da decomposição nos eixos

• Como as relutâncias nos eixos d e q são diferentes, define-se