Potenciais Elétrico e Magnético – Solução das Equações de Onda

Na última aula, vimos que as equações de onda para o potencial elétrico e

potencial magnético são dadas por:

 2V 
 2V    , (1)
t 2


2A
 A   2    J .
2
(2)
t

Uma vez que a corrente elétrica ou a densidades de cargas são variáveis com o
tempo, cria-se a distribuição dos campos elétricos e magnéticos. Se as variações
temporais da corrente ou cargas forem periódicas e dependendo do meio, cria-se uma
onda eletromagnética. Essa distribuição de campos pode ser representada de forma
indireta considerando os potencias A e V, conforme as expressões (1) e (2). Com as
soluções das equações de onda, os campos elétricos e magnéticos são obtidos utilizando
as definições:

B  H    A , (3)

A
E  V  . (4)
t

Nesta aula, serão estudas as soluções das equações de onda para o potencial
elétrico V e o vetor potencial magnético A.

Para a equação de onda (1), a sua solução deve ser de forma geral e fornecer a
distribuição do potencial V em função da distribuição de cargas. Porém, a sua solução
analítica pode-se tornar uma tarefa difícil dependendo dessa distribuição. Felizmente e
baseando-se nos estudos realizados em eletrostática, é possível criar uma metodologia
de forma a obter a solução de (1) de uma forma mais simples.

Conforme a eletrostática, o potencial elétrico estático de uma carga elétrica

puntiforme no espaço é dado por:

Q
V  R  . (5)
4 R
Sendo Q o valor da carga elétrica e R a distância entre a carga e o ponto onde se deseja
medir o potencial elétrico V. Para mais de uma carga elétrica puntiforme, o potencial
elétrico resultante em um dado ponto será a soma algébrica de todos os potenciais
elétricos individuais, ou seja, aplica-se o princípio da superposição.

Seguindo a metodologia acima, a solução da equação de onda para o potencial

elétrico V dada em (1) é obtida para uma carga puntiforme localizada na origem, dada
por:

Q    t  Vol . (6)

Nessa situação, torna-se mais conveniente trabalhar em coordenadas esféricas

devido às simetrias em relação a ϕ e ϴ. Desta forma, o potencial elétrico estará em
função da distância R e do tempo t. Outro fato que deve ser considerado é a região onde
se deseja conhecer o potencial elétrico V. O espaço pode ser dividido em duas regiões: a
origem, onde a carga elétrica puntiforme se localiza, e a região além da origem onde o
potencial elétrico V se propaga. A região de interesse deve ser apenas onde V se
propaga. Com essas considerações, a equação de onda para V torna-se:

1   2 V   2V
R    2  0 . (7)
R 2 R  R  t

1
Mudando-se a variável V por V  R, t   U  R, t  , tem-se:
R

 2U  2U
  2  0 . (8)
R 2 t

A equação (8) é mais simplificada que a equação (7) e é possível verificar que

uma função qualquer do tipo f t  R    satisfaz (8). Para exemplificar, considere

t  R   2U t  R   2U t  R 
que U  R, t   e
  
. Neste caso,   e e e . Substituindo os
R 2
t 2

dois termos em (8) e fazendo-se a soma o resultado é nulo. Portanto, a solução geral de
(8) pode ser escrita como:


U  R, t   f t  R  ,  (9)

e
 V  R, t  
1
R

f t  R  ,  (10)

Substituindo (6) em (5) e comparando com (10), o potencial elétrico gerado pela
carga puntiforme Q    t  Vol pode ser escrito como:

 t  R  Vol  
V  R, t  
1
R

f t  R  
4 R

. (11)

Na equação (11), pode-se perceber que há um retardo entre as variações

temporais da carga e as variações temporais do potencial elétrico em um ponto R. A
onda eletromagnética (representada pelo potencial V) é gerada pelas variações temporais
da carga puntiforme na origem e se propaga até o ponto R a uma velocidade v. Logo, o
tempo gasto para a onda se propagar da origem até o ponto R é R  . Ao considerar a
propagação da onda no espaço, qualquer variação temporal da carga só será percebida
em um ponto R após um retardo de t  R  . Por esta razão, o potencial elétrico dado
em (11) é conhecido como potencial elétrico retardado. A velocidade com que a onda
eletromagnética se propaga no espaço é:

1
v (m/s). (12)


Ao se considerar toda a distribuição de cargas, deve-se aplicar o princípio da

superposição. Assim, a solução da equação de onda será:

V  R, t  
1 
 t  R  d
4 
Vol . (13)
Vol R

De forma similar, a solução da equação de onda para o vetor potencial

magnético A é dada por:

A  R, t  
 
J t  R  d
4 
Vol R
Vol . (14)

O potencial em (14) é conhecido como vetor potencial magnético retardado.

Exemplo 1

Obtenha o vetor potencial magnético em uma região próxima a um condutor longo e

reto. Neste condutor, circula uma corrente I na direção z.

Solução:

Conforme visto em magnetostática, o campo magnético H possui somente a

componente ϕ e pode ser determinado pela lei de Ampere:

I I
 H  dl   Hˆ  
ˆ d  I , logo H 

2
e B 
2

Como B    A , em coordenadas cilíndricas, tem-se:

ˆ
ˆ zˆ
1 A A I
  A       z    z 
 z  2
A  A Az

Como os campos não variam na direção z, tem-se:

Az I

 2

Logo:

I
Az   ln     C
2

Deve-se observar que o vetor potencial magnético possui a mesma direção da

corrente elétrica.

Exemplo 2

Uma densidade de corrente J=80t ẑ (A/m2) no eixo z no espaço livre no

intervalo -0,1 < z < 0,1. Encontre Az no ponto P(2,0,0).

Solução:

Neste caso, tem-se uma densidade de corrente variável no tempo e há a

formação dos campos eletromagnéticos. O vetor potencial magnético retardado é dado
por:
 A  R, t  
 
J t  R  d
4 
Vol R
Vol

Como a corrente está apenas no eixo z, a integral do princípio da superposição

será linear e o vetor potencial magnético está na direção z. Substituindo a densidade de
corrente, tem-se:

A  R, t  
200 0,1 t  R   dz zˆ
  0,1 R

A distância R entre o ponto P até um segmento condutor que transporta a

corrente é R  z 2   2  z 2  22 , conforme mostrado na figura abaixo.

z R

 P

J

Como a velocidade de deslocamento da onda é v  1  , o vetor potencial
magnético pode ser escrito como:

200  0,1 t 0,1 1 

A  0,1 2 dz   dz  zˆ
  z  22 0,1 v


A integral acima é da forma  x a

dx
2 2  
 ln x  x 2  a 2 . Logo o vetor

potencial magnético é:

A  8 107 t-5,33 1015 zˆ (Wb/m)