7 Razoes Trigonometricas de Angulos Generalizados 11

Razões
trigonométricas
de ângulos
generalizados
noA
.º
11
Circunferência trigonométrica
Circunferência trigonométrica - circunferência com raio 1,

centrada na origem de um referencial ortonormado.
Nota:
Por abuso de linguagem, a
circunferência trigonométrica
também se designa por
círculo trigonométrico.
Seno e cosseno de ângulos orientados e generalizados
Seja C uma circunferência trigonométrica e P o ponto de interseção

dessa circunferência com o lado extremidade do ângulo .
PP' PP'
sen     PP'
OP 1
• ordenada do ponto
OP' OP'
cos     OP'
OP 1
• abcissa do ponto
Consequências da “nova” definição de seno e cosseno
 , qualquer que seja o ângulo orientado ou nulo .
(0 ,1)9 0 °
1 80 ° 0°
(−1,0) (1 , 0)
2 70 °(0 ,− 1)
Sinal e variação do seno
https://www.geogebra.org/u/xismat#timeline
Decrescente Crescente
+¿ +¿
− −
Decrescente Crescente
Sinal e variação do cosseno
Decrescente Decrescente
− +¿
− +¿
Crescente Crescente
Tangente de ângulos orientados e generalizados
Seja C uma circunferência trigonométrica. A e B pontos de interseção da reta de
equação com o lado extremidade dos ângulos e , respetivamente.
PA PA
tg     PA
OP 1
𝑡𝑔 𝛼=𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝑷𝒐𝒏𝒕𝒐 𝑨 𝑡𝑔 𝛽=𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒅𝒐 𝑷𝒐𝒏𝒕𝒐 𝑩

Notas:
1. A tangente não está definida para ângulos de lados
perpendiculares.
2. Se o ângulo estiver no 2.º ou 3.º quadrantes, prolonga-se o lado
extremidade de modo que intersete a reta de equação .
𝛾 tg 𝛿
𝛿
1
𝑂 𝑂 1
tg 𝛾
𝐶
𝐶 (1 , tg 𝛾) 𝐷(1 ,tg 𝛿)
Consequências da “nova” definição de tangente
Sinal e variação da tangente

Crescente Crescente
− +¿
Crescente
+¿ −
Crescente
 As relações entre razões trigonométricas
sen 𝛼 1
t g 𝛼= 1+t g ² 𝛼=
cos 𝛼 cos ² 𝛼
 Fórmula Fundamental da Trigonometria

2 2
cos 𝛼+ sen 𝛼=1
com , são válidas para qualquer ângulo orientado ou nulo.
Relações entre as razões trigonométricas de: .
 = − sen 𝛼
 = cos 𝛼
 = −t g 𝛼
sen ( 180 °− 𝛼 ) =¿sen 𝛼

− cos 𝛼 180 ° −α
 =
 = −t g 𝛼
Relações entre as razões trigonométricas de:
.
sen ( 180 °+𝛼¿) − sen 𝛼

180 °+ α
cos ( 180° + ) 𝛼
¿ −𝛼cos
t g ( 180 °+𝛼 ¿) t g 𝛼
sen ( 90 ° −𝛼¿) cos 𝛼 90° −α

cos ( 9 0 ° ¿−𝛼
sen )𝛼
Relações entre as razões trigonométricas de: .
sen ( 90 °+𝛼¿) cos 𝛼

cos ( 9 0 °¿+𝛼
− sen) 𝛼 90°+α
Medidas de amplitudes em radianos
https://www.geogebra.org/u/xismat
Radiano - amplitude de um ângulo ao centro, definido numa circunferência, cujo

arco correspondente tem comprimento igual ao raio.
Equivalência entre graus e radianos
• Quantas vezes o raio de uma circunferência “cabe” nela própria?
P0 2  r
  2
r r
R: O raio de uma circunferência “cabe” nela própria! Ou seja radianos.
Então, ---------------------------
---------------------------
---------------------------
--------------------- .
Dividindo por obtém-se
Ou seja,
Valores exatos dos ângulos de amplitude , e
Relações entre as razões trigonométricas de , , ,
 Obrigado

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Razões

Circunferência trigonométrica - circunferência com raio 1,

Seja C uma circunferência trigonométrica e P o ponto de interseção

 , qualquer que seja o ângulo orientado ou nulo .

𝑡𝑔 𝛼=𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝑷𝒐𝒏𝒕𝒐 𝑨 𝑡𝑔 𝛽=𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒅𝒐 𝑷𝒐𝒏𝒕𝒐 𝑩

Sinal e variação da tangente

 Fórmula Fundamental da Trigonometria

sen ( 180 °− 𝛼 ) =¿sen 𝛼

sen ( 180 °+𝛼¿) − sen 𝛼

sen ( 90 ° −𝛼¿) cos 𝛼 90° −α

sen ( 90 °+𝛼¿) cos 𝛼

Radiano - amplitude de um ângulo ao centro, definido numa circunferência, cujo

Dividindo por obtém-se

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