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MATEMÁTICA Data: 22/06/2023
TURMA AFA/EsPCEx/EFOMM/ESA/EEAr
Aula 19 (Exerc. de Casa)
Trigonometria - relação fundamental da trigonometria
• círculo trigonométrico 7 5
• relação fundamental da trigonometria 10. (EEAr) Se senx + cos x = e se tgx = − , então, no ciclo trigonomé-
13 12
• transformações trigonométricas
• equações trigonométricas trico, x pertence ao _____ quadrante.
• inequações trigonométricas a) 1º b) 2º c) 3º d) 4º
• funções trigonométricas 4
11. (EsPCEx) Se θ é um arco do 4º quadrante tal que cos θ = ,
5
- círculo trigonométrico então 2sec θ + 3tg θ é igual a
− 4π
1. (EEAr) Sejam os arcos de 480° e rad. No ciclo trigonométrico, esses 2 1 5 2 3 19
3 a) b) c) d) e)
2 2 2 2 2
arcos são tais que ambos estão no
a) 1º quadrante e são côngruos
b) 2º quadrante e são côngruos - transformações trigonométricas
c) 1º quadrante e não são côngruos
d) 2º quadrante e não são côngruos 12. Se x = 105°, então sen x é:
2. (EAM) Determine o cosseno de 1935° e marque a opção correta. a)
6 2 −2
b)
(3 + 2 ) 3
c)
6 3 −7
d)
(1+ 3 ) 2

2 1 1 2 8 8 4 4
a) b) 1 c) d) - e) -
2 2 2 2 13. (EEAr) Simplificando a expressão sen(2π − x) + sen(3π + x), obtém-se
3. (EFOMM) Considere a matriz quadrada B, de ordem 3, representada abaixo. a) sen x b) - sen x c) 2 sen x d) - 2 sen x
 sen210 sen630 tg225 14. (AFA) Os ângulos α e β satisfazem a equação
B =  2 y − 2 
(cos α − cos β)2 + (sen α + sen β)2 = 2, com α , β e (α + β)  [0, 2π].
 cos 720 cos1.440 tg180 
Análise e classifique corretamente cada uma das proposições abaixo quanto
Se o determinante dessa matriz é igual a 1, o valor de y corresponde a a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3π
( ) α =β = satisfazem a equação.
4. (EsPCEx) O valor de cos165° + sen155° + cos145° - sen25° + cos35° + cos 15° 4
1 ( ) A igualdade é verdadeira se sen(α + β) = 1.
a) 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e)
2 π π
( ) A igualdade é verdadeira somente se α = e β= .
5. (EEAr) Do arco x sabe-se que sen x . cos x = - 1/4. Então, o valor de tg x + cotg x 3 6
é _____ e a extremidade desse arco x pode estar no _____ quadrante. Sobre as proposições, tem-se que
a) - 4; 1º b) - 4; 2º c) - 2; 3º d) - 2; 4º a) todas são falsas
1 b) todas são verdadeiras
1+ c) apenas uma é verdadeira
tgx cossec x
6. (EEAr) Se A = + é um número real, então A é igual a d) apenas duas são verdadeiras
1 + tgx sec x
a) 2 tg x b) 2 sen x c) 2 cos x d) 2 cotg x 15. (Esc. Naval) Sabendo que 2sen(α + β) = sen(α) + sen(β), com α + β  πk,
7. (EAM) Sabe-se que (1 − cos2 x)(cotg2x + 1) = A para x diferente de k π, com α  β
k  , assinale a opção que apresenta o valor de tg    tg   .
 2 2
sec 2 x − 1 2
k  , e que = B, quando sen(x) = . Assim, assinale a opção a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/8
tg2 x + 1 2
que apresenta o valor de BA.
16. (EsPCEx) Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo
correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1, 0),
a) 0 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) 2 denominados respectivamente α e β, medidos no sentido positivo.
8. (AFA) Considere a função real f: D → definida por f(x) = senx − cos x .
cossec x sec x
Marque a alternativa correta.
a) O conjunto imagem de f é ] - 2, 2[ c) D = {x  / x  kπ, k  }
 π
b) f é decrescente se x   0,  d) O período de f é π
 2
9. Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T = (0, 1) e é paralela ao
eixo x. A reta t forma um ângulo α com o eixo x (0° < α < 90°) e intercepta a
circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente.

O valor de tg ( α + β ) é
3+ 3
a) c) 2 + 3 e) −1+ 3
A área do triângulo TAB, como função de α vale: 3
1 − sen α 1 − sen α 1 − sen α 1 − sen α 1 − sen α 3- 3
a) b) c) d) e) b) d) 2 − 3
2 cos α 2 s en α 2 tg α 2 cotg α 2 sec α 3
1
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17. No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo Sobre f é FALSO afirmar que
de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.  kπ 
a) O conj. A é  x  / x  , k   b) f é par c) f é injetora d) B = {2}
 2 
3π 
26. (ITA) Se tg x = 7 e x   π, , então sen (3x) é igual a
 2 
14 14 14 14 14
a) − b) c) d) − e)
8 8 4 4 6
π
27. Seja 0  x  uma medida de ângulo em radianos tal que
A medida θ do ângulo CÂP pode ser determinada a partir da seguinte identi- 2
dade trigonométrica: 5 3
cos x + sen x = e cos x − sen x =
2 2
O valor de tg 2x é:
15 15
O valor da tangente de θ é igual a: a) 4 − 15 b) c) d) 15 e) 4 15
a) 0,65 b) 0,60 c) 0,55 d) 0,50 15 4
1 3
28. (ITA) O maior valor de tg x, com x = arcsen   e x  0,  , é
π
18. (ITA) Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é
o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o 2 5  2
ponto médio de CM. A tangente do ângulo MÂN é igual a a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2 e) 3
a) 1/35 b) 2/35 c) 4/35 d) 8/35 e) 16/35
19. (IME) A equação arctg (z) + arctg (z + 1) = arctg (4/3), em que arctg (x) é o - equações trigonométricas
arco tangente de x, apresenta:
3
a) duas soluções reais sendo uma positiva e outra negativa 29. (EEAr) Se 0  x  90 e se sen4x = − , um dos possíveis valores
2
b) duas soluções reais positivas
c) duas soluções reais negativas de x é
d) uma única solução real, sendo esta positiva a) 30° b) 45° c) 75° d) 85°
e) uma única solução real, sendo esta negativa 30. (ESA) Identifique o ângulo x, em radianos, do intervalo [0, 2π] cujo sen x é
20. Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x, igual ao sen 2x.
então sen (2x) é igual a π π π π π
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
5 3 1+ 5 4 3 9 4 6 2 3
a) b) c) d) e)
5 5 5 5 2 31. (EsPCEx) O número de raízes reais da equação 2 cos2 x + 3cos x + 1 = 0
21. (EEAr) Se sen 2x = 1/3, então sec x : sen x é igual a no intervalo ]0, 2π[ é
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
ˆ e ADC
22. No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ABC ˆ são retos, 32. Determine o conjunto solução para a equação 6 sen2 x − 9 senx + 3 = 0.
ˆ vale
AB = AD = 1, BC = CD = 2 e BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo BCD  π π 5π 
a)  x  ; x = + 2kπ ou x = + 2kπ ou x = + 2kπ, k  
3 2 3 2 3 4  2 6 6 
a) b) c) d) e)
5 5 5 5 5  π π 5π 
b)  x  ; x = + 2kπ ou x = + 2kπ ou x = + 2kπ, k  
23. (AFA) Considere as funções reais f e g definidas por  4 3 6 
 2 cos(2x)   π 
1 1 c)  x  ; x = 2kπ ou x = + 2kπ, k  
f(x) =  det  1  , g(x) = − f(x) e marque a alternativa in-  4 
2 2sen(2 x) 2
 2   π π
d)  x  ; x = ou x = 
correta.  4 3
a) o conjunto imagem da função fé o intervalo [0, 1]  π π π
e)  x  ; x = ou x = ou x = 
b) A função g é ímpar.  6 2 4
1 33. (Esc. Naval) A soma dos quadrados das raízes da equação
c) A função real h definida por h(x) = − + g(x) possui duas raízes no inter-
2 senx = 1 − 2sen2 x, quando 0  x  2π vale
 π
valo 0,  49 2 49 2 7 2 14 2 49 2
 2 a) π b) π c) π d) π e) π
36 9 3 9 6
1 π
d) O período da função real j definida por j(x) = − + g(x) é 34. (EsPCEx) A soma das soluções da equação cos(2x) − cos(x) = 0,
2 2
com x  [0, 2π), é igual a
sec 2 (5) + cossec 2 (5) 5π 7π 8π
24. (EFOMM) O valor de é igual a: a) b) 2π c) d) π e)
cossec 2 (10) 3 3 3
a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 5/2 e) 4 35. (Esc. Naval) A soma das soluções da equação trigonométrica
25. (AFA) Considere a função real sobrejetora f: A → B definida cos2x + 3cos x = −2, no intervalo 0, 2π  é
sen3x cos3x 5π 10 π
por f(x) = − . a) π b) 2π c) 3π d) e)
senx cos x 3 3
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36. (ITA) Os valores de x  [0, 2π] que satisfazem a eq. 2 sen x - cos x = 1 são 45. (AFA) Sendo x  0, 2π  , a interpretação gráfica no ciclo trigonométrico
3  4 4 para o conjunto solução da inequação − 8sen4 x + 10sen2 x − 3  0 é dada por
a) arccos   e π c) arcsen  −  e π e) arccos   e π
5  5 5
3  4
b) arcsen   e π d) arccos  −  e π
5  5
37. No processo de calcular o ângulo x formado entre duas avenidas trans-
versais, um engenheiro obteve a seguinte equação senx = sen3 x. Sabendo
que x não excede 180°, é CORRETO afirmar que:
3π
a) x = - 1 c) x = 1 e) x = - funções trigonométricas
2

b) x = 0 d) x =
π 46. A pressão arterial é a pressão que o sangue exerce sobre as paredes das
2 artérias. Ela atinge o valor máximo (pressão sistólica) quando os ventrículos
se contraem, e o valor mínimo (pressão diastólica) quando eles estão em re-
38. (EsPCEx) A soma de todas as soluções da equação pouso. Suponhamos que a variação da pressão arterial (em mmHg) de um
2cos3 (x) − cos2 (x) − 2cos(x) + 1 = 0, que estão contidas no intervalo 0, 2 π  , cidadão portoalegrense em função do tempo (em segundos) é dada por
é igual a  8π 
P(t) = 100 − 20  cos   t  . Diante disso, os valores da pressão diastólica e
a) 2π c) 4π e) 6π  3 
b) 3π d) 5π sistólica, em mmHg, são iguais, respectivamente, a
a) 60 e 100 b) 60 e 120 c) 80 e 120 d) 80 e 130 e) 90 e 120
39. (AFA) Seja a equação trigonométrica tg3 x − 2 tg2 x − tgx + 2 = 0, com
47. Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C,
  π 3π   possa ser expressa, em função do tempo t, em dias decorridos desde o início
x   [0, 2π[ −  ,   . Sobre a quantidade de elementos distintos do con-
  2 2  do ano, por
junto solução dessa equação, é correto afirmar que são, exatamente,  2π(t − 105) 
T(t) = 14 + 12 sen  .
a) três b) quatro c) cinco d) seis  364 
Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar,
40. (ITA) O número de soluções reais e distintas da equação ocorre, no mês de
cos2(2x) = 3 − cos6(x) − 5cos 2(x) no intervalo [0, 2π[ é a) julho b) setembro c) junho d) dezembro e) março
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5 48. Considere a representação abaixo, de metade da órbita do planeta Mer-
cúrio em torno do Sol. A distância rM entre o Sol e Mercúrio varia em função
41. (EsPCEx) No intervalo  0;  , a equação
π do ângulo θ, sendo 0º ≤ θ ≤ 180º.
 2
π
3cos 
2 π  π
x − sen   = cos(5x) − cos  x +  admite
2  2
a) nenhuma solução c) duas soluções e) infinitas soluções
b) uma solução d) três soluções
42. (Esc. Naval) Seja cos2(x − y) = sen(2x) sen(2y), para todo x e y reais,
Para o cálculo aproximado de rM, em milhões de quilômetros, emprega-se a
 π
dentro do intervalo  0,  . Com base nessa equação, assinale a opção que seguinte fórmula:
 2
apresenta a solução de x + y.
π π π π π
a) b) c) d) e)
2 4 3 6 8
A distância aproximada de PA, em milhões de quilômetros, vale:
a) 100 b) 108 c) 115 d) 120
- inequações trigonométricas
49. A figura a seguir representa uma quadra retangular inscrita num terreno
43. (EsPCEx) O conjunto solução da inequação 2sen2 x − cos x − 1  0, no in- semicircular cujo raio mede 10 m.
tervalo 0, 2π  é

 2π 4 π  π 5π   π 5π   7π 10π 
a)  ,  c)  ,
3 
e)  ,  , 6 
 3 3  3 6 6   6 
 π 5π  π 2π   4 π 5π 
b)  ,  d)  ,  ,
3 6  3 3   3 3 

44. (EsPCEx) O conjunto solução da inequação 2cos2 x + sen x  2, no inter-

valo [0, π ], é Nessas condições, as dimensões da quadra que possui área máxima são
a) 10 e 5 metros
 π  π   2π   π   5π 
a)  0,  c)  0,    , π  e)  0,    , π  b) 10 2 e 5 2 metros
 6  3  3   6  6  c) 12 e 5 metros
 5π   π d) 12 2 e 5 2 metros
b)  , π  d)  0, 
 6   3 e) 20 e 5 metros
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50. O gráfico a seguir representa a função periódica definida por f(x) = 2 sen(x), 53. (EsPCEx) A função real f(x) está representada no gráfico abaixo.
 π 5π 
x ∈ IR. No intervalo  ,  , A e B são pontos do gráfico nos quais
2 2 
 π   5π 
f =f  são valores máximos dessa função.
2  2 

A expressão algébrica de f(x) é


- senx , se x < 0
a) f ( x ) = 
 cos x , se x  0


 cos x , se x < 0
b) f ( x ) = 
 senx , se x  0


A área do retângulo ABCD é: 

- cos x , se x < 0
c) f ( x ) = 
a) 6  senx , se x  0

b) 5 
 senx , se x < 0
c) 4 d) f ( x ) = 
d) 3  cos x , se x  0


51. No plano cartesiano abaixo, estão representados os gráficos das fun- − senx, se x < 0
e) f ( x ) = 
ções f :[0, 2π] → [ −1, 1], definida por f(x) = cos x, e g :[0, 2π] → , definida cos x, se x  0
3 54. O gráfico abaixo representa uma função real de variável real.
por g(x) = .
2

Os elementos do domínio dessas funções para os quais se tem f(x) > g(x) são Assinale a alternativa em que consta a função representada pelo gráfico.
π 11π   π   3π   π   11π  x
a)  , c) 0,    , 2 π  e) 0,    , 2π  a) f(x) = − 2cosx c) f(x) = 2 senx e) f(x) = sen 
6 6   2  2   6  6  2
π 5π   π   5π  x
b)  , d) 0,    , 2 π  b) f(x) = − 2cos   d) f(x) = 2 sen( 2 x )
3 3   3  3  2

52. Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés 55. (EsPCEx) Na figura abaixo está representado um trecho do gráfico de uma
na vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das função real da forma y = m . sen (nx) + k, com n > 0.
marés, dada em metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia
ser modelada de acordo com a função:
 
A(t) = 1,6 − 1,4 sen  t 
6 
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da
meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no inter-
valo [0, 12], está representada pelo gráfico:

Os valores de m, n e k, são, respectivamente

π π π
a) 3, e - 1 c) - 3, e 1 e) 3, e-1
3 6 6
π π
b) 6, e 1 d) - 3, e1
6 3
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56. (ENEM) Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A fi- A figura a seguir ilustra o gráfico dessa função, no intervalo [0, 150]:
gura à direita representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em fun-
ção do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas.
Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo
P(t) = Acos(ωt) ou P(t) =  A sen(ωt), em que A > 0 é a amplitude de des-
locamento máximo e ω é a frequência, que se relaciona com o período T pela
2π
fórmula ω= . Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.
T

Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.
( ) | A . B . C| = π
( ) No instante t = 20 s, a pessoa estará a uma altura h tal que h  [17,5 ; 17,8]
 3π π t 
( ) A função real f definida por f(t) = 10 - 9 cos  −  é idêntica à função h
 2 60 
Sobre as proposições, tem-se que
a) todas são verdadeiras
b) apenas duas são verdadeiras
c) apenas uma é verdadeira
d) nenhuma delas é verdadeira
A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo 59. (EsPCEx) Dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma fun-
do tempo, no gráfico, é ção trigonométrica de período 2π, cujo gráfico está representado na figura
a) – 3 cos(2t) c) 3 cos(2t) e) 6 sen(2t) abaixo é
b) – 3 sen(2t) d) – 6 cos(2t)
57. Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller,
situda em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no
qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

a) f(x) = 1 − sen( π − x) c) f(x) = 2 − cos( π + x) e) f(x) = 1 − cos( π − x)

b) f(x) = 1 + cos( π − x) d) f(x) = 2 − sen( π + x)

60. (EFOMM) Uma parte do gráfico da função f está representado na figura

A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao abaixo. Assinale a alternativa que pode representar f(x).
plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do
ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à sua
posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao
solo, em função de t. Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

a) f(x) = sen(x − π) + 1

 π
A expressão da função altura é dada por b) f(x) = 2sen  x −  + 1
 2
a) f(t) = 80sen(t) + 88
 π
b) f(t) = 80cos(t) + 88 c) f(x) = sen  2x −  + 2
c) f(t) = 88cos(t) + 168  6
d) f(t) = 168sen(t) + 88cos(t) d) f(x) = 2sen(2x) + 1
e) f(t) = 88sen(t) + 168cos(t)
 π
58. (AFA) Em uma roda gigante, a altura h, em metros, em que uma pessoa e) f(x) = 2sen  2x −  + 1
se encontra, em relação ao solo, no instante t, em segundos, é dada pela fun-  6
ção h: → , definida por h(t) = A + B sen (Ct), em que A, B e C são cons-
tantes reais.
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Gabarito:
1. B 6. D 11. B 16. D 21. B 26. B 31. D 36. A 41. C 46. C 51. E 56. A
2. E 7. B 12. D 17. B 22. C 27. B 32. A 37. D 42. A 47. A 52. A 57. A
3. B 8. D 13. D 18. C 23. C 28. B 33. B 38. D 43. C 48. C 53. A 58. B
4. C 9. C 14. D 19. D 24. E 29. C 34. B 39. D 44. E 49. B 54. D 59. E
5. B 10. D 15. A 20. B 25. C 30. E 35. C 40. C 45. B 50. C 55. D 60. E