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Assuntos dessa aula

I. Introdução 1

II. Lei de Coulomb 2

III. Campo de dipolo elétrico 4

IV. Força elétrica sobre o dipolo elétrico 7

A. Torque sobre dipolo elétrico 8

V. Importância do conceito de dipolo elétrico 9

Aula 1. Campo elétrico

I. INTRODUÇÃO

A experiência mostra que entre corpos carregados eletricamente, e entre correntes elétri-
cas, agem as chamadas forças eletromagnéticas. Neste curso vamos aprender como estas
forças surgem, como elas agem sobre outros corpos e como elas são modi…cadas pela matéria.
Ao …nal do curso vamos reduzir todos os fenômenos eletromagnéticos a apenas quatro
equações fundamentais, chamadas de equações de Maxwell, que explicam todo o Eletromag-
netismo e toda a Óptica. Qualquer estudo mais aprofundado de Eletromagnetismo (como
eletrônica, engenharia elétrica ou fotônica) pode ser visto simplesmente como manipulação
matemática dessas equações, portanto, os conceitos vistos neste curso poderão ser aplicadas
em inúmeras áreas da Ciência que usam fenômenos eletromagnéticos.
É um fato experimental que cargas elétricas em repouso criam campo elétrico e sentem
forças elétricas. O campo elétrico que não muda com tempo chama-se campo eletrostático.
Ele pode ser criado, por exemplo, por cargas elétricas paradas.
Vamos supor que certas cargas elétricas criaram um campo elétrico estacionário (logo
vamos ver como isto é feito). Se começarmos a introduzir corpos parados carregados elet-
ricamente num certo ponto de espaço (estes corpos são chamados de cargas de teste, que
devem ser pequenos para não modi…car a distribuição de eletricidade nos outros corpos),
estes corpos sentirão força F~ (que pode ser medida através da aceleração, compressão de
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uma mola, etc). Seja F~i a força sobre a i-ésima carga-teste. O experimento mostra que para
todos os i a força F~i age sempre na mesma direção, mas pode ter dois sentidos opostos. Isto
implica que há apenas dois tipos de carga elétrica, que de…nimos como positiva e negativa.
A razão entre as magnitudes das forças elétricas Fi =Fj só pode depender da carga elétrica
destes corpos (pois todas as outras condições são idênticas), então podemos escrever que a
força que age sobre a carga q é
F~ = q E
~ (1.1)
~ é o campo elétrico criado por outras cargas. Esta fórmula vale inclusive para campos
onde E
elétricos alternados, ou seja, aqueles que variam com tempo. Mas, por de…nição, a carga
q deve estar parada (pois se a carga q estiver se movendo, sobre ela age a força magnética
adicional que veremos depois).
Se a carga q está parada num sistema de coordenadas, ela pode estar se movendo num
outro sistema de coordenadas. Como a força total F~ independe do sistema de referência
(pelo menos na aproximação não-relativística, ou seja, para velocidades muito menores que
a da luz), isto mostra que no caso geral sobre a partícula age o campo eletromagnético,
que em alguns referenciais pode se manifestar apenas como campo elétrico ou apenas como
campo magnético. Assim, vemos que os campos elétrico e magnético são intrinsicamente
interligados, e a teoria que descreve eletricidade e magnetismo deve ser uma só! Ao longo
do curso vamos ver como isto se obtém matematicamente.
A unidade de carga eletrica é coulomb, denotado por C. Além disso, a experiência mostra
que: a carga elétrica total de um sistema isolado (ou seja, aquele que não troca matéria com
a vizinhança) é conservada. Ela só pode mudar se existirem cargas elétricas atravessando as
fronteiras do sistema. Isto não implica que as cargas positivas e negativas são conservadas
isoladamente. Pode acontecer de um fóton de alta energia criar o par partícula-antipartícula
de cargas opostas, porém, a carga elétrica total do sistema permanece conservada.

II. LEI DE COULOMB

Vamos considerar campos elétricos de cargas imóveis –a área chamada de Eletrostática.

A força entre duas cargas pontuais é dada pela Lei de Coulomb. Sendo q1 e q2 as cargas das
partículas, a força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 é
1 q 1 q2
F~12 = 2
r^12 (1.2)
4 "0 r12
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Aqui ~r12 é o vetor que vai de partícula 1 à partícula 2, r12 é a sua magnitude e r^12 = ~r12 =r12
é o vetor unitário na direção de ~r12 . Lembramos que neste sistema de unidades (chamado de
Sistema Internacional de Unidades), a força é medida em newtons (N), distância em metros
(m), e "0 é uma constante universal chamada de “constante de permissividade do vácuo”ou
apenas “permissividade do vácuo”, cujo valor é

12 C2
"0 = 8; 854 10 (1.3)
N m2

A outra relação numérica útil é

1 N m2
= 8; 988 109 (1.4)
4 "0 C2

A lei de Coulomb vale para cargas pontuais, ou seja, cujo tamanho é muito menor que a
distância r12 considerada. Supondo que q2 é uma carga-teste, o campo elétrico da carga 1
na posição da carga 2 é
~
~ 1 = lim F12 = 1 q1 r^12
E (1.5)
q2 !0 q2 2
4 "0 r12
Vemos que nesta fórmula o ponto 2 é um ponto arbitrário, então se de…nirmos vetor ~r que
vai da carga q até um ponto qualquer no espaço, temos o campo elétrico neste ponto igual a

~ (~r) = 1 q
E r^ (1.6)
4 "0 r 2

É um fato experimental que este campo existe mesmo quando não houver carga-teste neste
ponto.
Além disso, o campo elétrico no ponto P devido a N cargas pontuais q1 ; q2 ; :::; qN obedece
ao princípio de superposição, que diz que

X
N
1 X qi
N
~ =
E ~i =
E r^i (1.7)
i=1
4 "0 i=1 ri2

onde ~ri é o vetor que sai da i-ésima carga e vai até o ponto de observação P .
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Em outras palavras, em qualquer posição o campo elétrico produzido por uma carga se soma
aos campos elétricos devido a outras cargas. Com esta fórmula podemos calcular o campo
elétrico de qualquer con…guração pré-estabelecida de cargas.
Podemos representar gra…camente o campo elétrico através das linhas de campo elétrico.
Uma linha de campo elétrico é uma linha matemática, cuja tangente em cada ponto coincide
com a direção e o sentido do campo elétrico. Por isso, as linhas de campo elétrico saem de
cargas positivas e terminam em cargas negativas ou no “in…nito” (ou seja, se estendem até
o in…nito). Para cargas pontuais isoladas as linhas são radiais:

Já para sistemas de duas ou mais cargas as linhas …cam bem mais complicadas:

III. CAMPO DE DIPOLO ELÉTRICO

Na …gura da esquerda acima, temos o chamado dipolo elétrico: duas cargas pontuais de
magnitudes opostas, separadas de distância l. Vamos de…nir o vetor ~l como sendo o vetor
que vai da carga negativa à carga positiva (…gura a abaixo).
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Vamos calcular o campo elétrico de dipolo pontual: aquele, para qual a separação l é
muito menor que as distâncias das cargas até o ponto de observação A. Se o ponto A está
localizado na mesma linha que as cargas (…g. b), temos em magnitude
1 q q q r12 r22 q (r1 r2 ) (r1 + r2 )
Ek = = = (1.8)
4 "0 r22 r12 4 "0 r22 r12 4 "0 r22 r12
Agora vamos usar o fato de que para dipolo pontual r1 r2 = l e que l é muito menor
que tanto r1 quanto r2 (matematicamente escrevemos l r1 ; r2 ). Neste caso r1 + r2 =
r1 r2 + 2r2 = l + 2r2 2r2 (onde no último passo desprezamos l em relação a r2 ), obtendo
q l2r2
Ek (1.9)
4 "0 r22 r12
Denotando como r a distância entre o centro do dipolo e o ponto A, temos nesta aproximação
r2 = r l=2 r e r1 = r + l=2 r, logo
1 ql
Ek 2 (1.10)
4 "0 r 3
Na forma vetorial (já que fora das cargas o campo aponta no sentido de ~l) obtém-se

~ k = 2 1 p~
E (1.11)
4 "0 r 3
onde de…nimos o vetor momento de dipolo elétrico

p~ = q~l (1.12)

A vantagem desta de…nição é que agora o dipolo …ca caracterizado por um único parâmetro
p~, em vez de q e ~l. Além disso, na Eq. (1.11) colocamos o sinal de igualdade (em vez de
aproximadamente) pois consideramos que o dipolo é pontual, ou seja, l ! 0.
Agora vamos calcular o campo do dipolo sobre o a linha perpendicular ao eixo de dipolo,
que passa por seu centro. De acordo com a …g. (b), as magnitudes do campo E~ 1 (produzido

pela carga ~ 2 (produzido por q) são iguais a

q) e do campo E
1 q
jE1 j = jE2 j = (1.13)
4 "0 r2 + (l=2)2
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~1 e E
Quando somamos E ~ 2 (usando o princípio de superposição), as componentes verticais

se anulam e as horizontais se somam. Como o ângulo é o mesmo (pois o ponto A passa

pelo centro do dipolo), temos para a magnitude da componente horizontal total

1 q l=2 1 p
jE? j = 2 jE1 j sen =2 q (1.14)
4 "0 r2 + (l=2)2 2 4 "0 r 3
r2 + (l=2)

Como o campo agora aponta para a esquerda, podemos escrever a equação vetorial

~? = 1 p~
E (1.15)
4 "0 r 3

Note que, de acordo com as aproximações realizadas (l r), o ponto O pode inclusive estar
fora do centro do dipolo, desde que a distância do centro do dipolo até o ponto O ainda seja
muito menor que r (neste caso o erro associado ao usar a fórmula 1.15 será muito pequeno).
Agora podemos encontrar o campo elétrico de um dipolo pontual num ponto arbitrário
do espaço, como o ponto A na …g. d acima. Para isso, no ponto …ctício D (escolhido tal que
o ângulo entre as linhas CD e DA seja 900 ) imaginamos duas cargas pontuais +q e q (como
elas estão no mesmo ponto e têm carga total nula, elas não modi…cam em nada o campo
elétrico). Com isso, obtemos o sistema de dois dipolos pontuais …ctícios p~1 e p~2 . Usando o
princípio de superposição obtemos o campo no ponto A

~ = 1 2~p1 p~2
E (1.16)
4 "0 r3 r3

onde, dentro da nossa aproximação, ~r parte de qualquer ponto dentro do triângulo BCD
(então vamos considerar que ~r é medido da carga q até o ponto de observação). Usando a
soma de vetores temos
p~ = p~1 + p~2 ) p~2 = p~ p~1 (1.17)

onde p~ é o dipolo elétrico real (enquanto p~1 e p~2 são dipolos …ctícios, introduzidos apenas
para simpli…car a conta). Além disso, vemos que p~1 é paralelo ao vetor ~r e sua magnitude é

p1 = p cos = p~ r^ (1.18)

~ B
Aqui lembrei a de…nição do produto escalar A ~ = jAj jBj cos , onde é o ângulo entre
os vetores A e B. Finalmente, obtemos o campo de dipolo elétrico pontual:

~ = 1 1 1 1 1 3 (~p r^) r^ p~
E (2~p1 p~ + p~1 ) = (3~p1 p~) = (1.19)
4 "0 r 3 4 "0 r 3 4 "0 r3
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Vemos que o campo de um dipolo elétrico pontual depende apenas de p~, e decresce com o
cubo da distância (enquanto que o campo de uma carga pontual decresce com o quadrado da
distância). Depois veremos que dipolos elétricos são essenciais para entender como o campo
elétrico é modi…cado pela matéria!

IV. FORÇA ELÉTRICA SOBRE O DIPOLO ELÉTRICO

Se o campo for homogêneo (ou seja, o mesmo em todos os pontos do espaço), então a
força total sobre o dipolo é
F~ = q E
~ ~ =0
qE (1.20)

Vamos ver o que acontece num campo inomogêneo (que varia com posição). Temos

F~ = q E
~2 ~1 = q E
qE ~2 ~1 = q E
E ~ (1.21)

onde ~ é a diferença entre os campos elétricos nas posições de carga positiva e negativa.
E
Como l é muito pequeno, podemos usar a expansão em série de Taylor (relembre o Cálculo
II). Para a componente x de E~ (usando o sistema de coordenadas cartesiano xyz) temos

para l ! 0
@Ex @Ex @Ex
Ex = lx + ly + lz (1.22)
@x @y @z
@
onde @x
é a derivada parcial da função de três variáveis
(x; y; z) em relação a x (ou seja,
como se neste caso y e z fossem constantes). lx é a componente de vetor ~l ao longo do eixo
x, e assim por diante. Analogamente

@Ey @Ey @Ey

Ey = lx + ly + lz (1.23)
@x @y @z
@Ez @Ez @Ez
Ez = lx + ly + lz (1.24)
@x @y @z
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Então denotando os vetores cartesianos unitários como x^; y^ e z^ (eles são constantes), a
força total é

F~ = q [^
x Ex + y^ Ey + z^ Ez ] (1.25)
@Ex @Ex @Ex @Ey @Ey @Ey
= q^
x lx + ly + lz + q y^ lx + ly + lz
@x @y @z @x @y @z
@Ez @Ez @Ez
+q^ z lx + ly + lz (1.26)
@x @y @z
@Ex @Ey @Ez @Ex @Ey @Ez
= qlx x^ + y^ + z^ + qly x^ + y^ + z^
@x @x @x @y @y @y
@Ex @Ey @Ez
+qlz x^ + y^ + z^ (1.27)
@z @z @z
Mas qlx é a componente x do vetor p~, e assim por diante. Além disso, temos
~
@E @ @Ex @Ey @Ez
= (^
xEx + y^Ey + z^Ez ) = x^ + y^ + z^ (1.28)
@x @x @x @x @x
justamente como aparece nas fórmulas anteriores. Portanto obtemos …nalmente
~
@E ~
@E ~
@E
F~ = px + py + pz (1.29)
@x @y @z
Esta é a força que age sobre o dipolo elétrico quando o campo elétrico é inomogêneo.
Para simpli…car, podemos escolher o sistema de coordenadas de tal forma que o eixo x
coincide com o sentido do dipolo elétrico, de modo que p~ = p^
x. Neste caso a fórmula anterior
vira
~
@E @Ex @Ey @Ez
F~ = p = p x^ + y^ + z^ (1.30)
@x @x @x @x
~ variam com a coordenada x
Assim, esta força vai depender de como as componentes de E
(ou seja, ao longo de comprimento do dipolo).

A. Torque sobre dipolo elétrico

Agora vejamos o torque sobre o dipolo elétrico pontual. Por simplicidade, vamos calcular
o torque em relação à carga negativa. Lembrando a expressão geral para o torque

~ = ~r F~ (1.31)

onde ~r é a distância da origem do sistema de coordenadas (carga negativa, neste caso) ao

ponto de aplicação de força, temos
~ = ~l ~2
qE (1.32)
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~ 1 , então como já vimos

Se o campo na posição da carga negativa for E

~2 = E
E ~1 + ~ ) ~ = ~l
E ~1 +
q E ~
E (1.33)

Como l ! 0, podemos desprezar o termo ~l ~ pois ele é proporcional a l2 e, portanto,

E,
muito menor que o outro termo. Assim, obtemos

~ = q~l ~ 1 = p~
E ~1
E (1.34)

Além disso, para dipolo pontual podemos considerar o campo elétrico em qualquer ponto
do dipolo e não especi…camente E~ 1 (pois o erro associado seria proporcional a l2 , ou seja,

muito pequeno), obtendo …nalmente

~ = p~ ~
E (1.35)

~ e p~ forem perpendiculares, e será zero quando eles forem

O torque será máximo quando E
paralelos ou antiparalelos. Portanto, na posição de equilíbrio o dipolo elétrico tende a …car
paralelo ao campo elétrico externo. A posição antiparalela corresponde a equilíbrio instável,
em que qualquer perturbação externa tirará o dipolo desta posição.

V. IMPORTÂNCIA DO CONCEITO DE DIPOLO ELÉTRICO

Qualquer sistema nêutro de cargas que ocupa um volume pequeno pode ser aproximado
como um único dipolo elétrico. Para ver isso, consideremos um sistema arbitrário com cargas
positivas e negativas (de modo que a carga total é zero):
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Podemos juntar como quisermos as cargas de sinais opostos para formar dipolos elétricos
…ctícios. O momento de dipolo total é de…nido como a soma dos momentos de dipolo
individuais, logo
X (+)
p~ = qi ~li (1.36)
pos
(+)
onde qi é a carga positiva de cada dipolo …ctício e a soma é sobre as cargas positivas. Mas
( ) (+) (+) ( )
neste caso qi = qi , ~li = ~ri ~ri , logo
X (+) (+) ( )
X (+) (+)
X ( ) ( )
p~ = qi ~ri ~ri = qi ~ri + qi ~ri (1.37)
pos pos neg
P
onde neg é a soma sobre as cargas negativas. Mas agora podemos simplesmente indicar a
carga qi e a posição ~ri de cada partícula e somar sobre todas as cargas, obtendo o momento
de dipolo elétrico do sistema
X X
p~ = qi~ri = qi~ri (1.38)
todas
P
onde subentende a soma sobre todas as cargas qi do sistema.
A grande vantagem é que a quantidade acima independe da origem do sistema de coor-
~ teremos para qualquer carga
denadas. De fato, se a gente deslocar a origem pelo vetor C,
no novo sistema de coordenadas (denotado por linhas, como ~ri0 ou p~0 )

~ + ~ri
~ri0 = C (1.39)

O momento de dipolo elétrico no novo sistema de coordenadas será

X X X X
p~0 = qi~ri0 = ~ + ~ri = C
qi C ~ qi + qi~ri (1.40)
P
Mas qi = 0, porque desde começo supomos que o sistema é nêutro, então obtemos

p~0 = p~ (1.41)

ou seja, o momento de dipolo elétrico total independe da origem de sistema de coordenadas.

Assim, qualquer volume nêutro pequeno pode ser visto como um dipolo elétrico pontual
(para pontos de observação longe desse volume). Ele cria o campo elétrico

1 3 (~p r^) r^
~ = p~
E (1.42)
4 "0 r3
e sente força (devido a campo elétrico externo E~ ext )

~ ext
@E ~ ext
@E ~ ext
@E
F~ = px + py + pz (1.43)
@x @y @z
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e torque
~ = p~ ~ ext
E (1.44)

Nesta aula vimos duas con…gurações mais simples de corpos carregados eletricamente:
cargas pontuais e dipolos. Na próxima aula vamos calcular os campo elétricos produzidos
por con…gurações mais so…sticadas.