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Aula1 2022
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onde m1 + ... + mk < ∞, quer dizer, nesta relação aparecem um numero finito de
derivadas parciais em relação a qualquer das variáveis x1 , ....xn de uma função incógnita
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Equações Diferenciais Ordinárias
A maioria das leis naturais da física, como as equações de Maxwell, a lei de resfriamento
de Newton, as equações de Navier-Stokes, as equações de movimento de Newton e a equa-
ção de Schrodinger da mecânica quântica, são declaradas (ou podem ser) em termos de
EDDPs, isto é , essas leis descrevem fenômenos físicos relacionando derivadas de espaço e
tempo. Derivadas ocorrem nessas equações porque as derivadas representam coisas natu-
rais (como velocidade, aceleração, força, atrito, fluxo, corrente). Portanto, temos equações
relacionando derivadas parciais de alguma quantidade desconhecida que gostaríamos de
encontrar. O propósito desta disciplina é para demonstrar duas coisas ao estudantes:
Agora, vejamos alguns dos métodos existentes ou mais usados para a resolução de EDDPs.
Embora exista uma boa vasta gama de métodos para resolver EDDPs, os mais impor-
tantes são aqueles que convertem os EDDPs em equações diferenciais ordinárias. Abaixo
mencionamos alguns:
3. Mudança de Coordenadas: este método muda a EDDP original para uma EDO
ou uma outra EDDP (mais tractável) fazendo mudança de coordenadas do problema
(por exemplo radando os eixos).
7. Equações Integrais: esta técnica a muda uma EDDP para uma equação integral
(uma equação em que o argumento está sob o integral).
3. Linearidade: equações diferenciais parciais são lineares ou não lineares. Nas lineares,
a variávei dependente u e todas suas derivadas estão postas de maneira linear (não
estão multiplicadas com ela mesma). Precisamente, uma EDDP de segunda
ordem em duas variáveis é uma equação do tipo
6. Três tipos básicos de equações lineares: todas equações lineares do tipo (1.1.2) são
classificadas em:
(a) parabólica
(b) hiperbólica
(c) elíptica
Note que:
Equações parabólicas descrevem processos de difusão e de condução de calor e
satisfazem a seguinte propriedade B 2 − 4AC = 0.
Equações hiperbólicas descrevem sistemas vibratórios e movimentos de onda e
saisfazem a seguinte propriedade B 2 − 4AC > 0.
Equações elípticas descrevem feenómenos em equilíbrio e satisfazem a propriedade
B 2 − 4AC < 0
Exemplo 1.1.1. a) ut = uxx , B 2 − 4AC = 0 (parabólica)
elíptica para y > 0
e) yuxx + uyy = 0, B 2 − 4AC = −4y parabólica para y = 0
hiperbólica para y < 0
d2 u(t) 2
dt2
+ 3 du(t)
dt
− 5u(t) = +t2 + 1 se associa ao operador L[U ] = d dtu(t)
2 + 3 du(t)
dt
− 5u(t) =
no qual está definido sobre o espaço de funções que tem segunda derivada.
Uma equação diferencial ordinária se diz linear se o operador L correspondente é linear
ou seja, se cumpri o seguinte:
L[αu + v] = αL[U ] + L[V ] para todo α ∈ R. De maneira similar de como se faz para
uma variável pode-se definir um operador associado a equações em derivadas parciais e se
pode distinguir os operadores lineares dos não lineares.
Exemplo 1.1.2. • Com a equação ut −uxx = cosx, se associa com o operador L[u] =
ut − uxx .
Em geral, as equações lineares de segunda ordem em duas variáveis tem a forma (1.1.2)
onde os coeficientes A, B, C, D, F e G são funções reais definidas em uma região Ω
R
⊂ 2 e A2 + B 2 + C 2 > 0. Se os coeficientes são constantes reais, com a possível excepção
de G, a equação (1.1.2) se chama equação em derivadas parciais, linear de segunda ordem
com coeficientes constantes. Em esta secção nos restringiremos a este caso.
É importante notar que a equação (1.1.2) é parecida com a equação geral das cônicas em
R
espaço 2 . Notemos que a euação
R
com A, B, C, D, F ∈ e A2 + B 2 + C 2 > 0 mediante a uma mudança de coordenadas
apropriada o descriminante B 2 − 4AC permanece invariante em relação ao sinal e a
equação (1.1.3) pode simplificar-se , quer dizer, se tem uma propriedade intrínseca da
equação, a qual permite uma classificação das cônicas de acordo com o sinal de B 2 −4AC .
Par a equação (1.1.2) acorre algo similar a da equação (1.1.3), o que permitirá classificar
as equações em derivadas parciais lineares de segunda ordem em duas variáveis.Mas antes
de estabelecer esta classificação precisamos da definição e lema seguintes.
R
com a11 , a12 , a21 , a22 ∈ .
Se A′ uηη + B ′ uηξ + C ′ uξξ + D′ uη + E ′ uξ + F ′ u + G′ = 0 é a equação transformada mediante
a mudança de coordenadas (1.1.4) então sgn(B 2 − 4AC)=sgn(B ′2 − 4A′ C ′ ), isto quer
dizer que, o sinal do descriminante é um invariante da mudança de coordenadas.
ux = uξ a11 + uη a21
uy = uξ a12 + uη a22
uxx = uξξ a211 + 2uξη a11 a21 + uηη a221 ,
uxy = uξξ a11 a12 + uξη (a11 a22 + uηη a21 a22 ) + uηη a21 a22 , uyy = uξξ a212 + 2uξη a12 a22 + uηη a222
(1.1.5)
Substituindo (1.1.5) em (1.1.3) obtemos:
donde
A′ = Aa211 + Ba11 a12 + Ca212 ,
B ′ = 2Aa11 a21 + B(a11 a22 + a21 a12 ) + 2Ca12 a22 , (1.1.7)
C ′ = Aa221 + Ba21 a22 + Ca222 ,
e F̄ somente depende das demais derivadas de primeira ordem de u. Fazendo alguns
calculos algebricos se obtem
B ′2 − 4A′ C ′ = B 2 ((a11 a22 + a21 a12 )2 − 4a11 a22 a21 a12 ) − 4AC((a11 a22 )2 + (a21 a12 )2 − 2a11 a22 a21 a12 )
= (B 2 − 4AC)(a11 a22 − a21 a12 )2
donde segue que sign(B 2 − 4AC) = sgn(B ′2 − 4A′ C ′ ), para a11 a22 − a21 a12 ̸= 0 como
queriamos demonstrar.
Uma vez que se tem esta invariabilidade do sinal do descriminante, tem sentido clas-
sificar de acordo com o tal sinal a equações em derivadas parciais lineares de segunda
ordem com coeficientes constantes, de onde se tem a seguinte definição :
1. parabólicas seI = 0;
2. Elípticas, se I < 0;
3. Hiperbólicas, se I > 0
Leituras obrigatórias
A leitura dos textos obrigatórios constitui a base de consolidação da aprendizagem dos
conteúdos desta unidade temática, daí que sejam indispensáveis, sendo igualmente de
suma importância a resolução dos exercícios que complementarão as leituras.
[1 ] Stanley J. Farlow Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, DO-
VER PUBLICATIONS, INC. New York, 1993.
[2 ] Gabriel López garza & Fco. Hugo Martínez Ortiz, Equaciones Diferenciales Par-
ciales, 2013 Gabriel López.
Actividade Formativa
1. Resolver exercícios números 1-5 na página 8 do livro [1] de Stanley Farlow.
3. Quais das seguintes equações são lineares e quais não são lineares. Determine en-
contrando o operador associado e em caso que seja linear demonstre.