Sinais e Sistemas

em Tempo Contínuo

Capítulo 7 – Seções 7.4 a 7.6

Prof. João Luiz – 2019/2

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 Capítulo 7: A transformada de Fourier
de tempo contínuo
• 7.4 Transmissão de sinal através de SLITs
– Distorção do sinal
– Transmissão sem distorção
– Atraso de grupo
• 7.5 Filtros ideais e filtros práticos
• 7.6 Energia do sinal (teorema de Parseval)
• 7.7 Aplicação em comunicações: modulação AM
• 7.8 Truncagem de dados: janelamento
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 7.4 Transmissão de sinal
através de SLITs
• Convolução no domínio do tempo resulta em
multiplicação no domínio da frequência:
ℱ =
= ∗ ℎ( )

• A resposta em frequência caracteriza

completamente o SLIT:
( ) =ℱ

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Resposta em frequência de SLITS estáveis
• A transf. Fourier não converge para qualquer h(t)
– Portanto: nem todo SLIT tem resposta em frequência
• SLITs estáveis satisfazem a 1ª condição de Dirichlet:
ℎ( ) <∞

• Quase todo SLIT de importância prática satisfaz as

outras duas condições
• Portanto: quase todo SLIT estável tem resposta em
frequência
• A maioria do SLITs marginalmente estáveis também
têm resposta em frequência ℱ 1
– Exemplo: integrador ℎ = ( ) = + ( )

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Análise de SLITs: Fourier vs. Laplace
• Transformada de Fourier
– Não serve para SLITs assintoticamente instáveis
– Não serve para entradas exponencialmente crescentes
– Permite trabalhar com entradas periódicas
– É mais intuitiva: resposta em frequência, resposta de fase
• Transformada de Laplace
– Serve para SLITs estáveis ou instáveis
– Serve para entradas exponencialmente crescentes
– Não serve para entradas periódicas
– É mais compacta e elegante (s ao invés de jω)
– Menos intuitiva (o que X(s) representa na prática?)
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 7.4.1 Distorção do sinal durante a
transmissão
ℱ =
• Vimos que: = ∗ ℎ( )
• Na forma polar:
∠ = ∠! ∠"

• Portanto:
=
∠ =∠ +∠
– O espectro de amplitude do sinal de entrada é
multiplicado pela resposta de amplitude do sistema
• Algumas componentes de frequência podem ser amplificadas e
outras atenuadas
– O espectro de fase do sinal de entrada é somado à
resposta de fase do sistema
• As componentes de frequências sofrerão diferentes alterações de
19/11/2019 fase 7
 Transmissão sem distorção
• Como cada componente de frequência sofre
diferentes alterações de amplitude e de fase, a
forma de onda de saída é diferente da forma de
onda de entrada
– A forma de onda do sinal de entrada é distorcida pelo
SLIT
• Transmissão sem distorção
– O sinal de saída tem a mesma forma de onda do sinal
de entrada
– Diferenças: amplitude e deslocamento no tempo

( ) = #$ − &
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Transmissão sem distorção (continuação)
• Desejamos:
( ) = #$ − &

• Usando linearidade e deslocamento no tempo:

ℱ = #$ ( ) '(
= #$ − &

• Sabemos que: =

• Precisamos então que: = #$ ' (

• Concluindo, para que não haja distorção:

– Resposta de amplitude constante: = #$

– Resposta de fase linear: ∠ =− &

• A inclinação da resposta de fase é −td

19/11/2019 • A constante t é o atraso da saída com relação à entrada 9
d
 Resposta em frequência de um SLIT
para transmissão sem distorção
• Para transmissão sem distorção...
– Resposta de amplitude constante: = #$

– Resposta de fase linear: ∠ =− &

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 Atraso de grupo
• SLITs c/ fase linear causam deslocam. no tempo
– A inclinação da fase diz o tamanho do deslocamento
– Exemplo: ∠ =− &
• Inclinação: ∠ =− &
• Todas as componentes são atrasadas em td
• Atraso de grupo: ) =− ∠
– Dá o tamanho do atraso para cada componente de
frequência do sinal
– Valor negativo de atraso indica adiantamento
– Se a fase é linear, o atraso de grupo é constante
• Isto indica um atraso igual para todas as componentes de
frequência do sinal
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 SLIT “passa tudo”
• Resposta em amplitude constante: = #$

– Mesmo ganho para todas as componentes de frequência

• A fase pode ser linear ou não
• Exemplo:

(somente deslocamento)
( )
passa tudo com fase linear

(deslocamento e distorção
*( ) da forma de onda)

passa tudo com fase não linear

Obs: os quatro sinais tem espectro de amplitude idênticos!

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 Exemplo: atraso de grupo de um SLIT
passa tudo com fase não linear
fase (intervalo de −π a + π)

fase estendida
(desfazendo os “saltos”
de 2π na fase)

atraso de grupo
(negativo da atraso grande para componentes
derivada da fase) de 50 Hz, 150 Hz e 300 Hz!
(diz o tamanho do atraso
para cada componente de
frequência
19/11/2019 do sinal) 13
 Natureza da distorção em sinais de
áudio e vídeo
• Ouvido humano
– Pouco sensível a distorções de fase
– Percebe facilmente distorções de amplitude
• Visão humana
– Pouco sensível a distorções de amplitude
– Percebe facilmente distorções de fase

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Exemplo: mudando
somente as fases
das componentes
harmônicas

Têm aparência diferente, mas você

escutaria o mesmo som!

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 Exemplo: análise de imagens
domínio da imagem

+( , )

domínio da frequência

magnitude: -( ., /) fase: ∠-( ., /)

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 Exemplo: análise de imagens
(continuação)
• Estas duas imagens têm o mesmo espectro de
magnitude, mas fases diferentes

19/11/2019 com fase intacta com fase nula para todas as frequências
20
 Exemplo: análise de com espectro de magnitude intacto

imagens (continuação)
• Estas imagens têm o mesmo
espectro de fase, mas
espectros de magnitude
diferentes
com magnitude = 1 para todas as frequências

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 7.5 Filtros ideais e filtros práticos
• “O ótimo é inimigo do bom” (Voltaire)

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 Filtro passa-baixas ideal

1, ≤ 3 ℱ sen sen
=6 ℎ =
3
=
3 3

0, caso contrário Tabela 4.2 3

ou seja:
3
ℎ = sinc 3

(resposta ao impulso do filtro passa-baixas ideal)

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 Filtro passa-baixas ideal com fase
linear
• Uma fase linear na resposta em frequência causa um
simples deslocamento na resposta ao impulso

ℱ 3
ℎ = sinc 3 −?

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 Aspectos dos filtros não ideais
• Quanto mais próximo do filtro ideal, maior a
tem que ser a ordem do filtro
– Mais resistores, capacitores e amplificadores
operacionais
– Mais caro e complexo para implementar
• Filtros ideais são não causais
– Pois h(t) ≠ 0 para t < 0
• Sistemas não causais não são implementáveis
em sistemas em tempo real!

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 Aspectos dos filtros não ideais
(continuação)
• A resposta do filtro ideal a um transitório
apresenta comportamento oscilatório
– Indesejável em algumas aplicações

u(t)
passa-baixas
ideal

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• Por essas razões, normalmente
usam-se filtros não ideais
• Solução de compromisso entre:
– Domínio da frequência:
• Planura na banda passante
• Atenuação na banda de rejeição
• Largura da banda de transição
– Domínio do tempo:
• Tempo de resposta a transitórios
• Comportamento oscilatório

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 7.6 Relação de Parseval
• A energia total do sinal x(t) pode ser calculada
no domínio do tempo ou no da frequência:
1
* = *
2

*
• Energia por incremento de tempo:
*
• Energia por incremento de frequência: 2
– O escalar (1/2π) surge porque ω = 2πf
– |X(ω)|2 é chamado de “espectro de densidade de energia” do sinal x(t)
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 Energia em uma faixa de frequência
• Basta integrar o espectro de densidade de
energia ao longo do intervalo de interesse:
1 C
ΔB. = *

• A integral é multiplicada por 1/π (ao invés de

1/2π) pois é preciso contabilizar também a
energia devido as componentes de frequência
negativa
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 Largura de banda essencial
• Todos sinais práticos tem energia finita
– O espectro deve tender a 0 com ω → ∞
• A maior parte da energia do sinal está contida
dentro de uma faixa de largura B Hz
– Suprimir componentes acima de B Hz tem pouco
efeito na forma do sinal
• Critério para escolher B depende da aplicação
– Ex: selecionar B de modo que a banda inclua 95%
da energia do sinal

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 Exemplo 7.20
• No quadro e no livro

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 Seções 7.7 e 7.8
• Serão vistas na disciplina Princípios de
Comunicação:
– 7.7 Aplicação em comunicações: modulação AM
– 7.8 Truncagem de dados: janelamento

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