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Chatao
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kassiolopes1
November 2023
Problema 1. O valor de k para que a função quadrática f (x) = 3x2 + (k − 1)x + 2 admita
valor mínimo x = −1 é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Solução. Sabendo que para x = −1 a função admite valor mínimo, então pela fórmula da
abcissa do vértice tem-se:
−b (k − 1)
xv = ⇒ −1 = −
2a 6
⇒6=k−1
⇒k=7
Problema 2. Se m e n são raízes da equação x2 − 6x + 4 = 0, então o valor da expressão
m n
+ é igual a:
n m
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Solução. Utilizaremos a relação de girard para resolvermos esta questão. Primeiro, observe
que:
m n m2 + n2
+ =
n m mn
(m + n)2 − 2mn
=
mn
1
b c
Pela relação de girard temos que m + n = − e mn = . Substituindo os coeficientes da
a a
equação nas relações anteriores, temos:
m+n=6 mn = 4
Assim,
(m + n)2 − 2mn 62 − 8
=
mn 4
28
=
4
=7
2 1 − x2 x + 2
Problema 3. Resolvendo, em R, a equação = 2 − , encontramos o conjunto
x−3 x −9 x+3
solução:
1
a) 1,
3
1
b) −1,
3
1 1
c) ,
3 2
1
d) 1,
2
1
e) −1,
2
Solução. Simplificando a expressão do problema, temos:
2 1 − x2 x + 2 2 x+2 1 − x2
= 2 − ⇒ + = 2
x−3 x −9 x3 x−3 x+3 x −9
2(x + 3) + (x + 2)(x − 3) 1 − x2
⇒ =
x2 − 9 x2 − 9
⇒ 2(x + 3) + (x + 2)(x − 3) = 1 − x2
⇒ 2x + 6 + x2 − 3x + 2x − 6 = 1 − x2
⇒ 2x2 + x − 1 = 0
1 1 1
Pela soma e produto, temos que as raízes da equação são x1 = e x2 = −1, pois (−1)· = −
2 2 2
1 1
e (−1) + = − .
2 2
√
Problema 4. A equação x + x + 7 = 5, no universo dos números reais, possui:
2
b) uma única raiz irracional.
Solução. Para resolvermos esse problema, precisamos remover a raiz quadrada da parcela
√
x + 7. Sendo assim, vamos isola-la:
√ √
x+ x+7=5⇒ x+7=5−x
Pela regra da soma e produto, temos que as raízes da equação do segundo grau são 2 e 9,
pois 2 + 9 = 11 e 2 · 9 = 18. Portanto, há duas raízes inteiras distintas.
Problema 5. O valor de n para que a soma das raízes das raízes da equação (n − 5)x2 +
(n + 5)x − 7 = 0 seja igual a −3 é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Problema 6. Sabendo que a e b são raízes da equação 17x2 − 153x + 136 = 0, o valor de
a2 b + ab2 é:
a) 72
3
b) 36
c) 17
d) −36
e) −72
Solução. Tente escrever a2 b + ab2 = ab(a + b). Usando as relações de girard, temos:
136 153
ab = a+b=
17 17
Assim,
136 153
ab(a + b) = ·
17 17
=8·9
= 72
a) -2
b) -4
c) -6
d) -7
e) -8
Solução. Como o gráfico toca apenas em um ponto do eixo Ox, segue que o discriminante
é igual a zero. Assim,
∆ = 0 ⇒ b2 − 4ac = 0
⇒ m2 − 4 · 1 · (8 − m) = 0
⇒ m2 + 4m − 32 = 0
Pela regra da soma e produto, segue que as raízes dessa equação são m1 = 4 e m2 = −8, pois
4 · (−8) = −32 e 4 − 8 = −4. Como m < 0, então m = m2 .
a) (1, a)
b) (−1, a)
4
c) (−1, −a)
d) (1, −a)
e) (a, −a)
Solução. Escreva a(x2 + 2x) = x2 a + 2xa. Utilize as fórmulas para encontrar as coordenadas
dos vértices. Assim,
b
xv = −
2a
2a
=−
2a
= −1
e
∆
yv = −
4a
4a2
=−
4a
= −a
a) 0, 10 e 0
b) 0, 5 e 6
c) 5, 6 e 0
d) 5, 10 e 0
e) 0, 6 e 10
5
Solução. Como já sabemos o vértice V = (5, 6), utilize a forma da função quadrática que
depende das coordenadas do vértice, isto é, a expressão abaixo:
a(x − xv )2 + yv
Daí,
O que está em parênteses representa o termo independente c. Como o gráfico passa pelo eixo
6
y no ponto (0, 0), então temos que c = 0. Assim, 25a + 6 = 0 ⇒ a = − . Daí, a lei de
25
formação da função fica
−6 2 12x
x + = f (x)
25 5
Queremos as raízes de f . Então,
−6x2 + 60x
= 0 ⇒ −6x2 + 60x = 0
25
Como −6x(x − 10) = 0 então x = 0 ou x − 10 = 0 o que equivale a x = 10.