Lista - 2 - 2023-2 (PrinCom Turma 02)

Universidade de Brasília
Faculdade de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
ENE 0306 – Princípios de Comunicação (2023/2) – Turma 02
2ª Lista de Exercícios
Série de Fourier e Transformada de Fourier
1) Considerar a solução dos seguintes exercícios: 2.5-2, 2.5-3, 2.5-4, 2.5-5, 2.8-1, 2.8-2,
2.8-3, 2.9-1, 2.9-2, 2.9-3, 2.9-4, 2.9-5.
2) Considerar a solução dos seguintes exercícios: 2.6-1, 2.6-2, 2.6-3, 3.1-1, 3.1-2, 3.1-3,
3.1-7, 3.2-3, 3.3-1, 3.3-2, 3.3-3, 3.3-4, 3.3-5, 3.3-6, 3.3-7.
3) A partir da representação de um sinal real de frequência fundamental f o em série


exponencial complexa de Fourier, g (t )  D e
n  
n
j 2nf 0t
, obtenha, em função de Dn :
(a) Os coeficientes da expansão de g (t ) em série de Fourier em sua forma

trigonométrica, i.e., considerando o sinal real e expresso como
 
g (t )  a0   an cos(2nfot )   bnsen(2nfot ) .
n 1 n 1
(b) Os coeficientes da expansão de g (t ) em série de Fourier em sua forma

trigonométrica compacta, i.e., considerando o sinal real e expresso como

g (t )  C0   Cn cos(2nfot   n ) .
n 1
4) Sejam X n e Yn os coeficientes da expansão em série de Fourier de dois sinais

periódicos x(t ) e y (t ) , respectivamente. Considerando que o período fundamental
de x(t ) é T0 , expresse Yn em função de X n para os seguintes casos:
(a) y(t )  x(t  t0 ) ;

j 2f 0t
(b) y(t )  x(t )e ;
(c) y(t )  x(at) ;
d
(d) y (t )  x(t ) ;
dt
5) Considere as formas de onda mostradas na Figura 1.
Figura 1.
(a) Determine a transformada de Fourier G( f ) do sinal g (t ) , expressando-

a em termos da função Sinc () . Determine e esboce seu espectro de
amplitude e seu espectro de fase (sugestão: utilize a propriedade da derivada ou
a propriedade da convolução);
(b) Determine a transformada de Fourier X ( f ) do sinal x(t ) . Determine e
esboce seu espectro de amplitude e seu espectro de fase.
(c) Determine a transformada de Fourier Y ( f ) do sinal y (t ) . Determine e
esboce seu espectro de amplitude e seu espectro de fase.
6) Obtenha a transformada de Fourier do pulso mostrado na Figura 2 (sugestão: utilize a

propriedade da derivada ou a propriedade da convolução). O que ocorre com g (t ) e sua
transformada de Fourier, G( f ) , quando tb  ta ?
Figura 2.
7) Determine, utilizando a definição, a transformada de Fourier da função

t
g (t )  Arect   . Explique o que acontece com G( f ) quando    .
 
8) Considere um sinal periódico g (t ) , de período T0 e frequência fundamental

f0  1/ T0 . Naturalmente, g (t ) pode ser expresso por meio da relação

g (t )  g
m 
T0 (t  mT0 ) , em que se definiu a relação:
 g (t ) ,  T0 / 2  t  T0 / 2
gT0 (t )  
 0 , caso contrário
A partir das relações mostradas, demonstre a fórmula somatório de Poisson:


 g (t )  f 0 G
n 
T0 (nf 0 ) ( f  nf 0 )
em que GT0 ( f ) denota a transformada de Fourier de gT0 (t ) .
9) A partir do exercício anterior, mostre que:

 
(a)   (t  mT0 )  f 0  e j 2nf t
m   n  
0
 
(b) T0 
m 
e j 2 mT0 f    ( f  nf )
n 
0
(c) Utilizando a fórmula de Euler, expresse os resultados dos itens “a” e “b”
em termos da função cosseno.
10) Utilizando a propriedade da derivada da transformada de Fourier, mostre que a

transformada de Fourier do degrau unitário é dada por:
u (t ) 
1 1
 ( f )
j 2f 2

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3) A partir da representação de um sinal real de frequência fundamental f o em série

(a) Os coeficientes da expansão de g (t ) em série de Fourier em sua forma

(b) Os coeficientes da expansão de g (t ) em série de Fourier em sua forma

4) Sejam X n e Yn os coeficientes da expansão em série de Fourier de dois sinais

(a) y(t )  x(t  t0 ) ;

5) Considere as formas de onda mostradas na Figura 1.

(a) Determine a transformada de Fourier G( f ) do sinal g (t ) , expressando-

6) Obtenha a transformada de Fourier do pulso mostrado na Figura 2 (sugestão: utilize a

7) Determine, utilizando a definição, a transformada de Fourier da função

8) Considere um sinal periódico g (t ) , de período T0 e frequência fundamental

A partir das relações mostradas, demonstre a fórmula somatório de Poisson:

em que GT0 ( f ) denota a transformada de Fourier de gT0 (t ) .

9) A partir do exercício anterior, mostre que:

10) Utilizando a propriedade da derivada da transformada de Fourier, mostre que a

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