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FFTM Aula Fluidos Propriedades
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Aula -Viscosidade e Densidade e Pressão – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori http://www.claudio.sartori.nom.br sartorics@hotmail.com
• Bibliografia
Randall D. Knight-Physics for Scientists and Engineers_ A Strategic Approach (With Modern Physics)-Pearson Education (2012)
Yunus Çengel, John M. Cimbala - Fluid Mechanics Fundamentals and Applications-McGraw-Hill College (2017)
Russell C. Hibbeler - Fluid Mechanics-Prentice Hall (2014)
Bibliografia Básica
1. FOX, R. W.; MACDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. LTC, 2006.
2. BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Prentice Hall, 2005.
3. BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. 2ª Ed., LTC, 2012.
4. CANEDO, E. L. Fenômenos de Transporte. 1ª Ed, LTC, 2010.
5. MUNSON, B.R.; YOUNG, D.F., OKIISHI,T.H. Uma introdução concisa à Mecânica dos Fluidos. Edgard Blucher
Ltda, 2005.
Bibliografia complementar:
1. Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. Física. 2a. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, V. 1-2, 2000
2. Halliday, D.; Resnick, R. Fundamentos da Física, Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, v.1-2, 1991.
3. Tipler, P. A. Física, 2a, Ed. Guanabara dois, V1, 1985.
4. Franco e Brunetti, Mecânica dos Fluidos, Ed. Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2005.
5. Hibeller.
6. Notas de aula. http://www.claudio.sartori.nom.br/ (www.claudio.sartori.nom.br/fftm.html)
Fluido e Lei de Newton da viscosidade http://www.claudio.sartori.nom.br/Aula_ViscosidadeDensidade_FFTM.pdf
Um fluido é uma substância que assume o volume do recipiente que o contém. O fluido, uma vez escoando, deforma
continuamente quando submetido a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão. Tanto os
gases quanto os líquidos são classificados como fluidos. Um fluido complexo é um fluido cujas propriedades de transporte só
podem ser determinadas a partir do conhecimento detalhado da sua estrutura microscópica
Um fluido newtoniano é um fluido em que cada componente da velocidade é proporcional ao gradiente de velocidade na
direcção normal a essa componente. A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica .
Tensão de Cisalhamento e Pressão absoluta
𝐹Ԧ = 𝐹𝑛 + 𝐹𝑡 𝐹𝑛 Figura 1 – Componentes
da força atuando no fluido.
𝐹𝑡
• Tensão de cisalhamento: 𝜏 =
𝐴
𝐹𝑡 𝐹𝑛
• Pressão absoluta: 𝑝=
𝐴
𝑁
• Unidade (SI): Pascal: 1 𝑃𝑎 = 2
𝑚
Uma força de cisalhamento é a componente tangencial de uma dada força que age sobre a superfície e, dividida pela área da
superfície, dá origem à tensão de cisalhamento média 𝜏 (“tau”) sobre a área quando a área tende a um ponto. A força normal
atuando na área dá origem à pressão absoluta p.
Padrões de escoamento de fluidos
Regimes ou movimentos variado e permanente.
Regime permanente: é aquele em que as propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto com o passar do tempo. As
propriedades podem variar de ponto para ponto, desde que não haja variação com o tempo.
Regime variado: é aquele em que as condições do fluido em alguns pontos ou em regiões de pontos, variam com o passar
do tempo.
• Linhas de corrente (“streamlines”): são curva formadas por pontos que passam os vetores velocidade das partículas de
fluido, tangentes à ela.
dy v
= V = u i + v j
dx u
➢ Tubos de corrente (“streamtubes”): superfície formada por um agrupamento de linhas de corrente, que não se cruzam e são
interiores ao tubo.
➢ Trajetória ("path lines”): lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos.
Grande reservatório: nível permanece constante, regime considerado permanente. Num ponto da superfície de um grande
reservatório (interface líquido-atmosfera), a velocidade será nula (vP = 0) e a pressão manométrica nula (pP = 0).
Tipos de escoamento:
➢ Escoamento laminar: partículas do fluido viajam sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas concêntricas, em
trajetórias bem definidas, entre as quais não há troca de massas de partículas.
➢ Escoamento Turbulento: ocorre quando há flutuações das velocidades das partículas de fluido, apresentando componentes
transversais da velocidade.
❑ Viscosidade dinâmica (“eta”) ou 𝝁 (“mi”): Razão entre a tensão de cisalhamento (“tau”) e o gradiente de velocidades nas
𝜕𝑣
camadas do fluido (relação da velocidade da camada de fluido e sua espessura y): 𝜕𝑦
= v Ft
v = =
y A dv y
y
dy
𝑁.𝑠
❖ Unidade (SI) da viscosidade dinâmica ou 𝝁 : 𝑚2
Figura 1 – Escoamento de um fluido viscoso. A área da placa é A e a taxa de variação da velocidade com a distância vertical é
, ou gradiente de velocidade.
𝑔 3
𝑘𝑔
1 = 10
𝑐𝑚3 𝑚3
𝑔 𝑘𝑔
1 3 = 1000 3
𝑐𝑚 𝑚
• Viscosidade absoluta ou dinâmica = .
Definimos como viscosidade absoluta ou dinâmica (eta) ou (mi) a razão entre a tensão de cisalhamento e a taxa de
variação da velocidade com a distância vertical medida entre as duas placas indicadas.
Ft =
Fv = A
dv
= Ft = A dv y
A dy
dy
N s
• Unidade: SI: • Sistema [CGS] - Poise:
m2 din s −1 N s
1Po = 1 cmgs = 10−1 kg
ms
=1 = 10
• Viscosidade cinemática cm2 m2
Definimos como viscosidade cinemática (“nu”) como sendo a razão
ente a viscosidade dinâmica e a densidade do corpo (rô).
= Figura - Dependência da viscosidade com a
temperatura para algumas substâncias.
2
•Unidade: [SI]:
m
s
▪ Sistema [CGS] - Stoke: St
cm2 −4 m
2
1St = 1 = 10
s s
Número de Reynolds
v D v D
NR = = NR =
D
D: diâmetro da tubulação;
http://www.claudio.sartori.nom.br/androide.html
Pressão absoluta.
Figura 1 – Componentes da força atuando no fluido.
• Pressão absoluta: 𝐹𝑛
𝑝=
𝐴
𝑁
• Unidade (SI): Pascal: 1𝑃𝑎 =
𝑚2
𝑚
𝜌= ⇔𝑚 =𝜌⋅𝑉
𝑉
𝑊
❑ Pressão numa superfície de área A devido à um corpo de peso 𝑊: 𝑝=
𝐴 ℎ 𝑉 𝑉 =𝐴⋅ℎ
𝑊 𝑚⋅𝑔 𝜌⋅𝑉⋅𝑔 𝜌⋅𝐴⋅ℎ⋅𝑔
⇔𝑝= ⇔𝑝= ⇔𝑝= ⇔𝑝=
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝑊 : Peso
𝐴
𝑚 𝑝=𝜌⋅𝑔⋅ℎ
𝜌= ⇔𝑚 =𝜌⋅𝑉
𝑉
𝜌: densidade do fluido; h: espessura da camada de fluido acima da área A.
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝐻𝑔 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 101396 𝑃𝑎
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 1 𝑎𝑡𝑚
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝑝0 = 𝑝𝐵
❑ Pressão atmosférica:
Embora o ar seja extremamente leve, não é desprovido de peso. O peso que exerce sobre nós a totalidade da atmosfera
denomina-se pressão atmosférica. Cada pessoa suporta em média sobre os ombros o peso de cerca de 1 tonelada de ar, que,
porém não sente, já que o ar é um gás e a força da pressão exerce-se em todas as direções. O peso normal do ar ao nível do
mar é de 1Kg/cm2. Porém, a pressão atmosférica desce com a altitude. A 3000 m, é de cerca de 0.7 kg/cm2.
A 8848 m, a altitude do monte Everest, a pressão é de apenas 0.3 Kg/cm2. O barômetro é o instrumento usado para medir a
pressão atmosférica.
Quando o ar quente se eleva cria, por baixo dele, uma zona de baixa pressão. Baixas pressões normalmente significam
tempo ruim.
Baixas Pressões
dp g
=− dz
p R (T0 − z )
p z
dp g dz
patm
p
= −
R 0 T0 − z
T0 − z
g
p g
ln = ln T0 − z R
atm
p R T 0 p ( z ) = patm
T 0
❑ Na estratosfera:
p T0 − z ; se z 10km
R
atm T
p( z) = 0
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 1.01396 ⋅ 105 𝑃𝑎 g
− ( z − z )
p e RTs s ; se z 10km
s
Tabela – Valores das grandezas físicas do ar com a altitude z. Figura - Variação da temperatura nas diversas camadas atmosféricas.
z(m) T(K) P(kPa) (kg/m3) v(m/s)
0 288,2 101,3 1,225 340
500 284,8 95,43 1,167 338
1000 281,7 89,85 1,112 336
2000 275,2 79,48 1,007 333
4000 262,2 61,64 0,8194 325
6000 249,2 47,21 0,6602 316
8000 236,2 35,65 0,5258 308
10000 Ts=223,3 26,49 0,4136 300
12000 216,7 19,40 0,3119 295
14000 216,7 14,17 0,2278 295
16000 216,7 10,35 0,1665 295
18000 216,7 7,563 0,1213 295
20000 216,7 5,528 0,0889 295
30000 226,5 1,196 0,0184 302
4000 250,4 0,287 4,00.10-3 317
5000 270,7 0,0798 1,03.10-3 330
60000 255,8 0,0225 3,06.10-4 321 T ( z ) = T0 − z 0 z 10km
70000 219,7 0,00551 8,75.10-5 297
80000 180,7 0,00103 2,00.10-5 269
A2
F2 = F1 A2 A1 F2 F1
A1
W1 = W2 F1 d1 = F2 d 2
𝜙1 𝜙2
𝑟1 = 𝑟2 = d1 e d2 são as distâncias verticais percorridas pelos pistões 1 e 2,
2 2 respectivamente.
A1 e A2 são as áreas dos pistões 1 e 2, respectivamente.
𝜙1 𝑒 𝜙2 são os diâmetros dos pistões 1 e 2, respectivamente.
𝑟1 𝑒 𝑟2 são os raios dos pistões 1 e 2, respectivamente.
F1 A1 r12 12 d 2
𝜙12 = = = =
𝐴1 = 𝜋 ⋅ 𝑟12 𝐴1 = 𝜋 ⋅ F2 A2 r22 22 d1
4
𝜙22
𝐴2 = 𝜋 ⋅ 𝑟22 𝐴2 = 𝜋 ⋅
4
❑ Pressão hidrostática e Teorema de Stevin
p = pi − ps = p0 + g hi − ( p0 + g hs )
𝑝=𝜌⋅ℎ⋅𝑔
p = g ( hi − hs ) p = g h h = hi − hs
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑧
E
p = = g h
𝑝 = 𝑝0 + 𝜸 ⋅ 𝑧 A
E = g h A
E = V g
E = mf g
ℎ𝑠
ℎ𝑖
• Lei do Empuxo ou Princípio de Arquimedes: Um objeto que está parcialmente, ou completamente, submerso em um
fluido, sofrerá uma força de empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido que objeto desloca.
FE = Wfluido = 𝑚𝑓 ⋅ 𝑔 ⟺ 𝐸 = fluido . Vdeslocado . g
O valor do empuxo, que atua em um corpo mergulhado em um líquido, é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.
A força de empuxo, FE , aplicada pelo fluido sobre um objeto é dirigida para cima. A força deve-se à diferença de pressão exercida
na parte de baixo e na parte de cima do objeto. Para um objeto flutuante, a parte que fica acima da superfície está sob a pressão
atmosférica, enquanto que a parte que está abaixo da superfície está sob uma pressão maior porque ela está em contato com uma
certa profundidade do fluido, e a pressão aumenta com a profundidade. Para um objeto completamente submerso, a parte de cima
do objeto não está sob a pressão atmosférica, mas a parte de baixo ainda está sob uma pressão maior porque está mais fundo no
fluido. Em ambos os casos a diferença na pressão resulta em uma força resultante para cima (força de empuxo) sobre o objeto. Esta
força tem que ser igual ao peso da massa de água ( fluido . Vdeslocado) deslocada, já que se o objeto não ocupasse aquele espaço esta
seria a força aplicada ao fluido dentro daquele volume (Vdeslocado) a fim de que o fluido estivesse em estado de equilíbrio.
Na figura abaixo indicamos como calcular a massa real de um corpo (mr) e a massa aparente do corpo (ma), usando uma
balança.
N = P = mr g
Quando o corpo de massa mr estiver totalmente imerso:
P = E + T mr g = m f g + T mr
C = H 2O
mr g = H 2O g VC + T T = mr g − H 2O g VC mr − ma
C =
mr m
VC = r H O m
VC C
2
mr = m C = r H O
mr T H O C m 2
T = mr g − H 2O g = mr − 2 mr g
C g C m H O = 1
C = r H 2O 2
cm3
Chamando a massa aparente ma=T/g, teremos: m
H 2O H 2O m = mr − ma
ma = mr − mr mr = mr − ma = m
C C
• Princípio de Arquimedes ou Lei do Empuxo: Aplicações: Um objeto que está parcialmente, ou completamente, submerso
em um fluido, sofrerá uma força de empuxo igual ao peso do fluido que objeto desloca.
Δ𝑝 = 𝑝2 − 𝑝1 𝐸
⇔ Δ𝑝 =
𝐴
𝐸 = Δ𝑝 ⋅ 𝐴
𝐸 = 𝑝2 − 𝑝1 ⋅ 𝐴
𝐸 = 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ2 − 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ1 ⋅ 𝐴
𝐸 = 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ2 − ℎ1 ⋅ 𝐴 𝛾𝑙 = 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔
𝐸 = 𝛾𝑙 ⋅ Δℎ ⋅ 𝐴 Δℎ = ℎ2 − ℎ1
mr
C = H 2O m = m − m 𝐸 = 𝛾𝑙 ⋅ 𝑉𝑓 𝑉𝑓 = Δℎ ⋅ 𝐴
m r a
𝑚𝑓
mr 𝜌𝑓 = ⇔ 𝑚𝑓 = 𝜌𝑓 ⋅ 𝑉𝑓
C = H 2O 𝐸 = 𝜌𝑙 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑉𝑓 𝑉𝑓
mr − ma
𝐸 = 𝑚𝑓 ⋅ 𝑔
mr : massa real, medida fora da água; 𝑃𝑓 = 𝑚𝑓 ⋅ 𝑔
𝐸 = 𝑃𝑓
ma : massa aparente, medida com o corpo totalmente imerso na água.
VC = V f
Densímetro: É um instrumento usado para medir a densidade de um líquido segundo o princípio do empuxo.
Quando colocado em água pura, a gravidade específica é marcada para indicar 1.
Figura - Um Densímetro. (A) Flutuando na água êle marca 1, a densidade da água pura. (B) O densímetro sobe mais na solução de ácido da bateria
inteiramente carregada. O densímetro desloca um menor volume de líquido e flutua mais alto. À medida que a bateria vai-se descarregando, a quantidade de ácido
no líquido vai diminuindo e, portanto, também sua densidade.
Densímetros especiais usados para medir densidade de álcool e de leite são chamados alcoômetros e lactômetros.
Sendo W o peso do hidrômetro e V0 o volume submerso abaixo da linha 1
W =E
W = a V0
W = x (V0 − Ah )
a V0 = x (V0 − Ah )
x V0
=
a 0 V0 − A h
Medidores de pressão.
❖ Manômetros
Um manômetro é um instrumento utilizado para medir pressão.
Um tipo de manómetro já com séculos de existência é o de coluna líquida. Este manômetro pode ser simplesmente um tubo em
forma de U, no qual se coloca uma dada quantidade de líquido (não convém estar muito cheio para não transbordar facilmente).
Neste método a pressão a medir é aplicada a uma das aberturas do U, enquanto que uma pressão de referência é aplicada à
segunda abertura. A diferença entre as pressões é proporcional à diferença do nível do líquido, em que a constante de
proporcionalidade é o peso volúmico do fluído.
Os manômetros de coluna líquida podem ser em forma de U, ou alternativamente podem ter uma única coluna. Para se forçar
o líquido a percorrer uma maior distância utilizam-se colunas com inclinação (uma vez que a pressão obriga a subir, o que exige
um maior deslocamento no caso de a coluna estar inclinada), sendo necessário conhecer o ângulo relativamente à horizontal com
precisão.
Os manômetros de coluna de líquido são aparelhos básicos destinados a medir pressão ou vácuo e servem também como padrões primários,
isto é, são utilizados como padrão para calibração de outros aparelhos. De construção simples, consequentemente apresentam baixo custo, além
de apresentarem vantagens, tais como: não requerem manutenção, calibragem especial e permitem medições com grande precisão. Atualmente,
tais instrumentos podem ser encontrados em diferentes tipos de aplicação industrial que passamos a descrever:
•Verificação de vazamento: as colunas manométricas servem para a verificação e controle de vazamentos através de queda de pressão em testes
de câmaras de pressão em peças, teste de purificador de ar etc.;
•Determinação de velocidade de fluxo de ar: as colunas manométricas servem para determinar o fluxo de ar em tubulações através da medição da
pressão diferencial em testes de aparelhos de movimentação de ar, testes de carburadores, testes de coletores de poeira e também servem para
medir o nível de interface de líquidos, quando estes estão armazenados sob outro líquido por questão de segurança ou outras razões quaisquer;
•Medição de nível de líquidos armazenados: as colunas manométricas também podem ser utilizadas para medir nível de líquidos armazenados em
tanques através do registro da pressão exercida sobre uma coluna de líquido, baseando-se no princípio do balanceamento hidrostático.
❑ Piezômetro
O dispositivo mais simples para medidas de
pressão é o tubo piezométrico ou piezômetro,
que consiste em inserir um tubo transparente na
canalização ou recipiente onde se quer medir a
pressão, como ilustrado na Figura. O líquido
subirá no tubo a uma altura h, correspondente à
pressão interna.
❑ Tubo em U
Outro dispositivo é o tubo em U, como na Figura 30, aplicado para medir pressões muito
pequenas ou demasiadamente grandes para os piezômetros. Esse manômetro, já com
séculos de existência, pode ser simplesmente um tubo em forma de U, no qual se coloca
uma quantidade de líquido (não convém estar muito cheio para não transbordar
facilmente). Neste método a pressão a medir é aplicada a uma das aberturas do U,
enquanto que uma pressão de referência é aplicada à segunda abertura. A diferença
entre as pressões é proporcional à diferença do nível do líquido, em que a constante de
proporcionalidade é o peso volúmico do fluído. Pode-se encontrar a diferença de
pressão medindo a altura dos desníveis quando acoplado esse manômetro a dois
diferentes pontos da tubulação
Se o tubo estiver aberto, podemos calcular a relação entre as pressões em B e A, utilizando o que denominamos equação
manométrica:
𝑝𝐴 = 𝑝𝐴
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝛾´. ℎ
𝑝𝐶 = 𝑝𝐷 + 𝛾. ℎ
Como: 𝑝𝐵 = 𝑝𝐶
𝑝𝐷 = 𝑝𝐴 + 𝛾´. ℎ − 𝛾. 𝑧
P1 P2
PA = PB P1 + 1 g a + 1 g h = P2 + 1 g a + 2 g h
PA = PB P1 + 1 g ( a + h ) = P2 + 1 g a + 2 g h P1 − P2 = ( 2 − 1 ) g h
❖ Manômetro de Bourdon: Consiste num tubo de latão achatado, fechado numa extremidade e dobrado em forma circular. A
extremidade fechada é ligada por engrenagem e pinhão a um ponteiro que se desloca sobre uma escala. A abertura é ligada a
um aparelho cuja pressão externa quer se medir. Quando se exerce uma pressão no interior do tubo achatado, ele se desenrola
ligeiramente, como o faria uma mangueira de borracha enrolada, quando se abre a torneira d‘água. O movimento resultante da
extremidade fechada do tubo é transmitido ao ponteiro.
❑ Pressão Manométrica 𝑝𝑚 = 𝑝𝑎𝑏𝑠 − 𝑝0 𝑝0 : Pressão atmosférica 𝑝𝑎𝑏𝑠 : Pressão absoluta
ou pressão de Gauge.
Sendo a região externa ao manômetro metálico de Bourdon sujeita à pressão P2 e a região interna sujeita à pressão P1, o
manômetro indicará:
Pmanômetro = P1 − P2
Manômetros de Bourdon são os instrumentos de medição da pressão mecânica mais utilizados. Seu elemento de medição é
muitas vezes referido como um tubo de Bourdon: O engenheiro francês Eugène Bourdon utilizou esse princípio no século XIX.
O conceito é baseado em uma mola elástica e um tubo curvado em forma de C com uma seção transversal oval.
❖ Medidores de pressão no corpo humano:
▪ Pressão intraocular: Os fluidos do O humor aquoso, fluido contido na parte frontal do olho, é essencialmente água. O olho reduz continuamente o
globo ocular, os humores aquoso e humor aquoso, cerca de 5 ml por dia, e existe um sistema de drenagem que permite a saída do excesso. No entanto,
vítreo que transmitem a luz à retina se ocorresse um bloqueio nesse sistema de drenagem, a pressão ocular aumentaria comprimindo a artéria retiniana e
(parte fotossensível do olho), estão sob isso poderia restringir a circulação sanguínea na retina, provocando a visão tunelada ou até mesmo a cegueira. A
pressão e mantêm o globo numa forma essa situação se dá o nome de glaucoma, e a pressão intra-ocular pode aumentar até 70 mmHg, embora em
e dimensão aproximadamente fixas. As circunstâncias normais se eleve até 30 ou 45 mmHg.
dimensões do olho são críticas para se A pressão intra-ocular era estimada pelos médicos pressionando o olho com os dedos e sentindo a reação
ter uma boa visão. Uma variação de 0.1 produzida pelo mesmo. Hoje em dia isso é feito pelo tonômetro, que mede pressão ocular determinando a deflexão
mm no seu diâmetro pode produzir um da córnea sob a ação de uma força conhecida.
efeito significativo no desempenho da
visão. A pressão em olhos normais
varia de 13 a 28 mmHg, sendo a média ▪ Pressão sanguínea: A pressão sanguínea é medida com o esfigmomanômetro, que consiste de uma coluna de
de 15 mmHg mercúrio com uma das extremidades ligada a uma bolsa, que pode ser inflada através de uma pequena bomba de
borracha, como indica a Figura (A). A bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível aproximadamente igual ao
do coração, a fim de assegurar que as pressões medidas mais próximas às da aorta. A pressão do ar contido na
bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue através das artérias do braço seja bloqueado
A seguir, o ar é gradualmente eliminado da bolsa ao mesmo tempo em que se usa um estetoscópio para
detectar a volta das pulsações ao braço. O primeiro som ocorre quando a pressão do ar contido na bolsa se igualar à
pressão sistólica, isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o sangue que está à pressão sistólica
consegue fluir (os sons ouvidos através do estetoscópio são produzidos pelo fluxo sanguíneo na artéria e são
chamados sons Korotkoff). Assim, a altura da coluna de mercúrio é lida e corresponde à pressão manométrica
sistólica. À medida que o ar é eliminado, a intensidade do som ouvido através do estetoscópio aumenta. A pressão
correspondente ao último som audível é a pressão diastólica, isto é, a pressão sanguínea, quando o sangue a baixa
pressão consegue fluir pela artéria não oclusa.
𝑝 = 𝜌𝐻𝑔 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝 = 13.6 ⋅ 103 ⋅ 10 ⋅ 0.015 ⟺ 𝑝 = 2040𝑃𝑎
𝑝 = 13.6 ⋅ 103 ⋅ 10 ⋅ 0.015 ⟺ 𝑝 = 2040𝑃𝑎 𝑝 = 𝜌𝐻𝑔 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝 = 13.6 ⋅ 103 ⋅ 10 ⋅ 0.12 ⟺ 𝑝 = 16.32 𝑘𝑃𝑎
▪ Submarinos
20 𝑎𝑡𝑚
▪ Peixes abissais
4000 𝑚
https://brainly.com.br/tarefa/5287015
1psi = 1 lb/in2
1lb = 4.4482 N
1 in = 2.54 cm
Exercícios Propostos: Viscosidade e transporte
1. Representa-se as placas planas e paralelas. A placa superior é móvel e entre elas tem-se óleo de 2 mm de espessura com
viscosidade absoluta de = = 9.8 cP. A placa superior move-se com velocidade de 2 m/s. Determine a tensão de cisalhamento
em kgf/m² e a força em kgf que impulsiona a placa de área A = 3 m².
v = 2 m/s 1𝑐 = 10−2
y 𝑁⋅𝑠
1𝑃𝑜 = 10−1
dy = 2 mm 𝑚2
1 𝑘𝑔𝑓 = 9.8 𝑁 ≅ 10 𝑁
y=0
✓ Solução: v=0 1 𝑚𝑚 = 10−3 𝑚
𝑁⋅𝑠 𝑁⋅𝑠 𝐹
𝜇 = 𝜂 = 9.8 𝑐𝑃 = 9.8 ⋅ 10−2 ⋅ 10−1 = 9.8. 10−3 ⇔ 𝜇 = 𝜂 = 9.8. 10 −3
𝜏 = ⟺𝐹 =𝜏⋅𝐴
𝑚2 𝑚2 𝐴
𝑑𝑣 2−0 3
𝑑𝑣
= −3
= 1000 = 10 ⟺ = 1000 = 103 𝐹=1
𝑘𝑔𝑓
⋅ 3 𝑚2
𝑑𝑦 2 ⋅ 10 𝑑𝑦 𝑚2
𝑑𝑣
𝜏=𝜇⋅ 𝐹 = 3 𝑘𝑔𝑓
𝑑𝑦
𝜏 = 9.8 ⋅ 10 ⋅ 103
−3
𝑁 𝑘𝑔𝑓 𝑘𝑔𝑓
𝜏 = 9.8 2 ⟺ 𝜏 =1 2
𝑚 𝑚
𝜏 =1 2 𝑚
𝐹
𝜏 = 𝐴 ⟺ 𝐹 = 𝜏 ⋅ 𝐴 ⟺ 𝐹 = 1 ⋅ 3 ⟺ 𝐹 = 3 kgf
v? 1𝑘𝑔𝑓 = 9.8 𝑁 ≅ 10 𝑁
𝑁
1𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 = 2 ⋅ 𝑠
𝑚
𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝜏
v =0 𝜏=𝜇⋅ ⟺ =
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝜇
✓ Solução:
𝑁⋅𝑠 𝑘𝑔𝑓 𝑁
𝜇 = 𝜂 = 0.008 ⟺ 𝜏 = 0.08 2 ⟺ 𝜏 = 0.08 ⋅ 10 ⟺ 𝜏 = 0.8 2
𝑚2 𝑚 𝑚
𝑑𝑣 𝜏 𝑑𝑣 𝜏 0.8
= ⇔ = = = 102
𝑑𝑦 𝜇 𝑑𝑦 𝜇 0.008
𝑑𝑣 𝑣−0
𝑑𝑣 ∆𝑣 𝑣 − 0 = −2
= 102 ⟺
= = 𝑑𝑦 0.5 ⋅ 10
𝑑𝑦 ∆𝑦 𝑑𝑦 𝑣 = 0.5 ⋅ 10−2 ⋅ 102
𝑚
𝑣 = 0.5
𝑠
3. Um êmbolo de massa 5 kg move-se devido à ação da gravidade, como mostrado, no interior de um cilindro. O diâmetro do
êmbolo é de 300 mm e o espaço entre o êmbolo e o cilindro é preenchido com um óleo de espessura 0.2 m, de viscosidade
absoluta 0.8 N.s/m². Sabendo que o perfil de velocidades é linear, determine a velocidade de descida do êmbolo. g = 10 m/s²
✓ Solução:
𝐹𝑣
𝜏= ⇔ 𝐹𝑣 = A ⋅ 𝜏
𝐴
𝐹𝑣 = 𝑃 = 𝑚 ⋅ 𝑔 = A ⋅ 𝜏 𝑑𝑣
𝑚⋅𝑔 =A⋅𝜏 ⇔𝑚⋅𝑔 =𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅𝜇⋅
𝑑𝑦
𝐹𝑣 = 𝑃 = 𝑚 ⋅ 𝑔 = A ⋅ 𝜏 𝑑𝑣 𝑣−0 𝑑𝑣 𝑣
= ⇔ 𝑑𝑦 = 𝑒
𝑑𝑦 𝑒
𝜇=𝜂=
𝜏 𝑑𝑣
⇔ 𝜏 = 𝜇 ⋅ 𝑑𝑦 𝑣 𝑚⋅𝑔⋅𝑒
𝑑𝑣 𝑚⋅𝑔 =𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅𝜇⋅ ⟺𝑣=
𝑑𝑦 𝑒 𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅𝜇
5 ⋅ 10 ⋅ 0.2 ⋅ 10−3
𝐴=2⋅𝜋⋅𝑅⋅𝐿 𝑣=
𝜋 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 ⋅ 0.8
𝐷 =2⋅𝑅 0.01
𝑣 = 0.30159 ⇔ 𝑣 = 0.0332
𝑚
⇔ 𝑣 = 3.32
𝑐𝑚
𝑠 𝑠
𝐴=𝜋⋅𝐷⋅𝐿
4. Determinar o torque resistente e a tensão de cisalhamento originada pelo lubrificante em contato com o eixo representado a
seguir, com rotação de 2800 rpm. Dados: viscosidade absoluta do óleo 0.25 ⋅ 10−2 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠.
✓ Solução: 1 𝑣
𝑀 𝑑𝑣 2
𝑀 = ⋅𝜋⋅𝐷 ⋅𝐿⋅ ⋅𝜂
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅ 2 𝑒
𝜏 𝑅 𝑑𝑦
𝜇=𝜂= 1 2
43.982
𝑑𝑣 𝑀 𝑑𝑣 𝑀 = ⋅ 𝜋 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1 ⋅ −3 ⋅ 0.25 ⋅ 10−2
𝑑𝑦 =𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅ ⋅𝜂 2 0.06 ⋅ 10
𝐷 Τ2 𝑑𝑦
𝑀 = 25.0975𝑁. 𝑚
𝑑𝑣
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅ ⋅𝜂 =𝑚⋅𝑔 1 𝑑𝑣
𝑑𝑦 𝑀= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅ ⋅𝜂 𝑑𝑣
2 𝑑𝑦 𝜏= ⋅𝜂
𝑑𝑦
𝐷
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑣
2 𝜏= ⋅𝜂
𝑒
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
43.982 −2
𝜏= ⋅ 0.25 ⋅ 10
2800 𝑟𝑎𝑑 0.06 ⋅ 10−3
𝜔 = 2𝜋 ⋅ ⇔ 𝜔 = 293.215
60 𝑠 𝑁
𝜏 = 1832.58
𝐷 0.3 𝑚 𝑚2
𝑣=𝜔⋅ ⇔ 𝑣 = 293.218 ⋅ ⇔ 𝑣 = 43.982
2 2 𝑠
𝑑𝑦 = 𝑒
Exercícios: Viscosidade e transporte
1. Para um escoamento sobre uma placa, a variação vertical de velocidade v com a distância y na direção normal à placa é dada
por v(y) = ay - by², onde a e b são constantes. Obtenha uma relação para a tensão de cisalhamento na parede (y = 0) em termos de
a, b e (viscosidade dinâmica ).
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣 𝑑 2
𝑑𝑣
= 𝑎⋅𝑦+𝑏⋅𝑦 ⇔ = 𝑎 + 2𝑏 ⋅ 𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑦=0⇔ = 𝑎 + 2𝑏 ⋅ 0 = 𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝜏=𝜇⋅
𝑑𝑦
𝜏 =𝜇⋅𝑎
2. Uma placa fina move-se entre duas placas planas horizontais estacionárias com uma velocidade constante de 5 m/s. As duas
placas estacionárias estão separadas por uma distância de 4 cm, e o espaço entre elas está cheio de óleo com viscosidade de 0.9
N.s/m². A placa fina tem comprimento de 2 m e uma largura de 0.5 m. Se ela se move no plano médio em relação às duas placas
estacionárias (h1 = h2 = 2 cm), qual é a força, em newtons (N) requerida para manter o movimento?
✓ Solução: 𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹
𝜏 = ⇔ 𝐴 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⇔ 𝐴 = 2 ⋅ 0.5 = 1𝑚²
𝐴
𝑑𝑣 5−0 5−0
= + = 500𝑠 −1
𝑑𝑦 0.02 − 0 0.02 − 0
𝐹 𝑑𝑣 𝑑𝑣
=𝜇⋅ ⇔𝐹 =𝐴⋅𝜇⋅ ⇔ 𝐹 = 1 ⋅ 0.9 ⋅ 500
𝐴 𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝐹 = 450𝑁
3. Um fio passará por um processo de revestimento com verniz isolante. O processo consiste em puxá-lo por uma matriz circular
com diâmetro de 1 mm e comprimento de 50 mm. Sabendo-se que o diâmetro do fio é de 0.9 mm, e que, a velocidade com que é
puxado, de forma centralizada na matriz, é de 50 m/s, determine a força, em newtons (N), necessária para puxar o fio através dela
em um verniz de viscosidade dinâmica = 20 m Pa.s.
✓ Solução: 𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹
𝜏= ⇔ 𝐴 = 2𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝐿 ⇔ 𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿
𝐴
𝐴 = 𝜋 ⋅ 0.9 ⋅ 50 ⇔ 𝐴 = 1.4137𝑚𝑚2
𝐴 = 1.413710−6 𝑚2
𝑑𝑣 50 − 0 50 5 𝑠 −1
= + = 1.11 ⋅ 10
𝑑𝑦 𝐷 Τ2 − 0 0.45 ⋅ 10−3
𝐹 𝑑𝑣 𝑑𝑣
=𝜇⋅ ⇔𝐹 =𝐴⋅𝜇⋅
𝐴 𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝐹 = 1.413710−6 ⋅ 20 ⋅ 1.11 ⋅ 105
𝐹 = 3.1412𝑁
4. Água ( = 1.003 m Pa.s e = 1000 kg/m³) escoa em um conduto de 5 cm de diâmetro, com velocidade de 0.04 m/s. Sabendo
que o número de Reynolds é utilizado para determinar o regime de escoamento de um fluido, portanto, é correto afirmar que o seu
valor, para situação descrita e, consequentemente, o regime de escoamento do fluido são respectivamente:
✓ Solução:
✓ Solução:
𝜇 = 0.326𝑚 ⋅ 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 = 0.326 ⋅ 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠
𝜌⋅𝑣⋅𝐷 𝜇 𝑣⋅𝐷
𝑁𝑅 = ⇔ 𝜈 = ⇔ 𝑁𝑅 =
𝜇 𝜌 𝜈
𝜇 ⋅ 𝑁𝑅
𝑣=
𝜌⋅𝐷
𝐹
𝐴 25
𝜇= ⇔𝜇= ⇔ 𝜇 = 0.05
𝑑𝑣 500
𝑑𝑦
𝑁⋅𝑠 𝑵
𝜇 = 0.05 ⇔ 𝜇 = 0.05𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 Observação: 𝟏𝑷𝒂 = 𝟏
𝑚2 𝒎²
𝑁⋅𝑠
8. Ache a tensão de cisalhamento que atuará no óleo de viscosidade dinâmica 𝜇 = 8.3 ⋅ 10−3 𝑚2
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝜏=𝜇⋅
𝑑𝑦
9. A placa superior é móvel e entre elas tem -se óleo de 2 mm de espessura com viscosidade absoluta de 9.8 cP. A placa superior
move-se com velocidade de 2 m/s com perfil de velocidade linear. Determine a tensão de cisalhamento em kgf/m² e a força em kgf
que impulsiona a placa de área 3 m².
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣 2−0
= = 1000𝑠 −1
𝑑𝑦 0.002 − 0
𝑑𝑣 2−0 −3
𝜏= 𝜂⟺𝜏= 9.8 ⋅ 10
𝑑𝑦 2 ⋅ 10−3
𝑁 𝑘𝑔𝑓
𝜏 = 9.8 ⇔ 𝜏 = 0.98
𝑚2 𝑚2
𝐹
𝜏= ⟺ 𝐹 = 𝜏 ⋅ 𝐴 ⇔ 𝐹 = 0.98 ⋅ 3
𝐴
𝑭 = 𝟐. 𝟗𝟒 𝒌𝒈𝒇
10. A placa superior é móvel e entre elas tem -se um fluido de 0.5 cm de espessura com viscosidade absoluta de = = 0.008
Pa.s, que sofre tensão de cisalhamento de 0.08 kgf/m². Qual é a velocidade com que a placa superior se movimenta (no SI),
sabendo que o perfil de velocidade é linear?
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣 𝑣
=
𝑑𝑦 0.005
𝑑𝑣 𝑣
𝜏= 𝜂 ⟺ 0.08 ⋅ 10 = 0.08
𝑑𝑦 0.005
𝑚
𝑣 = 0.005
𝑠
11. Um êmbolo de massa 5 kg move-se devido à ação da gravidade no interior do cilindro. O diâmetro é de 300 mm e o espaço
entre o êmbolo e o cilindro é preenchido com óleo de espessura 0.2 mm, de viscosidade absoluta 0.8 N.s/m². Sabendo que o perfil
de velocidade é linear, determine a velocidade de descida do êmbolo (g = 10m/s²).
✓ Solução:
𝜏 𝑑𝑣 𝑚⋅𝑔
𝜇=𝜂= =
𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂
𝑑𝑦
𝑑𝑣 5 ⋅ 10
𝑑𝑣 =
𝑑𝑦 𝜋 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 ⋅ 0.8
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅ ⋅𝜂 =𝑚⋅𝑔
𝑑𝑦
𝑣
= 165.79
𝑑𝑣 𝑒
𝐹 = 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ ⋅𝜂 =𝑚⋅𝑔
𝑑𝑦 𝑣 = 165.79 ⋅ 0.0002
𝑑𝑣
𝐹 =𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅ ⋅𝜂 =𝑚⋅𝑔 𝑚
𝑑𝑦 𝑣 = 0.0331
𝑠
12. Determinar o torque resistente M e a tensão de cisalhamento originado pelo lubrificante em contato com o eixo
representado, com rotação de 2800 rpm.
Dados: viscosidade absoluta do óleo:
= 0.25 ⋅ 10−2 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠
g = 10m/s².
✓ Solução: 1 𝑣
𝑀 𝑑𝑣 2
𝑀 = ⋅𝜋⋅𝐷 ⋅𝐿⋅ ⋅𝜂
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅ 2 𝑒
𝜏 𝑅 𝑑𝑦
𝜇=𝜂= 1 2
43.982
𝑑𝑣 𝑀 𝑑𝑣 𝑀 = ⋅ 𝜋 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1 ⋅ −3 ⋅ 0.25 ⋅ 10−2
𝑑𝑦 =𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅ ⋅𝜂 2 0.06 ⋅ 10
𝐷 Τ2 𝑑𝑦
𝑀 = 25.0975𝑁. 𝑚
𝑑𝑣
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅ ⋅𝜂 =𝑚⋅𝑔 1 𝑑𝑣
𝑑𝑦 𝑀= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅ ⋅𝜂 𝑑𝑣
2 𝑑𝑦 𝜏= ⋅𝜂
𝑑𝑦
𝐷
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑣
2 𝜏= ⋅𝜂
𝑒
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
43.982 −2
𝜏= ⋅ 0.25 ⋅ 10
2800 𝑟𝑎𝑑 0.06 ⋅ 10−3
𝜔 = 2𝜋 ⋅ ⇔ 𝜔 = 293.215
60 𝑠 𝑁
𝜏 = 1832.58
𝐷 0.3 𝑚 𝑚2
𝑣=𝜔⋅ ⇔ 𝑣 = 293.218 ⋅ ⇔ 𝑣 = 43.982
2 2 𝑠
𝑑𝑦 = 𝑒
13. Uma placa retangular de dimensões 1.0 m por 0.8 m e massa de 4.0 kg desliza sobre um plano inclinado com velocidade
constante de 1 m/s. Entre a placa e o plano inclinado existe uma película de óleo de 1 mm de espessura. Determine a viscosidade
absoluta do óleo e a força de cisalhamento.
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦 𝜏
𝜇=𝜂=
𝐹 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 𝜃 𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 4 ⋅ 10 ⋅ sin 20°
17.088
𝐹 = 13.67 𝑁 𝜇=𝜂=
1
𝐹 1 ⋅ 10−3
𝜏=
𝐴 𝑁⋅𝑠
𝜇 = 𝜂 = 1.71 ⋅ 10−2
13.67 𝑚2
𝜏=
1 ⋅ 0.8 𝑁⋅𝑠
𝜏 = 17.088 𝑁. 𝑚 𝜇 = 𝜂 = 0.0171 2
𝑚
14. Uma placa quadrada de lado 0.8 m, desce com velocidade constante entre os planos indicados. O óleo utilizado entre as
placas possui viscosidade absoluta de 0.01 Pa.s. Determine a velocidade de cada placa de massa 2 kg sabendo que a espessura do
filme do óleo é de 3 mm.
✓ Solução:
𝑑𝑣
𝐹 =2⋅𝐴⋅ ⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 45°
𝑑𝑦
𝑣 = 1104.85 ⋅ 𝑒
𝑑𝑣 2 𝑣 = 1104.85 ⋅ 0.003
𝐹 = 2 ⋅ 0.8² ⋅ ⋅ 0.01 = 2 ⋅ 10 ⋅
𝑑𝑦 2
𝑚
𝑑𝑣 𝑣 = 3.31
= 1104.85 𝑠
𝑑𝑦
15. O eixo a seguir rotaciona dentro de uma luva com frequência de 1300 rpm. Entre a luva e o eixo existe uma camada de óleo
com viscosidade cinemática = 0.003 m²/s e massa específica de 850 kg/m³. Nessas condições, determine o torque M gerado,
sabendo que o diâmetro da luva é de 70.2 mm.
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜂
𝜈 = ⇔𝜂 =𝜌⋅𝜈
𝜌
𝜂 = 850 ⋅ 0.003 ⇔ 𝜂 = 2.55 𝑃𝑎. 𝑠 𝐷 0.070 𝑚
1 𝑑𝑣 𝑣=𝜔⋅ ⇔ 𝑣 = 136.136 ⋅ ⇔ 𝑣 = 4.765
2 2 𝑠
𝑑𝑣 𝑀= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅ ⋅𝜂
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅ ⋅𝜂 2 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒
𝑑𝑦
𝐷
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅ 1 𝑣
𝑀 𝑑𝑣 2 𝑀= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅ ⋅ 𝜂
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅ 2 𝑒
𝑅 𝑑𝑦 𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
1 4.765
𝑀 𝑑𝑣 𝑀= ⋅ 𝜋 ⋅ 0.0702 ⋅ 0.5 ⋅ ⋅ 2.55
=𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅ ⋅𝜂 1300 𝑟𝑎𝑑 2 0.1 ⋅ 10−3
𝐷 Τ2 𝑑𝑦 𝜔 = 2𝜋 ⋅ ⇔ 𝜔 = 136.136
60 𝑠 𝑀 = 467.61𝑁. 𝑚
Exercícios: Densidade e Peso específico
1. A Lua possui massa de 7.35 . 1022 kg e raio igual a 1740 km. Qual é sua densidade média?
𝑅𝐿 = 1740𝑘𝑚 ⇔ 𝑅𝐿 = 1.74 ⋅ 103 𝑘𝑚 ⇔ 𝑅𝐿 =1.74⋅ 103 ⋅ 103 𝑚 ⇔ 𝑅𝐿 = 1.74 ⋅ 106 𝑚
𝑚𝐿
𝜌𝐿 =
𝑉𝐿 𝑘𝑔 1000𝑔 103 𝑔 𝑔
1 3= = = 10 −3
𝑚𝐿 𝑚 102 𝑐𝑚 3 106 𝑐𝑚3 𝑐𝑚3
𝑚𝐿 = 7.35 ⋅ 1022 𝑘𝑔 𝜌𝐿 =
𝑉𝐿
4 𝑘𝑔 −3
𝑔
𝑉𝐿 = 𝜋 ⋅ 𝑅𝐿3 22 1 3 = 10
3 7.35 ⋅ 10 𝑚 𝑐𝑚3
𝜌𝐿 =
4 2.2067 ⋅ 1019
𝑉𝐿 = 𝜋 ⋅ 1.74 ⋅ 106 3 𝑘𝑔
3 𝜌𝐿 = 3330.7 3
𝑚
19 3
𝑉𝐿 = 2.2067 ⋅ 10 𝑚 𝑔
𝜌𝐿 = 3.3307 3
𝑐𝑚
2. Calcule a densidade média da Terra, sabendo que seu volume igual a, aproximadamente, 1.083 ⋅ 1021 𝑚3 e sua massa é
5.973 ⋅ 1024 𝑘𝑔.
𝑚𝑇 5.973 ⋅ 1024
𝜌𝑇 = 𝜌𝑇 =
𝑉𝑇 1.083 ⋅ 1021
𝑘𝑔
𝜌𝑇 = 5515
𝑚3
𝑔
𝜌𝑇 = 5.515
𝑐𝑚3
https://www.wolframalpha.com/input/?i=5.973+10%5E24%2F1.083+10%5E21
A Lua é oca?
Há suposições de que o interior da Lua pode ser oco; estas teorias começaram a ser levantadas antes da primeira visita dos astronautas ao
satélite. Em 1962, o Dr. Gordon MacDonald (cientista da Nasa) reviu informações sobre a densidade da Terra e comparou com a densidade
da Lua (muito inferior), concluindo que a diferença seria justificada se a Lua fosse oca, uma vez que sua densidade não era compatível com
a de uma esfera homogênea. Também compartilhou essa ideia o Dr. Harold Clayton Urey, (Nobel de Química de 1934); ele sugeriu que a
Lua contém uma cavidade. Opinião semelhante tem o Dr. Sean C. Salomon, do MIT, que declarou: “...a Lua pode ser oca.” Carl Sagan
também disse: “Um satélite natural não pode ser um objeto oco. Se isso é verdade e a Lua for realmente oca significa que existe alguma
coisa muito estranha sobre o nosso satélite”.
Informações sobres pousos dos módulos lunares da Apollo XII e da Apolo XIII assinalam que houve pequenos abalos sísmicos durante os
pousos. A Apollo XII teria provocado uma reverberação semelhante ao barulho de um sino e que durou cerca de uma hora. O fenômeno teria
se repetido com a Apollo XIII, com uma reverberação que durou três horas e vinte minutos.
Extraído de: Mecânica dos Fluidos: um curso introdutório
Adriana Aparecida Ambrósio de Souza, Claudio Sérgio Sartori, Irval Cardoso de Faria, Rodrigo Gontijo de Alvarenga, Rubens Pantano
Filho, Sidney Domingos e Tarcio Pellisoni Manfrim.
𝑔
𝜌𝑇 = 5.515 3
𝑐𝑚
𝑔
𝜌𝐿 = 3.3307 3
𝑐𝑚
❑ Programa Celestia
3. Você compra uma peça retangular de metal com massa de 0.0158 kg e com dimensões 5,0 x 15,0 x 30.0 mm. O vendedor diz
que o metal é ouro. Para verificar se é verdade você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor obtido?
Você foi enganado?
𝑔
▪ Dados: 𝜌 = 19.3 𝑔 𝜌𝐹𝑒 = 7.8
𝐴𝑢
𝑐𝑚3 𝑐𝑚3
𝑉 =𝑎⋅𝑏⋅𝑐
𝑉 = 0.5 ⋅ 1.5 ⋅ 3
𝑉 = 2.25 𝑐𝑚3
𝑚
𝜌=
𝑉
15.8
𝜌=
2.25
𝑔
𝜌=7
𝑐𝑚³
4. Um sequestrador exige como resgate um cubo de platina com 40.0 kg. Qual é o comprimento da aresta?
𝑔
▪ Dados: 𝜌𝑃𝑡 = 21.45
𝑐𝑚3
𝑚
𝜌=
𝑉
𝑚
𝜌𝑃𝑡 = 3 ⟺ 𝜌𝑃𝑡 ⋅ 𝑎3 = 𝑚 a
𝑎
a
3 𝑚 a
𝑎=
𝜌𝑃𝑡 𝑉 = 𝑎3
3 40000 𝑎 = 12.3 𝑐𝑚
𝑎=
21.45
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Periodic+Table
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Root%5B40000%2F21.45%2C3%5D
5. Um barril contém uma camada de óleo de 0.120 m flutuando sobre água com uma profundidade igual a 0.250 m. A
densidade do óleo é igual a 600 kg/m3 (a) Qual é a pressão manométrica na interface entre o óleo e a água? (b) Qual é a pressão
manométrica no fundo do barril?
𝑘𝑔
𝜌𝑜 = 600 ℎ𝑜 = 0.120 𝑚
𝑚3
i: interface óleo - água
𝑘𝑔
𝜌𝑎 = 1000
𝑚3 ℎ𝑎 = 0.25 𝑚
f: fundo do Barril
(16.5+9.1) 𝐾𝑁
(b) ⟺ 𝐴𝑇 = ⟺ 𝐴 𝑇 = 0.08358 𝑚2 = 835.8 𝑐𝑚²
306.3 𝑘𝑃𝑎
7. Determine a pressão atmosférica em um local onde a leitura barométrica é de 740 mmHg e a aceleração gravitacional é g =
9.805 m/s2. Suponha que a temperatura do mercúrio seja 10 °C, na qual sua densidade é 13570 kg/m3.
𝑝0 = 𝜌𝐻𝑔 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ𝐻𝑔
𝑝0 = 98459. 849𝑃𝑎
𝑝0 = 98.5 𝑘𝑃𝑎
(a) 𝑝𝑚 = 𝜌𝑠 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ𝑐 (b) 𝑝𝑚 = 𝜌𝑠 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝𝑚 = 1020 ⋅ 9.81 ⋅ 1.2 20000 = 1020 ⋅ 9.81 ⋅ ℎ
𝑝𝑚 = 12007.44 𝑃𝑎 20000
ℎ=
1020 ⋅ 9.81
𝑝𝑚 = 12 𝑘𝑃𝑎
ℎ = 1.99 𝑚
𝑃 = 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝑝0
𝑃 = 𝛾 ⋅ ℎ + 𝑝0 ⟺ 𝛾 = 𝜌 ⋅ 𝑔
𝑃 = 𝛾 ⋅ ℎ + 𝑝0
𝑃 = 8.5 ⋅ 103 ⋅ 0.55 + 96000
𝑃 = 100675 𝑃𝑎 𝑃 = 100.675 𝑘𝑃𝑎
10. Mostre que, com o manômetro acoplado na tubulação indicada: 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌2 − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝𝐴 = 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝1
𝑝𝐴 = 𝑝𝐵
𝑝𝐴 = 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝1 𝑝𝐵 = 𝜌2 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝2
𝑝𝐵 = 𝜌2 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝2
𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝1 = 𝜌2 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 + 𝑝2
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌2 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ + 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎 − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑎
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌2 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌2 − 𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
11. Dois líquidos A e B, possuem massa específica ρA = 0.80 g/cm³ e ρB = 1.6 g/cm³. Estes fluidos são imiscíveis e estão em
equilíbrio em um tubo em U, conforme ilustrado abaixo. O desnível h entre as superfícies livres dos dois fluidos vale (em cm):
Dados: d = 40 cm 𝑝 =𝑝
1 2
R.: 20 0.8
𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 − ℎ ℎ= 40
1.6
𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 − 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
1
𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 − 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = −𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ ℎ= 40
2
𝜌𝐴 − 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = −𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
𝑑−ℎ ℎ = 20 𝑐𝑚
𝜌𝐵 − 𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑 = 𝜌𝐵 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
1 2
𝜌𝐵 − 𝜌𝐴 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑑
ℎ=
𝜌𝐵 ⋅ 𝑔
𝜌𝐵 − 𝜌𝐴
ℎ= 𝑑
𝜌𝐵
1.6 − 0.8
ℎ= 40
1.6
12. Dois líquidos A e B, possuem massa específica ρA = 0.90 g/cm³ e ρB = 1.4 g/cm³. Estes fluidos são imissíveis e estão em
equilíbrio em um tubo em U, conforme ilustrado abaixo. O desnível h entre as superfícies livres dos dois fluidos vale (em cm):
Dados: d = 35 cm
R.: 12.5
𝑝1 = 𝑝2
𝜌𝐵 − 𝜌𝐴
ℎ= 𝑑 1 2
𝜌𝐵
1.4 − 0.9
ℎ= 35
1.4
0.5
ℎ= 35
1.4
ℎ = 12.5 𝑐𝑚
13. Qual a pressão (em kgf/m²) de um óleo a uma profundidade de 17 m e peso específico 850 kgf/m³? R.:14450
𝑝 = 850 ⋅ 10 ⋅ 17
𝑁
𝑝 = 144500
𝑚2
𝑘𝑔𝑓
𝑝 = 14450 2
𝑚
14. Em um reservatório é armazenado um líquido. Para determinar o peso específico do líquido e consequentemente o tipo de
produto armazenado, um funcionário mede a diferença de pressão entre dois pontos, constatando um diferencial de 0.388 kgf/cm².
A distância entre os dois pontos analisados é de 6 metros. Qual o peso específico deste produto em (kgf/m³)?
R.: 647
1 𝑘𝑔𝑓 = 10 𝑁 ⟺ 1 𝑁 = 0.1 𝑘𝑔𝑓 Δ𝑝 = 𝛾0 ⋅ Δℎ
1 𝑐𝑚2 = 1 ⋅ 10−4 𝑚2 Δ𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
𝑘𝑔𝑓
Δ𝑝 = 0.388
𝑐𝑚²
10 𝑁
Δ𝑝 = 0.388
1 ⋅ 10−4 𝑚2 𝛾0 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔
𝑁
Δ𝑝 = 3.88 ⋅ 104 2 𝛾0 = 646.7 ⋅ 10
𝑚
𝑁
𝛾0 = 6467 3
Δ𝑝 = 3.88 ⋅ 104 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ 𝑚
0.1 𝑘𝑔𝑓
3.88 ⋅ 104 𝛾0 = 6467
𝜌𝑜 = 𝑚3
𝑔 ⋅ Δℎ
𝑘𝑔𝑓
3.88 ⋅ 104 𝛾0 = 646.7
𝜌𝑜 = 𝑚3
10 ⋅ 6
𝑘𝑔
𝜌𝑜 = 646.7 3
𝑚
15. É representado um tubo em U, com dois fluidos imiscíveis de massa específica ρ1 e ρ2. O sistema está em equilíbrio.
Qual a relação entre as densidades?
𝑎 𝑏
𝑝𝑎 = 𝑝𝑏
𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ1 = 𝜌2 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ2
𝜌1 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ1
𝜌2 =
𝑔 ⋅ ℎ2
h1
R.: 2 = 1
h2
16. Um reservatório aberto tem 8 m de profundidade e está cheio de óleo (800 kg/m³). Considerando a gravidade local igual a
10 m/s², quanto vale a pressão hidrostática a 2.5 m de profundidade (em Pa)? R.: 20000
Δ𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
Δ𝑝 = 800 ⋅ 10 ⋅ 2.5
Δ𝑝 = 20000 𝑃𝑎
17. Um reservatório aberto tem 8 m de profundidade e está cheio de óleo (800 kg/m³). Considerando a gravidade local igual a
10 m/s² e a PATM = 1.0.105 Pa, qual a pressão total no fundo do reservatório (em Pa)? R.:164000
Δ𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
𝑝 = 1 ⋅ 105 + 800 ⋅ 10 ⋅ 8
𝑝 = 164000 𝑃𝑎
18. Um reservatório aberto tem 8 m de profundidade e está cheio de óleo (800 kg/m³). Considerando a gravidade local igual a
10 m/s², quanto valerá a diferença de pressão entre dois pontos quaisquer, dentro do reservatório, separados por 65 cm vale (em
Pa)? R.: 5200
Δ𝑝 = 𝜌𝑜 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ
Δ𝑝 = 800 ⋅ 10 ⋅ 0.65
Δ𝑝 = 5200 𝑃𝑎
19. Dois liquidos não miscíveis 1 e 2 estão colocados em vasos comunicantes. Sendo ρ2 = 2.5 g/cm3, h1 = 9.0 cm e h2 = 5.0
cm , determine a massa específica do líquido 1 (ρ1). Considere o sistema em equilíbrio. R.: 1.39
h1
2 = 1
h2
h2
1 = 2
h1
5
𝜌1 = 2.5
9
𝑔
𝜌1 = 1.39
𝑐𝑚3
20. Em um reservatório é armazenado um líquido. Para determinar a densidade do líquido e consequentemente o tipo de
produto armazenado, um funcionário mede a diferença de pressão entre dois pontos, constatando um diferencial de 0.425 kgf/cm².
A distância entre os dois pontos analisados é de 4 metros. Determine o peso específico deste produto (kgf/m³). R.:1062.5
𝑘𝑔𝑓
Δ𝑝 𝛾 = 1.0625 ⋅ 10−3+6
Δ𝑝 = 𝛾 ⋅ Δℎ ⟺ 𝛾 = 𝑚3
Δℎ
𝑘𝑔𝑓
𝛾 = 1.0625 ⋅ 103
𝑚3
0.425
𝛾= 𝑘𝑔𝑓
400 𝛾 = 1062.5
𝑚3
𝑘𝑔𝑓
𝛾 = 1.0625 ⋅ 10−3
𝑐𝑚3
𝑘𝑔𝑓
𝛾 = 1.0625 ⋅ 10−3
10−6 𝑚3
𝑘𝑔𝑓
𝛾 = 1.0625 ⋅ 10−3−−6 3
𝑚
21 .Um medidor e um manômetro são acoplados a um tanque de gás para medir sua pressão. Se a leitura no medidor de pressão for
65 kPa, determine a distância entre os dois níveis de fluido do manômetro se o fluido for (a) mercúrio (Hg =13.600 kg/m3) ou (b)
água (a = 1000 kg/m3)
22. Considere um tubo em U cujos braços estão abertos para a atmosfera. Agora a água é despejada no tubo em U de um braço e
óleo leve (o = 790 kg/m3) do outro. Um braço contém água de 70 cm de altura, enquanto o outro braço contém ambos os fluidos
com uma proporção de altura óleo / água de 6. Determine a altura de cada fluido naquele braço.
23. Água doce e água do mar fluindo em tubulações horizontais paralelas são conectadas entre si por um manômetro de tubo duplo
em U, conforme mostrado. Determine a diferença de pressão entre as duas tubulações. Considere a densidade da água do mar
naquele local como = 1035 kg/m3. A coluna de ar pode ser ignorada na análise?
24. A pressão em um gasoduto de gás natural é medida pelo manômetro mostrado com um dos braços aberto para a atmosfera
onde a pressão atmosférica local é de 14.2 psia. Determine a pressão absoluta na tubulação.
25. O sistema ilustrado a seguir mantém-se em repouso na horizontal. Desprezando-se o atrito, determine o valor de P4 no SI
de unidades. Dados:
𝐹𝑝 = 𝐹 − 𝐹𝑒 𝐹𝑒 = 𝑘 ⋅ 𝑥 𝐹1
0.03
𝐹𝑝 = 2500 − 170 ⋅
0.01
𝐹𝑝 = 2500 − 170 ⋅ 3
𝐹1𝑝3
𝐹𝑒
𝐹𝑝 = 1990 𝑁 𝐹𝑅1𝑝3
𝐹𝑃 1990
𝑝3 = ⇔ 𝑝3 =
𝐴3 50 ⋅ 10−4
𝑝3 = 398000 𝑃𝑎 𝐹𝑃
𝐹1𝑝3 = 𝑝3 ⋅ 𝐴1
𝐹1𝑝3 = 398000 ⋅ 0.0025 ⇔ 𝐹1𝑝3 =995 N
𝐹1
𝑝1 = ⇔ 𝐹1 = 𝑝1 ⋅ 𝐴1 ⇔ 𝐹1 = 20 ⋅ 25 ⇔ 𝐹1 =500 N
𝐴1
𝐹𝑅1𝑝3 = 𝐹1𝑝3 −𝐹1 =500-995 𝐹4 = 𝑝3 ⋅ 𝐴4 + 𝐹𝑅1𝑝3 ⇔ 𝐹4 = 398000 ⋅ 0.003 − 495
𝐹𝑅1𝑝3 = −495 N 𝐹4 =699 N 𝐹 699
𝑝4 = 𝐴4 ⇔ 𝑝4 = 0.003 ⇔ 𝑝4 = 233000 Pa
4
27. O sistema ilustrado a seguir mantém-se em repouso na horizontal. Desprezando o atrito, determine o valor de P4 em kPa.
Dados: A1 = 30cm2, A2 = 5cm2, A3= 50cm2, A4 = 30cm2
1. Para um escoamento sobre uma placa, a variação vertical de velocidade v com a distância y na direção normal à placa é dada
por v(y) = a y + b y², onde a e b são constantes. Obtenha uma relação para a tensão de cisalhamento na parede (y = 0) em termos
de a, b e (viscosidade dinâmica ).
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣 𝑑 𝑑𝑣
= 𝑎 ⋅ 𝑦 + 𝑏 ⋅ 𝑦2 ⇔ = 𝑎 + 2𝑏 ⋅ 𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑦=0⇔ = 𝑎 + 2𝑏 ⋅ 0 = 𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝜏=𝜇⋅
𝑑𝑦
𝜏 =𝜇⋅𝑎
2. Uma placa fina move-se entre duas placas planas horizontais estacionárias com uma velocidade constante de 5 m/s. As duas
placas estacionárias estão separadas por uma distância de 4 cm, e o espaço entre elas está cheio de óleo com viscosidade de 0.9
N.s/m². A placa fina tem comprimento de 2 m e uma largura de 0.5 m. Se ela se move no plano médio em relação às duas placas
estacionárias (h1 = h2 = 2 cm), qual é a força, em newtons (N) requerida para manter o movimento?
✓ Solução:
𝜏 𝑑𝑣
𝜇=𝜂= ⟺𝜏=𝜂⋅
𝑑𝑣 𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝐹
𝜏 = ⇔ 𝐴 = 𝑏 ⋅ ℎ = 2 ⋅ 0.5 = 1 𝑚²
𝐴
𝑑𝑣 5−0 5−0
= + = 500 𝑠 −1
𝑑𝑦 0.02 − 0 0.02 − 0
𝐹 𝑑𝑣 𝑑𝑣
=𝜂⋅ ⇔𝐹 =𝐴⋅𝜂⋅ ⇔ 𝐹 = (2 ⋅ 0.5) ⋅ 0.9 ⋅ 500
𝐴 𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝐹 = 450𝑁
3. Um fio passará por um processo de revestimento com verniz isolante. O processo consiste em puxá-lo por uma matriz circular
com diâmetro de 1 mm e comprimento de 50 mm. Sabendo-se que o diâmetro do fio é de 0.9 mm, e
que, a velocidade com que é puxado, de forma centralizada na matriz, é de 50 m/s, determine a força, em newtons (N), necessária
para puxar o fio através dela em um verniz de viscosidade dinâmica = 20 m Pa.s.
✓ Solução: 𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹
𝜏 = ⇔ 𝐴 = 2𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝐿 ⇔ 𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿
𝐴
𝐴 = 𝜋 ⋅ 0.9 ⋅ 50 ⇔ 𝐴 = 1.4137𝑚𝑚2
𝐴 = 1.413710−6 𝑚2
𝑑𝑣 50 − 0 50
= + −3
= 1.11 ⋅ 105 𝑠 −1
𝑑𝑦 𝐷 Τ2 − 0 0.45 ⋅ 10
𝐹 𝑑𝑣 𝑑𝑣
=𝜇⋅ ⇔𝐹 =𝐴⋅𝜇⋅
𝐴 𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝐹 = 1.413710−6 ⋅ 20 ⋅ 1.11 ⋅ 105
𝐹 = 3.1412𝑁
4. Água ( = 1.003 m Pa.s e = 1000 kg/m³) escoa em um conduto de 5 cm de diâmetro, com velocidade de 0.04 m/s. Sabendo
que o número de Reynolds é utilizado para determinar o regime de escoamento de um fluido, portanto, é correto afirmar que o seu
valor, para situação descrita e, consequentemente, o regime de escoamento do fluido são respectivamente:
✓ Solução:
𝜌⋅𝑣⋅𝐷 1000 ⋅ 0.04 ⋅ 0.05
𝑁𝑅 = ⇔ 𝑁𝑅 =
𝜇 1.003 ⋅ 10−3
𝑁𝑅 = 1994
𝑁𝑅 < 2000 ⇔ escoamento laminar
5. Acetona escoa por um conduto com 2 cm de diâmetro, em regime de escoamento laminar (considerar Reynolds igual a 2000).
Sabendo que a massa específica e viscosidade cinemática da acetona, valem respectivamente ρ = 790 kg/m3 e μ = 0.326 mPa.s,
determine a velocidade de escoamento (em m/s) para que as condições acima sejam mantidas.
✓ Solução:
𝜇 = 0.326𝑚 ⋅ 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 = 0.326 ⋅ 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠
𝜌⋅𝑣⋅𝐷 𝜇 𝑣⋅𝐷
𝑁𝑅 = ⇔ 𝜈 = ⇔ 𝑁𝑅 =
𝜇 𝜌 𝜈
𝜇 ⋅ 𝑁𝑅
𝑣=
𝜌⋅𝐷
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜃
𝑃 𝐹 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 30°
𝜏= ⇔𝜏=
𝜏 𝐴 𝑙2
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜏=
50⋅sin 30°
12
𝜏 = 25 𝑚𝑁
2
𝐹 𝑑𝑣 1−0
𝜏= = = 500 𝑠 −1
𝐴 𝑑𝑦 0.002 − 0
𝐹
✓ Solução: 25
𝜇= 𝐴 ⇔𝜇= ⇔ 𝜇 = 0.05
𝑑𝑣 500
𝑑𝑦
𝑁⋅𝑠
𝜇 = 0.05 ⇔ 𝜇 = 0.05𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 ;
𝑚2
𝑵
Observação: 𝟏𝑷𝒂 = 𝟏 𝒎²
𝑁⋅𝑠
8. Ache a tensão de cisalhamento que atuará no óleo de viscosidade dinâmica 𝜇 = 8.3 ⋅ 10−3 𝑚2
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝜏=𝜇⋅
𝑑𝑦
9. A placa superior é móvel e entre elas tem -se óleo de 2 mm de espessura com viscosidade absoluta de 9.8 cP. A placa superior
move-se com velocidade de 2 m/s com perfil de velocidade linear. Determine a tensão de cisalhamento em kgf/m² e a força em kgf
que impulsiona a placa de área 3 m².
✓ Solução: 𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣 2−0
= = 1000𝑠 −1
𝑑𝑦 0.002 − 0
𝑑𝑣 2−0 −3 = 9.8
𝑁
𝜏= 𝜂⟺𝜏= 9.8 ⋅ 10
𝑑𝑦 2 ⋅ 10−3 𝑚2
𝑁 𝑘𝑔𝑓
𝜏 = 9.8 2 ⇔ 𝜏 = 0.98 2
𝑚 𝑚
𝑁⋅𝑠
1𝑐𝑃 = 10−2 𝑃 = 10−3 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 = 10−3 𝐹
𝑚2 𝜏 = ⟺ 𝐹 = 𝜏 ⋅ 𝐴 ⇔ 𝐹 = 0.98 ⋅ 3
𝐴
1𝑁 = 0.1𝑘𝑔𝑓
𝑭 = 𝟐. 𝟗𝟒 𝒌𝒈𝒇
10. A placa superior é móvel e entre elas tem -se um fluido de 0.5 cm de espessura com viscosidade absoluta de = = 0.008
Pa.s, que sofre tensão de cisalhamento de 0.08 kgf/m². Qual é a velocidade com que a placa superior se movimenta (no SI),
sabendo que o perfil de velocidade é linear?
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣 𝑣
=
𝑑𝑦 0.005
𝑑𝑣 𝑣
𝜏= 𝜂 ⟺ 0.08 ⋅ 10 = 0.08
𝑑𝑦 0.005
𝑚
𝑣 = 0.005
𝑠
11. Um êmbolo de massa 5 kg move-se devido à ação da gravidade no interior do cilindro.
O diâmetro é de 300 mm e o espaço entre o êmbolo e o cilindro é preenchido com óleo de espessura 0.2 mm, de viscosidade
absoluta 0.8 N.s/m². Sabendo que o perfil de velocidade é linear, determine a velocidade de descida do êmbolo (g = 10m/s²).
𝐴𝐿 = 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 𝜏 𝑑𝑣
𝜇 = 𝜂 = 𝑑𝑣 𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅ 𝑑𝑦 ⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝐹 = 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ ⋅𝜂 =𝑚⋅𝑔
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝐹 =𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅ ⋅𝜂 =𝑚⋅𝑔
𝑑𝑦
𝜏 𝑑𝑣 𝑚⋅𝑔
𝜇=𝜂= =
𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝜋 ⋅ 𝐷 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂
𝑑𝑦
𝑑𝑣 5 ⋅ 10
𝑑𝑣 =
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅ ⋅𝜂 =𝑚⋅𝑔 𝑑𝑦 𝜋 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 ⋅ 0.8
𝑑𝑦
𝑣
= 165.79
𝑒
𝑣 = 165.79 ⋅ 0.0002
✓ Solução: 𝑚
𝑣 = 0.0331
𝑠
12. Determinar o torque resistente M e a tensão de cisalhamento originado pelo lubrificante em contato com o eixo
representado, com rotação de 2800 rpm.
Dados: viscosidade absoluta do óleo: = 0.25 ⋅ 10−2 𝑃𝑎 ⋅ 𝑠 ; g = 10m/s².
𝜏
✓ Solução: 𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅ ⋅𝜂 =𝑚⋅𝑔
𝑑𝑦
𝑀 𝑑𝑣
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅
𝑅 𝑑𝑦
𝑀 𝑑𝑣
=𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅ ⋅𝜂
𝐷 Τ2 𝑑𝑦
1 2
𝑑𝑣
𝑀 = ⋅𝜋⋅𝐷 ⋅𝐿⋅ ⋅𝜂
2 𝑑𝑦
𝐷
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅
2
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
2800 𝑟𝑎𝑑
𝜔 = 2𝜋 ⋅ ⇔ 𝜔 = 293.215
60 𝑠
𝐷 0.3 𝑚
𝑣=𝜔⋅ ⇔ 𝑣 = 293.218 ⋅ ⇔ 𝑣 = 43.982
2 2 𝑠
𝑑𝑦 = 𝑒
1 2
𝑣
𝑀 = ⋅𝜋⋅𝐷 ⋅𝐿⋅ ⋅𝜂
2 𝑒
1 43.982
𝑀= ⋅ 𝜋 ⋅ 0.32 ⋅ 0.1 ⋅ ⋅ 0.25 ⋅ 10−2
2 0.06 ⋅ 10−3
𝑀 = 25.0975𝑁. 𝑚
𝑑𝑣
𝜏= ⋅𝜂
𝑑𝑦
𝑣
𝜏= ⋅𝜂
𝑒
43.982
𝜏= −3 ⋅ 0.25 ⋅ 10−2
0.06 ⋅ 10
𝑁
𝜏 = 1832.58 2
𝑚
13. Uma placa retangular de dimensões 1.0 m por 0.8 m e massa de 4.0 kg desliza sobre um plano inclinado com velocidade
constante de 1 m/s. Entre a placa e o plano inclinado existe uma película de óleo de 1 mm de espessura. Determine a viscosidade
absoluta do óleo e a força de cisalhamento.
✓ Solução:
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐹 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 𝜃
𝐹 = 4 ⋅ 10 ⋅ sin 20°
𝐹 = 13.67 𝑁
𝐹
𝜏=
𝐴
13.67
𝜏=
1 ⋅ 0.8
𝜏 = 17.088 𝑁. 𝑚
𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
17.088
𝜇=𝜂=
1
1 ⋅ 10−3
𝑁⋅𝑠
𝜇 = 𝜂 = 1.71 ⋅ 10−2
𝑚2
𝑁⋅𝑠
𝜇 = 𝜂 = 0.0171
𝑚2
14. Uma placa quadrada de lado 0.8 m, desce com velocidade constante entre os planos indicados. O óleo utilizado entre as
placas possui viscosidade absoluta de 0.01 Pa.s. Determine a velocidade de cada placa de massa 2 kg sabendo que a espessura do
filme do óleo é de 3 mm.
✓ Solução:
𝑑𝑣
𝐹 = 2⋅𝐴⋅ ⋅ 𝜂 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 45°
𝑑𝑦
𝑑𝑣 2
𝐹 = 2 ⋅ 0.8² ⋅ ⋅ 0.01 = 2 ⋅ 10 ⋅
𝑑𝑦 2
𝑑𝑣
= 1104.85
𝑑𝑦
𝑣 = 1104.85 ⋅ 𝑒
𝑣 = 1104.85 ⋅ 0.003
𝑚
𝑣 = 3.31
𝑠
15. O eixo a seguir rotaciona dentro de uma luva com frequência de 1300 rpm. Entre a luva e o eixo existe uma camada de
óleo com viscosidade cinemática = 0.003 m²/s e massa específica de 850 kg/m³. Nessas condições, determine o torque M gerado,
sabendo que o diâmetro da luva é de 70.2 mm.
✓ Solução: 𝜏
𝜇=𝜂=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝜂
𝜈= ⇔𝜂 =𝜌⋅𝜈
𝜌
𝜂 = 850 ⋅ 0.003 ⇔ 𝜂 = 2.55 𝑃𝑎. 𝑠
𝑑𝑣
𝐹 = 𝐴𝐿 ⋅ ⋅𝜂
𝑑𝑦
𝑀 𝑑𝑣
= 2𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜂 ⋅
𝑅 𝑑𝑦
𝑀 𝑑𝑣
=𝜋⋅𝐷⋅𝐿⋅ ⋅𝜂
𝐷 Τ2 𝑑𝑦
1 𝑑𝑣
𝑀= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝐿 ⋅ ⋅𝜂
2 𝑑𝑦
𝐷
𝑑𝑣 = 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 ⇔ 𝑣 = 𝜔 ⋅
2
𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓(𝐻𝑧)
1300 𝑟𝑎𝑑
𝜔 = 2𝜋 ⋅ ⇔ 𝜔 = 136.136
60 𝑠
𝐷 0.070 𝑚
𝑣 = 𝜔 ⋅ ⇔ 𝑣 = 136.136 ⋅ ⇔ 𝑣 = 4.765
2 2 𝑠
𝑑𝑦 = 𝑒
1 2
𝑣
𝑀 = ⋅𝜋⋅𝐷 ⋅𝐿⋅ ⋅𝜂
2 𝑒
1 2
4.765
𝑀 = ⋅ 𝜋 ⋅ 0.070 ⋅ 0.5 ⋅ ⋅ 2.55
2 0.1 ⋅ 10−3
𝑀 = 467.61𝑁. 𝑚
Exercícios – Pressão e Empuxo
5. A viscosidade dinâmica de um óleo é de 5 . 10-4 kgf.s/m2 e seu peso específico relativo é 0.82.
Encontre a viscosidade cinemática nos sistemas MKS, SI e CGS (g=10m/s2 e a = 1000kgf/m3.
Eo = mo g Eo = o Ao ho g
Ea = ma g Ea = a Aa ha g
P = mg
o Ao ho g + a Aa ha g = m g
o Ao ho + a Aa ha = m
m
=
V
13. Um lingote de alumínio sólido pesa 89 N no ar.
(a) Qual é g o seu volume? (b) O lingote é suspenso por uma corda leve e totalmente imersa na água. Qual é a tensão na corda
(o peso aparente do lingote na água)?
14. Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada em uma corda presa no fundo do lago.
O volume da esfera é igual a 0,650 m³ e a tensão na corda é igual a 900 N.
(a) Calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a esfera,
(b) Qual é a massa da esfera?
(c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do volume da esfera que
fica submersa?
15. Uma amostra de minério pesa 17.50 N no ar. Quando a amostra é suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na
água, a tensão na corda é igual a 11.20 N. Calcule o volume total e a densidade da amostra.
16. Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água doce.
Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma mulher de 45,0 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem que ela molhe
seus pés?
17. Um objeto com densidade média flutua na superfície livre de um fluido com densidade fluido.
(a) Qual é a relação entre estas duas densidades?
(b) Levando em conta a resposta do item (a), como um navio de aço flutua na água?
(c) Em termos de e de fluido qual é a fração do objeto que fica submersa e qual é a fração do objeto que fica acima da
superfície do fluido? Verifique se suas respostas fornecem os limites correios quando → fluido e → 0.
(d) Quando você está a bordo do seu iate, seu primo Tobias corta de um salva-vidas uma peça retangular (dimensões de 5,0
x 4,0 x 3,0 cm) e a joga no mar. A peça possui massa igual a 42 g. Quando ela flutua no oceano, que fração fica acima da
superfície?
18. Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada em uma corda presa no fundo do lago.
O volume da esfera é igual a 0,650 m³ e a tensão na corda é igual a 900 N.
(a) Calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a esfera,
(b) Qual é a massa da esfera?
(c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do volume da esfera que
fica submersa?
19. Uma barca aberta possui as dimensões indicadas na Figura (4.37. Sabendo-se que todas as partes da barca são feitas com
placas de aço de espessura igual a 4,0 cm, qual é a massa de carvão que a barca pode suportar em água doce sem afundar? Existe
espaço suficiente na parte interna da barca para manter esta quantidade de carvão? (A densidade do carvão é aproximadamente
iguala 1500 kg/m3.)
20. Um cubo de densidade = 7.0 g/cm3 é colocado a 25 cm de profundidade na água, em relação à sua face superior. A
densidade da água é 1 g/cm³ e a altura do cubo vale h = 5 cm. O cubo está em Determine:
(a) As pressões manométricas na face inferior (pi) e na face superior (ps) do cubo.
(b) O empuxo sobre o cubo.
21. O bloco A da Figura 14.38 está suspenso por uma corda a uma balança de mola D e está submerso em um líquido C
contido em um recipiente cilíndrico B. A massa real do bloco é de 8.80 kg e a leitura da balança D indica seu peso aparente de 7,50
kg. O líquido C que o bloco está imerso é a água (C = 1g/cm3). Encontre:
(a) a densidade do bloco, o empuxo e o volume do bloco.
mr
(b) Resolva (a) para o caso da água ser trocada por óleo (C = 1g/cm3).
corpo = C
m
(a) (b)
mr
mr corpo = C
corpo = C mr − ma
mr − ma
8.8
corpo = 0.9
8.8 8.8 − 7.5
corpo = 1
8.8 − 7.5
E = m g = 12.7 N
mr 8.8
Vcorpo = = = 1.29 10−3 m3
corpo 6.77 103