CENTRO UNIVERSITÁRIO DE JOÃO PESSOA (UNIPÊ)

PRÓ-REITORIA ACADÊMICA (PROAC)

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

ADLON LEITE DE CALDAS

ESTUDO COMPARATIVO ENTRE AS NORMAS BRASILEIRA E PORTUGUESA

DE CONCRETO ARMADO

JOÃO PESSOA
2018
 ADLON LEITE DE CALDAS

ESTUDO COMPARATIVO ENTRE AS NORMAS BRASILEIRA E PORTUGUESA DE

CONCRETO ARMADO

Trabalho de conclusão de curso de graduação,

apresentado como requisito parcial à obtenção do
título de bacharel em engenharia civil, do Centro
Universitário de João Pessoa - UNIPÊ

Orientador(a): Profª M.e Vitor Emanuel Granito

Pontes

((

JOÃO PESSOA
2018
C145e Caldas, Adlon Leite de.
Estudo comparativo entre as normas brasileira e
portuguesa de concreto armado/ Adlon Leite de Caldas. -
João Pessoa, 2018.
97f.

Orientador (a): Prof. M.E Vitor Emanuel Granito Pontes.

Monografia (Curso de Engenharia Civil) –
Centro Universitário de João Pessoa – UNIPÊ.

1. NBR 6118. 2. NP EN 1992. 3. Concreto armado. 4.

Viga. 5. Pilar 6. Laje. I. Pontes, Vitor Emanuel Granito. II.
Estudo comparativo entre as normas brasileira e portuguesa
de concreto armado.

UNIPÊ / BC CDU - 666:982

 ADLON LEITE DE CALDAS

ESTUDO COMPARATIVO ENTRE AS NORMAS BRASILEIRA E PORTUGUESA

DE CONCRETO ARMADO

Trabalho de conclusão de curso (TCC)

apresentado a pró-reitoria acadêmica (PROAC),
do centro universitário de joão pessoa (UNIPÊ),
como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de bacharel em engenheiro
civil.

Local, ____ de _____________ de _____.

BANCA EXAMINADORA

________________________________________
Prof. VITOR EMANUEL GRANITO PONTES
Me. pela Universidade De Coimbra

________________________________________
Profa. MARIA ANGELA PEREIRA XAVIER
Dra. pela Escola de Engenharia de São Carlos (USP)

________________________________________
Prof. BERNAR HENRIQUE GAMA BRAGA
Me. pela Universidade Federal Da Paraíba (UFPB)
 AGRADECIMENTO

Agradeço primeiramente a Deus por permitir esta vitória em minha vida, pela
saúde e pelo dom da vida, e a palavra de Deus diz, faz tua parte e eu te ajudarei, e
até aqui me ajudou o senhor;
Aos meus pais Josimar Alves de Caldas e Maria Da Guia Carvalho Leite
de Caldas que sempre estiveram ao meu lado e foram meus maiores
incentivadores, agradeço;
Aos meus irmãos Adson Thiago Leite de Caldas, Aparecida Tcharlla Leite
de Caldas e Maria da Conceição Leite de Caldas que acreditaram nos meus
sonhos e foram peça vital nessa caminhada;
As minhas queridas avós Carmuniza Pires de Caldas e Joana Carvalho
Leite por me orientar pelos caminhos da vida com sua vasta experiência.
Ao meu falecido avô José Alves Sobrinho por ser o homem honesto e de
caráter.
Aos meus amigos dessa jornada meu sinceros agradecimentos, em especial
a Jefferson Nobrega de Moura e João Fortunato Vieira Neto companheiros de
todas as horas durante essa batalha, agradeço também;
A minha companheira Lays Evellyn Tomaz Oliveira por compreender e me
apoiar nas horas em que estive ausente.
A minha madrinha Esmeraldina lima Costa pelo incansável apoio;
A todos os meus professores pela paciência e dedicação em compartilhar os
seus conhecimentos, também gostaria de agradecer ao coordenador do curso o
professor Antônio Da Silva Sobrinho Júnior por acreditar na minha capacidade
como aluno e por ter repartido seu vasto conhecimento com serenidade e confiança;
Agradeço ao meu grande professor da prática, ao meu supervisor de estagio
Alfredo Neto da Cruz que me orientou e compartilhou todo o seu conhecimento
prático e teórico fazendo com que minha teoria fosse aplicada à pratica sem
dificuldades ou dúvidas a este excelente profissional só tenho a agradecer;
Por último mas não menos importante agradeço ao meu orientador o
professor mestre Vitor Emanuel Granito Pontes por suas incansáveis orientações,
apoio, motivação e por acreditar que seria possível vencer esta etapa final.
“Faça o que você pode, com o que você
tem, no lugar onde você está”

Theodore Roosevelt
 RESUMO

Este trabalho apresenta um estudo comparativo entre as normas Brasileira, NBR

6118 Projeto de Estruturas de Concreto Armado, e Portuguesa, NPEN 1992-1
Projecto de estruturas de betão. Logo de início, foi realizada uma exploração teórica
das propriedades do concreto e do aço e sobre os preceitos gerais do
dimensionamento, que constam nas normativas Brasileira e Portuguesa. Após isto,
foram utilizados dados de uma viga isostática, uma laje armada em uma direção e
um pilar. Foram realizados os dimensionamentos dos elementos sugeridos pelas
Normas. Esse dimensionamento, baseado nas normas, foi realizado, com os fatores
de segurança e método de cálculo sugerido pelas normas. Porém, no
dimensionamento, de forma geral, na viga isostática dimensionada, a norma
Portuguesa se mostrou conservadora apresentando uma diferença de 9,5% para a
armadura positiva e 33,5% na armadura de cisalhamento, em pilar a norma
Brasileira apresentou-se como a mais conservadora apresentando 28,7% nas
armaduras longitudinais e 13,5% na transversal. Já no dimensionamento da laje as
normas praticamente ficaram empatadas apresentando diferenças mínimas
justificadas pelas áreas de aço diferentes utilizada.

PALAVRAS CHAVE: NBR 6118, NP EN 1992-1, Concreto Armado, Viga, Pilar e

Laje.
 ABSTRACT

This work presents a comparative study between the Brazilian standards, NBR 6118
Design of Reinforced Concrete Structures, and Portuguese, NPEN 1992-1 Project of
concrete structures. From the outset, a theoretical exploration of the properties of
concrete and steel was carried out and the general precepts of designing, which are
included in the Brazilian and Portuguese regulations. After this, we used data from an
isostatic beam, an armored slab in one direction and one pillar. The dimensions of
the elements suggested by the Norms were carried out. This design based on
standards was carried out, with the safety factors and calculation method suggested
by the standards. However, in the dimensioning, in general, in the dimensioned
isostatic beam, the Portuguese standard proved to be conservative, presenting a
difference of 9.5% for the positive reinforcement and 33.5% for the shear
reinforcement, in pillar the Brazilian standard was presented as the most
conservative with 28.7% in longitudinal reinforcement and 13.5% in transversal
reinforcement. In the design of the slab, the standards were practically equal,
presenting minimum differences justified by the different steel areas used.

KEY WORDS: NBR 6118, NP EN 1992-1, Reinforced Concrete, Beam, Pillar and
Slab.
.
 LISTA DE FIGURA
Figura 1 – Relação entre o Ecs e a raiz quadrada da resistencia para concretos....24
Figura 2 – Relação entre o Ecs e a raiz cubica da resistencia para concretos.........24
Figura 3 – Diagrama tensão-deformação do aço......................................................26
Figura 4 – Diagrama tensão-deformação para o aço................................................28
Figura 5 – Distribuição das deformações admissíveis no estado limite último..........31
Figura 6 – Distribuição das deformações admissíveis no estado limite último..........32
Figura 7 – Equilíbrio da seção retangular de armadura simples NBR.......................33
Figura 8 – Equilíbrio da seção retangular de armadura dupla NBR..........................35
Figura 9 – Equilíbrio das forças de uma seção retangular de armadura simples
EC2.............................................................................................................................40
Figura 10 – Equilíbrio das forças de uma seção retangular com armada dupla
EC2............................................................................................................................. 41
Figura 11 – Envoltória de 1ª ordem...........................................................................44
Figura 12 – Vinculações em lajes e simplificação em viga........................................55
Figura 13 – Viga utilizada no dimensionamento........................................................61
Figura 14 – Viga utilizada no dimensionamento........................................................61
Figura 15 – Pilar utilizado no dimensionamento........................................................63
Figura 16 – laje utilizada no dimensionamento.........................................................65
Figura 17 – Modelo de cálculo da viga para o dimensionamento da laje..................65
 LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1: Analise das área de aço do dimensionamento e do detalhamento da

viga......................................................................................................................... ....69
Gráfico 2: Analise das diferenças em percentual da área de aço das armaduras no
dimensionamento e do detalhamento da viga............................................................70
Gráfico 3: Analise das área de aço do dimensionamento e do detalhamento do
pilar.............................................................................................................................71
Gráfico 4: Analise das diferenças em percentual da área de aço das armaduras no
dimensionamento e do detalhamento do pilar............................................................72
Gráfico 5: Analise das área de aço do dimensionamento e do detalhamento da laje
para o momento positivo............................................................................................73
Gráfico 6: Analise das diferenças em percentual da área de aço das armaduras no
dimensionamento e do detalhamento da laje para o momento positivo....................74
Gráfico 7: Analise das área de aço do dimensionamento e do detalhamento da laje
para o momento negativo...........................................................................................75
Gráfico 8: Analise das diferenças em percentual da área de aço das armaduras no
dimensionamento e do detalhamento da laje para o momento negativo...................76
 LISTA DE QUADROS
QUADRO 1: Resistência características relacionados com corpos de provas..........22
QUADRO 2: Resumo das propriedades do concreto.................................................23
QUADRO 3: Resumo das propriedades do aço.........................................................28
QUADRO 4: Bitola do aço utilizado em Portugal e no Brasil.....................................29
QUADRO 5: Taxas mínimas da armadura de flexão ρmin (%) para seção
retangular................................................................................................................... 37
QUADRO 6: Resumo das condições para a utilização dos métodos na verificação
dos efeitos de 2ª ordem..............................................................................................46
QUADRO 7: Valores do coeficiente adicional (n) para pilares pelas dimensões......49
QUADRO 8: Momento máximo e reações de apoio para laje armada em uma
direção........................................................................................................................55
QUADRO 9: Taxa de armadura mínima para lajes....................................................56
QUADRO 10: Resultados obtidos nos dimensionamentos da viga...........................62
QUADRO 11: Resultados obtidos após detalhamento da seção da viga..................62
QUADRO 12: Resultados obtidos após detalhamento da seção da viga..................63
QUADRO 13 – Resultados obtidos no dimensionamento do pilar.............................64
QUADRO 14: Resultados obtidos após o detalhamento da seção do pilar...............64
QUADRO 15: Resultados do dimensionamento da laje............................................66
QUADRO 16: Resultados obtidos após detalhamento da laje..................................67
QUADRO 17: Coeficientes de ponderação do concreto e do aço.............................68
 LISTA DE SIMBOLOS
NBR NPEN
Ac Ac : área da seção transversal do concreto
As As1 : área da seção transversal da armadura longitudinal de tração

As’ As2 : área da seção transversal da armadura longitudinal de

compressão
As,distr As,distr : área da seção transversal da armadura de distribuição
As,máx As,máx : área de aço máxima
As,mín As,mín : área de aço mínima
Asw Asw : área da seção transversal da armadura transversal
Asw,mín Asw,mín : área de aço transversal mínima
B b : largura da seção transversal
D d : altura útil

d' d2 : distância entre o centro de gravidade da armadura comprimida,

As', e a fibra mais comprimida do concreto
Eci Ecd : módulo de elasticidade inicial do concreto
Ecs Ecm : módulo de deformação secante do concreto
Es Es : módulo de elasticidade do aço
Fcc Fc : força de compressão de cálculo no concreto
Fst Fs : força de tração de cálculo na armadura
fcd fcd : resistência de cálculo à compressão do concreto
fck fck : resistência característica à compressão do concreto
fct,m fctm : resistência média à tração do concreto
fyd fyd : resistência de projeto do aço
fyk fyk : resistência característica ao escoamento do aço
fywk fywd : resistência característica do aço da armadura transversal
H h : altura da seção transversal
I I : inercia do elemento
I i : raio de giração
L l : comprimento do vão
Md MEd : momento fletor solicitante de cálculo
: momento que pode ser absorvido pela viga no limite da armadura
Md,lim
simples
Mu MRd : momento último/resistente
NBR NPEN
Nd NEd : carregamento de cálculo
P p : carga superficial
R Rk : solicitação aplicada a estrutura
Rd Rd : esforço resistente de cálculo
: espaçamento entre eixos dos estribos, medido segundo eixo
S S
longitudinal
Smáx Smáx : espaçamento máximo entre os eixos dos estribos

Vc V : parcela da força cortante resistida por mecanismos

complementares ao modelo da treliça
VRd2 VRd : força cortante resistente de cálculo, relativa à ruina das diagonais
comprimidas de concreto
Vsd VEd : força cortante solicitante de cálculo
x x : altura da linha neutra
y : profundidade do diagrama retangular de compressão equivalente
c  : parâmetro de redução da resistência do concreto na compressão
c c : coeficiente de ponderação da resistência do concreto
f f : coeficiente de ponderação das ações
m m : coeficiente de ponderação das resistências
s s : coeficiente de ponderação da resistência do aço
c c : deformação específica do concreto

c2 c2 : deformação específica de encurtamento do concreto no início do :

patamar plástico
cu cu : deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura
s u : deformação específica do aço
yd uk : deformação específica de escoamento do aço

  : relação entre a profundidade, y, do diagrama retangular de

compressão equivalente e a profundidade efetiva, x, da linha neutra
  : índice de esbeltez para pilares
1 lim : valor limite para o índice de esbeltez dos pilares
: ângulo de inclinação das bielas de compressão no
Θ θ
dimensionamento à força cortante
1 s1 : tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada
: tensão de compressão no centro de gravidade da armadura
2 s2
considerada
NBR NPEN
c c : tensão à compressão do concreto
 : coeficiente de ortotropia
: taxa geométrica mínima de armadura longitudinal de vigas e
ρmín
pilares
 SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................ 16
2 OBJETIVO ...................................................................................................... 19
2.1 OBJETIVO GERAL .............................................................................................. 19
2.2 OBJETIVO ESPECIFICO ....................................................................................... 19
3 REFENRENCIAL TEÓRICO ........................................................................... 20
3.1 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS .......................................................................... 20
3.1.1 Concreto ......................................................................................................... 20
3.1.2 Aço .................................................................................................................. 25
3.2 PRECEITOS DE DIMENSIONAMENTO. ..................................................................... 29
3.2.1 Preceitos de dimensionamento - NBR 6118 .................................................... 29
3.2.2 Preceitos de dimensionamento - NPEN 1992-1 .............................................. 31
3.3 VIGA ................................................................................................................ 33
3.3.1 Dimensionamento das vigas – NBR 6118 ....................................................... 33
3.3.2 Dimensionamento das vigas – NPEN 1992-1 .................................................. 40
3.4 PILAR ............................................................................................................... 44
3.4.1 Dimensionamento dos pilares – NBR6118 ...................................................... 44
3.4.2 Dimensionamento dos pilares – NPEN 1992-1................................................ 50
3.5 LAJE ................................................................................................................ 54
3.5.1 Dimensionamento das lajes - NBR 6118 ......................................................... 54
3.5.2 Dimensionamento das lajes - NPEN 1992-1 ................................................... 58
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO ...................................................................... 61
4.1 VIGA ISOSTÁTICA ............................................................................................... 61
4.2 PILAR ............................................................................................................... 63
4.3 LAJE ................................................................................................................ 65
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................ 68
5.1 VIGA ISOSTÁTICA ............................................................................................... 68
5.2 PILAR ............................................................................................................... 70
5.3 LAJE ................................................................................................................ 72
6 CONCLUSÃO ................................................................................................. 77
REFERENCIAS .............................................................................................. 78
A.1 ANEXO A – TABELA DE PERCENTUAL DE ARMADURA ........................... 80
A.2 ANEXO B TABELA PARA DETERMINAR O DIAMETRO E O KL.................. 84
B.1 APÊNDICE A – DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS.. 85
 16

1 INTRODUÇÃO

O concreto armado é o material de construção mais utilizado no Brasil e no

mundo, destacando-se pela sua fácil execução, economia e desempenho.
Atualmente, devido à grande necessidade de construir edifícios cada vez mais altos
e esbeltos se faz assim necessário uma norma de projeto e execução em concreto
armado, pois é através dela que é possível estabelecer critérios que garantam a
economia, desempenho, durabilidade, qualidade e segurança das estruturas
confeccionadas com este material construtivo (PORTO; FERNANDES,2015).
Segundo Kaefer (1988), a primeira norma de concreto armado surgiu em
1904, sendo esta normalização para dimensionamento, execução e ensaio de
estruturas de concreto armado, decretada, em seguida pelo governo da Prússia.
Estes regulamentos estabeleceram as verificações dos projetos pelos órgãos
habilitados. Com estas verificações surgiram documentos que foram utilizados dois
anos depois para revisão desta normativa.
No Brasil, a primeira utilização deste material construtivo data de 1904 sendo
registrado como cimento armado e foi utilizada em obras habitacionais. Já os
cálculos de concreto armado só surgiram por volta de 1908, sendo a primeira norma
a regulamentar esta categoria a NB-1:Cálculo e Dimensionamento De Obras De
Concreto Armado (ABNT,1940), na atualidade a normativa é a NBR 6118 “Projeto de
estruturas de concreto – Procedimento” (ABNT,2014), que regulamenta
procedimento de projeto de concreto armado no país (PORTO; FERNANDES,2015).
Em Portugal, a norma que regulamenta projetos em concreto armado é a
NPEN1992 de 2010 - PROJECTO DE ESTRUTURAS DE BETÃO, que tem a
mesma finalidade que a norma Brasileira, de parametrizar os projetos de estruturas
de concreto armado, sendo esta elaborada pelo Comitê Europeu de Normalização
(CEN).
De acordo com Kripka (1998), as estruturas são influenciadas por diversos
fatores, como a seção transversal dos elementos, que influenciam diretamente na
área de aço, que por sua vez afeta a característica de resistência do material, dentre
as outras propriedades inerentes ao concreto armado. Visto que os custos da
estrutura estão ligados diretamente a estes fatores e os métodos adotados
atualmente por engenheiros conduzem a uma maior seção transversal o que gera
consequentemente uma maior área de aço, e assim um maior custo da estrutura.
 17

Atualmente, as normativas Brasileira e Portuguesa utilizam de um dispositivo

no dimensionamento, que é a majoração dos esforços solicitantes e a minoração
das resistências para uma dada seção de concreto armado, por não ser possível
controlar todas as variáveis envolvidas, i.e., métodos de execução, qualidade
executiva, etc., e tampouco as cargas que efetivamente atuarão sobre a estrutura
são adotados coeficientes parciais de segurança visando assegurar uma pequena
probabilidade de ruina. Mesmo a norma Brasileira não abrangendo este método e
nem estabelecendo uma probabilidade de ruina mínima, Milton de Araújo utilizando
o método probabilístico de Monte Carlo para um concreto de 20 Mpa e uma força
normal de 300 kN obteve uma probabilidade de falha de 10-4 utilizando os
coeficientes sugeridos pela norma, já no CEB-78 são sugeridos as probabilidades de
falha de acordo com a quantidade de pessoas atingidas e a consequência
econômica gerada pela ruina da estrutura. Nos esforços de cálculo é utilizado o (f),
que assume um valor de 1,4 a ser multiplicado pelas solicitações, enquanto a
resistência dos materiais são diminuídas com um fator (m) que assume o valor de
1,4 para o concreto e de 1,15 para o aço sendo esses valores o divisor das
resistências, similar ao Brasil em Portugal é utilizado c de 1,5 para minorar a
resistência do concreto e no aço por sua vez é utilizado um s de 1,15 no caso de
armaduras sem pré-esforço, as ações são majoradas se permanentes por um
coeficiente g = 1,35 e acidentais q = 1,5.
Segundo Porto e Fernandes (2015), as normas de concreto armado devem
ser revistas de maneira sistemática, com um tempo de revisão constante. Na
Europa, as normas são revisadas periodicamente a cada 10 anos. No Brasil, a
normalização, desde o seu início com a NB1 até os tempos atuais como NBR 6118,
tem um tempo médio de revisão de 10 anos, para que se introduzam novas
tecnologias de forma a melhorar o entendimento do funcionamento das estruturas
confeccionadas deste material, podendo dessa forma otimizar o funcionamento e
quantidade de concreto e aço a ser utilizado, sem comprometer os requisitos
exigidos de durabilidade, segurança e qualidade das estruturas.
O trabalho se justifica tendo em vista a necessidade de falar das diferenças
normativas Euro Código 2 e a NBR, visando as diferenças de cálculos, as premissas
e recomendações e quais as principais diferenças impostas pelas normativas que
causam um diferencial no dimensionamento realizado depois será feita a análise
 18

para se conhecer o impacto ocorrido em cada um dos elementos estruturais e qual o

seu impacto na verificação da segurança, quando comparado aos ensaios
realizados em laboratórios.
 19

2 OBJETIVO

2.1 Objetivo geral

 Comparar os resultados que serão obtidos com a utilização dos parâmetros

de dimensionamento dos elementos estruturais pelas normas Brasileira e
Portuguesa de concreto armado.

2.2 Objetivo especifico

 Descrever os procedimentos de cálculos a serem seguidos em conformidade

com as normas utilizadas.
 Dimensionar elementos estruturais utilizando as normas Portuguesa e
Brasileira;
 Comparar as semelhanças e diferenças em relação às suas recomendações,
premissas e modelos de cálculo;
 Verificar as diferenças no dimensionamento dos elementos estruturais
isolados segundo os preceitos de ambas as normas.
 20

3 REFERENCIAL TEÓRICO

3.1 Propriedades dos materiais

3.1.1 Concreto

O concreto armado deverá atender às propriedades definidas na ABNT NBR

6118 de 2014. Para o concreto ser utilizado como material estrutural, é exigido que
este material atenda aos requisitos de massa especifica, coeficiente de dilatação
térmica, resistência a compressão, resistência a tração e módulo de elasticidade.
A massa especifica normal para um concreto seco, deverá estar contida no
intervalo entre 2000 kg/m³ a 2800 kg/m³, quando esta não é conhecida ou não se
tem como determinar, é indicado adotar para o simples 2400 kg/m³ e para o armado
2500 Kg/m² (PORTO; FERNANDES,2015).
Em conformidade com Angelin (2014), o concreto leve é caracterizado por ter
sua massa especifica abaixo de 2000 kg/m³, embora no Brasil o agregado leve mais
utilizado seja a argila expandida de forno rotativo, este material melhora também
outras propriedades tais como resistência mecânica à compressão e à tração,
módulo de elasticidade e conforto térmico, porem este só é considerado como
estrutural quando possui uma resistência mínima de 20 Mpa como é exigido pela
NBR 6118/2014, este material geralmente obedece a normativa quando possui uma
massa especifica em torno de 1600 a 1800 kg/m³.
De acordo com a NBR 6118:2014, “Para efeito de análise estrutural, o
coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como sendo igual a 10 -5/°C”
(ABNT,2014, p.23).
Segundo Carvalho e Figueiredo (2014), a resistência mínima de um concreto
estrutural é estabelecida na norma Brasileira em 20 MPa, sendo que, para esta
normativa, é estipulado o limite máximo de resistência em 90 Mpa para os concretos
utilizados com fins estruturais, ainda é permitido se utilizar concreto com 15 Mpa
para obras temporárias e com finalidade não estrutural.
A resistência à tração direta (fct) do concreto através da resistência à tração
indireta (fct,SP) e a resistência à tração na flexão (fct,f), sendo estes valores obtidos
através de ensaios, podendo ser utilizados os valores de0,7 fct,f e 0,9 fct,SP, quando
não é possível se determinar estes valores a normativa sugere um método de
 21

cálculo para obtenção da resistência à tração direta, utilizando as seguintes

equações (ABNT,2014).
fctk,inf = 0,7 fct,m3 (1)
fctk,sup = 1,3 fct,m3 (2)
Para concretos de 20 MPa a 50 MPa
fct,m = 0,3fck2/3 (3)
Para concretos de 55 Mpa a 90 Mpa
fct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck) (4)
Onde:
O fck e fct,m devem ser expresso em megapascal (MPa)
Segundo Porto e Fernandes (2015), o módulo de elasticidade deverá ser
obtido através de ensaio regulamentado por norma. Com este ensaio é encontrado o
modulo de deformação tangente inicial (Eci), quando não é possível realizar este
procedimento experimental é possível calcular este valor através as equações.
Para concretos de fck entre 20 MPa a 50 MPa
Eci = αE . 5600 . (fck)1/2 (5)
Para concretos de fck entre 55 MPa a 90 MPa
Eci = 21500 . αE . ((fck/10)+1,25)1/3 (6)
sendo
αE = 1,2 para basalto e diabásio
αE = 1,0 para granito e gnaisse
αE = 0,9 para calcário
αE = 0,7 para arenito
Onde:
Eci e fck são dados em megapascal (MPa).
O módulo de deformação secante também poderá ser obtido por ensaio,
podendo também ser presumido pela equação disponibilizada na norma NBR 6118.
Ecs = αi . Eci (7)
Sendo o αi calculado por
αi = 0,8 + 0,2 . (fck/80) ≤ 1,0 (8)
O concreto armado em Portugal como no Brasil, é exigido que o material
cumpra algumas propriedades que constam na norma NP EM 1992/2010, para que
este seja utilizado como concreto estrutural, exigindo as mesmas características que
são abordadas a seguir.
 22

Em conformidade com Cachim e Morais (2016), no que tange ao peso

especifico para que seja comprida as exigências da norma de concreto armado de
Portugal, o concreto deverá atender o que é disposto pela norma NP EN 1991-1 de
2009 em relação ao valor do peso especifico que para efeito de dimensionamento é
considerado 24 kN/m³.
Segundo a NP-EN 1992-1, quando não for conhecido o coeficiente de
dilatação térmica linear é recomendado adotar este coeficiente igual a 10x10 -6 K -1

(CEN, 2010).
Em concordância com Camara et al. (2014), a resistência mínima do concreto
a compressão para efeito da norma Portuguesa é estabelecida em 12 Mpa, sendo
que para esta normativa é estipulado o limite máximo de resistência em 90 Mpa para
os concretos utilizados com fins estruturais.
A resistência mínima do concreto estrutural é citada pela norma Portuguesa
como sendo de 12 Mpa, utilizada para estruturas com vida útil de 50 a 100 anos.
Esta classe de concreto, porém, só é utilizada na classe de agressividade X0 o que
requer que o concreto não sofra nenhum tipo de ataque.
Os corpos de prova utilizados em Portugal são cúbicos e não podem ser
utilizados no Brasil, pois no país os corpos de provas são regulamentados, e apenas
os corpos de provas cilíndricos são permitidos. Quando o corpo de prova cúbico é
submetido ao teste de compressão é notório que reduzindo a altura do corpo de
prova, comina no aumento de resistência, por tanto o CEB-90 traz o quadro 1,
representando as resistências em corpos de provas cilíndricos e cúbicos.

QUADRO 1: Resistência características relacionados com corpos de provas

Classe C12 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80
fck,cil 12 20 30 40 50 60 70 80
fck,cub 15 25 37 50 60 70 80 90
Fonte: Jose Milton e Araújo, 2014, p. 7

Consoante a NPEN 1992-1, a resistência de tração do concreto (fctm) está

ligada de forma direta as condições da cura, secagem e das dimensões do objeto,
sendo esta resistência obtida por ensaios padronizados em normas. Quando não é
possível a realização destes estudos é possível admitir uma resistência inicial
calculada seguindo a expressão dada pela norma (CEN, 2010).
 23

fcm = fck + 8 (MPa) (9)

Resistencia à tração para concretos de fck entre 20 MPa a 50 MPa

fctm = 0,30 x (fck)2/3 (10)

Resistencia à tração para concretos de fck entre 55 MPa a 90 MPa

𝑓cm
fctm = 2,12 x ln(1+( )) (11)
10

onde
fck é a resistência à compressão do concreto aos 28 dias
fcm é a média da resistência à compressão do concreto.
De acordo com Appleton (2013), o módulo de elasticidade do concreto
armado varia de acordo com o módulo de elasticidade dos materiais que o
compõem, no corpo da normativa é apresentada uma forma de calcular o módulo de
elasticidade, através de uma formula, que depende basicamente da média da
resistência a compressão do concreto (fcm).
Ecm = 22[(fcm)/10]0,3 (12)
A seguir é apresentado o quadro 2, contendo o resumo das propriedades do
concreto, exigidos pela norma Brasileira e Portuguesa.

QUADRO 2: Resumo das propriedades do concreto

Norma
NBR 6118/2014 NPEN 1992-1
Propriedade
Massa especifica 2400 a 2500 kg/m³ 24 KN/m³
Resistencia a compressão 20 a 90 Mpa 12 a 90 Mpa
Resistencia a tração fct,m=0,3fck2/3 fctm=0,3fck2/3
Módulo de elasticidade Eci = αE . 5600 . (fck)1/2 Ecm = 22[(fcm)/10]0,3
Coeficiente de dilatação térmica 10-5/°C 10x10-6 K -1

Segundo Araújo (2014), o módulo secante é melhor representado quando o

cálculo do Ecs está relacionado com a raiz cúbica da resistência característica do
concreto a compressão, para concretos até 50 MPa, como é mostrado nas figura 1 e
2, sendo essa relação adotada pelo CEB - 90 (Comitê Euro-internacional du Beton)
e pela norma Portuguesa.
 24

Figura 1 – Relação entre o Ecs e a raiz quadrada da resistencia para concretos

Fonte: José Milton de Araújo,2014, p.21

Figura 2 – Relação entre o Ecs e a raiz cubica da resistencia para concretos

Fonte: José Milton de Araújo,2014, p.22

 25

Como é notório a massa especifica utilizada em Portugal para efeitos de

cálculo quando não é possível realizar ensaios, é adotado um valor de 24 kN/m³ e já
no Brasil é utilizado 24 kN/m³ para concreto simples e 25 kN/m³ para concreto
armado.
O tempo de vida útil de projeto não é citado na norma de concreto armado do
Brasil, a NBR 6118, porém a norma de desempenho a NBR 15575-1 exige um
tempo mínimo de vida útil de projeto de 50 anos. Conforme a NBR 8681, o projetista
é orientado que as ações sejam calculadas nos casos desfavoráveis para um tempo
mínimo de 50 anos, embora está normativa não explicite que este é o tempo mínimo
da vida útil de projeto.
Os cobrimentos utilizados no Brasil para a vida útil de 50 anos na classe de
agressividade ambiental I, onde é considerada pela normativa uma classe de
agressividade fraca, empregada em áreas rurais e também na condição submersa,
para lajes é 20 mm, para vigas e pilares é 25 mm e em elementos estruturais em
contato direto com o solo é 30 mm. Já em Portugal, para a mesma vida útil, o
cobrimento exigido pela normativa de concreto armado é o cobrimento nominal de
20 mm e o mínimo de 10 mm para a classe X0, também considerada a classe de
agressividade ambiental fraca. Esta exige que o concreto não sofra nenhum tipo de
perigo de deterioração para que esta possa ser utilizada. Com a mesma classe de
agressividade e para uma vida útil de 100 anos o cobrimento nominal passa para 30
mm e o mínimo para 20 mm.

3.1.2 Aço

O aço que compõe o concreto armado no Brasil terá que cumprir as

exigências dispostas na NBR 6118 2014. Deverá atender aos critérios de tensão
característica de escoamento, módulo de elasticidade, coeficiente de dilatação
térmica, massa especifica e diagrama de tensão deformação.
Consoante Carvalho e Figueiredo (2015), a tensão característica de
escoamento do aço (fyk), é a pressão limite à qual as barras deverão ser submetidas,
pois é a partir desta que começam a ocorrer deformações irreversíveis. Na norma
Brasileira de concreto armado, os aços são divididos em categorias de escoamento
e tipo de aço CA25, CA50 e CA60 sendo o CA a sigla referente ao aço utilizado em
concreto armado, e o número em seguida a tensão de escoamento do referido aço
 26

expresso em kN/cm². Assim os aços utilizados no Brasil são de 25 kN/cm², 50

kN/cm² e 60 kN/cm².
De acordo com Araújo (2014), o módulo de elasticidade do aço deverá ser
extraído de acordo com ensaio regulamentado por uma norma específica ou
fornecido pelo fabricante, quando esta informação não é conhecida, adota-se para
efeito de cálculo o módulo de elasticidade do aço igual a 210 GPa para armaduras
passivas e 200 GPa para armaduras ativas.

O coeficiente de dilatação térmica, segundo a ABNT NBR 6118:2014, pode

ser considerado no valor de 10-5/°C para coeficiente de dilatação térmica do aço,
desde de que o aço esteja submetido ao intervalo de temperatura entre -20 °C e 100
°C.
A massa especifica do aço é uma propriedade que relaciona o peso com o
seu volume, para fins de dimensionamento é considerado que a massa especifica do
aço é igual a 7850 kg/m³ (PORTO; FERNANDES,2015).
Segundo Carvalho e Figueiredo (2015), o diagrama tensão-deformação visto
na figura 3, É obtido junto à tensão de escoamento do aço, resistência à tração e a
deformação na ruptura. Esses valores são gerados através de ensaio de tração
realizado em conformidade com a norma responsável. Quando a classe do aço
utilizada não possuir patamar de escoamento o valor da tensão obedecerá ao valor
da deformação permanente de 0,2%o.

Figura 3 – Diagrama tensão-deformação do aço

Fonte: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS,2014, p.29

 27

O aço que compõe o concreto armado em Portugal, terá que cumprir as

exigências dispostas na NP EN 1992-1 2010, porquanto deverá atender aos critérios
de tensão característica de escoamento, módulo de elasticidade, coeficiente de
dilatação térmica, massa especifica e diagrama de tenção deformação.
Em conformidade com Cachim e Morais (2016), a tensão característica de
escoamento do aço (fyk), é a pressão limitante aos quais as barras deverão ser
submetidas, pois ao ultrapassar este limite começam a ocorrer deformações
irreversíveis. Na norma Portuguesa de concreto armado, os aços são encontrados
em categorias de escoamento, a norma traz um intervalo de escoamento que varia
de 400 MPa a 600 Mpa.
Segundo Camara et al. (2014), o módulo de elasticidade do aço deverá ser
extraído de acordo com ensaio regulamentado por uma norma específica ou
fornecido pelo fabricante, quando esta informação não é conhecida, adota-se para
efeito de cálculo o módulo de elasticidade do aço igual a 200 GPa para armaduras
passiva e ativa.
A norma de concreto armado de Portugal não faz menção alguma ao
coeficiente de dilatação térmica do aço, embora empregue a temperatura de
utilização do mesmo entre -40°C e 100°C. Porém a NP EN1991-5 traz o valor do
coeficiente de dilatação térmica linear do aço para efeito de cálculo de 12x10-6/°C
(CEN;2010).
Em conformidade com Appleton (2013), a massa especifica do aço é uma
propriedade que relaciona a massa do material com o seu volume, pela diretriz
Portuguesa para fins de cálculo é considerado que a massa especifica do aço é
igual a 7850 kg/m³.
O diagrama tensão deformação mostrado figura 4, é obtido junto a tensão de
escoamento do aço, resistência a tração e a deformação na ruptura, esses valores
são gerados através de ensaio de tração realizado em conformidade com a norma
responsável, como os aços fabricados em Portugal são de 400Mpa e de 500Mpa
estas classes de aço possuem o patamar de escoamento assim obedecem ao
ensaio realizado (CAMARA et al,2014). No quadro 3, apresenta-se um resumo das
propriedades do aço.
 28

Figura 4 – Diagrama tensão-deformação para o aço

Fonte: COMITÊ EUROPEU DE NORMALIZAÇÃO, 2010, p.49

QUADRO 3: Resumo das propriedades do aço.

Norma
NBR 6118/2014 NPEN 1992-2
Propriedade
Tensão de escoamento 25, 50 e 60 KN/cm² 400 e 500 MPa
Módulo de elasticidade 210 e 200 GPa 200 GPa
Coeficiente de dilatação 10-5/°C -20 °C e 100 °C 12x10-6/°C -40°C e 100°C
Massa especifica 7850 kg/m³ 7850 kg/m³

A diferença entre o aço adotado no Brasil para o aço utilizado em Portugal é o

valor do módulo de elasticidade do aço, que comumente é utilizado o valor de 200
GPa pelas normas de concreto armado com exceção da Brasileira que adota o valor
de 210 GPa para armaduras passivas e 200 GPa armaduras ativas, ainda vale
salientar que as resistências características dos aços utilizados em Portugal diferem
dos utilizados no Brasil onde são utilizados os de resistências 500 Mpa e 600 Mpa e
já em Portugal são utilizados os de 400 Mpa e 600 Mpa (ARAÚJO,2014)
Com relação as bitolas das barras de aço utilizadas em Portugal estão no
diâmetro de 6 mm e de 12 mm que no Brasil são utilizados os diâmetros de 6,3 e
12,5 mm, respectivamente. A seguir é mostrado o quadro 4 contendo as bitolas
utilizadas em Portugal e no Brasil (BENTO, 2014).
 29

QUADRO 4: Bitola do aço utilizado em Portugal e no Brasil

DIAMETRO NOMINAL (mm) DIAMETRO NOMINAL (mm)
PORTUGAL BRASIL
6 6,3
8 8
10 10
12 12,5
16 16
20 20
25 25
32 32
40 40
Fonte: Bento, 2014 e Gerdau, 2018

3.2 Preceitos de dimensionamento.

3.2.1 Preceitos de dimensionamento - NBR 6118

A norma Brasileira de concreto armado adota algumas hipóteses e

considerações com relação ao desempenho da estrutura. Com estas premissas, são
obtidos os modelos matemáticos para o cálculo do dimensionamento dos elementos
estruturais.
O estado limite último é referente ao colapso ou ruína da estrutura. A peça
atinge o ELU quando a fibra onde ocorre a maior compressão atinge o valor de
encurtamento do concreto no início do patamar plástico (c2) ou no encurtamento do
concreto na ruptura (cu), sendo os valores de c2 = 2,0 %o e cu = 3,5 %o ou quando o
alongamento da armadura tracionada alcançar o valor convencionado em s = 10 %o
(ZAQUERA,2015)
Segundo Porto e Fernandes, (2015) o estado limite de serviço é referente ao
conforto visual e sensorial da estrutura, estando ligado diretamente com o limite de
formação (ELS-F) e aberturas (ELS-W) de fissuras, deformações excessivas (ELS-
DEF), descompressão excessivas (ELS-D), compressões excessivas (ELS-CE) e
vibrações excessivas (ELS-VE).
 30

A resistência de cálculo, fd, segundo a NBR 6118 é a resistência característica

do material fk dividido por um fator de minoração m, representada pela seguinte
expressão (CARVALHO; FIGUEIREDO, 2015).
fd = fk / m (13)
Onde:
fd e fk são dados em Mpa
m assume o fator de minoração relacionado ao material.
Para o concreto o m = 1,4
Para o aço o m = 1,15
Segundo Araújo (2014), as solicitações de cálculos (Rd), são as solicitações
que serão aplicadas na estrutura (R), acrescidas de um fator de majoração (f) como
é demonstrado na formula a seguir.
Rd = R x f (14)
Onde:
R é a solicitação atuante sobre a estrutura
f =1,4 é o fator de majoração utilizado no dimensionamento no ELU
Conforme a ABNT (2014), os domínios de deformação apresentado na figura
5, são utilizados para o dimensionamento de seções de concreto armado no estado
limite último, que serão descritos a seguir:

“Ruptura convencional por deformação plástica excessiva:

Reta a: tração uniforme;

Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão;
Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do
concreto (ec < ecu e com o máximo alongamento permitido).
Ruptura convencional por encurtamento-limite do concreto:
Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com
ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço (es ³
eyd);
Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com
ruptura à compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento
(es < eyd);
Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas;
Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração;
Reta b: compressão uniforme.” (ABNT, 2014, P. 122)
 31

Figura 5 – Distribuição das deformações admissíveis no estado limite último

Fonte: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS,2014, p.122

Para o melhor aproveitamento dos materiais na seção, as peças estruturais

devem ser dimensionadas no domínio 3.

3.2.2 Preceitos de dimensionamento - NPEN 1992-1

A norma Portuguesa de concreto armado adota algumas hipóteses e

considerações com relação ao desempenho da estrutura. Com estas premissas, são
obtidos os modelos matemáticos para o cálculo do dimensionamento dos elementos
estruturais.
Em conformidade com CEN (2010), o estado limite último é referente a
segurança das pessoas e ou da estrutura, estipula os valores máximos de
encurtamento do concreto à compressão em c2 = 2,0 %o ou cu2 = 3,5 %o, já na
armadura o alongamento máximo permitido pela norma é de ud = 0,9uk e uk = 5%
para o aço da classe B, assim o máximo alongamento é ud = 4,5%.
O Estado Limite de Serviço na referida norma aborda especificamente a
limitação das tensões a ser aplicada na estrutura, controle de fissuração e controle
de deformações. A mesma ainda reconhece que em algumas construções deve-se
 32

fazer a verificação quanto a vibrações, porém não consta esta verificação em seu
corpo (CACHIM; MORAIS,2016).
Segundo APPLETON (2013), a resistência de cálculo, assim como no Brasil a
norma Portuguesa utiliza coeficientes parciais de segurança diferencia-se apenas o
coeficiente do concreto que é de c = 1,5 e do aço s = 1,15.
Rd = Rk/m (15)
Onde:
Rd é a resistência de cálculo
Rk é a resistência característica
m coeficiente que pode assumir o valor de c ou s
As solicitações de cálculo são obtidas através das solicitações que atuam na
estrutura com um acréscimo de um coeficiente de segurança. Para ações
permanentes o coeficiente é g = 1,35, já para cargas acidentais é utilizado o q = 1,5
(CEN, 2010).
Fd = f x Fref (16)
Onde:
Fref são solicitações que atuam na estrutura.
f é o coeficiente que pode assumir o valor de g ou q
De acordo Camara et al (2015), os domínios de deformações são utilizados
para o dimensionamento das peças estruturais no estado limite último. Sendo estes
domínios apresentados na figura 6 e descritos em seguida.
Figura 6 – Distribuição das deformações admissíveis no estado limite último

Fonte: COMITÊ EUROPEU DE NORMALIZAÇÃO, 2010, p.95

 33

“Zona 1 – Tração com pequena excentricidade

Zona 2 – Tração e compressão com grande ou média excentricidade
Zona 3 – Tração e comp. Com grande ou média excentricidade
Zona 4 – Compressão com média ou pequena excentricidade
Zona 5 – Compressão com pequena excentricidade” (CAMARA et
al,2014, P.226).
Dessa forma o dimensionamento realizado na zona de deformação 3 proporciona o
melhor aproveitamento e desempenho do concreto e aço na seção (CAMARA et
al.,2014).
É valido lembrar que os coeficientes de segurança utilizados em Portugal são
maiores, quando comparados aos coeficientes utilizados no Brasil, tornando assim a
norma Portuguesa mais conservadora no que tange a segurança, garantindo uma
probabilidade de ruína / falha menor.

3.3 Viga

3.3.1 Dimensionamento das vigas – NBR 6118

Em concordância com Araújo (2014), A seção retangular de armadura simples

é utilizada quando, o concreto é capaz de suporta inteiramente a tenção aplicada na
parte comprimida da seção, dessa forma fazendo-se necessária apenas a utilização
das armadura positivas (As), e dispensando-se a utilização das negativas (As’),
dessa forma é apenas utilizada a armadura mínima negativa com a finalidade
construtiva de porta estribo, na figura 7 é mostrado o equilíbrio de uma seção
retangular com armadura simples.
Figura 7 – Equilíbrio da seção retangular de armadura simples NBR.

Fonte: adaptado de Araújo, (2014)

 34

Onde:
x é a distância da linha neutra até a fibra mais comprimida;
y altura da zona comprimida;
As é a área de aço da armadura longitudinal tracionada (armadura positiva);
d é a altura útil a qual corresponde ao espaço entre o centro de gravidade da
armadura tracionada, até a fibra mais comprimida do concreto;
Md é o momento fletor de cálculo
Esta condição de armadura simples só poderá ser considerada quando a
altura da zona comprimida y, for menor ou igual a ymax, que é a altura da zona
comprimida no limite que separa as situações de dimensionamento para armadura
simples e armadura dupla, assim este é obtido adotando-se o menor valor entro o
ydutil e ylim que deveram ser determinados pelas equações a seguir:
ylim = λ [εcu Es / (fyd + εcu Es)] d (17)

ydutil = λ 0,45 d para concretos com fck ≤ 50MPa (18)

Assim fazendo-se a somatória das forças horizontais e a somatória dos

momentos no centro de gravidade das armaduras positivas, feito isto são obtidas as
seguintes equações.
ΣF = 0 0 = αc b fcd y – As fyd (19)

ΣMAs = Md Md = αc b fcd y (d – 0,5 y) (20)

Resolvendo as equações 17 e 18 obtemos:

As = (αc b fcd y) / fyd (21)

y = d – [d2 – (2 Md / αc b fcd)]1/2 (22)

De acordo com Zaquera, (2015), A seção retangular com armadura dupla é

utilizada quando a altura da zona comprimida y > ymax, esta condição acontecendo,
fixa-se o valor da profundidade da linha neutra igual a ymax, dessa forma é utilizada
um armadura negativa, As’, que aliada a armadura positiva, As, formaram um binário
para combater o momento solicitante, na figura 8 é mostrado o equilíbrio de uma
 35

seção retangular com armadura dupla, que servirá para o cálculo das equações que
definiram a posição da linha neutra e as áreas de aço utilizadas na seção.

Figura 8 – Equilíbrio da seção retangular de armadura dupla NBR.

Fonte: adaptado de Araújo, (2014)

A seguir foi realizado a determinação do momento fletor que a viga teria que
suporta no limite ymax, como se estivesse sendo calculada como armadura simples,
abaixo é mostrada a equação utilizada.

Md,lim = αc b fcd ymax (d – 0,5 ymax) (23)

Logo após foi feito o somatório das forças horizontais e os somatório dos
momentos no centro de gravidade das armadura tracionadas, assim obtém-se as
seguintes equações.
ΣF = 0 0 = αc b fcd ymax + As' 2 – As fyd (24)

ΣMAs = 0 Md = Md,lim + As' 2 (d – d') (25)

Em que 2 na armadura negativa terá que ser determinado utilizando-se o diagrama tensão-
deformação do aço, para isto deve ser calculada a deformação ε2 utilizando as formulas
apresentadas a seguir.

ε2 = [εcu (ymax – λ d')] / ymax (26)

 36

A seguir deverá ser confrontado o valor encontrado de ε2, com o valor de εyd.
Quando o valor de ε2 ≥ εyd, deve adotar a equação a seguir.
2 = fyd (27)
Caso contrário e ε2 < εyd , então deve-se utilizar a equação abaixo.
2 = ε2 Es (28)

Resolvendo as equações a isolando as áreas de aço positiva e negativa, obtemos as

seguintes formulas.
As’= (Md-Mdlim)/ 2(d-d’) (29)

As= (As’ 2 + αc b fcd ymax) / fyd (30)

A armadura longitudinal mínima é adotada com o intuito garantir a resistência

da seção a um momento fleto mínimo. Assim, esta quantidade mínima garante uma
segurança estrutural mínima, pois evita a ruptura brusca da seção na passagem do
concreto não fissurado para o concreto fissurado, caso o elemento venha a ser
solicitado por uma carga não prevista (PORTO; FERNANDES,2015).
Em conformidade com a ABNT (2014), É estipulado que armadura mínima
tracionada deve ser dimensionada através de uma seção submetida a um momento
mínimo calculada através da equação a seguir, respeitando o valor da taxa mínima
absoluta de 0,150%, apresentado na tabela 27.4 da norma:
Md,mín = 0,8W0 fctk,sup (31)
Onde:
W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra
mais tracionada;
fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração.
Ainda de acordo com a ABNT (2014), É encontrado um quadro com as taxas
de armaduras mínima em função da resistência do concreto, e especifica os
parâmetros que foram utilizados para a elaboração deste quadro e que para utilizar
este quadro estas especificações devem ser atendidas. A seguir são apresentadas,
no quadro 5, as taxas mínimas de armadura para seções retangulares.
 37

QUADRO 5: Taxas mínimas da armadura de flexão ρmin (%) para seção retangular.

Fonte: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS,2014, p.130

Assim, a área de aço longitudinal de flexão mínima é calculada pela equação a

seguir:
As,min = Ac ρmin (32)

Onde:
Ac é a área da seção da viga.
ρmin é a taxa mínima de armadura.

Segundo Bastos (2015), A armadura máxima tem como intuito que a seção
apresente uma boa ductilidade. Dessa forma, garante-se que a seção da viga não
tenha uma ruptura abrupta. Em função disso, a norma limita que a soma das
armaduras positivas e negativas tenham uma área total não superior a 4% da área
total da seção da viga, dessa forma a equação da área de aço máxima é:
As,max = 0,04 Ac (33)

Ainda em conformidade com Bastos (2015), a armadura de cisalhamento é

responsável por resistir, em conjunto com o concreto onde é necessário fazer a
verificação das bielas de compressão, o esforço cisalhante ao qual a viga está
sujeita. A norma Brasileira permite que se calcule a área de aço através de dois
métodos, os quais serão apresentados em seguida.
O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45° em relação
ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela
complementar Vc tenha valor constante, independentemente de V sd, assim a
determinação da armadura transversal ocorre segundo a equação a seguir:
 38

Asw/s = 100 (Vsd – Vc) / 0,9 d fywd (34)

Onde fywd ≤ 43,5 kN/cm²
Vc = 0,009 fck2/3 bw d (35)

No Modelo II a NBR 6118 admite que o ângulo de inclinação das diagonais de

compressão θ varia entre 30º e 45º e que a parcela complementar Vc sofre redução
com o aumento de VSd. Ao admitir ângulos θ inferiores a 45 a norma adota a
chamada “treliça generalizada”, adiante são mostrada as equações utilizadas para o
cálculo da área de aço utilizado nesse modelo.
Asw/s = (Vsd – Vc) / ( 0,9 d fywd (cotg  + cotg ) sen ) (36)

Utilizando os estribos a 90º e considerando que o ângulo da biela comprimida varie

de 30º a 40º, pode-se escrever a equação 36 da seguinte forma.
Asw/s = (Vsd – Vc) / 0,9 d fywd cotg  (37)
Onde fywd ≤ 43,5 kN/cm²

Na flexão simples e flexo-tração o Vc = Vc1,para se determinar Vc1, a norma traz duas

condições, apresentadas a seguir.
Vc1 = Vc0 se VSd ≤ Vc0 (38)
Vc1 = 0 se VSd = VRd2 (39)
Configurando-se a condição 1 a equação da determinação de Vc para concretos da
classe I é mostrada a seguir:
Vc = 0,009 fck2/3 bw d (40)
De acordo com ABNT (2014), É estipulada uma armadura mínima transversal
sendo esta constituída por estribos, adiante será mostrada a formula para obtenção
da taxa mínima da área de aço.
ρsw = Asw / s bw sem  ≥ 0,2fct,m / fywk (41)
Utilizando os estribos a 90º, e isolando a área de aço mínima temos:
Asw,min = 0,2 s bw fct,m / fywk (42)
No que tange ao espaçamento mínimo entre os estribos, a norma traz que a
menor dimensão entre eles deve permita a passagem da agulha do vibrador,
introduzindo uma folga de 1 cm, para garantir um bom adensamento da massa,
 39

dessa forma o espaçamento mínimo é calculado do a formula a seguir (PORTO;

FERNANDES,2014).
Smin = Фvibr + 1 cm (43)
Ainda conforme Porto; Fernandes (2014), o espaçamento máximo, deve
atender duas condições impostas pela norma, assim o maior valor absoluto do
espaçamento máximo entre os estribos varia de 20 a 30 cm, como pode ser
observado nas condições a seguir.
Vd ≤ 0,67 VRd2, então Smáx = 0,6 d ≤ 30 cm (44)
Vd > 0,67 VRd2, então Smáx = 0,3 d ≤ 20 cm (45)

Em concordância com Araújo (2014), verificação do momento resistente de

uma viga é um caso onde as dimensões e as áreas de aço já são conhecidas,
também já se conhece as posições de cada elemento na seção, além disto é sabido
as resistências dos matérias, mas entretanto não se sabe se as armaduras atingiram
a tensão de cálculo f yd, como nessa etapa o já se é conhecido todos os elementos
da seção é necessário se verificar em qual domínio a seção foi dimensionada para
se calcular corretamente o momento último resistente

Para se verificar em qual domínio a seção da viga foi dimensionado é preciso

se determinar a profundidade da linha neutra, na condição balanceada xb, a qual é
dada pela expressão adiante:
xb = (u/(u+y)) d (46)

Para que a ruptura ocorra no domínio 2 ou 3 a linha neutra (x) deverá ser
menor ou igual a xb, sendo a linha neutra obtida pela equação a seguir:
x = As fy /  b c (47)
Então se verificado que a condição x ≤ xb foi atendida a ruptura da seção ocorrerá
entre os domínios 2 e 3. Caso a condição não seja atendida, deverá se calcular a
profundidade da linha neutra por outra equação mostrada abaixo, pois a ruptura
dessa seção se dará no domínio 4.
x = -As Es u + (As Es u (As Es u + 4  b d c)) / (2  b c) (48)
De posse do valor da profundidade da altura útil é possível determinar o momento
último resistente pela equação adiante.
 40

Mu =  b x (d - 0,5  x) c (49)

3.3.2 Dimensionamento das vigas – NPEN 1992-1

Em harmonia com Camara et al. (2014), dimensionamento da seção

retangular simplesmente armada, é calculada pelo Eurocódigo 2. De forma similar
ao Brasil, em Portugal também é utilizado o diagrama retangular simplificado, como
é mostrado na figura 9, são mostradas as expressões utilizadas para o cálculo da
área de aço (As).
Figura 9 – Equilíbrio das forças de uma seção retangular de armadura simples EC2.

Fonte: CAMARA et al,2014, p. 34

Fazendo o equilíbrio da seção, através da somatória das forças horizontais e o

somatório dos momentos obtém-se as seguintes expressões.
ΣF = 0 0 = α b fcd 0,8x – As fyd (50)
MAs = Msd Msd = α b fcd 0,8x (d – 0,4x) (51)
Daí é obtida a equação para se determinar a profundidade da linha Neutra, e depois
será feita a verificação de ductibilidade através da condição k.
x = (d – [d²-(1,6 Msd / α b fcd 0,8)]1/2) / 0,8 (52)
Se k < 0,5 a seção será simplesmente armada caso contrário a seção será
duplamente armada.
k=x/d (53)
Caso a condição anterior seja atendida segue-se o dimensionamento da
seção simplesmente armada, sendo a área de aço negativa dada pela equação:
As = α b fcd 0,8x / fyd (54)
 41

Em conformidade com Appleton et al. (2014), caso o dimensionamento

solicite uma seção duplamente armada, a área da armadura de compressão é
calculada com a mesma hipótese adotada pela norma Brasileira, sendo o momento
resistente composto pela soma de duas parcelas: a primeira parcela é referente ao
binário formado pela força de compressão resultante das tensões no concreto e a
força de tração na armadura, em que a profundidade da linha neutra 𝑥 atinge o valor
limite admissível para esse parâmetro. A segunda parcela corresponde ao momento
provocado pela força de compressão na armadura negativa equilibrada por uma
força de tração na armadura positiva. A seguir é mostrado, na figura 10, o equilíbrio
das forças na seção retangular duplamente armada de acordo com o Eurocódigo 2.

Figura 10 – Equilíbrio das forças de uma seção retangular com armada dupla EC2

Fonte: CAMARA et al,2014, p. 41

Sendo o equilíbrio da seção feito pela somatória das forças horizontais e a somatória
dos momentos:
ΣF = 0, 0 = fc + fs2 - fs1 (55)
ΣMAs1 =0, Msd =  fcd b x (d - x) + 2 As2 (d – d2) (56)
Tomando que s2≥yd logo tem-se que:
s2 = fyd (58)
Caso contrario
s2 = s E (59)
Assim, as equações para o cálculo da área de aço das armadura positiva e negativa
podem ser simplificadas em:
As2 = (Msd -  fcd b x (d - x)) / (2 (d – d2)) (60)
 42

Onde:
 = (∫ c y dA) x / (∫ c dA) (61)
 = (∫Ac c dA) fcd / b x (62)
Área de aço positiva:
As1 =  fcd b x / 2 As2 (63)

A área de aço mínima da armadura longitudinal que deve ser adotada em

uma viga, é definida no EC2, é dada pela seguinte expressão:
As,min = 0.26 (fctm/fyk) bt d (64)

Já a área máxima da armadura longitudinal é dado pelo Eurocódigo2 pela

seguinte expressão:
As,máx = 0.04 Ac (65)

Diferente da norma Brasileira, a norma Portuguesa apresenta apenas um

modelo de cálculo para o esforço de cisalhamento que, assim como no Brasil, é
baseado na treliça de Mörsch. Assim sendo, o modelo baseado na treliça
generalizada de Mörsch admite ângulos para as escoras de concreto entre 45º e
21,8º e para os tirantes entre 45º e 90º. Assim, as tensões de compressão no
concreto correspondem às escoras e os estribos, por se encontrarem tracionados
comportam-se como tirantes. Com este sistema em funcionamento se faz com que
as cargas aplicadas sejam transmitidas à parte inferior da peça, devido às tensões
de compressão no concreto, sejam novamente transmitidas para a parte superior
devido à armadura, repetindo-se este funcionamento até que todos os esforços
estejam transferidas para os apoios, sendo os esforços transversais dados por
(CACHIM; MORAIS, 2016).
VEd ≤ VRd (66)
Em que:
VEd é o valor de cálculo do esforço de cisalhamento na seção considerada resultante
das ações exteriores.
VRd é o valor de cálculo do esforço transverso resistente na seção.
 43

Sendo a área de aço da armadura de cisalhamento calculada pela expressão a

seguir:
Asw / s = VEd / (z fywd (cotθ + cot) sen) (67)
Onde:
Asw é a área da seção transversal das armaduras de cisalhamento;
s é o espaçamento dos estribos;
fywd é o valor de cálculo da tensão de cedência das armaduras de esforço
transverso;
z é o braço do binário das forças interiores, z = 0,9d quando não houver esforço
normal
 é o ângulo formado entre a armadura de cisalhamento com o eixo da viga;
θ é o ângulo formado entre a “escora” comprimida do concreto com o eixo da viga;
Sendo:
1 ≤ cot θ ≤ 2,5 ⇒ 45° ≥ θ ≥ 21,8° (68)
De acordo com a NP EM 1992-1 (2010), armadura de cisalhamento mínima, é
quantificada através da imposição de uma percentagem em cima da armadura
longitudinal, dada, pela expressão:
ρw = Asw / (s bw sen) (69)
Não podendo a taxa de armadura de cisalhamento, ρw, ser menor que a taxa
mínima de armadura de cisalhamento ρw,min.
ρw,min = 0,08 (fck)1/2 / fyk (70)
Continuamente em conformidade com NP EN 1992-1 (2010), O espaçamento
máximo longitudinal entre os estribos deve obedecer a expressão apresenta a
seguir:
S1,max = 0,75d (1 + cot ) (71)

A verificação do momento resistente de uma seção, é problema onde já são

conhecidas as dimensões, as resistências dos materiais e as áreas de aço, e se faz
necessário conhecer em qual o momento a seção da viga chega à ruptura, para se
determinar o momento resistente se faz necessário calcular a profundidade da linha
neutra assim adiante deste valor encontrar o momento resistente, sendo estes
determinados utilizando a expressão (CAMARA et al, 2014).
x = (As1 fyd) / (Ac fcd) (72)
 44

MRd = As1 fyd (d - 0,4x) (73)

Para se obter o momento resistente por esta formula, a condição de que x ≤ 0,62d
para aço S500 e x ≤ 0,67d para o aço S400

3.4 Pilar

3.4.1 Dimensionamento dos pilares – NBR6118

Em harmonia com a ABNT (2014), as imperfeições geométricas dos pilares

podem ser classificadas em imperfeições globais e locais. A imperfeição global
advém do desaprumo da edificação e está é considerada no cálculo dos pilares de
contraventamento. Já as imperfeições locais decorrem do desaprumo entre dois
andares consecutivos. Esta imperfeição é introduzida no cálculo do pilar
contraventado através de uma excentricidade e dessa forma é gerado um momento
de 1 ordem que é calculado através da fórmula fornecida pela norma apresentada
abaixo.
M1d,min = Nd (0,015 + 0,03 h) (74)
Sendo:
h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros (m)
Para pilares de seção retangular a norma traz em favor da segurança uma envoltória
mínima de primeira ordem apresentada na figura 11 representação da envoltória de
1ª ordem

Figura 11 – Envoltória de 1ª ordem

Fonte: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS,2014, p. 61

 45

Considera-se atendida a verificação da imperfeição local se o valor do

momento mínimo de primeira ordem for respeitado, isto para estruturas reticuladas
usuais. A este momento, quando necessário, deve-se adicionar do momento de
segunda ordem.

Conforme Zaquera (2015), os efeitos de segunda ordem são gerados após a

deformada da estrutura gerando dessa forma um segundo momento, chamado de
momento de 2ª ordem, sendo dispensada a consideração do feito de segunda ordem
quando o índice de esbeltez () é menor que o índice de esbeltez limite (1), a seguir
é mostrada as equações utilizadas para o cálculo dos referidos índices.

 = le / i (75)
Sendo:
le o comprimento do pilar;
i o raio de giração mínimo da seção transversal.
1 = [25 + 12,5 (e1 / h)] / αb (76)
Onde:
αb para pilares biapoiados e sem carga transversal, varia entre 0,4 e 1;
h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo.
e1 é o valor da excentricidade de primeira ordem.

A norma limita que o valor do índice de esbeltez limite (1) esteja no intervalo de 35 e
90

Para se determinar o efeito de segunda ordem a norma Brasileira apresenta o

método exato, denominado de método geral, Este consiste na análise não linear,
onde a barra é discretizada de forma adequada, e a esta são aplicadas as condições
da relação momento-curvatura. A norma ainda apresenta três métodos aproximados,
são eles o método do pilar-padrão de curvatura aproximada, método do pilar-padrão
com rigidez k aproximada, método do pilar-padrão acoplado a diagramas M, N , 1/r.
A utilização de cada um dos métodos está relacionada à esbeltez do pilar. A
obrigatoriedade de consideração dos efeitos de segunda ordem está também
 46

relacionada à esbeltez do elemento, podendo, em alguns casos, ser dispensada a

sua verificação, como é mostrado no quadro 6 (ARAÚJO, 2015).

QUADRO 6: Resumo das condições para a utilização dos métodos na verificação

dos efeitos de 2ª ordem.
Método de cálculo
Consideração do Aproximado

efeito de 2ª ordem Geral (diagramas M, N Simplificado
e 1/r))
≤ 1 Dispensável
≤ 90 Obrigatória Dispensável Permitido Permitido
≤ 140 Obrigatória Dispensável Permitido Não permitido
≤ 200 Obrigatória Obrigatória Não permitido Não permitido

 > 200 não é permitido pela norma

Fonte: adaptado da NBR6118/2014

Como visto no quadro anterior, o método do pilar-padrão com curvatura

aproximada só poderá ser empregado em pilares que possuam o índice de esbeltez
90 e também possua uma seção constante e armadura simétrica constante ao
longo de seu eixo. Neste método, a não linearidade geométrica é levada em
consideração de modo aproximado supondo que a deformação na barra seja
senoidal. Já a não linearidade física é ponderada por meio de uma expressão
aproximada da curvatura crítica, e assim o momento total máximo deverá ser obtido
através da equação adiante. (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS
TÉCNICAS, 2014):
Md,tot = αb M1d,A + Nd (le2 / 10) (1 / r) ≥ M1d,A (77)
Sendo 1/r a curvatura na seção crítica que pode ser avaliada pela equação
aproximada a seguir:
1 / r = 0,005 / [h (ѵ + 0,5)] ≤ 0,005 / h (78)
Onde:
ѵ = Nd / (Ac fcd) (79)
Onde:
h é a altura da seção na direção considerada;
 47

ѵ é a força normal adimensional;

M1d,lim é o momento mínimo de 1ª ordem.

Como visto na quadro 6 a norma Brasileira só permite a utilização do método

do pilar-padrão com rigidez k aproximada em pilares que possuam o índice de
esbeltez 90 e além disso possua uma seção constante e armadura simétrica
constante ao longo de seu eixo. Neste método, a não linearidade geométrica é
levada em consideração de modo aproximado supondo que a deformação na barra
seja senoidal. Já a não linearidade física é ponderada por meio de uma expressão
aproximada da rigidez, e assim o momento total máximo deverá ser obtido através
da equação adiante (BASTOS, 2017).
Md,tot = αb M1d,A / {1 – [λ² / 120 (k / ѵ)]} ≥ M1d,A (80)
Sendo a rigidez adimensional, k, determinada, de maneira aproximada pela equação
a seguir:
kaprox = 32 [1 + 5 (MRd,tot / h Nd)] ѵ (81)

De acordo com Araújo (2014), para efeito de dimensionamento o MRd,tot =

MSd,tot. Já para um problema de verificação, onde a armadura é conhecida, MRd,tot é
considerado como sendo o momento resistente de cálculo determinado por esta
armadura e com Nd = NSd = NRd.
Para o dimensionamento deste processo aproximado, utilizando um cálculo
direto, chegamos à seguinte situação:
Md,tot = [–B + (B² – 4 A C)1/2] / 2 A (82)
Onde:
A=5h (83)
B = h² Nd – (Nd le2 / 320) – 5 h αb M1d,A (84)
C = –Nd h² αb M1d,A (85)

A norma Brasileira ABNT NBR 6118 (2014, p. 110), diz que:

“A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em
pilares com  ≤ 140 pode ser feita pelo método do pilar-
padrão ou pilar-padrão melhorado, utilizando-se para a
curvatura da seção crítica os valores obtidos de
diagramas M, N, 1/r específicos para o caso.”
 48

As armaduras dos pilares são simétricas pois com a interação das

deformadas da estrutura os esforços solicitantes podem mudar, necessitando assim
que o pilar também suporte está carga em outra direção, dessa forma o pilar é
dimensionado pela flexão normal composta, através das formulas a seguir (PORTO;
FERNANDES, 2015).
Para o primeiro caso são utilizadas as seguintes formulas.
K = Nd (d – 0,5h) + Md / fc b d² (86)
Onde: fc =  fcd
Para os valores de k’ deve se seguir a condição K ≤ KL usar K’ = K caso contrario, K’
= KL.
As = As1 + As2 (87)
As1 = (fc b d (1 – [1 - 2k’]1/2) – Nd) / fyd (88)
As2 = (fc b d / fyd) (k - k’ / (1 - d’/d) (89)
A’s = As2 / ø (90)
Caso As < 0 ir para o segundo caso
y/d’ consultar tabela de ø que encontra-se no anexa B
x = (1 – [1 – 2k’]1/2) d/0,8
k < 0 ir para o quarto caso
Para o segundo caso são utilizadas as equações:
y = d’ + (d’² + 2 [Nd {0,5h – d’} – Md / {fc b} ])1/2 (91)

A’s = (Nd – fc b y) / (ø fyd) (92)

Caso:
y>h ir para terceiro caso
A’s <0 adotar armadura mínima
Terceiro caso utiliza-se as expressões:
As = (Nd – fc b h) (0,5h – d’) - Md / ø fyd (d - d’) (93)
As = (Nd – fc b h) (d – 0,5h) + Md / ø fyd (d - d’) (94)
Quarto caso serão utilizadas as seguintes equações:
As = Nd (0,5h –d’) + Md / fyd (d – d’) (95)
As = Nd (d - 0,5h) - Md / fyd (d – d’) (96)
 49

A menor dimensão da seção transversal (b) de um pilar deve ser de 19 cm.

Em condições especiais, é admitido reduzir este valor até o máximo de 14 cm,
desde que os esforços solicitantes sejam acrescidos de um coeficiente de adicional
(n) adiante são apresentados estes coeficientes no quadro 7. Porém não são
admitidos pilares com área de seção transversal menor que 360 cm² (ABNT, 2014).

QUADRO 7: Valores do coeficiente adicional (n) para pilares pelas dimensões.

Fonte: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS,2014, p.73

Casa a dimensão desejada não esteja na figura anterior é possível calcular o

coeficiente adicional pela formular adiante.
n = 1,95 – 0,05 b (97)

Em harmonia com Araújo (2014), a área da armadura longitudinal mínima dos

pilares deve ser determinada pela expressão a seguir.
As,mín = (0,15 Nd / fyd) ≥ 0,004 Ac (98)

Já a área da armadura longitudinal máxima dos pilares é determinada pela

equação a seguir.
As,máx = 0,08 Ac (99)

De acordo com Bastos (2017), as armaduras transversais têm como principal

função de impedir a flambagem das armaduras longitudinais e garantir o correto
posicionamento das mesmas.
As barras dos estribos devem ter diâmetro maior ou igual a 5 mm ou ¼ do
diâmetro das armaduras longitudinais.
 50

Já no espaçamento entre os estribos deve-se adotar o menor valor entre 200

mm, a menor dimensão da seção e 12 vezes o diâmetro da barra longitudinal para
aço CA-50.

3.4.2 Dimensionamento dos pilares – NPEN 1992-1

De acordo com Appleton (2013), em Portugal, as imperfeições geométricas

são classificadas como global e local, assim como no Brasil. Esse efeito pode ser
considerado em elementos isolados de forma simplificada, por meio de uma
excentricidade inicial ou uma força horizontal, sendo a excentricidade calculada
pelas expressões:
ei = θi l0 / 2 (100)
Sendo que:
θi = θ0 h m (101)
E para elementos isolados, em estrutura contraventadas
ei = l0 / 400 (102)
θ0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200
h representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do
elemento (h = 2 / (l)1/2 e 2/3 ≤ h ≤1);
m representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos
verticais existente na estrutura (m = 0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número de
elementos verticais).
Sendo a consideração das imperfeições geométricas realizada através da
força horizontal é dada pelo equações a seguir, com a condição que esta força deve
ser aplicada na posição do maior esforço fleto.
Elementos não contraventados:
Hi = N θi (103)
Elementos contraventados:
Hi = 2 N θi (104)

Os efeitos de 2ª ordem surgem na estrutura após a estrutura ser deformada

gerando dessa forma um segundo momento, chamado de momento de 2ª ordem,
sendo dispensada a consideração do feito de segunda ordem quando a condição
abaixo é atendida (CACHIN; MORAIS, 2016).
 51

 ≤ lim = 20 A B C / (v)1/2 (105)

 = l0 / i representa o coeficiente de esbelteza;
i representa o raio de giração da seção transversal;
A = 1 / (1 + 0.2 ef) (se ef for desconhecido pode adotar-se A = 0.7);

B = (1 + 2) (se  for desconhecido pode adotar-se B = 1.1);

C = 1.7 - rm, (rm = M01/M02, quando não for conhecida estas parcelas, rm = 0)
v = Nsd / (Ac fcd) e representa o esforço normal reduzido

Para se determinar o efeito de 2º ordem a norma Portuguesa, assim como a

Brasileira, apresenta o método exato denominado de método geral. Este consiste na
análise não linear da estrutura, onde é considerada a não linearidade geométrica da
deformada da estrutura, além de ser considerada a não linearidade física dos
materiais. A norma Portuguesa ainda apresenta dois métodos simplificados para a
determinação do efeito de segunda ordem, são eles o método do curvatura nominal
e método da rigidez nominal. A seguir são apresentados os métodos simplificados
(CAMARA et al., 2014).
O método da curvatura nominal consiste em estimar a curvatura (1/r) na
seção com maior esforço para efeitos do cálculo da deformada de 2ª ordem da
estrutura a partir da qual é calculado o momento de 2ª ordem o qual é obtido através
da expressão a seguir.
e2 = (1/r) (l0 / c) (106)
Sendo c um fator que depende da distribuição da curvatura ao longo do elemento.
Normalmente adopta-se c = 10.
A curvatura (1/r) pode ser determinado pela equação adiante.
1/r = Kr K (107)
Kr representa um fator correção que leva em consideração o nível de esforço axial;
K representa um coeficiente destinado a leva em consideração o efeito da fluência;
1 / r0 representa a curvatura base.
1 / r0 = yd / 0,45d (108)
Kr = (u –) / (u - bal) (109)
u = 1 + , com  = As fyd / (Ac fcd)
bal representa o valor do esforço normal reduzido na zona do momento máximo
resistente (em geral, v bal = 0.4);
 52

 representa o valor do esforço normal reduzido; sendo v = (Nsd / Ac fcd)

K = 1 + ef (110)
Onde:
ef =  (t, t0) (Mocqp / M0sd) (111)
 = 0.35 + (fck / 200) – ( / 150) (112)
Sendo determinada a excentricidade e2 é possível determinar o momento de 2ª
ordem pela expressão:
M2 = N e2 (113)
Segundo Appleton (2013), o método da rigidez nominal consiste em estimar a
rigidez à flexão EI do elemento estrutural a qual é utilizada na análise linear de 2ª
ordem, para determinar o momento de segunda ordem, o qual pode ser obtido pela
seguinte equação (CEN, 2010).
EI = Kc Ecd Ic + Ks Es Is (114)
Em que:
Ecd valor de cálculo do módulo de elasticidade do concreto, (Ecd = Ecm/cE, com cE =
1.2);
Ic momento de inércia da seção transversal de concreto;
Es módulo de elasticidade do aço das armaduras;
Is momento de inércia das armaduras, em relação ao centro da área de concreto;
Kc coeficiente que leva em consideração os efeitos da fissuração e da fluência;
Ks coeficiente que leva em consideração a contribuição das armaduras, (Ks = 1).
Em que:
Kc = k1 k2 / (1 + ef) (115)
Sendo que:
k1 é um coeficiente que depende da classe de resistência do concreto: (k1 =(fck /
20)1/2)
k2 é um coeficiente que depende do esforço normal e da esbelteza: (k2 =   / 150)
Assim o momento de segunda ordem pode ser obtido por:
M2 = (M0) / ((Nb/N) - 1) (116)
Sendo:
M0 momento de 1ª ordem (M0 = NSd e1)
Nb = 2 EI / l02
 53

Em conformidade com Barros e Figueira (2010), Para o cálculo das

armaduras do pilar são utilizadas as equações demostradas a seguir com estas, são
obtidos o momento fletor reduzido, e os esforço normal reduzido, sendo estes
determinados é possível terminar através de tabelas o percentual de armadura (),
no caso de pilares são adotadas armaduras simétricas pois existe a possibilidade da
inversão dos momentos para diferentes combinações das ações.
 = Mrd / b h² fcd (117)
 = Nrd / b h fcd (118)
As =  b h (fcd / fyd) (119)
A tabela para se determinar o percentual de armadura () é encontrada no anexo A

As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de

aço utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a
seguinte expressão (CAMARA et al., 2014):
As,mín = (0,10 Nsd) / fyd ≥ 0,002 Ac (120)
A quantidade máxima de armadura é dada por sua vez por:
As, máx = 0.04 Ac (121)
Diferentemente da norma Brasileira, a Portuguesa traz que o diâmetro mínimo
para a armadura longitudinal igual 8 mm enquanto a nacional traz que a menor bitola
a ser utilizada em pilares é de 10 mm.

Segundo o CEN (2010), a armadura transversal tem funções importantes no

pilar, como a de garantir a posição das armaduras durante a concretagem, impedir
que as armadura flambem, resistir ao esforço transverso que neste caso é
constante, assim o espaçamento máximo é dado pela expressão a seguir
smáx = min (20 øL,menor; bmin; 40 cm) (122)
já o diâmetro mínimo dos estribos é dado pela expressão abaixo.
øcinta = max (6 mm; 0.25 øL,maior) (123)
 54

3.5 Laje

3.5.1 Dimensionamento das lajes - NBR 6118

As lajes maciças são divididas em duas categorias, as lajes armadas em uma

direção e as lajes armadas em duas direções, diferenciando-se que na laje armada
em uma direção apenas é dimensionada a área de aço no sentido do menor vão,
sendo a armadura do maior vão conhecida como armadura de distribuição é apenas
adotada, pois o momento no maior vão é pequeno e não é necessário se realizar o
cálculo da área de aço. Já as lajes armadas em duas direções são dimensionadas
as armadura nas duas direções, pois os momentos atuantes nas duas direções são
importantes e portanto estes devem ser calculados. Embora a norma não delimite
quando se deve dimensionar uma laje armada em um ou duas direções, comumente
é boa pratica utilizar o parâmetro abaixo para de delimitar a adoção de um dos
sistemas de cálculo (ARAÚJO, 2014).
Para as lajes armada em uma direção é necessário satisfazer a condição:
b/a > 2 (124)
Para lajes armada em duas direções é necessário obedecer a condição:
1 ≤ b/a ≤ 2 (125)
Onde:
a é a menor dimensão da laje.
B é a maior dimensão da laje.

A laje armada em uma direção é dimensionada considerando a flexão na

direção do menor vão, sendo adotando que o modelo de cálculo da laje será uma
viga com largura constante. Dessa forma, o momento que se deseja conhecer é o do
sentido do menor vão. Para se adotar tal modelo de cálculo, é necessário conhecer
qual tipo de vinculação a laje terá com o seus apoios. Estas vinculações são
encontradas vistas na figura 12 a seguir (BASTOS, 2015)
 55

Figura 12 – Vinculações em lajes e simplificação em viga

.
Fonte: adaptado de Bastos,2015
Sabendo-se dessas simplificações em vigas e os tipos de vinculação nos
apoios é possivelmente montar um quadro contendo as fórmulas para a obtenção
dos momento fletores e as reações de apoio, que será apresentado no quadro 8.
QUADRO 8: Momento máximo e reações de apoio para laje armada em uma
direção.

Fonte: adaptado de Araujo,2014

O cálculo da área da armadura longitudinal é realizado da mesma maneira

que em vigas, assim como foi demostrado no item 3.3 deste trabalho, aplicando-se o
 56

momento solicitante determina-se a armadura longitudinal necessária a ser disposta

no menor vão da viga (ZAQUERA, 2015).
A laje de armadura dupla, diferente da laje armada em uma direção, necessita
ser dimensionada nas duas direções independentemente calculadas sendo estas
duas armadura principais (CARVALHO; FIGUEIREDO, 2015).

Os momentos máximos nas lajes para o dimensionamento das armaduras

podem ser obtidos através da análise do regime rígido-plástico.

A determinação do momento máximo realizado pelo método rígido plástico a

verificação é realizada no estado limite último. Neste método as lajes armadas em
duas direções são divididas em isótropas e ortótropas esta divisão é apresenta junto
as formulas para o cálculo do momento máximo a seguir.

São classificadas como lajes isótropas as lajes armadas em duas direções

que possuam a relação dos vãos a/b no intervalo entre 0,8 e 1, sendo está
caracterizada por apresentar momentos iguais em ambos os vãos, isto posto as
armaduras terá a mesma área em ambas as direções, para o cálculo do momento é
apresentado a expressão:
M = p ar br / 8 [1 + (ar / br ) + (br / ar)] (126)
Onde:
p é a carga superficial;
ar br são os vãos reduzidos
Sendo que:
ar = 2 a / (1+i2)1/2 + (1+i4)1/2 (127)
br = 2 b / (1+i1)1/2 + (1+i3)1/2 (128)
Onde:
i = 0 para apoio simples e i = 1,5 para engaste.
i é o coeficiente de engastamento, sendo numerado a partir de i1 começando pelo
menor vão.

O cálculo da área da armadura longitudinal, é realizado utilizando-se a

mesma marcha de cálculo da viga, assim como foi demostrado no item 3.3,
 57

aplicando-se o momento (Ma = Mb = M) determina-se a armadura longitudinal como

neste caso as armaduras são simétricas, estas são dispostas em ambos os vãos.

Segundo Araújo (2014), sendo estas lajes o oposto das isótropas, as

ortótropas possuem momentos diferentes para cada vão, com isto implica que as
áreas das armadura nas duas direções serão diferentes, a seguir é apresentado a
expressão para o cálculo do momento.
M = p ar br’ / 8 [1 + (ar / br’ ) + (br’ / ar)] (129)
Em que:
p é carga superficial
ar é o vão reduzido calculado pela equação (111).
br’ é o vão reduzido calculado pela equação (112), dividido pela raiz quadrada do
coeficiente de ortótropa ().
 = [(12 – i2 – i4) / (12 – i1 – i3)] (a / b)1,7 (130)
br’ = br / 1/2 (131)
Sendo o resultado dos momento nas direções dos vãos dados pela expressão:
Ma = M e Mb =  M (132)

O cálculo da área da armadura longitudinal, é realizado em duas etapas, onde

a primeira é calcular as armaduras para o menor vão utilizando o momento (Ma)
seguindo a mesma marcha de cálculo feito em vigas vista no item 3.3. Dessa forma
é obtida a área de aço a ser distribuída no menor vão da laje. Depois é feita a
segunda etapa, que consiste em aplicar o mesmo método da primeira etapa
mudando apenas o momento a ser utilizado (Mb). Assim se determina a armadura
longitudinal necessária a ser disposta no maior vão da laje (ZAQUERA, 2015).

Segundo a ABNT (2014), o maior espaçamento entre as barras das

armaduras de lajes devem obedecer a o menor entre os seguintes valores.
Smax = 2 h ou Smax = 20 cm (133)
Onde h é a altura da seção transversal.
 58

A armadura longitudinal mínima das lajes é determinada da mesma forma em

que é encontrada a área de aço mínima para vigas com algumas ressalvas
apresentadas abaixo (BASTOS,2015).

QUADRO 9: Taxa de armadura mínima para lajes.

Amadura
Armaduras
Armaduras positiva
negativas de Armadura
Armadura positivas de (principal) p/
Armadura laje de bordas de
negativas laje armada Laje armada
sem distribuição
em cruz em uma
continuidade
direção
As/s ≥ 20%
da
Valores
armadura
mínimos
ρs ≥ ρmín ρs ≥ 0,67 ρmín ρs ≥ 0,67 ρmín ρs ≥ ρmín principal,
das
ρ ≥ 0,5 ρmín,
armaduras
As/s ≥ 0,9
cm²/m
Fonte: adaptado de ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 2014, p. 158

A norma Brasileira traz os limites mínimos paras as lajes em função da sua

utilização dessa forma é apresentado abaixo estes valores.
7 cm para cobertura não em balanço;
8 cm para lajes de piso não em balanço;
10 cm para lajes em balanço
10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual que 30 kN
12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN.

3.5.2 Dimensionamento das lajes - NPEN 1992-1

As lajes são classificadas em função do comportamento estrutural que esta

apresenta em função dos tamanhos dos seus vãos, a laje armada em uma direção
possuem um comportamento unidirecional, já as armadas em duas direções
 59

possuem comportamento bidirecional, a seguir é visto a condição para se classificar

a laje armada em uma ou duas direções (COSTA et al., 2014).

Para laje armada em uma direção.

Lmaior / Lmenor ≥ 2 (134)

Para lajes armadas em duas direções

Lmaior / Lmenor ≥ 2 (135)

As lajes armadas em uma direção assim como no brasil, são simplificadas em

uma viga cujo os apoios depende da configuração de vinculação do menor vão,
sendo estas vinculações apresentadas anteriormente, na figura 13, que se encontra
no item 3.5.3. Dessa forma, a laje é calculada como uma viga, que tem uma base de
100 cm, gerando assim a armadura por faixa de metro, onde os momentos máximos
podem ser obtidos através do quadro 8 como visto anteriormente no item 3.5.3. A
armadura será colocada na direção do menor vão da laje e, na direção transversal,
deverá ser colocada uma armadura correspondente a 20% da armadura longitudinal
principal (APPLETON, 2013).

As lajes armadas em duas direções são calculadas também por faixa unitária,
porém com momentos aplicados nas duas direções, não havendo a predominância
de uma direção sobre a outra. Neste caso, deverão ser dispostas armaduras
longitudinais principais de flexão nas duas direções, respeitando ainda as
disposições de armadura construtivas presentes na norma (CACHIN; MORAIS,
2016).

A utilização do espaçamento máximo é imposto para que se garanta um

controle de fissuração e garante uma resistência local mínima, sendo este
espaçamento o menor entre os dois valores a seguir (CAMARA et al.,2014).
s ≤ min (1,5 h, 0,35 m) (136)
Onde não são recomendados valores maior que 25 cm

Já para as armadura de distribuição, o espaçamento máximo é de 35 cm

 60

A quantidade mínima para a armadura principal pode ser calculada pela

equação.
As,mín = 0,26 (fctm / fyk) bt d (137)
Onde bt é a largura média da zona tracionada

Já a quantidade máxima para a armadura é calculada pela expressão.

As,máx = 0,04 Ac (138)
Sendo Ac a área da seção do concreto
A armadura de distribuição é calcula como 20% da armadura longitudinal
principal, dada pela equação:

As,distrib = 0,002 As (139)

 61

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Nesta seção serão apresentados os resultados do dimensionamento dos

elementos estruturais e apresentadas as diferenças encontradas no processo de
cálculo realizado, quando se dimensiona o mesmo elemento estrutural, e mantendo-
se o mesmo carregamento solicitante. É visto que ocorrem em alguns casos
diferenças, os quais serão discutidos em cada subseção. O cálculo completo do
dimensionamento se encontra no apêndice A.

4.1 Viga isostática

Foi dimensionada uma viga isostática biapoiada, mostrada na figura 13,

sendo seu comprimento de 4,70 metros e sua seção transversal de 25 cm x 60 cm,
sendo utilizado um carregamento de 64 kN/m. Foram obtidos os momentos e os
esforços normais característicos através do software FTOOL, utilizando o modelo de
cálculo mostrado na figura 14. Em seguida foram convertidos em momentos e
esforços normais de cálculo, obedecendo aos coeficiente de segurança cada norma.
Seguindo a marcha de cálculo apresentada anteriormente, são obtidos os seguintes
resultados.

Figura 13 – Viga utilizada no dimensionamento.

Figura 14 – Viga utilizada no dimensionamento.

Fonte: FTOOL, versão 4.00.03 básica.

 62

A seguir são mostradas, no quadro 10, as áreas de aço para a armadura à

flexão das armaduras positiva e negativa. Além da área aço da armadura de
cisalhamento, determinada em ambos os dimensionamentos, neste quadro ainda é
calculada a diferença em percentual com relações em às armaduras obtidas em
cada norma.

QUADRO 10: Resultados obtidos nos dimensionamentos da viga.

VIGA NBR NPEN DIFERENÇA
NORMA
ISOSTATICA 6118:2014 1992-1:2010 (%)
POSITIVA (cm²) 13,31 14,7 9,5%
ÁREA DE AÇO NEGATIVA (cm²) 2,25 1,86 17,3%
CISALHAMENTO (cm²) 6,3 9,48 33,5%

A área de aço da armadura positiva obtida pelo dimensionamento dado pela

norma Portuguesa obteve uma diferença percentual de 9,5% em relação a área de
aço dada pela norma Brasileira. Já na armadura negativa, a norma Brasileira
apresentou-se mais conservadora com uma diferença de 17,3% com relação a área
de aço negativa encontrada pela norma Portuguesa. Na armadura de cisalhamento,
a norma Portuguesa volta a ser mais conservadora, apresentando um valor 33,5%
superior, em relação a armadura Brasileira.
Após o detalhamento das armaduras na seção transversal, é visto que as
áreas de aço das armadura positiva e negativa ficaram iguais para a mesma bitola
da armadura, apenas permanecendo a diferença na armadura de cisalhamento que
pode ser vista no quadro 11 abaixo:

QUADRO 11: Resultados obtidos após detalhamento da seção da viga.

VIGA NBR NPEN DIFERENÇA
NORMA
ISOSTATICA 6118:2014 1992-1:2010 (%)
POSITIVA (cm²) 15,71 0,0%
ÁREA DE AÇO NEGATIVA (cm²) 2,35 0,0%
CISALHAMENTO (cm²) 7,04 10,05 30,0%

Como visto no ponto anterior, quanto à armadura que combate o esforço

cortante, a norma Portuguesa se mantem mais conservadora no que diz respeito à
área de aço.
 63

Com o detalhamento final determinado, foi calculado o momento ultimo

resistente da seção transversal, mostrado no quadro 12.

QUADRO 12: Resultados obtidos após detalhamento da seção da viga.

NBR NPEN DIFERENÇA
NORMA
6118:2014 1992-1:2010 (%)
MOMENTO RESISTENTE (kN.m) 315,7 306,07 3,1%

Nota-se que nesta situação a norma Portuguesa se mantem mais

conservadora em relação a norma Brasileira, sendo esta diferença calculada em
3,1%. Esta diferença significa que, para a mesma seção, com a mesma armação, a
NBR 6118 :2014 considera um momento resistente da seção maior que a NPEN
1992-1:2010.

4.2 Pilar

No dimensionamento foi adotado um pilar de seção transversal de 30 cm x 30

cm, com uma altura de 3,05 m e uma carga de compressão de 1043,48 kN mostrado
na figura 15, sendo este pilar retirado do livro curso básico de concreto armado
(PORTO; FERNANDES, 2015)

Figura 15 – Pilar utilizado no dimensionamento.

Fonte: adaptado de PORTO; FERNANDES , 2015

 64

O dimensionamento deste pilar pela norma Brasileira se deu através de um

pilar curto, que é caracterizado quando o índice de esbeltez é menor que o índice de
esbeltez limite. Dessa forma, não é necessária a análise do efeito de segunda
ordem. Assim, foram consideradas as imperfeições geométricas aplicando o
momento de primeira ordem. Aplicando a carga normal de cálculo e o momento de
primeira ordem na flexão normal composta obteve-se a área de aço necessária,
sendo esta distribuída simetricamente na seção do pilar.
Já no dimensionamento do pilar utilizando a norma Portuguesa, foi observado
que houve a necessidade da análise do efeito de segunda ordem, sendo este
calculado considerando uma segunda excentricidade. Somando os momentos de
primeira e segunda ordem, obteve-se um momento total que, junto À carga normal
de cálculo, foram utilizados no dimensionamento realizado pela flexão composta.
Os resultados das áreas de aço encontrados pelo dois métodos de
dimensionamento apresentados são mostrados no quadro 13 apresentado a seguir:

QUADRO 13: Resultados obtidos no dimensionamento do pilar.

NBR NPEN DIFERENÇA

PILAR NORMA
6118:2014 1992-1:2010 (%)

ÁREA LONGTUDINAL (cm²) 5,05 3,6 28,7%

DE
AÇO TRANSVERSAL (cm²) 3,27 2,83 13,5%

Ainda é possível ver através do quadro 13 que a norma Brasileira mantém-se

mais conservadora na área de aço, dando um diferença de 28,7% na armadura
longitudinal e 13,5% na armadura transversal, quando comparada com as áreas de
aço obtidas pela norma de Portugal. Assim, a NBR 6116 apresentou uma taxa de
armadura maior para a mesma seção, sendo exercido o mesmo carregamento, após
o dimensionamento a situação permanece a mesma, mudando apenas a
percentagem da diferença de 28,7% para 25% como é misto no quadro 14.
QUADRO 14: Resultados obtidos após o detalhamento da seção do pilar.
NBR NPEN
PILAR NORMA DIFERENÇA (%)
6118:2014 1992-1:2010
ÁREA LONGTUDINAL (cm²) 6,28 4,71 25,0%
DE AÇO TRANSVERSAL (cm²) 3,27 2,83 13,5%
 65

A armadura transversal manteve-se inalterada pois é apenas adotada de acordo

com o espaçamento e diâmetro mínimo estabelecido pelas normas, como foi
mostrado anteriormente.

4.3 Laje

A laje dimensionada nesta seção, é apresentada na figura 16. As dimensões

são de 460 cm x 210 cm e uma espessura de 15 cm. A laje é carregada com uma
carga distribuída de 5,65 kN/m². São mostradas as vinculações adotadas no apoio.
Na figura 17 é mostrado o modelo de cálculo da viga utilizado para a determinação
das armaduras a ser utilizada na laje, sendo este modelo lançado no FTOOL e
extraídos os diagramas de momento fletor e diagrama do esforço cortante.

Figura 16 – laje utilizada no dimensionamento.

Figura 17 – Modelo de cálculo da viga para o dimensionamento da laje.

Fonte: FTOOL, versão 4.00.03 básica.

Assim como em viga, serão mostrados, no quadro 15, os resultados do

dimensionamento realizado para as vigas, as áreas de aço da armadura tracionada
 66

e comprimida, e é calculada a diferença percentual em relação às armaduras obtidas

em cada norma.
Como pode ser visto pelo modelo de cálculo, a viga estará sujeita a um
momento negativo e um momento positivo, sendo necessário realizar dois
dimensionamentos distintos para cada momento atuante, e correspondentes
esforços cortantes. Dessa forma, o quadro apresenta o resultado das áreas de aço
para cada momento separadamente.

QUADRO 15: Resultados do dimensionamento da laje

RESULTADOS OBTIDOS PARA O MOMENTO POSITIVO
NBR NPEN DIFERENÇA
LAJE NORMA
6118:2014 1992-1:2010 (%)
POSITIVA (cm²/m) 2,25 2,19 2,7%
ÁREA DE
NEGATIVA (cm²/m) 2,25 1,63 27,6%
AÇO
DISTRIBUIÇÃO (cm²/m) 1,125 1,63 31,0%
RESULTADOS OBTIDOS PARA O MOMENTO NEGATIVO
NBR NPEN DIFERENÇA
LAJE NORMA
6118:2014 1992-1:2010 (%)
POSITIVA (cm²/m) 3,94 3,97 0,8%
ÁREA DE
NEGATIVA (cm²/m) 2,25 1,63 27,6%
AÇO
DISTRIBUIÇÃO (cm²/m) 1,125 1,63 31,0%

No quadro anterior é possível notar que os resultados são bem próximos,

porém, em alguns casos, a norma Brasileira se mostra mais conservadora, como na
área de aço tracionada e comprimida obtidas no cálculo do momento positivo, sendo
esta diferença em relação ao valores encontrado pela outra norma de 2,7% e 27,6%.
Já no momento negativo, a norma do Brasil mostra-se conservadora apenas na
armadura de compressão, com uma diferença de 27,6%. Portanto, a norma
Portuguesa mostra-se mais moderada nas áreas de aço de distribuição com um
percentual de 31,0 %, e no momento negativo na armadura tracionada com 0,8%.

O quadro 16 mostra as áreas de aço utilizadas após o detalhamento da

seção, para ambas as normas e momentos.
 67

QUADRO 16: Resultados obtidos após detalhamento da laje

RESULTADOS OBTIDOS PARA O MOMENTO POSITIVO
NBR NPEN DIFERENÇA
LAJE NORMA
6118:2014 1992-1:2010 (%)
POTIVIA (cm²/m) 2,49 2,26 9,2%
ÁREA DE
NEGATICA (cm²/m) 2,49 1,69 32,1%
AÇO
DISTRIBUIÇÃO (cm²/m) 1,56 1,69 7,7%
RESULTADOS OBTIDOS PARA O MOMENTO NEGATIVO
NBR NPEN DIFERENÇA
LAJE NORMA
6118:2014 1992-1:2010 (%)
POTIVIA (cm²/m) 4.02 4,02 0,0%
ÁREA DE
NEGATICA (cm²/m) 2,49 1,69 32,1%
AÇO
DISTRIBUIÇÃO (cm²/m) 1,56 1,69 7,7%

Dessa forma é possível notar que algumas área de aço se igualaram como a
tracionada do momento negativo ficando 4,02 cm²/m de área de aço em ambas as
normas, em alguns casos aumentando esta diferença como na armadura
comprimida que teve esta diferença elevada de 27,6% para 32,1%. Já no caso da
armadura de distribuição a diferença houve apenas uma redução saindo de 31%
para 7,7%.
 68

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O estudo comparativo realizado neste trabalho tem o intuito de analisar os

resultados encontrados no dimensionamento dos elementos estruturais no estado
limite último, sendo estes com as mesmas dimensões e carregamento, para se
constatar qual norma se sobressai na questão da área de aço. No dimensionamento
foram considerados uma resistência de 25 MPa para o concreto e uma resistência
de 500 MPa para o aço das armaduras longitudinais. Para a norma Brasileira foram
obedecidos os cobrimentos referentes à classe de agressividade II e para a
Portuguesa foi utilizado o cobrimento da classe XC1. Os coeficientes de ponderação
utilizadas nos materiais são mostrados no quadro 17

QUADRO 17: Coeficientes de ponderação do concreto e do aço

NORMA NBR 6118:2104 NPEN 1992-1:2010
CONCRETO c = 1,4 c = 1,5
AÇO s = 1,15 s = 1,15

5.1 Viga isostática

A viga isostática utilizada no dimensionamento possui uma seção de 25 por

60 cm, sendo utilizada a carga de 64 kN/m nos dois métodos de dimensionamento e,
mesmo dessa forma, foram encontradas áreas de aço diferentes. Como alguns
desses valores ficaram muito próximos, após o detalhamento, algumas áreas de aço
acabaram por se igualar, como é o caso das armaduras positiva e negativa, ficando
apenas uma diferença de 3 cm² para a armadura de cisalhamento. Isto se deu pela
diferença do método de cálculo adotado pela norma Portuguesa, a qual se prova
mais cautelosa no que diz respeito ao esforço transversal. Nestas seções foram
utilizadas os mesmo diâmetro de armadura ou equivalente, pois algumas barras
possuem o diâmetro diferente em Portugal, como foi visto anteriormente. A seção
detalhada pela norma Brasileira ficou com 5 barras de 20 mm na parte inferior, 3
barras de 10 mm na parte superior e 35 estribos de 2 ramos ao longo dos 5 metros
de viga. Já o detalhamento pela norma Portuguesa permaneceu com as mesmas
barras nas partes superior e inferior, mudando apenas na armadura de
 69

cisalhamento, passando para 50 estribos de 2 ramos. Pode-se ver as áreas de aço

obtidas no dimensionamento e pós detalhamento no gráfico 1.

Gráfico 1: Analise das áreas de aço do dimensionamento e do detalhamento da

viga

16 15.71 15.71
14.7
14 13.31

12
10.05
10 9.48

8 7.04
6.3
6

4
2.25 2.35 2.35
1.86
2

0
DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO DETALHAMENTO NBR DETALHAMENTO NPEN
NBR 6118:2014 NPEN 1992-1:2010 6118:2014 1992-1:2010

POSITIVA (cm²) NEGATIVA (cm²) CISALHAMENTO (cm²)

Fonte: Autor

Constata-se, através do gráfico 1, que as diferenças das áreas de aço positiva e

negativa são pequenas, dando uma diferença máxima de 1,39 cm² na armadura
positiva. Esta diferença pode ser comparada à área de aço de uma barra de 12,5
mm, que é de 1,22 cm², e, na negativa, a diferença girou em torno de 0,39 cm²,
sendo esta área equivalente aproximadamente uma barra de 6,3 mm que possui
0,31 cm² de área. Já na armadura de cisalhamento, ocorreu uma grande diferença
quando comparado as outras armaduras, sendo o valor encontrado de 3,18 cm², o
que equivale a área de uma barra de 20 mm que possui uma área de 3,14 cm².
Assim foi elaborado o gráfico 2 que mostra estas diferenças em percentual.
 70

Gráfico 2: Analise das diferenças em percentual da área de aço das armaduras no

dimensionamento e do detalhamento da viga.

35.0%
33.5%

30.0% 30.0%

25.0%

20.0%
17.3%

15.0%
9.5%
10.0%

5.0%
0.0% 0.0%

0.0%
DIFERENÇA (%) DO DIMENSIONAMENTO DIFERENÇA (%) DO DETALHAMENTO

POSITIVA NEGATIVA CISALHAMENTO

Fonte: Autor

É notória a diferença das armaduras positiva e negativa apresentada no gráfico 2.

As mesmas caíram de 9,5% e 17,3% para 0% após o detalhamento. Já na armadura
de cisalhamento, passou de 33,5% para 30%. Dessa forma observou-se que, após o
detalhamento, as diferenças da área de aço diminuíram ou até mesmo zeraram.
Dessa forma conclui-se que em termos de conservadorismo as normas praticamente
permanecem empatadas, mudando este quadro apenas na armadura de
cisalhamento, onde a norma Brasileira apresentou um melhor desempenho.

5.2 Pilar

O pilar utilizado no dimensionamento é de 30 por 30 cm, sendo utilizada a

carga de 1043,48 kN nos dois métodos de dimensionamento e mesmo dessa forma
foram encontradas área de aço diferentes, foi utilizada uma resistência de 25 MPa
para o concreto e 500 MPa para resistência característica do aço. O resultado do
cálculo é apresentado no gráfico 3.
 71

Gráfico 3: Analise das áreas de aço do dimensionamento e do detalhamento do

pilar

7
6.28
6
5.05
5 4.71

4 3.6
3.27 3.27
2.83 2.83
3

0
NBR 6118:2014 DO NPEN 1992-1:2010 DO NBR 6118:2014 DO NPEN 1992-1:2010 DO
DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO DETALHAMENTO DETALHAMENTO

LONGTUDINAL (cm²) TRANSVERSAL (cm²)

Fonte: Autor

As armadura longitudinais apresentaram uma diferença de 1,45 cm². Para o

dimensionamento desse pilar pela norma Portuguesa, foi necessário considerar os
efeitos de segunda ordem. Ainda assim, a armadura utilizada foi a mínima. Na
Brasileira, apesar de não ser necessária a análise, também foi utilizada a armadura
mínima, implicando que a norma Portuguesa impõe uma área de aço mínima menor
que a Brasileira. Neste caso, significa colocar aproximadamente mais duas barras
de 10 mm na seção transversal. Fazendo o detalhamento do pilar pela norma
Brasileira, a seção ficou com 8 barras de 10mm e estribo de 5mm de 2 ramos a cada
12 cm. Já na Portuguesa, foram utilizadas 6 barras de 10 mm e um estribo de 6mm
de 2 ramos a cada 20 cm. Dessa forma, foi elaborado o gráfico 4 para ser possível
analisar esta situação em termos percentuais.
 72

Gráfico 4: Analise das diferenças em percentual da área de aço das armaduras no

dimensionamento e do detalhamento do pilar.

30.0%
28.7%

25.0% 25.0%

20.0%

15.0% 13.5% 13.5%

10.0%

5.0%

0.0%
DIFERENÇA (%) DO DIMENSIONAMENTO DIFERENÇA (%) DO DETALHAMENTO

LONGTUDINAL TRANSVERSAL

Fonte: Autor

No quadro 4 é possível perceber que ouve uma redução na diferença percentual na

armadura longitudinal após o detalhamento da seção. Já a armadura transversal
continua inalterada. Isso se dá por não ser necessário dimensionamento, pois este
já é feito na etapa de detalhamento. Portanto, os valores percentuais não se alteram.
Conclui-se que para a mesma seção transversal e mesmo carregamento, a norma
Portuguesa apresenta um melhor desempenho em relação à norma Brasileira,
apresentando áreas de aço menores.

5.3 Laje

A laje utilizada nessa seção apresenta dimensões de 4,60 m por 2,10m e uma
espessura de 15 cm, esta laje é armada na direção no sentido do menor vão, tanto
na norma Brasileira como na norma Portuguesa. Porém, no sentido do maior vão é
adotada uma armadura de distribuição. No cálculo da laje, foi levada em
consideração a classe de agressividade II, resistência de 25 MPa para o concreto e
500 MPa para o aço. Realizando o dimensionamento como abordado na subseção
 73

3.5, foi possível montar dois gráficos. No gráfico 5 estão os resultados obtidos para o
momento positivo e no gráfico 7 para o momento negativo.

Gráfico 5: Análise das áreas de aço do dimensionamento e do detalhamento da laje

para o momento positivo.

2.5 2.49 2.49

2.25 2.25 2.26
2.19

1.63 1.63 1.69 1.69

1.56
1.5
1.125

0.5

0
NBR 6118:2014 DO NPEN 1992-1:2010 DO NBR 6118:2014 DO NPEN 1992-1:2010 DO
DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO DETALHAMENTO DETALHAMENTO

POSITIVA (cm²/m) NEGATIVA (cm²/m) DISTRIBUIÇÃO (cm²/m)

Fonte: Autor

No gráfico 5 é fácil ver que a norma Brasileira utilizou a armadura mínima já que
tanto a armadura positiva quando a negativa utilizam o mesmo valor, sendo que o
modelo da viga foi calculada como seção retangular simplesmente armada. Logo, é
notório que na área de aço mínima, a norma supracitada é mais conservadora já que
no dimensionamento, que se encontra no apêndice A, se mostra que a área de aço
obtida no cálculo é de 2,19 cm², portanto, igual ao valor encontrado pela norma
estrangeira. Pode-se afirmar que, neste caso, a norma nacional se torna mais
cautelosa por conta da sua área de aço mínima. Já na armadura de distribuição, a
área de aço é menor pela norma Brasileira, pois esta tem que atender aos critérios
apresentados na subseção 3.5 e na norma Portuguesa tem-se que atender aos 20%
da armadura principal ou a armadura mínima. Os resultados estão apresentados no
gráfico 6.
 74

Gráfico 6: Analise das diferenças em percentual da área de aço das armaduras no

dimensionamento e do detalhamento da laje para o momento positivo.

35.0%
32.1%
31.0%
30.0%
27.6%

25.0%

20.0%

15.0%

9.2%
10.0% 7.7%

5.0% 2.7%

0.0%
DIFERENÇA (%) DO DIMENSIONAMENTO DIFERENÇA (%) DO DETALHAMENTO

POSITIVA NEGATIVA DISTRIBUIÇÃO

Fonte: Autor

É possível perceber que ocorre uma diferença da área de aço na armadura positiva
do dimensionamento, como explicado anteriormente. Já no detalhamento, esta
diferença é explicada pela desigualdade entre os tamanhos das bitolas, já que no
Brasil é utilizado o diâmetro de 6,3 mm e em Portugal 6 mm. Como visto
anteriormente, a armadura negativa pela norma Portuguesa terá um melhor
desempenho quando comparada à norma Brasileira, saindo de 27,6% no
dimensionamento para 32,1% no detalhamento, ocorrendo este acréscimo pelo
mesmo motivo que a porcentagem da armadura positiva não zerou. Na armadura de
distribuição, como já explicado, no dimensionamento notou-se uma diferença de
31%. Já no detalhamento, ocorre uma diminuição para 7,7%, sendo esta justificado
pela diferença no cálculo da área de aço da armadura de distribuição, e também por
ocorrer o mesmo caso da armadura positiva e negativa com relação à bitola.
Portanto, conclui-se que a norma Portuguesa se sobressai nas armaduras positiva e
negativa, e a Brasileira apresenta melhor desempenho na área de aço da armadura
de distribuição, para o momento positivo.
 75

Gráfico 7: Analise das áreas de aço do dimensionamento e do detalhamento da laje

para o momento negativo.

4.5

3.94 3.97 4.02 4.02

4

3.5

3
2.49
2.5 2.25

2 1.69 1.69
1.63 1.63 1.56
1.5 1.125

0.5

0
NBR 6118:2014 DO NPEN 1992-1:2010 DO NBR 6118:2014 DO NPEN 1992-1:2010 DO
DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO DETALHAMENTO DETALHAMENTO

POSITIVA (cm²/m) NEGATIVA (cm²/m) DISTRIBUIÇÃO (cm²/m)

Fonte: Autor

Como pode ser notado no gráfico 7, as áreas de aço positiva 3,94 cm²/m
encontradas na NBR 6118:2014 e 3,97 cm²/m na NPEN1992-1:2010, apresentam
uma diferença de apenas 0,03 cm²/m. Pode-se afirmar que as norma apresentam o
mesmo desempenho na área de aço da armadura positiva. Isto é confirmado no
detalhamento, onde as áreas de aço positiva se igualaram com um valor de 4,02
cm²/m. Já para armadura mínima, utilizada na armadura negativa, é notório que a
NPEN1992-1:2010 apresenta um melhor desempenho, apresentando um área de
aço menor que a NBR 6118:2014, sendo esta diferença também observada no
detalhamento, com aumento na diferença entre as áreas de aço. Isso se dá pelos
mesmos motivos explicados anteriormente para os gráficos 5 e 6. Na armadura de
distribuição a diferença na área de aço é dada pelo método de cálculo, porém, no
detalhamento, elas praticamente se igualaram, apresentando uma diferença de
apenas 0,13 cm²/m. A NBR 6118:2014 ainda apresenta o menor área de aço mesmo
após o detalhamento. Os resultados são apresentados no gráfico 8.
 76

Gráfico 8: Analise das diferenças em percentual da área de aço das armaduras no

dimensionamento e do detalhamento da laje para o momento negativo.

35.0%
32.1%
31.0%
30.0%
27.6%

25.0%

20.0%

15.0%

10.0% 7.7%

5.0%
0.8%
0.0%

0.0%
DIFERENÇA (%) DO DIMENSIONAMENTO DIFERENÇA (%) DO DETALHAMENTO

POSITIVA NEGATIVA DISTRIBUIÇÃO

Fonte: Autor

No gráfico 8 se apresentam as diferenças percentuais para as áreas de aço do

momento negativo. Como já era esperado, a diferença da área de aço do
dimensionamento deu bem próximo de 0%, e no detalhamento essa diferença de
fato zerou, como também era esperado. As armadura negativa e de distribuição
apresentaram o mesmo comportamento percebido no momento positivo. Conclui-se
que, considerando as armaduras mínima das duas normas, o desempenho na área
de aço é o mesmo para ambas. Já no que tange à área de aço da armadura
negativa, a norma de Portugal se sobressai dando uma diferença percentual de
27,6% no dimensionamento e de 32,1% no detalhamento, e como também já era
esperado, a norma Brasileira apresenta um melhor desempenho na quantidade da
área de aço de distribuição, porém apresenta uma redução dessa diferença após o
detalhamento, saindo de 31% para 7,7%, como era previsto.
 77

6 Conclusão

A norma NBR 6118:2014 e a NPEN 1992-1:2010, apresentam algumas

diferenças tanto nas considerações dos materiais, nos coeficientes de ponderação, e
nos métodos de cálculo dos elementos estruturais. Apesar dessas diferenças as
normas apresentaram valores bem próximos e, em alguns casos, chegam a se
igualar no detalhamento. Porém, no dimensionamento, de forma geral, na viga
isostática dimensionada, a norma Portuguesa se mostrou conservadora
apresentando uma diferença de 9,5% para a armadura positiva e 33,5% na
armadura de cisalhamento, em pilar a norma Brasileira apresentou-se como a mais
conservadora apresentando 28,7% nas armaduras longitudinais e 13,5% na
transversal. Já no dimensionamento da laje as normas praticamente ficaram
empatadas apresentando diferenças mínimas justificadas pelas áreas de aço
diferentes utilizada.

6.1 Trabalhos futuros

Para melhores parâmetros comparativos entre a norma Brasileira e

Portuguesa de concreto armado, os seguintes estudos são sugeridos.
 Dimensionar mais elementos estruturais;
 Dimensionar elementos especiais;
 Dimensionar elementos hiperestáticos;
 Analise geral/global de uma estrutura;
 Analise global de custos.
 78

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 80

A.1 ANEXO A – TABELA DE PERCENTUAL DE ARMADURA

81
82
83
 84

A.2 ANEXO B TABELA PARA DETERMINAR O DIAMETRO E O K L

 85

B.1 APÊNDICE A – DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS

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