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Bosta Do Rio
Bosta Do Rio
Bosta Do Rio
Introdução, 7
Capítulo 1 – Conjuntos, 9
1. Introdução e Simbologia: Considerações Iniciais, Símbolo de
Pertinência e Inclusão, 9
2. Subconjuntos, 10
3. Triângulo de Pascal e suas Propriedades – Descobertas, 11
4. Triângulo de Pascal – Problemas de Combinatória, 12
5. Triângulo de Pascal – Aplicação em Combinatória, 15
6. Triângulo de Pascal – Aplicação e Propriedades, 16
7. Números Tetraédricos, 17
8. Fibonacci, 19
9. Diagramas de Venn, 21
10. Conceito de Problema, 25
11. Problema da Pizza, 26
12. Férias em Cabo Frio, 27
13. Questões Envolvendo Sistemas Lineares, 27
14. Questão do Delegado Federal, 30
15. Questão do Tribunal, 30
16. Princípio das Gavetas de Dirichlet, 31
Capítulo 2 – Princípios Básicos da lógica, 33
1. Problema do Diofanto, 33
2. Julgamento Final, 34
3. Problema do Detetive Carvalho, 35
4. Desafio do U2, 36
5. Árvore de Porfírio e Definição, 37
6. Proposição, Premissas e Silogismo, 39
7. Silogismo, 40
Capítulo 7 – Argumentos, 82
1. Tautologia, 82
2. Tautologia e Redundância, 83
3. Redundâncias e Contradição, 84
4. Charada de Einstein, 85
Gabarito, 124
Introdução
Conjuntos
1.2 Síntese
Todo o curso será voltado para medir a capacidade de compreender o pro-
cesso lógico a partir de um conjunto de hipóteses até se chegar a uma conclusão.
Para auxiliar o pensamento, deve-se estruturar o raciocínio e, para isso, se-
rão utilizados recursos como símbolos e diagramas. Em um primeiro momento
trabalhando com estímulos visuais e posteriormente com estímulos não visuais.
10
Tipos de Raciocínios
Raciocínio Verbal:
É a leitura chamada de lógica formal, em que trabalha-se com conectivos,
proposições, negações e condicionais. Verbalizar o que se está pensando.
Raciocínio Matemático:
Usado quando há necessidade de alguma conta, algum artifício matemáti-
co; por exemplo, equação de 1º e 2º graus.
Raciocínio Sequencial:
Raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, são aqueles proble-
mas em que é preciso saber a sequência lógica.
Simbologia:
Economiza-se palavras. Indiretamente traduz o que se quer dizer.
Pertence (∈) e não pertence (∉) são símbolos de pertinência, aquele que
relaciona um elemento com um conjunto.
Para o relacionamento entre conjuntos, trabalha-se com símbolos de inclu-
são, se um conjunto está ou não dentro do outro. Os símbolos de inclusão são:
está contido (⊂), não está contido (⊄), (⊃) e não contém (⊅).
Simbologia:
∈ → pertence.
∉ → não pertence.
⊂ → está contido.
⊄ → não está contido.
⊃ → contém.
⊅ → não contém.
∪ → união (ou).
∩ → interseção (e).
– → diferença (exceto).
Dica:
A ou B é o mesmo que A ∪ B.
A e B é o mesmo que A ∩ B.
Exceto B é o mesmo que
A – B ; Não B ... Jamais B.
2. Subconjuntos
2.1 Apresentação
Raciocínio Lógico
A
B
3.2 Síntese
O Triângulo de Pascal recebe essa nomenclatura devido ao matemático
Raciocínio Lógico
Blaise Pascal (1623 – 1662), mas na Itália é conhecido como triângulo de Tar-
taglia e, na China, como triângulo de Yang Hui. Apesar de os chineses já o
conhecerem há 1700 anos antes de Pascal, foi ele quem descobriu a maioria
de suas propriedades.
12
Triângulo de Pascal
N=0 1
N=1 1 1
N=2 1 2 1
N=3 1 3 3 1
N=4 1 4 6 4 1
N=5 1 5 10 10 5 1
N=6 1 6 15 20 15 6 1
N=7 1 7 21 35 35 21 7 1
N=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
P=0 P=1 P=2 P=3 P=4 P=5 P=6 P=7 P=8
4.1 Apresentação
5.2 Síntese
O triângulo de pascal também pode ser usado como ferramenta nos proble-
mas de análise combinatória, onde teremos a linha representando os elemen-
tos disponíveis e a coluna representando os elementos “pedidos”.
Exercícios
1. (Esaf) Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete
de uma escola. O número de comissões distintas que podem, assim, ser
formadas é:
a) 35.
b) 45.
c) 210.
d) 73.
2. (UNB/Téc. Ad./Ancine/2006) Suponha que uma distribuidora de fil-
mes tenha 6 filmes de animação e 5 comédias para distribuição. Nesse
caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas distintas
pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam
comédias e 2 sejam de animação.
3. (Cespe) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcio-
nários de uma repartição, de modo que o funcionário mais recentemen-
Raciocínio Lógico
Números Triangulares
Exercícios
5. A cela da delegacia D1 tem capacidade para abrigar, em caráter pro-
visório, 6 detentos. Na noite em que foram capturados 4 homens e 5
mulheres, 3 dessas pessoas tiveram de ser transportadas para a cela de
outra delegacia.
De quantas maneiras distintas puderam ser selecionados os 6 que fica-
riam na cela se, de acordo com as normas dessa delegacia, o número
de homens não pode exceder o número de mulheres naquela cela?
a) 44.
b) 54.
c) 64.
d) 74.
e) 84.
6. Se M = {1, 2, 3 ... 7}, o número de subconjuntos de M, com 3 elemen-
tos, é igual a:
7. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De
Raciocínio Lógico
Números pentagonais 1 5 12 22 ?
Números hexagonais 1 6 15 28 ?
Observando os padrões, os elementos da quinta coluna, respeitando a or-
dem da tabela, devem ser:
19
a) 20, 30, 40, 50.
b) 18, 28, 45, 50.
c) 16, 36, 46, 56.
d) 15, 25, 40, 50.
e) 15, 25, 35, 45.
8. Fibonacci
8.1 Apresentação
8.2 Síntese
“As somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram
a Sucessão de Fibonacci”. Na tentativa de visualizar melhor as diagonais em
questão, façamos uma reorganização dos elementos do Triângulo de Pascal:
retângulo 3x2.
Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos compri-
mentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos
próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a Sequência de Fibonacci.
20
5+3 = 8;
8+5 = 13;
13+8 = 21.
21 * 3 dias = 63 dias para completar.
21
Muitos estudantes de matemática, ciências ou artes ouviram falar de Fibo-
nacci somente por causa do seguinte problema do Liber abaci: um homem pôs
um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro.
Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano
se, supostamente, todo mês cada par dá à luz a um novo par que é fértil a partir
do segundo mês?
Logo a sequência fica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
Se dividirmos cada termo desta sequência, a partir do número 21, pelo seu
precedente obteremos aproximadamente o número 1,618, que é o “número de
ouro” dos gregos:
21/13 = 1,61538;
34/21 = 1,61904;
55/34 = 1,61764;
89/55 = 1,61818.
Razão Áurea pode ser escrita como:
9. Diagramas de Venn
9.1 Apresentação
9.2 Síntese
1) A A = A
2) A 1)
=A A = A1) A A = A
2) A =
2)BA
3) A B = A = 2) A =
22
UNIÃO: Dados dois conjuntos quaisquer, a UNIÃO desses conjuntos é
agrupar em um só conjunto os elementos de ambos os conjuntos. A ∪ B =
{x / x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplos:
Propriedades
1) A A = A
1) A A = A 1) A A =
2) A = A
2) A = A 2) A
3) A B = B A
3) A B = B A 3) A B =
Exemplos: Observação
B A então (A –AB)
B é o (A – B) é o
então
B A então (A – B) é o
conjunto complementar
conjunto complementar
conjunto complementar
de B em relação a A.relação a A.
de B em
de B em relação a A.
B
= A ‐ B,
C = A ‐CB, com B
com
A C AB = A ‐ B, com
A
BA B A BA
Exercícios
11. (FCC – 2010 – SJCDH/BA – Agente Penitenciário) Em relação às
pessoas presentes em uma festa, foi feito o diagrama abaixo, no qual
temos:
Raciocínio Lógico
P: conjunto das pessoas presentes nessa festa;
M: conjunto dos presentes nessa festa que são do sexo masculino;
C: conjunto das crianças presentes nessa festa.
23
Assinale o diagrama em que o conjunto dos presentes na festa que são
do sexo feminino está representado em cinza.
a)
b)
c)
d)
e)
e)
b)
c)
d)
e)
10.2 Síntese
Para resolvermos as questões de conjunto devemos antes demais nada ler
atentamente o enunciado e iniciarmos a solução pelas interseções, para depois
computarmos os outros dados do problema.
Veja as questões e acompanhe a solução:
Exercícios
15. Numa escola de 870 alunos, 450 deles estudam Finanças, 320 estu-
dam Lógica e 110 deles estudam as duas matérias (Finanças e Lógica).
Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam APENAS Finanças?
b) Quantos alunos estudam APENAS Lógica?
c) Quantos alunos estudam Finanças ou Lógica?
d) Quantos alunos estudam nenhuma das duas disciplinas?
16. (Fundep) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pes-
soas acerca de suas preferências em relação a três produtos: A, B e C.
Os resultados das pesquisas indicaram que:
210 pessoas compram o produto A.
210 pessoas compram o produto B.
250 pessoas compram o produto C.
Raciocínio Lógico
11.2 Síntese
Neste bloco trabalharemos com a primeira lei da lógica que é a Lei da
Exclusão, ou seja, só existem dois valores: certo ou errado; gosto ou não gosto;
verdade ou mentira etc.
Na questão a seguir podemos resolvê-la usando esta ideia:
Exercícios
17. (Fundep) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimen-
tares de seus alunos.
Alguns resultados dessa pesquisa foram:
82% do total de entrevistados gostam de chocolate;
78% do total de entrevistados gostam de pizza; e
75% do total de entrevistados gostam de batata frita.
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados,
a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de
pizza e de batata frita é, pelo menos, de
a) 25%.
b) 30%.
Raciocínio Lógico
c) 35%.
d) 40%.
18. (Desafio) Uma pesquisa foi feita no melhor curso do Brasil, IOB,
contando-se 1.000 alunos, 800 dos quais são mulheres, 850 prestarão pro-
27
va em Campinas, 750 usarão caneta azul e 700 levarão garrafinha de
água. Qual o número mínimo de alunos que apresentam, ao mesmo
tempo, todas as características citadas?
a) 50.
b) 100.
c) 150.
d) 200.
13.1 Apresentação
54 z 79 z 25
x y z 7950 y 79 logo y 29
54 x 79 x 25
29
R1) 28 + 26 + 24 = 78 pessoas.
R2) x + y + z+ 8 = 79 + 8 = 87 pessoas.
R3) 78 + 87 = 165 pessoas.
Exercícios
21. Na compra de equipamentos para um grupo de técnicos, foram gastos
R$ 1.040,00 em 4 arquivos, 3 cavaletes e 2 walkie-talkie; logo depois
foram gastos R$ 1.000,00 na compra de 2 arquivos, 3 cavaletes e 4
walkie-talkies. Para adquirir um objeto de cada, ou seja, um arquivo,
um cavalete e um walkie-talkie serão necessários:
a) R$ 324,00
b) R$ 360,00.
c) R$ 280,00.
d) R$ 340,00.
e) R$ 420,00.
22. (Esaf/Tec. M. Faz./2009) Em um determinado curso de pós-gradu-
ação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos
participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são
graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em bio-
logia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que
não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e
que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é
o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas
graduações?
a) 40%.
b) 33%.
c) 57%.
d) 50%.
e) 25%.
23. Na sequência de números 1, 2, 3, ..., 100, quantos números não são
múltiplos de 3 e nem de 4?
a) 50.
b) 48.
c) 46.
d) 44.
Raciocínio Lógico
e) 42.
30
14. Questão do Delegado Federal
Exercício
24. Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região
com péssimas condições sanitárias, foi constatada a presença de três
tipos de vírus – A, B e C. O resultado dos exames revelou que o vírus
A estava presente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e
B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso,
em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o número
de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados
apenas pelo vírus B.
Com base nessa situação, julgue os itens abaixo.
I – O número de pessoas contaminadas pelos três vírus simultanea-
mente representa 9% do total de pessoas examinadas.
II – O número de moradores que apresentaram o vírus C é igual a 230.
III – 345 moradores apresentaram somente um dos vírus.
IV – Mais de 140 moradores apresentaram, pelo menos, dois vírus.
V – O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus
B e C representa de 16% do total de pessoas examinadas.
Exercício
25. (UnB – Téc. STF/2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diver-
sos tribunais revelou que 40 possuíam o título de doutor, 50 possuíam
o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram
professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e
eram professores universitários, 15 possuíam somente o título de dou-
tor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de
mestre e doutor e não eram professores universitários.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes:
( ) (UnB – Téc. STF/2008) Menos de 50 desses juízes possuem o
título de doutor ou de mestre mas não são professores universi-
Raciocínio Lógico
tários.
( ) (UnB – Téc. STF/2008) Mais de 3 desses juízes possuem somente
o título de doutor e são professores universitários.
31
16. Princípio das Gavetas de Dirichlet
16.1 Síntese
Exemplo 1: Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá
pelo menos duas delas fazendo aniversário no mesmo mês?
Resposta: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais
pessoas (13) do que meses (12) é certo que pelos menos duas pessoas terão
nascido no mesmo mês.
O argumento empregado acima é conhecido como Princípio das Gavetas
de Dirichlet ou Princípio das Casas dos Pombos. Um possível enunciado para
este princípio é o seguinte:
Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1 gavetas, então pelo
menos uma delas conterá pelo menos dois objetos.
(Uma maneira um pouco mais formal de dizer o mesmo é: se o número
de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos
de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva).
Exemplo 2: Uma prova de concurso possui 10 questões de múltipla esco-
lha, com cinco alternativas cada. Qual é o menor número de candidatos para
o qual podemos garantir que pelo menos dois deles deram exatamente as mes-
mas respostas para todas as questões?
Solução: Neste caso, os objetos são os alunos e as gavetas são as possíveis
sequências de respostas. Como cada questão pode ser respondida de 5 modos,
a prova pode ser preenchida de 5 x 5 x 5 x … 5 = 510 = 9.765.625 modos. Logo,
só se pode ter a certeza de que dois candidatos fornecem exatamente as mesmas
respostas se houver pelo menos 9.765.626 candidatos.
Exercícios
26. Ricardo Erse veste-se apressadamente para um encontro muito impor-
tante. Pouco antes de pegar as meias na gaveta, falta luz. Ele calcula
que tenha 13 pares de meias brancas, 11 pares de meias cinzas, 17
pares de meias azuis e 7 pares de meias pretas. Como elas estão todas
misturadas, ele resolve pegar certo número de meias no escuro e, che-
gando no carro, escolher duas que tenham cor igual para calçar. Qual
Raciocínio Lógico
é o menor número de meias que Ricardo Erse poderá pegar para ter
certeza de que pelo menos duas são da mesma cor?
a) 12.
b) 10.
32
c) 8.
d) 6.
e) 5.
Questão de Prova
O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 27 e 28.
Em uma urna, há 18 esferas: 5 azuis, 6 brancas e 7 amarelas. Não é
possível saber a cor de uma esfera sem que ela seja retirada. Também
não é possível distingui-las a não ser pela cor. N esferas serão retiradas
simultaneamente dessa urna.
27. Qual o menor valor de N para que se possa garantir que, entre as esfe-
ras retiradas, haverá duas da mesma cor?
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 7.
e) 8.
28. Qual o menor valor de N para que se possa garantir que, entre as esferas
retiradas, haverá duas com cores diferentes?
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 7.
e) 8.
Raciocínio Lógico
Capítulo 2
1. Problema do Diofanto
1.1 Apresentação
1.2 Síntese
1ª lição: Leia com atenção o texto e preste atenção nas entrelinhas, aqui
o nosso português é top de linha!!!
Desafio: Numa brincadeira na escola de Diofanto, ele deve retirar o menor
número possível de frutas (sem ver) de uma das três caixas rotuladas da seguin-
te maneira: maçã, pera e maçã e pera, onde os rótulos estão todos fora de or-
dem. Quantas frutas ele deve retirar para colocar os rótulos nas caixas corretas
e de qual(ais) caixa(s) ele deve fazê-lo?
34
Resposta: retirando apenas uma fruta da caixa rotulada como “pera e
maçã” conseguiremos definir as demais caixas.
Desafio: O agente da UCT, Jack Bauer, foi entregue ao terrorista Abu Fayed,
e o terrorista disse: “Diga uma frase para salvar sua vida: Se ela for verdadeira,
nós te fuzilamos; porém, se for falsa, nós te enforcamos.”
Jack Bauer pensou rapidamente, disse a frase e saiu livre e vivo, como
sempre...
– Qual foi a frase dita por Jack?
Resposta: Ele disse que seria enforcado!
O Jack só poderia ser enforcado se tivesse mentido, então se ele disse que
seria enforcado, e de fato a frase dele seria verdadeira e a maneira certa de mor-
rer era fuzilado. Mas se fosse fuzilado, a frase seria falsa e deveria ser enforcado.
2ª lição: “Se nós quisermos atingir resultados nunca antes atingidos, de-
vemos utilizar métodos nunca antes utilizados.” Ou seja, jogar a verdade
contra a mentira, ou mesmo induzir a pessoa ao erro ou a uma contradição
é a coisa mais lógica a se fazer...
2. Julgamento Final
2.1 Síntese
Quando estamos diante de uma situação onde não podemos concluir a ver-
dade eminente, procuramos algo ou fala contraditória, caso exista, utilizamos
o princípio da contradição, ou indução ao erro. No problema do Julgamento
Final, como um guardião fala apenas a verdade e o outro, apenas a mentira,
induzimos um deles à resposta do outro.
Questão: O DIA DO JULGAMENTO FINAL
Segundo uma antiga lenda, quando morremos nos deparamos com dois
guardiões que estão à frente de duas portas: uma nos leva ao céu e a outra ao
inferno. Não sabemos qual porta é qual, sabemos apenas que um dos guardiões
diz sempre a verdade e outro mente sempre, mas também não sabemos qual
é qual.
Qual a pergunta (e uma só pergunta) que devemos fazer para que possamos
desfrutar de uma vida eterna no céu?
Comentário: (Adaptada do livro “O homem que calculava”). Você está
numa cela onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Existe
uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para
Raciocínio Lógico
escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma pergunta
a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a
verdade, e outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem
fala a verdade.
35
Que pergunta você faria?
Resposta: – “Se você fosse o seu colega, qual porta você me indicaria?” A
resposta será exatamente o contrário do que se fará.
Porta esquerda = Liberdade.
Porta direita = Morte.
Se fala a verdade = Porta direita → Contrário → Porta esquerda.
Guarda 1
Se fala a mentira = Porta direita → Contrário → Porta esquerda.
Questão: Valéria quis saber do amigo enigmático Fenelon Portilho quais
eram as idades de seus três filhos. Ele deu a primeira pista:
– O produto de suas idades é 36.
– Ainda não é possível saber, disse Valéria.
– A soma das idades é o número da casa aí em frente.
– Ainda não sei.
– Meu filho mais velho é BOTAFOGUENSE.
– Agora já sei, afirmou Valéria.
Qual era o número da casa em frente?
Solução: Nesta questão do Professor Fenelon, a cada dica necessitamos
de outra, pois ainda permanecemos na dúvida, ou seja, a dúvida só prevalece
porque temos mais de uma possível resposta, daí a necessidade da próxima
dica, até que a última dica elimina por completo as outras opções. Enfim, para
que haja a certeza lógica a questão ou enunciado tem de nos fornecer todos os
dados necessários para uma única solução, sem dúvidas ou suposições.
Possibilidades Somas Casa Idade
1 1 36 38
1 2 18 21
1 3 12 16
1 4 9 14
1 6 6 13 *
2 2 9 13 * 2, 2, 9
2 3 6 11
3 3 4 10
Exercício
29. Investigando uma fraude bancária, o Detetive Marcelo Carvalho colheu
evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:
36
1) Se Henrique é culpado, então Rafael é culpado.
2) Se Henrique é inocente, então Rafael ou Pedro são culpados.
3) Se Pedro é inocente, então Rafael é inocente.
4) Se Pedro é culpado, então Henrique é culpado.
As evidências colhidas por Marcelo indicam, portanto, que:
a) Henrique, Pedro e Rafael são inocentes.
b) Henrique, Pedro e Rafael são culpados.
c) Henrique é culpado, mas Rafael e Pedro são inocentes.
d) Henrique e Rafael são inocentes, mas Pedro é culpado.
e) Henrique e Pedro são culpados, mas Rafael é inocente.
4. Desafio do U2
Concerto do U2
A banda U2 tem um concerto que começa daqui a 17 minutos e todos
precisam cruzar a ponte para chegar lá. Todos os quatro participantes estão do
mesmo lado da ponte. Você deve ajudá-los a passar de um lado para o outro.
É noite.
Na ponte só pode passar no máximo duas pessoas de cada vez. Só há uma
lanterna. Qualquer pessoa que passe, uma ou duas, deve passar com a lanterna
na mão. A lanterna deve ser levada de um lado para o outro, e não pode ser
jogada etc.
Cada membro da banda tem um tempo diferente para passar de um lado
para o outro. O par deve andar junto no tempo do menos veloz:
Bono: 1 minuto para passar.
Edge: 2 minutos para passar.
Adam: 5 minutos para passar.
Larry: 10 minutos para passar.
Por exemplo: se o Bono e o Larry passarem juntos, vai demorar 10 minutos
para eles chegarem do outro lado. Se o Larry retornar com a lanterna, 20 minu-
tos terão passados e o show sofrerá um atraso.
Como organizar a travessia?
Solução:
Lado A Travessia Lado B
Adam e Larry Bono e Edge (2 minutos)
Adam e Larry Bono (1 minuto) Edge
Bono Adam e Larry (10 minutos) Edge
Raciocínio Lógico
5.2 Síntese
“O raciocínio matemático tem por base certos princípios que são exatos e
infalíveis”. John Adams
Árvore de Porfírio:
Porfírio criou uma estrutura lógica – a Árvore de Porfírio – que, partindo
de um conceito ou gênero amplo, divide esse gênero em outros tantos gêneros
subordinados, mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos, por meio
de um par de opostos, chamado “diferenças”. O processo de divisão pelas dife-
renças segue até que a espécie mais baixa seja alcançada, espécie essa que não
pode ser mais dividida.
Raciocínio Lógico
38
SAPO OU CAVALO?
(INCRÍVEL, MAS É A MESMA IMAGEM!)
Definição de Lógica
Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las
corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos.
Para Aristóteles a lógica é um instrumento para o exercício do pensamen-
to e da linguagem, oferecendo-lhes meios para realizar o conhecimento e o
discurso e não uma ciência teorética, nem prática nem produtiva, mas um
instrumento para as ciências, para o conhecer. O objeto da lógica para Aristóte-
les é a proposição, que exprime, por meio da linguagem, os juízos formulados
pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.
A verdade pode sofrer uma série de conceituações. Vejamos as consequentes:
Verdade Lógico-Formal – é a que se refere à coerência na estrutura do
raciocínio quanto às conclusões alcançadas, obedecendo a princípios formais
do pensamento e segundo enunciados estabelecidos, a partir dos quais se de-
senvolve o pensamento que expressa uma nova proposição, um novo enuncia-
do ou uma nova verdade. Assim, a verdade lógico-formal é a que representa
acordo com as leis do pensamento, a partir de princípios ou definições ante-
riormente estabelecidos.
Verdade Objetiva – é a que se refere à conformidade do conhecimento
com a coisa conhecida ou a “conformidade do pensar com o ser”. Se digo que o
dia está nublado, é preciso que, no instante que faça tal afirmação o céu esteja,
realmente, nublado.
Verdade Ontológica, Metafísica ou do Ser – é a que se refere à essência
mesma das coisas. Quando digo que a manteiga é pura, quero dizer que não foi
acrescido nenhum elemento estranho, mas que só contém a natureza própria
da manteiga. Em outras palavras, exprime o ser das coisas, correspondendo
exatamente ao nome que se lhe dá.
Raciocínio Lógico
6.2 Síntese
Proposição
Vem de “propor” que significa submeter à apreciação; requerer em juízo;
vem do latim proponere. Logo proposição é uma frase a ser julgada.
Toda proposição apresenta três características obrigatórias:
– sendo oração, tem sujeito e predicado;
– é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa); e
– tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou
é falsa (F).
Exercícios
30. (UNB/2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente
três proposições.
1. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
2. A expressão X + Y é positiva.
3. O valor de 4 + 3 = 7 .
4. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
5. O que é isto?
Outra...
Um romano mentiroso diz:
– “Todo romano é mentiroso.”
– Logo podemos concluir que:
Raciocínio Lógico
7. Silogismo
7.1 Apresentação
7.2 Síntese
Raciocínio Lógico
Silogismo
Do latim: syllogismus
Dedução formal tal que, postas duas proposições, chamadas premissas, delas
se tira uma terceira, nelas logicamente implicada, chamada conclusão.
41
1 – Deus ajuda quem cedo madruga...
Quem cedo madruga, dorme à tarde...
Quem dorme à tarde, não dorme à noite...
Quem não dorme à noite, sai na balada!!!
Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!!
2 – Deus é amor.
O amor é cego.
Stevie Wonder é cego.
Conclusão: Stevie Wonder é Deus.
Conectivos Lógicos I
1.2 Síntese
Conectivos lógicos
São expressões que servem para unir duas proposições ou transformar uma
proposição formando uma nova proposição.
Os conectivos lógicos básicos são:
“não” (Negação);
“e” (Conjunção Aditiva);
“ou” (Disjunção, podendo ser exclusiva ou não);
44
“se... então” (Condicional);
“se e somente se” (Bicondicional).
As Tabelas-Verdade
A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem
ser formulados como se segue:
• Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
• Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias
(uma é negação da outra), uma delas é falsa.
• Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditó-
rias, uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras
ou falsas – sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica
clássica é bivalente.
Ao analisarmos uma proposição ela poderá ser verdadeira ou falsa, assim
podemos construir o corpo de uma tabela-verdade.
A B
V V
V F
F V
F F
E continuando se tivermos 03 proposições teríamos uma tabela de 08 li-
nhas, pois seriam 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades de valorações das proposições.
A B C
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Conjunção
A conjunção A ∧ B é verdadeira se A e B são ambas verdadeiras; se ao me-
nos uma delas for falsa, então A ∧ B é falsa.
Este critério está resumido na tabela-verdade A B A∧B
ao lado V V V
V F F
Raciocínio Lógico
F V F
F F F
A conjunção só será verdadeira se ambas forem verdadeiras, caso contrário,
será falsa.
45
Disjunção
A disjunção A ∨ B é verdadeira se ao menos uma das proposições A ou B é
verdadeira; se A e B são ambas falsas, então A ∨ B é falsa.
Este critério está resumido na tabela-verdade A B A∨B
ao lado V V V
V F V
F V V
F F F
A Disjunção só será falsa se ambas forem falsas, caso contrario será verdadeira.
Exemplo 1:
A: O Homem é um ser vivo. (V)
B: Cães são vegetais. (F)
A∧B: O Homem é um ser vivo e Cães são vegetais, é uma proposição falsa. (F)
Exemplo 2:
A: 3 + 4 = 7.
B: “Rômulo é magro.”
A∧B: 3 + 4 = 7 e “Rômulo é magro” é uma proposição que pode ser ver-
dadeira (V) ou falsa (F) dependendo do valor lógico de B, a qual pode ser
verdadeira (V) ou falsa (F).
Para que a conjunção seja falsa, basta que uma delas seja falsa. Para que a
disjunção seja verdadeira, basta que uma das proposições que a compõe seja
verdadeira.
Exemplos de Disjunção:
A: “Todo botafoguense é campeão.” (V)
B: “O gelo é quente.” (F)
A∨B: “Todo botafoguense é campeão ou o gelo é quente” é uma proposição
verdadeira.
A: “O Brasil foi campeão da copa de 2010.” (F)
B: “todo ser vivo é mamífero.” (F)
A∨B: “O Brasil foi campeão da copa de 2010” ou “todo ser vivo é mamífero”
é uma proposição falsa.
Exercício
34. (UnB – Analista – TRT 1ª R./2008) Considere que são V as seguintes
Raciocínio Lógico
proposições:
– “Se Joaquim é desembargador ou Joaquim é ministro, então Joaquim
é bacharel em direito”;
– “Joaquim é ministro”.
46
Nessa situação, conclui-se que também é V a proposição:
a) Joaquim não é desembargador.
b) Joaquim não é desembargador, mas é ministro.
c) Se Joaquim é bacharel em direito então Joaquim é desembargador.
d) Se Joaquim não é desembargador nem ministro, então Joaquim
não é bacharel em direito.
e) Joaquim é bacharel em direito.
Regra do Sorvete
Chocolate e Chocolate
Chocolate Morango
Morango ou Morango
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é verdadeiro, então,
do ponto de vista lógico, podemos dizer que:
“Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.”
“Se Paulo não é paulista, então Pedro não é pedreiro.”
Mas dizer que:
“Pedro é pedreiro e Paulo não é paulista” é uma falsidade.
Comentário:
Frase principal: “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é verdadeiro;
como trata-se de uma disjunção, obrigatoriamente alguém tem de ser verda-
deiro, assim:
Raciocínio Lógico
3. Utilização de Diagramas
O uso de diagramas na lógica ajuda a compreensão visual da linguagem
corrente. Veja algumas dicas:
Exercícios
35. (Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora,
não velejo. Assim,
a) Estudo e fumo.
b) Não fumo e surfo.
c) Não velejo e não fumo.
d) Estudo e não fumo.
e) Fumo e surfo.
36. (Analista de Finanças e Controle – AFC – STN/2008) Ao resolver um
problema de matemática, Ana chegou à conclusão de que: x = a e x =
p, ou x = e. Contudo, sentindo-se insegura para concluir em definitivo
a resposta do problema, Ana telefona para Beatriz, que lhe dá a seguin-
te informação: x ≠ e. Assim, Ana corretamente conclui que:
a) x ≠ a ou x ≠ e.
Raciocínio Lógico
b) x = a ou x = p.
c) x ≠ a e x ≠ p.
d) x = a e x ≠ p.
e) x = a e x = p.
50
4. Condicional – Valéria Falou tá Falado
4.1 Síntese
Condicional
Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições
através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais:
o condicional se ... então.... (símbolo: à);
e o bicondicional ... se, e somente se ... (símbolo: ↔).
O condicional se A, então B (AàB) é falso somente quando A é verdadeira
e B é falsa; caso contrário A à B é verdadeiro.
Dica: “A CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA NO VALÉRIA FALOU TÁ
FALADO”
Veja a tabela-verdade A B AàB
Correspondente à proposição A → B: V V V
V F F
F V V
F F V
Exemplos
1. A: O sol é uma estrela. (V)
B: A lua é uma estrela. (F)
A à B: O sol é uma estrela então a lua é uma estrela é uma proposição
falsa.
2. A: A terra é quadrada. (F)
B: Miguel é especial. (V)
A à B: A terra é quadrada então Miguel é especial será sempre verdadeira
independentemente do valor lógico de B.
Exercícios
Raciocínio Lógico
7. Macete da Condicional
Exercícios
42. Os amigos Jamba, Thales e Rômulo contavam histórias acerca de suas
incursões futebolísticas. Jamba e Rômulo mentiram, mas Thales falou
a verdade. Então, dentre as opções seguintes, aquela que contém uma
proposição verdadeira é:
a) Se Thales mentiu, então Jamba falou a verdade.
b) Se Rômulo mentiu, então Jamba falou a verdade.
c) Rômulo falou a verdade e Thales mentiu.
d) Rômulo mentiu e Jamba falou a verdade.
e) Jamba falou a verdade ou Thales mentiu.
Raciocínio Lógico
Exercícios
46. Se Marta pratica esporte, então ela é saudável. Mas Marta não pratica
esporte. Logo, baseados somente nessas informações, podemos con-
cluir que:
a) Ela é saudável.
b) Ela não é saudável.
c) Alguém não pratica esporte.
d) Ninguém é saudável.
47. (UnB – Analista/TRT – 1ª R./2008) Tendo em vista as informações do
texto I, considere que sejam verdadeiras as proposições:
I – Todos os advogados ingressam no tribunal por concurso público;
II – José ingressou no tribunal por concurso público; e
III – João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por con-
curso público.
Nesse caso, também é verdadeira a proposição.
a) José é advogado.
b) João não é advogado.
c) Se José não ingressou no tribunal por concurso público, então José é
advogado.
d) João não ingressou no tribunal por concurso público.
e) José ingressou no tribunal por concurso público e João é advogado.
48. (Esaf) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto,
compreendo. Se é feriado, não desisto. Então,
a) Se jogo, não é feriado.
b) Se não jogo, é feriado.
c) Se é feriado, não leio.
d) Se não é feriado, leio.
e) Se é feriado, jogo.
Raciocínio Lógico
Capítulo 4
Conectivos Lógicos II
1.2 Síntese
Negação
A proposição ~A tem sempre valor oposto de A, isto é, ~A é verdadeira
quando A é falsa e ~A é falsa quando A é verdadeira
Não “par vezes” = Não do não Sim.
Não “ímpar vezes” = Não do não do não Não.
A ¬A
V F
F V
56
¬(A ∧ B) = ¬A ou ¬B
A B A∧B A∧B ¬ (A ∧ B) ¬ (A ou B)
V V V V F F
V F F V V F
F V F V V F
F F F F V V
¬A ¬B (¬ A) ∨ (¬B)
F F F
F V V
V F V
V V V
A negação da negação é a afirmação da proposição.
Exemplo: Não fui eu não, então fui eu.
A negação de A e B é não A ou não B.
Exemplo: A negação de Você é alto e bonito é:
Você não é alto ou você não é bonito.
A negação de A ou B é não A e não B.
Exemplo: A negação de Você é cruzeirense ou atleticano é:
Você não é cruzeirense e você não é atleticano.
Anteriormente vimos que:
Para que uma proposição composta por uma conjunção seja falsa basta que
uma das frases que a compõe seja falsa.
Para que uma composição composta por uma disjunção seja verdadeira
basta que uma das frases que a compõe seja verdadeira.
A negação do E é OU
A negação do OU é E.
V F F V F V V V
F V V F V F F F
F F V V V F F V
57
Por exemplo, para negar a frase:
Se você jogar na Mega você ganhará.
A negação será:
Você jogou na Mega e não ganhou.
A negação da frase:
Se meu time ganhar então vou sambar até amanhecer.
É...
Meu time ganhou e não sambei até o amanhecer.
Proposição Equivalente da Negação
AeB Não A ou não B
A ou B Não A e não B
Se A então B A e não B
A se e somente se B (↔) Algum A não é B
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
Obs.: Para negar o todo, basta ter uma exceção.
Obs.: Para negar algum, deve-se negar o todo.
− A negação da proposição: Todo ser vivo é mamífero, é a proposição:
nem todo ser vivo é mamífero ou, Existe, pelo menos, um ser vivo
que não é mamífero.
A negação da proposição: Todo ser vivo é mamífero, é a proposição: nem
todo ser vivo é mamífero ou, Existe, pelo menos, um ser vivo que não é
mamífero;
A negação da proposição: Tenho 1,80 m de altura e você está pisando no
meu pé é:
Não tenho 1,80 m de altura ou você não está pisando no meu pé;
A negação da proposição: 3+5=8 é a proposição: 3+5 ≠ 8;
Se p é a proposição: Existe um homem que é mortal, então a negação de p
é a proposição: ~p dada por Não existe um homem que seja mortal, ou ainda:
Nenhum homem é mortal.
Exercícios
49. Qual a negação da proposição “Algum funcionário da agência P do
Banco do Brasil tem menos de 20 anos”?
Raciocínio Lógico
a) x ≥ 2.
b) x ≤ -2.
c) x < -2.
d) x ≤ 2.
59
55. (Fiocruz/2010 – FGV) A negação lógica da sentença “Se não há higie-
ne então não há saúde” é:
a) Se há higiene então há saúde.
b) Não há higiene e há saúde.
c) Há higiene e não há saúde.
d) Não há higiene ou não há saúde.
e) Se há saúde então há higiene.
56. (UnB – Analista – TRT – 1ª R./2008) Proposições compostas são de-
nominadas equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos V
ou F, para todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições
simples que as compõem.
Assinale a opção correspondente à proposição equivalente a “¬[[A ∧
(¬B)]→C]”.
a) A ∧ (¬B) ∧ (¬C)
b) (¬A) ∨ (¬B) ∨ C
c) C→[A ∧ (¬B)]
d) (¬A) ∨ B ∨ C
e) [(¬A) ∧ B] → (¬C)
57. (Fiscal do Trabalho/1998) A negação da afirmação condicional “se es-
tiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:
a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.
b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.
c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.
e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
58. (Esaf – Analista – MPOG/2008) Dois colegas estão tentando resolver
um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y
= D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de
vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que:
a) X ≠ B e Y ≠ D.
b) X = B ou Y ≠ D.
c) X ≠ B ou Y ≠ D.
d) Se X ≠ B, então Y ≠ D.
e) Se X ≠ B, então Y = D.
Revisão:
A negação do ∧ é ∨.
A negação do ∨ é ∧.
60
A negação de uma condicional é: Afirmar a “ideia” e negar a “conclusão”.
1. ¬[A∨B] = (¬A) ∧ (¬B).
2. ¬[A ∧ B] = (¬A) ∨ (¬B).
3. ¬[A → B] =A ∧ (¬B).
4. ¬[(A∨B) →C] =(A∨B) ∧ (¬C).
A: Hoje é terça-feira;
B: Valéria é feliz;
C: Está chovendo.
(A∨B) → C = Se hoje é terça-feira ou Valéria é feliz, então está chovendo.
(A∨B) ∧ (¬C) = Hoje é terça-feira ou Valéria é feliz e não está chovendo.
5. ¬[A →(B∨C)] = Reafirma A e nega B ou C: A ∧ [(¬B) ∧ (¬C)].
6. ¬[(A → B) → (B∨C)] = Repete a ideia e nega a conclusão: (A→B)
∧ [(¬B) ∧ (¬C)].
7. ¬[(A∨B) ∧ (C → D)] =[(¬A) ∧ (¬B)] ∨ [C ∧ (¬D)].
Repete ∧ Nega
[¬(A → B)]∧[ B ∨ C ] ou [A ∧ (¬B)]∧[ B ∨ C ].
12. ¬[(A → B) → (B → C)] =
Repete ∧ Nega
(A → B) ∧ [ (B ∧ (¬C)].
6. Questões de Concurso
Exercícios
59. Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logica-
mente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
Raciocínio Lógico
7. Uso de Diagramas
Exercícios
63. Se Fuinha é culpado, então Beraldo é culpado. Se Fuinha é inocente,
então ou Beraldo é culpado, ou Rapadura é culpado, ou ambos, Beral-
do e Rapadura, são culpados. Se Rapadura é inocente, então Beraldo é
inocente. Se Rapadura é culpado, então Fuinha é culpado. Logo,
a) Fuinha é culpado, e Beraldo é culpado, e Rapadura é culpado.
b) Fuinha é culpado, e Beraldo é culpado, e Rapadura é inocente.
c) Fuinha é inocente, e Beraldo é culpado, e Rapadura é culpado.
d) Fuinha é culpado, e Beraldo é inocente, e Rapadura é inocente.
e) Fuinha é inocente, e Beraldo é inocente, e Rapadura é inocente.
64. Ou PLOG = BLOG, ou CLOG = DLOG, ou EGLE = FLOG. Se
GLOG = HUGLI, então EGLE = FLOG. Se CLOG = DLOG, então
GLOG = HUGLI. Ora, EGLE ≠ FLOG, então:
Raciocínio Lógico
Exercícios
65. Se Valéria não fala italiano, então Marcelo fala alemão. Se Valéria fala
italiano, então ou Vinícius fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. Se
Nestor fala dinamarquês, Leonardo fala espanhol. Mas Leonardo fala
espanhol se e somente se não for verdade que Juliana não fala francês.
Ora, Juliana não fala francês e Vinícius não fala chinês. Logo,
a) Valéria não fala italiano e Nestor não fala dinamarquês.
b) Vinícius não fala chinês e Nestor fala dinamarquês.
c) Juliana não fala francês e Leonardo fala espanhol.
d) Marcelo não fala alemão ou Valéria fala italiano.
e) Marcelo fala alemão e Nestor fala dinamarquês.
66. No último domingo, Dorneles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se
que sempre que Davidson dança, o grupo de Davidson é aplaudido de
pé. Sabe-se, também, que, aos domingos, ou Diofanto vai ao parque ou
vai pescar na praia.
Sempre que Diofanto vai pescar na praia, Dorneles sai para ir à missa,
e sempre que Diofanto vai ao parque, Davidson dança. Então, no úl-
timo domingo:
a) Diofanto não foi ao parque e o grupo de Davidson foi aplaudido de
pé.
b) O grupo de Davidson não foi aplaudido de pé e Diofanto não foi
pescar na praia.
c) Davidson não dançou e o grupo de Davidson foi aplaudido de pé.
d) Davidson dançou e seu grupo foi aplaudido de pé.
e) Diofanto não foi ao parque e o grupo de Davidson não foi aplaudido
de pé.
67. Ou Lógica é fácil, ou Aramis não gosta de Lógica. Por outro lado, se
Direito não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Aramis
gosta de Lógica, então:
a) Se Direito é difícil, então Lógica é difícil.
b) Lógica é fácil e Direito é difícil.
c) Lógica é fácil e Direito é fácil.
Raciocínio Lógico
9. Bicondicional
9.1 Apresentação
9.2 Síntese
Diferença entre Condição Necessária para Condição Suficiente:
– Na condição suficiente há o intermediário. Todo A é B, mas nem todo
B é A.
– Na condição necessária não existe o intermediário. Todo A é B e todo B
é A.
O condicional A se e somente se B (A ↔ B) é verdadeiro somente quando
A e B são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer o condi-
cional ↔ é falso.
Bicondicional A se e somente se B A↔B
A B A↔B
V V V
V F F
Raciocínio Lógico
F V F
F F V
Bicondicional (Condição necessária)
Dica: Bicondicional (condição necessária) ↔ para nós vivermos bem.
64
Você gosta Ele(a) gosta Relacionamento
V V V
V F F
F V F
F F V
A se e somente se B = A ↔ B, será verdadeira se A e B forem ambas verda-
deiras ou ambas falsas, caso contrário, ela será falsa.
Dizemos que A é condição necessária para B e vice-versa.
Por exemplo: Você vencerá se e só se você se esforçar, ou seja, só vence
quem se esforça, quem esforça vence, assim esforço é condição necessária para
você vencer.
Exercícios
69. Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência
de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também,
que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocor-
rência de A.
Assim, quando C ocorre,
a) D ocorre e B não ocorre.
b) D não ocorre ou A não ocorre.
c) B e A ocorrem.
d) Nem B nem D ocorrem.
e) B não ocorre ou A não ocorre.
Exercícios
70. (Esaf – ACE – TCU/2002) O rei ir à caça é condição necessária para
o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao
jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição ne-
cessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a
Raciocínio Lógico
V ∨ ? = V.
72. (UnB – Agente – MPE – AM/2008) Independentemente da valoração
V ou F atribuída às proposições A e B, é correto concluir que a propo-
sição ¬(A∨B) ∨ (A∨B) é sempre V.
73. (UnB – Agente – MPE – AM/2008) Se a afirmativa “todos os beija-flo-
res voam rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “algum
beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.
IV – Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos euro-
peus fumam, então fumar deve ser proibido.
V – Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que
fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam.
66
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas
na tabela a seguir:
P Fumar deve ser proibido.
Q Fumar deve ser encorajado.
R Fumar não faz bem à saúde.
T Muitos europeus fumam.
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzi-
da no texto, julgue os itens seguintes:
( ) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).
( ) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).
( ) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.
() A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T))
→ P.
() A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R)
∧ (¬ P)).
Raciocínio Lógico
Capítulo 5
Valores Lógicos
1. Valores Lógicos – I
1.1 Apresentação
1.2 Síntese
Valoração lógica em linguagem corrente
Para trabalharmos com valores lógicos na linguagem corrente, basta subs-
tituirmos as proposições simples por letras do alfabeto e os conectivos por seus
respectivos símbolos.
Então, a frase: Maria é alta e Joana é magra, pode ser representada por A ∧
B e assim por diante.
Por exemplo: Maria é alta e Joana é magra.
68
A: Maria é alta.
B: Joana é alta.
Exercícios
Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes.
75. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A frase “Pedro e Paulo são analistas
do SEBRAE” é uma proposição simples.
76. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) Toda proposição lógica pode assu-
mir no mínimo dois valores lógicos.
77. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A negação da proposição “2 + 5 =
9” é a proposição “2 + 5 = 7”.
78. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A proposição “Ninguém ensina a
ninguém” é um exemplo de sentença aberta.
79. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A proposição “João viajou para Paris
e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada
por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de con-
junção.
80. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A negação da proposição “Ninguém
aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”.
Proposição Equivalente da Negação
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
81. (NCE – Téc. – MAPA/2005) A negação da afirmativa “Me caso ou
compro sorvete” é:
a) Me caso e não compro sorvete.
b) Não me caso ou não compro sorvete.
c) Não me caso e não compro sorvete.
d) Não me caso ou compro sorvete.
e) Se me casar, não compro sorvete.
2. Valores Lógicos – II
Dentro do quadro de dicas destacaremos: A e B = A ∧ B → só será
verdadeira se A e B forem verdadeiras, caso contrário será sempre falsa.
Raciocínio Lógico
Exercícios
82. (UnB – Agente – PF/2004) Se as proposições P e Q são verdadeiras,
então a proposição (¬P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira.
83. (UnB – Agente – PF/2004) Se a proposição T é verdadeira e a proposi-
ção R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.
84. (UnB – Agente – PF/2004) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a
proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.
85. (NCE – Cont. – Radiobras/2004) Se não é verdade que todas as pessoas
que consomem sal terão hipertensão, então:
a) As pessoas que consomem sal não terão hipertensão.
b) As pessoas que não consomem sal terão hipertensão.
c) Há pelo menos uma pessoa que consome sal e não terá hipertensão.
d) Há pessoas que consomem sal e terão hipertensão.
e) As pessoas que não consomem sal não terão hipertensão.
86. (Fiscal do Trabalho/1998) Se o jardim não é florido, então o gato mia.
Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho
canta. Logo:
a) O jardim é florido e o gato mia.
b) O jardim é florido e o gato não mia.
c) O jardim não é florido e o gato mia.
d) O jardim não é florido e o gato não mia.
e) Se o passarinho canta, então o gato não mia.
Exercícios
87. Considerando todos os possíveis valores lógicos V ou F atribuídos às
proposições A e B, assinale a opção correspondente à proposição com-
posta que tem sempre valor lógico F.
a) [A ∧ (¬B)] ∧ [(¬A) ∨ B].
b) (A ∨ B) ∨ [(¬A) ∧ (¬B)].
c) [A ∧ (¬B)] ∨ (A ∧ B).
d) [A ∧ (¬B)] ∨ A.
e) A ∧ [(¬B) ∨ A].
88. Assinale a opção correspondente à proposição composta que tem exa-
tamente 2 valores lógicos F e 2 valores lógicos V, para todas as possíveis
atribuições de valores lógicos V ou F para as proposições A e B.
a) B ∨ (¬A).
b) ¬(A ∧ B).
c) ¬[(¬A) ∧ (¬B)].
d) [(¬A) ∨ (¬B)] ∧ (A ∧ B).
e) [(¬A) ∨ B] ∧ [(¬B) ∨ A].
4. Resolução de Questões
Exercícios
89. (UnB – Analista – TRT – 1ª R./2008) Com base nas informações do
texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V
ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada
por ¬[P→(¬Q)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição
simbolizada por:
a) (¬P) ∨ Q.
Raciocínio Lógico
b) (¬Q) → P.
c) ¬[(¬P) ∧ (¬Q)].
d) ¬[¬(P → Q)].
e) P ∧ Q.
71
90. (UnB – Analista – TRT– 1ª R./2008) Considerando as definições apre-
sentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadas e a pro-
posição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a
opção correspondente à simbolização correta dessa proposição.
a) ¬(A ∧ B).
b) (¬A) ∨ (¬B).
c) (¬A) ∧ (¬B).
d) (¬A) → B.
e) ¬[A ∨ (¬B)].
91. (UnB – Analista – TRT – 1ª R./2008) Proposições compostas são de-
nominadas equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos V
ou F, para todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições
simples que as compõem.
Então, é correto dizer que a proposição equivalente a “¬[[A ∧ (¬B)]→C]”
é “A ∧ (¬B) ∧ (¬C)”.
92. Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos
“∨”, “∧”, “→” e “¬” representem, respectivamente, os conectivos “ou”,
“e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadei-
ras – V – ou como falsas – F. Com base nessas informações, julgue os
itens seguintes relacionados à lógica proposicional.
( ) (UnB – Téc. – STF/2008) A última coluna da tabela-verdade abai-
xo corresponde à proposição (P∧R) → Q.
P Q R P∧R
V V V V V
V V F F V
V F V V F
V F F F V
F V V F F
F V F F V
F F V F F
F F F F V
Raciocínio Lógico
Capítulo 6
Cálculo Proposicional
1. Proposições Relacionadas
1.1 Apresentação
1.2 Síntese
O uso dos diagramas na lógica transforma a linguagem corrente em simples
gráficos envolvendo uma simbologia básica e clara. Apenas operando com os
conectivos lógicos conseguimos através destes diferenciar condição suficiente
de necessária; negações e condicionais, assim como o uso da conjunção e da
disjunção.
73
Considerações:
Exercícios
93. (UnB – Téc. – Seger – ES/2006) A proposição “O estado do Espírito
Santo não é produtor de petróleo ou Guarapari não tem lindas praias”
74
corresponde à negação da proposição “O estado do Espírito Santo é
produtor de petróleo e Guarapari tem lindas praias.”
94. (UnB – Téc. – STF/2008) A última coluna da tabela-verdade abaixo
corresponde à proposição (¬P) ∨ (Q → R).
P Q R ¬P Q→R
V V V V
V V F F
V F V V
V F F V
F V V V
F V F V
F F V V
F F F V
2.2 Síntese
O uso dos diagramas na lógica transforma a linguagem corrente em simples
gráficos envolvendo uma simbologia básica e clara. Apenas operando com os
conectivos lógicos conseguimos através destes diferenciar condição suficiente
de necessária; negações e condicionais, assim como o uso da conjunção e da
disjunção.
Raciocínio Lógico
75
Considerações:
Exercício
95. (Esaf – Ministério do Turismo/2008) ou A=B, C=D, ou E=F. Se G=H,
então E=F.
76
Se C=D, então G=H. Ora, E≠F. Então:
a) C = D ou G = H.
b) A ≠ B e C ≠ D.
c) C ≠ D e G = H.
d) A = B e C ≠ D.
e) C = D ou A ≠ B.
Exercícios
96. (Anpad) Numa Vila afastada, chamada Vila 51, tem-se que “se um
homem não é inteligente, então é bonito” e que “se é inteligente, então
é preguiçoso”. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que:
a) Homens inteligentes não são bonitos.
b) Homens que não são bonitos não são inteligentes.
c) Homens bonitos são preguiçosos.
d) Homens que não são bonitos são preguiçosos.
e) Homens bonitos não são inteligentes.
Obs.: Para resolver essa questão deve-se observar as premissas do dia-
grama exposto abaixo:
Comentário:
O X é o sujeito intermediário.
O X “Está fora lá de dentro e dentro lá de fora”.
Raciocínio Lógico
4. Equivalências
4.1 Apresentação
4.2 Síntese
Relações de equivalência são aquelas que possuem a mesma tabela-verda-
de (possuem o mesmo valor lógico).
Quando p é equivalente a q, indicamos: p ↔ q.
Obs.:
− Notemos que p equivale a q quando o condicional p « q é verdadeiro.
− Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência.
− Hipótese ↔ tese.
(P Q) ↔ (~Q ~P)
P Q PQ ~Q ~P ~Q~P
V V V F F V
Raciocínio Lógico
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
78
Exemplo – Negação de uma condicional: = ~[(P∧Q) R] ↔ (P ∧ Q ∧
~R). Ou seja, afirma-se a ideia “(P∧Q)” e (∧) nega-se a conclusão (~R).
Obs.: Equivalências que mais caem em prova.
− AB é equivalente a ~B~A (Nego lá fora, nego lá dentro).
– AB é equivalente a ~A ∨ B (Nego a primeira ou afirmo a segunda).
Exercícios
98. Duas grandezas “x” e “y” são tais que “se x = 3, então, y = 7”. Pode-se
concluir que:
a) Se x ≠ 3, então y ≠ 7.
b) Se y = 7, então x = 3.
c) Se y ≠ 7, então x ≠ 3.
d) Se x = 5, então y = 5.
e) Nenhuma das conclusões acima é válida.
99. Uma sentença logicamente equivalente a “Se X é Y, então Z é W” é:
a) X é Y ou Z é W.
b) X é Y ou Z não é W.
c) Se Z é W, X é Y.
d) Se X não é Y, então Z não é W.
e) Se Z não é W, então X não é Y.
5. Tabelas de Equivalência
Exercício
100. A proposição p ~q é equivalente a:
a) p ∨ q.
b) p ∨ ~q.
c) ~p q.
d) ~q p.
e) ~p ∨ ~q.
6.1 Apresentação
Exercício
101. (Esaf) Uma equivalência da proposição: “Se Melício joga futebol, en-
tão, Thábata toca violino” é:
a) Melício joga futebol se, e somente se, Thábata toca violino.
b) Se Melício não joga futebol, então, Thábata não toca violino.
c) Se Thábata não toca violino, então, Melício não joga futebol.
d) Se Thábata toca violino, então, Melício joga futebol.
e) Se Melício toca violino, então Thábata joga futebol.
Obs.: Atenção:
− ~ (A ∧ B) = (~A) ∨ (~B).
− ~ (A à B) = A ∧ (~B).
− A à B = ~A ∨ B.
− A à B = (~B) à (~A).
Tabela Base
A B A∧B A∨B AàB A↔B
V V V V V V
V F F V F F
Raciocínio Lógico
F V F V V F
F F F F V V
80
7. Questões de Concurso – Equivalência
Lógica – Simbólico
Exercícios
102. (Cespe/UnB – PF/2004) Texto para os três itens seguintes. Sejam P e
Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julga-
das verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser
obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, de-
notada por PQ, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros
casos; a disjunção de P e Q, denotada por PQ, que será F somente
quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e
Q, denotada por PQ, que será V somente quando P e Q forem V, e,
em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬ P, que será
F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma
dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F, associadas
a essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue o item subsequente.
( ) As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q → ¬ P são
iguais.
103. (Cespe/UnB – PF/2004) Denomina-se contradição uma proposição
que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considera-
da válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de
uma proposição ¬ R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha
uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira ( ou ¬ R é
verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência,
e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as
mesmas valorações, julgue os itens que se seguem.
( ) De acordo com a regra da contradição, P → Q é verdadeira quan-
do ao supor P ∧ (¬ Q) verdadeira, obtém-se uma contradição.
104. (Cespe/UnB – PF/2004) Denomina-se contradição uma proposição
que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considera-
da válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de
uma proposição ¬ R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha
uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira (ou ¬ R é ver-
dadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e
Raciocínio Lógico
Raciocínio Lógico
Capítulo 7
Argumentos
1. Tautologia
1.1 Apresentação
1.2 Síntese
Tautologias são formas proposicionais cujos exemplos de substituição são
sempre proposições verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das
proposições simples que as compõem.
Exemplo 1: ~(A∧B) ↔ (~A ∨ ~B) é uma tautologia pois:
A B A∧B ~(A∧B) ~A ~B ~A∨~B ~(A∧B)↔(~A∨~B)
V V V F F F F V
V F F V F V V V
F V F V V F V V
F F F V V V V V
83
Exemplo 2: (A∧B) → (A ↔ B) é uma tautologia pois:
A B A∧B A↔B (A∧B) →( A ↔ B)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V V
2. Tautologia e Redundância
Exemplo:
Chama-se tautologia à toda proposição que é sempre verdadeira, inde-
pendentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de
tautologia é:
a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.
b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.
c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.
d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é
gordo.
e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.
Comentário:
− A ( A ∨ B)
− A (A ∧ B)
− (A ∨ B) B
− (A ∨ B) (A ∧ B)
− [A ∨ (~A)] B
A B A∨B A (A ∨ B)
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
Exercício
106. Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q as suas respectivas nega-
ções. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição com-
posta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia?
a) p ∨ q.
Raciocínio Lógico
b) p ∧~ q.
c) (p ∨ q) → (~ p ∧ q).
d) (p ∨ q) → (p ∧ q).
e) (p ∧ q) → (p ∨ q).
84
3. Redundâncias e Contradição
3.1 Apresentação
3.2 Síntese
Contradições
São formas proposicionais cujos exemplos de substituição são sempre pro-
posições falsas, independente dos valores lógicos das proposições simples que
as contém.
‘‘A negação de uma tautologia é sempre uma contradição, enquanto, a
negação de uma contradição é sempre uma tautologia.’’
(A∧B) ∧ [~(A↔B)]:
A B A∧B A↔B ~(A↔B) (A∧B)∧[~(A↔B)]
V V V V F F
V F F F V F
F V F F V F
F F F V F F
• Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias
(uma é negação da outra), uma delas é falsa.
Exercício
107. Se Ana diz a verdade, Beto também fala a verdade, caso contrário,
Beto pode dizer a verdade ou mentir. Se Cléo mentir, David dirá
a verdade, caso contrário, ele mentirá. Beto e Cléo dizem ambos a
verdade, ou ambos mentem.
Ana, Beto, Cléo e David responderam, nessa ordem, se há ou não um
cachorro em uma sala. Se há um cachorro nessa sala, uma possibili-
dade de resposta de Ana, Beto, Cléo e David, nessa ordem, é:
S: há cachorro na sala.
N: não há cachorro na sala.
a) N, N, S, N.
Raciocínio Lógico
b) N, S, N, N.
c) S, N, S, N.
d) S, S, S, N.
e) N, N, S, S.
85
4. Charada de Einstein
4.1 Apresentação
4.2 Síntese
Os enigmas lógicos são feitos e desenvolvidos visando, junto aos diagramas,
o treinamento da leitura codificada em dicas dispostas em ordem aleatória para
que o aluno as organize em linhas e colunas, preenchendo as tabelas ou dia-
gramas.
Dizem – não há prova disso – que o próprio Einstein bolou o enigma abai-
xo, em 1918, e que pouca gente, além dele, conseguiria resolvê-lo. Então, esta
é a sua chance de se comparar à genialidade do mestre.
Numa rua há cinco casas de cinco cores diferentes e em cada uma mora
uma pessoa de uma nacionalidade.
Cada morador tem sua bebida, seu tipo de fruta e seu animal de estimação.
A questão é: quem é que tem um peixe?
Siga as dicas abaixo:
• Sabe-se que o inglês vive na casa vermelha; o suíço tem cachorros; o
dinamarquês bebe chá.
• A casa verde fica a esquerda da casa branca; quem come goiaba cria
pássaros; o dono da casa amarela prefere laranja.
• O dono da casa verde bebe café; o da casa do centro bebe leite; e o
norueguês vive na primeira casa.
• O homem que gosta de abacate vive ao lado do que tem gatos; o que
cria cavalos vive ao lado do que come laranja; e o que adora abacaxi
bebe cerveja.
• O alemão só compra maçã; o norueguês vive ao lado da casa azul; e
quem traz abacate da feira é vizinho do que bebe água.
Resolução:
CASA 1 CASA 2 CASA 3 CASA 4 CASA 5
Amarela Azul Vermelha Verde Branca
Raciocínio Lógico
Lógica de Argumentação
1. Definição e Exemplos
1.1 Apresentação
1.2 Síntese
Em um argumento as proposições p1, p2, .... pn são premissas e a proposição
q é chamada conclusão do argumento.
Nenhum homem rico é vagabundo. Todos os analistas são ricos. Portan-
to, nenhum analista é vagabundo. É um argumento de premissas: Nenhum
homem rico é vagabundo e todos os analistas são ricos, e conclusão: Nenhum
analista é vagabundo.
87
Exercício
108. Se Felipe toca violão, ele canta. Se Felipe toca piano, então ele não
canta. Logo:
a) Se Felipe não toca violão, então ele não toca piano.
b) Se Felipe toca violão, então ele não toca piano.
c) Se Felipe toca violão, então ele não canta.
d) Se Felipe canta, então ele não toca violão.
e) Se Felipe toca piano, então ele canta.
2. Frases Argumentativas
2.1 Apresentação
2.2 Síntese
O raciocínio argumentativo consta de uma sequência ordenada e com
nexo de várias proposições, mas não apenas para a abordagem de um tema.
Visa provar, justificar, fornecer razões e defender um ponto de vista, buscando
convencer alguém de alguma coisa nem sempre clara e evidente.
De um lado, as afirmações ou negações explicam, justificam, fundamen-
tam ou oferecem motivos ou razões constituindo as chamadas PREMISSAS;
de outro, a decorrência, consequência ou resultado daquilo que foi justificado
constitui as chamadas CONCLUSÕES.
Premissas e conclusões estão sempre em relação de dependência. Uma não
existe sem a outra e ambas juntas constituem e identificam um argumento.
Exercícios
109. Considere as premissas:
Paulo é cantor ou Pedro é escritor.
Raciocínio Lógico
3. Questões de Prova
Exercícios
112. Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta
que:
a) Todo matemático seja louco.
b) Todo louco seja matemático.
c) Algum louco não seja matemático.
d) Algum matemático seja louco.
e) Algum matemático não seja louco.
113. Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja
falsa, é necessário que:
a) Todas as mulheres sejam boas cozinheiras.
b) Algumas mulheres sejam boas cozinheiras.
c) Nenhum homem seja bom cozinheiro.
d) Todos os homens sejam maus cozinheiros.
e) Ao menos um homem seja mau cozinheiro.
Raciocínio Lógico
4. Questão do TRT
Exercícios
(TRT/2004 – Estruturas Lógicas) Considere que as letras P, Q, R e S re-
presentam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e ∨ são operadores lógicos que
constroem novas proposições e significam NÃO, E e OU, respectivamente.
Na lógica proposicional, cada proposição assume um valor (valor-verdade)
que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando P,
Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens que se seguem:
116. ( ) ¬ P ∨ Q é verdadeira.
117. ( ) ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.
118. ( ) [P ∧ ( Q ∨ S)] ∧ (¬ [(R ∨ Q) ∨ (P ∧ S)]) é verdadeira.
119. ( ) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.
5. ~~A ↔ A
6. A → B ∧ ~A ∨ B (IMPORTANTE)
7. A → B ↔ ~B → ~A (IMPORTANTE)
93
131. Uma sentença logicamente equivalente a “Se X é Y, então Z é W” é:
a) X é y ou Z é W.
b) X é Y ou Z não é W.
c) Se Z é W, X é Y.
d) Se X não é Y, então Z não é W.
e) Se Z não é W, então X não é Y.
132. A proposição p ~q é equivalente a:
a) p ∨ q.
b) p ∨ ~q.
c) ~p q.
d) ~q p.
e) ~p ∨ ~q.
7. Quantificadores
Exercícios
133. Todos os animais são seres vivos. Assim:
a) O conjunto dos animais contém o conjunto dos seres vivos.
b) O conjunto dos seres vivos contém o conjunto dos animais.
c) Todos os seres vivos são animais.
d) Alguns animais não são seres vivos.
e) Nenhum animal é um ser vivo.
134. Todo cavalo é um animal. Logo:
a) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
b) Toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
c) Todo animal é cavalo.
d) Nem todo cavalo é animal.
e) Nenhum animal é cavalo.
135. Das afirmações:
• Alguns gatos são centopeias.
• Centopeias gostam de jogar xadrez.
Podemos concluir que:
a) Existem centopeias que não são gatos.
b) Centopeias miam.
Raciocínio Lógico
c) Se João não gosta de jogar xadrez então João não é uma cento-
peia.
d) Gatos gostam de jogar xadrez.
e) Gatos têm 100 pernas.
94
136. Das afirmações “todo animal roxo tem 13 pernas” e “todo unicórnio
é roxo” pode-se concluir que:
a) Existem unicórnios roxos.
b) Não existem animais de 13 pernas.
c) Todo unicórnio tem 13 pernas.
d) Todos os animais de 13 pernas são unicórnios.
e) Todo animal roxo é um unicórnio.
137. Se a proposição “Nenhum A é B” for verdadeira, então, também será
verdade que:
a) Todos não A são não B.
b) Alguns não B são A.
c) Nenhum A é não B.
d) Nenhum B é não A.
e) Nenhum não B é A.
138. São verdadeiras as seguintes afirmações:
I – Todos os mô são bô.
II – Todos os rê são bô.
III – Alguns rê funcionam.
Então, a sentença que é consequência lógica de I, II e III é:
a) Alguns bô que funcionam não são rê.
b) Alguns bô funcionam e alguns bô que funcionam não são rê.
c) Alguns bô funcionam e nenhum mô funciona.
d) Alguns mô funcionam.
e) Alguns bô funcionam.
Raciocínio Lógico
Capítulo 9
1.2 Síntese
A lógica é um instrumento para organizar o raciocínio, portanto, não é
uma forma de ampliar conhecimento. É uma forma de raciocinar, de articular
o pensamento de um jeito específico: ligação de ideias, umas como premissas
das outras observando as regras estabelecidas pela própria lógica (princípio da
identidade; não contraditório; 3º excluído; regras de validade do silogismo
categórico etc.).
96
Exercícios
Problema do Dr. House
139. Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sem-
pre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. House,
um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo
de cinco androides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsi-
lon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os
cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa
responde mas Dr. House, distraído, não ouve a resposta. Os androides
restantes fazem, então, as seguintes declarações:
Beta: “Alfa respondeu que sim”.
Gama: “Beta está mentindo”.
Delta: “Gama está mentindo”.
Épsilon: “Alfa é do tipo M”.
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. House pôde,
então, concluir corretamente que o número de androides do tipo V,
naquele grupo, era igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
140. Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas
em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que
sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto
G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afir-
mar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é
correto concluir que P e Q mentem.
2. Método Dedutivo
Exercícios
141. Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves são Ble-
Raciocínio Lógico
ves, todos os Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre os
habitantes desse planeta, é correto afirmar que:
a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves.
b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves.
97
c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves.
d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves.
e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves.
142. Questionados sobre a falta ao trabalho no dia anterior, três funcio-
nários do Ministério das Relações Exteriores prestaram os seguintes
depoimentos:
Aristeu: “Se Boris faltou, então Celimar compareceu.”
Boris: “Aristeu compareceu e Celimar faltou.”
Celimar: “Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos ou-
tros dois faltou.”
Admitindo que os três compareceram ao trabalho em tal dia, é cor-
reto afirmar que:
a) Aristeu e Boris mentiram.
b) Os três depoimentos foram verdadeiros.
c) Apenas Celimar mentiu.
d) Apenas Aristeu falou a verdade.
e) Apenas Aristeu e Celimar falaram a verdade.
3. Método Indutivo
Exercício
143. Três amigos: Gilberto, Glauco e Gustavo, deixaram seus veículos em
um estacionamento pago. Um dos veículos era vermelho, o outro,
cinza, e o terceiro, preto. O vigilante perguntou aos três rapazes quem
era o proprietário de cada um dos veículos. O dono do veículo ver-
melho respondeu: “O veículo cinza é do Gilberto”. O proprietário
do veículo cinza falou: “Eu sou Glauco”. E o do veículo preto disse:
“O veículo cinza é do Gustavo”. Sabendo que Gustavo nunca diz a
verdade, que Gilberto sempre diz a verdade, e que Glauco às vezes
diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente de quem era
cada veículo. As cores dos veículos de Gilberto, Glauco e Gustavo
eram, respectivamente:
a) Preta, cinza e vermelha.
b) Preta, vermelha e cinza.
c) Vermelha, preta e cinza.
d) Vermelha, cinza e preta.
Raciocínio Lógico
Análise Combinatória
1.2 Síntese
Análise Combinatória é uma parte da matemática que estuda os agrupa-
mentos de elementos sem precisar enumerá-los.
A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como:
lançamento de dados, jogos de cartas etc.
Fatorial
Definição:
n! = n (n -1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1 para n ∈ N e n ≥ 1
103
O símbolo n! lê-se fatorial de n ou n fatorial.
Ex.:
2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Convenção:
0! = 1.1! = 1
Observação: n! = n (n - 1)!
Ex.:
8! = 8 x 7!
10! =10 x 9!
Exercícios
154. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá
se vestir?
A escolha de uma camisa poderá ser feita de cinco maneiras dife-
rentes. Escolhida a primeira camisa poderá escolher uma das quatro
saias.
155. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de sequências pos-
síveis de cara e coroa?
Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa.
Queremos o número de triplas ordenadas (a, b, c) onde a ∈ {C,K},
b ∈ {C,K} e c ∈ {C,K}, logo, o resultado procurado é: 2 x 2 x 2 = 8
4. PFC: Método
Exercícios
162. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras
ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando
por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa via-
gem?
163. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um
número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos
ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo
que o número não tenha algarismo repetido?
164. (Esaf/TFC – 02) Em um campeonato participam 10 duplas, todas
com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras diferen-
tes podemos ter classificação para os três lugares
a) 240.
b) 270.
c) 420.
d) 720.
e) 740.
Raciocínio Lógico
165. Juliana Godoy possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devida-
mente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Valéria Lanna
pede emprestado à Juliana Godoy quatro pares de sapatos. Atenden-
do ao pedido da amiga, Juliana Godoy retira do closed quatro caixas
105
de sapatos. O número de retiradas possíveis que Juliana Godoy pode
realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é
igual a:
a) 681.384.
b) 382.426.
c) 43.262.
d) 7.488.
e) 2.120.
5. Tabuleiro de Xadrez
Exercícios
166. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas
e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal
forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma
peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas?
167. Um tabuleiro especial de xadrez possui 64 casas dispostas em 8 linhas
e 8 colunas. Um jogador deseja colocar 8 peças no tabuleiro, de tal
forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma
peça. De quantas maneiras as 8 peças poderão ser colocadas?
168. Um torneio esportivo entre duas escolas será decidido numa partida
de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade
6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5
rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher
os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das
jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz
parte da equipe F.
6. Uso do e/ou
Exercícios
169. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide
pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada
face de uma única cor?
Raciocínio Lógico
7. Anagramas
Exercícios
173. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que
podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição,
é igual a:
a) 10.
b) 20.
c) 48.
d) 52.
e) 100.
174. Duas das 50 cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O
Raciocínio Lógico
loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são ver-
des e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é
branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas
diferentes com essas faixas.
109
188. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas
uma a uma sem reposição. Quantas sequências de cores podemos
observar?
189. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo.
Uma pessoa sai do ponto P e dirige-se para o ponto Q pelo caminho
mais curto, isto é, movendo-se da esquerda para a direita, ou de baixo
para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá
fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”?
11. Comissões
Exercício
191. Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser for-
madas com 10 funcionários de uma empresa?
a) 120.
b) 210.
c) 720.
d) 4.050.
e) 5.040.
192. O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O
número de possíveis resultados está entre:
a) 15.000.000 e 25.000.000.
b) 25.000.000 e 35.000.000.
c) 35.000.000 e 45.000.000.
d) 45.000.000 e 55.000.000.
193. Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones
e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou
Raciocínio Lógico
lâmpada é:
a) 63.
b) 79.
c) 127.
111
d) 182.
e) 201.
para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam
participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas
maneiras distintas se pode formar essa comissão?
a) 70.
112
b) 35.
c) 45.
d) 55.
Probabilidade
1.2 Síntese
A probabilidade está associada ao estudo da Genética (exemplo visto ante-
riormente); jogos de azar; estatísticas etc.
Moivre foi o mais importante devoto da Teoria das Probabilidades, em sua
obra “Doutrina das Probabilidades”, publicada em 1718, ele apresenta mais de
50 problemas, além da lei dos erros ou curvas de distribuição.
Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve
a organização e a sumarização de dados; a teoria da probabilidade, que pro-
porciona uma base racional para lidar com situações influenciadas por fatores
114
relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria da inferência,
que envolve análise e interpretação de amostras.
O ponto central em todas as situações em que usamos probabilidade é a
possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO.
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de
determinado evento.
Espaço Amostral
Chamamos de espaço amostral (S) um conjunto formado por todos os re-
sultados possíveis de um experimento aleatório.
Chama-se Evento (E) todo subconjunto de (S), associado a um experimen-
to aleatório qualquer.
Probabilidade de um Evento Elementar
Vejamos as situações seguintes:
1. Lançamento de uma moeda e observação da face superior.
Seja S = {k, c} o espaço amostral, onde c representa “cara” e k, “coroa”.
Os números ½ e ½ podem representar as chances de ocorrência dos eventos
elementares {k} e {c}.
É razoável esperar que, num grande número de lançamentos, em
aproximadamente metade deles ocorra cara e na outra metade ocorra coroa.
Indicamos então:
PK = ½ e PC = ½.
Generalizando, sendo
S = {e1, e2, e3, . . ., en},
Um espaço amostral finito, a cada evento elementar {e1} associamos um
número real p({ei}), chamado probabilidade do evento elementar {ei}, que sa-
tisfaz as seguintes condições:
⇒ p({ei}) é um número não negativo: p({ei}) ≥ 0;
⇒ A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é 1:
p({e1}) + p({e2}) +. . . + p({en}) = 1
Consequentemente, para qualquer evento elementar {ei} temos: 0 pei 1
Exercícios
Probabilidade de um evento qualquer
Raciocínio Lógico
3. Probabilidade – Conceito
3.1 Apresentação
3.2 Síntese
Generalizando, se num fenômeno aleatório as possibilidades são equipro-
váveis, então a probabilidade de ocorrer um evento E, que indicaremos por
p(E), será dada por:
número de possibilidades favoráveis
P(E) =
Raciocínio Lógico
Exercícios
205. Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamen-
te, ela seja:
a) Consumidora de apenas um dos produtos?
b) Consumidora de, no mínimo, dois produtos?
c) Sabendo que a pessoa sorteada consome C, qual a probabilidade
dela também consumir B?
206. A probabilidade de ocorrer um evento A é 1/3, a probabilidade de
ocorrer um evento B é ½ e a probabilidade de ocorrer ambos é ¼.
PA = 1/3
PB = ½
P(A e B) = ¼
4. Probabilidade Condicional
Raciocínio Lógico
4.1 Apresentação
Curiosidade:
Num jogo de Pôquer, qual a probabilidade de ocorrer uma trinca e uma
dupla? (considerando que um jogador recebe as cinco cartas de uma só vez).
Solução:
A 1ª carta é aleatória: 52/52.
A 2ª carta terá probabilidade: 3/51.
A 3ª carta terá probabilidade: 2/50.
A probabilidade da 4ª: 48/49.
E a da 5ª: 3/48.
Daí teremos o seguinte:
5 maneiras (ordem) diferentes disso acontecer. Logo, a probabilidade
desejada será:
52 3 2 48 3
x x x x x5! 0,3%
. 52 51 50 49 48
Eventos Independentes
Dizemos que n eventos E1, E2, E3, ..., En são independentes quando a
probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de terem ou não ocor-
rido os outros.
Para n eventos independentes temos:
p(E1 e E2 e E3 e ... e En) = p(E1) . p(E2) . p(E3) . ... . p(En).
Raciocínio Lógico
118
5. Lei de Murphy
5.1 Apresentação
5.2 Síntese
Até mesmo a Famosa lei de MURPHY:
Temos em mãos um molho com 5 chaves e ao tentarmos abrir uma porta,
não sabemos qual delas servirá. Então, tentamos a 1ª e se não conseguirmos
(separamos esta), tentamos a segunda, e assim por diante, até chegar à última,
sempre separando a que já tentamos.
Segundo MURPHY a probabilidade de acertarmos a chave na última ten-
tativa é maior que na primeira; ele está certo ou errado?
Responda você.
Ele está errado, pois é a mesma probabilidade:
Temos de analisar o problema da seguinte maneira:
P(a) = acertar a chave = 1/5 e P(e) = errar a chave 4/5.
1ª tentativa: 1/5
4 1 1
2ª tentativa: .
5 4 5
4 3 1 1
3ª tentativa: . .
5 4 3 5
4 3 2 1 1
4ª tentativa: . . .
5 4 3 2 5
4 3 2 1 1 1
5ª tentativa: . . . .
5 4 3 2 1 5
207. Dois prêmios iguais são sorteados entre 5 concorrentes, sendo 3 brasi-
leiros e 2 italianos. Admitindo que a mesma pessoa não possa ganhar
os dois prêmios, qual é a probabilidade de ser premiado pelo menos
um brasileiro?
119
208. (UFMG) Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utili-
zam dois cubos. Algumas faces desses cubos são brancas e as demais,
pretas. O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos e
em observar as faces superiores de cada um deles quando param:
⇒ se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá; e
⇒ se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá.
Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas e uma preta e
que a probabilidade de Leandro vencer o jogo é de 11/18.
Então é correto afirmar que o outro cubo tem:
a) Quatro faces brancas.
b) Uma face branca.
c) Duas faces brancas.
d) Três faces brancas.
7. Distribuição Binomial
7.1 Apresentação
7.2 Síntese
Distribuição Binominal
Generalizando, se em cada uma das n tentativas de um fenômeno aleatório
a probabilidade de ocorrer um evento é sempre P(E), a probabilidade de que
esse evento ocorra em apenas K das n alternativas é dada por:
n
Pn . P . 1 - P
k n k
k
Comentário:
Um casal deseja ter 4 filhos, sendo dois casais. Qual a probabilidade de isso
ocorrer?
HHMM que é o mesmo que um anagrama com 4 letras, sendo 2 Hs e 2Ms,
portanto, usando o macete da ARARA, teremos:
Raciocínio Lógico
4!
6 possíveis resultados.
2!.2!
1 1 1 1 3
. . . .6 37,5%
2 2 2 2 8
120
8. Problema das Urnas
Exercícios
209. (Cesgranrio – Controlador – Aeronáutica/2007) Há duas urnas so-
bre uma mesa, ambas contendo bolas distinguíveis apenas pela cor.
A primeira urna contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. A segunda
urna contém 1 bola branca e 2 bolas pretas. Uma bola será retirada,
aleatoriamente, da primeira urna e será colocada na segunda e, a
seguir, retirar-se-á, aleatoriamente, uma das bolas da segunda urna.
A probabilidade de que esta bola seja branca é:
a) 5/12.
b) 1/3.
c) 1/4.
d) 1/6.
e) 1/12.
210. Antônio, Bruno, César, Dário e Ernesto jogam uma moeda idônea
11, 12, 13, 14 e 15 vezes, respectivamente. Apresenta a menor chance
de conseguir mais caras do que coroas:
a) Antônio.
b) Bruno.
c) César.
d) Dário.
e) Ernesto.
9. Teorema de Bayes
9.1 Apresentação
9.2 Síntese
Propriedades:
Raciocínio Lógico
P( A B ) P( A B)
P( A B ) P( A B)
121
Comentário:
Em outra unidade de estudo abordamos o tema Negação de uma conjun-
ção de uma disjunção; este assunto esta diretamente ligado às propriedades
acima, veja o lembrete:
Proposição Equivalente da Negação
AeB Não A ou não B
A ou B Não A e não B
Ou seja:
A negação do E é OU.
A negação do OU é E.
Teorema de Bayes
Se A1, A2, A3, ..., Ai são eventos mutuamente exclusivos de maneira que
A1 ∪ A2 ∪...=S
P(Ai) = prob. conhecidas dos eventos.
B = um evento qualquer de S, conhecendo-se todas as probabilidades de
P(B/A).
Então,
P ( Ai ).P ( B / Ai )
P ( Ai / B )
P ( A1 ).P ( B / A1 P ( A2 ).P ( B / A2 ) ...)
1 1
.
3 3 24
P(U 2 / Br )
1 1 1 1 1 3 59
. . .
3 9 3 3 3 8
Faça você agora para a urna 3.
122
10. Questões
Exercícios
211. Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para
baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, C e E. As
fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer.
O participante deve ordenar as fichas, mantendo as letras voltadas
para baixo, tentando obter a sigla TCE. Ao desvirá-las, para cada letra
que esteja na posição correta, ganhará um prêmio de R$ 500,00.
A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é
igual a:
a) 0.
b) 1/6.
c) 1/4.
d) 1/3.
e) 1/2.
212. A probabilidade de o participante ganhar exatamente o valor de R$
1.000,00 é igual a:
a) 3/4.
b) 2/3.
c) 1/2.
d) 1/6.
e) 0.
213. Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas bran-
cas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem
reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira
bola sacada é verde e a segunda contém um número par?
a) 15.
b) 20.
c) 23.
d) 25.
e) 27.
214. Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que
se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor
Raciocínio Lógico
do que 4 é:
a) 150/216.
b) 91/216.
c) 75/216.
123
d) 55/216.
e) 25/216.
Raciocínio Lógico
124
Gabarito
1. Alternativa A.
Comentário: N=7 e P=3 → 35 (Vide triângulo).
2. Correto.
Comentário:
Comédia: N=05 e P=02 → 10
10 x 15 = 150. O item está correto. Animação: N=06 e P=02 → 15
3. Incorreto.
Comentário:
3 em 7 (N=07 e P=03) = 35
2 em 4 (N=04 e P=02) = 6 35 x 6 x 1 = 210.
2 em 2 (N=02 e P=02) = 1
4. Incorreto.
3 em 5 : N=05 e P=03 à 10.
5. Alternativa D.
Raciocínio Lógico
Comentário:
São 4 homens e 5 mulheres, que terão de ser organizados de forma que a
quantidade de homens não ultrapasse a de mulheres na formação de um
grupo de 6 pessoas, logo teremos:
125
1) Grupo com 3 homens (em 4 possíveis) e 3 mulheres (em 5 possíveis):
N = 4 e P = 3 * N = 5 e P = 3 à 4 * 10 = 40
2) Grupo com 2 homens (em 4 possíveis) e 4 mulheres (em 5 possíveis):
N = 4 e P = 2 * N = 5 e P = 4 à 6 * 5 = 30
3) Grupo com 1 homem (em 4 possíveis) e 5 mulheres (em 5 possíveis):
N=4eP=1*N=5eP=5à4*1=4
Somando todas as combinações: 40+30+4 = 74 Possibilidades
6. 35.
Escolher 3 em 7: N = 7 e P = 3 à 35
7. 120.
Brasileiros – 3 em 6 à N = 6 e P = 3 à 20
20 * 6 = 120
Japoneses – 2 em 4 à N = 4 e P = 2 à 6
Podemos formar uma diretoria com 120 modos diferentes.
8. Alternativa B.
Comentário:
120. 1+2 = 3+3 = 6+4 = 10+5 = 15+6 = 21+7 = 28+8 = 36. 1+3+6+10+15+
21+28+36 = 120.
9. Alternativa B.
Comentário: Fórmula: = (100 x 101) / 2 = 5.050.
10. Alternativa E.
Comentário:
11. Alternativa A.
12. Alternativa A.
Se levarmos em conta a afirmação III, já excluímos C, D e E. Pela primei-
Raciocínio Lógico
16. Alternativa D.
Comentário:
Primeiro, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:
vistados.
E se perguntássemos o seguinte:
Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente,
ela seja:
127
a) Consumidora de apenas um dos produtos?
370 37
P1
610 61
b) Consumidora de no mínimo dois produtos?
140 14
P2
610 61
c) Sabendo que a pessoa é consumidora de C, qual a probabilidade de
também consumir B?
50 1
P
250 5
17. Alternativa C.
Comentário:
Quando somamos 82% + 78% + 75% = 235%, ou seja, passam 135% de
um todo (100%) que é o equivalente às interseções de chocolate com
pizza e com batata (a flor do centro); porém, ao somarmos dois a dois
como se os alunos sempre consumissem no mínimo dois tipos de alimento,
teremos:
82 + 75 = 157%, passou 57%.
82 + 78 = 160%, passou 60%.
75 + 78 = 153%, passou 53%.
Somando agora o que passou obtemos 170% e deveria ser 135%, como
achamos acima, logo 35% “estão repetidos”, ou seja, consomem os três
alimentos, no mínimo.
Ou ainda, usando a lei da exclusão, acompanhe a explicação:
82% gostam de chocolate, logo 18% não gostam de chocolate;
78% gostam de pizza, logo 22% não gostam de pizza;
75% gostam de batata frita, logo 25% não gostam de batata frita.
As pessoas que não gostam de algum produto não podem entrar na Inter-
seção, ou seja: 65% (18 + 22 + 25).
Se 65% das pessoas não gostam de alguma coisa, 35% (100% – 65%)
gostam de alguma coisa.
18. Alternativa B.
Comentário:
Resolução 1:
1.000 alunos
Raciocínio Lógico
7 + 12 + 11 = 30 → 30 / 2 = 15 dias.
129
20. A) 78 ; B) 87 ; C) 165.
A → X+Y+36 = 90
B → X+Z+34 = 84
C → Y+Z+32 = 86
A → X+Y = 90–36 à 54
B → X+Z = 84–34 à 50
C → Y+Z = 86–32 à 54
Substituindo (B):
2X = 50
X = 25, Z = 25 e Y = 29
a) Número de Pessoas que frequentam apenas uma das livrarias:
28 + 26 + 24 = 78.
b) Número de pessoas que frequentam pelo menos 2 livrarias:
Y+X+Z+8 = 25+29+25+8 = 87.
c) O total de pessoas ouvidas nesta pesquisa:
Somam-se todos os valores = X+Y+Z+28+8+26+24 = 165.
21. Alternativa D.
Comentário:
4a + 3c + 2w = 1.040
2a + 3c + 4w = 1.000
Raciocínio Lógico
15 24 20 15 20 94
1 , 5666
157% %
60 60
23. Alternativa A.
Comentário:
Múltiplos de 3 de 1 até 100, é só dividir por 3 ⇒ 100 ÷ 3 = 33 e resto 1.
Múltiplos de 4 de 1 até 100, é só dividir por 4 ⇒ 100 ÷ 4 = 25.
Múltiplos de 12 de 1 até 100, é só dividir por 12 ⇒ 100 ÷ 12 = 8e resto 4.
O resto não é importante, mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são
divisíveis por 12, logo:
40 + x + 80 – x + 80 + x + x + 70 – x + 90 – x + y + 5 = 500
Raciocínio Lógico
365 + y = 500
y = 135
C = É o dobro de apenas B.
90 – x + x + 70 – x + y = 2(80 + x)
131
160 – x + 135 = 160 + 2x
135 = 3x
x = 45
I – 45/500 = 9% (item certo).
II – C = 90 – x + x + 70 – x + y = 90 + 70 – 45 + 135 = 250 (item errado).
III – 40 + x + 80 + x + y = 120 + 45 + 45 + 135 = 345 (item correto).
IV – 80 – x + 90 – x + 70 – x + x = 240- 90 = 150 (item correto).
V– B e C = 70; restante = 430. Logo: 430/500 > 16% (item errado).
25. I) C; II) C.
Comentário:
X + 20 + 10 + 10 + 10 + 15 + 5 = 85
X + 70 = 85
X = 15
I)
II)
26. Alternativa E.
Raciocínio Lógico
Comentário:
Ricardo tem 4 cores de meias em mãos (1 branca, 1 cinza, 1 azul e 1
preta). Quando Ricardo pegar a 5ª meia, obrigatoriamente terá um par de
meias da mesma cor.
132
27. Alternativa C.
Comentário:
Temos 3 bolas distintas (azuis, brancas e amarelas); ao retirar a 4ª bola,
obrigatoriamente haverá duas bolas com a mesma cor.
28. Alternativa E.
29. Alternativa B.
Solução:
30. Incorreto.
31. Alternativa A.
Vamos analisar as frases:
1. Três mais nove é igual a doze. Se eu perguntar se essa frase é verdadeira
ou falsa, logo você vai responder que a frase é verdadeira. Então, se ela é
verdadeira ela tem um valor lógico, logo representa uma proposição.
2. Pelé é brasileiro. Óbvio que é verdadeiro. Você sabe que ela tem um
valor lógico, logo, também é uma proposição.
Raciocínio Lógico
36. Alternativa E.
Comentário: Ao informar que x ≠ e, tornamos falsa a segunda proposição,
assim, obrigatoriamente a primeira terá de ser verdadeira, logo é correto
concluir que x = a e x = p.
37. Alternativa C.
Daí, as conclusões que extrairemos do nosso raciocínio são as seguintes:
à Beto não briga com Bia. (“premissa incondicional”);
à Bia não vai ao bar. (conclusão da terceira premissa);
à Beatriz não briga com Bia. (conclusão da segunda premissa);
à Beraldo não briga com Beatriz.
Em comparação com as opções de resposta, concluímos que a resposta
correta será o item C (“Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga
com Beatriz”).
38. I) Incorreto; II) Correto.
I. A presença do “ou” elimina a premissa, sendo assim, qualquer uma
delas pode ser verdadeira.
II. É uma proposição formada por uma conjunção, o que liga uma pre-
Raciocínio Lógico
Diagrama
AàB A ↔ B.
Logo,
João não é amigo de Dimitri.
Assim,
Pedro não é amigo de João.
136
Salgado não é amigo de Pedro.
Logo,
Astrubal não é amigo de Leôncio.
45. Alternativa E.
Comentário: Cecília/Certa à Cleusa/Enganadaà Célia/EnganadaàCirco
não está na cidade.
47. Alternativa C.
Comentário:
I – Todos os advogados ingressam no tribunal por concurso público;
II – José ingressou no tribunal por concurso público; e
III – João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por concurso
público. Nesse caso, também é verdadeira a seguinte proposição:
Quando se parte de um princípio falso, a conclusão é sempre verdadeira.
F à (V ou F) = V.
Outra maneira de abordarmos a condicional é com o uso de diagramas
comparativos:
Raciocínio Lógico
137
Na condição (A à B), negando a existência do conjunto maior (B), será
condição suficiente para a inexistência do conjunto menor (A).
48. Alternativa A.
Veja a solução da questão com o uso dos diagramas.
49. Alternativa E.
A negação de 4 = 5 é ≠ 5; e
A negação de 3 > 1 é 3 ≤ 1.
50. Alternativa D.
51. Alternativa C.
52. Alternativa B.
53. Alternativa C.
54. Alternativa C.
55. Alternativa B.
56. Alternativa A.
Comentário: Negar uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão:
¬[[A ∧ (¬B)] → C]=A ∧ (¬B) ∧ (¬C)
Ideia Conclusão
57. Alternativa E.
Comentário: Negar uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão:
58. Alternativa C.
59. Alternativa A.
60. Alternativa C.
Raciocínio Lógico
61. Alternativa C.
Comentário:
A negação de Todo A é B: Algum A não é B.
A negação de todos os aldeões é: Algum aldeão.
138
Atenção:
Não é verdade = Negar.
A negação de uma negação = Sim, portanto, uma afirmação.
A negação de “Não é verdade que meu time é campeão”, quer dizer que
“meu time é campeão”.
62. Alternativa D.
Comentário: A negação de uma negação é uma afirmação.
¬[¬ (¬ IC ∨ ¬ IT)] = (¬ IC) ∨ (¬ IT).
A negação do E é OU.
A negação do OU é E.
A negação da condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão.
A negação de todo A é B = Algum A não é B.
A negação de algum A é B = Nenhum A é B.
63. Alternativa A.
64. Alternativa D.
Raciocínio Lógico
139
65. Alternativa A.
Comentário:
A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informa-
ções, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualiza-
ção de todo o problema:
QUESTÃO
RESOLUÇÃO
Valéria não fala italiano → Marcelo fala alemão
66. Alternativa D.
Raciocínio Lógico
140
67. Alternativa B.
68. Alternativa D.
Comentário:
Segundo a veracidade das proposições, temos que:
A: 2 + 2 = 4 (VERDADE).
B: Nem sempre a semana tem 7 dias (FALSIDADE).
C: A palavra azul não começa com a letra a (FALSIDADE).
Ou seja,
A = V.
B = F.
C = F.
Aplicando as propriedades da negação, conjunção e disjunção, assim
como suas respectivas valorações da tabela verdade, temos:
X = (~A) ∧ (~B) ∧ (~C) = F ∧ V ∧ V = F.
Y = (~A) ∨ (~B) ∨ (~C) = F ∨ V ∨ V = V.
Z = A∨B ∨ C= V ∨ F ∨ F = V.
Portanto , teremos que:
(X ∨ Y ∨ Z) e (X ∧ Y ∧ Z) = ( F ∨ V ∨ V ) e ( F ∧ V ∧ V ) = verdadeiro e
falso.
69. Alternativa C.
Comentário:
Exemplos:
Raciocínio Lógico
• A: 4<3 (F).
• B: 5<2 (F).
• A ↔ B: 4<3 se, e somente, se 5<2 é verdadeira.
• A: O sol é uma estrela (V).
141
• B: A lua é uma estrela (F).
• A ↔ B: O sol é uma estrela, se, e somente se, a lua é uma estrela, é
uma proposição falsa.
70. Alternativa C.
Comentário:
A lógica sentencial trata das proposições que podem ser julgadas como
verdadeiras (V) ou falsas (F). Suponha que letras maiúsculas do alfabeto
(A, B, C etc.) representem proposições básicas. Proposições compostas
são formadas a partir de proposições pré-construídas.
Assim, as seguintes estruturas são proposições compostas: “A e B” (denotada
por A∧B), que é V se e somente se A é V e B é V; “A ou B” (denotada por
A∨B), que é F se e somente se A é F e B é F; “não A” (denotada por ¬A), que
é F se A é V, e é V se A é F; “se A então B”(denotada por A → B), que é F se
e somente se A é V e B é F. Para exemplificar, se A, B e C são proposições,
então as formas ¬A∨B, (A∨B)∧C, (¬A∧¬B)∨C, B → (A∧C) são proposições.
Considere que P seja uma proposição composta em que ocorrem apenas
as proposições básicas A, B e C e os símbolos ¬, ∧, ∨, e que P seja V se e so-
mente se A, B e C tiverem as valorações V e F mostradas na tabela abaixo:
Comentário:
A) (¬A∧B∧C) ∨ (A∧¬B∧C) ∨ (A∧B∧¬C).
142
71. Incorreto.
Comentário:
Logo, a proposição B não precisa ser obrigatoriamente Verdadeira para
que a saída seja verdadeira.
72. Correto.
Comentário:
Perceba que as proposições são invertidas, ou seja, quando uma for falsa,
a outra será verdadeira.
A B A∨B ¬A∨B ¬ (A ∨ B) ∨ (A ∨ B)
V V V F V
V F V F V
F V V F V
F F F V V
73. Correto.
Comentário: A negação de Todo é Algum, a negação de Algum é ne-
nhum.
Raciocínio Lógico
“Nem tudo que é legal, é moral. Nem tudo que é ilegal, é imoral.”
Veja o esquema abaixo:
Raciocínio Lógico
144
82. Incorreto.
Comentário: Se P e Q são proposições verdadeiras, então ¬P e ¬ Q são
proposições falsas, logo (¬P) ∨ (¬ Q) é Falso, pois F ∨ F = Falso.
83. Incorreto.
Comentário: Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa,
então a proposição R (¬T) é Verdadeira.
Em uma condicional, quando a ideia é falsa, a conclusão sempre será
verdadeira.
Veja a tabela-verdade correspondente A B AB
à proposição A B: V V V
V F F
F V V
F F V
Vamos ver agora em qual destas linhas se encaixa a nossa questão.
Temos uma condicional “se...então” no qual o antecedente é falso e a
consequência é falsa (pois o segundo termo é a negação da proposição T,
que é verdadeira). Sendo assim, estamos nos referindo à quarta linha da
tabela e, portanto, a sentença será verdadeira.
Neste caso, bastaria sabermos que o antecedente é falso para “matar” a
questão pois, seja lá qual fosse o outro termo, pela tabela a sentença seria
verdadeira.
84. Correto.
Comentário: Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional:
(P ∧ R) → (¬ Q).
(V ∧ F) → (¬ V).
F → F = V.
85. Alternativa C.
Comentário: Se não é verdade que todas as pessoas que consomem sal
terão hipertensão, então: Alguém que consome sal não terá hipertensão
(C).
Proposição Equivalente da Negação
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
Raciocínio Lógico
145
86. Alternativa C.
87. Alternativa A.
Comentário: Considerando todos os valores V ou F atribuídos às proposi-
ções A e B, assinale a opção correspondente à proposição que tem sempre
o valor F. Para a disjunção (“v”) para que um seja verdadeiro, basta que
qualquer deles seja verdadeiro.
A B ¬A ¬B A ∧ (¬B) (¬A) ∨ B Tudo
V V F F F V F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V F V F
88. Alternativa E.
Comentário: Assinale a opção que corresponde à proposição composta
que tem exatamente 2 valores lógicos F e dois valores lógicos V, para
todas as possibilidades [...]. [ (~A) ∨ B] ∧ [ (~B) ∨ A]. Raciocínio Lógico
89. Alternativa E.
Comentário: Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que,
para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a
146
P e a Q, uma proposição simboliza por ~[(P à (~Q)] possui os mesmos
valores lógicos que a seguinte proposição: P ∧ Q.
A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou
seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma
conclusão. Sendo assim, P ∧ Q.
90. Alternativa C.
Comentário: Considerando as seguintes definições apresentadas no texto
anterior, as letras proposicionais adequadas e a proposição “Nem Antônio
é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção correspondente à
simbologia correta dessa proposição é (~A) ∧ (~B).
91. Correto.
Comentário: Negar uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão:
¬[[A ∧ (¬B)] → C].
Ideia Conclusão
92. Resultado:
93. Correto.
94. Correto.
95. Alternativa D.
Raciocínio Lógico
147
Veja o diagrama:
“A descoberta consiste em ver o que todo mundo viu e pensar o que nin-
guém pensou.”
Jonathan Suriff
“Nem tudo que é legal, é moral. Nem tudo que é ilegal, é imoral.”
Veja o esquema abaixo:
96. Alternativa D.
Comentário: “se um homem não é inteligente, então é bonito” e que “se
é inteligente, então é preguiçoso.”
1. Se o homem é não inteligente, ele é bonito.
2. Se o homem é inteligente, ele é bonito (sujeito intermediário). Se o
homem é inteligente, ele é preguiçoso.
3. Se o homem é inteligente, ele não é bonito. Se o homem é inteligente,
ele é preguiçoso.
4. Se o homem é inteligente, ele é preguiçoso.
5. Se o homem é não inteligente, ele é preguiçoso (sujeito intermediá-
rio). Se o homem é não inteligente, ele é bonito.
6. Se o homem é não inteligente, ele é não preguiçoso. Se o homem é não
inteligente, ele é bonito.
Será possível qualquer uma dessas proposições. Todas essas proposi-
ções podem ocorrer, mas não necessariamente ocorrerá. Apenas uma
das alternativas ocorrerá necessariamente, qual seja, a letra “d”, já que
todo homem não bonito é preguiçoso.
Raciocínio Lógico
148
97. Alternativa D.
98. Alternativa C.
Se x = 3 então y = 7.
Se y ≠ 7, então x ≠ 3.
99. Alternativa E.
100. Alternativa E.
Comentário:
PàQ é equivalente a ~Qà~P ou PàQ é equivalente a ~P ∨ Q.
Sendo assim: P à ~Q = (a) Q à ~P (alternativa inexistente) | (b) ~P ∨ ~Q.
A B ~A ~B A ∧ B ~A ∧ B A∧~B ~A∧~B A∨B
V V F F V F F F V
V F F V F F V F V
F V V F F V F F V
F F V V F F F V F
Observação / Cuidado!
Raciocínio Lógico
A à (B ∨ C) ≠ (A à B) ∨ (A à C).
A à (B à C) ≠ (A à B) à C.
(A ∧ B) à C ≠ (A ∧ C) à (B ∧ C).
149
101. Alternativa C.
Negação
Proposição Negação
A ¬A
A∧B (~A) ∨ (~B)
A∨B (∧A) ∧ (~B)
A→B A ∧ (~B)
A↔B [A ∧ (~B)] ∨ [B ∧ (~A)]
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
Lei de Morgan Observação – Cuidado!
I. ¬( p ∧ q) ↔ ¬ p ∨¬q A à (B ∨ C) ≠ (A à B) ∨ (A à C).
II. ¬( p ∨ q) ↔ ¬ p ∧¬q A à (B à C) ≠ (A à B) à C.
Não confundir: (A ∧ B) à C ≠ (A ∧ C) à (B ∧ C).
III. ¬( p → q ) ↔ ¬ p → ¬q
102. Incorreto.
Comentário: A → B ↔ ~B → ~A
“Se negamos lá fora, negamos lá dentro.”
A → B ↔ ~A ∨ B
“Negamos a primeira ou afirmamos a segunda”. Construção da tabela,
caso não se lembre das equivalências:
P Q P∨Q ¬P Q →¬ P
V V V F F
V F V F V
F V V V V
F F F V V
Raciocínio Lógico
103. Correto.
Comentário: P ∧ (¬ Q) só será verdadeira se ambas forem verdadeiras,
ou seja, se P é verdadeira e Q é falsa. Assim, sendo a proposição P → Q é
falsa. Logo, ao dizer que isto é uma contradição é verdade.
150
104. Incorreto.
Comentário: Não se aplica a propriedade distributiva para uma condicional,
apenas para conjunções e disjunções, segundo Lei de Morgan.
Veja a construção da tabela:
P Q P∨Q S (P ∨ Q) → S P → S Q→S (P → S) ∨ (Q → S)
V V V V V V V V
V V V F F F F F
V F V V V V V V
V F V F F F V V
F V V V V V V V
F V V F F V F V
F F F V V V V V
F F F F V V V V
105. Alternativa E.
Comentário:
¬(p → ¬r) → q ∧ r é falsa, então ¬(p → ¬r) é verdadeira e q ∧ r é falsa,
pois Valéria Falou tá Falado.
Assim ¬(p → ¬r) sendo verdadeira, então (p → ¬r) é falsa e novamente
Valéria Falou tá Falado e p será verdadeira e r será verdadeira, porque ¬r
é falsa.
Agora, por outro lado, q ∧ r é falsa se e só se, uma delas é falsa e como r é
verdadeira, então necessariamente q será falsa.
Veja a construção da tabela.
A B A∧B A∨B A→B A↔B
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
106. Alternativa E.
P Q P∧Q P∨Q (P ∧ Q) (P ∨ Q)
V V V V V
Raciocínio Lógico
V F F V V
F V F V V
F F F F V
151
107. Alternativa D.
108. Alternativa B.
Todo homem é ser vivo. Todos os seres vivos são dotados de alguma inte-
ligência.
Seres dotados de inteligência são seres pensantes.
Um ser pensante raciocina. Todos os que raciocinam não possuem ignorân-
cia, que é a ausência do saber.
Os que ainda não sabem são ingênuos. Os ingênuos são mortais.
Logo, todos os homens são seres mortais.
Todo método deve ser normatizado.
Tudo o que é normatizado é organizado.
A organização exige disciplina.
Os disciplinados são eficazes.
A eficácia leva a bons resultados.
Bons resultados são almejados.
O que é almejado custa caro.
Portanto, não existe método de baixo custo.
109. Alternativa C.
Comentário:
Raciocínio Lógico
152
110. Alternativa B.
Comentário:
O argumento:
Se penso, existo.
Penso.
__________________
Logo, existo.
é um argumento válido.
De fato, argumento é formado das duas premissas:
p1: Se penso então existo; e
p2: Penso e da conclusão Existo. Como as premissas devem ser verdadei-
ras, a proposição:
Penso é verdadeira e, assim, para que p1 seja verdadeira, a proposição:
Existo deve ser verdadeira. Consequentemente, o argumento é válido.
Nenhum estudante é preguiçoso.
João é um artista.
Todos os artistas são preguiçosos.
João não é um estudante.
Analisando o argumento dado, podemos perceber que ele é formado por
três premissas:
P1: Nenhum estudante é preguiçoso.
P2: João é um artista.
P3: Todos os artistas são preguiçosos.
e uma conclusão:
C: João não é um estudante.
Por P3: O conjunto dos artistas está contido no conjunto das pessoas pre-
guiçosas.
Por P1: O conjunto das pessoas preguiçosas e o conjunto dos estudantes
são disjuntos.
Raciocínio Lógico
PESSOAS PREGUIÇOSAS
ESTUDANTES
ARTISTAS
JOÃO
115. Alternativa E.
Comentário: Um argumento é dito INCONSISTENTE se suas premissas
não podem ser simultaneamente verdadeiras.
Alternativa A – Argumento e conclusão válidos.
Alternativa B – O argumento é inválido, mas a conclusão não é verdadeira.
Alternativa C – Argumento é válido, e a conclusão é logicamente válida,
mas não corresponde à realidade.
Alternativa D – Argumento inválido.
116. Correto.
Comentário: substituindo os valores de P e Q em ¬ P ∨ Q, teremos: F ou
V, que é verdadeira.
117. Incorreto.
Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em ¬ [( ¬ P ∨ Q) ∨ (
¬ R ∨ S )], teremos: ¬ [ ( F ou V) OU ( F ou V) ] = ¬ [ V ou V) = Falso.
118. Correto.
Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em [ P ∧ ( Q ∨ S )] ∧
Raciocínio Lógico
( ¬ [( R ∨ Q ) ∨ ( P ∧ S )] ) teremos:
[V ∧ (V ∨ V)] ∧ (¬ [(V ∨ V) ∨ (V ∧ V)]).
[V] ∧ [¬ (V)].
V ∧ F = Falso.
154
119. Correto.
Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em ( P ∨ ( ¬ S)) ∧ ( Q
∨ ( ¬ R)) teremos:
(V ∨ (F)) ∧ (V ∨ (F)).
V ∧ F = Verdadeiro.
120. Alternativa A.
121. Alternativa C.
Comentário: Ambas as proposições são falsas. Sendo assim:
− Alternativa A: (p ∨ ~q) à q = (F ∨ V) à F = V à F (F).
− Alternativa B: ~(p ∨ q) à q = ~(F ∨ F) à F = ~F à F = V à F (F).
− Alternativa C: (p ∧ ~q) à q = (F ∧ V) à F = F à F (V).
122. Alternativa B.
123. Alternativa C.
124. Alternativa E.
125. Alternativa E.
Comentários:
Tabela Base
A B A∧B A∨B AàB A↔B
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Negação
Proposição Negação
A ~A
A∧B (~A) ∨ (~B)
A∨B (∧A)∧(~B)
AàB A ∧ (~B)
A↔B [A ∧(~B)] ∨ [B∧(~A)]
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
Proposições logicamente equivalentes
1. (A ∧ V) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C).
2. (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C).
3. A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C).
Raciocínio Lógico
Lei de Morgan
4. A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
5. ~ ~ A ↔ A.
6. A à B ↔ ~A ∨ B.
7. A à B ↔ ~B à ~A.
155
126. Alternativa D.
127. Alternativa D.
128. Alternativa C.
129. Alternativa B.
130. Alternativa B.
131. Alternativa E.
Comentário: AàB, sendo equivalente a“~B à ~A” ou “~A v B”. Sendo
assim: X=Y à Z=W = Z≠W à X≠Y ou X≠Y ou Z=W.
132. Alternativa E.
Comentário: PàQ é equivalente a ~Qà~P ou PàQ é equivalente a ~P
∨ Q. Sendo assim: P à ~Q = (a)Q à ~P (alternativa inexistente) | (b)
~P ∨ ~Q.
133. Alternativa B.
134. Alternativa B.
135. Alternativa C.
136. Alternativa C.
137. Alternativa B.
138. Alternativa E.
139. Alternativa B.
140. Correto.
141. Alternativa D.
142. Alternativa D.
143. Alternativa B.
144. Alternativa C.
Comentário: Partindo do princípio de que Marcelo não é telefonista, João
Raciocínio Lógico
153. Alternativa B.
Solução: Políticos = mentem.
Não políticos = verdade.
Nativo I = vc é político???? → Não deu para ouvir...
157
Nativo II diz: I falou que não é político.
Nativo III diz: I é político.
Vamos jogar a verdade contra a mentira, usando o II e o III:
Versão A. Se Nativo II fala a verdade (ele é não político), ele só repete o
que o nativo I diz...
Se o Nativo I falou a verdade (ele não é político), logo o nativo III mente,
daí o Nativo III é político.
Agora se o Nativo I falou a mentira, então ele é político e o nativo III fala
a verdade.
Logo, se o Nativo II fala a verdade temos um e apenas um político.
Versão B. Vamos considerar que o Nativo II fala mentira (ele é político),
então, quando ele diz que o nativo I falou que não é político(é mentira);
logo, o nativo I disse que é político e se ele é político, ele mente, o que é
uma contradição, assim, o nativo II não pode ter mentido, então, vale a
versão A.
Portanto, temos apenas um político.
Comentário: Falando a verdade ou mentira, a resposta do nativo I será
sempre “não político”. Portanto, II fala a verdade, e o nativo III fala a
mentira (sendo um político), tornando o nativo I um não político. Numa
ou noutra hipótese haverá sempre um político.
154. O número total de escolhas será: 4 x 5 = 20.
155.
1º 2º 3º
↓ ↓ ↓
Raciocínio Lógico
9 x 9 x 9 = 729 números.
158
157. 504 números.
1º 2º 3º
↓ ↓ ↓
9 x 8 x 7 = 504 números.
158. 4.536 números
Resolução:
Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
O número não começar por 0 (zero), logo:
1º 2º 3º 4º
↓ ↓ ↓ ↓
9 x 9 x 8 x 7 = 4.536 números
159. 120 possibilidades
C1 Cm C2 C1 Cm C2 C1 Cm C2
3 x 3 x...x 3 = 314 resultados.
Em Resumo:
1º) Quantas escolhas devem ser feitas.
2º) Quantas opções cada escolha tem.
3º) Multiplicar tudo!
⇒ Se o problema não depender da ordem (por exemplo: comissões, es-
colhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos
etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.
162. 12 modos
Resolução:
Raciocínio Lógico
159
de A para B = 3 possibilidades.
de B para C = 4 possibilidades.
Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 x 4 = 12.
163. 480 placas
Resolução:
Placa →
2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2
Pelo princípio fundamental da contagem, temos:
2 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 = 480.
164. Alternativa D.
Resolução:
XSYZ = 3 x 2 x 2 = 12.
XSZ = 3 x 2 = 6.
TOTAL = 3 + 18 + 2 + 12 + 6 = 41.
173. Alternativa D.
161
Resolução:
É um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas
cometeu o erro de fazer o cálculo:
4 x 5 x 5 = 100 (errado!)
Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser
repetidos, assim:
Nº com algarismos repetidos mais nº com algarismos distintos é igual ao
total de nº que podem ser formados.
Usando o P.F.C. teremos:
Nº com algarismos repetidos = x.
Nº com algarismos distintos= 4 x 4 x 3 = 48.
Total de nº formados = 4 x 5 x 5 = 100.
Portanto, x + 48 = 100.
x = 52.
174. Alternativa B.
Resolução: 50 x 49 = 2.450.
175. A) 720; B) 24; C) 192.
Resolução:
a) 6! = 720.
b) 4! = 24 ⇒|BR| 4 x 3 x 2 x 1.
c) 2 x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 = 192.
176. Correto.
Resolução:
12! = 12 x 11 x 10!
177. Correto.
Resolução:
11! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
178. Errado.
10! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
179. Correto.
10! x 2 = 10 x 9 x 8! x 2
180 < 720.
180. 3.456 modos
Resolução: 4! x 3! x 3! x 2! x 2!9.
Raciocínio Lógico
181. Resolução:
a) BR juntas significa que formarão uma única letra, logo o anagrama será
composto de 5 letras, portanto, a resposta é 5! = 120.
b) Em qualquer ordem, teremos 5! . 2! = 240
162
182. Alternativa D.
Resolução: 4! x 2! = 48
183.
5! 120
10
3!2! 6.2
184.
8!
560
3!3!2!
185.
8!
1.080
2!2!
186. 14h e 30min
Resolução:
8! 8 * 7 * 6 * 5 * 4
6.720
3!
6.720/672 = 10 horas.
9 Intervalos de descanso.
9 x 30 min. = 270 min. à 4 horas e 30 minutos.
187. Correto.
Resolução:
7!
140
3!3!
188.
Resolução: É como se fosse uma sequência de bolas em fileira, do tipo:
VVVAA, em qualquer ordem faremos como se fosse um anagrama com
repetição.
5!
10
3!.2!
189.
Resolução: É um anagrama com repetição do tipo DDDDCCC, ou seja:
7!
35
Raciocínio Lógico
4!.3!
163
190.
Resolução:
14!
908107200
3!2!2!2!2!
191. Alternativa B.
Resolução:
10 9 8 7
� � � � 210�
4 3 2 1
192. Alternativa D.
Resolução:
60 59 58 57 56 55
50.063.860
6 5 4 3 2 1
193. Alternativa D.
Resolução:
Beatles x Rolling Stones x U2
5 4 8 7 4 3 2
x x 1.120
2 1 2 1 3 2 1
194. Alternativa A.
Resolução:
Precisamos de 2 mãos:
11 10
55
2 1
195. Alternativa A.
Resolução:
7 6 5
35
3 2 1
196. Alternativa A.
Resolução:
Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala.
10 9 8
120
3 2 1
197. Alternativa A.
Resolução:
Raciocínio Lógico
Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâm-
pada esteja acesa. As opções de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo:
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 – 1
(todas apagadas) = 63
164
198. Alternativa C.
Resolução:
Pode-se formar palavras de uma, duas, três ou quatro letras e as opções por
letra são duas (ponto ou traço), logo:
2 (1 letra)
2.2 = 4 (2 letras)
2.2.2 = 8 (3 letras)
2.2.2.2 = 16 (4 letras)
Total = 30
199. Resolução:
2
2.2 = 4
2.2.2 = 8
2 + 4 + 8 = 14 sinais de trânsito.
200. Alternativa C.
Resolução:
São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1.024 – 2 = 1.022.
(opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B).
201. Correto.
Resolução:
É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio fun-
damental de contagem:
Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja:
12 11
x 66
2 1
pares diferentes, ou,
12!
C12, 2 66
10!.2!
202. Alternativa D.
Resolução:
Total de comissões – comissões (Gustavo e Danilo juntos).
8 7 6 5 6 5
. . . . 70 15 55
4 3 2 1 2 1
203. 2 / 3
Raciocínio Lógico
Resolução:
Temos p(c) = 2p(k) e p(c) + p(k) = 1.
165
Portanto:
1
2 p k p k 1 p k
3
2
Portanto : p (c)
3
204. 4 / 9
Resolução:
As possíveis maneiras são:
CCK, CKC ou KCC, portanto, teremos:
2 2 1 2 1 2 1 2 2 4
x x x x x x
3 3 3 3 3 3 3 3 3 9
205. A) 37/61; B) 14/61; C) 25%.
370 37
P1
610 61
140 14
P2
610 61
50
25 %
250 •
10 10
Exemplo de Tiro ao Alvo
Probabilidade de acerto = 20% = 1/5
Probabilidade de errar = 80% = 4/5
166
O alvo é uma lâmpada e a pessoa pode dar 3 tiros. Qual a probabilidade
de acertar a lâmpada?
A1 + E1A2 + E1E2A3
1 4 1 4 4 1
. . .
5 5 5 5 5 5
1 4 16 25 20 16 61
5 25 125 125 125
Qual a probabilidade de não ocorrer o evento?
1 – E1E2 E3
4 4 4 64
1 . .
5 5 5 125
64 61
1
125 125
208. Alternativa A.
Comentário:
X ⇒ número de faces pretas do segundo cubo.
Logo, teremos:
1 x 5 (6 x) 11
. .
6 6 6 6 18
x 30 5 x 22
x2
209. Alternativa A.
Comentário:
B 2(2 / 3) B 1(1 / 3)
U1 = U2=
P 1(1 / 3) P 2(2 / 3)
Ao retirarmos uma bola qualquer que pode ser branca ou preta da urna
U1, a probabilidade de se retirar uma branca da urna U2, será:
Se a bola retirada for branca teremos: BB
Se a bola retirada for preta teremos: PB
Daí pode acontecer: BB ou PB, donde:
2 2 1 1 5
3 4 3 4 12
Raciocínio Lógico
210. Alternativa B.
Comentário: A menor chance de conseguir mais caras do que coroas sig-
nifica a menor probabilidade de obter mais caras que coroas. Portanto,
temos de analisar caso a caso:
167
a) Antônio – 11 vezes.
6
0,5 50%
12
caras coroas
11 0
10 1
9 2
8 3
7 4
6 5
5 6
4 7
3 8
2 9
1 10
0 11
b) Bruno – 12 vezes.
6
0,4615 46,15%
13
caras coroas
12 0
11 1
10 2
9 3
8 4
7 5
6 6
5 7
4 8
3 9
Raciocínio Lógico
2 10
1 11
0 12
E assim por diante, logo:
168
c) Cesar – 13 vezes: Serão 7 em 14, ou seja, 50%.
d) Dário – 14 vezes: Serão 7 em 15, ou seja, 46,66%.
e) Ernesto – 15 vezes: Serão 8 em 16, ou seja, 50%.
211. Alternativa D.
Comentário:
2 1 1 1
x x
3 2 1 3
212. Alternativa E.
Pois se ele acerta duas, ele acerta 03, portanto não tem como ele ganhar
exatamente 1000,00.
213. Alternativa C.
214. Alternativa B.
215. Alternativa D.
Raciocínio Lógico