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Quantização de Energia e o Modelo de Bohr: Arquitetura Atômica e Molecular
Quantização de Energia e o Modelo de Bohr: Arquitetura Atômica e Molecular
Quantização de Energia e o Modelo de Bohr: Arquitetura Atômica e Molecular
Quantização de energia e
o modelo de Bohr
Autores
aula
02
Governo Federal Revisoras de Língua Portuguesa
Presidente da República Janaina Tomaz Capistrano
Luiz Inácio Lula da Silva Sandra Cristinne Xavier da Câmara
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Projeto Gráfico
Ivana Lima
Revisores de Estrutura e Linguagem
Eugenio Tavares Borges
Marcos Aurélio Felipe
Pedro Daniel Meirelles Ferreira
ISBN 85-7273-278-0
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização
expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
2ª Edição
Apresentação
A
pós meados do século XIX, o desenvolvimento do modelo atômico passou a se
fundamentar mais em estudos sobre a luz emitida ou absorvida pelos materiais.
Esses estudos mostraram que as emissões luminosas do sol, de lâmpadas, dos
fogos de artifício ou da chama dos fogões, entre outros exemplo, devem-se a transições
eletrônicas nos átomos.
Um fato facilmente observável é que as cores das luzes variam de acordo com a natureza
do material emissor. Assim, lítio, sódio e bário, quando aquecidos, emitem, respectivamente,
luz vermelha, amarela e verde. Hoje, sabemos por que isso acontece, mas durante muito
tempo foi um enigma que começou a ser decifrado com estudos sobre a luz emitida na
queima do hidrogênio. São os fundamentos e os resultados desses estudos que discutiremos
nesta aula, descrevendo a natureza ondulatória da luz, a quantização de energia e o modelo
desenvolvido por Bohr, baseado na física clássica e na hipótese quântica de Planck.
Objetivos
Após esta aula, você deverá:
P
odemos observar a formação de uma onda quando jogamos uma pedra na água
de um açude. O choque da pedra com a água gera uma onda na superfície que se
propaga, afastando-se do ponto da queda da pedra (veja Figura 1). Se no caminho
da onda estiver um flutuador (barco), observa-se um movimento periódico para cima e para
baixo, como é mostrado na Figura 2, provocado pela sucessão de cristas e vales que se
repete em intervalos de tempo regulares.
t(s)
Figura 2 – M
ovimento periódico de um flutuador provocado pela sucessão de cristas e vales. O número de
oscilações por segundo é a freqüência do flutuador.
O número de vezes que o flutuador oscila para cima e para baixo pela passagem de uma
onda completa (oscilação ou ciclo) por unidade de tempo é a freqüência da onda, representada
pela letra grega ν (ni). Por exemplo, se pelo flutuador passam 10 ondas completas em um
segundo, a freqüência da onda é 10 ciclos por segundo, que é igual a 10 hertz (Hz). Em
10 cm
Figura 3 – (a) Dois ciclos completos ou duas oscilações com o comprimento de onda λ e amplitude A percorrem
10 cm. (b) A onda tem o dobro de cristas e vales da onda em (a) e a mesma amplitude. A freqüência
da onda ν em (b) é o dobro da freqüência ν em (a). Em (c), a onda tem a mesma freqüência de (b),
porém, a amplitude é menor.
Raios
Visível
Raios X Ultra- Infravermelho Microondas Frequência de Rádio
Gama violeta
Região visível
Figura 4 – Espectro eletromagnético e a denominação de suas regiões com os seus respectivos comprimentos de
onda e freqüências. Todas as radiações se deslocam com velocidade constante, c, velocidade da luz.
Resolvendo oo exemplo
Resolvendo exemplo 11
São dados no exercício: c = 3 × 108 m s−1 e ν = 4, 32 × 1014 s−1
São dados no exercício: c = 3 × 108 m s−1 e ν = 4, 32 × 1014 s−1
a) Para calcular o comprimento de onda, λ, da radiação, aplicamos a equação:
a) Para calcular o comprimento de onda, λ, da radiação, aplicamos a equação:
c = νλ
c = νλ
c 3, 00 × 108 m s−1
−1
c = νλ ⇒ λ = c ⇒ λ = 3, 00 × 10814m s−1
c = νλ ⇒ λ = ν ⇒ λ = 4, 32 × 1014 s−1
ν 4, 32 × 10 s
−7 m
λ = 6, 94 × 10−7
λ = 6, 94 × 10 m
Consultando a Tabela 1, vamos efetuar a conversão de metros (m) para nanômetro (nm).
Consultando a Tabela 1, vamos efetuar a conversão de metros (m) para nanômetro (nm).
6, 94 × 10−7 m × 1 nm
λ = 6, 94 × 10−7 m × 1 nm
λ= 10−9 m
10−9 m
λ = 694 nm.
λ = 694 nm.
b) Para calcular o número de ondas em 1 cm, devemos efetuar a conversão de nm para cm.
b) Para calcular o número de ondas em 1 cm, devemos efetuar a conversão de nm para cm.
Efetuando a conversão de nm para cm, teremos:
Efetuando a conversão de nm para cm, teremos:
1 × 10−7 cm × 694 nm
λ = 1 × 10−7 cm × 694 nm
λ= 1 nm
1 nm−5
λ = 6, 94 × 10 cm
λ = 6, 94 × 10−5 cm
A quantização de energia
N
o final do século XIX, muitos cientistas estudavam o fenômeno da emissão de
radiação por um corpo aquecido, tentando entender a relação entre a temperatura,
a intensidade e o comprimento de onda da radiação emitida por esse corpo. Como
as leis da física clássica conhecidas na época não proporcionavam explicações adequadas
Planck para tais observações, Planck, em 1900, tentando explicar essas emissões, formulou uma
hipótese ousada para a época, admitido que a transmissão de energia entre os corpos ocorre
Max Karl Ernst
através da troca de pacotes ou quanta de energia entre eles e que as radiações se constituíam
Ludwig Planck (1858-
de quanta (plural de quantum) de energia. Portanto, a energia é transferida de maneira
1947), físico alemão,
criou o conceito de descontínua, ou seja, quantizada.
quantização de energia
De acordo com Planck, a energia E de um quantum é dada pelo produto de uma cons-
em 1900. Por esse
tante h, conhecida como constante de Planck, cujo valor é 6, 63 × 10−34 J s, pela freqüência
trabalho recebeu
em 1918 o Prêmio da radiação, ν.
E = hν
Nobel de Física. Em
reconhecimento por
Como a energia é quantizada, só são permitidos valores de energia que sejam múltiplos
sua contribuição à
inteiros de hν. Por exemplo, 1hν, 2hν, 3hν, 4hν, . . .
ciência no ano de
1958, sua imagem foi E = nhν n = 1, 2, 3, 4 . . .
estampada na moeda
alemã de 2 marcos. Exemplo 2
Quantum 1. Calcule a menor quantidade de energia radiante que um corpo pode emitir:
O quantum é a menor (a) de luz azul cujo comprimento de onda é 470 nm;
quantidade de energia
que pode ser absorvida
ou emitida como radiação
(b) de luz vermelha cujo comprimento de onda é 700 nm.
eletromagnética por um
corpo. 2. Localize essas radiações no espectro eletromagnético mostrado na Figura 4. Qual
das duas radiações tem maior energia?
1(a)
c
Substituindo os valores dados, na equação E = nh teremos:
λ
3, 00 × 10 m s
8 −1
Eazul = 1 × 6, 63 × 10−34 J s
4, 70 × 10−7 m
Eazul = 4, 23 × 10−19 J
1(b)
3, 00 × 108 m s−1
Evermelha = 1 × 6, 63 × 10 −34
Js
7, 00 × 10−7 m
Evermelha = 2, 84 × 10−19 J
Resolvendo o item 2
O efeito fotoelétrico
D
esde 1887, experiências mostravam que elétrons poderiam ser ejetados de uma
superfície metálica quando esta era exposta à luz, em geral, luz ultravioleta. A
Albert Einstein explicação para essas observações foi dada, em 1905, por Albert Einstein. Para
As idéias de Planck e Eins-
ele, a luz não apresenta apenas propriedades ondulatórias caracterizadas pela freqüência
tein revolucionaram a ciência (ν) e pelo comprimento de onda (λ). Apresenta, também, propriedades corpusculares. Ele
do início do século XX: admitiu que a energia radiante está quantizada em pacotes de energia, que vieram a ser
• para Planck, a energia chamados de fótons. Esses fótons, de energia hν, ao colidirem com os elétrons do metal,
é transferida de maneira
descontínua, logo a
transferiam toda sua energia para esses elétrons, que eram ejetados da placa metálica com
energia é quantizada; uma determinada energia cinética. Tal fenômeno foi chamado de efeito fotoelétrico.
• para Einstein, a luz é
composta de partículas
As conclusões de Einstein sobre o efeito fotoelétrico foram as seguintes.
denominadas de fótons.
1. Na
������������������������������������������������������������������������������������������
colisão de um fóton com um elétron, toda a energia do fóton era transferida para o elé-
tron.
Energia cinética
2. Os elétrons só eram ejetados da placa metálica quando a energia da radiação incidente era
Energia cinética é a maior do que a energia que mantém os elétrons ligados ao átomo na placa metálica.
energia que um corpo
possui em virtude do seu
movimento e é dada pela
3. Os elétrons eram ejetados com uma determinada energia cinética, que variava com a
1
equação Ec = mv 2 . energia da radiação incidente. Quanto mais energética era a radiação que atingia a superfície
2
metálica, maior a energia cinética dos elétrons ejetados.
Figura 5 – A energia dos fótons incidente provoca a ejeção de elétrons do metal, o excesso de energia converte-se
em energia cinética dos fotoelétrons. Fotoelétrons são os elétrons ejetados da placa metálica.
Ei = Eo + Ec
1
hνi = hνo + m v 2
2
Exemplo 3
Uma luz ultravioleta com freqüência de 1,25 x 1015 s-1 incide sobre uma superfície de
cálcio metálica e elétrons são ejetados da superfície.
a) Calcule a energia cinética do elétron ejetado se a função trabalho do cálcio é 4,34 x 10-19 J.
b) Qual a velocidade do elétron ejetado?
Eii =
E =EEoo +
+EEcc
hνii =
hν hνoo +
= hν +EEcc
Ec =
E
c hνi −
= hν − hν
i hνo o
Substituindo
Substituindo os
os valores
valores na
na equação:
equação:
=
= (6,
(6, 63 10−34 JJ ss ×
× 10 × 1,
1, 25 1015 ss−1 )) −
× 10 − 4,
4, 34 10−19 JJ
× 10
−34 15 −1 −19
E
Ecc 63 × 25 × 34 ×
=
= 3,
3, 95 10−19 JJ
× 10
−19
E
Ecc 95 ×
(b)
(b) Calculando
Calculando a
a velocidade
velocidade do
do elétron
elétron ejetado.
ejetado.
Para
Para calcular
Para calcular aaa velocidade
calcular velocidade do
velocidade do elétron
do elétron ejetado,
elétron ejetado, são
ejetado, são necessárias:
são necessárias: aaa massa
necessárias: massa do
massa do elétron,
do elétron, m
elétron, e ,,
me,
me
eee aaa energia
energia cinética
cinética do
do elétron
elétron calculado
calculado nono item
item (a),
(a), que
que ééé Ec = 3, 93 10 −19 JJ ..
−19
Ec = × -19
energia cinética do elétron calculado no item (a), que Ec = 3,95
3, 93 ×x 10
10 J
11
A
A energia
energia cinética
cinética éé dada
dada pela
pela equação:
equação: E Ecc =
=2m m vv 2
2
2
Então,
Então,
2E
vv = 2Ecc
= m
m
2E 2 −2
2Ec = 22 ×
c 3, 95
× 3, 95 × −19 kg
10−19
× 10 kg m
m2 ss−2
vv = = = 9,
9, 11 × 10−31 kg
× 10
m −31
m kg
vv = 8, 68
68 × 11 m
1011 m2 ss−2
× 10 2 −2
= 8,
105 mm ss−1
−1
vv =
= 9,
9, 32 × 10
32 ×
5
Espectro atômico
P
or volta de 1880, experimentos mostravam que as espécies químicas gasosas, quando
excitadas em condições apropriadas, podiam emitir luz com alguns comprimentos
de onda característicos. Na época, muitos cientistas estudavam as linhas ou as
raias observadas no espectro do átomo de hidrogênio, submetido à baixa pressão, quando Espectro
uma corrente elétrica passava através dele. Entre esses, Balmer, em 1885, propôs a fórmula Espectro de linha é
seguinte para calcular o comprimento de onda das raias espectrais do átomo de hidrogênio um espectro que só
observadas na região do visível tem determinados
comprimentos de onda.
1 1 1 Todos os átomos têm
ν= =C − seu espectro de linha
λ 22 n2
característico, que é
chamado de espectro de
Nesta fórmula, n é um número inteiro, sendo maior ou igual a 3, ν é o número de onda emissão dos átomos.
correspondente às raias, e C é uma constante cujo valor é 3, 29 × 1015 Hz.
Cinco anos depois, em 1890, Rydberg escreveu essa equação de uma forma generalizada,
a partir da qual era possível calcular o comprimento de onda das raias do espectro de emissão
do átomo de hidrogênio em outras regiões do espectro. Essa equação ficou conhecida como
equação de Rydberg e é expressa na forma:
1 1 1
ν= =R −
λ n21 n22
A
equação de Rydberg expressava uma constatação, mas não havia qualquer
fundamento teórico para lhe dar sustentação. Porém, em 1913, Bohr, empregando Niels Bohr
os conceitos da física clássica e a hipótese quântica de Planck, deduziu a equação de
Em 1922, Niels Bohr
Rydberg, e, assim, explicou através de um modelo, as linhas ou raias observadas no espectro (1885-1962), físico
de emissão dos átomos de hidrogênio. Para isso, Bohr formulou os seguintes postulados. dinamarquês, recebeu o
Prêmio Nobel de Física
por seu modelo atômico
publicado em 1914. Um
1) Só é permitido ao elétron ocupar certos estados estacionários no átomo e em cada um ano após sua morte, a
Dinamarca lançou um
desses estados a energia é fixa e definida.
selo em sua homenagem.
2) Quando o elétron está ocupando um desses estados, seu movimento descreve uma órbita
circular ao redor do núcleo.
h
mvr = n
2π
4) O elétron num estado estacionário não emite radiação. Entretanto, ao passar de um estado
para outro, ele absorve ou emite um quantum de energia hν, correspondente à diferença de
energia entre os dois estados.
∆E = E2 − E1 = hν
Figura 7 – Modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio. Estados de energia permitidos, n = 1, 2, 3, 4... Energia
radiante é emitida quando o elétron passa de um estado de maior energia para um estado de menor
energia. Por exemplo, um elétron que passa de nível n = 3 para n = 2 emite luz de cor vermelha.
Com base nesses postulados, Bohr deduziu as equações para calcular o raio das órbitas,
a energia e a velocidade do elétron. Essas equações relacionam os parâmetros Z (número
atômico), me (massa do elétron), as constantes universais (h, π, e, 0 ) e o número quântico
n, conforme está expresso nas equações:
Ze2
v= v é a velocidade do elétron,
4π0 nh
n2 0 h2
r= r é o raio da órbita
πZe2 me
n2 0 h2 0 h2
r= As constantes físicas podem ser substituidas por uma única
Z πe2 me πe2 me
constante (a0 ) denominada raio de Bohr, a0 = 52, 918 pm
n2
r= a0
Z
Exemplo 4
Calcule a energia do elétron do átomo de hidrogênio (a) na órbita de menor energia; (b)
na segunda órbita de Bohr.
O elétron se encontra com menor energia quando está ocupando o primeiro estado
estacionário ou seja, quando ocupa a primeira órbita.
Z222
Z
E
E nn == −A
−A Z
En = −A nn222
n
A=
A
A = 2,
= 2, 18
2, 18 × 10
18 ×
× 10−18
10
−18
−18 Z=
Z
Z = 111
=
nn =
=
n=1
11
−18 1
22
E
E 11 =
= −2,
−2, 18
18 ×
× 10
10 −18
−18 112
E1 = −2, 18 × 10 11222
1
E11 =
E
E = −2, 18
= −2,
−2, 18 × 10−18
× 10
18 × 10
−18
−18
1
nn =
= 222
n=
= 18 10 −18 1
−18 1222
1
E
E = −2,
−2, 18 ×
× 10
E222 = −2, 18 × 10 −18
22222
−19
2
22 = 45 10 −19
E
E = −5,
−5, 45 ×
×
E = −5, 45 × 10 10 −19
2
◦◦
◦
∆E
∆E =
=EE22 −
−EE11 =
= hv
hv
∆E = E 2 − E1 = hv
E
E E
E11
E222 E 1
Z222
Z
E
E =
= −A
−A Z
Ennn = −A nn222
n
∆E
∆E =
=EE22 −
−E E11
∆E = E 2 − 22E 1
Z
Z 2
Z222
Z
∆E
∆E =
= −A Z
−A 22 − − −A−A Z
∆E = −A nn222 − −A nn21221
n22 22 1
n
Z
Z 2 Z
Z
2 2
∆E
∆E = −A Z22 +
= −A +AAZ Ae
←− rearranjando a equação e colocando em evidência A
←− A
∆E = −A nn222 + A nn21221 ←− A
n2 n1 ZZ
2
Zobtém-se a seguinte equação:
Z
A
Substituindo os valores de A, h e c na equação obtém-se 1, 096776 × 107 m−1 ;
hc
sendo, portanto, praticamente igual à constante de Rydberg (R = 1, 097373 × 107 m−1 ).
Exemplo 5
O elétron do átomo de hidrogênio sofre uma transição de n = 1 para n = ∞. (a)
O elétron do átomo de hidrogênio sofre uma transição de n = 1 para n = ∞. (a)
Calcule a energia absorvida nessa transição. (b) Qual a energia necessária para que ocorra a
Calcule a energia absorvida nessa transição. (b) Qual a energia necessária para que ocorra a
Mol transição eletrônica em um mol de átomos de hidrogênio?
transição eletrônica em um mol de átomos de hidrogênio?
O mol é uma quantidade
de partículas idênticas,
cujo número é o de
Resolvendo oo item
Resolvendo item (a)
(a)
Avogadro, 6,023 x 1023.
O mol é a unidade de Para resolvermos o item (a) desse problema, substituímos os valores dados:
valores Z = 1,
Para resolvermos o item (a) desse problema, substituímos os
1 1 dados:
Z = 1,
quantidade química do
A = 2, 18 × 10−18 J, n = 1 e n = ∞ na equação, ∆E = AZ 2 1 − 1 , obtendo
sistema internacional de A = 2, 18 × 10−18 J, n11 = 1 e n22 = ∞ na equação, ∆E = AZ 2 n221 − n22 , obtendo
unidades (SI). n1 n2
1 1
∆E = 2, 18 × 10−18 J12 1 − 1
Estado fundamental ∆E = 2, 18 × 10−18 J12 122 − ∞22
1 ∞
- −18
18
O estado de mais baixa ∆E =
∆E 2, 18x×10
= 2,18 10−18 J/átomo
J
∆E = 2, 18 × 10 J
energia do átomo é
denominado estado A energia do fóton que promove a transição do elétron do átomo de hidrogênio do
A energia do fóton que promove a transição-10do elétron do átomo de hidrogênio do
fundamental ou estado estado fundamental, n para oo nn =
n11,, para =∞∞éé2,18
2, 18x× J / J.
1010−18
−18 átomo.
basal. estado fundamental, n1 , para o n = ∞ é 2, 18 × 10 J.
Resolvendo oo item
Resolvendo item (b)
(b)
Neste item, vamos calcular a energia necessária para que ocorra a transição eletrônica
Neste item, vamos calcular a energia necessária para que ocorra a23transição eletrônica
em um mol de átomos de hidrogênio. Um mol corresponde a 6, 023×10 átomos. Portanto,
em um mol de átomos de hidrogênio. Um mol corresponde a 6, 023×1023 átomos. Portanto,
−18 J × 6, 023 × 1023 átomos
2, 18 × 10−18
Emol = 2,2,18 10 JJ 1×
18 ×x10 6, 023 × átomos
102323atómo
-18
Emol = x átomo
6,023 x 10
átomo
11−1átomo −1
Emol = 131304, 0 J mol−1 ou 1313, 014 kJ mol−1
Emol = 131304, J molou 1313,014
13130140 J/mol ou 1313, 014 kJ mol
kJ/mol
Atividade 5
Auto-avaliação
1 Com os dados apresentados na Figura 8 a seguir, calcule:
= x
Figura 8
Algumas das raias do espectro de hidrogênio encontram-se em 410,2 nm, 954,6 nm,
4 102,6 nm e 121,6 nm.
O raio de uma determinada órbita de Bohr para o hidrogênio é 476,1 pm. Calcule
7 para essa órbita:
(a) o valor de n;
(b) a energia da órbita;
(c) a energia absorvida quando o elétron passa do estado de energia calculado
para o vizinho mais próximo.
Brady, J. E.; Russel, J. E.; Holum, J. R. Química – a matéria e suas transformações. 3.ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2003. v. 1 e 2.
J. D. LEE. Química inorgânica não tão concisa. 5.ed. São Paulo: Edgard Blücher LTDA, 1999.
Kotz, J. C.; Treichel Jr, P. Química e reações químicas. 4.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
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Mahan, B. M.; Myers, R. J. Química – um curso universitário. 4.ed. São Paulo: Edgard
Blücher LTDA, 1993.