Este projeto apresenta o controle de um sistema linear da Unidade Mecânica 33-100 utilizando dois métodos: 1) projeto de um controlador PID utilizando a resposta em frequência e 2) simulações para avaliar o desempenho dos controladores. Dados experimentais foram coletados e usados para estimar a função de transferência do sistema e projetar os controladores visando atender requisitos de malha fechada.
Este projeto apresenta o controle de um sistema linear da Unidade Mecânica 33-100 utilizando dois métodos: 1) projeto de um controlador PID utilizando a resposta em frequência e 2) simulações para avaliar o desempenho dos controladores. Dados experimentais foram coletados e usados para estimar a função de transferência do sistema e projetar os controladores visando atender requisitos de malha fechada.
Este projeto apresenta o controle de um sistema linear da Unidade Mecânica 33-100 utilizando dois métodos: 1) projeto de um controlador PID utilizando a resposta em frequência e 2) simulações para avaliar o desempenho dos controladores. Dados experimentais foram coletados e usados para estimar a função de transferência do sistema e projetar os controladores visando atender requisitos de malha fechada.
Este projeto apresenta o controle de um sistema linear da Unidade Mecânica 33-100 utilizando dois métodos: 1) projeto de um controlador PID utilizando a resposta em frequência e 2) simulações para avaliar o desempenho dos controladores. Dados experimentais foram coletados e usados para estimar a função de transferência do sistema e projetar os controladores visando atender requisitos de malha fechada.
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Universidade Federal de Uberlândia – UFU
Faculdade de Engenharia Mecânica – FEMEC
Graduação em Engenharia Mecatrônica e Aeronáutica Controle de Sistemas Lineares – FEMEC42060 Prof.º Pedro Augusto Q. de Assis
Projeto Final
Projeto de Controlador para Unidade
Mecânica 33-100
Fábio Machado A. da Fonseca 11611EAR018
Ítalo Siqueira Rodrigues 11611EMT023
Lucas Eduardo Marra de Lima 11611EMT002
Vinicius André de A. Anders 11611EMT012
Uberlândia, 11 de dezembro de 2018
Conteúdo
1- DADOS EXPERIMENTAIS ................................................................................... 2
2- DIAGRAMA DE BODE ......................................................................................... 3 3- COMPARAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE .................................................. 4 4- PROJETO DO CONTROLADOR UTILIZANDO LGR .......................................... 6 5- PROJETO UTILIZANDO A RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ............................... 7 6- SIMULAÇÕES DO DESEMPENHO DOS CONTROLADORES .......................... 9
1 1- DADOS EXPERIMENTAIS
O grupo realizou o experimento na bancada utilizando a Unidade Mecânica
FeedBack 33-100 e a unidade Analógica FeedBack 33-110. Para comparar os sinais de entrada e saída foi utilizado um osciliscópio. O objetivo era obter o amplitude do sinal de entrada, a amplitude do sinal de saída, o atraso entre os sinais e o período da onda de entrada. A tabela a seguir apresenta os dados coletados:
Tabela 1: Dados experimentais coletados no laboratório
Os valores da Tabela 2 foram jogados no software Matlab, e foi usada a
função semilogx() para definir a escala do eixo x como logarítmica. O resultado obtido é apresentado a seguir:
Figura 1: Diagrama de Bode para os dados experimentais;
A estimativa da função de transferência foi feita observando alguns detalhes
do diagrama de bode. O primeiro detalhe foi a curva de fase, que aparenta sair de 0° 3 e chegar em 90°, com isso pode-se afirmar que o sistema é de primeira ordem. Logo,
𝑘 𝐺 𝑠 = 𝑠 + 𝑝1
Outro detalhe relacionado com a curva de fase é a frequência de corte, que
observando o ponto onde a fase é -45°, conclui-se que wc= 2.6 rad/s.
Para descobrir o ganho estático k, é feita a análise do ponto de partida da
magnitude. Portanto,
−4,38 = 20 log 𝑘 − 20 log 2,6
𝑘 = 1,58
Com todos os dados obtidos, a função de transferência esta finalizada:
𝑤 𝑠 1,58 𝐺 𝑠 = = 𝑉(𝑠) 𝑠 + 2,6
Sabendo que ,
𝑤 𝜃= 𝑠
Podemos afirmar também que
𝜃(𝑠) 1,58 = 𝑉(𝑠) 𝑠(𝑠 + 2,6)
3- COMPARAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE
A comparação entre os diagramas foi feita no matlab, pegando valores
específicos. O diagrama obtido para o modelo foi:
4 Figura 2: Diagrama de Bode para a função de transferência obtida;
Os dados usados para comparação são apresentados a seguir
w = 0,636 rad/s
Experimental: Magnitude = -4,5 db e Fase = -18°
Modelo: Magnitude = -4,58 db e Fase = -13°
w = 1rad/s
Experimental: Magnitude = -5 db e Fase = -23°
Modelo: Magnitude = -4,94 db e Fase = -21,4°
w = 3,1 rad/s
Experimental: Magnitude = -7,3 db e Fase = -50,1°
Modelo: Magnitude = -8 db e Fase = -49,5°
w = 6,3 rad/s
Experimental: Magnitude = -13,6 db e Fase = -77,14°
Modelo: Magnitude = -12 db e Fase = -70°
w = 12,6 rad/s
Experimental: Magnitude = -19,5° e Fase = -104,2°
Modelo: Magnitude = -18,9° e Fase = -83°
5 Em alguns pontos há erros consideráveis, isso ocorre pela própria sensibilidade do modelo e variáveis a que o experimento está sujeito, como ruídos de medida e até mesmo erros de medições e aproximações.
4- PROJETO DO CONTROLADOR UTILIZANDO LGR
O projeto do controlador desenvolvido utilizando-se dos critérios de projeto da
turma VA (Ms = 5% e tp = 3s) foi realizado a partir do controle de fase do sistema para o pólo desejado. Isso é feito calculado a contribuição atual do sistema para o pólo desejado e adicionando um zero que complete a fase desejada. Primeiramente, a partir dos requisitos de projeto, foi possível obter a equação da posição dos pólos dominantes de malha fechada. Eles são 𝑝1,2 = −1,33 ± 1,3983𝑖 Calcula-se então a contribuição de fase de cada pólo da planta, e obtém-se que a contribuição da planta é de -181,48°, portanto o controlado deve ter uma contribuição de 1,48° na fase. Pela fórmula padrão de um controlador PD: 𝐶 𝑠 = 𝑘 𝑠 + 𝑎 = 𝑘 (𝑠 + 55) Pelo módulo da planta com o controlador, encontra-se o valor de k. A forma final do controlador empregado é: 𝐶 𝑠 = 0,0423(𝑠 + 55)
Figura 3: LGR para a planta junto com o controlador
Realmente, observa-se que o LGR está passando pelo pólo desejado e que na teoria atende aos requisitos de projeto. Mas na prática, é difícil ajustar um ganho tão baixo, e pelo LGR observa-se que o pólo está bastante próximo da curva da planta sem o controlador. Portanto, em casos em que é difícil aplicar o controlador 6 PD apresentado anteriormente, um controlador P, pode ser o suficiente para o projeto.
Figura 4: LGR para a planta junto sem o controlador
O ponto mais próximo do pólo desejado, e que pertence ao LGR é o ponto
onde o ganho é de 2,3. Assim, podemos utilizar o seguinte controlador:
𝐶 𝑠 = 𝑘 = 2,3
As simulações que serão apresentadas no decorrer do trabalho comprovarão
que ambos controladores atendem aos requisitos do projeto.
5- PROJETO UTILIZANDO A RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Primeiramente, optou-se por realizar um controlador PD do seguinte formato:
𝐶 𝑠 = 𝐾𝑝(𝑠𝑇𝑑 + 1)
Com a ferramenta Sisotool do matlab, foi estipulada uma margem de fase de
69ᵒ, calculada a partir do amortecimento do sistema e foi alocado um zero no diagrama de Bode. A partir disso e da variação do zero real analisando o overshoot e tempo de pico, chegou-se no seguinte resultado:
7 Figura 5: Imagens referentes ao projeto pelo diagrama de Bode do PD
Logo, obtém-se 𝐶 𝑠 = 3.1(𝑠0.099 + 1), ou seja, Td=0.099 e Kp=3.1.
Todavia, optou-se por comparar um controlador PD com um PID:
𝑇𝑑𝑠 2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1 𝐶 𝑠 = 𝐾𝑝 , 𝑠𝑇𝑖
Figura 6: Imagens referentes ao projeto pelo diagrama de Bode do PID
Então, seguindo a mesma metodologia, chegou-se a resultados mais
satisfatórios e projetou-se um PID, que se segue.
8 𝐾𝑝 > 𝑇𝑖
1.43𝑠 2 + 2.4𝑠 + 1 𝐶 𝑠 = 3.4761 𝑠 que é o mesmo que: 3.4761 𝐶 𝑠 = 8.34264 + + 4.970823𝑠 𝑠
6- SIMULAÇÕES DO DESEMPENHO DOS CONTROLADORES
A seguir serão apresentadas as simulações dos controladores P e PD,
projetados no LGR, e dos controladores PD e PID, projetados utilizando a resposta em frequência.
Todas as simulações foram feitas tendo a função degrau unitário como
entrada.
Os controladores foram utilizados para controlar a posição angular do sistema
a seguir:
𝜃(𝑠) 1,58 𝐺 𝑠 = = 𝑉(𝑠) 𝑠(𝑠 + 2,6)
Para as simulações, foi usado o seguinte programa no MATLAB como base:
Figura 7: Programa no MATLAB usado como base para as simulações
9 Figura 8: Desempenho controlador PD projetado no LGR
Figura 9: Desempenho controlador P projetado no LGR
Como pode-se observar a partir das Figuras 8 e 9, ambos os controladores
projetados no LGR satisfizeram os requisitos de projeto (turma VA, Ms = 5% e tp = 3s). Porém, como já citado, o controlador do tipo P é mais fácil de ser implementado e por isso seria a melhor opção, visto que seu desempenho é praticamente idêntico ao do controlador PD.
10 Figura 10: Desempenho controlador PD projetado a partir da resposta em frequência
Figura 11: Desempenho controlador PID projetado a partir da resposta em frequência
Como pode-se observar a partir das Figuras 10 e 11, ambos os controladores
projetados a partir da resposta em frequência satisfizeram os requisitos de projeto (turma VA, Ms = 5% e tp = 3s). Porém, como controladores PID são mais comuns no dia a dia da indústria, optou-se por projetá-lo também e complementar o projeto. Além disso, na Figura 11 observa-se que seu desempenho se mostrou bastante satisfatório.
