É mesmo necessário fazer

planos de aula?
João Pedro da Ponte, Marisa Quaresma, Joana Mata Pereira

Uma boa aula depende de muitos fatores — de uma boa mativa desempenha um papel central a preparação de uma
preparação, de uma forte inspiração por parte do profes- aula (a «research lesson») que é observada por um grupo de
sor, e também do interesse e disponibilidade manifesta- docentes e sujeita a uma análise detalhada com foco espe-
dos pelos alunos. A capacidade de improviso e de resposta cial nas aprendizagens dos alunos. A aula a preparar cor-
a situações inesperadas por parte do professor é decisiva, responde, por isso, a um plano detalhado que envolve não
levando-o a tomar decisões em cada momento, e perante só a descrição das atividades a realizar, como uma previ-
as circunstâncias concretas que se vão colocando. No en- são dos acontecimentos que podem ter lugar e das respos-
tanto, isso não diminui a importância de uma preparação tas que lhes podem ser dadas pelo professor.
adequada da aula, que proporcione os elementos funda- Neste artigo discutimos o modo de elaborar planos de
mentais para o seu desenvolvimento, a serem depois ajus- aula, na perspetiva dos «estudos de aula». Começamos por
tados de acordo com as necessidades ditadas pelo evoluir rever o papel da planificação anual e da planificação da uni-
dos acontecimentos. dade didática, após o que apresentamos a fase preparatória
A elaboração de planos de aula tem vindo a conhecer do plano de aula e a elaboração do plano de aula propria-
grande interesse dado o papel central que a preparação, re- mente dito. Ilustramos esta discussão com um exemplo de
alização e análise de uma aula tem nos chamados «estu- um plano de aula realizado em Portugal no âmbito de um
dos de aula» de inspiração japonesa. Nesta atividade for- estudo de aula com professores do 3.° ciclo.

26 e d uc ação e ma te máti ca
A planificação anual e da unidade a compressão dos horários escolares, e toda uma variedade
didática de circunstâncias que afetam o desenvolvimento do ano le-
tivo. Cabe ao professor definir prioridades e assumir o con-
Uma aula insere-se, naturalmente, numa unidade de ensi-
trolo do tempo sem se deixar condicionar completamente
no e esta dentro de uma planificação anual de longo prazo.
por ele.
Nesta planificação e na preparação da unidade de ensino já
As regras da escola e as condicionantes da avaliação são
foram assumidas necessariamente muitas opções, que têm
também fatores que o professor tem de ter em conta, na-
a ver com as orientações curriculares, a preparação dos alu-
turalmente, na sua planificação anual e das unidades di-
nos e o seu interesse pelas aulas de Matemática, o tempo
dáticas. A secção que se segue indica como pode ser feita
e os recursos disponíveis, e com muitos outros fatores do
a preparação de uma aula específica sobre um dado tópico
contexto escolar e social (Ponte, 2005).
de uma dada unidade de ensino. Assumimos que temos
As orientações curriculares estabelecem o quadro geral
presentes estes dois níveis prévios de planificação (anual e
dos temas e tópicos a estudar, bem como as grandes finali-
da unidade) e descrevemos o trabalho a realizar em duas
dades e objetivos gerais de aprendizagem. A nível de cada
etapas, a fase preparatória e a fase da elaboração do plano
unidade de ensino, estas orientações estabelecem os con-
de aula propriamente dito. Esta discussão será depois ilus-
ceitos, representações, procedimentos, conexões e outros
trada com um plano de uma aula sobre proporcionalidade
aspetos eventualmente relevantes. Para além dos aspetos
direta no 7.° ano.
específicos de cada tópico há a considerar os aspetos cur-
riculares transversais relacionados com o raciocínio, a co-
municação, a resolução de problemas, o uso de materiais Fase preparatória do plano de aula
e tecnologias, a relação com situações da realidade (mode-
A fase preparatória envolve a definição do(s) objetivo(s) de
lação matemática), etc.. Há ainda que ter em atenção aspe-
aprendizagem para a aula, a seleção de tarefas que possam
tos de natureza transversal de índole mais geral, como o
ser úteis para a consecução desses objetivos, a resolução das
desenvolvimento da autonomia, do espírito crítico, da coo-
tarefas, a análise das suas potencialidades e das dificulda-
peração, da solidariedade, do sentido de responsabilidade
des previsíveis dos alunos.
por parte dos alunos.
Uma vertente essencial desta fase é a definição do objeti-
Ao preparar as suas unidades de ensino, o professor tem
vo de aprendizagem para a aula. Aqui é importante rever as
em conta os seus alunos, as suas capacidades, interesses e
orientações curriculares, em especial as que se referem ao
disposição para se envolverem no trabalho em Matemáti-
ensino do tópico, bem como os aspetos matematicamente
ca. Não adianta preparar tarefas que já se sabe de antemão
relevantes desse mesmo tópico — conceitos, procedimen-
que não têm qualquer hipótese de acolhimento por parte
tos, representações e simbolismo, conexões importantes
dos alunos. É preciso ajustar o nível de profundidade dos
com outros tópicos matemáticos e com temas extra mate-
assuntos e especialmente o modo de os abordar às carate-
máticos. Note-se que uma aula pode ter vários objetivos de
rísticas específicas de cada turma, tendo em conta não só
aprendizagem, mas é importante que tenha um objetivo
o seu nível médio, mas também a diversidade de alunos,
principal bem definido. Isso mesmo é uma das principais
tanto em termos de capacidades como de interesses. A este
sugestões do livro Principles to actions: Ensuring mathemati-
respeito, note-se que, por vezes, os professores são levados
cal success for all (NCTM, 2014), que enfatiza a importância
a subestimar as capacidades dos alunos, em especial a sua
de definição clara deste objetivo, tanto para o professor, para
capacidade de reagir de forma positiva a uma questão mais
a condução da aula, como para os alunos que o devem com-
desafiante, judiciosamente escolhida.
preender, de modo a servir de base à sua aprendizagem.
O tempo e os recursos disponíveis são, naturalmente,
Uma outra vertente desta fase preparatória é a seleção
um fator importante a considerar. Muitas vezes estes exis-
preliminar de tarefas, sua resolução e análise. A identifi-
tem nas escolas e na comunidade, não na forma que seria
cação de possíveis tarefas a propor aos alunos e a análise
mais imediatamente utilizável, mas mesmo assim poten-
das suas potencialidades é fundamental dado o papel cha-
cialmente muito úteis como quadros interativos, computa-
ve que as tarefas assumem como ponto de partida para o
dores e outros materiais, professores, encarregados de edu-
trabalho dos alunos, tendo em vista a sua aprendizagem.
cação e outros membros da comunidade disponíveis para
As tarefas podem ter as mais diversas origens, incluindo
colaborar. Muito complicada é, cada vez mais, a gestão do
os manuais usados pelos alunos, outros manuais porventu-
tempo, dada a pressão de muitas atividades em simultâneo,
ra mais interessantes, outros materiais de apoio ao profes-

maio :: junho #133 27

 Tarefas e atividades Duração Atividade dos alunos e Respostas do professor e Objetivos e
de aprendizagem esperada possíveis dificuldades aspetos a ter em atenção avaliação
(a) (b) (c) (d) (e)

Tabela 1.—Esquema para a elaboração de um plano de aula na tradição dos «Estudos de aula» japoneses.

sor, livros didáticos e sítios da Internet. A resolução destas Elaboração do plano de aula
tarefas permite uma identificação de níveis de dificuldade Para a elaboração do plano de aula existem muitas possi-
e potencialidades para a aprendizagem, preparando o ter- bilidades, desde as relativamente simples às que envolvem
reno para a seleção final da tarefa ou tarefas a incluir no grande sofisticação. Será avisado procurar seguir um mo-
plano de aula. Os níveis de dificuldade das questões a pro- delo de plano de aula cuja elaboração não seja demasiado
por devem estar, naturalmente, adaptados às caraterísticas complexa mas que, ao mesmo tempo, contenha todos os
dos alunos. Note-se, também, que as potencialidades para a elementos necessários para que possa ser um instrumen-
aprendizagem de uma dada tarefa podem resultar de mui- to de trabalho efetivamente útil ao professor.
tos fatores, incluindo a estrutura da própria tarefa, o con- Num plano de aula podem distinguir-se dois aspetos
texto que lhe está subjacente, as conexões que faz com ou- principais — aquilo que é comum a toda a aula e a suces-
tros tópicos ou situações extra matemáticas conhecidas dos são de atividades que se desenvolvem durante a aula. No
alunos, etc. que respeita a aspetos comuns a toda a aula podem consi-
A definição do objetivo e a exploração de tarefas deve pro- derar-se questões como:[1]
porcionar condições para estabelecer um possível caminho 1. Objetivo(s) de aprendizagem para a aula (objetivo
na progressão dos alunos — aquilo que Estes, McDuffie e principal; objetivos complementares sobre o tópico
Tate (2014) chamam «progressão no tópico». Para isso será e sobre os processos de raciocínio e comunicação)
importante elencar os conhecimentos pré-requisitos que 2. Estratégia geral
os alunos devem ter para aprenderem o tópico em questão 3. Estrutura da aula (segmentos previstos, incluindo
bem como definir possíveis etapas no trabalho de modo a eventuais períodos de trabalho autónomo e de dis-
atingir o objetivo pretendido. Esta fase preparatória deve cussão coletiva);
também permitir identificar as possíveis dificuldades dos 4. Recursos a usar (por exemplo, fichas de trabalho,
alunos na aprendizagem do tópico. Essa identificação deve material manipulável, material de Geometria, sof-
ser desde logo acompanhada da indicação de possíveis ações tware, etc.)
por parte do professor tendo em vista ajudar os alunos a ul-
trapassar essas dificuldades. Relativamente à sucessão de atividades que têm lugar du-
Finalmente, esta fase conclui-se com a seleção da tarefa e rante a aula, a tradição dos estudos de aula japoneses sugere
a definição, nas suas linhas gerais, do modo como os alunos a elaboração de um quadro com várias colunas. Apresenta-
irão trabalhar na tarefa (individual, pares, grupo, coletivo) e mos aqui (Tabela 1) uma versão que, embora aparentemen-
as diferentes etapas da aula. Estamos então em condições te complexa, tem o mérito de ajudar de forma mais efetiva
de começar a elaborar o plano de aula propriamente dito. no planeamento da aula.[2]
A importância da fase preparatória do plano da aula Deste modo, eis o que se pode colocar nas diferentes
no caso dos estudos de aula é sublinhada por exemplo por colunas:
Doig, Groves e Fujii (2011). Estes autores dão uma impor- a) «Tarefas e atividades de aprendizagem» incluem,
tância especial à formulação da tarefa que irá ser apresen- por exemplo, as tarefas selecionadas e os modos de
tada aos alunos, incluindo a escolha do contexto, a seleção trabalho dos alunos em cada segmento de realiza-
de uma versão apropriada, bem como o texto do enuncia- ção dessas tarefas (individual, pares, grupo, coleti-
do. Para isso, sugerem o recurso a materiais de ensino in- vo), bem como a definição dos momentos para a dis-
cluindo manuais e outros materiais curriculares, bem como cussão coletiva.
a estudos que se debrucem sobre a compreensão dos alu-
nos no tópico em questão.

28 e d uc ação e ma te máti ca
Uma receita para o bolo de limão
Bolo de Limão
A Fernanda pretende fazer um bolo de limão para a sobremesa do jantar.
Para 6 pessoas
1. Que quantidade de açúcar é necessária para fazer um bolo para 3 pessoas?
Explica como chegaste à tua resposta.
6 ovos
2. A Fernanda gastou 12 dl de leite. Fez um bolo para quantas pessoas?
Explica como chegaste à tua resposta 240 g de açúcar

3. Completa a seguinte tabela: 1 colher de chá de

fermento

N.° Pessoas 6
360 g de farinha
Ovos 1
Açúcar 360 3 dl de leite
Leite 1,5 3
Limão raspado (q.b.)
4. Das expressões seguintes, indica as que podem traduzir uma relação entre
a quantidade de açúcar e o número de pessoas. Sumo de 2 limões

[A] n = a [B] x = 40y [C] y =

[D] x ∑ y = 40 [E] n = 40a [F] y = 40 + x

5. Escreve uma expressão algébrica que traduza a relação entre:

A. O número de ovos e o número de pessoas.
B. A quantidade de leite e o número de pessoas

Figura 1.—Tarefa sobre proporcionalidade direta (7.º ano)

b) «Duração esperada» refere-se ao tempo de duração nido para a aula em objetivos mais específicos, cuja
previsto para cada segmento. verificação permitirá ir obtendo informação parcial
c) «Atividade dos alunos e possíveis dificuldades» in- relativamente ao progresso dos alunos. Estas infor-
cluem a previsão do que os alunos irão fazer bem mações parciais permitirão fazer uma avaliação da
como as suas dificuldades e dúvidas na interpreta- aula, ao mesmo tempo que produzirão elementos
ção e compreensão das tarefas e durante a resolu- para a planificação das aulas seguintes.
ção da tarefa. Este ponto inclui também a previsão
de diferentes estratégias que se podem esperar da
parte dos alunos.
Um plano de aula para introduzir a
d) «Respostas do professor e aspetos a ter em atenção», função de proporcionalidade direta
incluem aspetos fundamentais que o professor deve Vejamos um exemplo de um plano de aula sobre propor-
ter em atenção em cada segmento em resposta às cionalidade direta, para lecionar a uma turma do 7.° ano,
possíveis dificuldades dos alunos. Este ponto refere- como a primeira aula sobre o tópico. Assume-se que os alu-
se também à definição da estratégia para a discussão nos estudaram proporcionalidade direta no 6.° ano (como
coletiva bem como à definição das questões a subli- igualdade entre duas razões) e já estudaram equações no
nhar na síntese final da aula. 7.° ano, mas ainda não iniciaram o estudo da proporciona-
e) Finalmente, «Objetivos e avaliação» incluem os as- lidade direta como função. Esta aula tem por base a tarefa
petos específicos da avaliação dos alunos, a ter em que se encontra na Figura 1[3] e à qual corresponde o plano
atenção durante a aula. Este campo corresponde de de aula na Tabela 2.
algum modo a uma decomposição do objetivo defi-

maio :: junho #133 29

Tabela 2.—Plano de aula

1. Aspetos gerais
1. Objetivo de aprendizagem: Reconhecimento que uma relação de proporcionalidade direta entre duas variáveis
pode ser representada por uma expressão algébrica de tipo y = ax, sendo a a constante de proporcionalidade.
2. Estratégia geral: Proposta de uma tarefa com cinco questões.
3. Estrutura da aula: A estrutura da aula comporta nove segmentos: a introdução, a resolução de cada uma das cin-
co questões, duas discussões coletivas, uma depois da realização das questões 1, 2 e 3 e outra no final da realiza-
ção da questões 4 e 5, terminando com a síntese final.
4. Recursos a usar: ficha de trabalho com a tarefa.

2. Desenvolvimento da aula

Tarefas e Duração Atividade dos alunos Respostas do professor e Objetivos

atividades de Esperada e possíveis dificuldades aspetos a ter e avaliação
Aprendizagem em atenção
(a) (b) (c) (d) (e)
• Os alunos podem colocar dúvidas • Explicar o que se vai
sobre o enunciado das questões, fazer e o modo como • Perceber o que é dado e o que
1. Introdução
5 min quer em termos de linguagem, vai decorrer a aula. é pedido na questão 1 e na
(em coletivo)
quer em termos do que é dado e • Ler o enunciado da questão 2.
do que é pedido. questão 1.
• Identificar 3 como metade de 6 e Se os alunos não o fizerem,
procurar obter metade de 240. o professor deve introduzir
• Uma possível dificuldade é a tabela
2. Resolução os alunos não conseguirem
6 240 • Mostrar compreensão que para
da questão estabelecer a relação entre 3 e 6.
5 min 3 ? 3 pessoas (metade de 6) será
1 (trabalho • Os alunos podem também
e incentivar os alunos a pro- preciso metade do açúcar (120 g).
autónomo) usar a regra de três simples
ou estabelecer a proporção curar fatores multiplicati-
ҿ
ӗ
 ӝͳա
ׁ para resolver de modo a
vos que permitam encon-
encontrar o valor de x. trar o valor em falta.

• Identificar 12 como o quádruplo Se os alunos não o fizerem,

de 3 e quadruplicar o número de o professor deve introduzir
pessoas da receita. a tabela
3. Resolução • Uma possível dificuldade é
6 3 • Mostrar compreensão que para 4
da questão os alunos não conseguirem
5 min ? 12 vezes mais leite (12 dl) devemos
2 (trabalho estabelecer a relação entre 12 e 3.
e incentivar os alunos a pro- ter 4 vezes mais pessoas.
autónomo) • Os alunos podem usar a regra
de três simples ou estabelecer a curar fatores multiplicati-
proporção ҿׁ  џӝӗ
e resolver de vos que permitam encon-
modo a encontrar o valor de x. trar o valor em falta.

• Perceber que da linha 1 para

a linha 2 devem copiar os
valores (ou, o que é o mesmo,
• Muitos alunos podem ter
Se os alunos tiveram dificul- multiplicar por 1), da linha 1
dificuldade em interpretar o
4. Resolução dade em começar o profes- para a linha 3 devem multiplicar
enunciado e perceber o que é
da questão sor pode sugerir que come- por 40, e da linha 1 para a
10 min pedido para fazer.
3 (trabalho cem pela coluna 3, seguida linha 4 devem multiplicar por
• Os alunos terão de definir uma
autónomo) da coluna 2, depois da 1 e 0,5. Os valores a multiplicar, 1,
estratégia para completar a tabela
finalmente da 4. 40 e 0,5 são os valores que se
usando os dados da receita
encontram na 2.a coluna e que
correspondem a um bolo para
uma pessoa.

30 e d uc ação e ma te máti ca
Tabela 2.—Plano de aula (cont.)

Tarefas e Duração Atividade dos alunos Respostas do professor e Objetivos

atividades de Esperada e possíveis dificuldades aspetos a ter e avaliação
Aprendizagem em atenção
(a) (b) (c) (d) (e)
• Se nenhum aluno o
fizer, o professor deve
fazer as tabelas
6 240
3 ?
• Reconhecer que existe uma
6 3 relação de proporcionalidade
• Apresentar diferentes estratégias
? 12 direta entre a primeira linha e as
5. Discussão para resolver a questão 1.
e incentivar os alunos linhas 2, 3 e 4.
coletiva das • Apresentar diferentes estratégias
20 a procurar fatores • Perceber que existe um valor que
questões 1, 2 para resolver a questão 2.
multiplicativos que se multiplica pelo n.° de pessoas
e 3. • Apresentar diferentes estratégias
permitam encontrar o que vão comer o bolo e que esse
para resolver a questão 3.
valor em falta valor (razão unitária) está na 2.a
• Introduzir a coluna
terminologia «razão
unitária» e «constante
de proporcionalidade»
e discutir o respetivo
significado
• Perguntar o que
podem representar
na expressão [A] as
• Identificar a relação entre as duas
variáveis n e a, e
variáveis.
na expressão [B] as
• Ver, uma a uma, se as expressões
variáveis x e y, etc.
podem representar a relação.
• Sugerir aos alunos
• Muitos alunos podem ter
que substituam
dificuldade na interpretação do
os valores dados
6. Resolução enunciado, dado o seu caráter • Reconhecer que as variáveis
na tabela em cada
da questão muito formal. «quantidade de açúcar» e
uma das expressões
4 (Analisar • Outra possível dificuldade é «número de pessoas» podem
algébricas.
diversas admitir que a relação em causa ser representadas por quaisquer
• Verificar que as
expressões pode ser representada por mais letras.
5 min expressões [A], [D]
para ver quais do que uma expressão. • Reconhecer que expressões
e [F] não podem
satisfazem • É provável que a maioria dos algébricas são compatíveis
traduzir a relação em
as condições alunos consiga perceber quais com uma relação de
causa.
dadas) (trabalho as expressões inapropriadas [A], proporcionalidade direta dada
• Verificar que as
autónomo) [D], [F], mas alguns podem não numa tabela.
expressões [B] e [C]
reconhecer uma ou mais das
são equivalentes.
expressões apropriadas [B, [C]
• Verificar que as
e [E].
expressões [B] e [E]
• Achar que a relação entre as
exprimem a mesma
variáveis pode ser aditiva e
relação, apenas
escolher a expressão [F].
designando as
variáveis de modo
diferente.

maio :: junho #133 31

Tabela 2.—Plano de aula (cont.)

Tarefas e Duração Atividade dos alunos Respostas do professor e Objetivos

atividades de Esperada e possíveis dificuldades aspetos a ter e avaliação
Aprendizagem em atenção
(a) (b) (c) (d) (e)
7. Resolução • Reconhecer que existe uma
• Sugerir aos alunos
da questão 5 relação de proporcionalidade
que comparem o
(Escrever uma • Os alunos podem ter dificuldade direta entre a primeira linha e as
que é pedido nesta
expressão em representar a relação entre o linhas 2, 3 e 4.
questão e o que foi
algébrica 5 min número de ovos e o número de • Perceber que existe um valor que
pedido na questão
representando pessoas, dado ser 1 a constante se multiplica pelo n.° de pessoas
anterior e tenham em
uma relação). de proporcionalidade. que vão comer o bolo e que esse
conta a constante de
(trabalho valor (razão unitária) está na
proporcionalidade
autónomo) 2.a coluna
• Reconhecer que uma relação
8. Discussão entre duas variáveis em que
• Apresentar diferentes estratégias
coletiva das existe proporcionalidade
para resolver a questão 4.
questões 4 e 5 e 20 min direta se pode representar por
• Apresentar diferentes estratégias
uma expressão do tipo y = ax,
para resolver a questão 5.
9. Síntese final y = kx ou por outra expressão
equivalente.

O enquadramento curricular em que esta tarefa foi ori- termos para (ii) relações de proporcionalidade direta entre
ginalmente concebida é o do Programa de Matemática de duas variáveis representadas em tabelas, com um núme-
2007. Este programa indicava que o tópico de proporcio- ro indeterminado de termos, daí para (iii) relações de pro-
nalidade direta como função poderia ser estudado neste porcionalidade direta representadas por uma expressão al-
nível a partir dos conhecimentos dos alunos sobre propor- gébrica, até chegar ao reconhecimento que (iv) as relações
cionalidade aprendidos no 2.° ciclo. No entanto, esta tarefa de proporcionalidade direta têm a expressão geral y = kx.
adapta-se bem a outros enquadramentos curriculares, no- A estratégia geral é a proposta de uma tarefa com cin-
meadamente o que decorre do Programa de Matemática co questões. Os alunos resolvem a pares as três primeiras
de 2013 que prevê o estudo da proporcionalidade em duas questões, seguindo-se um momento de discussão coleti-
etapas principais, primeiro como igualdade entre duas ra- va. Depois os alunos resolvem as questões 4 e 5, seguin-
zões, no 2.° ciclo, e depois como função, no 3.° ciclo. do-se outro momento de discussão coletiva. A aula termi-
O objetivo de aprendizagem para a aula é o reconheci- na com uma síntese final a cargo do professor, a realizar
mento, por parte dos alunos, que uma relação de propor- com a colaboração dos alunos. Deste modo a estrutura da
cionalidade direta entre duas variáveis pode ser represen- aula comporta nove segmentos: a introdução, a resolução
tada por uma expressão algébrica de tipo y = kx, sendo k a de cada uma das cinco questões, duas discussões coletivas,
constante de proporcionalidade. Como objetivos comple- uma, sensivelmente, a meio da aula e outra no final da re-
mentares, pretende-se que os alunos recordem o processo alização da questão 5, terminando com a síntese final.
de resolver problemas de proporcionalidade direta e que O principal recurso a usar é a ficha de trabalho com
desenvolvam a sua capacidade de interpretar expressões a tarefa, sendo as resoluções dos alunos apresentadas no
algébricas simples. quadro.
Os pré-requisitos, em termos de conhecimentos dos alu- As questões 1 e 2 da tarefa envolvem a resolução de pro-
nos, são a capacidade de resolver problemas simples de va- blemas simples de proporcionalidade direta. Nestas ques-
lor omisso envolvendo relações de proporcionalidade direta tões o importante é que os alunos estabeleçam relações de
e a compreensão do significado de expressões como y = 3x modo intuitivo entre os valores dados, como ponto de par-
ou y = 4x + 3. A progressão no tópico envolve a passagem tida para a resolução da questão 3. Se os alunos tiverem di-
de (i) relações de proporcionalidade direta envolvendo três ficuldade em resolver estas questões, apesar dos valores

32 e d uc ação e ma te máti ca
apresentados serem relativamente simples, o professor deve novo estratégias informais para encontrar os fatores mul-
ajudar introduzindo uma representação na forma de tabe- tiplicativos adequados.
la procurando fatores multiplicativos que ajudem a encon- Note-se que em nenhuma questão desta tarefa é feita
trar o valor pretendido. menção explícita à noção de constante de proporcionalida-
de. A ideia que existe uma razão constante irá surgindo a
6 240 6 3 pouco e pouco no trabalho dos alunos e deve ser explora-
3 ? ? 12 da na discussão geral. Assim, tal como referido, os termos
«razão unitária» e «constante de proporcionalidade» deve-
A introdução destas tabelas constitui um momento funda- rão ser introduzidos pelo professor, no momento oportu-
mental da aula, permitindo aos alunos um modo intuiti- no, durante a discussão coletiva após a realização das três
vo de pensar de forma multiplicativa sobre as relações de primeiras questões, devendo-se analisar então o respetivo
proporcionalidade. Assim, o professor pode perguntar «por significado.
que número multiplicamos 6 para obter 3»? Perante a res- As questões 4 e 5 apoiam-se na questão 3. Na questão
posta que será ƔƓ ou 0,5 o professor pode continuar, «quan- 4 pretende-se que os alunos verifiquem quais das expres-
to obtemos multiplicando 240 por 0,5»? sões são compatíveis com a relação entre «quantidade de
Se algum aluno introduzir estas tabelas espontaneamen- açúcar» e «número de pessoas» dada na tabela (ou seja, as
te nas suas resoluções (o que é bastante provável), o pro- expressões [B], [C] e [E]). A interpretação das expressões
fessor deve tirar partido desse facto, levando-o a partilhar pode causar algumas dificuldades aos alunos, aspeto a que
com a turma. Se algum aluno não fizer uma tabela explíci- o professor precisa de estar particularmente atento. Para
ta mas formular um raciocínio próximo, o professor pode ajudar os alunos nessa interpretação pode perguntar o que
reformulá-lo (ou «redizê-lo») na forma da tabela. Caso con- podem representar na expressão [A] as variáveis n e a, e na
trário, será o professor a introduzir esta representação, de expressão [B] as variáveis x e y, etc. Uma vez essa interpre-
forma tanto quanto possível natural, como um modo de re- tação feita, os alunos poderão substituir os valores numé-
gistar os dados das questões 1 e 2 e de pensar sobre as re- ricos dados na tabela em cada uma das expressões. É de es-
lações entre esses dados. perar que a maioria dos alunos consiga perceber quais as
Se os alunos resolverem estas questões usando méto- expressões inapropriadas [A], [D], [F], mas alguns podem
dos mais formais como a regra de três simples ou estabele-
cendo as proporções ҿӗ  ӝͳաׁ e ׁ  џӝ o professor deve valo-
pensar que apenas uma das expressões estará correta e não
ҿ ӗ
reconhecer uma ou mais das expressões apropriadas.
rizar, naturalmente, essas resoluções. No entanto, mesmo Num segundo momento de discussão coletiva é abor-
nesses casos, será de propor a construção das tabelas aci- dado o significado das expressões algébricas, em relação
ma indicadas pois elas servem de base a uma forma intui- com o contexto apresentado (receita do bolo), procurando
tiva de pensar que será muito importante na questão 3. ao mesmo tempo que os alunos reconheçam a ligação com
A questão 3, envolvendo o preenchimento de uma tabe- o tópico das equações.
la com 4 linhas e 5 colunas, representa uma situação prova-
velmente nova para os alunos, que nunca devem ter traba-
lhado com tabelas tão complexas. Esta questão requer que Como foi elaborado este plano de aula
os alunos entendam o que se pretende e sigam uma estra- Este plano de aula constitui uma versão aperfeiçoada de
tégia adequada, novamente encontrando fatores multipli- um plano muito semelhante que orientou a realização de
cativos apropriados. É importante que percebam que da li- uma aula de 7.° ano durante um estudo de aula. Da reali-
nha 1 para a linha 2 devem multiplicar por 1 (resulta em zação desta tarefa na aula, tiram-se algumas ilações sobre
«copiar os valores»), da linha 1 para a linha 3 devem multi- os processos de raciocínio e dificuldades dos alunos. As-
plicar por 40, e da linha 1 para a linha 4 devem multiplicar sim, nas questões 1 e 2 os alunos usaram por vezes estraté-
por 0,5. Os valores a multiplicar (1, 40 e 0,5) são os valores gias surpreendentes. Na questão 2, por exemplo, um aluno
que se encontram na 2.ª coluna, e são os valores que cor- referiu que tinham feito «uma sequência», explicando «a
respondem a um bolo para uma pessoa. Na discussão que nossa sequência foi uma sequência de pessoas e dos deci-
se realiza a seguir o professor deve indicar que estes valo- litros. Fizemos que 6 pessoas equivaliam a 3 dl, 12 pesso-
res se chamam «razão unitária» ou «constante de propor- as equivaliam a 6 dl, 18 a 9 e 24 a 12». Na verdade o aluno
cionalidade». A expetativa é que os alunos possam usar de fez um raciocínio aditivo tomando como base o par (6 pes-

maio :: junho #133 33

soas, 3 dl). Verificamos portanto que as questões 1 e 2 per- da questão 4. Para além disso, a identificação das dificul-
mitem levar os alunos a recordar como se resolvem pro- dades registadas na realização das diversas questões per-
blemas simples envolvendo relações proporcionais, como mitem ao professor a preparação de um apoio mais efeti-
base para o trabalho a realizar a seguir. No plano de aula vo aos alunos durante os momentos de trabalho autónomo
reformulado estas duas questões têm exatamente a mes- na realização das questões.
ma formulação que no plano original.
Na realização da aula, a questão 3 levantou dificulda-
des a bastantes alunos em «perceber o que era para fazer»
A concluir
atendendo ao facto de ser uma tabela fora do comum, com A pergunta inevitável nesta fase é: «É preciso todo este tra-
várias linhas. Essa dificuldade foi ultrapassada, em muitos balho para preparar cada aula?» A resposta é sim. Quanto
casos, com a ajuda da professora, chamando a atenção para mais detalhado for o plano de aula, quanto mais pensado
uma coluna particular (e tendo em conta as condições da e refletido for o trabalho de preparação, maior capacida-
receita). A partir daí, o preenchimento da tabela de acordo de terá o professor de ajustar esse plano em função dos
com as condições dadas (relações de proporcionalidade di- acontecimentos e mesmo de improvisar. O facto do pro-
reta entre diversas variáveis) foi feito sem grande dificul- fessor ter refletido dá-lhe confiança para fazer diferente ao
dade por alguns alunos, usando estratégias muito diversas inicialmente pensado. Na prática quotidiana, este trabalho
(muitas das quais baseadas em procedimentos aditivos) e de planificação aqui feito de forma explícita e passo a pas-
raramente tomando como ponto de partida a coluna corres- so é feito em grande medida de forma implícita e abrevia-
pondente a 6 pessoas. No plano de aula reformulado esta da, saltando algumas etapas pois elas estão já apropriadas
questão também não teve alterações. pelo professor.
A primeira alteração importante ao plano de aula é a Enfim, o importante é saber fazer planos de aula, de
introdução do primeiro momento de discussão coletiva a acordo com este processo ou um processo semelhante, e
seguir à realização da questão 3, de modo a explorar oral- para isso é preciso fazer alguns planos deste tipo até com-
mente com os alunos as diversas relações que existem nes- preender bem os diversos aspetos a ter em conta. A partir
ta tabela, com especial atenção para a relação entre a quan- daí, a elaboração de planos de aula poderá ser feita no dia a
tidade de açúcar e o número de pessoas e, assim, preparar dia profissional de modo mais informal, embora possa ser
o terreno para a realização da questão 4. útil, participar por vezes em atividades como os «estudos
Na aula, na questão 4, os alunos manifestaram também de aula» que permitem aferir junto de outros professores
dificuldades, por vezes dando respostas ao acaso. Estas di- como estamos a preparar as nossas aulas e que resultados
ficuldades têm origem na interpretação do enunciado que, isso traz para a aprendizagem dos nossos alunos.
pelo seu caráter muito formal, constitui uma barreira para
os alunos que não estão habituados a este tipo de lingua- Notas
gem. Estas questões foram debatidas na discussão coleti- [1]
Alguns dos aspetos a seguir indicados podem dizer ape-
va, sendo de notar que, já na fase final da discussão, houve nas respeito a uma parte da aula, caso em que transi-
alunos que reconheceram que a expressão geral das fun- tam para a parte seguinte do plano, sob a forma de ta-
ções de proporcionalidade direta é y = kx. bela com várias colunas (ver a Tabela 1).
Nas questões 4 e 5 não se registam alterações significa- [2]
Esta tabela resulta de uma combinação de modelos apre-
tivas no enunciado da versão original do plano para a ver- sentado em vários artigos, sendo a inspiração principal
são aperfeiçoada, a não ser a eliminação de uma questão Roback, Chance, Legler e Moore (2006).
que propomos que seja abordada na discussão coletiva. [3]
Esta tarefa é a que foi usada (de forma ligeiramente di-
Deste modo, as alterações mais significativas no plano de ferente) num estudo de aula realizado numa turma do
aula não se registam no enunciado das questões, mas no 7.° ano na Escola Secundária da Ramada em 2011. A ex-
facto de se introduzirem dois momentos de discussão co- periência encontra-se descrita em Ponte, Baptista, Velez
letiva, em vez de se realizar apenas um momento. O pri- e Costa (2012). O plano de aula que aqui se apresenta
meiro momento de discussão coletiva tem em vista que to- corresponde à revisão do plano de aula original, tendo
dos alunos percebam as relações proporcionais constantes em conta a experiência então realizada.
na tabela e permitir uma maior facilidade de compreensão

34 ed uc aç ão e ma te máti ca
Referências Ponte, J. P., Baptista, M., Velez, I., & Costa, E. (2012). Apren-
dizagens profissionais dos professores através dos estu-
Doig, B., Groves, S., & Fujii, T. (2011). The critical role of task
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Roback, P., Chance, B., Legler, J., & Moore, T. (2006). Ap-
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João Pedro da Ponte
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Marisa Quaresma
Ponte, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI
Joana Mata Pereira
(Ed.), O professor e o desenvolvimento curricular (pp. 11–34).
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