Ficha 1 e 2-2

INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES
——————————————————————————————————————————
Análise Numérica
Curso: LEIT e LEMT
Turma: I21, I22, I23, M21 e M22
Docentes: R. Nicol’s e T. Sambo
Ficha 1. Noções Básicas Sobre Erros
cos x
1. Determine os erros, absoluto e relativo das (b) t = e−yx + , x = 1, 3 ± 0, 1
seguintes aproximações: y
y = 0, 25 ± 0, 04; z = 1, 7 ± 3 × 10−1 ;
√
(a) π ≈ 1, 77245; πh2 (3r − h)
(c) v = , h = 0, 5 e r = 1,
10 3
(b) ≈ 1, 42857; sabendo que na extração de dados
7
1 cometeu-se um erro de 10−2 para
(c) e 2 ≈ 1, 64872; cada um dos dados;
106 m2 n2
(d) e ≈ . (d) x = √ , m = 25, 2 ± 0, 01;
39
k
2. Que valor é mais exacto quando se usam: n = 10, 25 ± 0, 02; k = 6, 125 ± 0, 003;
(a + b)m
(a) π ≈ 3, 14 ou e ≈ 2, 718; (e) y = a = 2, 225 ± 0, 001
(c − d)2
√ 9 b = 10, 5 ± 0, 002; m = 0, 5 ± 0, 005;
(b) 18 ≈ 4, 24 ou ≈ 0, 818;
11 c = 10, 5 ± 0, 002; d = 6, 15 ± 0, 003.
3. Verifique quantos são os dı́gitos
significativos corretos na aproximação de
x por x∗ .
(a) x = 2, 5834 e x∗ = 2, 6;
(b) x = 0, 9949 e x∗ = 0, 9951;
4. Determine o limite superior do erro

cometido no cálculo
(a) y = ln x, x = 2, 5 ± 0, 01;
(b) y = sin x, x = 3, 2 ± 0, 03;
5. Determine o valor aproximado da área e

o erro absoluto de um jardim trapezial,
sabendo que: a = 5 ± 0, 01; b = 15 ± 0, 02;
h = 4 ± 0, 01.
6. Derive a fórmula de propação do erro para

a função
f (x, y, z) = xα1 y α2 z α3
7. Calcule o valor aproximado e o erro

absoluto das seguintes expressões:
x2 + y 2
(a) z =
1 + xy
x = 3, 10 ± 0, 02; y = 2, 01 ± 0, 02;
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Análise Numérica
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Ficha 2. Zeros de Funções de Variável Real
1. Usando o método gráfica, determine um 8. Determine um intervalo que contenha uma
intervalo que contenha uma raı́z das úunica raiz do polinómio
√ f (x) = x3 −x+3.
3
seguintes equações: Mostre que ϕ(x) = x − 3 pode ser usada
como função auxiliar no método iterativo
(a) x3 + x − 1 = 0; geral e use-a para calcular essa raiz, com
(b) ex + x2 + x − 2 = 0; precisão = 10−4 .
√
(c) x − 1 + e−2x = 0. 9. Calcule 3 3 com precisões = 10−2 ,
usando o método de falsa posição.
2. Mostre que as seguintes equações têm pelo
menos uma soluções nos intervalos dados: 10. Determine pelo método iterativo geral,
com erro inferior a 0, 1, o zero aproximado
(a) x cos x − 2x2 + 3x − 1 = 0, [0, 2; 0, 3] da função f (x) = 1 + x + ex , no intervalo
e [1, 2; 1, 3]. [−2; −1].
(b) 2x cos 2x − x + 2 = 0, [2; 3] e [3; 4].
11. Usando o método de Newton, com
3. Isole analiticamente os zeros das seguintes erro inferior a 0, 001, determine o valor
funções: aproximado da raı́z da função
(a) f (x) = x3 − 5x2 + x + 3; g(x) = x ln x − 1,

(b) g(x) = x ln x − 3, 2; no intervalo [1; 2].
√
(c) h(x) = x − 5e−x ;
12. Usando o método de Newton, com
4. Utilizando o método de bissecção, com erro inferior a 0, 001, determine o valor
erro inferior a 0,1, determine o valor aproximado da raı́z da função
aproximado da raiz positiva da equação
g(x) = 4 sin x − ex ,
ex + x2 + x − 2 = 0. no intervalo [0; 1].
√
5. Calcule 3 2 com precisão de = 10−2 13. Usando o método de Secante, com
usando o método da bissecção. erro inferior a 0, 01, determine o valor
aproximado da raı́z da função
6. Mostre que existe uma única raiz de
f (x) = x2 ln(x) − 3 contida no intervalo i(x) = e−x − cos x,
]2, 3[ e calcule-a, usando o método da
no intervalo [1; 2].
bissecção, com precisão de = 10−2 .
14. Usando o método de Secante, com
7. Utilizando o método de bissecção, com erro inferior a 0, 01, determine o valor
erro inferior a 10−4 , determine o valor aproximado da raı́z da função
aproximado do zero da função
2
−x2
i(x) = e−x − cos x,
f (x) = e − cos x
no intervalo [1; 1, 5].
no intervalo [1, 2];

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4. Determine o limite superior do erro

5. Determine o valor aproximado da área e

6. Derive a fórmula de propação do erro para

7. Calcule o valor aproximado e o erro

(a) f (x) = x3 − 5x2 + x + 3; g(x) = x ln x − 1,

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