Actividades 2

1. Dada a função custo total C = q 3 − 6q 2 + 14q + 75 , escreva a função do custo variável Cv.
Ache a derivada da função Cv e interprete o seu significado económico.

1. A demanda numa firma é dada pela equação q = 40 − p 0.5 e o custo total pela equação
TC = 16 + 50q − 2.5q 2 + q 3 . Qual deve ser o preço a praticar de modo a maximizar os
lucros?

2. Se o custo marginal de uma firma é a seguinte função da quantidade produzida

Cmg = 3q 2 − 12q + 2 . Determine a função do custo total sabendo que a produção de 10
unidades custa 1000 dólares.

3. Considere que numa empresa Têxtil, o custo, em dólares, para produzir q calças é dado por
C (q ) = 0.001q 3 − 0.3q 2 + 45q + 5000 .
a) Obtenha a função custo marginal
b) Obtenha o custo marginal aos níveis q = 50 , q = 100 e q = 200
c) Calcule o valor real para produzir a 201a calça e compare o resultado com o obtido na alínea
anterior.

4. Na fabricação de um produto, o custo, em dólares, para produzir q unidades é dado por

C (q) = 0,1q 3 − 3q 2 + 36q + 100 .
a) Obtenha a função Custo Marginal
b) Obtenha o custo marginal aos níveis q = 5, q = 10 e q = 15 explicando os seus
significados
c) Calcule o valor real para produzir a 11a unidade e compare o resultado obtido na alínea
anterior
Sol:/a) C ′ = 0,3q 2 − 6q + 36 ; b) C ′(5) = 13,5 ; C ′(10) = 6 ; C ′(15) = 13,5

5. Numa fábrica de pneus, o preço de um tipo de pneu é dado por p = −0.4q + 400
( 0 ≤ q ≤ 1000 ).
a) Obtenha a função Receita
b) Obtenha a função Receita Marginal
c) Obtenha a receita marginal aos níveis q = 400 ; q = 500 e q = 600 , interpretando o
resultado
d) Esboce o gráfico da receita marginal e interprete o seu crescimento ou decrescimento e os
intervalos em que a receita marginal é positiva ou negativa, relacionando tais resultados
e) Esboce o gráfico da receita.
6. Numa fábrica de ventiladores o preço de um tipo de ventilador é dado por p = −2q + 800 ,
onde 0 ≤ q ≤ 400 .
a) Obtenha a função Receita
b) Obtenha a função Receita Marginal
c) Obtenha a receita marginal aos níveis q = 100, q = 200 e q = 300 , interpretando os seus
significados
d) Esboce o gráfico da Receita Marginal e interprete o seu crescimento ou decrescimento e
intervalos em que a receita marginal é positiva ou negativa relacionando tais resultados
e) Esboce o gráfico da receita

7. Uma empresa de pneus tem a receita na venda de um tipo de pneus dada por
R (q ) = −0,4q 2 + 400q , ( 0 ≤ q ≤ 1000 ), conforme o problema 7. Agora, supondo que o
custo para a produção dos pneus é dada por C (q) = 80q + 28000 ,
a) Obtenha a função Lucro
b) Obtenha a função Lucro Marginal
c) Obtenha o lucro marginal aos níveis q = 300 , q = 600 , interpretando os resultados
d) Obtenha a quantidade que dá lucro máximo a partir das derivadas do lucro.

8. Numa fábrica de ventiladores a receita na venda de um ventilador é dadoa por

R (q) = −2q 2 + 800q onde 0 ≤ q ≤ 400 . Suponha que o custo para a produção de
ventiladores seja dado por C (q ) = 200q + 25000 .
a) Obtenha a função Lucro
b) Obtenha a função Lucro Marginal
c) Obtenha o lucro marginal aos níveis q = 100 e q = 200 interpretando os resultados
d) Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo a partir das derivadas do lucro

9. Numa fábrica de móveis, o custo ao produtor ao produzir q unidades de sofás é dado pela
expressão C (q ) = 5q 2 + 200q + 500 .
a) Obtenha as funções Custo Marginal; Custo Médio e Custo Médio Marginal
b) Obtenha o custo médio mínimo
(nota: o custo médio mínimo ocorre no ponto em que o custo marginal é igual ao
custo médio, pois, analisando com cuidado a derivada do custo médio, tem-se,
'
⎛ C (q) ⎞
(C me )' = ⎜⎜ ⎟⎟ , ou seja,
⎝ q ⎠
C ' (q).q − C (q).q' C ' (q).q − C (q).1
C me mg = = .
q2 q2
E, igualando o custo médio marginal a zero, segue,
C ' (q).q − C (q)
0= ⇔ C ' (q).q − C (q) = 0
q2
 C (q)
C ' (q) = , isto é, C mg = C me
q
c.q.d)
c) Esboce o gráfico do custo médio (tendo em atenção o estudo da assímptota que pode ser
encontrada no estudo geral das funções)
d) Esboce sobrepostos os gráficos do custo médio e do custo marginal

10. Numa fábrica de portões electrónicos o custo ao produzir-se q unidades de um tipo de portão
é C = 5q 2 + 50q + 125 .
a) Obtenha as funções Custo Marginal Cmg, Custo Médio Cme e Custo Médio Marginal Cmemg
b) Obtenha o número de portões produzidos que dá o custo médio mínimo. Obtenha também
o custo médio mínimo
c) Esboce o gráfico do custo médio
d) Esboce, sobrepostos os gráficos do custo médio e do custo marginal

11. Para uma certa população, a função do consumo é dada por c = 0,7 y + 210 , onde y é a renda
dos consumidores.
a) Determine a função poupança s.
b) Determine a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão Marginal a Poupar e
interprete os resultados.
c) Esboce o gráfico da função c = y e diga o que representa tal gráfico.
d) Esboce, sobrepostos os gráficos das funções consumo, poupança e c = y e interprete o
ponto em que o gráfico do consumo encontra a recta c = y .

12. Para uma certa população, a função do consumo é dada por c = 0,8 y + 320 , onde y é a renda
dos consumidores.
a) Determine a função poupança s.
b) Determine a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão Marginal a Poupar e
interprete os resultados.
c) Esboce o gráfico da função c = y e diga o que representa tal gráfico.
d) Esboce, sobrepostos os gráficos das funções consumo, poupança e c = y e interprete o
ponto em que o gráfico do consumo encontra a recta c = y .

13. Para uma certa população, a função do consumo é dada por c = 0.6 y + 240 , onde y é a renda
dos consumidores.
a) Determine a função poupança s.
b) Determine a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão Marginal a Poupar e
interprete os resultados.
c) Esboce o gráfico da função c = y e diga o que representa tal gráfico.
d) Esboce, sobrepostos os gráficos das funções consumo, poupança e c = y e interprete o
ponto em que o gráfico do consumo encontra a recta c = y .
14. A demanda para um certo produto é dada por q = 300 − 10 p , onde o preço varia no
intervalo 0 ≤ p ≤ 30 .
a) Obtenha a função que dá a elasticidade-preço da demanda para cada preço
b) Obtenha a elasticidade para os preços p = 10, p = 15 e p = 20 e interprete as respostas

15. A demanda para um certo produto é dada por q = 1000 − 20 p , onde o preço varia no
intervalo 0 ≤ p ≤ 50 .
a) Obtenha a função que dá a elasticidade-preço da demanda para cada preço
b) Obtenha a elasticidade para os preços p = 12, p = 25 e p = 30 e interprete as respostas

16. A demanda para um certo produto é dada por q = r 2 + 160000 , onde r é a renda do
consumidor.
a) Obtenha a função que dá a elasticidade-renda da demanda para cada renda
b) Obtenha a elasticidade para as rendas r = 300, r = 400 e r = 600 e classifique a
demanda conforme as elasticidades obtidas interpretando os resultados

17. Para um certo produto a demanda q e o preço p são relacionados por q = 50 − p , com
0 ≤ q ≤ 50 .
a) Obtenha os intervalos de preço para os quais a demanda é inelástica, elástica e tem
elasticidade unitária
b) A partir dos resultados obtidos na alínea anterior descreva o comportamento da receita
c) Obtenha a receita como função do preço e esboce os gráficos da demanda e receita.
Indique no gráfico da demanda os intervalos correspondentes às diferentes elasticidades.
Indique no gráfico da receita os intervalos de crescimento e decrescimento bem como o
ponto de máximo associados à elasticidade.

18. Uma firma usa 200 000 unidades de um componente durante um ano, com a demanda
variando ao longo do ano. Cada encomenda do produto tem o preço fixo de $80USD e o
custo de armazenagem por unidade é de $8 USD. Quantas unidades devem se encomendar de
cada vez de modo a minimizar o custo total?

19. Uma firma usa 1280 unidades de um componente em cada ano. O custo de cada encomenda é
de $540 USD e o preço de armazenagem de cada unidade é de $6 USD. Assumindo que a
demanda dos componentes é constante durante o ano, qual deve ser o tamanho da encomenda
de modo a minimizar o custos?

20. Se cada encomenda de um conjunto de componentes custa $700 USD e a armazenagem custa
por componente $20 USD, qual deverá ser a encomenda óptima sabendo que se usam por ano
4480 unidades?
21. A procura de pneus de motocicletas importadas por uma companhia de Importação e
Exportação é 40.000/ano e pode ser considerada uniforme ao longo do ano. O custo de
encomenda de um carregamento de pneus é de 400 dólares, e o custo de armazenagem de
cada pneu por ano é de 2 dólares. Determine quantos pneus devem ser enviados em cada
carregamento para que os custos de encomenda e armazenamento sejam minimizados.
(assumindo que cada carregamento chega assim que o anterior foi totalmente vendido).
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Soluções – Parte 2
[1] Cv = q 3 − 6q 2 + 14q ;

Cv′ = 3q 2 − 12q + 14 - custo adicional para a produção de mais um bem.

[2] 900 [3] C = q 3 − 6q 2 + 2q + 580

[4] a) C ′ = 0,003q 2 − 0,6q + 45 ; b) C ′(50) = 22,5 ; C ′(100) = 15 ; C ′(200) = 45

[5] a) C mg = 0,3q 2 − 6q + 36 ;

b) C mg (5) = 13,50 dólares, C mg (10) = 6,00 dólares, C mg (15) = 13,50 dólares.

Assim, $13,50; $6,00 e $13,50 dólares são os valores aproximados para produzir a 6a; a
11a e a 16a unidade do produto;
c) Valor real = $6,10 dólares. Nota-se que o valor real $6,10 difere do valor encontrado
no item anterior C mg = 6,00 dólares em apenas 0,10 dólares.

[6] a) RT = −0,4q 2 + 400 b) R′(400) = 80 ; R′(500) = 0 ; R′(600) = −80 a Receita

adicional pela venda de mais um pneu para cada um respectivamente

[7] a) R (q ) = −2q 2 + 800q ; b) Rmg = −4q + 800 ;

c) R ' (100) = 400; R ' (200) = 0; R ' (300) = −400 . Receitas aproximadas na venda das
101a; 201a e 301a unidades, respectivamente. R ' (200) = 0 indica que em q = 200 a
receita é máxima. R ' (300) = −400 indica que a receita é decrescente.

d) Rmg é decrescente, ou seja, a taxa da variação é decrescente; Rmg>0 em 0 ≤ q ≤ 200

com receita crescente; Rmg <0 em 200 ≤ q ≤ 400 com receita decrescente.
[8] a) L(q ) = −0,4q 2 + 320q − 28000

b) Lmg (q ) = −0,8q + 320

c) Lmg (300) = 80 . Lmg (600) = −160 . Assim 80 e -160 são valores aproximados do
lucro para a venda do 3010 e 601o pneu, respectivamente.

[9] a) L(q ) = −2q 2 + 600q − 25000 ;

b) Lmg (q ) = −4q + 600 ;

c) Lmg (100) = 200 . Lmg (200) = −200 . Assim 200 e -200 são valores aproximados do
lucro para a venda do 1010 e 201o ventilador, respectivamente.
d) q = 150 , pois L' (150) = 0 e L' ' (150) < 0 .

[10] Em caso de dúvida submeta ao fórum de debate.

125 125
[11] a) C mg = 10q + 50 ; C me = 5q + e C memg = 5 − 2 ;
q q
b) q = 5 e C me (5) = 100 .

c) e d) - Gráficos seguintes
[12] a) s = y − (0.7 y + 210) = 0.3 y − 210 ;

b) c mg = 0.7; s mg = 0.3 (n.b: c mg + s mg = 0.7 + 0.3 = 1 );

c) Esboçando o gráfico tem-se uma recta que passa pela origem e que divide o primeiro
quadrante ao meio. Tal gráfico indica níveis em que o consumo é igual à renda, isto é,
níveis em que toda a renda é dirigida ao consumo;
d) Representando as duas rectas de inclinação 0,7 e 0,3 respectivamente para o consumo
c e para a poupança s, ou seja, a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão
Marginal a Poupar. Aqui, pode também notar-se que os gráficos de c = y intersectam o
gráfico da função consumo c = 0,7 y + 210 em y = 700 , valor que neste caso,
representa o nível de renda em que o consumo é igual à renda, ou seja, a poupança é
nula. Para níveis de renda inferiores a y = 700 , a poupança é negativa, significando
que os consumidores estão a consumir mais do que dispõem, ou, por outras palavras, os
consumidores estão a gastar os recursos poupados. Para níveis de renda superiores a
y = 700 , tem-se uma poupança positiva, significando que é poupado o excedente da
renda em relação ao consumo.

10 p
[15] a) E = ;
300 − 10 p
b) p = 10; E ( p ) = −0.5 , p = 15; E ( p ) = −1.0 , p = 20; E ( p ) = −2.0 . Isto é: - Para
p = 10 , tem-se a elasticidade E = −0.5 , o que indica que, se ocorrer um aumento de
1% para o preço, a demanda diminuirá 0.5%. Já para p = 15 a elasticidade é
E = −1.0 , indicando que se ocorrer um aumento de 1% no preço, a demanda cairá
aproximadamente 1%. Para o preço p = 20 , a elasticidade é E = −2.0 , indicando que
se ocorrer um aumento de 1% no preço, a demanda cairá aproximadamente 2%.
− 20 p
[16] a) E = ;
1000 − 20 p
b) p = 20; E ( p ) = −0.67 , p = 25; E ( p ) = −1.00 , p = 30; E ( p ) = −1.50 . Isto é: Para
p = 20 , tem-se a elasticidade E = −0.67 , o que indica que se ocorrer um aumento de 1%
para o preço, a demanda diminuirá 0.67%. Já para p=15 a elasticidade é E = −1.0 ,
 indicando que se ocorrer um aumento de 1% no preço, a demanda cairá aproximadamente
1%. Para o preço p = 30 , a elasticidade é E = −1.5 , indicando que se ocorrer um
aumento de 1% no preço, a demanda cairá aproximadamente 1.5%.

2r 2
[17] a) E = ;
r 2 + 160000
b) p = 300; E ( p ) = 0.72 , p = 400; E ( p ) = 1.00 , p = 600; E ( p ) = 1.38 . Isto é: Para
r = 300 , tem-se a elasticidade E = −0.72 , o que indica que se ocorrer um aumento de
1% para a renda, a demanda deverá aumentar 0.72%. Já para r = 400 a elasticidade é
E = −1.0 , indicando que se ocorrer um aumento de 1% na renda, a demanda deverá
aumentar aproximadamente 1%. Para a renda r = 600 , a elasticidade é E = −1.38 ,
indicando que para ocorrer um aumento de 1% na renda, a demanda deverá aumentar
aproximadamente 1.38%.

[18] a) Inelástica para 0 ≤ p < 25 , elástica para 25 ≤ p ≤ 50 ; elasticidade unitária para

p = 25 .
b) Para 0 ≤ p < 25 a receita aumenta, para 25 ≤ p ≤ 50 a receita diminui e para
p = 25 a receita permanece constante. C) R = 50 p − p 2

[19] 2000 [20] 480 [21] 560 [22] 4000