Diapos Aula 2

Equações Diferenciais Parciais: AULA 02
DITTER YATACO
UERJ
04 de Agosto de 2021
DEFINIÇÕES BÁSICAS
Para uma função u : Ω −→ R, onde Ω ⊆ Rn e
u = u(x, y , z, t, . . .)
usaremos as seguintes notações para as Derivadas Parciais

(DP)
∂u
DP de u em relação a x : , ux , ∂x u, D1 u;
∂x
∂2u
DP de 2◦ ordem em relação a x : , uxx , ∂x2 u, D12 u;
∂x 2
DP de 2◦ ordem, primeiro ∂2u
: , uxy , ∂y ∂x u, D2 D1 u.
em relação a x e depois a y ∂y ∂x
Definição (EDP)
Uma EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP) em

n-variáveis independentes x1 , . . . , xn é uma equação da forma
!
∂u ∂u ∂ 2 u ∂2u ∂k u
F x1 , . . . , xn , u, ,..., , 2,..., ,..., k =0
∂x1 ∂xn ∂x1 ∂x1 ∂xn ∂xn
(1)
onde
I (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω, Ω é um subconjunto aberto de Rn .
I F é uma função dada e
I u = u (x1 , . . . , xn ) é a função que queremos determinar.
Exemplo
Temos os seguintes exemplos:
1) ut (x, t) = K uxx (x, t) temos
x, t, u, ux , ut , uxx , uxt , utx , utt .
Definamos
F (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 , y7 , y8 , y9 ) = y5 − Ky6 .
Temos que a equação ut = K uxx satisfaz
F (x, t, u, ux , ut , uxx , uxt , utx , utt ) = 0.

2) utt (x, t) = uxx (x, t) é uma EDP, onde
F (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 , y7 , y8 , y9 ) = y6 − y9 .
3) arctan (ux (x, y )) = uxxx (x, y ) é uma EDP. Neste caso como
seria uma quantidade de 17 variáveis, considerariamos
uma função, tal que
F (x, y , u, ux , uy , uxx , uxy , uyx , uyy , uxxx , . . . , uyyy )

= arctan (ux ) − uxxx = 0.
ORDEM E GRAU DE UMA EDP
A ORDEM de uma EDP é dada pela derivada parcial de maior

ordem que ocorre na equação. O GRAU é a maior potência a
que se acha a derivada parcial de ordem mais alta.
Exemplo

1. ln (ux + uy + uz ) = cos uxxxx uxy + (uyy )10 ,
ORDEM= 4, GRAU= 1.

2. (1 − x)100 (uxyx )5 + (uyyy )7 + tan u 10 + (ux )9 = 0,
ORDEM= 3, GRAU= 7.
3. (uxx )7 + (uyy )8 + (uzz )7 + (utt )7 = 0, ORDEM= 2,

GRAU= 8.
Observação
(1) Uma EDP de PRIMEIRA ORDEM, envolvendo u, é uma

equação onde somente estão considerados as variáveis
x1 , . . . , xn , u, ux1 , . . . , uxn .
Por exemplo:
I Quando n = 2, temos
F (x, y , u, ux , uy ) = 0.
F (x, y , z, u, ux , uy , uz ) = 0.
(2) Uma EDP de SEGUNDA ORDEM, envolvendo u, é uma
equação onde somente estão considerados as variáveis
∂2u
x1 , . . . , xn , u, ux1 , . . . , uxn , i, j = 1, . . . , n.
∂xi ∂xj
Por exemplo:
F (x, y , u, ux , uy , uxx , uxy , uyx , uyy ) = 0.
F (x, y , z, u, ux , uy , uz , uxx , uxy , uxz , uyx , uyy , uyz , uzx , uzy , uzz )
= 0.
EDP’s LINEARES
Uma EDP é LINEAR se

1. É de grau 1 em u e em todas suas derivadas parciais que
ocorrem na equação.
2. A equação está escrita em uma forma semelhante a uma
função polinomial.
Exemplo
(i) ln (ux + uy + uz ) = cos (uxxxx uxy + uyy ), ORDEM= 4,
GRAU= 1. NÃO LINEAR
(ii) (1 − x)100 uxyx + uyyy + u 10 + ux = 0, ORDEM= 3,
GRAU= 1. NÃO LINEAR.
(iii) cos(xyt)uxx + (x 2 + t 100 + ln y )uyy + (arctan x + 1)uzz +
utt + u + ux = 0, ORDEM= 2, GRAU= 1. LINEAR
Observação
1) A forma mais geral de uma EDP linear de primeira ordem é
∂u ∂u
a1 (x) + . . . + an (x) + b(x)u + c(x) = 0,
∂x1 ∂xn
onde x = (x1 , . . . , xn ) e alguma das funções aj (x1 , . . . , xn )

não é identicamente nulo.
Por exemplo, para n = 2, temos
A(x, y )ux + B(x, y )uy + C(x, y )u + D(x, y ) = 0 (2)

2) A forma mais geral para uma EDP linear de segunda
ordem é
n n
X ∂2u X ∂u
aij (x) + bj (x) + c(x)u + d(x) = 0,
∂xi ∂xj ∂xj
i,j=1 j=1
onde alguma das funções aij (x1 , . . . , xn ) não é

identicamente nulo.
Por exemplo, para n = 2, temos
A(x, y )uxx + B(x, y )uxy + C(x, y )uyx + D(x, y )uyy +

E(x, y )ux + F (x, y )uy + G(x, y )u + H(x, y ) = 0
(3)
EDP’s LINEARES HOMOGÊNEAS
Uma EDP linear é HOMOGÊNEA se o termo que não contém

a variável dependente é identicamente nulo. Caso contrário, a
equação é dita NÃO HOMOGÊNEA.
Observação
Temos:
I A equação (2) é homogênea se e somente se D(x, y ) ≡ 0.
I A equação (3) é homogênea se e somente se H(x, y ) ≡ 0.
I A função u ≡ 0 é sempre uma solução de qualquer EDP

linear homogênea.
PARTE PRINCIPAL DE UMA EDP
É a parte da equação que contém as derivadas de maior

ordem.
Exemplo
Temos
1. A parte principal de (2) é
A(x, y )ux + B(x, y )uy
2. A parte principal de (3) é
A(x, y )uxx + B(x, y )uxy + C(x, y )uyx + D(x, y )uyy

A parte principal da EDP não linear

(1 − x)100 arctan (uxyx ) + uyyy + ln u 10 + ux = 0, (4)
é dada por
(1 − x)100 arctan (uxyx ) + uyyy
Note que a parte principal da equação (4) NÃO é linear.

Dentre as EDP não lineares, as que têm parte principal linear
são chamadas de EDP’s SEMILINEARES.
1. Uma EDP de ordem 1, semilinear, com três variáveis
independentes x, y , z é da forma
∂u ∂u ∂u
A(x, y , z) + B(x, y , z) + C(x, y , z) = F (x, y , z, u)
∂x ∂y ∂z
2. A forma mais geral de uma EDP semilinear de segunda

ordem é
n
X ∂2u
aij (x) = F (x, u, ux1 , . . . , uxn )
∂xi ∂xj
i,j=1
Exemplo
1. xux − yuy = sen(xy ): linear, não homogênea, ordem 1.
2. ut = uxxx + uux : semilinear, de ordem 3. (KdV).
∂2u ∂2u
3. + = h(x, y ) (POISSON): linear, ordem 2.
∂x 2 ∂y 2
Quando h(x, y ) ≡ 0, é chamada de LAPLACE.
∂u ∂2u
4. = α2 2 (CALOR) onde u = u(x, t), x ∈ R, t > 0, α
∂t ∂x
constante, ordem 2, linear e homogênea.
Em dimensões maiores, a equação do calor é
!
∂u ∂ 2u ∂ 2u
= α2 + ... + = α2 ∆u,
∂t ∂x12 ∂xn2
onde u = u(x1 , . . . , xn , t), t > 0, ∆ é o Laplaciano de Rn .

LINEARIDADE E SUPERPOSIÇÃO
Consideraremos EDP’s de ordem 2, isto é, equações da forma

F x1 , . . . , xn , u, ux1 , . . . , uxn , ux1 x1 , . . . , uxi xj , . . . , uxn xn = 0 (5)
Definição (Solução Clássica)

Uma função Φ : Ω ⊆ Rn −→ R, onde Ω é um aberto, é uma
SOLUÇÃO CLÁSSICA de (5) se:
1. Φ ∈ C 2 (Ω).
2. Para todo x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω, o vetor

x, Φ(x), Φx1 (x) , . . . , Φxn (x), . . . , Φxi xj (x), . . . , Φxn xn (x) ∈ D(F ).
3. Para todo x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω, temos

F x, Φ(x), Φx1 (x) , . . . , Φxn (x), . . . , Φxi xj (x), . . . = 0.
Por outro lado, sabemos que uma EDP linear de segunda
ordem é da forma
n n
X ∂2u X ∂u
Aij (x) + Bj (x) + C(x)u + D(x) = 0, (6)
∂xi ∂xj ∂xj
i,j=1 j=1
onde alguma das funções Aij (x) não é identicamente nulo.
∂2u
Soluções clássicas: u ∈ C 2 (Ω), logo contínuas
∂xi ∂xj
Hipótese: Funções dadas Aij , Bj , C e D contínuas.

ÁLGEBRA LINEAR
L : C 2 (Ω) −→ C 0 (Ω), o seguinte operador

n n
X ∂2u X ∂u
L [u] = Aij (x) + Bj (x) + C(x)u. (7)
∂xi ∂xj ∂xj
i,j=1 j=1
∂2 ∂
Pela linearidade dos operadores e , temos que L é
∂xi ∂xj ∂xj
linear.
Note que a EDP homogênea associada a (6) pode ser escrita
da forma
L [u] = 0. (8)
L linear implica u e v soluções de (8) e α, β ∈ R, então
αu + βv
também é solução de (8). Portanto, o conjunto

n o
Sol2H = u ∈ C 2 (Ω) : L [u] = 0
é um subespaço vetorial de C 2 (Ω).

Observação (Diferença entre EDO e EDP)
Considere a equação:
uxy = 0, (x, y ) ∈ R2 . (9)
1◦ : Soluções clássicas. Logo uxy = uyx . Assim
∂
(ux ) = uxy = 0.
∂y
ux não depende de y , assim ux (x, y ) = F (x).

Z
2◦ : Integrando em relação a x, com f (x) = F (x) dx
u(x, y ) = f (x) + g(y )
3◦ : Como f (x) e g(y ) são arbitrárias, o conjunto de soluções

clássicas da EDP (9) tem dimensão infinita.
FORMA GERAL
Temos que considerar
!
∂u ∂u ∂ 2 u ∂2u ∂k u
F x, u, ,..., , 2,..., ,..., k = 0.
∂x1 ∂xn ∂x1 ∂x1 ∂xn ∂xn
E
I Consideramos somente equações lineares de ordem k .
I u ∈ C k (Ω).
I L : C k (Ω) −→ C 0 (Ω).
I SolkH = u ∈ C k (Ω) : L [u] = 0 .

Sabemos que se u1 , . . . , um são soluções da EDP homogênea,
a CL de estas é uma solução da EDP homogênea.
Resultado conhecido como o PRINCÍPIO DE

SUPERPOSIÇÃO (na sua forma finita).
Observação
Eq (9) nos leva, de forma natural,a perguntar sobre a
possibilidade de formarmos “CL infinitas” de soluções.
Existe uma forma infinita do Princípio de Superposição? Sim,

sob certas condições.
Proposição (Principio de Superposição)
Seja a sequência (um )m∈N de funções tais que
L [um ] = 0, para todo m ∈ N.
onde um ∈ C k (Ω), e (λm )m∈N uma sequência de escalares tal

que a série
∞
X
λm um (x)
m=1
converge para uma função u e é k -vezes diferenciável termo a

termo. Então
L [u] = 0.
Prova: k = 2.
∂um ∂ 2 um
1◦ : Funções um , e . Logo, para cada x,
∂xj ∂xi ∂xj
∞ ∞ ∞
X X ∂um X ∂ 2 um
λm um (x) , λm (x) e λm (x)
∂xj ∂xi ∂xj
m=1 m=1 m=1
∂u ∂2u
são convergentes a u (x), (x) e (x) respectivamente.
∂xj ∂xi ∂xj
2◦ : Assim, para todo x ∈ Ω, temos
n n
X ∂2u X ∂u
(L [u]) (x) = Aij + Bj + Cu
∂xi ∂xj ∂xj
i,j=1 j=1
n ∞ n ∞
! !
X X ∂ 2 um X X ∂um
= Aij λm + Bj λm
∂xi ∂xj ∂xj
i,j=1 m=1 j=1 m=1
∞
!
X
+C λ m um
m=1
 
∞ n n
X X ∂ 2 um X ∂um
= λm  Aij + Bj + C(x)um 
∂xi ∂xj ∂xj
m=1 i,j=1 j=1
∞
X
= λm (L [um ]) (x) = 0.
m=1

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Equações Diferenciais Parciais: AULA 02

Para uma função u : Ω −→ R, onde Ω ⊆ Rn e

usaremos as seguintes notações para as Derivadas Parciais

Uma EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP) em

x, t, u, ux , ut , uxx , uxt , utx , utt .

Temos que a equação ut = K uxx satisfaz

F (x, t, u, ux , ut , uxx , uxt , utx , utt ) = 0.

F (x, y , u, ux , uy , uxx , uxy , uyx , uyy , uxxx , . . . , uyyy )

A ORDEM de uma EDP é dada pela derivada parcial de maior

3. (uxx )7 + (uyy )8 + (uzz )7 + (utt )7 = 0, ORDEM= 2,

(1) Uma EDP de PRIMEIRA ORDEM, envolvendo u, é uma

F (x, y , u, ux , uy , uxx , uxy , uyx , uyy ) = 0.

Uma EDP é LINEAR se

1) A forma mais geral de uma EDP linear de primeira ordem é

onde x = (x1 , . . . , xn ) e alguma das funções aj (x1 , . . . , xn )

Por exemplo, para n = 2, temos

A(x, y )ux + B(x, y )uy + C(x, y )u + D(x, y ) = 0 (2)

onde alguma das funções aij (x1 , . . . , xn ) não é

Por exemplo, para n = 2, temos

A(x, y )uxx + B(x, y )uxy + C(x, y )uyx + D(x, y )uyy +

Uma EDP linear é HOMOGÊNEA se o termo que não contém

I A equação (3) é homogênea se e somente se H(x, y ) ≡ 0.

I A função u ≡ 0 é sempre uma solução de qualquer EDP

É a parte da equação que contém as derivadas de maior

A(x, y )ux + B(x, y )uy

2. A parte principal de (3) é

A(x, y )uxx + B(x, y )uxy + C(x, y )uyx + D(x, y )uyy

Note que a parte principal da equação (4) NÃO é linear.

2. A forma mais geral de uma EDP semilinear de segunda

onde u = u(x1 , . . . , xn , t), t > 0, ∆ é o Laplaciano de Rn .

Consideraremos EDP’s de ordem 2, isto é, equações da forma

Definição (Solução Clássica)

3. Para todo x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω, temos

onde alguma das funções Aij (x) não é identicamente nulo.

Hipótese: Funções dadas Aij , Bj , C e D contínuas.

L : C 2 (Ω) −→ C 0 (Ω), o seguinte operador

também é solução de (8). Portanto, o conjunto

é um subespaço vetorial de C 2 (Ω).

uxy = 0, (x, y ) ∈ R2 . (9)

1◦ : Soluções clássicas. Logo uxy = uyx . Assim

ux não depende de y , assim ux (x, y ) = F (x).

u(x, y ) = f (x) + g(y )

3◦ : Como f (x) e g(y ) são arbitrárias, o conjunto de soluções

Resultado conhecido como o PRINCÍPIO DE

Existe uma forma infinita do Princípio de Superposição? Sim,

L [um ] = 0, para todo m ∈ N.

onde um ∈ C k (Ω), e (λm )m∈N uma sequência de escalares tal

converge para uma função u e é k -vezes diferenciável termo a

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